Picardova metóda Picard Charles Émile (1856-1941) - francia matematika.

Táto metóda umožňuje získať približné riešenie diferenciálnej rovnice (1) vo forme analyticky prezentovanej funkcie.

Nech je za podmienok existencie vety potrebné nájsť riešenie rovnice (1) s počiatočnou podmienkou (2). Integrujme ľavú a pravú stranu rovnice (1) v rozsahu od do:

Riešenie integrálnej rovnice (9) bude spĺňať diferenciálnu rovnicu (1) a počiatočnú podmienku (2). V skutočnosti dostavame:

Integrálna rovnica (9) zaroveň umožňuje aplikovať metódu postupných aproximácií Pravú stranu vzorca (9) budeme považovať za operator mapujúci akúkoľvek funkciu (z tryy funkcií, pre ktorú existuje integrál v (9)) na inú funkciu tej istej tryy:

Ak je tento operator kontrahujúci (čo vyplýva z podmienky Picardovej vety), potom je možné zostrojiť postupnosť aproximácií konvergujúcich k presnému riešeniu. Zoberie sa počiatočná aproximácia a nájde sa prvá aproximácia

Integrál vpravo obsahuje iba premennú x; po nájdení tohto integrálu dostaneme analytický výraz pre aproximáciu ako funkciu premennej x. Ďalej nahradíme y na pravej strane rovnice (9) nájdenou hodnotou a získame druhú aproximáciu

atď. Vo všeobecnom prípade má iteračný vzorec tvar

(n=1, 2...) (10)

Cyklická aplikácia vzorca (10) dáva postupnosť funkcií

konvergujúce k riešeniu integrálnej rovnice (9) To tiez znamena k-ty termín postupnosť (11) je aproximáciou presného riešenia rovnice (1) s určitým kontrolovaným stupňom presnosti.

Všimnite si, že pri použití metódy postupných aproximácií nie je potrebná analyticita pravej strany diferenciálnej rovnice, preto je možné túto metódu použiť aj v prípadoch, keď šenia rozšírenie vírie divernice.

Chyba Picardovej módszer

Odhad chyby pre k-tu aproximáciu je daný vzorcom

kde y (x) je presné riešenie, je Lipschitzova konštanta z nerovnosti (4).

V praxi sa Picardova metóda používa veľmi zriedkavo. Jednym Z dôvodov je, že integrály, ktoré je potrebné vypočítať pri konstrukcii dalších aproximácií, CASTO nie sú analyticky nájdené a ich použitie na výpočet numerických Metód natoľko komplikuje riešenie, že je oveľa pohodlnejšie priamo použiť iné metódy, ktoré sú spočiatku číselné.

Príklady riešenia problemu v Maple

Úloha číslo 1: Metódou postupných aproximácií nájdite hodnotu, kde je riešenie diferenciálnej rovnice: splnenie počiatočnej podmienky, na segmente, urobte krok (vypočítajte na druhú aproximáciu).

Vzhľadom to: - Diferencialnej rovnice

Pociatočny stav

Intervallum

Najs: vyznam

Riesenie:

> y1: = zjednodušiť (1 + int (x + 1, x = 0… x));

> y2: = zjednodušiť (1 + int (x + zjednodušiť (1 + int (x + 1, x = 0… x)) ^ 2, x = 0… x));

Najdite hodnotu pri x = 0,5:

Uloha cislo 2: Pomocou metódy postupných aproximácií nájdite približné riešenie diferenciálnej rovnice v, spĺňajúce počiatočnú podmienku.

Vzhľadom to: - Diferencialnej rovnice

Pociatočny stav

Najs: vyznam

Riesenie:

Na segmente s krokom (ľubovoľne zvolenom) nájdeme približné riešenie tohto DE.

Pre tento prípad napíšeme vzorec v tvare (10)

> y1: = zjednodušiť (1 + int (x * 1, x = 0… x));

>y2: = zjednodušiť (1 + int (x * zjednodušiť (1 + int (x * 1, x = 0… x)), x = 0… x));

Podobne nájdeme tretiu aproximáciu:

> y3: = zjednodušiť (1 + int (x * zjednodušiť (1 + int (x * zjednodušiť)) (1 + int (x * 1, x = 0… x)), x = 0… x)), x = 0 …X));

Nájdime približné riešenie tohto DE na, preto v tretej aproximácii namiesto x dosadíme a dostaneme:

Porovnajme získaný približný výsledok s presným riešením DE:

Podľa výsledkov tabukky je vidieť, že chyba výpočtu je veľmi malá.

Budeme uvažovať obyčajnú diferenciálnu rovnicu (ODR) prveho rádu

s počiatočnou podmienkou

y (x 0) = y 0, (2)

kde f (x) je nejaká daná, vo všeobecnom prípade, nelineárna funkcia dvoch premenných. Budeme predpokladať, že pre daný problém (1) - (2), nazývaný počiatočný problém alebo Cauchyho problém, sú splnené požiadavky, ktoré zabezpečujú existenciu a jednoznačnosť = 0 intervall0, bxyxy na ho intervall .

Napriek vonkajšej jednoduchosti rovnicu (1) ju riešte analyticky, t.j. Najs spoločne rozhodnutie y = y (x, C), aby sme z nej potom extrahovali integrálnu krivku y = y (x) prechádzajúcu daným bodom (x0; y0) Preto, ako v príbuznom probléme výpočtu integrálov pre (1)–(2), je potrebné spoliehať sa na približné metódy riešenia počiatočných úloh pre ODR, ktoré možno rozdeliť do troch skupín:

1) približné analitikus módszer;

2) grafický alebo strojový grafikai módszertan;

3) numerikus módszer.

Metódy prvej skupiny zahŕňajú tie, ktoré umožňujú nájsť aproximáciu riešenia y (x) okamžite vo forme nejakej "dobrej" funkcie. φ (NS). Napriklad je všeobecne znamy metóda mocninovych radov, v jednej z implementácií je znázornenie požadovanej funkcie y (x) segmentom Taylorovho radu, kde Taylorove koeficienty obsahujúce derivácie vyšších rádov sa nachádzajú postupným derivovaním samotnej rovnice (1). Ďalším zástupcom tejto skupiny metód je metóda postupných aproximácií, ktorej podstata je uvedená nižšie.

nazov grafikai módszertan hovorí o približnom zobrazení požadovaného riešenia y (x) na intervale vo forme grafu, ktorý možno vykresliť podľa toho či onoho pravidla súvisiaceho s grafickou interpretáciou tohto problému. Základom počítačovo-grafických metód približného riešenia je fyzikálna alebo možno presnejšie povedané elektrická interpretácia počiatočných problémov pre určité typy rovníc. Pri realizácii špecifikovaných elektrických procesov na fyzikálnej a technickej úrovni sa na obrazovke osciloskopu sleduje správanie riešení diferenciálnych rovníc popisujúcich tieto procesy. (AVM).

Napokon najvýznamnejšie v súčasnosti, charakterizované prudkým rozvojom egy prenikaním digitálnej výpočtovej techniky do všetkých Sfer ľudskej činnosti, sú numerické metódy riešenia diferenciálnych rovníc, ktoré zahŕňajú získanie číselnej tabuľky približných hodnôt yi požadované riešenie y (x) na určitej mriežke
hodnoty argumentu x. Ďalšia prezentácia bude venova týmto metódam. Čo robiť so získanými číselnými hodnotami riešenia závisí od použitej formulácie problému. Ak hovoríme o nájdení iba hodnoty y (b), potom bod b je zahrnutý ako konečný bod v systéme návrhových bodov xi a všetky približné hodnoty yi spramätavyovavy y (xi), mepánieľjúj, sa, potom bod b je zahrnutý ako konečný bod v system Ak potrebujete mať približné riešenie y (x) v ľubovoľnom bode x, potom môžete na výslednú číselnú tabuľku yi použiť ktorúkoľvek z metód. becsület. Možné sú aj iné použitia číselných údajov riešenia.

Dotknime sa približnej analytickej metódy riešenia počiatočnej úlohy (1)–(2), v ktorej požadované riešenie y = y (x) v niektorom pravom okolí bodu x 0 je limitou postupnosti funkýmurčicie yn (x) zítskané

Integrujme ľavú a pravú stranu rovnice (1) v medziach od x 0 do x:

Ak teda vezmeme do úvahy skutočnosť, že jedna z primitív pre y "(x) je y (x), dostaneme

alebo pomocou počiatočnej podmienky [2],

(3)

Daná diferenciálna rovnica (1) s počiatočnou podmienkou (2) bola teda transformovaná na integrálnu rovnicu (tu neznáma funkcia je zahrnutá pod znamienko integrálu).

Výsledná integrálna rovnica (3) má tvar úlohy s pevným bodom operátor előtt
Formálne možno na tento problém použiť metódu jednoducej iterácie

dostatočne podrobne uvažované vo vzťahu k systémom lineárnych a nonlineárnych algebraických a transcendentálnych rovníc. Ak vezmeme konštantu y 0 uvedenú v (2) ako počiatočnú funkciu y 0 (x), pomocou vzorca (4) pre n = 0, nájdeme prvú aproximáciu

Jeho substitúcia v (4) za n = 1 dáva druhú aproximáciu

atď. Táto približná analytická metóda, nazývaná metóda postupných aproximácií alebo Picardova metóda, je teda určená vzorcom

(5)

kde n = 0,1, 2, ... a yo (x) = y0.

Všimnime si dve charakteristiky Picardovej metódy postupných aproximácií, ktoré možno pripísať negatívnym. Po prvé, kvôli dobre známym problémom s účinným nájdením primitívnych derivátov v čistej forme je metóda (5) zriedka realizovateľná. Po druhé, ako je možné vidieť z vyššie uvedeného tvrdenia, táto metóda by sa mala považovať za lokálnu, vhodnú na aproximáciu riešenia v malom pravom susedstve počiatočného bodu. Vyssia hodnota Picardova metóda má skôr dokázať existenciu a jedinečnosť riešenia Cauchyho problému, než ho nájsť v praxi.

Lekcia cislo 17. Eulerove-módszer.

Cieľ - oboznámiť študentov s Eulerovými metódami riešenia Cauchyho úlohy pre obyčajné diferenciálne rovnice.

Táto metóda je zastupcom tryy približných metód

Myšlienka metódy je mimoriadne jednoduchá a scvrkáva sa na sekvenčný postup.

aproximácie na riešenie integrálnej rovnice, ku ktorej

je daná pôvodná diferenciálna rovnica.

Nech je položený Cauchyho probléma

,

Integrujme napísanu rovnicu

. (5.2)

Postup postupných aproximácií Picardovej metódy je implementovaný podľa nasledujúcej schemy

, (5.3)

Priklad ... Rieste rovnicu Picardovou metódou

,

Riešenie tejto rovnice nie je vyjadrené elementárnymi funkciami.

,

Je vidieť, že séria rýchlo konverguje. Metóda je vhodná, ak integrály možno brať analyticky.

Dokážme konvergenciu Picardovej metodi. Vpustite nejake ohranicene

domény je pravá strana spojitá a navyše spĺňa Lipschitzovu podmienku vzhľadom na premennú, t.j.

kde je nejaká konstanta.

Vzhľadom na ohraničenosť domény, nerovnosti

Odčítaním vzorca (5.2) od (5.3) dostaneme pre moduly pravý a ľavý

,

.

Nakoniec pomocou Lipschitzzovej podmienky kontinuity získame

, (5.4)

kde je chyba približného riešenia.

Dôsledná aplikácia vzorca (5.4) at dáva nasledujúci reťazec vzťahov berúc do úvahy skutočnosť, že

,

,

.

Pretože, potom máme

.

Nahradením Stirlingovým vzorcom nakoniec získame odhad chyby približného riešenia

. (5.5)

Z (5.4) vyplýva, že pri, chybovom modul, t.j.

približné riešenie rovnomerne konverguje k presnému.

5.2.2. Módszer Runge-Kutta

Tieto metódy sú numerické.

V praxi sa používajú metódy Runge-Kutta, ktoré poskytujú post-

rojenie diferenčných schém (metód) rôzneho rádu presnosti. Vačšina

používajú sa schemy (metódy) druhého a štvrtého rádu. Oni én a

zvážte nižšie.

Najprv predstavíme niektoré pojmy a definície. Sieťka zapnuta

segment je pevna množina bodov tohto segmentu.

Funkcia definovaná v týchto bodoch sa nazýva mriežková funkcia.

Súradnice bodov spĺňajú podmienky

Test sú uzly mriežky. Mnoho bodov je nakreslených jednotnou mriežkou

, ,

kde je krok mriežky.

Pri riešení diferenciálnych rovníc približnou metódou je hlavnou otázkou konvergencia. Pri použití diferenčných metód sa tradične častejšie používa concept konvergencie at. Označme hodnoty funkcie mriežky, hodnoty presného riešenia diferenciálnej rovnice (5.1) v uzle - (sú približné hodnoty). Konvergencia znamena nasledovne. Upevníme bod a zostavíme množinu mriežok takým spôsobom, že (v ktorom). Potom sa numerická metóda považuje za konvergujúcu v bode, ak

v,. Metoda konverguje na segmente, ak konverguje v každom bode. O metóde sa hovorí, že má tý rád presnosti, ak je možné nájsť číslo také, že pri.

t.j. rezíduum je výsledkom dosadenia presného riešenia rovnice (5.1) do diferenčnej rovnice. Napríklad (5.1)

, .

Potom je zvyšok určený nasledujúcim výrazom

.

Vo všeobecnosti sa približné riešenie nezhoduje s, preto sa zvyškový bod nerovná nule. Zavádza sa nasledujúca definícia: numerická metóda aproximuje pôvodnú diferenciálnu rovnicu, ak je pre, a má tý rád presnosti, ak .

Je dokázané, že poradie presnosti numerickej metódy na riešenie diferenciálnej rovnice sa zhoduje s rádom aproximácie za pomerne všeobecných predpokladov.

Teraz prejdime k analýze schém Runge-Kutta. Najprv sa obráťme na

schemy druhého radu presnosti.

Pomocou Taylorovho vzorca riešenie diferenciálnej rovnice

(5.1) môže byť reprezentovaný ako

, (5.6)

kde je uvedene, ,.

Všimnite si, že podľa (5.1) ,.

származéka nasledovne

,

kde su zatiaľ neznáme množstvá. Nechať byť

Označme približnú hodnotu riešenia v uzle číslom cez

Tu zadané parametre podliehajú definícii.

Rozšírením pravej strany v Taylorovom rade a zmenšením podobných výrazov dostaneme

dosledne

Podmienkou výberu parametrov a nastavme blízkosť výrazu

(5.7) do sorozat (5.6), potom

, ,.

Jeden paraméter zostáva voľny. Nech je to potom

, ,

a napokon z (5.7)

Vzťah (5.8) popisuje jednoparametrovú rodinu dvojčlenných Runge-Kuttovych vzorcov.

V odbornej literatúre je dokázané, že ak je spojitá a viazaná spolu so svojimi druhými deriváciami, potom približné riešenie schemy (5.8) konverguje rovnomerne k presnému riešeniu s chybou. , t.j. schema (5.8) má druhý rád presnosti.

V praxi výpočtov sa pre hodnoty parametra používajú vzorce (5.8).

Z (5.8) vyvodzujeme

Aplikácia vzorca (5.9) je zredukovaná na nasledujúcu postupnosť krokov:

1. Hodnota funkcie sa vypočíta približne (podľa schemy prerušovaných čiar)

2. Určite sklon integrálnej krivky v bode ()

3. Nájdite priemernú hodnotu derivácie funkcie v kroku

4. Vypočíta sa hodnota funkcie v () -tom uzle

Táto schéma má špeciálny názov "prediktor - korektor".

Podľa (5.8) získame

Probléma je vyriešený pomocou nasledujúcich krokov:

1. Vypočíta sa hodnota funkcie v polovičnom uzle

.

2.Určite hodnotu derivácie v csomó

.

3. Nájdite hodnotu funkcie v () -tom csomó

Okrem vyššie uvedených dvojčlenných schém sú v praxi výpočtov rozšírené schemy Runge-Kutta štvrtého rádu presnosti. Nižšie sú uvedene zodpovedajúce vzorce bez odvodenia

(5.10)

Schémy s veľkým počtom členov sa prakticky nepoužívajú. Päť-

výrazové vzorce poskytujú štvrtý rád presnosti, šesťčlenné vzorce majú šiesty rád, ale ich forma je veľmi komplikovaná.

Chyby daných schém Runge-Kutta su určené maximom

hodnoty zodpovedajúcich derivátov.

Odhad chyby sa da ľahko získať pre konkrétny prípad práva

Casti diferencialnej rovnice

.

V tomto prípade možno riešenie rovnice zredukovať na kvadratúru a

všetky schemy riešenia rozdielov sa zmenia na vzorce pre číselný integrál

büszkeség. Napriklad séma (5.9) má forma

,

to znamená, že má tvar lichobežníkového vzorca a schéma (5.10) sa mení na schemu

čo je Simpsonov vzorec s krokom.

Hlavné odhady chyby lichobežníkového a Simpsonovho vzorca sú známe (pozri časť 3.2). Z (3.4) a (3.5) je zrejmé, že presnosť schém Runge-Kutta je pomerne vysoká.

Výber jednej alebo druhej z vyššie uvedených schém na riešenie konkrétneho problému

dávanie je urcené nasledujúcimi úvahami. Ak je funkcia v

pravá strana rovnice je spojitá a ohraničená, ako aj spojitá a

jeho štvrté deriváty sú obmedzené, potom sa dosiahne najlepší výsledok -

pomocou schemy (5.10). V pripade, ze funkcia

nemá vyššie uvedené deriváty, obmedzujúci (štvrtý) rád

schemu (5.10) nemožno dosiahnuť a ukazuje sa to ako účelné

uplatňovanie jednoduchších schem.

Okrem schém Runge-Kutta sú praktické viackrokové metódy, ktoré možno opísať nasledujúcim systémom rovníc

kde a sú to číselné koeficienty, ,.

Podľa tejto rovnice sa výpočet začína s. V tomto prípade získame vzťah tvaru

nyakkendő. ak chcete začať počítať, musíte mať počiatočné hodnoty. Tieto hodnoty sa musia vypočítať inou metódou, napríklad metódou Runge-Kutta.

Spomedzi viackrokových metód je najrozšírenejšia Adamsova metóda, ktorej implementačná schéma vyplýva z (5.11) pre egy elő :

.

Keď sa Adamsova metóda ukáže ako explicitná, ale implicitná.

Ide o približnú metódu riešenia, ktorá je zovšeobecnením metódy postupných aproximácií (pozri kapitolu V, 2. §). Zvážte Cauchyho problem pre rovnicu prveho poriadku

Integráciou diferenciálnej rovnice nahradíme tento problém ekvivalentnou integrálnou rovnicou Volterrovho typu

Riešením tejto integrálnej rovnice metódou postupných aproximácií získame iteračný Picardov proces

(približné riešenie na rozdiel od presneho označíme y). Pri každej iterácii tohto procesu sa integrácia vykonáva buď presne, ill. numerikus módszer popisane v capitol IV.

Dokážme konvergenciu metódy za predpokladu, že v nejakej ohraničenej oblasti je pravá strana spojitá a vyhľadom na premennú a Lipschitzovu podmienku

Keďže oblasť je ohraničená, vzťahy sú splnené. Označme chybu približného riešenia odčítaním (8) od (9) a použitím Lipschitzovej podmienky dostaneme

Vyriešenie tohto vzťahu opakovania a zohľadnenie, ktoré postupne zisťujeme

Nasleduje teda odhad chyby

Je vidieť, že pri, t.j. približné riešenie konverguje rovnomerne k presnému v celej oblasti.

Priklad. Picardovu metódu aplikujeme na Cauchyho úlohu pre rovnicu (3), ktorej riešenie nie je vyjadrené elementárnymi funkciami.

V tomto prípade sú kvadratúry (9) vypočítané presne a ľahko dostaneme

a tak ďalej. Je vidieť, že tieto aproximácie rýchlo konvergujú a umožňujú vypočítať riešenie s vysokou presnosťou,

Z tohto príkladu je zrejmé, že je výhodné použiť Picardovu metódu, ak sa integry (9) dajú vypočítať z hľadiska elementárnych funkcií. Ak je pravá strana rovnice (7) komplikovanejšia, takže tieto integry treba nájsť numerickými metódami, potom sa Picardova metóda stáva málo výhodnou.

Picardovu metódu možno jednoducho zovšeobecniť na sústavy rovníc metódou opísanou v časti 2. V praxi však platí, že čím vyšší rád sústavy, tým menj čassto je možpoy presavy, tým menej často je možpoy

Existuje mnoho ďalších približných metód. Napríklad S. A. Chaplygin navrhol metódu, ktorá je zovšeobecnením Iný spôsob zovšeobecnenia Newtonovej metódy navrhol L. V. Kantorovich v roku 1948. V oboch tychto metódach, ako aj v Picardovej metóde sa iterácie vykonávajú pomocou kvadratúry. Kvadratúry v nich však majú oveľa zložitejší tvar ako (9) a zriedka sa používajú v elementárnych funkciách. Preto sa tieto metódy takmer nepoužívajú.