Nel §1.1 è stata data una definizione assiomatica di un campo, sono stati introdotti concetti e sono stati forniti esempi di un campo semplice ed esteso.
A generalizzare quanto detto nei §1.1 e §1.3 sono le seguenti definizioni:
1.Per campi semplici:
2.Per campi estesi:
A parte il requisito di irriducibilità, il polinomio π (x) è soggetto a un ulteriore requisito fondamentale: gli elementi diversi da zero del campo sono potenze della radice α del polinomio π (x) .
Se gli elementi di campo sono diversi da zero GF (m) può essere rappresentato come potenze di qualche elemento α, quindi α è chiamato l'elemento primitivo di questo campo.
Nel §1.1 è stato mostrato che il campo GF (2 2 ) ha 1, α, 1 + α come elementi diversi da zero, dove α è la radice π (x) \u003d 1 + x + x 2, cioè 1 + α + α 2 \u003d 0. Poiché 1 \u003d α 0 e 1 + α \u003d α 2, allora tutti gli elementi non nulli GF (2 2 ) sono rappresentati dalle potenze della radice π (x) L'elemento α è un elemento primitivo Gf(2 2 ) e π (x) \u003d 1 + x + x 2 è un polinomio irriducibile primitivo.
Considera il campo GF (5).Poiché 5 è un numero primo, l'anello della classe dei residui modulo 5 forma il campo GF (5).Le tabelle di addizione e moltiplicazione modulo 5 sono fornite in §1.3. C'è anche un elemento primitivo per questo campo, i cui gradi sono dati da tutti gli elementi diversi da zero del campo. Ad esempio, 2 0 \u003d 1, 2 1 \u003d 2, 2 2 \u003d 4, 2 3 \u003d 8 \u003d 3,2 4 \u003d 16 \u003d 1,2 5 \u003d 32 \u003d 2.
Questi esempi possono essere riassunti come segue. In qualsiasi gruppo moltiplicativo finito, si può considerare l'insieme di elementi formati da qualche elemento ge le sue potenze g 2, g 3, ecc Poiché il gruppo ha un numero finito di elementi, apparirà inevitabilmente la ripetizione, ad es. per alcuni i e j sarà g i \u003d g j.
Se si osserva g i \u003d g j, allora g j - i \u003d 1. Pertanto, una certa potenza di g è uguale a 1. Let e È il numero positivo più piccolo , al quale g e =1. La raccolta degli elementi 1, g, g 2, ..., g e -1 forma un sottogruppo per l'operazione di moltiplicazione, poiché c'è un elemento unitario 1, la chiusura, la presenza di elementi inversi: per g i l'elemento inverso g e - i. Un gruppo composto da tutti i gradi di uno dei suoi elementi ha ricevuto il nome gruppo ciclico .
Numero e chiamato l'ordine dell'elemento g .
Riassumendo quanto sopra è il seguente:
Se un gruppo moltiplicativo di ordine q contiene un sottogruppo ciclico di elementi e generati da qualche elemento g, allora il numero di cosetti nella scomposizione del gruppo in un sottogruppo ciclico sarà q / e, e ogni coset conterrà anche e elementi. Quindi, la seguente affermazione è vera: 
dove φ (e ) È la funzione di Eulerouguale al numero di coprimi con e e più piccoli e... La funzione di Eulero può essere calcolata come segue:
se e - numero composto del modulo e
=
dove pio \u003e 1 è semplice e lio È un numero naturale e io
= 1,2,
...
tpoi
φ( e)
=
.
In particolare, per un semplice Re intero e
φ( r e)= r e - r a-1 , φ( r) = p - 1.
Oltretutto,
φ( e 1 × e 2) \u003d φ ( e 1) φ ( e 2),
se e 1 e e 2 sono relativamente semplici.
Per esempio:
φ (1) \u003d 1, φ (4) \u003d 2,
φ (2) \u003d 1, φ (5) \u003d 4,
φ (3) \u003d 2, φ (6) \u003d 2.
Esempio 1.4.1... Determina il numero di elementi Ni del campo GF (2 6) di ordine i \u003d 1, 3, 7, 9, 21, 63.
Soluzione: Ni \u003d φ (i), dove φ (i) è la funzione di Eulero, per calcolare quale è necessario conoscere la scomposizione canonica del numero i:
1 \u003d 1, 3 \u003d 3, 7 \u003d 7, 9 \u003d 3 2, 21 \u003d 3 × 7, 63 \u003d 3 2 × 7.
Adesso troviamo:
N9 \u003d φ (9) \u003d 9 (1-1 / 3) \u003d 9 × 2/3 \u003d 6,
N21 \u003d φ (21) \u003d 21 (1-1 / 3) (1-1 / 7) \u003d 21 × 2/3 × 6/7 \u003d 12, o φ (21) \u003d φ (3) φ (7) \u003d 2 × 6 \u003d 12,
N63 \u003d φ (63) \u003d 63 (1-1 / 3) (1-1 / 7) \u003d 63 × 2/3 × 6/7 \u003d 36.
I numeri considerati 1, 3, 7, 9, 21, 63 sono divisori di 63 e quindi determinano tutti i possibili ordini degli elementi del gruppo moltiplicativo del campo GF (2 6). Il risultato può essere riassunto come segue:
Una conseguenza importante di quanto considerato è la seguente e - Ordine degli elementi primitivi GF (p m) e è uguale ap m -1, cioè α 
\u003d 1 Se tra gli elementi del campo GF (p m) c'è un elemento β di ordine p r -1, dove r< m,
т.е. β
α 
, quindi la sequenza degli elementi β 1, β 2, ..., 
=
, forma un sottogruppo ciclico del gruppo moltiplicativo GF (p m), cioè contiene tutti gli elementi diversi da zero del nuovo campo GF (p r), che è un sottocampo di GF (p m).
Nel § 2.1 verrà mostrato che p r -1 divide p m -1 se r divide m. Quindi finalmente
Esempio 1.4.2Ad esempio, si consideri i sottocampi del campo GF (2 12). Il numero 12 è divisibile per 6,4,3 e 2, ad es. all'interno del campo GF (2 12) esistono come sottocampi dei campi GF (2 6), GF (2 4), GF (2 3), GF (2 2). Poiché ogni campo esteso contiene un campo di base, ciascuno dei campi specificati contiene un campo GF (2). Cerchiamo di trovare i gruppi ciclici dei campi in esame. Indichiamo gli elementi primitivi dei campi:
GF (2 12) → α, GF (2 6) → β, GF (2 4) → γ, GF (2 3) → δ, GF (2 2) → ε, GF (2) → ζ.
Esprimiamo gli elementi diversi da zero dei campi in termini di poteri degli elementi primitivi:
GF (2 12): α 1, α 2, α 3, ..., α 4095 \u003d α 
-1 \u003d 1 \u003d α 0 e l'ordine di α è 4095;
GF (2 6): β 1, β 2, β 3,…, β 63 \u003d β 
-1 \u003d 1 \u003d β 0 e l'ordine di β è 63; GF (2 4): γ 1, γ 2, γ 3, ..., γ 15 \u003d γ 
-1 \u003d 1 \u003d γ 0 e l'ordine di γ è 15; GF (2 3): δ 1, δ 2, δ 3, ..., δ 7 \u003d δ 
-1 \u003d 1 \u003d δ 0 e l'ordine di δ è 7; GF (2 2): ε 1, ε 2, ε 3 \u003d ε 
-1 \u003d 1 \u003d ε 0 e l'ordine di ε è 3; GF (2): ζ 1 \u003d ζ 
-1 \u003d 1 \u003d ζ 0 e l'ordine di ζ è 1.
Gli elementi dei campi GF (2 6), GF (2 4), GF (2 3), GF (2 2) e GF (2) sono inclusi in GF (2 12). Inoltre, β \u003d α 65, da allora β 63 \u003d α 4095 \u003d 1 \u003d (α 65) 63. Allo stesso modo γ \u003d α 273, δ \u003d α 585, ε \u003d α 1365, ζ \u003d α 4095. La relazione tra i campi considerati è illustrata in Fig. 1.1.
Figura 1.1. Campo GF (2 12) e suoi sottocampi
Capitolo 2 Polinomio X n -1, le sue radici e i fattori irriducibili
2.1 .Connessione tra radici X n -1 ed elementi di campo Gf ( q )
Il polinomio X n -1, i suoi fattori irriducibili e le loro radici giocano un ruolo essenziale nella costruzione della classe più importante di codici di gruppo: i codici ciclici. Conoscere le radici dei fattori X n -1 consente di risolvere il problema della scelta del codice richiesto per un particolare canale discreto.
Considera il caso generale:
Sia X n -1 definito sul campo GF (q). È noto che GF (q) ha un gruppo ciclico di q-1 dei suoi elementi diversi da zero.
L'ordine di ogni elemento diverso da zero di GF (q) non può essere maggiore di q-1, il che significa che α q -1 \u003d 1 per ogni elemento diverso da zero α di GF (q), ad es. qualsiasi elemento diverso da zero di GF (q) rende X q -1 -1 zero e, quindi, è la sua radice. Poiché X q -1 -1 ha esattamente q-1 radici, quindi, quindi, tutti gli elementi diversi da zero di GF (q) sono radici di X q -1 -1.
In questo modo,
Nel caso di codici binari ciclici, siamo interessati a polinomi radicati in campi di Galois estesi GF (2 m). In accordo con il risultato di cui sopra, la seguente affermazione è vera:
È importante poter confrontare insiemi di elementi GF (q), nel caso particolare GF (2 m), con le radici dei fattori irriducibili X q -1 -1 (nel caso binario, con le radici X 
-1 -1), esattamente come con le radici X n -1 per arbitrario n.
Nell'individuare i fattori X n -1, sono utili le seguenti proprietà, che caratterizzano le connessioni tra gli elementi di GF (q) ei polinomi che sono divisori di X n -1.
Proprietà 1... La presenza nel binomio X n -1 di fattori della forma X m -1, dove m Sia n \u003d m × d, dove n, m e d sono numeri interi positivi. Consideriamo il binomio Y d -1 Ovviamente per Y \u003d 1 svanisce e 1 è la radice di Y d -1. Quindi, per il teorema di Bezout, Y d -1 è divisibile per Y-1 Supponi che Y \u003d X m. Quindi, ovviamente, X md -1 è divisibile per X m -1. Pertanto, è vero quanto segue: Proprietà 2.I campi di Galois GF (p m) formati dalle classi di residui di polinomi modulo un polinomio primitivo π (x) di grado m irriducibile sul campo GF (p) sono detti campi specifichep per qualsiasi scelta di m. Nel campo GF (p), l'elemento p \u003d 0. In un campo di caratteristica p, per qualsiasi numero aeb, vale il teorema binomiale: (a + b) p \u003d a p + C dove C i p-coefficienti binomiali calcolati dalla formula: Pertanto, è vero: Proprietà 3.Sia irriducibile il polinomio f (x) \u003d a0 + a1x + ... + amx m di grado m in campo GF (p). Considera (f (x)) p. Dalla proprietà precedente: (f (x)) p \u003d (a 0) p + (a1x 1) + ... + (amx m) p \u003d A0 p + a1 p (x p) '+ ... + am p (x p) m \u003d A0 + a1 (x p) '+ ... + am (x p) m \u003d f (x p). Questo risultato è ottenuto per il fatto che per ogni elemento a i da GF (p) è vero: ai p -1 \u003d 1 e ai p \u003d ai. Sia β una radice di f (x), allora f (β) \u003d 0. In virtù del risultato ottenuto (f (β)) p \u003d f (β p) \u003d 0, cioè per ogni radice β del polinomio f (x), è vero che β p è anche una radice f(x). Poiché il polinomio irriducibile f(x) grado m ha totale m
radici e una delle sue radici è β, quindi m gradi β di p 0 \u003d 1
fino a p m -1
sono le radici di f ( x), cioè è vero: Se f(x) è un polinomio di grado m con coefficienti dal campo Gf(p) irriducibile in questo campo, e β è una radice f ( x), quindi β, β p, ..., β p Proprietà 4.Una conseguenza diretta della proprietà 3 è la seguente: Tutte le radici di un polinomio irriducibile hanno lo stesso ordine. Per dimostrare questa proprietà, si supponga che le radici di un polinomio irriducibile f(x) grado m è β di ordine e
e β Proprietà 5.Sopra, una corrispondenza uno a uno tra elementi diversi da zero Gf(p m) e le radici del binomio X x Questo risultato è noto in letteratura come teorema di Fermat: Qualsiasi elemento α
campi
Gf
(
p
m
) soddisfa l'identità
α Una conseguenza del teorema di Fermat è il fatto che il binomio x dove un io =
Gf(p m), cioè tutti gli elementi un io
o Gf(p m) sono le radici del binomio x Sopra, abbiamo mostrato che l'elemento field Gf(p m)
α
ordine p m -1
è chiamato primitivo e qualsiasi elemento diverso da zero del campo è un grado α
, cioè per elementi diversi da zero un io
giusto un io =
α
io , da cui prendo un valore 1
prima p m -1. Proprietà 6. La proprietà 3 stabilisce una connessione tra sequenze di radici di un polinomio irriducibile f(x). È naturale supporre che la radice f(x) - elemento di campo esteso Gf(p m). Quale può essere il grado massimo di un polinomio irriducibile con radici da Gf(p m) o qual è lo stesso - qual è il grado massimo del fattore irriducibile x La risposta a questa domanda è data dall'analisi del possibile massimo grado nella sequenza delle radici: È conveniente considerare la sequenza dei poteri nell'espressione della radice attraverso l'elemento primitivo del campo
Gf(p m). Quindi la sequenza di radici di cui sopra corrisponde in modo univoco alla sequenza di gradi di un elemento primitivo: (S,
p 2
s,
p 3
s,…,
p dove m s È il numero positivo più piccolo tale che p Il grado massimo di un polinomio irriducibile nell'espansione -, così come nell'espansione del polinomio -, è m. Una sequenza, racchiusa tra parentesi graffe, chiamata classe ciclotomica, a seconda del valore spotrebbe contenere m s ≤ melementi. Il numero s, che si trova all'inizio della classe ciclotomica, ha ricevuto il nome del generatore o rappresentante della classe ciclotomica. Si mostrerà di seguito che il numero di elementi nella classe ciclotomica m s deve essere un divisore del numero m. Quanto segue è vero: Un insieme di numeri interi che rappresentano le potenze di un elemento primitivo α
campi
Gf(p m) nella rappresentazione di elementi diversi da zero del campo sotto forma di un gruppo ciclico si divide in sottoinsiemi chiamati classi ciclotomiche modulo p m -1.
Ogni classe ciclotomica corrisponde in modo univoco a uno dei fattori irriducibili
- . È chiaro che: Numero totale di classi ciclotomiche per il campo Gf(p m) coincide con il numero di fattori irriducibili del polinomio -, e l'insieme di elementi coperti dalle classi ciclotomiche mappa tutti gli elementi non nulli del campo Gf(p m). Ad esempio, classi ciclotomiche modulo 15
per p
=2
siamo: A PARTIRE DAL 0(15)
={0
}, C 1(15)
={1
,2
,4
,8
}, C 3(15)
={3
,6
,12
,9
}, C 5(15)
={5
,10
}, C 7(15)
={7
,14
,13
,11
}. Qui A PARTIRE DAL S (15)
indica una classe ciclotomica mod 15 che inizia con un numero s. L'analisi delle sequenze date significa che il binomio
x 15
+1 sopra il campo Gf(2
) consiste di 5
fattori irriducibili: un fattore di 1 ° grado con una radice di ordine 1, un fattore di 2 ° grado con una radice di ordine 3 e tre fattori di grado 4, due dei quali hanno l'ordine di 15 radici e uno ha l'ordine di 5 radici. I risultati di questa analisi mostrano che la sequenza C 0(15)
corrisponde al polinomio x +1; sequenza C 5(15)
corrisponde a un polinomio di grado 2 con radici di ordine 3 - questo è un polinomio
x 2 +
x +1 - fattore irriducibile del binomio
x 3 +1; sequenza C 3(15)
corrisponde ad un fattore irriducibile del 4 ° grado del binomio
x 5 + 1 \u003d ( x
+1)(
x
4 +
x
3 +
x
2 +
x +1), quindi l'ordine delle radici è uguale a cinque. Polinomi corrispondenti a sequenze C 1(15)
e
C 7(15)
può essere trovato sulla base del teorema di Bezout: f 1
(x)=
(x+
α
))(x+
α
2
))(x+
α
4
))(x+
α
8
), f 7
(x)=
(x+
α
7
)(x+
α
11
)(x+
α
13
))(x+
α
14
). Analisi di polinomi f 1
(x) e
f 7
(x) verrà eseguito di seguito. Proprietà 7.Analisi di polinomi irriducibili inclusi nella scomposizione di X Sia f (x) un fattore irriducibile di grado d ≤ m del polinomio X Proprietà 8.Un ragionamento simile porta alla seguente affermazione: Proprietà 9. Consideriamo più in dettaglio i polinomi su GF (2): f1
(x)
= (x+
α
)(x+
α
2
)(x+
α
4
)(x+
α
8
),
f7
(x)
= (x+
α
7
)(x+
α
11
)(x+
α
13
)(x+2
14
).
Le radici di questi polinomi sono elementi del campo GF (2 4). Tenendo conto delle regole di addizione e moltiplicazione in questo campo, per semplice moltiplicazione troviamo: f1
(x)
= 1+
x+
x 4
,
f7
(x)
= 1+
x 3
+
x 4
.
I polinomi f1 (x) e f7 (x) sono polinomi duali (mutui). Il polinomio f * (x), duale a qualche polinomio f (x), è definito come f * (x) \u003d x m f (1 / x), dove m è il grado di f (x). Per i polinomi doppi f * (x) e f (x) è vero: 1. Le radici di f * (x) sono inverse alle radici di f (x). 2. Il polinomio f * (x) è irriducibile se e solo se f (x) è irriducibile. 3. Se il polinomio f (x) è irriducibile, allora f (x) e f * (x) appartengono allo stesso esponente. I corpi sono un gruppo, i cui elementi sono tutti elementi diversi da zero del corpo dato, e l'operazione coincide con l'operazione di moltiplicazione nel corpo. M. field è un gruppo abeliano. O. A. Ivanova ... Enciclopedia della matematica Il sistema ridotto di residui modulo m è l'insieme di tutti i numeri del sistema completo di residui modulo m coprimi con m. Il sistema ridotto di residui modulo m è costituito da φ (m) numeri, dove φ () è la funzione di Eulero. Come sistema di detrazione ridotto ... ... Wikipedia Teoria dei gruppi ... Wikipedia Un gruppo in algebra astratta è un insieme non vuoto su cui è definita un'operazione binaria che soddisfa gli assiomi di seguito indicati. La branca della matematica che si occupa dei gruppi è chiamata teoria dei gruppi. Tutti i numeri reali familiari sono dotati di ... ... Wikipedia Il gruppo di automorfismi di una certa forma sesquilineare f sul modulo K di destra E, dove K è un anello; inoltre, f ed E (e talvolta K) soddisfano condizioni aggiuntive. Non esiste una definizione esatta di K. g. Si presume che f sia zero o non degenere ... ... Enciclopedia della matematica Il gruppo di tutte le matrici invertibili di grado n su un anello associativo K con unità; notazione comune: GLn (K). o GL (n, K). P. l. d. GL (n, K) può anche essere definito come il gruppo di automorfismi AutK (V) del modulo K a destra libera Vc …… Enciclopedia della matematica Per una descrizione generale della teoria dei gruppi, vedere Gruppo (matematica) e Teoria dei gruppi. Il corsivo indica un collegamento a questo dizionario. # A B C D E F G H I J K L M N O P R S T U ... Wikipedia Non sei uno schiavo! Da Wikipedia, l'enciclopedia libera Il gruppo moltiplicativo dell'anello residuo modulo m è il gruppo moltiplicativo di elementi invertibili dell'anello residuo modulo m... In questo caso, qualsiasi sistema ridotto di residui modulo m.
Sistema di detrazioni ridotto modulo m - l'insieme di tutti i numeri del sistema completo dei residui modulo mcoprimo con m... Come sistema ridotto di residui modulo m di solito sono relativamente semplici con m numeri da 1
prima m - 1 . Esempio: il sistema ridotto dei residui mod 42 sarà: (1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41). Proprietà
Sistema ridotto dei residui con moltiplicazione modulo m forma un gruppo chiamato gruppo moltiplicativo o dal gruppo di elementi invertibili dell'anello residuo modulo m
che è indicato Se m semplice, quindi, come notato sopra, gli elementi 1, 2, ..., m-1 sono inclusi in Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile Anello residuo modulo n denota Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile Per capire la struttura del gruppo Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile Teorema: Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile Esempio
: Considera un gruppo Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile Per considerare il caso generale, è necessario definire una radice primitiva. Radice primitiva modulo Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile In caso di modulo intero Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile La struttura di un gruppo è determinata dal seguente teorema: se p è un numero primo dispari el è un numero intero positivo, allora ci sono radici primitive modulo Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile Lascia stare Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile Se il numero Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile Esempio
: Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile Sistema ridotto dei residui modulo Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile Registrazione Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile Artin, Bilharz, Brower, Wilson, Gauss, Lagrange, Lehmer, Waring, Fermat, Hooley, Euler hanno contribuito allo studio della struttura del gruppo moltiplicativo dell'anello residuo. Lagrange ha dimostrato un lemma che se Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile
a p-1 b + C 
a p-2 b 2 + ... + b p,
- tutte le radici f(x).
ordinazione l... Quindi (β 
) e =
(β e)
=1
, e quindi ediviso per l... Allo stesso modo, β l
=
(β 
) l
=β 
=((β 
) l)
=1
\u003d 1, quindi l
diviso per e.
.Perché la e
e l sono numeri interi positivi, quindi e
=
l, che dimostra la proprietà 4.
-1
... Definiamo il tipo di polinomio le cui radici sono tutti elementi del campo Gf(p m). Lascia stare α
- un elemento arbitrario del campo dell'ordine p m -1
... Allora è vero: α 
\u003d α, cioè α
è la radice dell'equazione
- X
= 0.
=α
o, equivalentemente, è la radice dell'equazione
X 
- x \u003d 0
.
- X
può essere presentato come un'opera p m
fattori come segue:
- X
e ogni radice si verifica una sola volta.
- X
?
s)
× s=smodulo p m -1
... Modulo p m -1
riflette l'ordine dell'elemento di campo primitivo. Nella sequenza dei gradi delle radici, il grado successivo β 
=β
, cioè
radicato tra gli elementi GF (2 4) mostra che i gradi di tutti 
di polinomi irriducibili: 1, 2, 4 sono divisori di 4. Generalizziamo questo risultato con il seguente ragionamento.
-X e sia β un elemento di ordine p d -1 del campo GF (pm), che è un elemento primitivo del sottocampo GF (pd) del campo GF (pm), appartiene al gruppo ciclico GF (pm) di ordine pm -1. Pertanto, pd -1 divide pm -1 , e questo è possibile solo se d divide m. Quindi è vero:
modulo n.
È un po 'più difficile da determinare
gruppo moltiplicativo di detrazioni per
modulo n. Gli elementi di questo gruppo si formano
l'insieme Z * n costituito dagli elementi Zn,
coprimo con n. Concetto reciproco
semplicità ha il seguente significato:
se k è un numero intero, allora mcd (a, n) \u003d 1
è equivalente a MCD (a + kn, n) \u003d 1. Teorema 7.
Sistema
è un gruppo abeliano finito. Prova.
Controlliamo che qualsiasi elemento abbia
il contrario nel senso di un'operazione di gruppo.
(La classe C1 è l'elemento neutro).
Per trovare l'inverso dell'elemento a, considera
la tripletta (d, x, y) restituita dalla procedura
Euclide esteso (a, n). Perché la
, numeri ae n
sono coprimi ed \u003d mcd (a, b) \u003d 1, quindi
ax + ny \u003d 1 e
, in questo modo,
elemento è l'inverso di
in un gruppo
.L'unicità del contrario può essere dimostrata
(come per qualsiasi gruppo) come segue:
se x e x 'sono inversi ad a, allora
,
e riorganizzando le parentesi per associatività,
ottenere
, ch.d. In quanto segue, per semplicità, indicheremo l'addizione e la moltiplicazione modulo con i soliti segni + e ∙ (a volte omettendo il segno di moltiplicazione), e addit
In quanto segue, per semplicità, indicheremo
addizione e moltiplicazione modulo ordinario
segni + e ∙ (a volte omettendo il segno di moltiplicazione), e
gruppi additivi e moltiplicativi
i residui modulo n saranno indicati con Zn e Z * n
(senza menzionare le operazioni di gruppo). Elemento,
inverso (rispetto alla moltiplicazione)
con a, indicheremo a-1mod n. Come di solito,
il quoziente a / b in Z * n è definito come
ab-1 (mod n). Ad esempio, in
noi abbiamo
(mod 15),
perché la
da dove
. 5) Il numero di elementi reversibili nell'anello dei residui.
Numero di elementi reversibili in un anello
detrazioni, ad es. numero di elementi in
,
denotato
... La funzione viene chiamata
- la funzione di Eulero. Si può dimostrare la seguente formula per la funzione di Eulero: (3) dove p1,…., Ps è una lista di tutti i divisori primi di n. Questa formula può essere spiegata come segue:
Si può dimostrare una tale formula per la funzione
Eulero:
(3)
dove p1,…., ps è un elenco di tutti i divisori primi
numeri n. Puoi spiegare questa formula come segue:
un numero casuale t è coprimo con n se
non è divisibile per p1 (la cui probabilità è
(1-1 / p1)), non divisibile per p2 (probabilità (1-1 / p2))
ecc. e questi eventi sono indipendenti. Per esempio,
,
poiché i primi divisori di 45
sono i numeri 3 e 5. Per un numero primo
noi abbiamo
(4)
da tutti i numeri 1,2, ..., p -1 sono coprimi con p.
Se il numero n è composto, allora 6) Sottogruppi.
Lascia stare
è un gruppo e
.
Se
è anche un gruppo, quindi
chiamato un sottogruppo del gruppo
... Per esempio,
i numeri pari formano un sottogruppo di numeri interi
(con operazione di addizione). 10. Se è un sottogruppo di un gruppo finito, allora divide.
Teorema 8 (Lagrange).
Se
è un sottogruppo di un gruppo finito
poi
divide.
,11. Prova.
Può essere trovato nei libri di testo di algebra (gruppo S
si suddivide in classi disgiunte
genere
, ognuno dei quali contiene
elementi).
Sottogruppo S ’del gruppo S, non coincidente con
l'intero gruppo, chiamato proprio
sottogruppo. 12. Corollario 8.1.
Se S 'è un sottogruppo proprio di un finito
gruppo S, quindi
.
Questa è una (ovvia) conseguenza del teorema di Lagrange
utilizzato nell'analisi probabilistica
Algoritmo di Schiller-Rabin
(verifica della semplicità). 13. 7) Sottogruppo generato da un elemento del gruppo.
Sia un elemento di un finito
di S. Considera la sequenza
elementi
Per analogia con i gradi (operazione di gruppo
corrisponde alla moltiplicazione) scriveremo
eccetera.
È facile vederlo
,
in particolare
... Simile
la dichiarazione può essere formulata anche per
"Gradi negativi"
in particolare
.14. Se il gruppo S è finito, la sequenza sarà periodica (l'elemento successivo è determinato dal precedente, quindi ripetendolo una volta,
Se il gruppo S è finito, allora
sequenza
sarà periodico (l'elemento successivo
definito dal precedente, quindi
ripetendo, gli elementi si ripetono
ciclo). Quindi la sequenza
ha la forma
(poi tutto si ripete) e contiene t
diversi elementi, dove t è il più piccolo
un numero positivo per il quale
.
Questo numero è chiamato ordine dell'elemento a e
denotato da ord (a). 15. Gli elementi t indicati formano un sottogruppo, da allora l'operazione di gruppo corrisponde all'aggiunta di "esponenti". Questo sottogruppo è chiamato
Gli elementi t specificati si formano
sottogruppo, perché partite di operazioni di gruppo
aggiunta di "esponenti". Questo sottogruppo
viene chiamato generato dall'elemento a e
indicato da o, se vogliamo indicare esplicitamente
operazione di gruppo, (
). Elemento a
è chiamato il generatore del sottogruppo
; dire
che genera questo sottogruppo.
Ad esempio, elemento a \u003d 2 del gruppo Z6
genera un sottogruppo di elementi
0,2,4.16. Ecco diversi sottogruppi del gruppo Z6 generati da vari elementi :. Un esempio simile per un gruppo moltiplicativo: qui Da quanto è stato detto
Ecco alcuni sottogruppi del gruppo Z6,
generato da vari elementi:
... Simile
esempio per gruppo moltiplicativo
:
Qui
Quanto sopra implica il Teorema 9. 17. Sia un gruppo finito. If, allora il numero di elementi nel sottogruppo generato da a coincide con l'ordine di a (cioè).
Teorema 9.
Lascia stare
- il gruppo finale. Se
, quindi il numero
elementi nel sottogruppo generato da a coincide con
ordina un (es.
).18. Corollario 9.1.
Sequenza
ha un periodo
t \u003d ord (a);
in altre parole
, allora e solo allora,
quando
.
La periodicità ti consente di continuare
sequenza in entrambe le direzioni definendo
come
per qualsiasi numero intero i, incluso
negativo. 19. Corollario 9.2.
Nel gruppo finale
con unità e per ogni
l'uguaglianza vale
.
Prova. Dal teorema di Lagrange ord (a)
divide da dove
dove
, ch.d. 20. 8) Soluzione di equazioni diofantine lineari.
Saremo interessati al numero intero
soluzioni dell'equazione
(5)
(qui a, b e n sono numeri interi; tali equazioni
chiamato "Diophantine lineare
equazioni "). È chiaro che solo
resto dopo aver diviso x per n, in modo che la soluzione (5)
è naturale chiamare non un numero intero, ma un elemento
del gruppo Zn, (la classe dei numeri che danno lo stesso
resto quando diviso per n). Quindi si può
formulare il compito come segue: ci sono elementi
,
stiamo cercando tutto
per cui
.21. Ricordiamo che con denota il sottogruppo generato dall'elemento a (in questo caso, il sottogruppo del gruppo Zn). Per definizione, quindi, le equazioni
Ricordalo dopo
denotato
il sottogruppo generato dall'elemento a (in this
caso, un sottogruppo del gruppo Zn). Per definizione
, quindi, l'equazione (5)
ha almeno una soluzione allora e solo
poi quando
... Quanti elementi ci sono
?
Secondo il teorema di Lagrange (T8) questo numero è
divisore n. In Zn, un'operazione di gruppo è
Inoltre perché Zn è quindi un gruppo additivo
.22. Sia risolvibile l'equazione e sia la sua soluzione. Allora l'equazione ha d \u003d mcd (a, n) soluzioni in Zn date dalla formula, dove i \u003d 0,1,2, ..., n - 1.
Teorema 10.
Lascia l'equazione
risolvibile e
è la sua decisione. Allora l'equazione ha
d \u003d mcd (a, n) di soluzioni in Zn date dalla formula
, dove i \u003d 0,1,2, ..., n - 1. 23. Prova.
Partendo e muovendosi in incrementi n / d, noi
fare d passi prima di chiudere il cerchio, perché
... Tutti i numeri passati saranno
soluzioni dell'equazione
, poiché a
aumentare x di n / d prodotto di ax
aumenta di n (a / d), cioè da un multiplo di n. Così
Pertanto, abbiamo elencato tutte le soluzioni d.
a \u003d b
a (+ n / d) \u003d a + an / d \u003d a + na / d \u003d a + kn≡a
h.t.d. 24. Sia n\u003e 1. Se MCD (a, n) \u003d 1, l'equazione ha un'unica soluzione (in Zn). Il caso b \u003d 1 è particolarmente importante: in questo caso troviamo l'elemento inverso n
Corollario 10.1
Sia n\u003e 1. Se MCD (a, n) \u003d 1, allora l'equazione
ha una soluzione unica (in Zn).
Il caso b \u003d 1 è particolarmente importante - qui noi
troviamo l'elemento inverso ax modulo n, ad es.
elemento inverso del gruppo. 25. Corollario 10.2
Sia n\u003e 1. Se MCD (a, n) \u003d 1, allora
equazione ax ≡ 1 (mod n)
(6)
ha una soluzione unica in Zn.
Per MCD (a, n)\u003e 1, questa equazione delle soluzioni non lo è
Esso ha.
Quindi, abbiamo imparato a calcolare
elemento inverso in un gruppo in O (log n)
operazioni aritmetiche. 26.9) Teorema cinese dei resti.
Circa 100 a.C. Matematico cinese Song
Tsu ha risolto il seguente problema: trova un numero che dà
quando diviso per 3, 5 e 7, il resto 2, 3 e 2
rispettivamente (vista generale della soluzione 23 + 105k
per intero k). Pertanto, la dichiarazione su
equivalenza del sistema di confronti per il mutuo
moduli semplici e confronti modulari
le opere sono chiamate il "teorema cinese su
avanzi ". 27. Sia rappresentato un numero n come un prodotto di numeri coprimi a due a due. Il teorema cinese dei resti afferma che il numero
Sia rappresentato un numero n nella forma
prodotti di numeri coprimi a coppie
... Teorema cinese del resto
afferma che l'anello residuo Zn è strutturato come
prodotto di anelli residui
(con addizione e moltiplicazione per componente).
Questa corrispondenza è utile con gli algoritmi
punto di vista, poiché è più facile da eseguire
operazioni in tutti i set Zni di
direttamente a Zn. 28.10) Gradi di un elemento.
Considera nel gruppo moltiplicativo
detrazioni
sequenza di laurea
qualche elemento a:
(7)
Partiamo da zero supponendo
;
i-esimo termine della sequenza di potenze di 3 pollici
il modulo 7 ha la forma:
e per potenze di 2 modulo 7 abbiamo: 29.11) Teorema 11 (Eulero).
Se n\u003e 1 è un numero intero, allora
per tutti
dove
(8)
è la funzione phi di Eulero.
Nessuna prova.
Per primo n, il teorema si trasforma in un "piccolo
Teorema di Fermat ". 30.12) Teorema 12 (Piccolo teorema di Fermat).
Se p è un numero primo, allora
(9)
per tutti
.
Prova. Poiché p è primo,
\u003d p-1, h.t.d. 31. Corollario 12.1. Sia p un numero primo Corollario 12.2. Sia p un numero primo, allora il teorema di Fermat si applicherà a a \u003d 0.
32.13) Teorema 13 (Rafforzamento del teorema di Eulero).
Sia n \u003d pq, dove p e q sono numeri primi diversi.
Quindi per qualsiasi numero intero a e per qualsiasi
naturale k l'identità
.33. h.t.d.
Prova.
h.t.d. 34.14) Calcolo delle potenze per quadratura ripetuta.
L'esponenziazione è importante.
ruolo nel controllo dei numeri per semplicità, nonché in
cryptosystem RSA. Come con i numeri ordinari,
la moltiplicazione ripetuta non è la più veloce
modo; meglio usare l'algoritmo
riquadratura. 35. Supponiamo di voler calcolare ab mod n, dove a è un residuo mod n, a b è un intero non negativo che ha la forma binaria (bk, bk-1, ..., b1, b0) (il numero h
Supponiamo di voler calcolare ab mod n, dove
a è un residuo modulo n, a b è un numero intero
numero non negativo avente in binario
record della forma (bk, bk-1, ..., b1, b0) (numero di caratteri
lo consideriamo uguale a k + 1; cifre alte come
di solito a sinistra). Calcoliamo ac mod n per
qualche c, che aumenta e, alla fine
finisce diventa uguale a b. 36. Quando si moltiplica c per 2, il numero ac è al quadrato, quando si aumenta c di 1, il numero ac viene moltiplicato per a. Ad ogni passaggio, la notazione binaria viene spostata
1 a sinistra, dopo
quale, se necessario (bi \u003d 1), l'ultima cifra
la notazione binaria cambia da 0 a 1. (Nota,
che la variabile c non è effettivamente utilizzata e
può essere omesso.) 37. Stimiamo il tempo della procedura. Se i tre numeri che sono i suoi dati iniziali hanno al massimo β bit, allora il numero di operazioni aritmetiche è
Stimiamo il tempo di esecuzione della procedura. Se
tre numeri che sono l'originale
i dati hanno al massimo bit β, quindi il numero
le operazioni aritmetiche sono O (β) e il numero
bit - O (β 3).
Un esempio (a \u003d 7, b \u003d 560, n \u003d 561) è mostrato in
figura.
La quadratura è 1 spostamento a sinistra
gradi di numero. 38.
io
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
bi
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
c
1
2
4
8
17
35
70
140
280
560
d
7
49
157
526
160
241
298
166
67
1
Figura: Il lavoro della procedura di erezione
grado modulo n
con a \u003d 7, b \u003d 560 \u003d (1000110000) en \u003d 561.
Valori variabili mostrati dopo
successiva esecuzione del corpo del ciclo for.
La procedura restituisce la risposta 1.
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Sistema di detrazioni ridotto
texvc o Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): U (\\ mathbb (Z) _m)
.texvc non trovato; Vedi math / README per aiuto sulla configurazione.): \\ Mathbb (Z) _m ^ (\\ times) ... In questo caso Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedi math / README per aiuto sulla configurazione.): \\ Mathbb (Z) _m ^ (\\ times) è un campo.Moduli di registrazione
texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): \\ Mathbb (Z) / n \\ mathbb (Z) o Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): \\ Mathbb (Z) _n ... Il suo gruppo moltiplicativo, come nel caso generale dei gruppi di elementi invertibili di anelli, è indicato Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedi math / README per la guida alla configurazione.): (\\ Mathbb (Z) / n \\ mathbb (Z)) ^ *,
Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedi math / README per la guida alla configurazione.): (\\ Mathbb (Z) / n \\ mathbb (Z)) ^ \\ times,
Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedi math / README per la guida alla configurazione.): U (\\ mathbb (Z) / n \\ mathbb (Z)),
Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedi math / README per la guida alla configurazione.): E (\\ mathbb (Z) / n \\ mathbb (Z)),
Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedi math / README per la guida alla configurazione.): \\ Mathbb (Z) _n ^ (\\ times),
Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): U (\\ mathbb (Z) _n)
.Il caso più semplice
texvc , possiamo considerare un caso speciale Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedere matematica / README - guida alla configurazione.): N \u003d p ^ a dove Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc - un numero primo e per generalizzarlo. Considera il caso più semplice quando Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedere matematica / README - guida alla configurazione.): A \u003d 1 , cioè Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedere matematica / README - guida alla configurazione.): N \u003d p
.texvc - gruppo ciclico.texvc texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): U (\\ mathbb (Z) / 9 \\ mathbb (Z)) \u003d (1,2,4,5,7,8) Il generatore del gruppo è il numero 2. Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedere matematica / LEGGIMI - guida alla configurazione.): 2 ^ 1 \\ equiv 2 \\ \\ pmod 9
Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedere matematica / README - guida alla configurazione.): 2 ^ 2 \\ equiv 4 \\ \\ pmod 9
Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedere matematica / LEGGIMI - guida alla configurazione.): 2 ^ 3 \\ equiv 8 \\ \\ pmod 9
Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedere matematica / LEGGIMI - guida alla configurazione.): 2 ^ 4 \\ equiv 7 \\ \\ pmod 9
Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedere matematica / README - guida alla configurazione.): 2 ^ 5 \\ equiv 5 \\ \\ pmod 9
Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedere matematica / README - guida alla configurazione.): 2 ^ 6 \\ equiv 1 \\ \\ pmod 9 Come puoi vedere, qualsiasi elemento del gruppo Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): U (\\ mathbb (Z) / 9 \\ mathbb (Z)) può essere rappresentato come Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedere matematica / README - guida alla configurazione.): 2 ^ l dove Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): 1 \\ le \\ ell< \varphi(m)
... Cioè, il gruppo Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): U (\\ mathbb (Z) / 9 \\ mathbb (Z)) - ciclico. Caso generale
texvc non trovato; Vedere matematica / README - guida alla configurazione.): P È il numero che, insieme alla sua classe residua, dà origine al gruppo Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): U (\\ mathbb (Z) / p \\ mathbb (Z))
. texvc non trovato; Vedere matematica / README per la guida alla configurazione.): N la definizione è la stessa.texvc non trovato; Vedere matematica / README - guida alla configurazione.): P ^ (l) , cioè Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedi math / README per la guida alla configurazione.): U (\\ mathbb (Z) / p ^ (l) \\ mathbb (Z)) - gruppo ciclico.Un sottogruppo di testimoni della semplicità
texvc - numero dispari maggiore di 1. Numero Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc rappresentato in modo inequivocabile nella forma Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): M-1 \u003d 2 ^ s \\ cdot t dove Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): T dispari. Numero intero Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedere matematica / README - guida alla configurazione.): A
, Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedere matematica / README - guida alla configurazione.): 1< a < m
è chiamato testimone della semplicità numeri Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): M se è soddisfatta una delle seguenti condizioni:texvc non trovato; Vedere matematica / README - guida alla configurazione.): A ^ t \\ equiv 1 \\ pmod mtexvc non trovato; Vedi math / README per la guida alla configurazione.): K
, Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): 0 \\ leq k , tale che Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedi math / README per la guida alla configurazione.): A ^ (2 ^ kt) \\ equiv m-1 \\ pmod m.texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): M - composito, esiste un sottogruppo del gruppo moltiplicativo dell'anello residuo, denominato sottogruppo dei testimoni della semplicità. I suoi elementi sono elevati al potere Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): M-1 coincidere con Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc modulo Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): M
.texvc non trovato; Vedere matematica / README - guida alla configurazione.): M \u003d 9 ... c'è Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedere matematica / README per la guida alla configurazione.): 6 residui coprimi con Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc , questo è Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedere matematica / README - guida alla configurazione.): 1,2,4,5,7 e Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc
. Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedere matematica / README per la guida alla configurazione.): 8 equivalente a Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedere matematica / README - guida alla configurazione.): -1 modulo Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedere matematica / README per la guida alla configurazione.): 9 si intende Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedere matematica / README per la guida alla configurazione.): 8 ^ (8) equivalente a Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedere matematica / README - guida alla configurazione.): 1 modulo Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedere matematica / README per la guida alla configurazione.): 9 ... Quindi, Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedere matematica / README - guida alla configurazione.): 1 e Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedere matematica / README per la guida alla configurazione.): 8 - testimoni del numero primo Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedere matematica / README per la guida alla configurazione.): 9 ... In questo caso (1, 8) è un sottogruppo di testimoni di semplicità.Proprietà
Gruppo espositori
Gruppo elettrogeno
texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): U (\\ mathbb (Z) / n \\ mathbb (Z)) è un gruppo ciclico se e solo se Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): \\ Varphi (n) \u003d \\ lambda (n). Nel caso di un gruppo ciclico, il generatore è chiamato radice primitiva.Esempio
texvc non trovato; Vedere matematica / README per la guida alla configurazione.): 10 consiste di Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedere matematica / README per la guida alla configurazione.): 4 classi di detrazione: Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedere matematica / README - guida alla configurazione.): _ (10), _ (10), _ (10), _ (10) ... Rispetto alla moltiplicazione definita per le classi di residui, formano un gruppo, e Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc e Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedere matematica / README - guida alla configurazione.): _ (10) reciprocamente inversi (ad es. Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedi math / README per la guida alla configurazione.): _ (10) (\\ cdot) _ (10) \u003d _ (10)), e Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedere matematica / README - guida alla configurazione.): _ (10) e Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedere matematica / README - guida alla configurazione.): _ (10) sono ribaltati a se stessi.Struttura del gruppo
texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): C_n significa "gruppo ciclico di ordine n". Struttura del gruppo Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile
texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): U (\\ mathbb (Z) / n \\ mathbb (Z))
Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile
texvc
Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile
texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): U (\\ mathbb (Z) / n \\ mathbb (Z))
Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile
texvc
Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile
texvc
Generatore
Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile
texvc non trovato; Vedi math / README per la guida alla configurazione.): N \\;
Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile
texvc non trovato; Vedere math / README per la guida alla configurazione.): U (\\ mathbb (Z) / n \\ mathbb (Z))
Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile
texvc non trovato; Vedere matematica / README per la guida alla configurazione.): \\ Varphi (n)
Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile
texvc non trovato; Vedere matematica / README per la guida alla configurazione.): \\ Lambda (n) \\;
Generatore
2
C 1
1
1
1
33
C 2 × C 10
20
10
10, 2
3
C 2
2
2
2
34
C 16
16
16
3
4
C 2
2
2
3
35
C 2 × C 12
24
12
6, 2
5
C 4
4
4
2
36
C 2 × C 6
12
6
19, 5
6
C 2
2
2
5
37
C 36
36
36
2
7
C 6
6
6
3
38
C 18
18
18
3
8
C 2 × C 2
4
2
7, 3
39
C 2 × C 12
24
12
38, 2
9
C 6
6
6
2
40
C 2 × C 2 × C 4
16
4
39, 11, 3
10
C 4
4
4
3
41
C 40
40
40
6
11
C 10
10
10
2
42
C 2 × C 6
12
6
13, 5
12
C 2 × C 2
4
2
5, 7
43
C 42
42
42
3
13
C 12
12
12
2
44
C 2 × C 10
20
10
43, 3
14
C 6
6
6
3
45
C 2 × C 12
24
12
44, 2
15
C 2 × C 4
8
4
14, 2
46
C 22
22
22
5
16
C 2 × C 4
8
4
15, 3
47
C 46
46
46
5
17
C 16
16
16
3
48
C 2 × C 2 × C 4
16
4
47, 7, 5
18
C 6
6
6
5
49
C 42
42
42
3
19
C 18
18
18
2
50
C 20
20
20
3
20
C 2 × C 4
8
4
19, 3
51
C 2 × C 16
32
16
50, 5
21
C 2 × C 6
12
6
20, 2
52
C 2 × C 12
24
12
51, 7
22
C 10
10
10
7
53
C 52
52
52
2
23
C 22
22
22
5
54
C 18
18
18
5
24
C 2 × C 2 × C 2
8
2
5, 7, 13
55
C 2 × C 20
40
20
21, 2
25
C 20
20
20
2
56
C 2 × C 2 × C 6
24
6
13, 29, 3
26
C 12
12
12
7
57
C 2 × C 18
36
18
20, 2
27
C 18
18
18
2
58
C 28
28
28
3
28
C 2 × C 6
12
6
13, 3
59
C 58
58
58
2
29
C 28
28
28
2
60
C 2 × C 2 × C 4
16
4
11, 19, 7
30
C 2 × C 4
8
4
11, 7
61
C 60
60
60
2
31
C 30
30
30
3
62
C 30
30
30
3
32
C 2 × C 8
16
8
31, 3
63
C 6 × C 6
36
6
2, 5
Applicazione
Storia
texvc non trovato; Vedi math / README per la guida alla configurazione.): F (x) \\ in k [x] e k è un campo, allora f ha al massimo n radici distinte, dove n è il grado di f. Si è rivelato anche un'importante conseguenza di questo lemma, che consiste nel confronto Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedere matematica / README - guida alla configurazione.): X ^ (p-1) -1
≡ Impossibile analizzare l'espressione (eseguibile texvc non trovato; Vedere matematica / README - guida alla configurazione.): (X-1) (x-2) ... (x-p + 1) mod (p) ... Eulero dimostrò il piccolo teorema di Fermat. Waring ha formulato il teorema di Wilson e Lagrange lo ha dimostrato. Eulero ipotizzò l'esistenza di radici primitive modulo un numero primo. Gauss lo ha dimostrato. Artin ha avanzato la sua ipotesi sull'esistenza e la quantificazione dei numeri primi, modulo che un dato intero è una radice primitiva. Brower ha contribuito allo studio del problema dell'esistenza di insiemi di interi consecutivi, ciascuno dei quali è la k-esima potenza modulo p. Bilharz si è dimostrato un analogo della congettura di Artin. Hooley dimostrò la congettura di Artin assumendo la congettura di Riemann estesa in campi di numeri algebrici.Scrivi una recensione sull'articolo "Il gruppo moltiplicativo dell'anello residuo"
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Un estratto che caratterizza il gruppo moltiplicativo dell'anello residuo
- Non sono strano - Sono solo vivo. Ma vivo tra due mondi: i vivi e i morti ... E posso vedere ciò che molti, purtroppo, non vedono. Perché, probabilmente, nessuno mi crede ... Ma sarebbe tutto molto più facile se le persone ascoltassero e pensassero per almeno un minuto, anche se non credessero ... Ma penso che se questo accade quando - in qualche modo, certamente non accadrà oggi ... Ma oggi devo convivere con questo ...
"Mi dispiace, tesoro ..." sussurrò l'uomo. - E sai, ci sono molte persone come me. Ce ne sono migliaia qui ... Probabilmente saresti interessato a parlare con loro. Ci sono anche veri eroi, non come me. Ce ne sono molti qui ...
All'improvviso ho voluto aiutare questa persona triste e sola. È vero, non avevo assolutamente idea di cosa avrei potuto fare per lui.
- Vuoi che ti creiamo un altro mondo mentre sei qui? .. - chiese improvvisamente Stella.
È stata una grande idea, e mi sono vergognato un po 'di non aver pensato prima. Stella era una persona meravigliosa e, in qualche modo, trovava sempre qualcosa di carino che potesse portare gioia agli altri.
- Che tipo di "altro mondo"? .. - l'uomo fu sorpreso.
- E qui, guarda ... - e nella sua caverna buia e tetra, una luce brillante e gioiosa brillava all'improvviso! .. - Come ti piace una casa del genere?
Gli occhi del nostro "triste" amico si illuminarono felici. Si guardò intorno confuso, non capendo cosa fosse successo qui ... E nella sua misteriosa e buia caverna ora il sole splendeva allegro e luminoso, la vegetazione lussureggiante aveva un odore fragrante, il canto degli uccelli risuonava e c'era un odore di incredibili odori di fiori in fiore ... nel suo angolo più lontano un ruscello gorgogliava allegramente, schizzando gocce di acqua pura, fresca e cristallina ...
- Bene! Come desidera? Chiese allegramente Stella.
L'uomo, completamente stordito da ciò che vide, non pronunciò una parola, guardò solo tutta questa bellezza con gli occhi spalancati per la sorpresa, in cui tremanti gocce di lacrime "felici" brillavano di diamanti puri ...
- Signore, da quanto tempo vedo il sole! .. - sussurrò piano. - Chi sei, ragazza?
- Oh, sono solo un uomo. Lo stesso di te - morto. Ed eccola qui, lo sai già - viva. A volte camminiamo qui insieme. E aiutiamo se possiamo, ovviamente.
Era chiaro che il bambino era contento dell'effetto prodotto e letteralmente si agitava con il desiderio di prolungarlo ...
- Ti piace davvero? Vuoi restare così?
L'uomo si limitò ad annuire, incapace di pronunciare una parola.
Non ho nemmeno provato a immaginare quale felicità avrebbe dovuto provare dopo quell'orrore nero in cui si trovava quotidianamente, e per così tanto tempo, era! ..
- Grazie, tesoro ... - sussurrò dolcemente l'uomo. - Dimmi solo, come può restare? ..
- Oh, è semplice! Il tuo mondo sarà solo qui, in questa caverna, e nessuno tranne te lo vedrai. E se non te ne vai da qui, rimarrà con te per sempre. Bene, verrò da te per controllare ... Il mio nome è Stella.
- Non so cosa dire per questo ... non me lo meritavo. Probabilmente è sbagliato ... Il mio nome è Luminary. Sì, non così tanta "luce" finora portata, come puoi vedere ...
- Oh, niente, porta dell'altro! - era evidente che il bambino era molto orgoglioso di ciò che aveva fatto e stava scoppiando di piacere.
- Grazie, cara ... - Luminary era seduto con la testa orgogliosa china, e improvvisamente iniziò a piangere completamente come un bambino ...
- Ebbene, gli altri, lo stesso? .. - sussurrai piano all'orecchio di Stella. - Probabilmente ce ne sono molti? cosa fare con loro? Non è giusto aiutarne uno. E chi ci ha dato il diritto di giudicare chi di loro è degno di tale aiuto?
Il viso di Stellino si accigliò subito ...
- Non lo so ... Ma so per certo che questo è corretto. Se fosse stato sbagliato, non ci saremmo riusciti. Ecco altre leggi ...
All'improvviso mi sono reso conto:
- Aspetta un attimo, ma che mi dici del nostro Harold?! .. In fondo era un cavaliere, quindi ha ucciso anche lui? Come ha fatto a rimanere lì, all '"ultimo piano"? ..
- Ha pagato per tutto quello che ha fatto ... gliel'ho chiesto - ha pagato molto caro ... - rispose seria Stella con una ridicola increspatura della fronte.
- Cosa - pagato? - Non ho capito.
"Essence ..." sussurrò tristemente il bambino. - Ha dato parte della sua essenza per quello che ha fatto durante la sua vita. Ma la sua essenza era altissima, quindi, anche dopo averne rinunciato a una parte, era comunque in grado di rimanere "al top". Ma pochissime persone possono farlo, solo entità veramente altamente sviluppate. Di solito le persone perdono troppo e se ne vanno molto più in basso di quanto non fossero in origine. Come un luminare ...
È stato fantastico ... Quindi, avendo fatto qualcosa di brutto sulla Terra, le persone hanno perso parte della loro parte (o meglio, parte del loro potenziale evolutivo), e anche così, dovevano comunque rimanere in quell'orrore da incubo che era chiamato - Astrale "inferiore" ... Sì, per gli errori, e in verità, dovevi pagare a caro prezzo ...
"Bene, ora possiamo andare", cinguettò la bambina, agitando piuttosto la mano. - Arrivederci, Luminario! Verrò da te!
Andammo avanti, e il nostro nuovo amico era ancora seduto, congelato da una felicità inaspettata, assorbendo avidamente il calore e la bellezza del mondo creato da Stella e immergendosi in esso profondamente come farebbe un morente, assorbendo la vita che improvvisamente gli è tornata ... ...
- Sì, è vero, avevi perfettamente ragione! .. - dissi pensieroso.
Stella era raggiante.
Rimanendo nell'umore più "arcobaleno", ci eravamo appena voltati verso le montagne, quando un'enorme creatura dagli artigli appuntiti emerse all'improvviso dalle nuvole e si precipitò verso di noi ...
- Prenditene cura! - gridò Stela, e riuscii a vedere solo due file di denti affilati come rasoi, e da un forte colpo alla schiena, a testa in giù rotolò a terra ...
Dall'orrore selvaggio che ci ha attanagliato, ci siamo precipitati con i proiettili lungo un'ampia vallata, senza nemmeno pensare che avremmo potuto rapidamente andare su un altro "piano" ... Semplicemente non abbiamo avuto il tempo di pensarci - eravamo troppo spaventati.
La creatura volò proprio sopra di noi, facendo schioccare rumorosamente il suo becco spalancato, e noi ci precipitammo più lontano che potemmo, spruzzando brutti schizzi viscidi ai lati, e pregando mentalmente che qualcos'altro avrebbe improvvisamente interessato questo terribile "uccello miracoloso" ... che è molto più veloce e semplicemente non abbiamo avuto alcuna possibilità di staccarcene. Per quanto diabolico, non cresceva un solo albero nelle vicinanze, non c'erano cespugli o addirittura pietre dietro cui nascondersi, in lontananza si vedeva solo una minacciosa roccia nera.
- Là! - gridò Stella puntando il dito contro la stessa roccia.
Ma all'improvviso, inaspettatamente, una creatura è apparsa da qualche parte di fronte a noi, alla cui vista il nostro sangue letteralmente si è congelato nelle nostre vene ... È emerso come "direttamente dal nulla" ed è stato davvero terrificante ... L'enorme carcassa nera era completamente ricoperta capelli lunghi e ruvidi, che lo facevano sembrare un orso panciuto, solo questo "orso" era alto come una casa a tre piani ... La testa irregolare del mostro era "incoronata" con due enormi corna ricurve, e un paio di zanne incredibilmente lunghe e affilate come un coltello adornavano la bocca inquietante, solo guardando su cui, per lo spavento, le gambe cedettero ... E poi, sorprendendoci in modo indescrivibile, il mostro saltò facilmente in piedi e .... raccolse il "fango" volante su una delle sue enormi zanne ... Restammo bloccati, sbalorditi.
- Corriamo !!! Stella urlò. - Corriamo mentre lui è "occupato"! ..
Ed eravamo già pronti a correre senza voltarci indietro, quando improvvisamente una voce sottile risuonò dietro le nostre spalle:
- Ragazze, aspettate! Non scappare! .. Dean ti ha salvato, non è un nemico!
Ci siamo voltati bruscamente - dietro c'era una minuscola, bellissima ragazza dagli occhi neri ... e abbiamo accarezzato con calma il mostro che le si avvicinava! .. I nostri occhi si sono alzati sorpresi ... è stato incredibile! Sicuramente - è stata una giornata di sorprese! .. La ragazza, guardandoci, sorrise affabilmente, per nulla spaventata dal mostro peloso in piedi accanto a lei.
- Per favore, non aver paura di lui. Lui è molto gentile. Abbiamo visto che Owara ti stava inseguendo e abbiamo deciso di aiutare. Dean è un bravo ragazzo, appena in tempo. Non è mia cara?
"Bene" brontolò, che suonava come un lieve terremoto e, chinando la testa, leccò il viso della ragazza.
- Chi è Owara e perché ci ha attaccati? Ho chiesto.
- Attacca tutti, è una predatrice. E molto pericoloso, - disse la bambina con calma. - Posso chiederti cosa ci fai qui? Non siete di qui, ragazze?
- No, non da qui. Stavamo solo camminando. Ma la stessa domanda per te: cosa ci fai qui?
Vado da mia madre ... - il bambino era triste. “Siamo morti insieme, ma in qualche modo è arrivata qui. E adesso vivo qui, ma non le dico questo, perché lei non sarà mai d'accordo. Pensa che sto solo arrivando ...
- Non è davvero meglio solo venire? È così orribile qui! .. - Stella alzò le spalle.
- Non posso lasciarla qui da sola, mi prendo cura di lei perché non le accada nulla. E ora Dean è con me ... Mi aiuta.
Non potevo crederci ... Questa piccola e coraggiosa ragazzina ha lasciato volontariamente il suo bellissimo e gentile "pavimento" per vivere in questo mondo freddo, terribile e alieno, difendendo sua madre, che era fortemente "colpevole" di qualcosa! Non ce ne sono molte, credo, ci sarebbero state persone così coraggiose e altruiste (anche adulti!) Che avrebbero deciso di fare un'impresa del genere ... E ho subito pensato - forse non capiva a cosa si sarebbe condannata ?!
- E da quanto tempo sei qui, ragazza, se non un segreto?
- Di recente ... - rispose tristemente la bambina dagli occhi neri, toccando con le dita la ciocca nera dei suoi ricci. - Sono entrata in un mondo così bello quando sono morta! .. Era così gentile e leggero! .. E poi ho visto che mia madre non era con me e mi sono precipitato a cercarla. All'inizio era così spaventoso! Per qualche ragione non si trovava da nessuna parte ... E poi sono caduto in questo mondo terribile ... E poi l'ho trovata. Ero così inquietante qui ... Così solo ... La mamma mi ha detto di andarmene, mi ha persino rimproverato. Ma non posso lasciarla ... Adesso ho un amico, il mio gentile Dean, e posso già esistere qui in qualche modo.
Il suo "buon amico" ringhiò di nuovo, il che fece strisciare con Stella enormi brividi "astrali inferiori" ... Dopo essermi ripreso, cercai di calmarmi un po ', e cominciai a guardare da vicino questo miracolo peloso ... E lui, sentendo immediatamente che era notato, mostrò terribilmente la bocca zannuta ... Feci un balzo indietro.
- Oh, non aver paura, per favore! È lui che ti sorride, - la bambina si è “calmata”.
Sì ... Imparerai a correre veloce da un simile sorriso ... - Ho pensato tra me e me.
- Ma come è successo che sei diventato amico di lui? Ha chiesto Stella.
- Quando sono arrivato qui per la prima volta, ero molto spaventato, specialmente quando mostri come te sono stati attaccati oggi. E poi un giorno, quando sono quasi morto, Dean mi ha salvato da un intero gruppo di terribili "uccelli" volanti. Anche io all'inizio avevo paura di lui, ma poi ho capito che cuore d'oro ha ... È il miglior amico! Non ne ho mai avuti, nemmeno quando vivevo sulla Terra.
- Come ti sei abituato così velocemente? Il suo aspetto non è del tutto, diciamo, familiare ...
- E ho capito qui una verità molto semplice, che per qualche motivo sulla Terra non ho notato - l'apparenza non importa se una persona o una creatura ha un buon cuore ... Mia madre era molto bella, ma a volte anche molto cattiva. E poi tutta la sua bellezza è scomparsa da qualche parte ... E Dean, sebbene spaventoso, ma sempre molto gentile, e mi protegge sempre, sento la sua bontà e non ho paura di niente. E puoi abituarti all'aspetto ...
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