Formula Ostrogradsky - Verde
Această formulă stabilește o legătură între o integrală curbiliniară peste un contur închis C și o integrală dublă peste aria delimitată de acest contur.
Definiție 1. Domeniul D se numește domeniu simplu dacă poate fi împărțit într-un număr finit de domenii de primul tip și, independent de acesta, într-un număr finit de domenii de al doilea tip.
Teorema 1. Să fie definite funcțiile P (x, y) și Q (x, y) într-un domeniu simplu, împreună cu derivatele lor parțiale și
Apoi urmează următoarea formulă:
unde C este un contur închis al domeniului D.
Aceasta este formula Ostrogradsky-Green.
Condiții pentru independența integralei curvilinee față de calea integrării
Definiție 1. Se spune că un domeniu închis al cadranului D este pur și simplu conectat dacă orice curbă închisă l D poate fi deformată continuu într-un punct astfel încât toate punctele acestei curbe aparțin regiunii D (o regiune fără „găuri” - D 1), dacă o astfel de deformare este imposibilă atunci regiunea se numește conectat multiplu (cu „găuri” - D 2).
Definiție 2. Dacă valoarea integralei curvilinee de-a lungul curbei AB nu depinde de forma curbei care leagă punctele A și B, atunci se spune că această integrală curbiliniară nu depinde de calea integrării:
Teorema 1. Să presupunem că funcțiile continue P (x, y) și Q (x, y), împreună cu derivatele lor parțiale, sunt definite într-un domeniu închis simplu conectat D. Apoi următoarele 4 condiții sunt echivalente (echivalente):
1) integral curbiliniar peste o buclă închisă
unde C este orice buclă închisă în D;
2) integralul curbiliniar peste o buclă închisă nu depinde de calea de integrare din domeniul D, adică
3) forma diferențială P (x, y) dx + Q (x, y) dy este diferențialul total al unei funcții F din domeniul D, adică că există o funcție F astfel încât (x, y) D egalitatea
dF (x, y) \u003d P (x, y) dx + Q (x, y) dy; (3)
4) pentru toate punctele (x, y) D se va îndeplini următoarea condiție:
Să dovedim acest lucru prin schemă.
Să dovedim asta din.
Să se dea 1), adică \u003d 0 de proprietatea 2 din §1, care \u003d 0 (de proprietatea 1 din §1).
Să dovedim asta din.
Se dă faptul că int. nu depinde de calea integrării, ci doar de alegerea începutului și sfârșitului căii
Luați în considerare funcția
Afirmăm că forma diferențială P (x, y) dx + Q (x, y) dy este diferențialul total al funcției F (x, y), adică , ce
Să stabilim un câștig privat
x F (x, y) \u003d F (x + x, y) -F (x, y) \u003d \u003d \u003d\u003d \u003d
(prin proprietatea 3 din § 1, BB * Oy) \u003d P (c, y) x (prin teorema valorii medii, c -const), unde x (în virtutea continuității funcției P). A primit formula (5). Formula (6) se obține în mod similar. Să dovedim asta din. Se dă formula dF (x, y) \u003d P (x, y) dx + Q (x, y) dy. Evident, \u003d P (x, y). Atunci Prin ipoteza teoremei, laturile din dreapta ale egalităților (7) și (8) sunt funcții continue, apoi prin teorema privind egalitatea derivatelor mixte, laturile din stânga vor fi, de asemenea, egale, adică Să dovedim că din 41. Alegeți orice contur închis din zona D, care limitează aria D 1. Funcțiile P și Q satisfac condițiile Ostrogradsky-Green: În virtutea egalității (4) în partea stângă a (9), integralul este egal cu 0, ceea ce înseamnă că partea dreaptă a egalității este Observație 1. Teorema 1. poate fi formulată ca trei teoreme independente Teorema 1 *. Pentru ca într-un domeniu de cadran simplu conectat D curba int. nu depindea de calea integrării pentru a satisface condiția (.1), adică Teorema 2 *. Pentru ca într-un domeniu de cadran simplu conectat D curba int. nu a depins de calea de integrare, astfel încât condiția (3) este îndeplinită: forma diferențială P (x, y) dx + Q (x, y) dy este diferențialul total al unor funcții F din domeniul D. Teorema 3 *. Pentru ca într-un domeniu de cadran simplu conectat D curba int. nu a depins de calea de integrare, astfel încât condiția (4) este îndeplinită: Observație 2. În teorema 2 *, domeniul D poate fi, de asemenea, conectat în mod multiplu. Formula lui Green: Dacă C este o limită închisă a domeniului D și funcțiile P (x, y) și Q (x, y), împreună cu derivatele lor parțiale de ordinul întâi, sunt continue în domeniul închis D (inclusiv limita C), atunci formula lui Green este validă: în jurul conturului C se alege astfel încât zona D să rămână în stânga. Din prelegeri: Să se dea funcțiile P (x, y) și Q (x, y), care sunt continue în domeniul D împreună cu derivate parțiale de primul ordin. Integral peste granița (L) care se află în întregime în domeniul D și conține toate punctele din domeniul D :. Direcția pozitivă a conturului este atunci când partea limitată a conturului este în stânga. Condiția pentru independența integralei curvilinei de tipul 2 de calea integrării. O condiție necesară și suficientă ca integrala curbiliniară de primul tip care leagă punctele M1 și M2 să nu depindă de calea integrării, ci depinde doar de punctele de pornire și de sfârșit, este egalitatea: - specificarea suprafeței. Proiectăm S pe planul xy, obținem aria D. Împărțim aria D cu o rețea de linii în părți numite Di. Desenați linii paralele cu z din fiecare punct al fiecărei linii, apoi S va fi împărțit în Si. Să compunem suma integrală:. Să vizăm diametrul maxim Di la zero:, obținem: Aceasta este o integrală de suprafață de primul fel Acesta este modul în care este considerată integralul de suprafață de primul fel. Definiție pe scurt. Dacă există o limită finită a sumei integrale, care nu depinde de metoda de partiționare S în secțiuni elementare Si și de alegerea punctelor, atunci se numește o integrală de suprafață de primul fel. Când treceți de la variabilele x și y la u și v: P Definiția unei integrale de suprafață de al doilea fel, proprietățile sale de bază și calculul. Conexiune cu o integrală de primul fel. Să se dea suprafața S mărginită de linia L (Fig. 3.10). Luați pe suprafața S un contur L care nu are puncte comune cu limita L. În punctul M al conturului L, putem restabili două suprafețe normale la suprafața S. Alegeți una dintre aceste direcții. Conturăm punctul M de-a lungul conturului L cu direcția aleasă a normalului. Dacă punctul M revine la poziția sa inițială cu aceeași direcție a normalului (și nu cu opusul), atunci suprafața S se numește față-verso. Vom lua în considerare doar suprafețele față-verso. Orice suprafață netedă cu o ecuație este o suprafață pe două fețe. Fie S o suprafață nedeschisă pe două fețe mărginită de o dreaptă L care nu are puncte de auto-intersecție. Să alegem o anumită parte a suprafeței. Vom numi direcția pozitivă a traversării conturului L o astfel de direcție, atunci când ne deplasăm de-a lungul părții selectate a suprafeței, suprafața însăși rămâne la stânga. O suprafață cu două fețe cu o direcție pozitivă de parcurgere a contururilor așezate pe ea în acest mod se numește suprafață orientată. Să trecem la construirea unei integrale de suprafață de al doilea fel. Luați o suprafață S cu două fețe în spațiu, formată dintr-un număr finit de piese, fiecare dintre acestea fiind dată de o ecuație a formei sau este o suprafață cilindrică cu generatoare paralele cu axa Oz. Fie R (x, y, z) o funcție definită și continuă pe suprafața S. Printr-o rețea de linii împărțim S în mod arbitrar în n secțiuni „elementare” ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi, ..., ΔSn care nu au niciun element comun punctele interioare. Pe fiecare segment ΔSi, alegem în mod arbitrar un punct Mi (xi, yi, zi) (i \u003d 1, ..., n). Fie (ΔSi) xy aria proiecției secțiunii ΔSi pe planul de coordonate Oxy, luată cu semnul „+”, dacă normalul la suprafața S în punctul Mi (xi, yi, zi) (i \u003d 1, ..., n) se formează cu axa Oz este un unghi acut și cu semnul "-" dacă acest unghi este obtuz. Să compunem suma integrală pentru funcția R (x, y, z) pe suprafața S în variabilele x, y :. Fie λ cel mai mare dintre diametrele ΔSi (i \u003d 1, ..., n). Dacă există o limită finită care nu depinde de metoda de împărțire a suprafeței S în secțiuni „elementare” ΔSi și de alegerea punctelor, atunci se numește integrală de suprafață peste partea selectată a suprafeței S a funcției R (x, y, z) de-a lungul coordonatelor x, y (sau integrală de suprafață de al doilea fel) și se notează În mod similar, se pot construi integrale de suprafață peste coordonatele x, z sau y, z de-a lungul laturii corespunzătoare a suprafeței, adică Dacă toate aceste integrale există, atunci puteți introduce o integrală „generală” peste partea selectată a suprafeței :. O integrală de suprafață de tipul al doilea are proprietățile obișnuite ale unei integrale. Observăm doar că orice integrală de suprafață de al doilea fel schimbă semnul când se schimbă partea suprafeței. Relația dintre integralele de suprafață de primul și al doilea tip. Fie suprafața S dată de ecuația: z \u003d f (x, y) și f (x, y), f "x (x, y), f" y (x, y) sunt funcții continue în domeniul închis τ (proiecții ale suprafeței S pe planul de coordonate Oxy), iar funcția R (x, y, z) este continuă pe suprafața S. Normala către suprafața S, având direcția cosinusului cos α, cos β, cos γ, este aleasă în partea superioară a suprafeței S. Apoi. Pentru cazul general, avem:
= Din calea integrării. Luați în considerare o integrală curbiliniară de al doilea fel, unde L - puncte de legătură curbă M și N... Lasă funcțiile P (x, y)și Q (x, y)au derivate parțiale continue în unele regiuni D, în care se află întreaga curbă L... Să definim condițiile în care integrala curbiliniară considerată depinde nu de forma curbei L, dar numai pe locația punctelor M și N. Să trasăm două curbe arbitrare MPN și MQNîntins în zonă D și puncte de legătură M și N (fig. 1). M NFigura: unu. Să ne prefacem asta Atunci unde L - un contur închis format din curbe MPN și NQM(prin urmare, poate fi considerat arbitrar). Astfel, condiția ca o integrală curbiliniară de al doilea fel să fie independentă de calea integrării este echivalentă cu condiția ca o astfel de integrală de-a lungul oricărui contur închis este egală cu zero. Numărul biletului 34. Integrală de suprafață de primul tip (suprafață). Aplicații (masa unei suprafețe materiale, coordonatele centrului de greutate, momente, aria unei suprafețe curbate).
Luați în considerare o suprafață deschisă Slimitat de contur L, și împărțiți-l în părți prin câteva curbe S 1, S 2, ..., S n... Să alegem un punct în fiecare parte M iși proiectați această parte pe planul tangent la suprafața care trece prin acest punct. Obținem în proiecție o figură plană cu o zonă T i... Numim ρ cea mai mare distanță dintre două puncte ale oricărei părți a suprafeței S. Definiție 12.1.Hai sa sunăm zonă S suprafețelimită sumă suprafață T ila Integrală de suprafață de primul fel. Luați în considerare o anumită suprafață Slimitat de contur L, și rupe-l în bucăți S 1, S 2, ..., S p (în acest caz, se indică și suprafața fiecărei părți S p). Să se dea valoarea funcției în fiecare punct al acestei suprafețe f (x, y, z). Să alegem în fiecare parte S ipunct M i (x i, y i, z i)și compuneți suma integrală Definiție 12.2.Dacă există o limită finită la suma integrală (12.2), care nu depinde de metoda împărțirii suprafeței în părți și de alegerea punctelor M iatunci se numește integrală de suprafață a primului tip de funcție f (M) \u003d f (x, y, z)la suprafață S
și notat Cometariu. O integrală de suprafață de primul fel are proprietățile uzuale ale integralelor (liniaritatea, însumarea integralelor unei funcții date pe părți separate ale suprafeței luate în considerare etc.). Semnificația geometrică și fizică a integralei de suprafață de primul fel. Dacă integrandul f (M) ≡ 1, apoi din Definiția 12.2 rezultă că este egală cu aria suprafeței considerate S. Aplicarea integralei de suprafață de primul fel. 1. Aria unei suprafețe curbate, a cărei ecuație este z \u003d f (x, y), poate fi găsit sub forma: (Ω - proiecție S pe avionul O hu). 2. Masa suprafeței 3. Momente: Momentele statice ale suprafeței în raport cu planurile coordonate O x y, O xz, O yz; Momente de inerție ale unei suprafețe față de axele de coordonate; Momente de inerție ale unei suprafețe față de planurile coordonate; Momentul de inerție al unei suprafețe în raport cu originea. 4. Coordonatele centrului de masă al suprafeței: Numărul biletului 35. Calculul integralei de suprafață de primul fel (reducerea la multiplu).
Ne restrângem la cazul când suprafața S este dat în mod explicit, adică printr-o ecuație a formei z \u003d φ (x, y)... Mai mult, din definiția suprafeței rezultă că S i \u003d, unde Δ σ i -zona de proiecție S i pe avionul O hu, A γ i - unghiul dintre axa O z și normal la suprafață S la punct M i... Se știe că unde ( x i, y i, z i) -coordonatele punctelor M i... Prin urmare, Înlocuind această expresie în formula (12.2), obținem că În cazul în care însumarea din dreapta se efectuează pe domeniul Ω al planului O hu, care este o proiecție pe acest plan al suprafeței S (fig. 1). S: z \u003d φ (x, y) Δσ iΩ În acest caz, pe partea dreaptă, se obține o sumă integrală pentru o funcție de două variabile pe o regiune plană, care în limita de la dă o integrală dublă. Astfel, s-a obținut o formulă care permite reducerea calculului integralei de suprafață de primul fel la calculul unei integrale duble: Cometariu. Să clarificăm din nou că în partea stângă a formulei (12.5) există suprafaţă integral și în dreapta - dubla. Numărul biletului 36. Integrală de suprafață de al doilea fel. Flux de câmp vector. Relația dintre integralele de suprafață de primul și al doilea tip.
Flux de câmp vector. Luați în considerare un câmp vector A
(M)definit în domeniul spațial G,suprafață netedă orientată S Gși câmpul normal al unității p
(M) pe partea selectată a suprafeței S. Definiție 13.3.Integrală de suprafață de primul fel unde Un
Este produsul scalar al vectorilor corespunzători și A n - proiecție vectorială A
pe direcția normalului se numește câmp vector de curgere A (M)prin partea selectată a suprafeței S
. Observație 1. Dacă alegeți cealaltă parte a suprafeței, atunci semnul normal și, în consecință, fluxul se va schimba. Observație 2. Dacă vectorul A
specifică debitul fluidului la un punct dat, apoi integrala (13.1) determină cantitatea de fluid care curge pe unitate de timp prin suprafață S în direcția pozitivă (de unde și termenul general „flux”). O regiune se numește pur și simplu conectată dacă granița ei este un set conectat. Un domeniu se numește n-conectat dacă granița sa se împarte în seturi n-conectate. Cometariu. Formula Green este valabilă și pentru domeniile conectate în mai multe rânduri. Pentru ca integrala (A, B - orice puncte de la D) să fie independentă de calea integrării (dar numai pe punctele de început și de sfârșit A, B) este necesar și suficient ca de-a lungul oricărei curbe închise (de-a lungul oricărui contur) care se află în D integrala a fost zero \u003d 0 Dovadă (necesitate). Fie (4) să fie independent de calea de integrare. Luați în considerare un contur arbitrar C care se află în domeniul D și alegeți două puncte arbitrare A, B pe acest contur. Atunci curba C poate fi reprezentată ca uniunea a două curbe AB \u003d G2, AB \u003d G1, C \u003d Г - 1 + G2. în zona D. Suficiența. Dacă este satisfăcut, atunci formula lui Green pentru orice contur C va fi Teorema 2. Pentru ca integrala curbiliniară (4) să fie independentă de calea de integrare în D, este necesar și suficient ca integrandul Pdx + Qdy să fie diferențialul total al unei funcții u în domeniul D. du \u003d Pdx + Qdy. Adecvare. Să se împlinească, apoi Necesitatea. Integrala să fie independentă de calea integrării. Fixăm un punct A0 în domeniul D și definim funcția u (A) \u003d u (x, y) \u003d XÎ (xÎ). Astfel, există o derivată \u003d P. În mod similar, se verifică dacă \u003d Q. Sub ipotezele făcute, funcția u se dovedește a fi continuu diferențiată și du \u003d Pdx + Qdy. Integrală curbiliniară de-a lungul lungimii arcului (primul fel) Funcția f (x, y) să fie definită și continuă în punctele arcului AB al unei curbe netede K. Împărțiți arbitrar arcul în n arcuri elementare prin punctele t0..tn fie lk lungimea k a arcului parțial. Luați un punct arbitrar N (k, k) pe fiecare arc elementar și înmulțiți acest punct cu punctul corespunzător. lungimea arcului este de trei sume integrale: 1
= O integrală curbiliniară de primul fel peste lungimea arcului este limita sumei integrale 1 cu condiția ca max (lk) 0 Dacă limita sumei integrale este 2 sau 3 pentru 0, atunci această limită se numește. integral curbiliniar de al doilea fel, funcția P (x, y) sau Q (x, y) de-a lungul curbei l \u003d AB și se notează cu: cantitate: Din definiția integralelor curvilinee rezultă că integralele de primul fel nu depind de direcția în care curba l se desfășoară de la A și B sau de la B și A. Integrală curbiliniară de primul fel peste AB: În cazul în care l este o curbă închisă, adică B coincide cu m. A, atunci dintre cele două direcții posibile de ocolire a unui contur închis l se numește pozitivă direcția în care zona care se află în interiorul conturului rămâne la stânga față de ??? făcând un ocol, adică direcția de mișcare este în sens invers acelor de ceasornic. Direcția opusă a ocolirii se numește negativă. Integrala curbiliniară AB de-a lungul unui contur închis l rulat în direcția pozitivă va fi notată cu simbolul: Pentru o curbă spațială, o integrală de primul fel este introdusă în mod similar: se numește suma ultimelor trei integrale. integral curviliniar general de al doilea fel. Unele aplicații ale integralelor curvilinei de primul fel. 1. Integral 2. Semnificația mecanică a integralei de primul fel. Dacă f (x, y) \u003d (x, y) este densitatea liniară a arcului material, atunci masa sa este: 3. Coordonatele centrului de masă al arcului material: 4. Momentul de inerție al unui arc aflat în planul ox în raport cu originea și axele de rotație oo, oy: 5. Sensul geometric al unei integrale de primul fel Fie funcția z \u003d f (x, y) - să aibă dimensiunea lungimii f (x, y)\u003e \u003d 0 în toate punctele arcului material aflat în plan oxi atunci: Unele aplicații ale integralelor curbiliniare de tipul al doilea. Calculul ariei unei regiuni plane D cu limita L 2. Forța de lucru. Să se deplaseze punctul material sub acțiunea unei forțe de-a lungul unei curbe plane continue BC, mergând de la B la C, opera acestei forțe: Luați în considerare o integrală curbiliniară de al doilea fel, unde L - puncte de legătură curbă M și N... Lasă funcțiile P (x, y)și Q (x, y)au derivate parțiale continue în unele regiuni D, în care se află întreaga curbă L... Să definim condițiile în care integrala curbiliniară considerată depinde nu de forma curbei L, dar numai pe locația punctelor M și N. Să trasăm două curbe arbitrare MPN și MQNîntins în zonă D și puncte de legătură M și N (fig. 1). M NFigura: unu. P Să presupunem că, adică Atunci unde L - un contur închis format din curbe MPN și NQM(prin urmare, poate fi considerat arbitrar). Astfel, condiția ca o integrală curbiliniară de al doilea fel să fie independentă de calea integrării este echivalentă cu condiția ca o astfel de integrală de-a lungul oricărui contur închis este egală cu zero. Teorema 1.Să lăsăm în toate punctele unei regiuni D funcții continue P (x, y) și Q (x, y) și derivatele lor parțiale și. Apoi, pentru orice contur închis Lîntins în zonă D, conditia Este necesar și suficient ca \u003d în toate punctele regiunii D. Dovezi
. 1) Suficiență: lăsați condiția \u003d să fie îndeplinită. Luați în considerare un contur închis arbitrar L în zonă Dzona de delimitare Sși scrieți formula lui Green pentru aceasta: Deci, suficiența a fost dovedită. 2) Necesitate: presupunem că condiția este îndeplinită în fiecare punct al domeniului D, dar există cel puțin un punct al acestei regiuni în care - ≠ 0. Fie, de exemplu, la punctul P (x 0, y 0) -\u003e 0. Deoarece partea stângă a inegalității conține o funcție continuă, va fi pozitivă și mai mare decât unele δ\u003e 0 într-o regiune mică D`conținând punct R... Prin urmare, Prin urmare, folosind formula lui Green, obținem că, unde L` - un contur care delimitează zona D`... Acest rezultat contrazice condiția. Prin urmare, \u003d în toate punctele regiunii D, după cum este necesar pentru a dovedi. Observația 1
... În mod similar, pentru un spațiu tridimensional, se poate dovedi că condițiile necesare și suficiente pentru independența integralei curvilinee din calea integrării sunt: Observația 2.
În condiții (28 / 1.18), expresia Pdx + Qdy + Rdzeste diferențialul total al unei funcții și... Acest lucru ne permite să reducem calculul integralei curvilinee pentru a determina diferența de valori și la sfârșitul și punctele de început ale conturului de integrare, deoarece Mai mult, funcția și poate fi găsit prin formula unde ( x 0, y 0, z 0) - punctul din zonă D, A C Este o constantă arbitrară. Într-adevăr, este ușor să verificăm dacă derivatele parțiale ale funcției șidate de formula (28 / 1.19) sunt egale cu P, Q și R.
30. Formula lui Green. Condiții pentru independența integralei curvilinee față de calea integrării.
.31. Integrale de suprafață de primul și al doilea fel, proprietățile și calculul lor de bază.
integrala de suprafață are toate proprietățile unei integrale obișnuite. Vezi în întrebările de mai sus.
.
și 
.
"
Î
, adică 
. (12.2)
. (12.4)
(14.21)
(14.22)
- (14.26)
. (14.27)
,
,
,
(13.1)
Teorema 1. Pentru ca integrala curbiliniară să fie independentă de calea integrării în D, este necesar și suficient ca
de unde urmează afirmația cerută de lemă. Necesitate. După lemă, pentru orice contur \u003d 0. Apoi, prin formula lui Green pentru domeniul D mărginit de acest contur, \u003d 0. Prin teorema valorii medii, \u003d mD sau \u003d\u003d 0. Trecând la limită, contractând conturul într-un punct, obținem acest lucru în acest moment.
În acest caz32-33. Definiția integralelor curvilinee de tipul 1 și 2
f (k, k) lk 2 \u003d 
Р (k, k) хk 3 \u003d 
Q (k, k) yk, unde хk \u003d x k -x k -1, yk \u003d y k -y k -1
sau 
+
se obișnuiește să se numească integralul curbiliniar general de al doilea fel și să se noteze cu simbolul: 
în acest caz, funcțiile f (x, y), P (x, y), Q (x, y) se numesc integrabile de-a lungul curbei l \u003d AB. Curba l în sine se numește contur sau prin integrarea A - inițială, B - punctele finale de integrare, dl - diferențialul lungimii arcului, prin urmare se numește integral curbiliniar de primul fel. o integrală curbiliniară peste arcul unei curbe și de al doilea fel peste o funcție ..
, pentru integrale curbiliniare de al doilea fel, o modificare a direcției de parcurgere a curbei duce la o modificare a semnului:
și trei integrale de tipul 2:
- lungimea arcului AB
, unde S este aria unei suprafețe cilindrice, pisica constă din perpendiculare ale planului oxy, la est. în punctele M (x, y) ale curbei AB.
Se încarcă ...