Determinarea maximului unei funcții. Funcția extremă

Un algoritm simplu pentru găsirea punctelor extreme.

Găsiți derivata funcției
Egalează această derivată cu zero
Găsiți valorile variabilei expresiei rezultate (valorile variabilei la care derivata este convertită la zero)
Împărțim linia de coordonate în intervale cu aceste valori (în acest caz, nu uitați de punctele de pauză, care trebuie aplicate și liniei), toate aceste puncte sunt numite puncte „suspecte” pentru extremum
Calculăm la care dintre aceste intervale derivata va fi pozitivă și la care negativă. Pentru a face acest lucru, trebuie să înlocuiți valoarea din interval în derivată.

Dintre punctele suspecte de extremum, este necesar să se găsească exact. Pentru a face acest lucru, ne uităm la intervalele noastre pe linia de coordonate. Dacă, când treceți printr-un anumit punct, semnul derivatei se schimbă de la plus la minus, atunci acest punct va fi maxim, și dacă de la minus la plus, atunci minim.

Pentru a găsi cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții, trebuie să calculați valoarea funcției la capetele segmentului și la punctele extreme. Apoi alegeți cea mai mare și cea mai mică valoare.

Luați în considerare un exemplu
Găsiți derivata și echivalați-o cu zero:

Valorile rezultate ale variabilelor sunt reprezentate grafic pe linia de coordonate și calculează semnul derivatei la fiecare dintre intervale. Ei bine, de exemplu, pentru prima să luăm-2 , atunci derivatul va fi-0,24 , pentru a doua o luăm0 , atunci derivatul va fi2 , iar pentru al treilea luăm2 , atunci derivatul va fi-0,24. Punem semnele corespunzătoare.

Vedem că la trecerea prin punctul -1, derivata schimbă semnul de la minus la plus, adică va fi un punct minim, iar când trecem prin 1 - de la plus la minus, respectiv, acesta este un punct maxim.

Teorema. (o condiție necesară pentru existența unui extremum) Dacă funcția f (x) este diferențiată la punctul x \u003d x 1 și punctul x 1 este un punct extrem, atunci derivatul funcției dispare în acest punct.

Dovezi. Să presupunem că funcția f (x) are un maxim la punctul x \u003d x 1.

Atunci pentru Dx pozitiv suficient de mic\u003e 0, este adevărată următoarea inegalitate:

A-priorat:

Acestea. dacă Dx®0, dar Dx<0, то f¢(x 1) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0, apoi f ¢ (x 1) £ 0.

Și acest lucru este posibil numai dacă la Dх®0 f ¢ (x 1) \u003d 0.

Pentru cazul în care funcția f (x) are un minim la punctul x 2, teorema este dovedită în mod similar.

Teorema este dovedită.

Consecinţă. Conversa nu este adevărată. Dacă derivata unei funcții la un moment dat este egală cu zero, atunci acest lucru nu înseamnă că în acest moment funcția are extremum. Un exemplu elocvent în acest sens este funcția y \u003d x 3, a cărei derivată la punctul x \u003d 0 este zero, dar în acest moment funcția are doar o inflexiune, și nu maximă sau minimă.

Definiție. Puncte critice funcțiile se numesc puncte în care derivata funcției nu există sau este egală cu zero.

Teorema considerată mai sus ne oferă condițiile necesare pentru existența unui extremum, dar acest lucru nu este suficient.

Exemplu: f (x) \u003d ôxô Exemplu: f (x) \u003d

y y

La punctul x \u003d 0 funcția are un minim, dar la punctul x \u003d 0 funcția nu are niciuna

nu are derivată. maxim, fără minim, fără producție

În general, funcția f (x) poate avea un extrem în punctele în care derivata nu există sau este egală cu zero.

Teorema. (Condiții suficiente pentru existența unui extremum)

Funcția f (x) să fie continuă în intervalul (a, b), care conține punctul critic x 1 și diferențiat în toate punctele acestui interval (cu excepția, probabil, punctul x 1 însuși).

Dacă, la trecerea prin punctul x 1 de la stânga la dreapta, derivata funcției f „(x) schimbă semnul de la„ + ”la„ - “, atunci la punctul x \u003d x 1 funcția f (x) are un maxim, iar dacă derivata schimbă semnul de la„ - „On“ + ”- atunci funcția are un minim.

Dovezi.

Lăsa

Prin teorema lui Lagrange: f (x) - f (x 1) \u003d f ¢ (e) (x - x 1), unde x< e < x 1 .

Apoi: 1) Dacă x< x 1 , то e < x 1 ; f¢(e)>0; f ¢ (e) (x - x 1)<0, следовательно

f (x) - f (x 1)<0 или f(x) < f(x 1).

2) Dacă x\u003e x 1, atunci e\u003e x 1 f ¢ (e)<0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно

f (x) - f (x 1)<0 или f(x) < f(x 1).

Deoarece răspunsurile sunt aceleași, putem spune că f (x)< f(x 1) в любых точках вблизи х 1 , т.е. х 1 – точка максимума.

Dovada teoremei pentru punctul minim este similară.

Teorema este dovedită.

Pe baza celor de mai sus, puteți elabora o procedură unificată pentru găsirea celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții pe un segment:

1) Găsiți punctele critice ale funcției.

2) Găsiți valorile funcției în puncte critice.

3) Găsiți valorile funcției la capetele segmentului.

4) Alegeți dintre valorile obținute cea mai mare și cea mai mică.

Examinarea unei funcții pentru extremum folosind

derivate de ordine superioare.

Fie la punctul x \u003d x 1 f ¢ (x 1) \u003d 0 și f ¢ ¢ (x 1) există și este continuu în unele vecinătăți ale punctului x 1.

Teorema. Dacă f ¢ (x 1) \u003d 0, atunci funcția f (x) în punctul x \u003d x 1 are un maxim dacă f ¢ ¢ (x 1)<0 и минимум, если f¢¢(x 1)>0.

Dovezi.

Fie f ¢ (x 1) \u003d 0 și f ¢ ¢ (x 1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x 1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х 1 .

pentru că f ¢ ¢ (x) \u003d (f ¢ (x)) ¢< 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х 1 , но f¢(x 1)=0, т.е. f¢(x) > 0 la x x 1. Aceasta înseamnă că atunci când treceți prin punctul х \u003d х 1, derivata f ¢ (x) schimbă semnul de la „+” la „-“, adică

în acest moment funcția f (x) are un maxim.

Pentru cazul funcției minime, teorema este demonstrată în mod similar.

Dacă f ¢ ¢ (x) \u003d 0, atunci natura punctului critic este necunoscută. Sunt necesare cercetări suplimentare pentru a o determina.

Convexitatea și concavitatea unei curbe.

Puncte de inflexiune.

Definiție. Convexitatea orientată spre curbă sus pe un interval (a, b) dacă toate punctele sale se află sub oricare dintre tangențele sale pe acest interval. Se numește o curbă orientată spre convexitate în sus convex, iar curba orientată spre convexitate în jos se numește concav.

Figura prezintă o ilustrare a definiției de mai sus.

Teorema 1. Dacă în toate punctele intervalului (a, b) a doua derivată a funcției f (x) este negativă, atunci curba y \u003d f (x) este convexă în sus (convexă).

Dovezi. Fie x 0 Î (a, b). Desenați o linie tangentă la curbă în acest punct.

Ecuația curbei: y \u003d f (x);

Ecuația tangentă:

Ar trebui dovedit că.

Prin teorema lui Lagrange pentru f (x) - f (x 0) :, x 0< c < x.

Prin teorema lui Lagrange pentru

Fie x\u003e x 0 apoi x 0< c 1 < c < x. Т.к. x – x 0 > 0 și c - x 0\u003e 0 și, în plus, în funcție de condiție

Prin urmare,.

Fie x< x 0 тогда x < c < c 1 < x 0 и x – x 0 < 0, c – x 0 < 0, т.к. по условию то

Se poate demonstra în mod similar că, dacă f ¢ ¢ (x)\u003e 0 pe intervalul (a, b), atunci curba y \u003d f (x) este concavă pe intervalul (a, b).

Teorema este dovedită.

Definiție. Se numește punctul care separă partea convexă a curbei de partea concavă punct de inflexiune.

Evident, la punctul de inflexiune, tangenta intersectează curba.

Teorema 2. Fie curba definită prin ecuația y \u003d f (x). Dacă a doua derivată f ¢ ¢ (a) \u003d 0 sau f ¢ ¢ (a) nu există și la trecerea prin punctul x \u003d a f ¢ ¢ (x) schimbă semnul, atunci punctul curbei cu abscisa x \u003d a este un punct de inflexiune.

Dovezi. 1) Să f ¢ ¢ (x)< 0 при х < a и f¢¢(x) > 0 pentru x\u003e a. Apoi la

x< a кривая выпукла, а при x > a curba este concavă, adică punctul x \u003d a - punctul de inflexiune.

2) Fie f ¢ ¢ (x)\u003e 0 pentru x< b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x > b - convex în sus. Atunci x \u003d b este un punct de inflexiune.

Teorema este dovedită.

Asimptote.

În studiul funcțiilor, se întâmplă adesea ca atunci când coordonata x a punctului curbei să se deplaseze la infinit, curba să se apropie nelimitat de o linie dreaptă.

Definiție. Linia dreaptă se numește asimptotăcurba, dacă distanța de la punctul variabil al curbei la această linie dreaptă tinde la zero pe măsură ce punctul se deplasează la infinit.

Trebuie remarcat faptul că nu fiecare curbă are o asimptotă. Asimptotele pot fi drepte și oblice. Studiul funcțiilor pentru prezența asimptotelor este de o mare importanță și vă permite să determinați mai exact natura funcției și comportamentul graficului curbei.

În general vorbind, o curbă, apropiindu-și asimptota la infinit, o poate intersecta și nu la un moment dat, așa cum se arată în graficul funcției de mai jos ... Asimptota sa oblică este y \u003d x.

Să luăm în considerare mai detaliat metodele pentru găsirea asimptotelor curbelor.

Asimptote verticale.

Din definiția asimptotei rezultă că dacă sau sau, atunci linia dreaptă x \u003d a este asimptota curbei y \u003d f (x).

De exemplu, pentru o funcție, linia x \u003d 5 este asimptota verticală.

Asimptote oblice.

Să presupunem că curba y \u003d f (x) are o asimptotă oblică y \u003d kx + b.

Notăm punctul de intersecție al curbei și perpendicularul pe asimptotă - M, P - punctul de intersecție al acestei perpendiculare cu asimptota. Unghiul dintre asimptotă și axa Ox este notat cu j. МQ perpendicular pe axa Ox intersectează asimptota în punctul N.

Atunci MQ \u003d y este ordonata unui punct de pe curbă, NQ \u003d este ordonata punctului N de pe asimptotă.

După condiție :, РNMP \u003d j ,.

Unghiul j este constant și nu este egal cu 90 0, atunci

Atunci .

Deci, dreapta y \u003d kx + b este asimptota curbei. Pentru a determina cu exactitate această linie dreaptă, este necesar să se găsească o modalitate de a calcula coeficienții k și b.

În expresia rezultată, scoatem x în afara parantezelor:

pentru că х® ¥, atunci de cand b \u003d const, atunci .

Atunci , prin urmare,

pentru că atunci , prin urmare,

Rețineți că asimptotele orizontale sunt un caz special al asimptotelor oblice la k \u003d 0.

Exemplu. .

1) Asimptote verticale: y® + ¥ x®0-0: y®- ¥ x®0 + 0, prin urmare, x \u003d 0 este asimptota verticală.

2) Asimptote oblice:

Astfel, linia y \u003d x + 2 este o asimptotă oblică.

Să trasăm funcția:

Exemplu. Găsiți asimptotele și graficați funcția.

Liniile drepte x \u003d 3 și x \u003d -3 sunt asimptotele verticale ale curbei.

Găsiți asimptote oblice:

y \u003d 0 - asimptotă orizontală.

Exemplu. Găsiți asimptote și graficați o funcție .

Linia dreaptă x \u003d -2 este asimptota verticală a curbei.

Găsiți asimptote oblice.

Deci, linia dreaptă y \u003d x - 4 este o asimptotă oblică.

Diagrama de studiu a funcției

Procesul de cercetare funcțională constă în mai multe etape. Pentru cea mai completă imagine a comportamentului unei funcții și a naturii grafului acesteia, trebuie să găsiți:

1) Regiunea de existență a funcției.

Acest concept include atât domeniul de aplicare, cât și domeniul de aplicare al funcției.

2) Puncte de întrerupere. (Dacă există).

3) Intervalele de creștere și descreștere.

4) Puncte de maxim și minim.

5) Valoarea maximă și minimă a funcției în domeniul său de definiție.

6) Domenii de convexitate și concavitate.

7) Puncte de inflexiune (dacă există).

8) Asimptote (dacă există).

9) Construirea unui grafic.

Să luăm în considerare aplicarea acestei scheme prin exemplu.

Exemplu. Examinați funcția și trageți-o.

Găsiți domeniul existenței funcției. Este evident că scop funcția este domeniul (- ¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).

La rândul său, se poate vedea că liniile x \u003d 1, x \u003d -1 sunt asimptote verticale strâmb.

Gama de valoriaceastă funcție este intervalul (- ¥; ¥).

Puncte de rupere funcțiile sunt punctele x \u003d 1, x \u003d -1.

Găsi puncte critice.

Găsiți derivata funcției

Puncte critice: x \u003d 0; x \u003d -; x \u003d; x \u003d -1; x \u003d 1.

Găsiți a doua derivată a funcției

Definiți convexitatea și concavitatea curbei la intervale.

-¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая

- < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < 0, y¢¢ > 0, curbă concavă

0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < , y¢¢ > 0, curbă concavă

< x < ¥, y¢¢ > 0, curbă concavă

Găsirea lacunelor creșteși diminuând funcții. Pentru a face acest lucru, determinăm semnele derivatei funcției pe intervale.

-¥ < x < - , y¢ > 0, funcția crește

- < x < -1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < , y¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, y¢¢ > 0, funcția crește

Se poate observa că punctul x \u003d - este un punct maxim, iar punctul x \u003d este un punct minim... Valorile funcției în aceste puncte sunt -3 / 2 și respectiv 3/2.

Despre verticală asimptote a fost deja spus mai sus. Acum vom găsi asimptote oblice.

Total, ecuația asimptotă oblică este y \u003d x.

Să construim programa funcții:

Funcțiile mai multor variabile

Când luăm în considerare funcțiile mai multor variabile, ne restrângem la o descriere detaliată a funcțiilor a două variabile, deoarece toate rezultatele obținute vor fi valabile pentru funcțiile unui număr arbitrar de variabile.

Definiție: Dacă fiecare pereche de numere independente una de cealaltă (x, y) dintr-un set conform unei reguli este asociată cu una sau mai multe valori ale variabilei z, atunci variabila z se numește o funcție a două variabile.

Definiție: Dacă o pereche de numere (x, y) corespunde unei valori z, atunci funcția se numește neechivoc, și dacă mai multe, atunci - ambiguu.

Definiție: Cu scopul de a funcția z se numește colecția de perechi (x, y) pentru care funcția z există.

Definiție: Aproape punctulМ 0 (x 0, y 0) de rază r se numește mulțimea tuturor punctelor (x, y) care îndeplinesc condiția .

Definiție: Se numește numărul A limită funcția f (x, y) ca punctul M (x, y) tinde spre punctul M 0 (x 0, y 0), dacă pentru fiecare număr e\u003e 0 există un număr r\u003e 0 astfel încât pentru orice punct M (x, y) pentru care condiția

condiția este, de asemenea, adevărată .

Ei notează:

Definiție: Fie ca punctul М 0 (x 0, y 0) să aparțină domeniului de definiție a funcției f (x, y). Atunci se numește funcția z \u003d f (x, y) continuu la punctul М 0 (x 0, y 0), dacă

(1)

în plus, punctul M (x, y) tinde spre punctul M 0 (x 0, y 0) într-un mod arbitrar.

Dacă la un moment dat condiția (1) nu este îndeplinită, atunci se numește acest punct punct de ruperefuncția f (x, y). Acest lucru poate fi în următoarele cazuri:

1) Funcția z \u003d f (x, y) nu este definită la punctul M 0 (x 0, y 0).

2) Nu există limită.

3) Această limită există, dar nu este egală cu f (x 0, y 0).

Proprietate. Dacă funcția f (x, y, ...) este definită și continuă într-un sistem închis și

domeniul delimitat D, atunci acest domeniu conține cel puțin un punct

N (x 0, y 0, ...), astfel încât punctele rămase să satisfacă inegalitatea

f (x 0, y 0, ...) ³ f (x, y, ...)

și, de asemenea, punctul N 1 (x 01, y 01, ...) astfel încât pentru toate celelalte puncte inegalitatea

f (x 01, y 01, ...) £ f (x, y, ...)

apoi f (x 0, y 0, ...) \u003d M - cea mai mare valoare funcții și f (x 01, y 01, ...) \u003d m - cea mai mică valoarefuncția f (x, y, ...) în domeniul D.

O funcție continuă într-o regiune închisă și mărginită D atinge cel puțin o dată cea mai mare valoare și o dată cea mai mică.

Proprietate. Dacă o funcție f (x, y, ...) este definită și continuă într-un domeniu închis D și M și m sunt, respectiv, cele mai mari și mai mici valori ale funcției din acest domeniu, atunci pentru orice punct m Î există un punct

N 0 (x 0, y 0, ...) astfel încât f (x 0, y 0, ...) \u003d m.

Pur și simplu, o funcție continuă ia toate valorile intermediare între M și m în domeniul D. O consecință a acestei proprietăți poate fi concluzia că dacă numerele M și m au semne opuse, atunci în domeniul D funcția dispare cel puțin o dată.

Proprietate. Funcția f (x, y, ...), continuă într-un domeniu închis mărginit D, limitat în această regiune, dacă există un număr K astfel încât pentru toate punctele regiunii inegalitatea .

Proprietate. Dacă funcția f (x, y, ...) este definită și continuă într-un domeniu închis D mărginit, atunci ea uniform continuu în această zonă, adică pentru orice număr pozitiv e există un număr D\u003e 0 astfel încât pentru oricare două puncte (x 1, y 1) și (x 2, y 2) din regiunea situată la o distanță mai mică decât D, inegalitatea

Proprietățile de mai sus sunt similare cu proprietățile funcțiilor unei variabile care sunt continue pe un segment. A se vedea Proprietățile funcțiilor care sunt continue pe un segment.

Derivate și diferențiale de funcții

variabile multiple.

Definiție. Funcția z \u003d f (x, y) este dată într-un anumit domeniu. Luați un punct arbitrar M (x, y) și setați incrementul Dx la variabila x. Atunci se numește cantitatea D x z \u003d f (x + Dx, y) - f (x, y) creșterea parțială a funcției în x.

Poti sa scrii

Apoi a sunat derivată parțialăfuncția z \u003d f (x, y) în x.

Desemnare:

Derivata parțială a funcției față de y este definită în mod similar.

Semnificație geometricăderivata parțială (de exemplu) este tangenta unghiului de înclinare a tangentei trasate în punctul N 0 (x 0, y 0, z 0) la secțiunea suprafeței de planul y \u003d y 0.

Increment complet și diferențial complet.

plan tangent

Fie N și N 0 puncte ale suprafeței date. Să trasăm o linie dreaptă NN 0. Planul care trece prin punctul N 0 se numește plan tangent la suprafață dacă unghiul dintre secanta NN 0 și acest plan tinde la zero, când distanța NN 0 tinde la zero.

Definiție. Normalla suprafața din punctul N 0 se numește o linie dreaptă care trece prin punctul N 0 perpendicular pe planul tangent la această suprafață.

În orice moment, suprafața are fie un singur plan tangent, fie nu o are deloc.

Dacă suprafața este dată de ecuația z \u003d f (x, y), unde f (x, y) este o funcție diferențiată în punctul М 0 (х 0, у 0), planul tangent la punctul N 0 (x 0, y 0, ( x 0, y 0)) există și are ecuația:

Ecuația normalului la suprafață în acest moment este:

Semnificație geometrică diferențialul total al unei funcții a două variabile f (x, y) la punctul (x 0, y 0) este creșterea aplicatei (coordonatei z) a planului tangent la suprafață atunci când treceți de la punctul (x 0, y 0) la punctul (x 0 + Dx, y 0 + Dy).

După cum puteți vedea, semnificația geometrică a diferențialului total al unei funcții a două variabile este un analog spațial al semnificației geometrice a diferențialului unei funcții a unei variabile.

Exemplu. Găsiți ecuațiile planului tangent și normal la suprafață

la punctul M (1, 1, 1).

Ecuația planului tangent:

Ecuație normală:

Calcule aproximative folosind diferențialul total.

Diferențialul total al funcției u este:

Valoarea exactă a acestei expresii este 1.049275225687319176.

Derivate parțiale de ordine superioare.

Dacă funcția f (x, y) este definită în unele domenii D, atunci derivatele sale parțiale vor fi definite și în același domeniu sau parte a acestuia.

Vom numi aceste derivate derivate parțiale de ordinul întâi.

Derivații acestor funcții vor fi derivate parțiale de ordinul doi.

Continuând să diferențiem egalitățile obținute, obținem derivatele parțiale de ordine superioare.

Punctul extrem al unei funcții este punctul din domeniul unei funcții la care valoarea funcției își ia valoarea minimă sau maximă. Valorile funcției în aceste puncte se numesc extrema (minimă și maximă) a funcției.

Definiție... Punct x1 domeniu funcțional f(x) se numește punctul maxim al funcției , dacă valoarea funcției în acest moment este mai mare decât valorile funcției în puncte suficient de apropiate de aceasta, situate la dreapta și la stânga acesteia (adică inegalitatea f(x0 ) > f(x0 + Δ x) x1 maxim.

Definiție... Punct x2 domeniu funcțional f(x) se numește punctul minim al funcției, dacă valoarea funcției în acest moment este mai mică decât valorile funcției în puncte suficient de apropiate de ea, situate în dreapta și în stânga acesteia (adică inegalitatea f(x0 ) < f(x0 + Δ x) ). În acest caz, se spune că funcția are la punct x2 minim.

Să spunem punct x1 este punctul maxim al funcției f(x). Apoi, în intervalul până la x1 funcția crește , deci derivata funcției este mai mare decât zero ( f "(x)\u003e 0), și în intervalul de după x1 funcția scade, prin urmare, și derivată a unei funcții mai mic decât zero ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Să presupunem, de asemenea, că ideea x2 este punctul minim al funcției f(x). Apoi, în intervalul până la x2 funcția scade, iar derivata funcției este mai mică decât zero ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 funcția crește, iar derivata funcției este mai mare decât zero ( f "(x)\u003e 0). În acest caz, de asemenea, la punct x2 derivata funcției este zero sau nu există.

Teorema lui Fermat (un criteriu necesar pentru existența unei funcții extremum)... Dacă punct x0 - punctul extrem al funcției f(x), atunci în acest moment derivata funcției este egală cu zero ( f "(x) \u003d 0) sau nu există.

Definiție... Se numesc punctele în care derivata unei funcții este zero sau nu există puncte critice .

Exemplul 1. Să luăm în considerare o funcție.

La momentul respectiv x \u003d 0, derivata funcției este egală cu zero, deci punctul x \u003d 0 este punctul critic. Cu toate acestea, așa cum se poate vedea pe graficul funcției, deci crește pe întregul domeniu x \u003d 0 nu este punctul extrem al acestei funcții.

Astfel, condițiile conform cărora derivata unei funcții într-un punct este egală cu zero sau nu există sunt condiții necesare pentru un extremum, dar nu sunt suficiente, din moment ce pot fi date și alte exemple de funcții pentru care aceste condiții sunt îndeplinite, dar funcția nu are extremum la punctul corespunzător. prin urmare trebuie să aveți suficiente semne, permițând să se judece dacă există un extremum într-un anumit punct critic și care dintre ele este maxim sau minim.

Teorema (primul criteriu suficient pentru existența unui extremum al unei funcții). Punct critic x0 f(x), dacă derivata funcției schimbă semnul când treceți prin acest punct și dacă semnul se schimbă de la „plus” la „minus”, atunci punctul maxim, iar dacă de la „minus” la „plus”, atunci punctul minim.

Dacă este aproape de punct x0 , la stânga și la dreapta acestuia, derivatul păstrează semnul, atunci acest lucru înseamnă că funcția fie scade doar, fie crește doar în unele vecinătăți ale punctului x0 ... În acest caz, la punctul respectiv x0 nu există nicio extremă.

Asa de, pentru a determina punctele extreme ale funcției, trebuie să faceți următoarele :

Găsiți derivata funcției.
Setați derivata la zero și determinați punctele critice.
Mental sau pe hârtie marcați punctele critice de pe axa numerică și determinați semnele derivatei funcției în intervalele obținute. Dacă semnul derivatei se schimbă de la „plus” la „minus”, atunci punctul critic este punctul maxim, iar dacă de la „minus” la „plus”, atunci punctul minim.
Calculați valoarea funcției la punctele extreme.

Exemplul 2. Găsiți extrema unei funcții .

Decizie. Să găsim derivata funcției:

Să stabilim derivata la zero pentru a găsi punctele critice:

Deoarece pentru orice valori ale „x” numitorul nu este zero, echivalăm numeratorul cu zero:

Am un punct de vârf x \u003d 3. Să determinăm semnul derivatei în intervalele delimitate de acest punct:

în intervalul de la minus infinit la 3 - semnul minus, adică funcția scade,

în intervalul de la 3 la infinit plus - semnul plus, adică funcția crește.

Adică punct x \u003d 3 este punctul minim.

Să găsim valoarea funcției în punctul minim:

Astfel, punctul extrem al funcției se găsește: (3; 0), și este punctul minim.

Teorema (al doilea criteriu suficient pentru existența unui extremum al unei funcții). Punct critic x0 este punctul extrem al funcției f(x) dacă a doua derivată a funcției în acest moment nu este zero ( f ""(x) ≠ 0), iar dacă a doua derivată este mai mare decât zero ( f ""(x)\u003e 0), atunci punctul maxim, iar dacă a doua derivată este mai mică decât zero ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Observație 1. Dacă la punctul respectiv x0 atât prima, cât și a doua derivată dispar, apoi în acest moment este imposibil să se judece prezența unui extremum pe baza celui de-al doilea criteriu suficient. În acest caz, trebuie să utilizați primul indicator suficient al extremității funcției.

Observație 2. Al doilea criteriu suficient pentru extremul unei funcții este, de asemenea, inaplicabil dacă prima derivată nu există la punctul staționar (atunci nici a doua derivată nu există). În acest caz, este, de asemenea, necesar să se utilizeze primul indicator suficient al extremității funcției.

Caracterul local al extremei funcției

Din definițiile de mai sus rezultă că extremul unei funcții este de natură locală - aceasta este cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției în comparație cu cele mai apropiate valori.

Să presupunem că vă uitați la câștigurile dvs. pe o perioadă de un an. Dacă ați câștigat 45.000 de ruble în mai și 42.000 de ruble în aprilie și 39.000 de ruble în iunie, atunci câștigurile din luna mai sunt valoarea maximă a funcției de câștig în comparație cu cele mai apropiate valori. Dar în octombrie ați câștigat 71.000 de ruble, în septembrie 75.000 de ruble, iar în noiembrie 74.000 de ruble, deci câștigurile din octombrie sunt minimul funcției de câștig în comparație cu valorile din apropiere. Și puteți vedea cu ușurință că maximul dintre valorile aprilie-mai-iunie este mai mic decât minimul din septembrie-octombrie-noiembrie.

În general vorbind, o funcție poate avea mai multe extreme pe interval și se poate dovedi că orice minim al funcției este mai mare decât orice maxim. Deci, pentru funcția prezentată în figura de mai sus ,.

Adică, nu ar trebui să credem că maximul și minimul unei funcții sunt, respectiv, cele mai mari și mai mici valori ale sale pe întregul interval considerat. La punctul maxim, funcția are cea mai mare valoare numai în comparație cu valorile pe care le are în toate punctele suficient de apropiate de punctul maxim, iar la punctul minim are cea mai mică valoare numai în comparație cu valorile pe care le are în toate punctele suficient de apropiate până la punctul minim.

Prin urmare, este posibil să se clarifice conceptul de mai sus al punctelor extremum ale unei funcții și să se numească punctele minime ca puncte minime locale și punctele maxime ca puncte maxime locale.

Căutați extrema unei funcții împreună

Exemplul 3.

Soluție: Funcția este definită și continuă pe întreaga linie numerică. Derivatul său există și pe linia numerelor întregi. Prin urmare, în acest caz, punctele critice sunt doar cele la care, adică , de unde și. Punctele critice și împărțiți întregul domeniu al funcției în trei intervale de monotonie :. Să alegem un punct de control în fiecare dintre ele și să găsim semnul derivatei în acest moment.

Pentru interval, punctul de control poate fi: găsi. Luând un punct din interval, obținem și luând un punct din interval, avem. Deci, în intervale și, și în interval. Conform primului criteriu suficient pentru un extremum, nu există extremum la punct (deoarece derivata își păstrează semnul în interval), iar la punctul funcția are un minim (deoarece derivata schimbă semnul de la minus la plus când trece prin acest punct). Să găsim valorile corespunzătoare ale funcției :, și. În interval, funcția scade, ca în acest interval, iar în interval, crește, ca în acest interval.

Pentru a clarifica construcția graficului, vom găsi punctele intersecției sale cu axele de coordonate. Căci, obținem o ecuație ale cărei rădăcini sunt și, adică, se găsesc două puncte (0; 0) și (4; 0) ale graficului funcțional. Folosind toate informațiile obținute, construim un grafic (vezi la începutul exemplului).

Pentru auto-verificare în timpul calculelor, puteți utiliza calculator derivat online .

Exemplul 4.Găsiți extrema funcției și construiți-o graficul.

Domeniul funcției este întreaga linie numerică, cu excepția punctului, adică ...

Pentru a scurta cercetarea, puteți utiliza faptul că această funcție este uniformă, deoarece ... Prin urmare, graficul său este simetric în raport cu axa Oy iar explorarea poate fi efectuată numai pentru un interval.

Găsiți derivatul și punctele critice ale funcției:

1) ;

2) ,

dar funcția se rupe în acest moment, deci nu poate fi un punct extrem.

Astfel, funcția dată are două puncte critice: și. Luând în considerare paritatea funcției, să verificăm doar punctul prin al doilea criteriu suficient al extremului. Pentru aceasta, găsim a doua derivată și definește semnul său la: obținem. Deoarece și, atunci este punctul minim al funcției, în timp ce .

Pentru a obține o imagine mai completă a graficului unei funcții, să aflăm comportamentul acesteia la limitele domeniului de definiție:

(aici simbolul indică dorința x la zero la dreapta și x rămâne pozitiv; la fel înseamnă aspirație x la zero în stânga și x rămâne negativ). Astfel, dacă, atunci. Mai departe, aflăm

acestea. daca atunci.

Graficul funcțional nu are puncte de intersecție cu axele. Imaginea este la începutul exemplului.

Pentru auto-verificare în timpul calculelor, puteți utiliza calculator derivat online .

Continuăm să căutăm împreună extrema funcției

Exemplul 8.Găsiți extrema funcției.

Decizie. Să găsim domeniul funcției. Deoarece inegalitatea trebuie satisfăcută, obținem din.

Să găsim prima derivată a funcției.

Funcția și studiul trăsăturilor sale ocupă unul dintre capitolele cheie din matematica modernă. Componenta principală a oricărei funcții este graficele care prezintă nu numai proprietățile acesteia, ci și parametrii derivatei acestei funcții. Să aruncăm o privire la acest subiect dificil. Deci, care este cel mai bun mod de a căuta punctele maxime și minime ale unei funcții?

Funcție: definiție

Orice variabilă care depinde cumva de valorile unei alte mărimi poate fi numită funcție. De exemplu, funcția f (x 2) este pătratică și determină valori pentru întregul set x. Să spunem că x \u003d 9, atunci valoarea funcției noastre va fi 9 2 \u003d 81.

Funcțiile vin într-o mare varietate de forme: logică, vectorială, logaritmică, trigonometrică, numerică și altele. Mente remarcabile precum Lacroix, Lagrange, Leibniz și Bernoulli au fost angajate în studiul lor. Scrierile lor servesc drept pilon în modurile moderne de a studia funcțiile. Înainte de a găsi punctele minime, este foarte important să înțelegem însăși semnificația funcției și a derivatei acesteia.

Derivatul și rolul său

Toate funcțiile depind de valorile lor variabile, ceea ce înseamnă că își pot schimba valoarea în orice moment. Pe grafic, aceasta va fi descrisă ca o curbă care fie coboară, fie crește de-a lungul ordonatei (acesta este întregul număr de numere „y” de-a lungul verticalei graficului). Deci, definiția punctelor maxime și minime ale funcției este legată doar de aceste „fluctuații”. Să ne explicăm ce este această relație.

Derivata oricărei funcții este trasată pe un grafic pentru a studia caracteristicile sale principale și pentru a calcula cât de repede se schimbă funcția (adică își modifică valoarea în funcție de variabila "x"). În momentul în care funcția crește, va crește și graficul derivatei sale, dar în orice secundă funcția poate începe să scadă, iar apoi graficul derivatei va scădea. Punctele la care derivata merge de la semnul minus la plus sunt numite puncte minime. Pentru a ști cum să găsești punctele minime, ar trebui să înțelegi mai bine

Cum calculez derivata?

Definiția și funcția implică mai multe concepte din În general, însăși definiția derivatei poate fi exprimată după cum urmează: este valoarea care arată rata de schimbare a funcției.

Modul matematic de a o defini pentru mulți studenți pare dificil, dar în realitate totul este mult mai simplu. Trebuie doar să urmați planul standard pentru a găsi derivatul oricărei funcții. Mai jos este descris modul în care puteți găsi punctul minim al unei funcții fără a aplica regulile de diferențiere și fără a memora tabelul derivatelor.

Puteți calcula derivata unei funcții folosind un grafic. Pentru a face acest lucru, trebuie să descrieți funcția în sine, apoi să luați un punct pe ea (punctul A din figură). Trageți o linie verticală până la axa abscisei (punctul x 0), iar în punctul A trageți o tangentă la graficul funcției. Axa absciselor și linia tangentă formează un anumit unghi a. Pentru a calcula valoarea cât de repede crește funcția, este necesar să se calculeze tangenta acestui unghi a.
Se pare că tangenta unghiului dintre tangentă și direcția axei x este derivata funcției într-o secțiune mică cu punctul A. Această metodă este considerată o modalitate geometrică de determinare a derivatei.

Metode de cercetare a funcțiilor

În programa școlară de matematică, este posibil să se găsească punctul minim al unei funcții în două moduri. Am analizat deja prima metodă folosind graficul, dar cum să determinăm valoarea numerică a derivatei? Pentru a face acest lucru, va trebui să învățați mai multe formule care descriu proprietățile derivatei și ajută la convertirea variabilelor precum "x" în numere. Următoarea metodă este universală, deci poate fi aplicată la aproape toate tipurile de funcții (atât geometrice, cât și logaritmice).

Este necesar să se echivaleze funcția cu funcția derivată și apoi să se simplifice expresia folosind regulile de diferențiere.
În unele cazuri, când este dată o funcție în care variabila „x” se află în divizor, este necesar să se determine intervalul valorilor admisibile, excluzând punctul „0” din acesta (pentru simplul motiv că în matematică în niciun caz nu puteți împărți la zero).
După aceea, ar trebui să convertiți forma originală a funcției într-o ecuație simplă, echivalând întreaga expresie la zero. De exemplu, dacă funcția arăta astfel: f (x) \u003d 2x 3 + 38x, atunci conform regulilor de diferențiere derivata sa este f "(x) \u003d 3x 2 + 1. Apoi transformăm această expresie într-o ecuație de următoarea formă: 3x 2 +1 \u003d 0 ...
După rezolvarea ecuației și găsirea punctelor „x”, ar trebui să le desenați pe abscisă și să stabiliți dacă derivata din aceste zone dintre punctele marcate este pozitivă sau negativă. După desemnare, va deveni clar în ce moment funcția începe să scadă, adică își schimbă semnul de la minus la opus. În acest fel, puteți găsi atât punctele minime, cât și cele maxime.

Reguli de diferențiere

Cea mai de bază componentă în studiul unei funcții și a derivatei acesteia este cunoașterea regulilor de diferențiere. Numai cu ajutorul lor este posibilă transformarea expresiilor voluminoase și a funcțiilor complexe mari. Să ne cunoaștem, există destul de multe dintre ele, dar toate sunt foarte simple datorită proprietăților naturale atât ale puterii, cât și ale funcțiilor logaritmice.

Derivata oricărei constante este zero (f (x) \u003d 0). Adică derivata f (x) \u003d x 5 + x - 160 va lua următoarea formă: f "(x) \u003d 5x 4 +1.
Derivată a sumei a doi termeni: (f + w) "\u003d f" w + fw ".
Derivată a unei funcții logaritmice: (log a d) "\u003d d / ln a * d. Această formulă se aplică tuturor tipurilor de logaritmi.
Grad derivat: (x n) "\u003d n * x n-1. De exemplu, (9x 2)" \u003d 9 * 2x \u003d 18x.
Derivata unei funcții sinusoidale: (sin a) "\u003d cos a. Dacă păcatul unghiului a este 0,5, atunci derivata sa este √3 / 2.

Puncte extreme

Am aflat deja cum să găsim punctele minime, dar există și un concept de puncte maxime ale unei funcții. Dacă minimul indică punctele la care funcția trece de la semnul minus la plus, atunci punctele maxime sunt acele puncte de pe axa abscisei la care derivata funcției se schimbă de la plus la opus - minus.

Puteți găsi prin metoda descrisă mai sus, rețineți doar că acestea denotă acele secțiuni în care funcția începe să scadă, adică derivatul va fi mai mic decât zero.

În matematică, se obișnuiește generalizarea ambelor concepte, înlocuindu-le cu sintagma „extremum points”. Când sarcina cere să se determine aceste puncte, înseamnă că este necesar să se calculeze derivata acestei funcții și să se găsească punctele minime și maxime.

Luați în considerare funcția y \u003d f (x), care este considerată pe intervalul (a, b).

Dacă este posibil să se indice o vecinătate b a punctului x1 aparținând intervalului (a, b) astfel încât pentru toate x (x1, b), se menține inegalitatea f (x1)\u003e f (x), atunci y1 \u003d f1 (x1) funcție maximă y \u003d f (x) vezi fig.

Maximul funcției y \u003d f (x) este notat cu max f (x). Dacă puteți specifica o vecinătate b a punctului x2 aparținând intervalului (a, b) astfel încât pentru toate x aparținând lui O (x2, 6), x nu este egal cu x2, inegalitatea f (x2)< f(x) , atunci y2 \u003d f (x2) se numește minimul funcției y-f (x) (vezi Fig.).

Pentru un exemplu de găsire a maximului, consultați următorul videoclip.

Funcție minimă

Minimul funcției y \u003d f (x) este notat cu min f (x). Cu alte cuvinte, funcție maximă sau minimă y \u003d f (x) numitastfel valoarea sa, care este mai mare (mai mică) decât toate celelalte valori luate în puncte suficient de apropiate de cea dată și diferite de aceasta.

Observația 1. Funcție maximădefinit de inegalitate se numește un maxim strict; un maxim non-strict este determinat de inegalitatea f (x1)\u003e \u003d f (x2)

Observația 2. sunt de natură locală (acestea sunt cele mai mari și mai mici valori ale funcției într-un cartier suficient de mic al punctului corespunzător); minimele individuale ale unei anumite funcții se pot dovedi mai mari decât maximele aceleiași funcții

În consecință, se numește maximul (minimul) funcției maxim local(minim local) în contrast cu maximul absolut (minim) - cea mai mare (cea mai mică) valoare din domeniul funcției.

Maximul și minimul unei funcții sunt numite extremum ... Extreme in find pentru trasarea funcțiilor

latin extremum înseamnă „extrem” valoare. Valoarea argumentului x la care este atins extremul se numește punctul extremum. Condiția necesară pentru un extrem este exprimată prin următoarea teoremă.

Teorema... În punctul extrem al funcției diferențiabile și derivata sa este zero.

Teorema are o semnificație geometrică simplă: tangenta la graficul funcției diferențiate la punctul corespunzător este paralelă cu axa Ox