A função restaurada de sua derivada ou diferencial é chamada antiderivada.
Definição. Função F (x) chamado antiderivada para função
f (x) em algum intervalo, se em cada ponto deste intervalo
F "(x) = f (x)
ou, que também é,
dF (x) = f (x) dx
Por exemplo, F (x) = sin xé a antiderivada para f (x) = cos x no eixo dos números inteiros OX, como
(sin x) "= cos x
Se a função F(x) existe uma antiderivada para a função f(x) no [ uma; b], então a função F(x) + C Onde C qualquer número real também é uma antiderivada para f(x) para qualquer valor C... De fato ( F(x) + C)" = F"(x) + C" = f(x).
Exemplo.
Definição. Se um F (x) uma das antiderivadas para a função f (x) no [ uma; b], então a expressão F (x) + C Onde C constante arbitrária é chamada integral indefinida da função f (x) e é denotado pelo símbolo ʃ f(x)dx(leia-se: integral indefinida de f (x) no dx) Então,
ʃ f (x ) dx = F (x ) + C ,
Onde f (x)é chamado de integrando, f (x) dx- o integrando, xÉ a variável de integração, e o símbolo ʃ‒ é o sinal da integral indefinida.
Propriedades da integral indefinida e suas propriedades geométricas.
Da definição de uma integral indefinida, segue-se que:
1. A derivada da integral indefinida é igual ao integrando:
Mesmo, F "(x) = f(x) e ʃ f(x)dx = F(x)+ C... Então
2. O diferencial da integral indefinida é igual ao integrando
Mesmo,
3. A integral indefinida da derivada é igual à própria função mais uma constante arbitrária:
Mesmo, F "(x) = f(x) Então,
4. A integral indefinida do diferencial é igual à função diferenciável mais uma constante arbitrária:
Mesmo, 
... Então,
5. Multiplicador constante k(k≠ 0) pode ser obtido fora do sinal integral indefinido:
6. A integral indefinida da soma algébrica de um número finito de funções é igual à soma algébrica das integrais dessas funções:
Vamos chamar o gráfico de antiderivada Curva integral F (x)... Gráfico de qualquer outra antiderivada F (x) + Cé obtido por transferência paralela da curva integral F (x) ao longo do eixo OY.
Exemplo.
Tabela de integrais básicos
Técnicas Básicas de Integração
1. Integração direta (tabular).
A integração direta (tabular) é a redução de uma integral para uma forma tabular usando as propriedades e fórmulas básicas da matemática elementar.
Exemplo 1.
Decisão:
Exemplo2 .
Decisão:
Exemplo3 .
Decisão:
2. O método de trazer o diferencial.
Exemplo 1.
Decisão:
Exemplo2 .
Decisão:
Exemplo3 .
Decisão:
Exemplo4 .
Decisão:
Exemplo5 .
Decisão:
Exemplo6 .
Decisão:
Exemplo7 .
Decisão:
Exemplo8 .
Decisão:
Exemplo9 .
Decisão:
Exemplo10 .
Decisão:
3. A segunda forma de resumir o diferencial.
Exemplo 1.
Decisão:
Exemplo2 .
Decisão:
4. Método de substituição (substituição) de variável.
Exemplo.
Decisão:
5. Método de integração por partes.
De acordo com esta fórmula, os seguintes tipos de integrais são considerados:
1 tipo.
, fórmula se aplica n- tempo, descanso dv.
2 um tipo.
, a fórmula é aplicada uma vez.
Exemplo1 .
Decisão:
Exemplo 2.
Decisão:
Exemplo3 .
Decisão:
Exemplo4 .
Decisão:
INTEGRAÇÃO DE FRAÇÕES RACIONAIS.
Uma fração racional é a proporção de dois polinômios - graus m e - graus n,
Os seguintes casos são possíveis:
1. Se, então, aplique o método de divisão de ângulo para excluir a parte inteira.
2. Se no denominador também houver um trinômio quadrado, então o método do complemento a um quadrado cheio é usado.
Exemplo 1.
Decisão:
Exemplo2 .
Decisão:
3. O método dos coeficientes indefinidos na expansão de uma fração racional regular na soma das frações mais simples.
Qualquer fração racional regular, onde, pode ser representada como a soma das frações mais simples:
Onde A, B, C, D, E, F, M, N, ...‒ coeficientes indefinidos.
Para encontrar os coeficientes indefinidos, é necessário trazer o lado direito para um denominador comum. Como o denominador coincide com o denominador da fração do lado direito, eles podem ser descartados e os numeradores equalizados. Então, igualando os coeficientes nos mesmos graus x nos lados esquerdo e direito, obtemos um sistema de equações lineares com n- desconhecido. Tendo resolvido este sistema, encontramos os coeficientes necessários UMA, B, C, D etc. E, portanto, expandimos a fração racional regular nas frações mais simples.
Vamos considerar exemplos de opções possíveis:
1. Se os fatores do denominador forem lineares e diferentes:
2. Se houver fatores curtos entre os fatores do denominador:
3. Se entre os fatores do denominador houver um trinômio quadrado, indecomponível:
Exemplos: Expanda a fração racional na soma das mais simples. Integrar.
Exemplo 1.
Como os denominadores das frações são iguais, os numeradores também devem ser iguais, ou seja,
Exemplo 2.
Exemplo3 .
Lição 2. Cálculo integral
Integral indefinido e seu significado geométrico... Propriedades básicas da integral indefinida.
Métodos básicos de integração da integral indefinida.
Uma integral definida e seu significado geométrico.
Fórmula de Newton-Leibniz. Métodos de cálculo da integral definida.
Conhecendo a derivada ou diferencial de uma função, pode-se encontrar a própria função (restaurar a função). Essa ação, o oposto da diferenciação, é chamada de integração.
Função antiderivada em relação a esta função, tal função é chamada 
, cuja derivada é igual à função dada, ou seja, 
Para esta função
existem inúmeras antiderivadas, uma vez que qualquer uma das funções 
, também é a antiderivada para.
A coleção de todas as antiderivadas para uma determinada função é chamada de integral indefinida denotado pelo símbolo:
Onde
é chamado de integrando, a função 
- o integrando.
O significado geométrico da integral indefinida. Geometricamente, uma integral indefinida é uma família de curvas integrais em um plano obtido por translação paralela do gráfico de uma função 
ao longo da ordenada (Fig. 3).
Propriedades básicas da integral indefinida
Propriedade 1. A derivada da integral indefinida é igual ao integrando:
Propriedade 2. O diferencial da integral indefinida é igual ao integrando:
Propriedade 3. A integral do diferencial de uma função é igual a esta função mais const:
Propriedade 4. Linearidade da integral.
Tabela de integrais básicos
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Integrante |
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calmo |
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indicativo |
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trigonométrico |
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marcha ré trigonométrico |
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Métodos básicos de integração
Integração por partesÉ um método que usa a fórmula:
.
Este método é usado se o integral 
é mais fácil de resolver do que 
... Como regra, este método é usado para resolver integrais da forma 
Onde 
é um polinômio e é uma das seguintes funções: 
,
,
,
,
,
,
.
Considere alguma função 
definido no intervalo 
, FIG. 4. Vamos realizar 5 operações.
1. Divida o intervalo por pontos de forma arbitrária em 
partes. Nós denotamos 
, e o mais longo dos comprimentos dessas seções parciais é denotado por 
, será chamado de classificação da divisão.
2. Em cada local parcial 
tome um ponto arbitrário 
e calcular nele o valor da função 
.
3. Vamos compor uma obra 
4. Vamos fazer a quantia 
... Essa soma é chamada de soma integral ou soma de Riemann.
5. Trituração, britagem (aumentando o número de pontos de britagem) e, ao mesmo tempo, direcionando a classificação de britagem para zero ( 
) ou seja (ao aumentar o número de pontos de esmagamento, garantimos que o comprimento de todas as seções parciais diminui e tende a zero
), encontraremos o limite da sequência de somas integrais
Se este limite existe, não depende do método de divisão e da escolha dos pontos, então é chamado uma integral definida da função ao longo do intervalo e é denotado da seguinte forma:
.
O significado geométrico de uma integral definida. Suponhamos que a função seja contínua e positiva no intervalo. Considere um trapézio curvo ABCD(fig. 4). Soma integral 
nos dá a soma das áreas dos retângulos com bases 
e alturas 
... Pode ser tomado como um valor aproximado da área de um trapézio curvo ABCD
, ou seja,
,
além disso, essa igualdade será tanto mais precisa, quanto mais fina for a fragmentação, e no limite de n→+∞ e λ → 0 nós conseguiremos:
.
Este é o significado geométrico de uma integral definida.
Propriedades básicas de uma integral definida
Propriedade 1. Uma integral definida com os mesmos limites é igual a zero.
Propriedade 2. Quando os limites da integração são invertidos, a integral definida muda seu sinal para o oposto.
Propriedade 3. Linearidade da integral.
Propriedade 4. Quaisquer que sejam os números, se a função 
integrável em cada um dos intervalos 
,
,
(fig. 5), então:
Teorema. Se a função é contínua no intervalo, então a integral definida desta função ao longo do intervalo é igual à diferença entre os valores de alguma antiderivada desta função nos limites superior e inferior de integração, ou seja,
(Fórmula de Newton-Leibniz)
.
Esta fórmula reduz encontrar integrais definidas para encontrar integrais indefinidas. Diferença 
é chamado de incremento da antiderivada e é denotado 
.
Considere os principais métodos para calcular uma integral definida: mudança de variáveis (substituição) e integração por partes.
Substituição (mudança de variável) em uma integral definida - você precisa fazer o seguinte:
e 
;
Comente. Ao calcular integrais definidos usando substituição, não há necessidade de voltar ao argumento original.
2. Integração por partes em uma integral definida resume-se a aplicar a fórmula:
.
Exemplos de resolução de problemas
Exercício 1. Encontre a integral indefinida pelo método de integração direta.
1.
... Usando a propriedade de uma integral indefinida, consideramos um fator constante fora do sinal da integral. Então, realizando transformações matemáticas elementares, trazemos o integrando a uma forma de lei de potência:
.
Tarefa 2. Encontre a integral indefinida usando o método de substituição de variável.
1.
... Vamos mudar a variável 
então. A integral inicial terá a forma:
Assim, obtivemos uma integral indefinida da forma tabular: uma função de potência. Usando a regra para encontrar a integral indefinida de Função liga-desliga, nós achamos:
Tendo feito a substituição reversa, obtemos a resposta final:
Tarefa 3. Encontre a integral indefinida usando o método de integração por partes.
1.
... Deixe-nos apresentar a seguinte notação: significado ... o principal conceito integrante cálculo- conceito Indefinido integrante ... Indefinido integrante O principal propriedades Indefinido integrante Mesa de uso maior Indefinido ...
O programa de trabalho da disciplina académica Ciclo "Matemática Superior"
Programa de trabalho... o principal leis ... Integrante cálculo funções de uma variável Antiderivada. Incerto integrante e seu propriedades ... integrante e seu geométrico significado. Integrante... coordenadas. Incerto integrante e ... e prático Aulas". Petrushko I.M., ...
Significado de antiderivada.
A antiderivada de uma função f (x) no intervalo (a; b) é uma função F (x) tal que a igualdade vale para qualquer x de um determinado intervalo.
Se levarmos em consideração o fato de que a derivada da constante С é igual a zero, então a igualdade 
... Assim, a função f (x) possui um conjunto de antiderivadas F (x) + C, para uma constante arbitrária C, e essas antiderivadas diferem entre si por um valor constante arbitrário.
Definição de integral indefinida.
Todo o conjunto de antiderivadas de uma função f (x) é chamado de integral indefinida desta função e é denotado 
.
A expressão é chamada integrando, e f (x) - o integrando... O integrando é o diferencial da função f (x).
A ação de encontrar uma função desconhecida para um determinado diferencial é chamada incerto integração, porque o resultado da integração não é uma função F (x), mas o conjunto de suas antiderivadas F (x) + C.
Com base nas propriedades do derivado, é possível formular e comprovar propriedades integrais indefinidas(propriedades da antiderivada).
Igualdades intermediárias da primeira e segunda propriedades da integral indefinida são fornecidas para esclarecimento.
Para provar a terceira e a quarta propriedades, é suficiente encontrar as derivadas dos lados direitos das igualdades: 
Essas derivadas são iguais aos integrantes, o que é a prova em virtude da primeira propriedade. Também é usado nas últimas transições.
Assim, o problema de integração é o inverso do problema de diferenciação, e há uma conexão muito próxima entre esses problemas:
- a primeira propriedade permite verificar a integração. Para verificar a exatidão da integração realizada, basta calcular a derivada do resultado obtido. Se a função obtida como resultado da diferenciação for igual ao integrando, isso significará que a integração foi realizada corretamente;
- a segunda propriedade da integral indefinida nos permite encontrar sua antiderivada a partir do diferencial conhecido da função. O cálculo direto de integrais indefinidos é baseado nesta propriedade.
Vejamos um exemplo.
Exemplo.
Encontre a antiderivada de uma função cujo valor é igual a um em x = 1.
Decisão.
Sabemos do cálculo diferencial que 
(basta olhar a tabela de derivadas de funções elementares básicas). Desta maneira, 
... Pela segunda propriedade 
... Ou seja, temos muitas antiderivadas. Para x = 1, obtemos o valor. Por condição, esse valor deve ser igual a um, portanto, C = 1. A antiderivada desejada assumirá a forma.
Exemplo.
Encontre a integral indefinida 
e verifique o resultado por diferenciação.
Decisão.
Fórmula senoidal de ângulo duplo de trigonometria 
, tão 
A integral é uma parte importante do cálculo diferencial. Integrais podem ser duplos, triplos, etc. Vários tipos de integrais são usados para encontrar a área de superfície e o volume dos corpos geométricos.
A integral indefinida tem a forma: \ (∫f (x) \, dx \) e a integral definida é: \ (\ int_a ^ b \! F (x) \, dx \)
A área do plano limitada pelo gráfico de uma integral definida:
As operações de integração são o oposto de diferenciação. Por isso, precisamos nos lembrar da antiderivada, da função, da tabela de derivadas.
A função \ (F (x) = x ^ 2 \) é a antiderivada para a função \ (f (x) = 2x \). As funções \ (f (x) = x ^ 2 + 2 \) e \ (f (x) = x ^ 2 + 7 \) também são antiderivadas para a função \ (f (x) = 2x \). \ (2 \) e \ (7- \) são constantes cujas derivadas são iguais a zero, então podemos substituí-las o quanto quisermos, o valor da antiderivada não mudará. Use \ (∫ \) para escrever a integral indefinida. Integral indefinidaé a coleção de todas as antiderivadas da função \ (f (x) = 2x \). As operações de integração são o oposto de diferenciação. \ (∫2x = x ^ 2 + C \), onde \ (C \) é a constante de integração, ou seja, se calcularmos a derivada \ (x ^ 2 \), obtemos \ (2x \), e este é \ (∫2x \). Fácil, não é? Se você não entender, então você precisa repetir a derivada da função. Agora podemos derivar a fórmula pela qual calcularemos a integral: \ (∫u ^ ndu = \ frac (u ^ n + 1) (n + 1), n ≠ -1 \)... subtraímos 1, agora adicionamos 1, n não pode ser 0. Existem também outras regras de integração para outras funções básicas aprenderem:
Resolver uma integral indefinida é o processo inverso de encontrar antiderivadas equação diferencial... Encontramos a função cuja derivada é a integral e lembre-se de adicionar "+ C" no final.
Os princípios do desaparecimento integral foram formulados independentemente por Isaac Newton e Gottfried Leibniz no final do século XVII. Bernhard Riemann deu uma definição matemática rigorosa de integrais. O primeiro método sistemático documentado capaz de determinar integrais é o método do desaparecimento do antigo astrônomo grego Eudoxus, que tentou encontrar áreas e volumes dividindo-os em um número infinito de áreas e volumes conhecidos. Este método foi desenvolvido e usado por Arquimedes no século 3 AC. e. e foi usado para calcular as áreas das parábolas e aproximação da área de um círculo.
Um método semelhante foi desenvolvido de forma independente na China por volta do século III dC por Liu Hui, que o usou para encontrar a área de um círculo. Este método foi usado mais tarde no século 5 por matemáticos chineses - pai e filho Zu Chungzhi e Zu Guingg para encontrar o volume de uma esfera.
Os próximos avanços significativos no cálculo integral não apareceram até o século XVII. Durante este tempo, o trabalho de Cavalieri e Fermat começou a lançar as bases do cálculo moderno.
Em particular, o teorema fundamental do cálculo de integrais torna possível resolver uma classe muito mais ampla de problemas. Igualmente importante é a complexa estrutura matemática desenvolvida por Newton e Leibniz. Esta estrutura de integrais é tirada diretamente do trabalho de Leibniz e se tornou o cálculo integral moderno.O cálculo foi modificado por Riemann usando limites. Posteriormente, funções mais gerais foram consideradas, especialmente no contexto da análise de Fourier, à qual a definição de Riemann não se aplica. Lebesgue formulou outra definição de integral baseada na teoria da medida (um subcampo da análise real).
A notação moderna para a integral indefinida foi introduzida por Gottfried Leibniz em 1675.
Os integrais são amplamente usados em muitas áreas da matemática. Por exemplo, na teoria da probabilidade, integrais são usados para determinar a probabilidade de uma certa variável aleatória cair dentro de um certo intervalo.
Os integrais podem ser usados para calcular a área de uma região bidimensional com um limite curvo, bem como para calcular o volume de um objeto tridimensional com um limite curvo.
Integrais são usados em física, em áreas como cinemática, para encontrar deslocamento, tempo e velocidade.
O conceito de integral indefinida. diferenciação é uma ação pela qual, para uma dada função, sua derivada ou diferencial é encontrada. Por exemplo, se F (x) = x 10, então F "(x) = 10x 9, dF (x) = 10x 9 dx.
Integração -é o oposto de diferenciação. Ao integrar sobre uma determinada derivada ou diferencial de uma função, a própria função é encontrada. Por exemplo, se F "(x) = 7x 6, então F (x) == x 7, uma vez que (x 7)" = 7x 6.
A função diferenciável F (x), xЄ] a; b [chamado antiderivada para a função f (x) no intervalo] a; B [se f "(x) = f (x) para cada xЄ] a; b [.
Assim, para a função f (x) = 1 / cos 3 x, a antiderivada é a função F (x) = tan x, uma vez que (tan x) "= 1 / cos 2 x.
O conjunto de todas as antiderivadas f (x) no intervalo] a; b [chamado integral indefinida função f (x) neste intervalo e escreve f (x) dx = F (x) + С. Aqui f (x) dx é o integrando;
Função F (x) -subintegral; variável x de integração: C - constante arbitrária.
Por exemplo, 5x 4 dx = x 5 + C, uma vez que (x 3 + C) "= 5x 4.
Vamos dar propriedades básicas da integral indefinida... 1. O diferencial da integral indefinida é igual ao integrando:
D f (x) dx = f (x) dx.
(2) A integral indefinida da diferencial de uma função é igual a esta função adicionada a uma constante arbitrária, ou seja,
3. O fator constante pode ser retirado além do sinal da integral indefinida:
аf (х) dx = a f (x) dx
4. A integral indefinida da soma algébrica de funções é igual à soma algébrica das integrais indefinidas de cada função:
(f 1 (x) ± f 2 (x)) dx = f 1 (x) dx ± f 2 (x) dx.
Fórmulas Básicas de Integração
(integrais tabulares).
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6.
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Exemplo 1. Encontrar
Decisão. Vamos fazer a substituição 2 - 3x 2 = t então -6xdx = dt, xdx = - (1/6) dt. Além disso, nós temos
Exemplo 3. Encontrar
Decisão. Colocamos 10x = t; então 10dx = dt, de onde dx = (1/10) dt.
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3.
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Portanto, ao encontrar sinl0xdx, você pode usar a fórmula sinkxdx = - (1 / k) cos kx + C, onde k = 10.
Então sinl0xdx = - (1/10) cos10x + C.
Perguntas e exercícios de autoteste
1. Qual ação é chamada de integração?
2. Qual função é chamada de antiderivada para a função f (x)?
3. Dê a definição de uma integral indefinida.
4. Liste as propriedades principais da integral indefinida.
5. Qual ação pode ser usada para verificar a integração?
6. Escreva as fórmulas básicas de integração (integrais tabulares).
7. Encontre as integrais: a) b) c)
onde a é o limite inferior, b é o limite superior, F (x) é alguma antiderivada da função f (x).
Esta fórmula mostra a ordem de cálculo de uma integral definida 1) encontre uma das antiderivadas F (x) desta função; 2) encontre o valor de F (x) em x = a e x = b; 3) calcule a diferença F (b) - F (a).
Exemplo 1. Calcule o integral
Decisão. Usaremos a definição de um grau com um expoente fracionário e negativo e calcularemos a integral definida:
2. O segmento de integração pode ser dividido em partes:
3. O fator constante pode ser retirado do sinal integral:
4. A integral da soma das funções é igual à soma das integrais de todos os termos:
2) Defina os limites de integração para a variável t. Para x = 1 obtemos t n = 1 3 + 2 = 3, para x = 2 obtemos t em = 2 3 + 2 = 10.
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Exemplo 3. Calcule a integral
Decisão. 1) coloque cos x = t; então - sinxdx = dt e
sinxdx = -dt. 2) Definimos os limites de integração para a variável t: t n = cos0 = 1: t in = cos (π / 2) = 0.
3) Expressando o integrando em termos de t e dt e passando para novos limites, obtemos
Vamos calcular cada integral separadamente:
Exemplo 5. Calcule a área da figura limitada pela parábola y = x 2, retas x = - 1, x = 2 e abcissa (Fig. 47).
Decisão. Aplicando a fórmula (1), obtemos
Essa. S = 3 sq. unidades
Área da figura ABCD (Fig. 48), limitada pelos gráficos funções contínuas y = f 1 (x) ey f 2 = (x), onde x Є [a, b], pelos segmentos de linha x = a e x = b, é calculado pela fórmula
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| O volume do corpo formado pela rotação em torno do eixo Oy do trapézio curvilíneo aABb delimitado por uma curva contínua x = f (y), onde y Є [a, b], o segmento [a, b] do eixo Oy , segmentos das linhas retas y = aey = b (fig. 53), é calculado pela fórmula O caminho percorrido pelo ponto... Se um ponto se move em linha reta e sua velocidade v = f (t) é uma função conhecida do tempo t, então o caminho percorrido por um ponto em um período de tempo é calculado pela fórmula Perguntas de autoteste 1. Dê a definição de uma integral definida. 2. Liste as propriedades principais da integral definida. 3. Qual é o significado geométrico de uma integral definida? 4. Escreva fórmulas para determinar a área de uma figura plana usando uma integral definida. 5. Que fórmulas são usadas para encontrar o volume de um corpo de revolução? 6. Escreva uma fórmula para calcular o caminho percorrido pelo corpo. 7. Escreva uma fórmula para calcular o trabalho de uma força variável. 8. Qual fórmula é usada para calcular a força da pressão do fluido na placa? |
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