Προσδιορισμός του μέγιστου μιας συνάρτησης. Λειτουργία Extremum

Ένας απλός αλγόριθμος για την εύρεση ακραίων σημείων.

Βρείτε το παράγωγο της συνάρτησης
Εξισώστε αυτό το παράγωγο στο μηδέν
Βρείτε τις τιμές της μεταβλητής της προκύπτουσας έκφρασης (οι τιμές της μεταβλητής στην οποία το παράγωγο μετατρέπεται σε μηδέν)
Διαιρούμε τη γραμμή συντεταγμένων σε διαστήματα με αυτές τις τιμές (ταυτόχρονα, μην ξεχνάτε τα σημεία διακοπής, τα οποία πρέπει επίσης να εφαρμοστούν στη γραμμή), όλα αυτά τα σημεία ονομάζονται σημεία "ύποπτα" για το άκρο
Υπολογίζουμε σε ποια από αυτά τα διαστήματα το παράγωγο θα είναι θετικό και σε ποιο αρνητικό. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να αντικαταστήσετε την τιμή από το διάστημα στο παράγωγο.

Από τα σημεία που είναι ύποπτα για ένα άκρο, είναι απαραίτητο να βρείτε ακριβώς. Για να γίνει αυτό, εξετάζουμε τα διαστήματά μας στη γραμμή συντεταγμένων. Εάν, όταν περάσει κάποιο σημείο, το σύμβολο του παραγώγου αλλάζει από συν σε μείον, τότε αυτό το σημείο θα είναι το μέγιστο, και αν από το μείον στο συν, τότε ελάχιστο.

Για να βρείτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης, πρέπει να υπολογίσετε την τιμή της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος και στα ακραία σημεία. Στη συνέχεια, επιλέξτε την υψηλότερη και τη χαμηλότερη τιμή.

Εξετάστε ένα παράδειγμα
Βρείτε το παράγωγο και μηδενίστε το:

Οι προκύπτουσες τιμές των μεταβλητών απεικονίζονται στη γραμμή συντεταγμένων και υπολογίζουν το σύμβολο του παραγώγου σε κάθε ένα από τα διαστήματα. Λοιπόν, για παράδειγμα, για το πρώτο ας πάρουμε-2 , τότε το παράγωγο θα είναι-0,24 , για το δεύτερο που παίρνουμε0 , τότε το παράγωγο θα είναι2 , και για το τρίτο που παίρνουμε2 , τότε το παράγωγο θα είναι-0.24. Βάζουμε τα κατάλληλα σημάδια.

Βλέπουμε ότι όταν περνάμε από το σημείο -1, το παράγωγο αλλάζει σημάδι από μείον σε συν, δηλαδή θα είναι ένα ελάχιστο σημείο και όταν περνά από το 1 - από το συν στο μείον, αντίστοιχα, αυτό είναι ένα μέγιστο σημείο.

Θεώρημα. (απαραίτητη προϋπόθεση για την ύπαρξη ενός άκρου) Εάν η συνάρτηση f (x) είναι διαφοροποιήσιμη στο σημείο x \u003d x 1 και το σημείο x 1 είναι ένα ακραίο σημείο, τότε το παράγωγο της συνάρτησης εξαφανίζεται σε αυτό το σημείο.

Απόδειξη. Ας υποθέσουμε ότι η συνάρτηση f (x) έχει ένα μέγιστο στο σημείο x \u003d x 1.

Στη συνέχεια, για αρκετά μικρό θετικό Dx\u003e 0 ισχύει η ακόλουθη ανισότητα:

A-priory:

Εκείνοι. εάν Dx®0, αλλά Dx<0, то f¢(x 1) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0, μετά f ¢ (x 1) 0 £.

Και αυτό είναι δυνατό μόνο εάν σε D at®0 f ¢ (x 1) \u003d 0.

Για την περίπτωση που η συνάρτηση f (x) έχει ελάχιστο στο σημείο x 2 το θεώρημα αποδεικνύεται παρόμοια.

Το θεώρημα αποδεικνύεται.

Συνέπεια. Το αντίστροφο δεν είναι αλήθεια. Εάν το παράγωγο μιας συνάρτησης είναι ίσο με μηδέν, τότε αυτό δεν σημαίνει ότι σε αυτό το σημείο η συνάρτηση έχει ένα άκρο. Ένα εύγλωττο παράδειγμα αυτού είναι η συνάρτηση y \u003d x 3, της οποίας το παράγωγο στο σημείο x \u003d 0 είναι μηδέν, αλλά σε αυτό το σημείο η συνάρτηση έχει μόνο καμπή, όχι μέγιστο ή ελάχιστο.

Ορισμός. Κρίσιμα σημεία Οι συναρτήσεις ονομάζονται σημεία στα οποία το παράγωγο της συνάρτησης δεν υπάρχει ή είναι μηδέν.

Το θεώρημα που εξετάστηκε παραπάνω μας δίνει τις απαραίτητες προϋποθέσεις για την ύπαρξη ενός άκρου, αλλά αυτό δεν αρκεί.

Παράδειγμα: f (x) \u003d ôxô Παράδειγμα: f (x) \u003d

εε

Στο σημείο x \u003d 0 η συνάρτηση έχει ένα ελάχιστο, αλλά στο σημείο x \u003d 0 η συνάρτηση δεν έχει καμία

δεν έχει παράγωγο. μέγιστο, χωρίς ελάχιστο, χωρίς παραγωγή

Σε γενικές γραμμές, η συνάρτηση f (x) μπορεί να έχει ένα άκρο στα σημεία όπου το παράγωγο δεν υπάρχει ή είναι ίσο με το μηδέν.

Θεώρημα. (Επαρκείς συνθήκες για την ύπαρξη ενός άκρου)

Αφήστε τη συνάρτηση f (x) να είναι συνεχής στο διάστημα (a, b), το οποίο περιέχει το κρίσιμο σημείο x 1, και διαφοροποιείται σε όλα τα σημεία αυτού του διαστήματος (εκτός ίσως, από το ίδιο το σημείο x 1).

Εάν, κατά τη διέλευση από το σημείο x 1 από αριστερά προς τα δεξιά, το παράγωγο της συνάρτησης f "(x) αλλάζει το σύμβολο από" + "σε" - ", τότε στο σημείο x \u003d x 1 η συνάρτηση f (x) έχει μέγιστο και εάν το παράγωγο αλλάζει σήμα από" - "On" + - τότε η συνάρτηση έχει ένα ελάχιστο.

Απόδειξη.

Αφήνω

Από το θεώρημα του Lagrange: f (x) - f (x 1) \u003d f ¢ (e) (x - x 1), όπου x< e < x 1 .

Τότε: 1) Εάν x< x 1 , то e < x 1 ; f¢(e)>0; f ¢ (e) (x - x 1)<0, следовательно

f (x) - f (x 1)<0 или f(x) < f(x 1).

2) Εάν x\u003e x 1, τότε e\u003e x 1 f ¢ (e)<0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно

f (x) - f (x 1)<0 или f(x) < f(x 1).

Δεδομένου ότι οι απαντήσεις είναι οι ίδιες, μπορούμε να πούμε ότι f (x)< f(x 1) в любых точках вблизи х 1 , т.е. х 1 – точка максимума.

Η απόδειξη του θεωρήματος για το ελάχιστο σημείο είναι παρόμοια.

Το θεώρημα αποδεικνύεται.

Με βάση τα παραπάνω, μπορείτε να επεξεργαστείτε μια ενοποιημένη διαδικασία για την εύρεση των μεγαλύτερων και μικρότερων τιμών μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα:

1) Βρείτε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης.

2) Βρείτε τις τιμές της συνάρτησης σε κρίσιμα σημεία.

3) Βρείτε τις τιμές της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος.

4) Επιλέξτε ανάμεσα στις ληφθείσες τιμές τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη.

Εξέταση μιας λειτουργίας για χρήση ενός άκρου

παράγωγα υψηλότερων παραγγελιών.

Αφήστε στο σημείο х \u003d х 1 f в (x 1) \u003d 0 και f ¢¢ (x 1) υπάρχει και είναι συνεχές σε κάποια γειτονιά του σημείου х 1.

Θεώρημα. Εάν f ¢ (x 1) \u003d 0, τότε η συνάρτηση f (x) στο σημείο x \u003d x 1 έχει μέγιστο εάν f ¢¢ (x 1)<0 и минимум, если f¢¢(x 1)>0.

Απόδειξη.

Έστω f ¢ (x 1) \u003d 0 και f ¢¢ (x 1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x 1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х 1 .

Επειδή f ¢¢ (x) \u003d (f ¢ (x)) ¢< 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х 1 , но f¢(x 1)=0, т.е. f¢(x) > 0 στο x x 1. Αυτό σημαίνει ότι όταν περνάτε από το σημείο х \u003d х 1, το παράγωγο f ¢ (x) αλλάζει το σύμβολο από "+" σε "-", δηλαδή

σε αυτό το σημείο η συνάρτηση f (x) έχει ένα μέγιστο.

Για την περίπτωση της ελάχιστης λειτουργίας, το θεώρημα αποδεικνύεται με παρόμοιο τρόπο.

Εάν f ¢¢ (x) \u003d 0, τότε η φύση του κρίσιμου σημείου είναι άγνωστη. Απαιτείται περαιτέρω έρευνα για τον προσδιορισμό της.

Κυρτότητα και κοιλότητα μιας καμπύλης.

Σημεία καμπής.

Ορισμός. Η καμπύλη βλέπει την κυρτότητα πάνω σε ένα διάστημα (a, b) εάν όλα τα σημεία του βρίσκονται κάτω από οποιαδήποτε από τις εφαπτόμενες σε αυτό το διάστημα. Ονομάζεται καμπύλη που βλέπει προς τα πάνω κυρτός, και καλείται η καμπύλη που βλέπει προς τα κάτω κυρτότητα κοίλος.

στο

Το σχήμα δείχνει μια απεικόνιση του παραπάνω ορισμού.

Θεώρημα 1. Εάν σε όλα τα σημεία του διαστήματος (a, b) το δεύτερο παράγωγο της συνάρτησης f (x) είναι αρνητικό, τότε η καμπύλη y \u003d f (x) είναι κυρτή προς τα πάνω (κυρτή).

Απόδειξη. Αφήστε το x 0 Î (a, b). Σχεδιάστε μια εφαπτομένη γραμμή στην καμπύλη σε αυτό το σημείο.

Εξίσωση καμπύλης: y \u003d f (x);

Εφαπτομένη εξίσωση:

Πρέπει να αποδειχθεί ότι.

Από το θεώρημα του Lagrange για f (x) - f (x 0) :, x 0< c < x.

Από το θεώρημα του Lagrange για

Ας x\u003e x 0 και x 0< c 1 < c < x. Т.к. x – x 0 > 0 και c - x 0\u003e 0, και επιπλέον, κατά συνθήκη

Ως εκ τούτου, .

Ας x< x 0 тогда x < c < c 1 < x 0 и x – x 0 < 0, c – x 0 < 0, т.к. по условию то

Μπορεί να αποδειχθεί παρόμοια ότι εάν f ¢¢ (x)\u003e 0 στο διάστημα (a, b), τότε η καμπύλη y \u003d f (x) είναι κοίλη στο διάστημα (a, b).

Το θεώρημα αποδεικνύεται.

Ορισμός. Καλείται το σημείο που διαχωρίζει το κυρτό μέρος της καμπύλης από το κοίλο τμήμα σημείο καμπής.

Προφανώς, στο σημείο καμπής, η εφαπτομένη τέμνει την καμπύλη.

Θεώρημα 2. Αφήστε την καμπύλη να οριστεί από την εξίσωση y \u003d f (x). Εάν το δεύτερο παράγωγο f ¢¢ (a) \u003d 0 ή f ¢¢ (a) δεν υπάρχει και όταν διέρχεται από το σημείο x \u003d a f ¢¢ (x) αλλάζει σημάδι, τότε το σημείο της καμπύλης με την τετμημένη x \u003d a είναι ένα σημείο καμπής.

Απόδειξη. 1) Αφήστε f ¢¢ (x)< 0 при х < a и f¢¢(x) > 0 για x\u003e a. Τότε στις

Χ< a кривая выпукла, а при x > μια καμπύλη είναι κοίλη, δηλ. σημείο x \u003d a - σημείο καμπής.

2) Αφήστε f ¢¢ (x)\u003e 0 για x< b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x > b - κυρτή προς τα πάνω. Τότε το x \u003d b είναι ένα σημείο καμπής.

Το θεώρημα αποδεικνύεται.

Ασυμπτωτες.

Στη μελέτη των συναρτήσεων, συμβαίνει συχνά ότι όταν η συντεταγμένη x του σημείου της καμπύλης μετακινείται στο άπειρο, η καμπύλη πλησιάζει χωρίς περιορισμούς σε κάποια ευθεία γραμμή.

Ορισμός. Η ευθεία γραμμή ονομάζεται ασυμπτωματικήκαμπύλη εάν η απόσταση από το μεταβλητό σημείο της καμπύλης προς αυτήν την ευθεία γραμμή τείνει στο μηδέν καθώς το σημείο κινείται στο άπειρο.

Πρέπει να σημειωθεί ότι δεν έχει κάθε καμπύλη ασυμπτωματικό. Τα ασυμπτώματα μπορούν να είναι ευθεία και πλάγια. Η μελέτη των λειτουργιών για την παρουσία ασυμπτωτικών είναι πολύ σημαντική και σας επιτρέπει να προσδιορίσετε με μεγαλύτερη ακρίβεια τη φύση της λειτουργίας και τη συμπεριφορά του γραφήματος της καμπύλης.

Σε γενικές γραμμές, μια καμπύλη, που πλησιάζει το ασυμπτωματικό της χωρίς όριο, μπορεί να την διασχίσει και όχι σε ένα σημείο, όπως φαίνεται στο γράφημα της παρακάτω συνάρτησης ... Η πλάγια ασυμπτωματική του είναι y \u003d x.

Ας εξετάσουμε λεπτομερέστερα τις μεθόδους εύρεσης των ασυμπτωτικών καμπυλών.

Κάθετα ασυμπτώματα.

Από τον ορισμό του ασυμπτωτικού προκύπτει ότι εάν ή ή, τότε η ευθεία x \u003d a είναι το ασυμπτωματικό της καμπύλης y \u003d f (x).

Για παράδειγμα, για μια συνάρτηση, η γραμμή x \u003d 5 είναι το κάθετο ασυμπτωματικό.

Λοξά ασυμπτώματα.

Ας υποθέσουμε ότι η καμπύλη y \u003d f (x) έχει μια πλάγια ασυμπτωματική y \u003d kx + b.

Υποδηλώνουμε το σημείο τομής της καμπύλης και το κάθετο στο ασυμπτωματικό - M, P - το σημείο τομής αυτής της κάθετης με το ασυμπτωματικό. Η γωνία μεταξύ του ασυμπτωτικού και του άξονα Ox δηλώνεται με j. Το κάθετο МQ στον άξονα Ox τέμνει το ασυμπτότο στο σημείο Ν.

Τότε MQ \u003d y είναι η τεταγμένη του σημείου της καμπύλης, NQ \u003d είναι η τεταγμένη του σημείου N στο ασυμπτωτικό.

Κατά συνθήκη :, РNMP \u003d j ,.

Η γωνία j είναι σταθερή και όχι ίση με 90 0, τότε

Τότε .

Έτσι, η ευθεία γραμμή y \u003d kx + b είναι το ασυμπτωματικό της καμπύλης. Για τον ακριβή προσδιορισμό αυτής της ευθείας γραμμής, είναι απαραίτητο να βρούμε έναν τρόπο υπολογισμού των συντελεστών k και b.

Στην προκύπτουσα έκφραση, βγάζουμε το x έξω από τις αγκύλες:

Επειδή х® ¥, τότε Από b \u003d const, τότε .

Τότε , ως εκ τούτου,

Επειδή τότε , ως εκ τούτου,

Σημειώστε ότι τα οριζόντια ασυμπτώματα είναι μια ειδική περίπτωση λοξών ασυμπτωτικών σε k \u003d 0.

Παράδειγμα. .

1) Κάθετα ασυμπτώματα: y® + ¥ x®0-0: y®- ¥ x®0 + 0, επομένως, το x \u003d 0 είναι το κάθετο ασυμπτωματικό.

2) λοξά ασυμπτώματα

Έτσι, η γραμμή y \u003d x + 2 είναι μια πλάγια ασυμπτωματική.

Ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση:

Παράδειγμα. Βρείτε τα ασυμπτώματα και γράψτε τη συνάρτηση.

Οι ευθείες γραμμές x \u003d 3 και x \u003d -3 είναι τα κατακόρυφα ασυμπτώματα της καμπύλης.

Εύρεση λοξών ασυμπτωτικών:

y \u003d 0 - οριζόντιο ασυμπτωματικό.

Παράδειγμα. Βρείτε ασυμπτώματα και γράψτε μια συνάρτηση .

Η ευθεία γραμμή x \u003d -2 είναι η κάθετη ασυμπτωματική καμπύλη.

Βρείτε πλάγια ασυμπτώματα.

Έτσι, η ευθεία γραμμή y \u003d x - 4 είναι ένα πλάγιο ασυμπτωματικό.

Διάγραμμα μελέτης λειτουργίας

Η ερευνητική διαδικασία λειτουργίας αποτελείται από διάφορα στάδια. Για την πληρέστερη εικόνα της συμπεριφοράς μιας συνάρτησης και της φύσης του γραφήματος, πρέπει να βρείτε:

1) Η περιοχή ύπαρξης της συνάρτησης.

Αυτή η έννοια περιλαμβάνει τόσο το εύρος όσο και το εύρος της συνάρτησης.

2) Σημεία διακοπής. (Εάν υπάρχει).

3) Διαστήματα αύξησης και μείωσης.

4) Σημεία μέγιστου και ελάχιστου.

5) Η μέγιστη και ελάχιστη τιμή της συνάρτησης στον τομέα ορισμού της.

6) Περιοχές κυρτότητας και κοιλότητας.

7) Σημεία καμπής (εάν υπάρχουν).

8) Ασύμπτωτα (εάν υπάρχουν).

9) Δημιουργία γραφήματος.

Ας εξετάσουμε την εφαρμογή αυτού του σχήματος χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα. Εξετάστε τη συνάρτηση και σχεδιάστε την.

Βρείτε τον τομέα ύπαρξης της συνάρτησης. Είναι προφανές ότι πεδίο εφαρμογής συνάρτηση είναι ο τομέας (- ¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).

Με τη σειρά του, μπορεί να φανεί ότι οι γραμμές x \u003d 1, x \u003d -1 είναι κάθετα ασυμπτώματα ανέντιμος.

Εύρος τιμώναυτή η συνάρτηση είναι το διάστημα (- ¥; ¥).

Ορια ΑΝΤΟΧΗΣ οι συναρτήσεις είναι σημεία x \u003d 1, x \u003d -1.

Εύρημα κρίσιμα σημεία.

Βρείτε το παράγωγο της συνάρτησης

Κρίσιμα σημεία: x \u003d 0; x \u003d -; x \u003d; x \u003d -1; x \u003d 1.

Βρείτε το δεύτερο παράγωγο της συνάρτησης

Ορίστε την κυρτότητα και την κοιλότητα της καμπύλης στα διαστήματα.

-¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая

- < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < 0, y¢¢ > 0, κοίλη καμπύλη

0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < , y¢¢ > 0, κοίλη καμπύλη

< x < ¥, y¢¢ > 0, κοίλη καμπύλη

Εύρεση κενών αυξάνεταικαι μειώνεται λειτουργίες. Για να γίνει αυτό, προσδιορίζουμε τα σημάδια του παραγώγου της συνάρτησης στα διαστήματα.

-¥ < x < - , y¢ > 0, η λειτουργία αυξάνεται

- < x < -1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < , y¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, y¢¢ > 0, η λειτουργία αυξάνεται

Μπορεί να φανεί ότι το σημείο x \u003d - είναι ένα σημείο το μέγιστο, και το σημείο x \u003d είναι ένα σημείο ελάχιστο... Οι τιμές συνάρτησης σε αυτά τα σημεία είναι -3 / 2 και 3/2, αντίστοιχα.

Σχετικά με την κάθετη ασυμπτωτες έχει ήδη ειπωθεί παραπάνω. Τώρα θα βρούμε λοξά ασυμπτώματα.

Συνολικά, η λοξή ασυμπτωτική εξίσωση είναι y \u003d x.

Ας χτίσουμε πρόγραμμα λειτουργίες:

Λειτουργίες διαφόρων μεταβλητών

Όταν εξετάζουμε συναρτήσεις πολλών μεταβλητών, περιοριζόμαστε σε μια λεπτομερή περιγραφή των συναρτήσεων δύο μεταβλητών, αφού όλα τα αποτελέσματα που λαμβάνονται θα ισχύουν για συναρτήσεις ενός αυθαίρετου αριθμού μεταβλητών.

Ορισμός: Εάν κάθε ζεύγος ανεξάρτητων αριθμών (x, y) από ένα σύνολο σύμφωνα με κάποιον κανόνα σχετίζεται με μία ή περισσότερες τιμές της μεταβλητής z, τότε η μεταβλητή z ονομάζεται συνάρτηση δύο μεταβλητών.

Ορισμός: Εάν ένα ζεύγος αριθμών (x, y) αντιστοιχεί σε μία τιμή z, τότε καλείται η συνάρτηση ξεκάθαροςκαι εάν περισσότερα από ένα, τότε - ασαφής.

Ορισμός: Το πεδίο εφαρμογής του Η συνάρτηση z ονομάζεται συλλογή ζευγών (x, y) για τα οποία υπάρχει η συνάρτηση z.

Ορισμός: ΚοντάМ 0 (x 0, y 0) της ακτίνας r ονομάζεται σύνολο όλων των σημείων (x, y) που ικανοποιούν την κατάσταση .

Ορισμός: Ο αριθμός Α καλείται όριο η συνάρτηση f (x, y) καθώς το σημείο M (x, y) τείνει στο σημείο M 0 (x 0, y 0), εάν για κάθε αριθμό e\u003e 0 υπάρχει ένας αριθμός r\u003e 0 έτσι ώστε για οποιοδήποτε σημείο M (x, y) για την οποία ο όρος

η κατάσταση ισχύει επίσης .

Καταγράφουν:

Ορισμός: Αφήστε το σημείο М 0 (x 0, y 0) να ανήκει στον τομέα ορισμού της συνάρτησης f (x, y). Στη συνέχεια καλείται η συνάρτηση z \u003d f (x, y) συνεχής στο σημείο М 0 (x 0, y 0), εάν

(1)

Επιπλέον, το σημείο M (x, y) τείνει στο σημείο M 0 (x 0, y 0) με αυθαίρετο τρόπο.

Εάν η συνθήκη (1) δεν ικανοποιείται σε κανένα σημείο, τότε αυτό το σημείο καλείται σημείο διακοπήςσυνάρτηση f (x, y). Αυτό μπορεί να είναι στις ακόλουθες περιπτώσεις:

1) Η συνάρτηση z \u003d f (x, y) δεν ορίζεται στο σημείο M 0 (x 0, y 0).

2) Δεν υπάρχει όριο.

3) Αυτό το όριο υπάρχει, αλλά δεν είναι ίσο με f (x 0, y 0).

Ιδιοκτησία. Εάν η συνάρτηση f (x, y, ...) ορίζεται και συνεχίζεται σε κλειστό και

οριοθετημένο τομέα D, τότε αυτός ο τομέας περιέχει τουλάχιστον ένα σημείο

N (x 0, y 0, ...), έτσι ώστε τα υπόλοιπα σημεία να ικανοποιούν την ανισότητα

f (x 0, y 0, ...) ³ f (x, y, ...)

και επίσης σημείο N 1 (x 01, y 01, ...) έτσι ώστε για όλα τα άλλα σημεία η ανισότητα

f (x 01, y 01, ...) £ f (x, y, ...)

τότε f (x 0, y 0, ...) \u003d M - μεγαλύτερη αξία συναρτήσεις και f (x 01, y 01, ...) \u003d m - μικρότερη τιμήσυνάρτηση f (x, y, ...) στον τομέα D.

Μια συνεχής συνάρτηση σε μια κλειστή και οριοθετημένη περιοχή D φτάνει τουλάχιστον μία φορά τη μεγαλύτερη τιμή και μία τη μικρότερη.

Ιδιοκτησία. Εάν μια συνάρτηση f (x, y, ...) ορίζεται και είναι συνεχής σε έναν κλειστό οριοθετημένο τομέα D, και τα M και m είναι, αντίστοιχα, οι μεγαλύτερες και μικρότερες τιμές της συνάρτησης σε αυτόν τον τομέα, τότε για οποιοδήποτε σημείο m Î υπάρχει ένα σημείο

N 0 (x 0, y 0,…) έτσι ώστε f (x 0, y 0,…) \u003d m.

Με απλά λόγια, μια συνεχής συνάρτηση λαμβάνει στον τομέα D όλες τις ενδιάμεσες τιμές μεταξύ M και m. Μια συνέπεια αυτής της ιδιότητας μπορεί να είναι το συμπέρασμα ότι εάν οι αριθμοί M και m είναι αντίθετων σημείων, τότε στον τομέα D η συνάρτηση εξαφανίζεται τουλάχιστον μία φορά.

Ιδιοκτησία. Η συνάρτηση f (x, y, ...), συνεχής σε κλειστό οριοθετημένο τομέα D, περιορισμένος σε αυτήν την περιοχή, εάν υπάρχει ένας αριθμός K έτσι ώστε σε όλα τα σημεία της περιοχής η ανισότητα .

Ιδιοκτησία. Εάν η συνάρτηση f (x, y, ...) ορίζεται και είναι συνεχής σε κλειστό οριοθετημένο τομέα D, τότε αυτή ομοιόμορφα συνεχής σε αυτήν την περιοχή, δηλαδή για οποιοδήποτε θετικό αριθμό e υπάρχει ένας αριθμός D\u003e 0 έτσι ώστε για οποιαδήποτε δύο σημεία (x 1, y 1) και (x 2, y 2) της περιοχής που βρίσκεται σε απόσταση μικρότερη από D, η ανισότητα

Οι παραπάνω ιδιότητες είναι παρόμοιες με τις ιδιότητες των συναρτήσεων μιας μεταβλητής που είναι συνεχείς σε ένα τμήμα. Δείτε Ιδιότητες συναρτήσεων που είναι συνεχείς σε ένα τμήμα.

Παράγωγα και διαφορές συναρτήσεων

πολλαπλές μεταβλητές.

Ορισμός. Αφήστε τη συνάρτηση z \u003d f (x, y) να δοθεί σε κάποιον τομέα. Πάρτε ένα αυθαίρετο σημείο M (x, y) και ρυθμίστε την αύξηση Dx στη μεταβλητή x. Στη συνέχεια καλείται η ποσότητα D x z \u003d f (x + Dx, y) - f (x, y) τη μερική αύξηση της συνάρτησης σε x.

Μπορείς να γράψεις

Τότε κάλεσε μερικό παράγωγοσυνάρτηση z \u003d f (x, y) σε x.

Ονομασία:

Το μερικό παράγωγο της συνάρτησης σε σχέση με το y ορίζεται παρόμοια.

Γεωμετρική έννοιατο μερικό παράγωγο (για παράδειγμα) είναι η εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της εφαπτομένης που σχεδιάζεται στο σημείο N 0 (x 0, y 0, z 0) στο τμήμα της επιφάνειας από το επίπεδο y \u003d y 0.

Πλήρης αύξηση και πλήρης διαφορά.

εφαπτομενικό επίπεδο

Αφήστε τα N και N 0 να είναι σημεία της δεδομένης επιφάνειας. Ας σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή NN 0. Το επίπεδο που διέρχεται από το σημείο Ν 0 καλείται εφαπτομενικό επίπεδο στην επιφάνεια εάν η γωνία μεταξύ του αποσπασμένου NN 0 και αυτού του επιπέδου τείνει στο μηδέν, όταν η απόσταση NN 0 τείνει στο μηδέν.

Ορισμός. Κανονικόςστην επιφάνεια στο σημείο Ν 0 καλείται ευθεία γραμμή που διέρχεται από το σημείο Ν 0 κάθετα προς το εφαπτόμενο επίπεδο προς αυτήν την επιφάνεια.

Σε οποιοδήποτε σημείο η επιφάνεια έχει μόνο ένα εφαπτόμενο επίπεδο, ή δεν το έχει καθόλου.

Εάν η επιφάνεια δίνεται από την εξίσωση z \u003d f (x, y), όπου f (x, y) είναι συνάρτηση που μπορεί να διαφοροποιηθεί στο σημείο М 0 (х 0, у 0), το εφαπτόμενο επίπεδο στο σημείο N 0 (x 0, y 0, ( x 0, y 0)) υπάρχει και έχει την εξίσωση:

Η εξίσωση του κανονικού προς την επιφάνεια σε αυτό το σημείο είναι:

Γεωμετρική έννοια η συνολική διαφορά μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών f (x, y) στο σημείο (x 0, y 0) είναι η αύξηση της εφαρμογής (συντεταγμένη z) του εφαπτομένου επιπέδου στην επιφάνεια όταν περνά από το σημείο (x 0, y 0) στο σημείο (x 0 + Dx, y 0 + Dy).

Όπως μπορείτε να δείτε, η γεωμετρική έννοια της συνολικής διαφοράς μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών είναι ένα χωρικό ανάλογο της γεωμετρικής σημασίας της διαφοράς μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής.

Παράδειγμα. Βρείτε τις εξισώσεις του εφαπτόμενου επιπέδου και της κανονικής στην επιφάνεια

στο σημείο M (1, 1, 1).

Εξίσωση εφαπτομένου επιπέδου:

Κανονική εξίσωση:

Κατά προσέγγιση υπολογισμοί χρησιμοποιώντας τη συνολική διαφορά.

Η συνολική διαφορά της συνάρτησης u είναι:

Η ακριβής τιμή αυτής της έκφρασης είναι 1.049275225687319176.

Μερικά παράγωγα υψηλότερης τάξης.

Εάν η συνάρτηση f (x, y) ορίζεται σε κάποιον τομέα D, τότε τα μερική παράγωγά της θα καθοριστούν επίσης στον ίδιο τομέα ή τμήμα αυτού.

Θα ονομάσουμε αυτά τα παράγωγα μερικά παράγωγα της πρώτης τάξης.

Τα παράγωγα αυτών των συναρτήσεων θα είναι μερικά παράγωγα της δεύτερης τάξης.

Συνεχίζοντας να διαφοροποιούμε τις λαμβανόμενες ισοτιμίες, λαμβάνουμε τα μερικά παράγωγα υψηλότερων εντολών.

Το ακραίο σημείο μιας συνάρτησης είναι το σημείο στον τομέα μιας συνάρτησης στο οποίο η τιμή της συνάρτησης παίρνει την ελάχιστη ή τη μέγιστη τιμή της. Οι τιμές της συνάρτησης σε αυτά τα σημεία ονομάζονται έξτρα (ελάχιστο και μέγιστο) της συνάρτησης.

Ορισμός... Τελεία Χ1 τομέας συνάρτησης φά(Χ) λέγεται μέγιστο σημείο της συνάρτησης , εάν η τιμή της συνάρτησης σε αυτό το σημείο είναι μεγαλύτερη από τις τιμές της συνάρτησης σε αρκετά κοντά σημεία της, που βρίσκεται δεξιά και αριστερά (δηλαδή, η ανισότητα φά(Χ0 ) > φά(Χ0 + Δ Χ) Χ1 το μέγιστο.

Ορισμός... Τελεία Χ2 τομέας συνάρτησης φά(Χ) λέγεται το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης, εάν η τιμή της συνάρτησης σε αυτό το σημείο είναι μικρότερη από τις τιμές της συνάρτησης σε αρκετά κοντά σημεία της, που βρίσκεται δεξιά και αριστερά της (δηλαδή, η ανισότητα φά(Χ0 ) < φά(Χ0 + Δ Χ) ). Σε αυτήν την περίπτωση, η συνάρτηση λέγεται ότι έχει το σημείο Χ2 ελάχιστο.

Ας πούμε το σημείο Χ1 είναι το μέγιστο σημείο της συνάρτησης φά(Χ). Στη συνέχεια, στο διάστημα έως Χ1 η λειτουργία αυξάνεται , έτσι το παράγωγο της συνάρτησης είναι μεγαλύτερο από το μηδέν ( φά "(Χ)\u003e 0) και στο διάστημα μετά Χ1 η συνάρτηση μειώνεται, επομένως, και παράγωγο μιας συνάρτησης λιγότερο από μηδέν ( φά "(Χ) < 0 ). Тогда в точке Χ1

Ας υποθέσουμε επίσης ότι το θέμα Χ2 είναι το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης φά(Χ). Στη συνέχεια, στο διάστημα έως Χ2 η συνάρτηση μειώνεται και το παράγωγο της συνάρτησης είναι μικρότερο από το μηδέν ( φά "(Χ) < 0 ), а в интервале после Χ2 η συνάρτηση αυξάνεται και το παράγωγο της συνάρτησης είναι μεγαλύτερο από το μηδέν ( φά "(Χ)\u003e 0). Σε αυτήν την περίπτωση, επίσης και στο σημείο Χ2 το παράγωγο της συνάρτησης είναι μηδέν ή δεν υπάρχει.

Το θεώρημα του Fermat (απαραίτητο κριτήριο για την ύπαρξη ενός άκρου μιας συνάρτησης)... Εάν το σημείο Χ0 - ακραίο σημείο της συνάρτησης φά(Χ), τότε σε αυτό το σημείο το παράγωγο της συνάρτησης είναι μηδέν ( φά "(Χ) \u003d 0) ή δεν υπάρχει.

Ορισμός... Καλούνται τα σημεία στα οποία το παράγωγο μιας συνάρτησης είναι μηδέν ή δεν υπάρχει κρίσιμα σημεία .

Παράδειγμα 1. Ας εξετάσουμε μια συνάρτηση.

Στο σημείο Χ \u003d 0, το παράγωγο της συνάρτησης είναι μηδέν, επομένως, το σημείο Χ \u003d 0 είναι το κρίσιμο σημείο. Ωστόσο, όπως φαίνεται στο γράφημα της συνάρτησης, αυξάνεται σε ολόκληρο τον τομέα, επομένως Χ \u003d 0 δεν είναι το ακραίο σημείο αυτής της συνάρτησης.

Έτσι, οι συνθήκες που το παράγωγο μιας συνάρτησης είναι ίσο με το μηδέν ή δεν υπάρχει είναι απαραίτητες συνθήκες για ένα άκρο, αλλά δεν επαρκούν, καθώς μπορούν να δοθούν και άλλα παραδείγματα συναρτήσεων για τις οποίες πληρούνται αυτές οι συνθήκες, αλλά η συνάρτηση δεν έχει άκρο στο αντίστοιχο σημείο. επομένως πρέπει να έχετε αρκετά σημάδια, επιτρέποντας να κρίνουμε εάν υπάρχει ένα άκρο σε ένα συγκεκριμένο κρίσιμο σημείο και ποιο είναι το μέγιστο ή το ελάχιστο.

Θεώρημα (το πρώτο επαρκές κριτήριο για την ύπαρξη ενός άκρου μιας συνάρτησης). Κρίσιμο σημείο Χ0 φά(Χ), εάν το παράγωγο της συνάρτησης αλλάζει σήμα όταν διέρχεται από αυτό το σημείο και εάν το σύμβολο αλλάξει από "συν" σε "μείον", τότε το μέγιστο σημείο και εάν από "μείον" σε "συν", τότε το ελάχιστο σημείο.

Αν πλησιάζει το σημείο Χ0 , στα αριστερά και στα δεξιά του, το παράγωγο διατηρεί το σύμβολο, τότε αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση είτε μειώνεται είτε αυξάνεται μόνο σε κάποια γειτονιά του σημείου Χ0 ... Σε αυτήν την περίπτωση, στο σημείο Χ0 δεν υπάρχει ακραίο.

Ετσι, Για να προσδιορίσετε τα ακραία σημεία της συνάρτησης, πρέπει να κάνετε τα εξής :

Βρείτε το παράγωγο της συνάρτησης.
Ορίστε το παράγωγο στο μηδέν και προσδιορίστε τα κρίσιμα σημεία.
Σημειώστε τα κρίσιμα σημεία στον αριθμητικό άξονα διανοητικά ή σε χαρτί και προσδιορίστε τα σημάδια του παραγώγου της συνάρτησης στα διαστήματα που λαμβάνονται. Εάν το σύμβολο του παραγώγου αλλάξει από "συν" σε "μείον", τότε το κρίσιμο σημείο είναι το μέγιστο σημείο και εάν από "μείον" σε "συν", τότε το ελάχιστο σημείο.
Υπολογίστε την τιμή της συνάρτησης στα ακραία σημεία.

Παράδειγμα 2. Βρείτε extrema μιας συνάρτησης .

Απόφαση. Ας βρούμε το παράγωγο της συνάρτησης:

Ας θέσουμε το παράγωγο στο μηδέν για να βρούμε τα κρίσιμα σημεία:

Δεδομένου ότι για οποιεσδήποτε τιμές του "x" ο παρονομαστής δεν είναι μηδέν, εξισώνουμε τον αριθμητή με μηδέν:

Έχω ένα σημείο ανατροπής Χ \u003d 3. Ας προσδιορίσουμε το σύμβολο του παραγώγου στα διαστήματα που ορίζονται από αυτό το σημείο:

στην περιοχή από μείον άπειρο έως 3 - το σύμβολο μείον, δηλαδή, η συνάρτηση μειώνεται,

στην περιοχή από 3 έως συν άπειρο - το σύμβολο συν, δηλαδή, η λειτουργία αυξάνεται.

Δηλαδή, σημείο Χ \u003d 3 είναι το ελάχιστο σημείο.

Ας βρούμε την τιμή της συνάρτησης στο ελάχιστο σημείο:

Έτσι, βρίσκεται το ακραίο σημείο της συνάρτησης: (3; 0) και είναι το ελάχιστο σημείο.

Θεώρημα (το δεύτερο επαρκές κριτήριο για την ύπαρξη ενός άκρου μιας συνάρτησης). Κρίσιμο σημείο Χ0 είναι το ακραίο σημείο της συνάρτησης φά(Χ) εάν το δεύτερο παράγωγο της συνάρτησης σε αυτό το σημείο δεν είναι μηδέν ( φά ""(Χ) ≠ 0) και εάν το δεύτερο παράγωγο είναι μεγαλύτερο από μηδέν ( φά ""(Χ)\u003e 0), τότε το μέγιστο σημείο και εάν το δεύτερο παράγωγο είναι μικρότερο από το μηδέν ( φά ""(Χ) < 0 ), то точкой минимума.

Παρατήρηση 1. Εάν στο σημείο Χ0 Τόσο το πρώτο όσο και το δεύτερο παράγωγο εξαφανίζονται, και σε αυτό το σημείο είναι αδύνατο να κριθεί η παρουσία ενός άκρου βάσει του δεύτερου επαρκούς κριτηρίου. Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον πρώτο επαρκή δείκτη του άκρου της συνάρτησης.

Παρατήρηση 2. Το δεύτερο επαρκές κριτήριο για το άκρο μιας συνάρτησης δεν εφαρμόζεται επίσης εάν το πρώτο παράγωγο δεν υπάρχει στο στάσιμο σημείο (τότε το δεύτερο παράγωγο δεν υπάρχει ούτε). Σε αυτήν την περίπτωση, είναι επίσης απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε τον πρώτο επαρκή δείκτη του άκρου της λειτουργίας.

Ο τοπικός χαρακτήρας του extrema της συνάρτησης

Από τους παραπάνω ορισμούς προκύπτει ότι το άκρο μιας συνάρτησης είναι τοπικής φύσης - αυτή είναι η μεγαλύτερη και μικρότερη τιμή της συνάρτησης σε σύγκριση με τις πλησιέστερες τιμές.

Ας υποθέσουμε ότι εξετάζετε τα κέρδη σας σε διάστημα ενός έτους. Εάν κερδίσατε 45.000 ρούβλια τον Μάιο και 42.000 ρούβλια τον Απρίλιο και 39.000 ρούβλια τον Ιούνιο, τότε τα κέρδη Μαΐου είναι το μέγιστο της συνάρτησης κερδών σε σύγκριση με τις πλησιέστερες τιμές. Όμως τον Οκτώβριο κερδίσατε 71.000 ρούβλια, τον Σεπτέμβριο 75.000 ρούβλια και τον Νοέμβριο 74.000 ρούβλια, οπότε τα κέρδη του Οκτωβρίου είναι το ελάχιστο της λειτουργίας κερδών σε σύγκριση με τις κοντινές αξίες. Και μπορείτε εύκολα να δείτε ότι το μέγιστο μεταξύ των τιμών Απριλίου-Μαΐου-Ιουνίου είναι μικρότερο από το ελάχιστο Σεπτέμβριο-Οκτώβριο-Νοέμβριο.

Σε γενικές γραμμές, μια συνάρτηση μπορεί να έχει πολλά extrema σε ένα διάστημα και μπορεί να αποδειχθεί ότι οποιοδήποτε ελάχιστο της συνάρτησης είναι μεγαλύτερο από οποιοδήποτε μέγιστο. Έτσι, για τη συνάρτηση που φαίνεται στο παραπάνω σχήμα ,.

Δηλαδή, δεν πρέπει να πιστεύουμε ότι το μέγιστο και το ελάχιστο μιας συνάρτησης είναι, αντίστοιχα, οι μεγαλύτερες και μικρότερες τιμές σε ολόκληρο το θεωρούμενο διάστημα. Στο μέγιστο σημείο, η συνάρτηση έχει τη μεγαλύτερη τιμή μόνο σε σύγκριση με τις τιμές που έχει σε όλα τα σημεία αρκετά κοντά στο μέγιστο σημείο και στο ελάχιστο σημείο - η μικρότερη τιμή μόνο σε σύγκριση με τις τιμές που έχει σε όλα τα σημεία αρκετά κοντά στο ελάχιστο σημείο.

Επομένως, είναι δυνατό να διευκρινιστεί η παραπάνω έννοια των ακραίων σημείων μιας συνάρτησης και να καλέσετε τα ελάχιστα σημεία ως τοπικά ελάχιστα σημεία και μέγιστα σημεία - τοπικά μέγιστα σημεία

Ψάχνετε για έξτρα μιας λειτουργίας μαζί

Παράδειγμα 3.

Λύση: Η λειτουργία είναι καθορισμένη και συνεχής σε ολόκληρη τη γραμμή αριθμών. Το παράγωγο του υπάρχει επίσης σε ολόκληρη τη γραμμή αριθμών. Επομένως, σε αυτήν την περίπτωση, τα κρίσιμα σημεία είναι μόνο εκείνα στα οποία, δηλ. , από όπου και. Κρίσιμα σημεία και διαιρέστε ολόκληρο το πεδίο της συνάρτησης σε τρία διαστήματα μονοτονικότητας :. Ας επιλέξουμε ένα σημείο ελέγχου σε καθένα από αυτά και να βρούμε το σημείο του παραγώγου σε αυτό το σημείο.

Για το διάστημα, το σημείο ελέγχου μπορεί να είναι: εύρεση. Λαμβάνοντας ένα σημείο στο διάστημα, παίρνουμε και παίρνουμε ένα σημείο στο διάστημα, έχουμε. Έτσι, στα διαστήματα και, και στο διάστημα. Σύμφωνα με το πρώτο επαρκές κριτήριο για ένα άκρο, δεν υπάρχει άκρο στο σημείο (δεδομένου ότι το παράγωγο διατηρεί το πρόσημό του στο διάστημα) και στο σημείο η συνάρτηση έχει ένα ελάχιστο (δεδομένου ότι το παράγωγο αλλάζει σημάδι από μείον σε συν κατά τη διέλευση από αυτό το σημείο). Ας βρούμε τις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης :, και. Στο διάστημα, η συνάρτηση μειώνεται, όπως σε αυτό το διάστημα, και στο διάστημα, αυξάνεται, όπως σε αυτό το διάστημα.

Για να διευκρινίσουμε την κατασκευή του γραφήματος, θα βρούμε τα σημεία της τομής του με τους άξονες συντεταγμένων. Για, λαμβάνουμε μια εξίσωση της οποίας οι ρίζες είναι και, δηλαδή, βρίσκονται δύο σημεία (0; 0) και (4; 0) του γραφήματος συνάρτησης. Χρησιμοποιώντας όλες τις πληροφορίες που αποκτήθηκαν, δημιουργούμε ένα γράφημα (δείτε στην αρχή του παραδείγματος).

Για αυτοέλεγχο κατά τη διάρκεια υπολογισμών, μπορείτε να το χρησιμοποιήσετε υπολογιστής παραγώγων σε απευθείας σύνδεση .

Παράδειγμα 4.Βρείτε το άκρο της συνάρτησης και δημιουργήστε το γράφημα.

Ο τομέας της συνάρτησης είναι ολόκληρη η γραμμή αριθμών, εκτός από το σημείο, δηλαδή ...

Για να συντομεύσετε την έρευνα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το γεγονός ότι αυτή η λειτουργία είναι ομοιόμορφη, δεδομένου ότι ... Επομένως, το γράφημα του είναι συμμετρικό γύρω από τον άξονα Ω και η εξερεύνηση μπορεί να πραγματοποιηθεί μόνο για ένα διάστημα.

Βρείτε το παράγωγο και τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης:

1) ;

2) ,

αλλά η λειτουργία διακόπτεται σε αυτό το σημείο, οπότε δεν μπορεί να είναι ακραίο σημείο.

Έτσι, η δεδομένη συνάρτηση έχει δύο κρίσιμα σημεία: και. Λαμβάνοντας υπόψη την ισοτιμία της συνάρτησης, ας ελέγξουμε μόνο το σημείο με το δεύτερο επαρκές κριτήριο του άκρου. Γι 'αυτό, βρίσκουμε το δεύτερο παράγωγο και να ορίσουμε το πρόγραμμά του στο: παίρνουμε. Από και, τότε είναι το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης, ενώ .

Για να λάβετε μια πιο ολοκληρωμένη εικόνα του γραφήματος μιας συνάρτησης, ας μάθουμε τη συμπεριφορά της στα όρια του τομέα ορισμού:

(εδώ το σύμβολο δείχνει την επιθυμία Χ στο μηδέν στα δεξιά και Χ παραμένει θετικό? Ομοίως σημαίνει φιλοδοξία Χ στο μηδέν στα αριστερά και Χ παραμένει αρνητικό). Έτσι, εάν, τότε. Επιπλέον, βρίσκουμε

εκείνοι. αν τότε.

Το γράφημα συνάρτησης δεν έχει σημεία τομής με τους άξονες. Η εικόνα βρίσκεται στην αρχή του παραδείγματος.

Συνεχίζουμε να ψάχνουμε μαζί για το extrema της συνάρτησης

Παράδειγμα 8.Βρείτε το άκρο της συνάρτησης.

Απόφαση. Ας βρούμε τον τομέα της συνάρτησης. Δεδομένου ότι η ανισότητα πρέπει να ικανοποιηθεί, λαμβάνουμε από.

Ας βρούμε το πρώτο παράγωγο της συνάρτησης.

Η λειτουργία και η μελέτη των χαρακτηριστικών της καταλαμβάνει ένα από τα βασικά κεφάλαια στα σύγχρονα μαθηματικά. Το κύριο συστατικό οποιασδήποτε συνάρτησης είναι γραφήματα που απεικονίζουν όχι μόνο τις ιδιότητές της, αλλά και τις παραμέτρους του παραγώγου αυτής της συνάρτησης. Ας ρίξουμε μια ματιά σε αυτό το δύσκολο θέμα. Ποιος είναι λοιπόν ο καλύτερος τρόπος για να αναζητήσετε τα μέγιστα και ελάχιστα σημεία μιας συνάρτησης;

Λειτουργία: ορισμός

Κάθε μεταβλητή που εξαρτάται κάπως από τις τιμές μιας άλλης ποσότητας μπορεί να ονομαστεί συνάρτηση. Για παράδειγμα, η συνάρτηση f (x 2) είναι τετραγωνική και καθορίζει τιμές για ολόκληρο το σύνολο x. Ας πούμε ότι x \u003d 9, τότε η τιμή της συνάρτησής μας θα είναι 9 2 \u003d 81.

Οι συναρτήσεις διατίθενται σε μια μεγάλη ποικιλία μορφών: λογικές, διανυσματικές, λογαριθμικές, τριγωνομετρικές, αριθμητικές και άλλες. Τέτοια εξαιρετικά μυαλά όπως οι Lacroix, Lagrange, Leibniz και Bernoulli ασχολήθηκαν με τη μελέτη τους. Τα γραπτά τους χρησιμεύουν ως προπύργιο με τους σύγχρονους τρόπους μελέτης των λειτουργιών. Πριν βρείτε τα ελάχιστα σημεία, είναι πολύ σημαντικό να κατανοήσετε την ίδια τη σημασία της συνάρτησης και του παραγώγου της.

Παράγωγο και ο ρόλος του

Όλες οι συναρτήσεις εξαρτώνται από τις μεταβλητές τιμές τους, πράγμα που σημαίνει ότι μπορούν να αλλάξουν την τιμή τους ανά πάσα στιγμή. Στο γράφημα, αυτό θα απεικονίζεται ως καμπύλη που είτε κατεβαίνει είτε αυξάνεται κατά μήκος της τεταγμένης (αυτό είναι το σύνολο των αριθμών "y" κατά μήκος της κατακόρυφης του γραφήματος). Έτσι ο ορισμός του σημείου του μέγιστου και του ελάχιστου της συνάρτησης συνδέεται απλώς με αυτές τις "διακυμάνσεις". Ας εξηγήσουμε ποια είναι αυτή η σχέση.

Το παράγωγο οποιασδήποτε συνάρτησης απεικονίζεται στο γράφημα για να μελετήσει τα κύρια χαρακτηριστικά του και να υπολογίσει πόσο γρήγορα αλλάζει η συνάρτηση (δηλαδή, αλλάζει την τιμή της ανάλογα με τη μεταβλητή "x"). Τη στιγμή που η συνάρτηση αυξάνεται, το γράφημα του παραγώγου του θα αυξηθεί επίσης, αλλά σε οποιοδήποτε δευτερόλεπτο η συνάρτηση μπορεί να αρχίσει να μειώνεται και στη συνέχεια το γράφημα του παραγώγου θα μειωθεί. Τα σημεία στα οποία το παράγωγο πηγαίνει από το σύμβολο μείον στο συν ονομάζονται ελάχιστα σημεία. Για να μάθετε πώς να βρείτε τα ελάχιστα σημεία, θα πρέπει να κατανοήσετε καλύτερα

Πώς μπορώ να υπολογίσω το παράγωγο;

Ο ορισμός και η συνάρτηση υπονοούν πολλές έννοιες από Γενικά, ο ίδιος ο ορισμός του παραγώγου μπορεί να εκφραστεί ως εξής: είναι η τιμή που δείχνει το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης.

Για πολλούς μαθητές, ο μαθηματικός τρόπος ορισμού του φαίνεται περίπλοκος, αλλά στην πραγματικότητα, όλα είναι πολύ πιο απλά. Απλώς πρέπει να ακολουθήσετε το τυπικό σχέδιο για την εύρεση του παραγώγου οποιασδήποτε συνάρτησης. Παρακάτω περιγράφεται πώς μπορείτε να βρείτε το ελάχιστο σημείο μιας συνάρτησης χωρίς να εφαρμόσετε τους κανόνες διαφοροποίησης και χωρίς να απομνημονεύσετε τον πίνακα παραγώγων.

Μπορείτε να υπολογίσετε το παράγωγο μιας συνάρτησης χρησιμοποιώντας ένα γράφημα. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να απεικονίσετε την ίδια τη συνάρτηση και, στη συνέχεια, να πάρετε ένα σημείο πάνω της (σημείο Α στο σχήμα). Σχεδιάστε μια γραμμή κάθετα προς τα κάτω προς τον άξονα της τετμημένης (σημείο x 0) και στο σημείο Α σχεδιάστε μια εφαπτομένη στο γράφημα λειτουργίας. Ο άξονας της τετμημένης και η εφαπτόμενη γραμμή σχηματίζουν μια συγκεκριμένη γωνία α. Για να υπολογίσετε την τιμή του πόσο γρήγορα αυξάνεται η συνάρτηση, είναι απαραίτητο να υπολογίσετε την εφαπτομένη αυτής της γωνίας a.
Αποδεικνύεται ότι η εφαπτομένη της γωνίας μεταξύ της εφαπτομένης και της κατεύθυνσης του άξονα Χ είναι το παράγωγο της συνάρτησης σε ένα μικρό τμήμα με το σημείο Α. Αυτή η μέθοδος θεωρείται ένας γεωμετρικός τρόπος προσδιορισμού του παραγώγου.

Μέθοδοι έρευνας λειτουργίας

Στο σχολικό πρόγραμμα μαθηματικών, είναι δυνατό να βρείτε το ελάχιστο σημείο μιας συνάρτησης με δύο τρόπους. Έχουμε ήδη αναλύσει την πρώτη μέθοδο χρησιμοποιώντας το γράφημα, αλλά πώς να προσδιορίσουμε την αριθμητική τιμή του παραγώγου; Για να το κάνετε αυτό, θα πρέπει να μάθετε διάφορους τύπους που περιγράφουν τις ιδιότητες του παραγώγου και βοηθούν στη μετατροπή μεταβλητών όπως "x" σε αριθμούς. Η ακόλουθη μέθοδος είναι καθολική, οπότε μπορεί να εφαρμοστεί σε σχεδόν όλα τα είδη συναρτήσεων (γεωμετρικά και λογαριθμικά).

Είναι απαραίτητο να εξισωθεί η συνάρτηση με τη συνάρτηση παραγώγου και, στη συνέχεια, να απλοποιηθεί η έκφραση χρησιμοποιώντας τους κανόνες διαφοροποίησης.
Σε ορισμένες περιπτώσεις, όταν δίνεται μια συνάρτηση στην οποία η μεταβλητή "x" βρίσκεται στον διαιρέτη, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί το εύρος των επιτρεπόμενων τιμών, εξαιρουμένου του σημείου "0" από αυτό (για τον απλό λόγο ότι στα μαθηματικά σε καμία περίπτωση δεν μπορείτε να διαιρέσετε με μηδέν).
Μετά από αυτό, θα πρέπει να μετατρέψετε την αρχική μορφή της συνάρτησης σε μια απλή εξίσωση, εξισώνοντας ολόκληρη την έκφραση στο μηδέν. Για παράδειγμα, εάν η συνάρτηση μοιάζει με αυτήν: f (x) \u003d 2x 3 + 38x, τότε σύμφωνα με τους κανόνες διαφοροποίησης, το παράγωγο της είναι f "(x) \u003d 3x 2 + 1. Στη συνέχεια, μετατρέπουμε αυτήν την έκφραση σε μια εξίσωση της ακόλουθης μορφής: 3x 2 +1 \u003d 0 ...
Αφού λύσετε την εξίσωση και βρείτε τα σημεία "x", θα πρέπει να τα σχεδιάσετε στον άξονα της τετμημένης και να προσδιορίσετε εάν το παράγωγο σε αυτές τις περιοχές μεταξύ των σημείων είναι θετικό ή αρνητικό. Μετά τον προσδιορισμό, θα καταστεί σαφές σε ποιο σημείο αρχίζει να μειώνεται η συνάρτηση, δηλαδή αλλάζει το πρόγραμμά της από μείον σε αντίθετο. Με αυτόν τον τρόπο, μπορείτε να βρείτε τόσο τα ελάχιστα όσο και τα μέγιστα σημεία.

Κανόνες διαφοροποίησης

Το πιο βασικό συστατικό στη μελέτη μιας συνάρτησης και του παραγώγου της είναι η γνώση των κανόνων διαφοροποίησης. Μόνο με τη βοήθειά τους είναι δυνατό να μετατραπούν ογκώδεις εκφράσεις και μεγάλες σύνθετες λειτουργίες. Ας μάθουμε μαζί τους, υπάρχουν αρκετοί από αυτούς, αλλά είναι πολύ απλοί λόγω των φυσικών ιδιοτήτων τόσο της ισχύος όσο και των λογαριθμικών συναρτήσεων.

Το παράγωγο οποιασδήποτε σταθεράς είναι μηδέν (f (x) \u003d 0). Δηλαδή, το παράγωγο f (x) \u003d x 5 + x - 160 θα έχει αυτή τη μορφή: f "(x) \u003d 5x 4 +1.
Παράγωγο του αθροίσματος δύο όρων: (f + w) "\u003d f" w + fw ".
Παράγωγο μιας λογαριθμικής συνάρτησης: (log a d) "\u003d d / ln a * d. Αυτός ο τύπος ισχύει για όλα τα είδη λογαρίθμων.
Παράγωγος βαθμός: (x n) "\u003d n * x n-1. Για παράδειγμα, (9x 2)" \u003d 9 * 2x \u003d 18x.
Παράγωγο μιας ημιτονοειδούς συνάρτησης: (sin a) "\u003d cos a. Εάν η αμαρτία της γωνίας a είναι 0,5, τότε το παράγωγο της είναι √3 / 2.

Ακραία σημεία

Έχουμε ήδη βρει πώς να βρούμε τα ελάχιστα σημεία, αλλά υπάρχει επίσης μια έννοια των μέγιστων σημείων μιας συνάρτησης. Εάν το ελάχιστο δηλώνει τα σημεία στα οποία η συνάρτηση περνά από το σύμβολο μείον στο συν, τότε τα μέγιστα σημεία είναι εκείνα τα σημεία στον άξονα της τετμημένης κατά την οποία το παράγωγο της συνάρτησης αλλάζει από συν στο αντίθετο - μείον.

Μπορείτε να βρείτε με τη μέθοδο που περιγράφεται παραπάνω, απλώς λάβετε υπόψη ότι δηλώνουν εκείνες τις ενότητες όπου η συνάρτηση αρχίζει να μειώνεται, δηλαδή, το παράγωγο θα είναι μικρότερο από μηδέν.

Στα μαθηματικά, είναι συνηθισμένο να γενικεύουμε και τις δύο έννοιες, αντικαθιστώντας τις με τη φράση "σημεία άκρου" Όταν η εργασία ζητά να προσδιορίσει αυτά τα σημεία, σημαίνει ότι είναι απαραίτητο να υπολογίσετε το παράγωγο αυτής της συνάρτησης και να βρείτε τα ελάχιστα και μέγιστα σημεία.

Εξετάστε τη συνάρτηση y \u003d f (x), η οποία λαμβάνεται υπόψη στο διάστημα (a, b).

Εάν είναι δυνατόν να υποδείξετε μια γ-γειτονιά του σημείου x1 που ανήκει στο διάστημα (a, b) έτσι ώστε για όλα τα x (x1, b), η ανισότητα f (x1)\u003e f (x) διατηρείται, τότε καλείται y1 \u003d f1 (x1) μέγιστη λειτουργία y \u003d f (x) βλέπε εικ.

Το μέγιστο της συνάρτησης y \u003d f (x) δηλώνεται με το μέγιστο f (x). Εάν μπορείτε να καθορίσετε μια γ-γειτονιά του σημείου x2 που ανήκει στο διάστημα (a, b) έτσι ώστε για όλα τα x που ανήκουν στο O (x2, 6), το x δεν είναι ίσο με το x2, η ανισότητα f (x2)< f(x) , τότε y2 \u003d f (x2) καλείται το ελάχιστο της συνάρτησης y-f (x) (βλ. Εικ.).

Για παράδειγμα εύρεσης του μέγιστου, δείτε το παρακάτω βίντεο.

Ελάχιστη λειτουργία

Το ελάχιστο της συνάρτησης y \u003d f (x) δηλώνεται με το min f (x). Με άλλα λόγια, μέγιστη ή ελάχιστη λειτουργία y \u003d f (x) που ονομάζεταιτέτοια τιμή, η οποία είναι μεγαλύτερη (μικρότερη) από όλες τις άλλες τιμές που λαμβάνονται σε σημεία που είναι αρκετά κοντά στο δεδομένο και διαφέρουν από αυτό.

Παρατήρηση 1. Μέγιστη λειτουργίαορίζεται από την ανισότητα ονομάζεται αυστηρό μέγιστο ένα μη αυστηρό μέγιστο καθορίζεται από την ανισότητα f (x1)\u003e \u003d f (x2)

Παρατήρηση 2. είναι τοπικής φύσης (αυτές είναι οι μεγαλύτερες και μικρότερες τιμές της συνάρτησης σε μια αρκετά μικρή γειτονιά του αντίστοιχου σημείου). τα μεμονωμένα ελάχιστα ορισμένης λειτουργίας μπορεί να αποδειχθούν μεγαλύτερα από τα μέγιστα της ίδιας λειτουργίας

Κατά συνέπεια, καλείται το μέγιστο (ελάχιστο) της συνάρτησης τοπικό μέγιστο(τοπικό ελάχιστο) σε αντίθεση με το απόλυτο μέγιστο (ελάχιστο) - τη μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή στον τομέα της συνάρτησης.

Το μέγιστο και το ελάχιστο μιας συνάρτησης ονομάζονται άκρο ... Extrema in find για σχεδίαση συναρτήσεων

λατινικά ακραίο σημαίνει "ακραίο" αξία. Η τιμή του ορίσματος x στο οποίο επιτυγχάνεται το άκρο ονομάζεται ακραίο σημείο. Η απαραίτητη κατάσταση για ένα άκρο εκφράζεται από το ακόλουθο θεώρημα.

Θεώρημα... Στο ακραίο σημείο της διαφοροποιήσιμης συνάρτησης και του παραγώγου της είναι μηδέν.

Το θεώρημα έχει μια απλή γεωμετρική έννοια: η εφαπτομένη στο γράφημα της διαφοροποιήσιμης συνάρτησης στο αντίστοιχο σημείο είναι παράλληλη με τον άξονα Ox