Οι πληροφορίες αυτού του άρθρου αποτελούν τη γενική ιδέα του ολόκληροι αριθμοί. Πρώτον, ο ορισμός των ακεραίων δίδεται και δίδονται παραδείγματα. Στη συνέχεια, οι ακεραίοι θεωρούνται σε μια αριθμητική γραμμή, όπου γίνεται σαφές ποιοι αριθμοί ονομάζονται ακέραιος θετικοί αριθμοί και οι οποίοι είναι ακέραιοι αρνητικοί. Μετά από αυτό, παρουσιάζεται πώς με τη βοήθεια ακέραιων, περιγράφονται αλλαγές και όλοι οι αρνητικοί αριθμοί θεωρούνται με την έννοια του χρέους.
Πλοήγηση σελίδας.
Ατελείς - ορισμός και παραδείγματα
Ορισμός.
Ολόκληροι αριθμοί - αυτό είναι ακέραιοι αριθμοί, Αριθμός μηδέν, καθώς και τους αριθμούς απέναντι από φυσικούς.
Ο ορισμός των ακεραίων υποστηρίζει ότι οποιοσδήποτε από τους αριθμούς 1, 2, 3, ..., ο αριθμός 0, καθώς και οποιοσδήποτε από τους αριθμούς -1, -2, -3, ... είναι ολόκληρος. Τώρα μπορούμε εύκολα να φέρουμε Παραδείγματα ακεραίων. Για παράδειγμα, ο αριθμός 38 είναι ένας ακέραιος αριθμός, ο αριθμός 70 040 είναι επίσης ένας ακέραιος, μηδέν είναι ένας ακέραιος αριθμός (θυμάται ότι το μηδέν δεν είναι ένας φυσικός αριθμός, το μηδέν είναι ένας ακέραιος αριθμός), ο αριθμός -999, -1, -8 934 832 - Είναι επίσης παραδείγματα αριθμών ακέραιων αριθμών.
Όλοι οι ακέραιοι είναι κατάλληλα αντιπροσωπεύονται ως μια ακολουθία ακεραίων, η οποία έχει την ακόλουθη μορφή: 0, ± 1, ± 2, ± 3, ... η ακολουθία ακέραιων μπορεί να καταγραφεί και έτσι: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
Από τον ορισμό των ακεραίων ακολουθεί ότι το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι ένα υποσύνολο πολλών ακεραίων. Ως εκ τούτου, οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός είναι ακέραιος, αλλά όχι ο ακέραιος αριθμός είναι φυσικός.
Ακέραιοι ακέραιοι στην άμεση συντεταγμένη
Ορισμός.
Ολόκληροι θετικοί αριθμοί - Αυτοί είναι ακέραιοι που είναι μηδέν.
Ορισμός.
Ολόκληροι αρνητικοί αριθμοί - Αυτά είναι ακέραιοι που είναι λιγότερο από το μηδέν.
Οι θετικοί και αρνητικοί αριθμοί μπορούν επίσης να προσδιοριστούν από τη θέση τους σχετικά με την άμεση συντεταγμένη. Στον άμεσο σημείο του οριζόντιου συντεταγμένου, των οποίων οι συντεταγμένες είναι εντελώς θετικοί αριθμοί, βρίσκονται στο δικαίωμα αναφοράς. Με τη σειρά του, τα σημεία με όλες τις αρνητικές συντεταγμένες βρίσκονται στα αριστερά του σημείου Ο.
Είναι σαφές ότι το σύνολο όλων των ακεραίων θετικών αριθμών είναι ένα σύνολο φυσικών αριθμών. Με τη σειρά του, το σύνολο όλων των ολόκληρων αρνητικών αριθμών είναι το σύνολο όλων των αριθμών απέναντι από τους φυσικούς αριθμούς.
Ξεχωριστά, θα επιστήσουμε την προσοχή σας στο γεγονός ότι οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός μπορούμε με τόλμη να ονομαστούμε το σύνολο και οποιοσδήποτε ακίνητος μπορούμε να καλέσουμε φυσικά. Φυσικά μπορούμε να ονομάσουμε μόνο οποιονδήποτε θετικό αριθμό ακέραιου, καθώς όλοι οι αρνητικοί αριθμοί και το μηδέν δεν είναι φυσικοί.
Ενδιαφέρον και ολόκληρους μη αρνητικούς αριθμούς
Ας δώσουμε τον ορισμό των ακέραιων αδιάσπαστων αριθμών και ακέραιων μη αρνητικών αριθμών.
Ορισμός.
Όλοι οι θετικοί αριθμοί μαζί με τον αριθμό μηδέν που ονομάζεται Ολόκληροι μη αρνητικοί αριθμοί.
Ορισμός.
Ενδιαφέροντες αριθμοί - Αυτά είναι όλοι οι αρνητικοί αριθμοί μαζί με έναν αριθμό 0.
Με άλλα λόγια, ένας μη αρνητικός αριθμός είναι ένας ακέραιος αριθμός μεγαλύτερο από το μηδέν, είτε ίσο με το μηδέν και ένας ακέραιος αριθμός αδιαφορίας είναι ένας ακέραιος αριθμός μικρότερος από μηδέν ή ίση με μηδέν.
Παραδείγματα ακέραιων μη ποσότητες είναι οι αριθμοί -511, -10 030, 0, -2, και ως παραδείγματα ακέραιων μη αρνητικών αριθμών, δίνουμε αριθμούς 45, 506, 0, 900 321.
Τις περισσότερες φορές, οι όροι "ολόκληροι κάτοικοι" και "ολόκληροι μη αρνητικοί αριθμοί" χρησιμοποιούνται για δυσκολία παρουσίασης. Για παράδειγμα, αντί της φράσης "Αριθμός Α είναι ένα σύνολο και ένα μηδέν ή ίσο με το μηδέν", μπορεί κανείς να πει "ένα - έναν μη αρνητικό αριθμό".
Περιγραφή των αλλαγών στις τιμές χρησιμοποιώντας ακέραιους αριθμούς
Ήρθε η ώρα να μιλήσουμε για το τι χρειάζονται όλοι οι αριθμοί.
Ο κύριος σκοπός των ακεραίων είναι ότι με τη βοήθειά τους είναι βολικό να περιγράψουμε την αλλαγή στον αριθμό των στοιχείων. Πείτε μου στα παραδείγματα.
Αφήστε να υπάρχουν ορισμένες λεπτομέρειες στην αποθήκη. Εάν η αποθήκη φέρεται επίσης στην αποθήκη, για παράδειγμα, 400 μέρη, ο αριθμός των εξαρτημάτων στην αποθήκη θα αυξηθεί και ο αριθμός 400 εκφράζει αυτή την αλλαγή στην ποσότητα σε μια θετική πλευρά (προς τα πάνω). Εάν λαμβάνεται από την αποθήκη, για παράδειγμα, 100 μέρη, τότε ο αριθμός των εξαρτημάτων στην αποθήκη θα μειωθεί και ο αριθμός 100 θα εκφράσει την αλλαγή στην ποσότητα στην αρνητική πλευρά (μέχρι τη μείωση). Δεν θα υπάρξουν λεπτομέρειες σχετικά με την αποθήκη και δεν θα λάβουν μέρος από την αποθήκη, τότε μπορούμε να μιλήσουμε για τον αριθμό των τμημάτων (δηλαδή, μπορεί να είναι περίπου μηδενική αλλαγή της ποσότητας).
Στα παραδείγματα που δίνονται, η αλλαγή στον αριθμό των εξαρτημάτων μπορεί να περιγραφεί χρησιμοποιώντας ακέραιους 400, -100 και 0, αντίστοιχα. Ένας θετικός ακέραιος 400 δείχνει μια αλλαγή στον αριθμό σε μια θετική πλευρά (αύξηση). Ένας αρνητικός ακέραιος -100 εκφράζει μια αλλαγή στην ποσότητα στην αρνητική πλευρά (μείωση). Ένας ακέραιος αριθμός 0 δείχνει ότι το ποσό παραμένει αμετάβλητο.
Ευκολία χρήσης ακεραίων σε σύγκριση με τη χρήση φυσικών αριθμών είναι ότι δεν είναι απαραίτητο να αναφερθεί ρητά ο αριθμός ή μειώσεις, - ένας ακέραιος προσδιορίζει την αλλαγή σε ποσοτικά και η τιμή ενός ακέραιου υποδηλώνει την κατεύθυνση της αλλαγής.
Οι ακέραιοι μπορούν επίσης να εκφράσουν όχι μόνο την αλλαγή της ποσότητας, αλλά και μια αλλαγή σε οποιαδήποτε τιμή. Θα ασχοληθούμε με αυτό στο παράδειγμα μιας αλλαγής της θερμοκρασίας.
Αυξημένη θερμοκρασία, ας πούμε, 4 μοίρες εκφράζονται από έναν θετικό αριθμό ακέραιο αριθμό 4. Μείωση της θερμοκρασίας, για παράδειγμα, κατά 12 μοίρες μπορεί να περιγραφεί από έναν αρνητικό ακέραιο -12. Και η αμετάβλητη θερμοκρασία είναι η αλλαγή του, που καθορίζεται από έναν ακέραιο αριθμό 0.
Ξεχωριστά, πρέπει να πείτε για την ερμηνεία των αρνητικών ακέραιων ακέραιων ως το ποσό του χρέους. Για παράδειγμα, εάν έχουμε 3 μήλα, τότε ένας θετικός αριθμός 3 δείχνει τον αριθμό των μήλων που κατέχουμε. Από την άλλη πλευρά, αν χρειαστεί να δώσουμε 5 μήλα σε κανέναν, και δεν τους έχουμε σε απόθεμα, τότε αυτή η κατάσταση μπορεί να περιγραφεί χρησιμοποιώντας ένα αρνητικό ακέραιο -5. Σε αυτή την περίπτωση, τα μήλα "διαθέτουμε" -5, ένα σημάδι μείον δείχνει ένα χρέος και ο αριθμός 5 καθορίζει το χρέος ποσοτικά.
Η κατανόηση ενός αρνητικού ακέραου ως χρέους επιτρέπει, για παράδειγμα, να δικαιολογήσει τον κανόνα προσθήκης αρνητικών ακέραιων αριθμών. Ας δώσουμε ένα παράδειγμα. Εάν κάποιος έχει 2 μήλα σε ένα άτομο και ένα μήλο - άλλο, τότε το συνολικό χρέος είναι 2 + 1 \u003d 3 μήλα, SO -2 + (- 1) \u003d - 3.
Κατάλογος αναφορών.
- Vilenkin n.ya. και άλλα. Μαθηματικά. Βαθμός 6: Κείμενο για γενικά εκπαιδευτικά ιδρύματα.
Σε αυτό το άρθρο, ορίζουμε πολλούς ακέραιους αριθμούς, θεωρούμε ότι οι ακέραιοι αριθμοί ονομάζονται θετικοί και οι οποίοι είναι αρνητικοί. Δείχνουμε επίσης πώς οι ακέραιοι χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν την αλλαγή σε ορισμένες τιμές. Ας ξεκινήσουμε με τον ορισμό και τα παραδείγματα ακεραίων.
Ολόκληροι αριθμοί. Ορισμός, παραδείγματα
Πρώτα θυμόμαστε για τους φυσικούς αριθμούς ℕ. Το ίδιο το όνομα προτείνει ότι αυτοί είναι αριθμοί που χρησιμοποιούνται φυσικά για λογαριασμό από αμνημονεύτων χρόνων. Προκειμένου να αγκαλιάσει την έννοια των ακεραίων, πρέπει να επεκτείνουμε τον ορισμό των φυσικών αριθμών.
Ορισμός 1. Ολόκληροι αριθμοί
Οι ακέραιοι είναι φυσικοί αριθμοί, οι αριθμοί απέναντι από αυτούς και ο αριθμός του μηδέν.
Πολλοί ακεραίοι δηλώνονται με το γράμμα ℤ.
Το σύνολο των φυσικών αριθμών ℕ είναι ένα υποσύνολο ακεραίων ℤ. Οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός είναι ακέραιος, αλλά όχι ο ακέραιος αριθμός είναι φυσικός.
Από τον ορισμό που ο ένας από τους αριθμούς 1, 2, 3 είναι ακέραιος. . , Αριθμός 0, καθώς και αριθμοί - 1, - 2, - 3 ,. .
Σύμφωνα με αυτό, δίνουμε παραδείγματα. Αριθμοί 39, - 589, 10000000, - 1596, 0 είναι ακέραιοι αριθμοί.
Αφήστε τη συντεταγμένη ευθεία γραμμή να είναι οριζόντια και να κατευθύνεται προς τα δεξιά. Κοιτάξτε την για να φανταστείτε σαφώς τη θέση των ακέραιων σε μια ευθεία γραμμή.
Η αρχή της αναφοράς σχετικά με την άμεση συντεταγμένη αντιστοιχεί στον αριθμό 0 και τα σημεία που βρίσκονται και στις δύο πλευρές του μηδενικού αντιστοιχούν σε θετικούς και αρνητικούς ακέραιους αριθμούς. Κάθε σημείο αντιστοιχεί σε ένα μόνο ακέραιο αριθμό.
Οποιοδήποτε σημείο είναι άμεση, η συντεταγμένη του οποίου είναι ένας ακέραιος αριθμός, μπορείτε να πάρετε, να αναβάλλετε ορισμένες από τις συντεταγμένες ορισμένα απλά τμήματα.
Θετικοί και αρνητικοί ακέραιοι
Από όλους τους ακέραιους, είναι λογικό να διαθέσετε θετικούς και αρνητικούς ακέραιους αριθμούς. Ας τους δώσουμε ορισμό.
Ορισμός 2. Θετικοί ακέραιοι
Οι θετικοί ακέραιοι είναι ακέραιοι αριθμοί με ένα σύμβολο συν.
Για παράδειγμα, ο αριθμός 7 είναι ένας ακέραιος με ένα σύμβολο συν, δηλαδή ένας θετικός ακέραιος αριθμός. Σχετικά με την άμεση συντεταγμένη, ο αριθμός αυτός βρίσκεται στα δεξιά του σημείου αναφοράς, για την οποία ο αριθμός 0 γίνεται αποδεκτό. Άλλα παραδείγματα θετικών ακεραίων: 12, 502, 42, 33, 100.500.
Ορισμός 3. Αρνητικοί ακέραιοι
Οι αρνητικοί ακέραιοι είναι ακέραιοι με ένα σήμα μείον.
Παραδείγματα όλων των αρνητικών αριθμών: - 528, - 2568, - 1.
Ο αριθμός 0 διαιρεί θετικούς και αρνητικούς ακέραιους ακέραιους και όχι ούτε θετικοί ή αρνητικοί.
Οποιοσδήποτε αριθμός απέναντι από έναν θετικό ακέραιο, λόγω του ορισμού, είναι ένας αρνητικός ακέραιος αριθμός. Δίκαιη και αντίστροφη. Ο αριθμός αντίστροφος σε οποιονδήποτε αρνητικό ακέραιο είναι ένας θετικός ακέραιος αριθμός.
Μπορείτε να δώσετε άλλες συνθέσεις ορισμών αρνητικών και θετικών ακέραιων, χρησιμοποιώντας τη σύγκρισή τους με το μηδέν.
Ορισμός 4. Θετικοί ακέραιοι
Οι θετικοί ακέραιοι είναι ακέραιοι που είναι μηδέν.
Ορισμός 5. Αρνητικοί ακέραιοι
Οι αρνητικοί ακέραιοι είναι ακέραιοι που είναι μικρότερο από το μηδέν.
Συνεπώς, οι θετικοί αριθμοί είναι το δικαίωμα να ξεκινήσει η αναφορά στην άμεση συντεταγμένη και οι αρνητικοί ακέραιοι ακέραιοι αφήνονται από το μηδέν.
Νωρίτερα, έχουμε ήδη πει ότι οι φυσικοί αριθμοί είναι ένα υποσύνολο ολόκληρου. Δημιουργήστε αυτή τη στιγμή. Πολλοί φυσικοί αριθμοί αποτελούν ολόκληρους θετικούς αριθμούς. Με τη σειρά του, μια πληθώρα αρνητικών ακέραιων ακέραιων είναι ένα πλήθος αριθμών απέναντι από φυσικό.
Σπουδαίος!
Οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός μπορεί να ονομαστεί ένα σύνολο, αλλά οποιοσδήποτε ακέραιος δεν μπορεί να ονομαστεί φυσικός. Απαντώντας στο ερώτημα εάν οι αρνητικοί αριθμοί είναι φυσικοί, πρέπει να μιλήσετε με ασφάλεια - όχι, δεν είναι.
Μη θετικοί και μη αρνητικοί ακέραιοι
Ας δώσουμε τον ορισμό.
Ορισμός 6. Μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί
Οι μη αρνητικοί ακέραιοι είναι θετικοί ακέραιοι και ο αριθμός μηδέν.
Ορισμός 7. Επενδυτικοί ακέραιοι
Μη έγκυροι ακέραιοι αριθμοί είναι αρνητικοί ακέραιοι ακέραιοι και αριθμοί μηδέν.
Όπως βλέπουμε, ο αριθμός του μηδέν δεν είναι ούτε θετικός ούτε αρνητικός.
Παραδείγματα μη αρνητικών ακέραιων αριθμών: 52, 128, 0.
Παραδείγματα μη θετικών ακεραίων: - 52, - 128, 0.
Ο μη αρνητικός αριθμός είναι ένας αριθμός, περισσότερο ή ίσο με το μηδέν. Συνεπώς, ένας διμερής ακέραιος αριθμός είναι ένας αριθμός μικρότερος ή ίσος με το μηδέν.
Οι όροι "μη θετικός αριθμός" και "μη αρνητικός αριθμός" χρησιμοποιούνται για συντομία. Για παράδειγμα, αντί να λέτε ότι ο αριθμός Α είναι ένας ακέραιος αριθμός που είναι μεγαλύτερος ή ίσος με το μηδέν, μπορεί κανείς να πει: το Α είναι ένας μη αρνητικός αριθμός.
Χρησιμοποιήστε ακέραιους αριθμούς κατά την περιγραφή αλλαγών στις τιμές
Τι είναι οι ακέραιοι; Πρώτα απ 'όλα, με τη βοήθειά τους είναι βολικό να περιγράψουμε και να καθορίσετε την αλλαγή στον αριθμό των αντικειμένων. Ας δώσουμε ένα παράδειγμα.
Αφήστε μερικές στροφαλοφορίες να αποθηκευτούν στην αποθήκη. Εάν άλλα 500 στροφαλοφόρα φέρουν στην αποθήκη, τότε ο αριθμός τους θα αυξηθεί. Ο αριθμός 500 εκφράζει ακριβώς την αλλαγή (αύξηση) του αριθμού των εξαρτημάτων. Αν στη συνέχεια από την αποθήκη θα οδηγήσει 200 \u200b\u200bμέρη, τότε αυτός ο αριθμός θα χαρακτηρίσει επίσης την αλλαγή στον αριθμό των στροφαλοφόρων. Αυτή τη φορά, προς τη μείωση.
Αν δεν ληφθεί τίποτα από την αποθήκη, και τίποτα δεν θα φέρει, τότε ο αριθμός 0 θα υποδείξει τον αριθμό των τμημάτων.
Η προφανής ευκολία χρήσης των ακεραίων σε αντίθεση με το φυσικό είναι ότι το σημάδι τους δείχνει σαφώς την κατεύθυνση των αλλαγών στην αξία (αύξηση ή μείωση).
Μία μείωση της θερμοκρασίας κατά 30 μοίρες μπορεί να χαρακτηριστεί από έναν αρνητικό αριθμό - 30 και η αύξηση σε 2 μοίρες είναι ένας θετικός ακέραιος αριθμός 2.
Δίνουμε ένα άλλο παράδειγμα χρησιμοποιώντας ακέραιους αριθμούς. Αυτή τη φορά, φανταστείτε ότι πρέπει να δώσουμε σε κάποιον 5 νομίσματα. Στη συνέχεια, μπορούμε να πούμε ότι διαθέτουμε - 5 νομίσματα. Ο αριθμός 5 περιγράφει την ποσότητα του χρέους, και το σήμα "μείον" λέει ότι πρέπει να δώσουμε κέρματα.
Εάν χρειαζόμαστε 2 νομίσματα σε ένα άτομο, και 3 - άλλο, τότε το συνολικό χρέος (5 κέρματα) μπορεί να υπολογιστεί σύμφωνα με τον κανόνα της προσθήκης αρνητικών αριθμών:
2 + (- 3) = - 5
Εάν παρατηρήσετε ένα λάθος στο κείμενο, επιλέξτε το και πατήστε Ctrl + Enter
Εάν στη σειρά των φυσικών αριθμών για να αποδώσετε τον αριστερό αριθμό 0, τότε αποδεικνύεται Ένας αριθμός θετικών ακεραίων:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
Ολόκληροι αρνητικοί αριθμοί
Εξετάστε ένα μικρό παράδειγμα. Το παρακάτω σχήμα δείχνει ένα θερμόμετρο που δείχνει θερμοκρασία 7 ° C θερμότητας. Εάν η θερμοκρασία πέσει κατά 4 ° C, το θερμόμετρο θα παρουσιάσει θερμότητα 3 ° C. Η μείωση της θερμοκρασίας αντιστοιχεί στη δράση αφαίρεσης:
Σημείωση: Όλοι οι βαθμοί γράφονται με το γράμμα C (Κελσίου), το σημάδι πτυχίου διαχωρίζεται από τον αριθμό ενός χώρου. Για παράδειγμα, 7 ° C.
Εάν η θερμοκρασία πέσει κατά 7 ° C, το θερμόμετρο θα παρουσιάσει 0 ° C. Η μείωση της θερμοκρασίας αντιστοιχεί στη δράση αφαίρεσης:
Εάν η θερμοκρασία μειώνεται κατά 8 ° C, το θερμόμετρο θα δείξει -1 ° C (1 ° C Frost). Αλλά το αποτέλεσμα της αφαίρεσης 7 - 8 δεν μπορεί να καταγραφεί με φυσικούς αριθμούς και μηδέν.
Απελευθερώνουμε την αφαίρεση σε έναν αριθμό ολόκληρων θετικών αριθμών:
1) Από τον αριθμό 7, δείγμα αριστερά 4 αριθμοί και έχουμε 3:
2) Από τον αριθμό 7, δείγμα αριστερά 7 αριθμοί και κερδίστε 0:
Είναι αδύνατο να υπολογίζουμε σε έναν αριθμό θετικών ακέραιων ακέραιων από τον αριθμό 7 της 7ης αριστεράς. Έτσι ώστε να εκπληρωθεί η δράση των 7 - 8, επεκτείνουν ορισμένους θετικούς ακέραιους αριθμούς. Για να το κάνετε αυτό, στα αριστερά της μηδενικής εγγραφής (δεξιά προς τα αριστερά) για να παραγγείλετε όλους τους φυσικούς αριθμούς, προσθέτοντας σε κάθε ένα από αυτά ένα σημάδι - που δείχνει ότι αυτός ο αριθμός είναι προς τα αριστερά του μηδέν.
Εγγραφές -1, -2, -3, ... Διαβάστε μείον 1, μείον 2, μείον 3, κ.λπ.:
5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
Ο προκύπτων αριθμός αριθμών καλείται Ένας αριθμός ακεραίων. Σημεία προς τα αριστερά και δεξιά σε αυτό το αρχείο δείχνουν ότι η σειρά μπορεί να συνεχιστεί απεριόριστα προς τα δεξιά και αριστερά.
Στα δεξιά του αριθμού 0 σε αυτή τη σειρά υπάρχουν αριθμοί που καλούν Φυσικός ή Βοηθός θετικό (εν ολίγοις - θετικός).
Στα αριστερά του αριθμού 0 σε αυτή τη σειρά υπάρχουν αριθμοί που καλούν ολόκληρο αρνητικό (εν ολίγοις - Αρνητικός).
Ο αριθμός 0 είναι ακέραιος, αλλά δεν είναι ούτε θετικός ούτε αρνητικός αριθμός. Μοιράζεται θετικούς και αρνητικούς αριθμούς.
Ως εκ τούτου, Ένας αριθμός ακέραιων αποτελείται από ολόκληρους αρνητικούς αριθμούς, μηδέν και ολόκληρους θετικούς αριθμούς..
Σύγκριση των ακεραίων
Συγκρίνετε δύο ακέραιους αριθμούς - Έτσι, μάθετε ποια είναι περισσότερο, πόσο λιγότερο, ή καθορίστε ποιοι αριθμοί είναι ίσοι.
Μπορείτε να συγκρίνετε ακέραιους αριθμούς χρησιμοποιώντας έναν αριθμό ακεραίων, αφού οι αριθμοί σε αυτό βρίσκονται μικρότερα σε περισσότερα, αν μετακινηθείτε σε μια σειρά αριστερά δεξιά. Επομένως, σε έναν αριθμό ακεραίων, μπορείτε να αντικαταστήσετε το κόμμα για ένα σημάδι λιγότερο:
5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...
Ως εκ τούτου, Από τους δύο ακέραιους, περισσότερο από τον αριθμό που είναι σωστό δεξί και λιγότερο από το αριστερό είναιΕτσι:
1) Οποιοσδήποτε θετικός αριθμός είναι μεγαλύτερος από μηδέν και περισσότερο από οποιονδήποτε αρνητικό αριθμό:
1 > 0; 15 > -16
2) Οποιοσδήποτε αρνητικός αριθμός είναι μικρότερος από το μηδέν:
7 < 0; -357 < 0
3) Από τους δύο αρνητικούς αριθμούς, περισσότερο ότι, σε έναν αριθμό ακεραίων, αξίζει το δικαίωμα.
Αριθμός- Η πιο σημαντική μαθηματική έννοια, αλλάζοντας τους αιώνες.
Οι πρώτες ιδέες για τον αριθμό προέκυψαν από τον λογαριασμό των ανθρώπων, των ζώων, των φρούτων, των διαφόρων προϊόντων κλπ. Το αποτέλεσμα είναι φυσικοί αριθμοί: 1, 2, 3, 4, ...
Ιστορικά, η πρώτη επέκταση της έννοιας του αριθμού είναι η προσαρμογή σε έναν φυσικό αριθμό κλασματικών αριθμών.
ΚλάσμαΟνομάζεται μέρος (μετοχή) μιας μονάδας ή αρκετά ίσα μέρη.
Ενδείξεις: όπου Μ, Ν.- ολόκληροι αριθμοί;
Φρούτα με παρονομαστή 10 Ν.όπου Ν.- Ένας ακέραιος αριθμός που ονομάζεται δεκαδικός: .
Μεταξύ των δεκαδικών κλασμάτων, μια ειδική θέση που καταλαμβάνει Περιοδικά κλάσματα: 
- καθαρό περιοδικό κλάσμα, 
- Μικτό περιοδικό κλάσμα.
Περαιτέρω επέκταση της έννοιας του αριθμού προκαλείται από την ανάπτυξη των ίδιων των μαθηματικών (άλγεβρα). Descartes στον XVII αιώνα. Εισάγει την έννοια Αρνητικός αριθμός.
Αριθμοί (θετικοί και αρνητικοί), κλασματικοί (θετικοί και αρνητικοί) και μηδέν πήραν ένα όνομα ρητοί αριθμοί. Οποιοσδήποτε λογικός αριθμός μπορεί να καταγραφεί με τη μορφή πεπερασμένου και περιοδικού.
Για να μελετήσετε συνεχώς μεταβαλλόμενες μεταβλητές, τα μεγέθη αποδείχθηκαν ότι είναι η απαραίτητη νέα επέκταση της έννοιας του αριθμού - η εισαγωγή έγκυρων (πραγματικών) αριθμών - προσθήκη στον ορθολογικό αριθμό παράλογης: Παράλογοι αριθμοί- Αυτά είναι άπειρα δεκαδικά μη περιοδικά κλάσματα.
Οι παράλογοι αριθμοί εμφανίστηκαν κατά τη μέτρηση των απαράδεκτων τμημάτων (πλευρά και διαγώνιο του τετραγώνου), στην άλγεβρα - κατά την εξαγωγή ριζών, ένα παράδειγμα υπερβατικού, παράλογου αριθμού είναι π, ΜΙ. .
Αριθμοί Φυσικός(1, 2, 3,...), ολόκληρος(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), λογικός(που παρουσιάζεται με τη μορφή κλάσματος) και παράλογος(δεν φανταζόταν με τη μορφή κλάσματος ) Σχηματίζει πολλά Ισχύει (πραγματική)αριθμούς.
Ξεχωριστά στα μαθηματικά διαθέτουν σύνθετους αριθμούς.
Σύνθετοι αριθμοίπροκύπτουν λόγω του καθήκοντος της πλατείας επίλυσης για την υπόθεση ΡΕ.< 0 (здесь ΡΕ. - διακριτική τετραγωνική εξίσωση). Για μεγάλο χρονικό διάστημα, αυτοί οι αριθμοί δεν βρήκαν φυσικές ισχύουν, οπότε ονομάζονταν "φανταστικοί" αριθμοί. Ωστόσο, τώρα είναι πολύ ευρέως χρησιμοποιούμενες σε διάφορους τομείς της φυσικής και της τεχνολογίας: ηλεκτρολογική μηχανική, υδροηλεκτρική και αεροδυναμική, ελαστική θεωρία κ.λπ.
Σύνθετοι αριθμοί Εγγραφή στη φόρμα: z \u003d ΕΝΑ.+ bi. Εδώ ΕΝΑ. και ΣΙ. – Πραγματικοί αριθμοί, αλλά ΕΓΩ. – φανταστική μονάδα, t.ΜΙ.. ΕΓΩ. 2 = -ένας. Αριθμός ΕΝΑ.που ονομάζεται τετμημένη, ΕΝΑ. β -Προσφέρω Ολοκληρωμένος αριθμός ΕΝΑ.+ bi. Δύο πολύπλοκους αριθμούς ΕΝΑ.+ biκαι a - bi.που ονομάζεται Συζευγμένος πολύπλοκους αριθμούς.
Ιδιότητες:
1. Ισχύος αριθμός αλλά Μπορεί επίσης να καταγραφεί με τη μορφή πολύπλοκου αριθμού: ΕΝΑ.+ 0ΕΓΩ.ή ένα -0ΕΓΩ.. Για παράδειγμα 5 + 0 ΕΓΩ. και 5 - 0 ΕΓΩ. Σημαίνει τον ίδιο αριθμό 5.
2. Περιεκτικός αριθμός 0 + bi που ονομάζεται Καθαρά φανταστική Αριθμός. Ρεκόρ biσημαίνει το ίδιο με το 0 + bi.
3. Δύο πολύπλοκοι αριθμοί ΕΝΑ.+ bi και ΝΤΟ.+ Διά θεωρούνται ίσα εάν ΕΝΑ.= ΝΤΟ.και ΣΙ.= ΡΕ.. Σε διαφορετική περίπτωση σύνθετοι αριθμοί όχι ίση.
Ενέργειες:
Πρόσθεση. Άθροισμα σύνθετων αριθμών ΕΝΑ.+ bi και ΝΤΟ.+ Διάπου ονομάζεται πολύπλοκος αριθμός ( ΕΝΑ.+ ΝΤΟ.) + (ΣΙ.+ ΡΕ.)ΕΓΩ.. Με αυτόν τον τρόπο, Όταν οι πολύπλοκοι αριθμοί είναι προσθήκες, οι τετμικισσές και οι παραγγελίες τους διπλωθούν χωριστά.
Αφαίρεση. Τη διαφορά μεταξύ δύο σύνθετων αριθμών ΕΝΑ.+ bi(μειωμένη) και ΝΤΟ.+ Διά (αφαιρείται) που ονομάζεται πολύπλοκος αριθμός ( ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ.) + (Β - Δ.)ΕΓΩ.. Με αυτόν τον τρόπο, Κατά την αφαίρεση δύο ολοκληρωμένων αριθμών, οι τετμικισσές και οι παραγγελίες τους υποβάλλονται χωριστά.
Πολλαπλασιασμός. Αριθμοί πολύπλοκων προϊόντων ΕΝΑ.+ bi και ΝΤΟ.+ ΔιάΟ ενσωματωμένος αριθμός καλείται:
(aC - BD.) + (ΕΝΑ Δ+ ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ.)ΕΓΩ.. Ο ορισμός αυτός απορρέει από δύο απαιτήσεις:
1) Αριθμοί ΕΝΑ.+ bi και ΝΤΟ.+ Διάπρέπει να πολλαπλασιάσει ως αλγεβρικό βαρετό
2) Αριθμός ΕΓΩ. Έχει βασική ιδιότητα: ΕΓΩ. 2 = –1.
Pri mers ( a + bi.)(a - bi.)\u003d Α. 2 + Β. 2 . Ως εκ τούτου, σύνθεσηΔύο συζεύκτες πολύπλοκους αριθμούς ίσοι με έναν έγκυρο θετικό αριθμό.
Διαίρεση. Διαχωρίστε έναν πολύπλοκο αριθμό ΕΝΑ.+ bi(διαίρεση) σε άλλο ΝΤΟ.+ Διά (διαιρών) - αυτό σημαίνει να βρείτε τον τρίτο αριθμό ΜΙ.+ f i. (Ψάλλει), η οποία πολλαπλασιάζεται από τον διαιρέτη ΝΤΟ.+ Διά, ως αποτέλεσμα, διαιρείται ΕΝΑ.+ bi. Εάν ο διαιρέτης δεν είναι ίσος με το μηδέν, η διαίρεση είναι πάντα δυνατή.
Pri mers Βρείτε (8 + ΕΓΩ.) : (2 – 3ΕΓΩ.) .
R e w e n e. ξαναγράψω αυτή τη στάση με τη μορφή κλάσματος:
Πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή για 2 + 3 ΕΓΩ.Και μετά την εκτέλεση όλων των μετασχηματισμών, έχουμε:
Εργασία 1: Διπλώστε, αφαιρέστε, πολλαπλασιάστε και διαιρέστε το Z 1 σε z. 2
Τετράγωνη εξόρυξη ρίζας: Μοιραστείτε την εξίσωση Χ. 2 = -ένα. Για την επίλυση αυτής της εξίσωσης Είμαστε αναγκασμένοι να επωφεληθούμε από τον αριθμό ενός νέου τύπου - Φανταστικοί αριθμοί . Με αυτόν τον τρόπο, φανταστικο Ονομάζεται ο αριθμός Ο δεύτερος βαθμός του οποίου είναι ο αριθμός των αρνητικών. Σύμφωνα με αυτόν τον ορισμό των φανταστικών αριθμών, μπορούμε να εντοπίσουμε και Μίμος Μονάδα:
Στη συνέχεια, για την εξίσωση Χ. 2 \u003d - 25 Παίρνουμε δύο Φανταστικο Ρίζα:
Εργασία 2: Μετοχή εξίσου:
1) X. 2 = – 36; 2) Χ. 2 = – 49; 3) Χ. 2 = – 121
Γεωμετρική αναπαράσταση σύνθετων αριθμών. Οι πραγματικοί αριθμοί απεικονίζονται από κουκκίδες σε αριθμητική απευθείας:
Εδώ σημείο ΕΝΑ.Σημαίνει τον αριθμό -3, σημείο ΣΙ.- 1, και Ο.-μηδέν. Αντίθετα, οι πολύπλοκοι αριθμοί απεικονίζονται από σημεία στο επίπεδο συντεταγμένων. Επιλέγουμε ορθογώνια (καρτεδεία) συντεταγμένες με την ίδια κλίμακα και στους δύο άξονες. Στη συνέχεια, σύνθετος αριθμός ΕΝΑ.+ biθα εκπροσωπείται από το σημείο P με abscissaαλλά και συνηθισμένοΣΙ.. Αυτό το σύστημα συντεταγμένων καλείται σύνθετος αεροπλάνο .
Μονάδα μέτρησης Ολοκληρωμένος αριθμός που ονομάζεται μήκος διάνυσμα Op.που απεικονίζουν έναν πολύπλοκο αριθμό στη συντεταγμένη ( Περιεκτικός) Αεροπλάνο. Μια πολύπλοκη μονάδα αριθμού ΕΝΑ.+ biδηλώνει | ΕΝΑ.+ bi | ή) επιστολή r. και ίση:
Οι συζευγμένοι σύνθετοι αριθμοί έχουν την ίδια ενότητα.
Οι κανόνες σχεδίασης του σχεδίου είναι σχεδόν οι ίδιοι με το σχέδιο των συντεταγμένων συστημάτων καρτεσιανών συστήματος στους άξονες, πρέπει να ορίσετε τη διάσταση, σημείωση:
ΜΙ. 
Ντιίτσα για έναν έγκυρο άξονα. Re z.
φανταστική μονάδα από φανταστικό άξονα. Im z.
Εργασία 3. Για να κατασκευάσετε τους ακόλουθους πολύπλοκους αριθμούς στο σύνθετο επίπεδο: , , , , , , ,
1. Οι αριθμοί είναι ακριβείς και κατά προσέγγιση.Οι αριθμοί με τους οποίους συναντάμε στην πράξη είναι δύο γέννηση. Μερικοί δίνουν την πραγματική αξία του μεγέθους, άλλοι είναι μόνο κατά προσέγγιση. Το πρώτο καλείται ακριβές, το δεύτερο - κατά προσέγγιση. Τις περισσότερες φορές, είναι βολικό να χρησιμοποιείτε έναν κατά προσέγγιση αριθμό αντί ακριβής, ειδικά επειδή σε πολλές περιπτώσεις είναι αδύνατο να βρεθεί ένας ακριβής αριθμός.
Έτσι, αν λένε ότι υπάρχουν 29 φοιτητές στην τάξη, τότε ο αριθμός 29 είναι ακριβής. Αν λένε ότι η απόσταση από τη Μόσχα στο Κίεβο είναι 960 χιλιόμετρα, εδώ ο αριθμός 960 είναι κατά προσέγγιση, αφού, αφενός, τα όργανα μέτρησης δεν είναι απολύτως ακριβή, από την άλλη πλευρά, οι ίδιες οι πόλεις έχουν κάποιο μήκος.
Το αποτέλεσμα των ενεργειών με κατά προσέγγιση αριθμούς είναι επίσης ένας κατά προσέγγιση αριθμός. Εκτέλεση ορισμένων ενεργειών πάνω από τους ακριβείς αριθμούς (διαίρεση, εξόρυξη root), μπορείτε επίσης να πάρετε κατά προσέγγιση αριθμούς.
Η θεωρία των κατά προσέγγιση υπολογισμών επιτρέπει:
1) γνωρίζοντας τον βαθμό ακρίβειας των δεδομένων, αξιολογεί το βαθμό ακρίβειας των αποτελεσμάτων ·
2) Πάρτε τα δεδομένα με τον κατάλληλο βαθμό ακρίβειας επαρκές για να εξασφαλίσετε την απαιτούμενη ακρίβεια αποτελεσμάτων.
3) Εγγύηση της διαδικασίας υπολογισμού απελευθερώνοντας το από τους υπολογισμούς που δεν θα επηρεάσουν την ακρίβεια του αποτελέσματος.
2. Στρογγυλοποίηση.Μία από τις πηγές απόκτησης προσεγγιστικών αριθμών στρογγυλοποιεί. Στρογγυλεμένες τόσο κατά προσέγγιση όσο και ακριβείς αριθμούς.
Η στρογγυλοποίηση αυτού του αριθμού σε κάποια από την απαλλαγή του ονομάζεται αντικατάστασή της με νέο αριθμό, το οποίο λαμβάνεται από αυτό, απορρίπτοντας όλους τους αριθμούς που καταγράφονται στα δεξιά αυτής της απαλλαγής ή αντικαθιστώντας τους με μηδενικά. Αυτά τα μηδενικά υπογραμμίζουν ή τα γράφουν μικρότερα. Για να εξασφαλιστεί η μεγαλύτερη εγγύτητα με τον στρογγυλεμένο αριθμό, πρέπει να χρησιμοποιηθούν αυτοί οι κανόνες: προκειμένου να περιορίσετε τον αριθμό σε μια ενιαία μονάδα εκκένωσης, είναι απαραίτητο να απορρίψετε όλους τους αριθμούς μετά το σχήμα αυτής της απόρριψης και στο σύνολό τους, να αντικατασταθεί τους με μηδενικά. Ταυτόχρονα, λαμβάνονται υπόψη τα εξής:
1) Εάν η πρώτη (αριστερά) των απορριφθέντων αριθμών είναι μικρότερη από 5, τότε ο τελευταίος αριστερός αριθμός δεν αλλάζει (στρογγυλοποίηση με μειονεκτήματα).
2) Εάν το πρώτο απορριφθέντα ψηφίο είναι μεγαλύτερο από 5 ή ίσο με 5, τότε το τελευταίο αριστερό ψηφίο αυξάνεται κατά ένα (στρογγυλοποίηση με περίσσεια).
Δείχνουν τα παραδείγματα. Βροχή:
α) μέχρι τα δέκατα 12.34 ·
β) έως τα εκατοστά 3.2465 · 1038.785;
γ) έως χιλιάδες 3.4335.
δ) έως χιλιάδες 12375. 320729.
α) 12.34 ≈ 12.3;
β) 3,2465 ≈ 3.25; 1038,785 ≈ 1038.79;
γ) 3,4335 ≈ 3,434.
δ) 12375 ≈ 12.000; 320729 ≈ 321000.
3. Απόλυτο και σχετικό σφάλμα.Η διαφορά μεταξύ του ακριβούς αριθμού και της κατά προσέγγιση τιμής του ονομάζεται απόλυτο σφάλμα ενός κατά προσέγγιση αριθμό. Για παράδειγμα, εάν ο ακριβής αριθμός 1,214 στρογγυλοποιηθεί στα δέκατα, λαμβάνουμε έναν κατά προσέγγιση αριθμό 1.2. Στην περίπτωση αυτή, το απόλυτο σφάλμα του αριθμού κατά προσέγγιση 1.2 είναι 1.214 - 1.2, δηλ. 0,014.
Αλλά στις περισσότερες περιπτώσεις, η ακριβής αξία της εξεταζόμενης αξίας είναι άγνωστη, αλλά μόνο κατά προσέγγιση. Τότε το απόλυτο σφάλμα είναι άγνωστο. Σε αυτές τις περιπτώσεις, δείχνουν τα σύνορα που δεν υπερβαίνει. Αυτός ο αριθμός ονομάζεται απόλυτο σφάλμα ορίου. Λέγεται ότι η ακριβής τιμή του αριθμού είναι ίση με την κατά προσέγγιση τιμή του με το σφάλμα μικρότερο από το όριο του ορίου. Για παράδειγμα, ο αριθμός 23.71 είναι η κατά προσέγγιση τιμή του αριθμού 23.7125 με ακρίβεια 0,01, καθώς το σφάλμα απόλυτης προσέγγισης είναι 0,0025 και μικρότερη από 0,01. Εδώ, το απόλυτο σφάλμα ορίου είναι 0,01 *.
Σύνδεσμο απόλυτο σφάλμα ενός κατά προσέγγιση αριθμό αλλάΔηλώστε το σύμβολο Δ. ΕΝΑ.. Ρεκόρ
Χ.≈ΕΝΑ.(±Δ ΕΝΑ.)
Θα πρέπει να γίνει κατανοητό ως: η ακριβής τιμή του μεγέθους Χ.είναι στο διάστημα μεταξύ αριθμών αλλά– Δ ΕΝΑ.και αλλά+ Δ αλλάπου ονομάζονται ανάλογα τα ανώτερα και ανώτερα όρια Η.και υποδηλώνουν ng Χ.Vg. Η..
Για παράδειγμα, αν Χ.≈ 2.3 (± 0,1), τότε 2.2<Χ.< 2,4.
Αντίθετα, εάν 7.3< Η.< 7,4, тоΗ.≈ 7.35 (± 0,05). Το απόλυτο ή οριοθετικό απόλυτο σφάλμα δεν χαρακτηρίζει την ποιότητα της διεξαγωγής της μέτρησης. Το ίδιο απόλυτο σφάλμα μπορεί να θεωρηθεί σημαντικό και ασήμαντο ανάλογα με τον αριθμό που εκφράζεται η μετρούμενη τιμή. Για παράδειγμα, αν μετρήσουμε την απόσταση μεταξύ δύο πόλεων με ακρίβεια ενός χιλιομέτρου, τότε η ακρίβεια αυτή είναι αρκετά επαρκής για την αλλαγή αυτή την ίδια στιγμή κατά τη μέτρηση της απόστασης μεταξύ δύο σπιτιών ενός δρόμου, αυτή η ακρίβεια θα είναι απαράδεκτη. Κατά συνέπεια, η ακρίβεια της κατά προσέγγιση αξίας της τιμής εξαρτάται όχι μόνο από την αξία του απόλυτου σφάλματος, αλλά και στην τιμή της μετρούμενης τιμής. Ως εκ τούτου, το μέτρο ακρίβειας είναι το σχετικό σφάλμα.
Το σχετικό σφάλμα ονομάζεται λόγος απόλυτου σφάλματος στο μέγεθος του κατά προσέγγιση αριθμό. Ο λόγος του απόλυτου σφάλματος ορίου σε ένα κατά προσέγγιση αριθμό ονομάζεται ένα σύριο σύνριο σφάλμα. Δηλώστε την έτσι:. Σχετικά και σε όρια σχετικά σφάλματα γίνονται για να εκφράσουν σε ποσοστό. Για παράδειγμα, εάν οι μετρήσεις έδειξαν ότι η απόσταση Η.Μεταξύ δύο σημείων είναι μεγαλύτερη από 12,3 km, αλλά λιγότερο από 12,7 km, τότε ο αριθμητικός μέσος όρος αυτών των δύο αριθμών λαμβάνεται ως κατά προσέγγιση τιμή, δηλ. Τα μισά τους βλέπουν, τότε το απόλυτο σφάλμα ορίων είναι ίσο με τις μοναδικές κατευθύνσεις αυτών των αριθμών. Σε αυτήν την περίπτωση Η.≈ 12,5 (± 0,2). Εδώ, το απόλυτο σφάλμα ορίου είναι 0,2 χλμ. Και το σύνολο των συνθηκών
1) Διαχωρίζω ταυτόχρονα, καθώς και οι δύο αριθμοί είναι 100% χωρισμένοι σε:
2) Ξεχωριστό στους υπόλοιπους μεγάλους αριθμούς, διότι χωρίς το υπόλειμμα χωρίζεται σε (ταυτόχρονα, δεν θα απολύομαι - αυτός και έτσι ένα κοινό διαχωριστικό):
6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6
6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0
3) Αφήστε και τα δύο μόνα τους και αρχίστε να εξετάζετε τους αριθμούς και. Και οι δύο αριθμοί χωρίζονται με ακρίβεια (τέλος σε ακόμη και στοιχεία (στην περίπτωση αυτή, εκπροσωπούμε πώς, και μπορεί να χωριστεί)):
4) Εργαζόμαστε με αριθμούς και. Έχουν κοινούς διαιρέτες; Τόσο εύκολα, όπως και σε προηγούμενες ενέργειες και δεν θα πείτε, επομένως, απλά να τα απολύσετε σε απλούς παράγοντες:
5) Όπως βλέπουμε, είχαμε δίκιο: Δεν υπάρχουν κοινά διαιρέτες, και τώρα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε.
Κόμβος
Αριθμός εργασίας 2. Βρείτε τους αριθμούς κόμβων 345 και 324
Εδώ δεν μπορώ να βρω γρήγορα τουλάχιστον ένα κοινό διαχωριστικό, οπότε απλά τοποθετώ σε απλούς πολλαπλασιαστές (όσο το δυνατόν λιγότερο):
Σίγουρα, NOD και αρχικά δεν έλεγξα το σημάδι της διαιρέτης και ίσως να μην χρειαστεί να κάνουμε τόση δράσεις.
Αλλά έχετε ελέγξει, σωστά;
Όπως μπορείτε να δείτε, είναι αρκετά απλό.
Το μικρότερο συνολικό πολλαπλάσιο (NOC) - εξοικονομεί χρόνο, βοηθά στην επίλυση των καθηκόντων του μη προτύπου
Ας υποθέσουμε ότι έχετε δύο αριθμούς - και. Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός που χωρίζεται και χωρίς υπολείμματα (δηλ., μια εστίαση); Είναι δύσκολο να φανταστεί κανείς; Εδώ έχετε μια οπτική συμβουλή:
Θυμάσαι τι υποδεικνύεται από την επιστολή; Σωστά ολόκληροι αριθμοί. Έτσι ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός στη θέση του x; :
Σε αυτήν την περίπτωση.
Από αυτό το απλό παράδειγμα, υπάρχουν αρκετοί κανόνες.
Κανόνες για γρήγορη εύρεση NOK
Κανόνας 1. Εάν ένας από τους δύο φυσικούς αριθμούς χωρίζεται σε άλλο αριθμό, τότε περισσότεροι από αυτούς τους δύο αριθμούς είναι το μικρότερο πολλαπλό τους.
Βρείτε τους ακόλουθους αριθμούς:
- NOK (7, 21)
- NOK (6, 12)
- NOK (5, 15)
- NOK (3, 33)
Φυσικά, φαινόταν εύκολα με αυτό το έργο και έχετε απαντήσεις -, και.
Σημείωση, μιλάμε για δύο αριθμούς του κανόνα, αν οι αριθμοί είναι μεγαλύτεροι, ο κανόνας δεν λειτουργεί.
Για παράδειγμα, το NOC (7, 14, 21) δεν είναι ίσο με 21, καθώς δεν διαιρείται χωρίς υπολείμματα.
ΚΑΝΟΝΑΣ 2. Εάν δύο (ή περισσότερους από δύο) αριθμοί είναι αμοιβαία απλοί, τότε το μικρότερο κοινό πολλαπλό είναι ίσο με το έργο τους.
Εύρημα Nok. Στους ακόλουθους αριθμούς:
- NOK (1, 3, 7)
- NOK (3, 7, 11)
- NOK (2, 3, 7)
- NOK (3, 5, 2)
Υπολογίζεται; Εδώ είναι οι απαντήσεις -, .
Όπως καταλαβαίνετε, δεν είναι πάντα δυνατό να το πάρετε τόσο εύκολα και να πάρετε αυτό το πολύ x, οπότε υπάρχει ένας επόμενος αλγόριθμος για λίγο πιο δύσκολο αριθμό:
Πρακτική?
Βρίσκουμε τη χαμηλότερη συνολική πολλαπλή - NOC (345, 234)
Ξεκλειδώστε κάθε αριθμό:
Γιατί έγραψα αμέσως;
Θυμηθείτε τα σημάδια διαίρεσης για: διαιρέστε (το τελευταίο σχήμα είναι ακόμη και) και η ποσότητα των αριθμών χωρίζεται σε.
Συνεπώς, μπορούμε να χωρίσουμε αμέσως, να το γράψουμε ως.
Τώρα γράφουμε τη μεγαλύτερη αποσύνθεση στη γραμμή - το δεύτερο:
Προσθέστε έναν αριθμό σε αυτό από την πρώτη αποσύνθεση, την οποία δεν είμαστε στο γεγονός ότι εκφορτώσαμε:
Σημείωση: Έγραψα τα πάντα εκτός από, όπως το έχουμε ήδη.
Τώρα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε όλους αυτούς τους αριθμούς!
Βρείτε το μικρότερο σύνολο πολλαπλών (NOK) μόνοι σας
Τι απαντήσεις πήρατε;
Αυτό μου συνέβη:
Πόσο χρόνο ξοδέψατε την εύρεση Nok.; Ο χρόνος μου είναι 2 λεπτά, η αλήθεια που γνωρίζω Ένα τέχνασμαΣας προτείνω να ανοίξετε τώρα!
Εάν είστε πολύ προσεκτικοί, τότε πιθανώς παρατηρήσατε ότι για τους καθορισμένους αριθμούς που έχουμε ήδη αναζητήσει Κόμβος Και η αποσύνθεση των παραγόντων αυτών των αριθμών θα μπορούσατε να πάρετε από το παράδειγμα αυτό, απλοποιώντας έτσι το έργο, αλλά αυτό δεν είναι όλα.
Κοιτάξτε την εικόνα, μπορεί να έρθετε σε σας μερικές ακόμα σκέψεις:
Καλά? Θα κάνω μια υπόδειξη: δοκιμάστε να πολλαπλασιάσετε Nok. και Κόμβος Μεταξύ τους και να γράψουν όλους τους παράγοντες που θα είναι με πολλαπλάσια. Αντιμετωπίζω? Θα πρέπει να πάρετε αυτή την αλυσίδα:
Κοιτάξτε προς την πλησιέστερη: Συγκρίνετε τους πολλαπλασιαστές με το πώς ξεδιπλώνεται και.
Ποιο συμπέρασμα μπορείτε να το κάνετε αυτό; Σωστά! Αν αλλάξουμε τις τιμές Nok. και Κόμβος Μέση, τότε θα έχουμε το έργο αυτών των αριθμών.
Συνεπώς, έχοντας αριθμούς και αξία Κόμβος (ή Nok.) μπορούμε να βρούμε Nok. (ή Κόμβος) Σύμφωνα με ένα τέτοιο σύστημα:
1. Βρείτε ένα προϊόν αριθμών:
2. Τοποθετήστε το έργο που προκύπτει για μας Κόμβος (6240; 6800) = 80:
Αυτό είναι όλο.
Γράφουμε έναν κανόνα γενικά:
Προσπαθώ να βρω ΚόμβοςΕάν είναι γνωστό:
Αντιμετωπίζω? .
Αρνητικοί αριθμοί - "Lzhenchul" και η αναγνώρισή τους από την ανθρωπότητα.
Όπως ήδη κατανοήσατε, αυτοί είναι οι αριθμοί απέναντι από το φυσικό, δηλαδή:
Φαίνεται ότι είναι τόσο ξεχωριστά γι 'αυτούς;
Και το γεγονός είναι ότι οι αρνητικοί αριθμοί "αποσυναρμολογούν" στον εαυτό τους δικαίωμα στα μαθηματικά τουλάχιστον μέχρι το XIX αιώνα (μέχρι σήμερα υπήρχε ένας τεράστιος αριθμός διαφορών, υπάρχουν ή όχι).
Ο ίδιος ο αρνητικός αριθμός συνέβη λόγω μιας τέτοιας λειτουργίας με φυσικούς αριθμούς ως "αφαίρεση".
Πράγματι, από την αφαίρεση - εδώ είναι ένας αρνητικός αριθμός. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο, πολλοί αρνητικοί αριθμοί καλούνται συχνά "Επέκταση πολλαπλών φυσικών αριθμών".
Οι αρνητικοί αριθμοί δεν έχουν γίνει δεκτοί για μεγάλο χρονικό διάστημα.
Έτσι, η αρχαία Αίγυπτος, η Βαβυλώνα και η αρχαία Ελλάδα - η Svetiy του χρόνου τους, δεν αναγνώρισαν τους αρνητικούς αριθμούς και σε περίπτωση απόκτησης αρνητικών ριζών στην εξίσωση (για παράδειγμα, όπως εμείς), οι ρίζες απορρίφθηκαν ως αδύνατο.
Για πρώτη φορά, οι αρνητικοί αριθμοί έλαβαν το δικαίωμά τους να υπάρχουν στην Κίνα, και στη συνέχεια στον VII αιώνα στην Ινδία.
Τι νομίζετε, ποιος είναι ο λόγος για αυτή την αναγνώριση;
Σωστά, οι αρνητικοί αριθμοί άρχισαν να ορίζουν Χρέη (διαφορετικά υπάρχει έλλειψη).
Πιστεύεται ότι οι αρνητικοί αριθμοί είναι μια προσωρινή τιμή, η οποία ως αποτέλεσμα θα αλλάξει σε ένα θετικό (δηλαδή, ο πιστωτικός φορέας θα επιστραφεί από τον πιστωτή). Ωστόσο, ο ινδικός μαθηματικός Brahmagupupta έχει ήδη θεωρήσει αρνητικούς αριθμούς σε ισοτιμία με θετική.
Στην Ευρώπη, η χρησιμότητα των αρνητικών αριθμών, καθώς και στο γεγονός ότι μπορούν να υποδηλώσουν τα χρέη, ήρθε σημαντικά αργότερα, και οι δύο χιλιετία.
Η πρώτη αναφορά παρατηρήθηκε το 1202 στο "Βιβλίο της Abaka" Leonard Pisansky (αμέσως μιλώ - στον πύργο της Πίζας ο συγγραφέας της σχέσης βιβλίων δεν έχει τίποτα, αλλά ο αριθμός του Fibonacci είναι τα χέρια του (ψευδώνυμο Leonardo Pisansky - Fibonacci )).
Έτσι, στο XVII αιώνα, ο Pascal πίστευε ότι.
Τι νομίζετε, τι το δικαιολογούσε;
Αλήθεια, "τίποτα δεν μπορεί να είναι μικρότερο από τίποτα."
Οι ηχοί αυτών των χρόνων παραμένουν το γεγονός ότι ο αρνητικός αριθμός και η λειτουργία αφαίρεσης υποδεικνύεται από το ίδιο σύμβολο - το μείον "-". Και την αλήθεια:. Ο αριθμός "" είναι θετικός, ο οποίος αφαιρείται από, ή αρνητική, η οποία συνοψίζεται; ... κάτι από τη σειρά "Ποιο είναι το πρώτο: κοτόπουλο ή αυγό;" Εδώ είναι ένα τέτοιο είδος μαθηματικής φιλοσοφίας.
Οι αρνητικοί αριθμοί εξασφάλισαν το δικαίωμά τους να υπάρχουν με την εμφάνιση της αναλυτικής γεωμετρίας, με άλλα λόγια, όταν τα μαθηματικά εισήγαγαν μια τέτοια έννοια ως αριθμητικός άξονας. 
Από τώρα και στο εξής, η ισότητα έχει έρθει. Ωστόσο, τυχόν ίσες ερωτήσεις ήταν περισσότερες από τις απαντήσεις, για παράδειγμα:
ποσοστό
Αυτό το ποσοστό ονομάζεται "Arno Paradox". Σκεφτείτε τι είναι αμφίβολο σε αυτό;
Ας μιλήσουμε μαζί "" περισσότερο από "" σωστά; Έτσι, σύμφωνα με τη λογική, το αριστερό μέρος της αναλογίας πρέπει να είναι μεγαλύτερο από το δικαίωμα, αλλά είναι ίσοι ... έτσι και το παράδοξο.
Ως αποτέλεσμα, τα μαθηματικά συμφώνησαν πριν από την Karl Gauss (ναι, ναι, αυτός είναι αυτός που θεωρεί ότι ο αριθμός (ή) αριθμούς) το 1831 έβαλε το σημείο.
Είπε ότι οι αρνητικοί αριθμοί έχουν τα ίδια δικαιώματα με τα θετικά και το γεγονός ότι δεν ισχύουν για όλα τα πράγματα δεν σημαίνει τίποτα, δεδομένου ότι ο Fraraty δεν ισχύει και για πολλά πράγματα (δεν υπάρχει κανένας τρόπος που το λάκκο σκάβει τον αγρόκτημα, Δεν μπορείτε να αγοράσετε εισιτήριο για τις ταινίες κ.λπ.).
Τα μαθηματικά ηρεμόταν μόνο στο XIX αιώνα, όταν ο William Hamilton και ο Γερμανός Grassman δημιουργήθηκε η θεωρία των αρνητικών αριθμών.
Αυτά είναι αυτά τα αμφιλεγόμενα, αυτοί οι αρνητικοί αριθμοί.
Την εμφάνιση του "κενού" ή μιας βιογραφίας του γρατσουνιού.
Στα μαθηματικά - ένας ειδικός αριθμός.
Με την πρώτη ματιά, αυτό δεν είναι τίποτα: να προσθέσετε, να πάρει μακριά - τίποτα δεν θα αλλάξει, αλλά αξίζει μόνο το δικαίωμα να "", και ο αριθμός που λαμβάνεται θα είναι πιο αρχικός.
Όλοι γυρίζουμε σε μηδέν στο μηδέν σε τίποτα, αλλά χωρίζεται σε "τίποτα", δηλαδή, δεν μπορούμε. Εν ολίγοις, ο μαγικός αριθμός)
Η ιστορία του μηδέν είναι μεγάλη και σύγχυση.
Μηδενική διαδρομή που βρίσκεται στις συνθέσεις των Κινέζων σε 2 χιλιάδες μ.Χ. Και ακόμη και νωρίτερα από τις Μάγια. Η πρώτη χρήση του μηδενικού συμβόλου, που είναι αυτό που είναι σήμερα, παρατηρήθηκε από τους ελληνικούς αστρονόμους.
Υπάρχουν πολλές εκδόσεις για τους οποίους επέλεξε ακριβώς την ονομασία "Τίποτα".
Μερικοί ιστορικοί τείνουν στο γεγονός ότι αυτό είναι ένα ohoomikron, δηλ. Το πρώτο γράμμα της ελληνικής λέξης τίποτα - Ouden. Σύμφωνα με μια άλλη έκδοση, η ζωή του μηδενικού συμβόλου έδωσε τη λέξη "obol" (ένα νόμισμα, σχεδόν καμία τιμή).
Μηδέν (ή μηδέν) ως μαθηματικό σύμβολο για πρώτη φορά εμφανίζεται από τους Ινδιάνους (Σημείωση, οι αρνητικοί αριθμοί άρχισαν να "αναπτύσσονται" εκεί.
Τα πρώτα αξιόπιστα στοιχεία της ηχογράφησης του μηδενίου ανήκουν στο 876, και σε αυτά »- ο αριθμός των αριθμών.
Στην Ευρώπη, το μηδέν επίσης ήρθε επίσης με την πρόσληψη - μόνο το 1600g., Και καθώς και οι αρνητικοί αριθμοί, συναντήθηκαν αντίσταση (τι μπορείτε να κάνετε, είναι οι Ευρωπαίοι).
"Το μηδέν συχνά συχνά μισούσε, φοβόταν ότι φοβούνται, αλλά απαγορεύτηκαν" - Γράφει ο Αμερικανός Mathematician Charles ασφαλής.
Έτσι, ο τουρκικός σουλτάνος \u200b\u200bAbdul-Hamid II στο τέλος του XIX. Διάτρησε τις λογοκριτές του να επιτύχουν όλα τα εγχειρίδια της χημείας, ο τύπος νερού H2O, λαμβάνοντας το γράμμα "o" για μηδέν και δεν θέλουν τα αρχικά του να σπάσουν από τη γειτονιά με περιφρόνηση μηδέν. "
Στο Διαδίκτυο, μπορείτε να συναντήσετε τη φράση: "Το μηδέν είναι η πιο ισχυρή δύναμη στο σύμπαν, μπορεί όλοι! Το μηδέν δημιουργεί τάξη στα μαθηματικά και συμβάλλει επίσης στο χάος. " Απολύτως σωστά παρατηρήσει :)
Σύνοψη του τμήματος και των βασικών τύπων
Πολλοί ακέραιοι αποτελούνται από 3 μέρη:
- Φυσικοί αριθμοί (θεωρούν τις λεπτομερέστερες παρακάτω).
- τους αριθμούς απέναντι από το φυσικό.
- μηδέν - ""
Πολλοί ακεραίοι υποδεικνύονται Επιστολή Ζ.
1. Φυσικοί αριθμοί
Οι φυσικοί αριθμοί είναι οι αριθμοί που χρησιμοποιούμε αντικείμενα για λογαριασμό.
Αναφέρονται πολλοί φυσικοί αριθμοί Επιστολή Ν.
Σε επιχειρήσεις με ακέραιους αριθμούς, χρειάζεστε τη δυνατότητα να βρείτε το NOD και NOC.
Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης (κόμβος)
Για να βρείτε έναν κόμβο ανάγκη:
- Αποσπάστε τους αριθμούς σε απλούς παράγοντες (σε τέτοιους αριθμούς που δεν μπορούν να χωριστούν σε τίποτα, εκτός από ή επάνω, για παράδειγμα, κλπ.).
- Για να γράψετε τους πολλαπλασιαστές που είναι μέρος και των δύο αριθμών.
- Πολλαπλασιάστε τους.
Το μικρότερο σύνολο πολλαπλών (NOK)
Για να βρείτε την ανάγκη NOC:
- Αποσπάστε τους αριθμούς σε απλούς παράγοντες (μπορείτε να το κάνετε ήδη απόλυτα).
- Για να καταγράψετε τους παράγοντες που περιλαμβάνονται στην αποσύνθεση ενός από τους αριθμούς (είναι καλύτερο να πάρετε τη μεγαλύτερη αλυσίδα).
- Προσθέστε λείπουν πολλαπλασιαστές σε αυτούς από τις επεκτάσεις των άλλων αριθμών.
- Βρείτε ένα προϊόν των πολλαπλασιαστών που προκύπτουν.
2. Αρνητικοί αριθμοί
Αυτοί είναι οι αριθμοί απέναντι από φυσικούς, δηλαδή:
Τώρα θέλω να σας ακούσω ...
Ελπίζω να εκτιμήσατε τα εξαιρετικά χρήσιμα "κόλπα" αυτού του τμήματος και να κατανοήσουν πώς θα σας βοηθήσουν στην εξέταση.
Και το πιο σημαντικό - στη ζωή. Δεν μιλάω γι 'αυτό, αλλά πιστέψτε με, αυτό. Η ικανότητα να υπολογίζεται γρήγορα και χωρίς λάθη εξοικονομεί σε πολλές καταστάσεις ζωής.
Τώρα η κίνηση σας!
Γράψτε, θα εφαρμόσετε μεθόδους ομαδοποίησης, σημάδια διαίρεσης, κόμβους και noks στους υπολογισμούς;
Ίσως τα χρησιμοποιήσατε νωρίτερα; Πού και πώς;
Ίσως έχετε ερωτήσεις. Ή προτάσεις.
Γράψτε στα σχόλια ως άρθρο σας.
Και καλή τύχη στις εξετάσεις!
Φόρτωση ...