เศษส่วน ในวิชาคณิตศาสตร์จำนวนประกอบด้วยหนึ่งส่วนหรือมากกว่า (เศษส่วน) ของหน่วย เศษส่วนเป็นส่วนหนึ่งของสนามจำนวนตรรกยะ โดยวิธีการเขียนเศษส่วนจะแบ่งออกเป็น 2 รูปแบบ: สามัญ ใจดีและ ทศนิยม .
เศษส่วน - ตัวเลขที่แสดงจำนวนเศษส่วน (อยู่ที่ส่วนบนของเศษส่วน - เหนือเส้น) ตัวหารเศษส่วน - ตัวเลขแสดงจำนวนเศษส่วนที่หน่วยแบ่งออกเป็น (อยู่ใต้บรรทัด - ที่ด้านล่าง) ในทางกลับกันแบ่งออกเป็น: แก้ไข และ ไม่ถูกต้อง, ผสม และ คอมโพสิต เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับหน่วยการวัด 1 เมตรมี 100 ซม. ซึ่งหมายความว่า 1 เมตรแบ่งออกเป็น 100 ส่วนเท่า ๆ กัน ดังนั้น 1 ซม. \u003d 1/100 ม. (หนึ่งเซนติเมตรเท่ากับหนึ่งในร้อยของเมตร)
หรือ 3/5 (สามในห้า) ในที่นี้ 3 คือตัวเศษ 5 คือตัวส่วน ถ้าตัวเศษมีค่าน้อยกว่าตัวส่วนแสดงว่าเศษส่วนมีค่าน้อยกว่าหนึ่งตัวและเรียก แก้ไข:
ถ้าตัวเศษเท่ากับตัวส่วนเศษจะเท่ากับหนึ่ง ถ้าตัวเศษมีค่ามากกว่าตัวส่วนเศษนั้นมีค่ามากกว่าหนึ่งตัว ในทั้งสองกรณีหลังนี้จะเรียกเศษส่วน ไม่ถูกต้อง:
ในการแยกจำนวนเต็มที่มากที่สุดในเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมให้หารตัวเศษด้วยตัวส่วน หากทำการหารโดยไม่มีเศษเหลือเศษที่ไม่เหมาะสมจะเท่ากับผลหาร:
หากดำเนินการหารด้วยเศษเหลือผลหาร (ไม่สมบูรณ์) จะให้จำนวนเต็มที่ต้องการในขณะที่ส่วนที่เหลือจะกลายเป็นตัวเศษของส่วนเศษส่วน ตัวส่วนของส่วนเศษส่วนยังคงเหมือนเดิม
เรียกว่าตัวเลขที่ประกอบด้วยจำนวนเต็มและเศษส่วน ผสม... ส่วนเศษส่วน จำนวนผสมอาจจะ เศษส่วนผิด... จากนั้นคุณสามารถเลือกจำนวนเต็มที่มากที่สุดจากส่วนเศษส่วนและแทนจำนวนคละในลักษณะที่ส่วนเศษส่วนกลายเป็นเศษส่วนปกติ (หรือหายไปอย่างสมบูรณ์)
เศษส่วนที่ไม่เหมาะสม
ไตรมาส
- ความเป็นระเบียบเรียบร้อย. ก และ ข มีกฎที่ทำให้สามารถระบุหนึ่งในสามความสัมพันธ์ระหว่างกันได้อย่างไม่น่าสงสัย:“<
», « > "หรือ" \u003d ". กฎนี้เรียกว่า กฎการสั่งซื้อ และมีสูตรดังนี้: จำนวนที่ไม่เป็นลบสองจำนวนและมีความสัมพันธ์กันโดยความสัมพันธ์เดียวกันกับจำนวนเต็มสองตัวและ; ตัวเลขที่ไม่เป็นบวกสองจำนวน ก และ ข มีความสัมพันธ์ด้วยความสัมพันธ์เดียวกันกับตัวเลขที่ไม่เป็นลบสองจำนวนและ; ถ้าจู่ๆ ก ไม่เป็นค่าลบและ ข - ลบแล้ว ก > ข ... style \u003d "max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src \u003d "/ รูปภาพ / วิกิ / ไฟล์ / 57 /.png" border \u003d "0"\u003e
การสรุปเศษส่วน
- การดำเนินการเพิ่มเติม สำหรับตัวเลขที่มีเหตุผลใด ๆ ก และ ข มีสิ่งที่เรียกว่า กฎการสรุป ค ... ยิ่งไปกว่านั้นตัวเลขนั้นเอง ค เรียกว่า ผลรวม ตัวเลข ก และ ข และแสดงและกระบวนการค้นหาหมายเลขดังกล่าวเรียกว่า การสรุป... กฎการสรุปมีดังนี้:
.
- การคูณ สำหรับตัวเลขที่มีเหตุผลใด ๆ ก และ ข มีสิ่งที่เรียกว่า กฎการคูณซึ่งทำให้พวกเขาสอดคล้องกับจำนวนที่มีเหตุผล ค ... ยิ่งไปกว่านั้นตัวเลขนั้นเอง ค เรียกว่า งาน ตัวเลข ก และ ข และมีการแสดงและกระบวนการค้นหาตัวเลขดังกล่าวเรียกอีกอย่างว่า การคูณ... กฎการคูณมีดังนี้:
.
- ความเปลี่ยนแปลงของความสัมพันธ์คำสั่งซื้อ สำหรับจำนวนตรรกยะสามเท่า ก , ข และ ค ถ้าก ก น้อยกว่า ข และ ข น้อยกว่า ค แล้ว ก น้อยกว่า ค , และถ้า ก อย่างเท่าเทียมกัน ข และ ข อย่างเท่าเทียมกัน ค แล้ว ก อย่างเท่าเทียมกัน ค ... 6435 "\u003e การสับเปลี่ยนของการบวกผลรวมไม่เปลี่ยนแปลงจากการเปลี่ยนแปลงตำแหน่งของเงื่อนไขเชิงเหตุผล
- การเชื่อมโยงเพิ่มเติม ลำดับของการเพิ่มของจำนวนตรรกยะสามตัวจะไม่มีผลต่อผลลัพธ์
- การปรากฏตัวของศูนย์ มีจำนวนตรรกยะ 0 ที่รักษาจำนวนตรรกยะอื่น ๆ เมื่อรวมเข้าด้วยกัน
- การปรากฏตัวของตัวเลขตรงข้าม จำนวนตรรกยะใด ๆ มีจำนวนตรรกยะตรงกันข้ามซึ่งเมื่อสรุปรวมแล้วจะได้ 0
- ความแปรผันของการคูณ ผลิตภัณฑ์ไม่เปลี่ยนแปลงจากการเปลี่ยนแปลงสถานที่ของปัจจัยที่มีเหตุผล
- ความสัมพันธ์ของการคูณ ลำดับที่คูณจำนวนตรรกยะสามจำนวนไม่มีผลต่อผลลัพธ์
- ความพร้อมของหน่วย มีจำนวนตรรกยะ 1 ที่รักษาจำนวนตรรกยะอื่น ๆ เมื่อคูณ
- ย้อนกลับตัวเลข จำนวนตรรกยะใด ๆ จะมีจำนวนตรรกยะผกผันคูณด้วย 1
- การกระจายของการคูณที่สัมพันธ์กับการบวก การดำเนินการของการคูณสอดคล้องกับการดำเนินการของการบวกด้วยกฎหมายการกระจาย:
- ความสัมพันธ์ของคำสั่งซื้อกับการดำเนินการเพิ่มเติม สามารถเพิ่มหนึ่งและจำนวนตรรกยะเดียวกันทางด้านซ้ายและด้านขวาของอสมการเชิงเหตุผลได้ ความกว้างสูงสุด: 98%; ความสูง: อัตโนมัติ; ความกว้าง: อัตโนมัติ "src \u003d" / ภาพ / วิกิ / ไฟล์ / 51 /.png "border \u003d" 0 "\u003e
- สัจพจน์ของอาร์คิมิดีส ไม่ว่าจะเป็นจำนวนตรรกยะก็ตาม ก คุณสามารถรับหน่วยได้มากจนผลรวมของมันจะเกิน ก ... style \u003d "max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src \u003d "/ รูปภาพ / วิกิ / ไฟล์ / 55 /.png" border \u003d "0"\u003e
คุณสมบัติเพิ่มเติม
คุณสมบัติอื่น ๆ ทั้งหมดที่มีอยู่ในจำนวนตรรกยะจะไม่ถูกแยกออกมาเป็นคุณสมบัติหลักเนื่องจากโดยทั่วไปแล้วคุณสมบัติเหล่านี้ไม่ได้อาศัยคุณสมบัติของจำนวนเต็มโดยตรงอีกต่อไป แต่สามารถพิสูจน์ได้จากคุณสมบัติพื้นฐานที่กำหนดหรือโดยตรงจากคำจำกัดความของวัตถุทางคณิตศาสตร์บางอย่าง คุณสมบัติเพิ่มเติมดังกล่าวมีจำนวนมาก มันสมเหตุสมผลที่จะอ้างถึงเพียงบางส่วนที่นี่
style \u003d "max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src \u003d "/ pictures / wiki / files / 48 /.png" border \u003d "0"\u003e
ความสามารถในการนับชุด
เลขที่มีเหตุผล
ในการประมาณจำนวนที่เป็นเหตุเป็นผลคุณต้องหาจำนวนเต็มของเซต เป็นเรื่องง่ายที่จะพิสูจน์ว่าชุดของจำนวนตรรกยะสามารถนับได้ ในการทำเช่นนี้ก็เพียงพอแล้วที่จะให้อัลกอริทึมที่ตัวเลขที่มีเหตุผลนั่นคือมันสร้างการคาดคะเนระหว่างชุดของจำนวนเหตุผลและธรรมชาติ
ขั้นตอนวิธีที่ง่ายที่สุดมีดังนี้ มีการรวบรวมตารางเศษส่วนธรรมดาสำหรับแต่ละตาราง ผม บรรทัดที่ - ในแต่ละ ญ - คอลัมน์ที่มีเศษส่วนอยู่ เพื่อความชัดเจนจะถือว่าแถวและคอลัมน์ของตารางนี้มีหมายเลขเริ่มต้นจากหนึ่ง เซลล์ตารางถูกกำหนดโดยที่ ผม คือหมายเลขแถวของตารางที่เซลล์ตั้งอยู่และ ญ - หมายเลขคอลัมน์
ตารางผลลัพธ์จะถูกข้ามโดย "งู" ตามขั้นตอนวิธีทางการต่อไปนี้
กฎเหล่านี้จะสแกนจากบนลงล่างและตำแหน่งถัดไปจะถูกเลือกในนัดแรก
ในกระบวนการส่งผ่านดังกล่าวจำนวนตรรกยะใหม่แต่ละตัวจะเชื่อมโยงกับจำนวนธรรมชาติถัดไป นั่นคือเศษส่วน 1/1 จะถูกกำหนดให้เป็นหมายเลข 1 เศษ 2/1 - หมายเลข 2 เป็นต้นควรสังเกตว่าจะมีเลขเศษส่วนที่ไม่สามารถวัดได้เท่านั้น สัญญาณที่เป็นทางการของความไม่สามารถวัดได้คือความเท่ากันของตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดตัวหนึ่งของตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน
ตามอัลกอริทึมนี้สามารถแจกแจงจำนวนเหตุผลเชิงบวกทั้งหมดได้ ซึ่งหมายความว่าชุดของจำนวนตรรกยะที่เป็นบวกสามารถนับได้ เป็นเรื่องง่ายที่จะสร้าง bijection ระหว่างชุดของจำนวนตรรกยะเชิงบวกและเชิงลบโดยการกำหนดสิ่งที่ตรงกันข้ามกับจำนวนตรรกยะแต่ละตัว ต. เกี่ยวกับ. ชุดของจำนวนตรรกยะที่เป็นลบสามารถนับได้เช่นกัน การรวมกันของพวกเขายังสามารถนับได้ด้วยคุณสมบัติของเซตที่นับได้ ชุดของจำนวนตรรกยะยังสามารถนับได้เช่นเดียวกับการรวมกันของเซตที่นับได้โดยมีจำนวน จำกัด
การยืนยันว่าชุดของจำนวนตรรกยะสามารถนับได้อาจทำให้เกิดความสับสนเนื่องจากเมื่อมองแวบแรกดูเหมือนว่าจะครอบคลุมมากกว่าชุดของจำนวนธรรมชาติ ในความเป็นจริงมันไม่เป็นเช่นนั้นและมีจำนวนธรรมชาติเพียงพอที่จะแจกแจงตัวเลขที่เป็นเหตุเป็นผลทั้งหมด
ขาดตัวเลขที่เป็นเหตุเป็นผล
ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมดังกล่าวไม่ได้แสดงด้วยจำนวนตรรกยะ
ตัวเลขเชิงเหตุผลของรูปแบบ 1 / n ที่มีขนาดใหญ่ n คุณสามารถวัดปริมาณเล็กน้อยโดยพลการ ข้อเท็จจริงนี้สร้างความประทับใจที่หลอกลวงว่าสามารถวัดระยะทางเรขาคณิตด้วยตัวเลขที่มีเหตุผลได้ เป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงว่าไม่เป็นความจริง
เป็นที่รู้กันจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสว่าด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากแสดงเป็นรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของขาของมัน ต. เกี่ยวกับ. ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของหน้าจั่วสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขาหน่วยคือจำนวนที่มีกำลังสองคือ 2
บทความนี้เกี่ยวกับ เศษส่วนทั่วไป... ที่นี่เราจะทำความคุ้นเคยกับแนวคิดเรื่องเศษส่วนทั้งหมดซึ่งจะนำเราไปสู่นิยามของเศษส่วนธรรมดา นอกจากนี้เราจะอาศัยสัญกรณ์ที่ยอมรับสำหรับเศษส่วนธรรมดาและยกตัวอย่างเศษส่วนพูดเกี่ยวกับตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน หลังจากนั้นเราจะให้คำจำกัดความของเศษส่วนที่ถูกต้องและไม่ถูกต้องบวกและลบและพิจารณาตำแหน่งของตัวเลขเศษส่วนบนพิกัดเรย์ โดยสรุปเราแสดงรายการการกระทำหลักด้วยเศษส่วน
การนำทางหน้า
หุ้นของทั้งหมด
ก่อนอื่นเราแนะนำ แบ่งปันแนวคิด.
สมมติว่าเรามีวัตถุบางอย่างที่ประกอบด้วยส่วนที่เหมือนกันทุกประการ (นั่นคือเท่ากัน) เพื่อความชัดเจนคุณสามารถจินตนาการได้เช่นแอปเปิลหั่นเป็นส่วนเท่า ๆ กันหลาย ๆ ชิ้นหรือส้มประกอบด้วยชิ้นเท่า ๆ กันหลายชิ้น แต่ละส่วนเท่า ๆ กันที่ประกอบกันเป็นสิ่งที่เรียกว่า หุ้นของทั้งหมด หรือเพียงแค่ หุ้น.
โปรดทราบว่าหุ้นจะแตกต่างกัน ให้เราอธิบายสิ่งนี้ สมมติว่าเรามีแอปเปิ้ลสองลูก ลองตัดแอปเปิ้ลลูกแรกออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กันและที่สองเป็น 6 ส่วนเท่า ๆ กัน เป็นที่ชัดเจนว่าส่วนแบ่งของแอปเปิ้ลลูกแรกจะแตกต่างจากส่วนแบ่งของแอปเปิ้ลที่สอง
บีตเหล่านี้มีชื่อของตัวเองขึ้นอยู่กับจำนวนบีตที่ประกอบขึ้นเป็นตัวแบบ มาวิเคราะห์กัน แบ่งปันชื่อ... ถ้าวัตถุประกอบด้วยสองส่วนส่วนใดส่วนหนึ่งจะเรียกว่าส่วนหนึ่งวินาทีของวัตถุทั้งหมด หากวัตถุประกอบด้วยสามส่วนส่วนใดส่วนหนึ่งจะเรียกว่าส่วนหนึ่งในสามเป็นต้น
หุ้นหนึ่งวินาทีมีชื่อพิเศษ - ครึ่ง... เรียกหุ้นหนึ่งในสาม ที่สามและหนึ่งในสี่คือ หนึ่งในสี่.
เพื่อความกะทัดรัดจึงได้แนะนำสิ่งต่อไปนี้ แบ่งปันการกำหนด... หุ้นหนึ่งวินาทีถูกกำหนดให้เป็น 1/2 หุ้นหนึ่งในสามเป็นหรือ 1/3 หนึ่งในสี่เป็นเหมือนหรือ 1/4 และอื่น ๆ สังเกตว่าสัญกรณ์ที่มีแถบแนวนอนจะใช้บ่อยกว่า ในการรวมเนื้อหาเข้าด้วยกันเราจะยกตัวอย่างอื่น: บันทึกหมายถึงส่วนหนึ่งร้อยหกสิบเจ็ดของทั้งหมด
แนวคิดของการแบ่งปันขยายจากวัตถุไปสู่ปริมาณตามธรรมชาติ ตัวอย่างเช่นหนึ่งในมาตรการในการวัดความยาวคือมิเตอร์ สำหรับการวัดความยาวที่สั้นกว่าหนึ่งเมตรคุณสามารถใช้เศษส่วนของเมตรได้ ตัวอย่างเช่นคุณสามารถใช้ครึ่งเมตรหรือหนึ่งในสิบหรือในพันของเมตร เศษส่วนของปริมาณอื่น ๆ จะถูกนำไปใช้ในทำนองเดียวกัน
เศษส่วนทั่วไปนิยามและตัวอย่างเศษส่วน
หากต้องการอธิบายจำนวนครั้งให้ใช้ เศษส่วนทั่วไป... ขอยกตัวอย่างที่จะช่วยให้เราเข้าใกล้นิยามของเศษส่วนธรรมดา
ให้ส้มมี 12 ส่วน การตีแต่ละครั้งในกรณีนี้หมายถึงหนึ่งในสิบสองของส้มทั้งลูกนั่นคือ ให้เรากำหนดสองส่วนเป็นสามส่วนและอื่น ๆ และกำหนด 12 ส่วนเป็น แต่ละรายการเหล่านี้เรียกว่าเศษส่วน
ตอนนี้ให้ทั่วไป นิยามของเศษส่วนทั่วไป.
คำจำกัดความของเศษส่วนธรรมดาช่วยให้ ตัวอย่างเศษส่วนทั่วไป: 5/10,, 21/1, 9/4,. และนี่คือบันทึก 
ไม่เหมาะกับคำจำกัดความที่เปล่งออกมาของเศษส่วนธรรมดานั่นคือไม่ใช่เศษส่วนธรรมดา
ตัวนับและตัวหาร
เพื่อความสะดวกจะมีการแยกแยะเศษส่วนร่วม ตัวเศษและตัวส่วน.
คำจำกัดความ
เศษ เศษส่วน (m / n) เป็นจำนวนธรรมชาติ m
คำจำกัดความ
ตัวหาร เศษส่วน (m / n) เป็นจำนวนธรรมชาติ n
ดังนั้นตัวเศษจึงอยู่เหนือเครื่องหมายทับ (ทางด้านซ้ายของแนวเฉียง) และตัวส่วนอยู่ใต้เครื่องหมายทับ (ทางด้านขวาของเฉียง) ตัวอย่างเช่นเราจะให้เศษส่วนธรรมดา 17/29 ตัวเศษของเศษส่วนนี้คือเลข 17 และตัวส่วนคือเลข 29
ยังคงต้องหารือเกี่ยวกับความหมายที่มีอยู่ในตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนธรรมดา ตัวส่วนของเศษส่วนจะแสดงจำนวนส่วนหนึ่งรายการประกอบด้วยตัวเศษจะระบุจำนวนของส่วนดังกล่าว ตัวอย่างเช่นตัวส่วน 5 ของเศษส่วน 12/5 หมายความว่ารายการหนึ่งมีห้าส่วนและตัวเศษ 12 หมายความว่ามี 12 ส่วนดังกล่าว
จำนวนธรรมชาติเป็นเศษส่วนโดยมีตัวส่วน 1
ตัวส่วนของเศษส่วนธรรมดาสามารถเท่ากับหนึ่งได้ ในกรณีนี้เราสามารถสันนิษฐานได้ว่าวัตถุนั้นแบ่งแยกไม่ได้กล่าวอีกนัยหนึ่งก็คือเป็นบางอย่างทั้งหมด ตัวเศษของเศษส่วนดังกล่าวระบุจำนวนรายการทั้งหมดที่ถูกนำมา ดังนั้นเศษส่วนธรรมดาของรูปแบบ m / 1 จึงมีความหมายของจำนวนธรรมชาติ m นี่คือวิธีที่เราพิสูจน์ความถูกต้องของความเท่าเทียมกัน m / 1 \u003d m
เราเขียนความเท่าเทียมครั้งสุดท้ายใหม่ดังนี้: m \u003d m / 1 ความเท่าเทียมกันนี้ทำให้เราแทนจำนวนธรรมชาติ m เป็นเศษส่วนธรรมดาได้ ตัวอย่างเช่น 4 คือเศษส่วน 4/1 และ 103 498 เท่ากับ 103 498/1
ดังนั้น, จำนวนธรรมชาติใด ๆ m สามารถแสดงเป็นเศษส่วนธรรมดาโดยมีตัวส่วน 1 เป็น m / 1 และเศษส่วนธรรมดาใด ๆ ของรูปแบบ m / 1 สามารถแทนที่ด้วยจำนวนธรรมชาติ m.
เฉือนเป็นเครื่องหมายหาร
การแสดงรายการต้นฉบับในรูปของหุ้น n ไม่มีอะไรมากไปกว่าการแบ่งออกเป็น n ส่วนเท่า ๆ กัน หลังจากแบ่งรายการออกเป็น n หุ้นแล้วเราสามารถหารด้วย n คนเท่า ๆ กัน - แต่ละคนจะได้รับหนึ่งหุ้น
ถ้าเรามีวัตถุ m ที่เหมือนกันในตอนแรกซึ่งแต่ละชิ้นจะแบ่งออกเป็น n หุ้นเราก็สามารถแบ่งวัตถุ m เหล่านี้ออกเป็น n คนได้เท่า ๆ กันโดยให้แต่ละคนมีส่วนแบ่งของวัตถุ m แต่ละชิ้น ในกรณีนี้แต่ละคนจะมีหุ้น m เท่ากับ 1 / n และหุ้น m เท่ากับ 1 / n ให้เศษส่วนสามัญ m / n ดังนั้นเศษส่วนทั่วไป m / n สามารถใช้เพื่อแสดงการแบ่งวัตถุ m ระหว่าง n คน
เราจึงได้ความเชื่อมโยงอย่างชัดเจนระหว่างเศษส่วนธรรมดากับการหาร (ดูแนวคิดทั่วไปของการหารจำนวนธรรมชาติ) ความสัมพันธ์นี้แสดงดังต่อไปนี้: เครื่องหมายทับเศษส่วนสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นเครื่องหมายหารนั่นคือ m / n \u003d m: n.
การใช้เศษส่วนธรรมดาคุณสามารถเขียนผลลัพธ์ของการหารจำนวนธรรมชาติสองจำนวนที่ไม่มีการหารจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่นผลของการหารแอปเปิ้ล 5 ลูกโดยคน 8 คนสามารถเขียนได้เป็น 5/8 นั่นคือแต่ละคนจะได้แอปเปิ้ลห้าในแปดส่วน: 5: 8 \u003d 5/8
เศษส่วนธรรมดาที่เท่ากันและไม่เท่ากันการเปรียบเทียบเศษส่วน
การกระทำที่ค่อนข้างเป็นธรรมชาติคือ การเปรียบเทียบเศษส่วนธรรมดาเนื่องจากเห็นได้ชัดว่า 1/12 ของส้มนั้นแตกต่างจาก 5/12 และแอปเปิ้ล 1/6 ก็เหมือนกับแอปเปิ้ลอีก 1/6 ของแอปเปิ้ลนี้
ผลจากการเปรียบเทียบเศษส่วนธรรมดาสองตัวจะได้ผลลัพธ์อย่างใดอย่างหนึ่ง: เศษส่วนจะเท่ากันหรือไม่เท่ากัน ในกรณีแรกเรามี เศษส่วนที่เท่ากันและในครั้งที่สอง - เศษส่วนไม่เท่ากัน... ให้เราให้คำจำกัดความของเศษส่วนธรรมดาที่เท่ากันและไม่เท่ากัน
คำจำกัดความ
มีค่าเท่ากันถ้าความเท่าเทียมกัน a d \u003d b c เป็นจริง
คำจำกัดความ
เศษส่วนสอง a / b และ c / d ไม่เท่ากับถ้าความเท่าเทียมกัน a d \u003d b c ไม่ถือ
นี่คือตัวอย่างบางส่วนของเศษส่วนที่เท่ากัน ตัวอย่างเช่นเศษส่วนทั่วไป 1/2 เท่ากับ 2/4 เนื่องจาก 1 4 \u003d 2 2 (หากจำเป็นโปรดดูกฎและตัวอย่างสำหรับการคูณจำนวนธรรมชาติ) เพื่อความชัดเจนคุณสามารถจินตนาการถึงแอปเปิ้ลสองลูกที่เหมือนกันอันแรกถูกผ่าครึ่งและที่สองหั่นเป็น 4 ส่วน ในขณะเดียวกันก็เห็นได้ชัดว่าสองในสี่ของแอปเปิ้ลเท่ากับ 1/2 ส่วนแบ่ง ตัวอย่างอื่น ๆ ของเศษส่วนทั่วไปที่เท่ากันคือ 4/7 และ 36/63 และเศษส่วน 1 คู่ 81/50 และ 1,620 / 1,000
และเศษส่วนธรรมดา 4/13 และ 5/14 ไม่เท่ากันเนื่องจาก 4 · 14 \u003d 56 และ 13 · 5 \u003d 65 นั่นคือ 4 · 14 ≠ 13 · 5 อีกตัวอย่างหนึ่งของเศษส่วนธรรมดาที่ไม่เท่ากันคือ 17/7 และ 6/4
ถ้าเมื่อเปรียบเทียบเศษส่วนธรรมดาสองตัวแล้วปรากฎว่าไม่เท่ากันคุณอาจต้องหาเศษส่วนธรรมดาเหล่านี้ น้อยกว่า อื่นและที่ - มากกว่า... เพื่อหาคำตอบมีการใช้กฎสำหรับการเปรียบเทียบเศษส่วนธรรมดาโดยสาระสำคัญของการเปรียบเทียบเศษส่วนนั้นเป็นตัวหารร่วมแล้วจึงเปรียบเทียบตัวเศษ ข้อมูลโดยละเอียดเกี่ยวกับหัวข้อนี้รวบรวมไว้ในบทความการเปรียบเทียบเศษส่วน: กฎตัวอย่างวิธีแก้ปัญหา
ตัวเลขเศษส่วน
แต่ละเศษคือบันทึก เลขเศษส่วน... นั่นคือเศษส่วนเป็นเพียง "เปลือก" ของจำนวนเศษส่วนลักษณะที่ปรากฏและภาระทางความหมายทั้งหมดมีอยู่ในจำนวนเศษส่วน อย่างไรก็ตามเพื่อความสั้นและสะดวกแนวคิดของเศษส่วนและจำนวนเศษส่วนจะถูกรวมเข้าด้วยกันและพูดง่ายๆว่าเป็นเศษส่วน ที่นี่เหมาะสมที่จะเขียนคำพูดที่รู้จักกันดีขึ้นใหม่เราพูดว่าเศษส่วน - เราหมายถึงจำนวนเศษส่วนเราพูดว่าจำนวนเศษส่วน - เราหมายถึงเศษส่วน
เศษส่วนในเรย์พิกัด
ตัวเลขเศษส่วนทั้งหมดที่ตรงกับเศษส่วนธรรมดาจะมีตำแหน่งที่ไม่ซ้ำกันนั่นคือมีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเศษส่วนและจุดของเรย์พิกัด
ในการรับพิกัดเรย์ไปยังจุดที่ตรงกับเศษส่วน m / n คุณต้องเลื่อนส่วน m จากจุดกำเนิดไปในทิศทางบวกซึ่งความยาวคือ 1 / n เศษของส่วนหน่วย ส่วนดังกล่าวสามารถหาได้โดยการแบ่งส่วนของหน่วยออกเป็น n ส่วนเท่า ๆ กันซึ่งสามารถทำได้โดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด
ตัวอย่างเช่นลองแสดงจุด M บนพิกัดเรย์ที่ตรงกับเศษส่วน 14/10 ความยาวของส่วนที่มีจุดสิ้นสุดที่จุด O และจุดที่ใกล้ที่สุดซึ่งทำเครื่องหมายด้วยเส้นขีดขนาดเล็กคือ 1/10 ของส่วนของหน่วย จุดที่มีพิกัด 14/10 ตั้งอยู่ที่ระยะทาง 14 ส่วนดังกล่าวจากจุดกำเนิด
เศษส่วนที่เท่ากันสอดคล้องกับจำนวนเศษส่วนเดียวกันนั่นคือเศษส่วนที่เท่ากันคือพิกัดของจุดเดียวกันบนพิกัดเรย์ ตัวอย่างเช่นจุดหนึ่งตรงกับพิกัด 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 บนพิกัดเรย์เนื่องจากเศษส่วนที่เขียนทั้งหมดมีค่าเท่ากัน (ตั้งอยู่ที่ระยะทางครึ่งส่วนของหน่วยโดยตั้งห่างจากจุดกำเนิดในทิศทางบวก)
ในเรย์พิกัดแนวนอนและทิศทางไปทางขวาจุดที่พิกัดคือเศษส่วนสำคัญจะอยู่ทางขวาของจุดที่พิกัดคือเศษส่วนเล็กน้อย ในทำนองเดียวกันจุดที่มีพิกัดขนาดเล็กอยู่ทางด้านซ้ายของจุดกับพิกัดที่ใหญ่กว่า
เศษส่วนคำจำกัดความตัวอย่างที่ถูกต้องและไม่เหมาะสม
ในเศษส่วนธรรมดามี เศษส่วนที่ถูกและผิด... การหารนี้ขึ้นอยู่กับการเปรียบเทียบตัวเศษและตัวส่วน
ให้เราให้คำจำกัดความของเศษส่วนสามัญปกติและไม่ถูกต้อง
คำจำกัดความ
เศษส่วนที่เหมาะสม เป็นเศษส่วนธรรมดาตัวเศษซึ่งน้อยกว่าตัวส่วนนั่นคือถ้าม คำจำกัดความ
เศษส่วนที่ไม่เหมาะสม เป็นเศษส่วนธรรมดาซึ่งตัวเศษมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วนนั่นคือถ้าm≥nแล้วเศษส่วนธรรมดาจะไม่ถูกต้อง ตัวอย่างเศษส่วนทั่วไป 1/4, 32 765/909 003 แท้จริงแล้วในเศษส่วนธรรมดาที่เขียนแต่ละตัวตัวเศษมีค่าน้อยกว่าตัวส่วน (หากจำเป็นโปรดดูบทความเปรียบเทียบจำนวนธรรมชาติ) ดังนั้นจึงถูกต้องตามคำจำกัดความ และนี่คือตัวอย่างของเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม: 9/9, 23/4,. อันที่จริงตัวเศษของเศษส่วนธรรมดาตัวแรกที่บันทึกไว้เท่ากับตัวส่วนและในเศษส่วนที่เหลือตัวเศษจะมากกว่าตัวส่วน นอกจากนี้ยังมีคำจำกัดความของเศษส่วนที่ถูกและผิดโดยอาศัยการเปรียบเทียบเศษส่วนกับเศษส่วน คำจำกัดความ แก้ไขถ้าน้อยกว่าหนึ่ง คำจำกัดความ เศษส่วนธรรมดาเรียกว่า ไม่ถูกต้องถ้ามันเท่ากับหนึ่งหรือมากกว่า 1 ดังนั้นเศษส่วน 7/11 จึงถูกต้องตั้งแต่ 7/11<1
, а обыкновенные дроби 14/3
и 27/27
– неправильные, так как 14/3>1 และ 27/27 \u003d 1 ลองคิดดูว่าเหตุใดเศษส่วนธรรมดาที่มีตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วนจึงได้ชื่อเช่นนี้ - "ไม่ถูกต้อง" ลองนำเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม 9/9 มาเป็นตัวอย่าง เศษส่วนนี้หมายความว่าคุณได้นำเก้าส่วนของวัตถุที่ประกอบด้วยเก้าส่วน นั่นคือจากเก้าส่วนที่มีเราสามารถสร้างวัตถุทั้งหมดได้ นั่นคือเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม 9/9 โดยพื้นฐานแล้วจะให้รายการทั้งหมดนั่นคือ 9/9 \u003d 1 โดยทั่วไปเศษส่วนที่ไม่สม่ำเสมอที่มีตัวเศษเท่ากับตัวส่วนแสดงถึงวัตถุทั้งหมดหนึ่งชิ้นและเศษส่วนดังกล่าวสามารถแทนที่ได้ด้วยจำนวนธรรมชาติ 1 ตอนนี้พิจารณาเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม 7/3 และ 12/4 ค่อนข้างชัดเจนว่าจากเจ็ดในสามนี้เราสามารถสร้างวัตถุทั้งหมดสองชิ้นได้ (วัตถุหนึ่งชิ้นคือ 3 ส่วนจากนั้นในการสร้างวัตถุทั้งสองชิ้นเราต้องใช้ 3 + 3 \u003d 6 หุ้น) และอีกหนึ่งในสามยังคงอยู่ นั่นคือเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม 7/3 โดยพื้นฐานแล้วหมายถึง 2 รายการและแม้แต่ 1/3 ของรายการดังกล่าว และจากสิบสองในสี่เราสามารถสร้างวัตถุทั้งหมดสามชิ้นได้ (สามวัตถุที่มีสี่ส่วนในแต่ละส่วน) นั่นคือเศษส่วน 12/4 หมายถึง 3 วัตถุทั้งหมด ตัวอย่างที่พิจารณานำเราไปสู่ข้อสรุปต่อไปนี้เศษส่วนที่ไม่เหมาะสมสามารถแทนที่ได้ด้วยจำนวนธรรมชาติเมื่อตัวเศษถูกหารด้วยตัวส่วนทั้งหมด (ตัวอย่างเช่น 9/9 \u003d 1 และ 12/4 \u003d 3) หรือโดยผลรวมของจำนวนธรรมชาติและเศษส่วนปกติเมื่อตัวเศษ หารด้วยตัวส่วนไม่ได้ (ตัวอย่างเช่น 7/3 \u003d 2 + 1/3) บางทีนี่อาจเป็นสาเหตุที่ทำให้เศษส่วนผิดสมควรได้รับชื่อเช่นนี้ - "ผิด" สิ่งที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือการแทนเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมเป็นผลรวมของจำนวนธรรมชาติและเศษส่วนปกติ (7/3 \u003d 2 + 1/3) กระบวนการนี้เรียกว่าการแยกส่วนทั้งหมดออกจากเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมและสมควรได้รับการพิจารณาแยกจากกันและรอบคอบมากขึ้น นอกจากนี้ยังเป็นที่น่าสังเกตว่ามีความสัมพันธ์ใกล้ชิดระหว่างเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมและจำนวนคละ เศษส่วนแต่ละตัวจะสอดคล้องกับจำนวนเศษบวก (ดูบทความจำนวนบวกและลบ) นั่นคือเศษส่วนทั่วไปคือ เศษส่วนบวก... ตัวอย่างเช่นเศษส่วนทั่วไป 1/5, 56/18, 35/144 เป็นเศษส่วนบวก เมื่อจำเป็นต้องเน้นความเป็นบวกของเศษส่วนเครื่องหมายบวกจะถูกวางไว้ข้างหน้าเช่น +3/4, +72/34 หากคุณใส่เครื่องหมายลบไว้หน้าเศษส่วนธรรมดาบันทึกนี้จะสอดคล้องกับจำนวนเศษส่วนที่เป็นลบ ในกรณีนี้เราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับ เศษส่วนเชิงลบ... ตัวอย่างเศษส่วนเชิงลบมีดังนี้ −6/10, −65/13, −1/18 เศษส่วนบวกและลบ m / n และ −m / n เป็นตัวเลขตรงข้ามกัน ตัวอย่างเช่นเศษส่วน 5/7 และ −5/7 เป็นเศษส่วนตรงข้าม เศษส่วนที่เป็นบวกเช่นจำนวนบวกโดยทั่วไปหมายถึงการบวกรายได้การเปลี่ยนแปลงค่าใด ๆ ที่เพิ่มขึ้นเป็นต้น เศษส่วนที่เป็นค่าลบเกี่ยวข้องกับค่าใช้จ่ายหนี้การเปลี่ยนแปลงมูลค่าใด ๆ ลง ตัวอย่างเช่นเศษส่วนลบ −3/4 สามารถตีความได้ว่าเป็นหนี้ 3/4 เศษส่วนเชิงลบในแนวนอนและทางขวาจะอยู่ทางด้านซ้ายของจุดเริ่มต้น จุดของเส้นพิกัดพิกัดซึ่งเป็นเศษบวก m / n และเศษส่วนลบ −m / n ตั้งอยู่ในระยะทางเดียวกันจากจุดกำเนิด แต่อยู่คนละด้านของจุด O นี่เป็นมูลค่าการกล่าวถึงเศษส่วนของรูปแบบ 0 / n เศษส่วนเหล่านี้เท่ากับเลขศูนย์นั่นคือ 0 / n \u003d 0 เศษส่วนบวกเศษส่วนลบและเศษส่วน 0 / n จะรวมกันเป็นจำนวนตรรกยะ การกระทำหนึ่งกับเศษส่วนทั่วไป - การเปรียบเทียบเศษส่วน - เราได้กล่าวไปแล้วข้างต้น เลขคณิตอีกสี่รายการ การกระทำกับเศษส่วน - การบวกการลบการคูณและการหารเศษส่วน มาอาศัยอยู่กับพวกเขาแต่ละคน สาระสำคัญทั่วไปของการกระทำที่มีเศษส่วนคล้ายกับสาระสำคัญของการกระทำที่เกี่ยวข้องกับตัวเลขธรรมชาติ ลองเปรียบเทียบกัน การคูณเศษส่วน ถือได้ว่าเป็นการกระทำที่มีเศษของเศษส่วน ขอยกตัวอย่างเพื่อความกระจ่าง สมมติว่าเรามีแอปเปิ้ล 1/6 และเราต้องเอา 2/3 ของมัน ส่วนที่เราต้องการคือผลลัพธ์ของการคูณเศษส่วน 1/6 และ 2/3 ผลลัพธ์ของการคูณเศษส่วนธรรมดาสองตัวคือเศษส่วนธรรมดา (ซึ่งในกรณีเฉพาะจะเท่ากับจำนวนธรรมชาติ) นอกจากนี้เราขอแนะนำให้ศึกษาข้อมูลของบทความการคูณเศษส่วน - กฎตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหา รายการอ้างอิง. เศษส่วนทั่วไปแบ่งออกเป็นเศษส่วน \\ textit (ถูกต้อง) และ \\ textit (ไม่ถูกต้อง) การหารนี้ขึ้นอยู่กับการเปรียบเทียบตัวเศษและตัวส่วน เศษส่วนที่ถูกต้อง เป็นเศษส่วนธรรมดา $ \\ frac (m) (n) $ ซึ่งตัวเศษมีค่าน้อยกว่าตัวส่วนนั่นคือ $ ม ตัวอย่าง 1 ตัวอย่างเช่น $ \\ frac (1) (3) $, $ \\ frac (9) (123) $, $ \\ frac (77) (78) $, $ \\ frac (378567) (456298) $ เป็นเศษส่วนที่ถูกต้องดังนั้น เนื่องจากตัวเศษแต่ละตัวมีค่าน้อยกว่าตัวส่วนซึ่งสอดคล้องกับนิยามของเศษส่วนที่ถูกต้อง มีคำจำกัดความของเศษส่วนที่เหมาะสมซึ่งขึ้นอยู่กับการเปรียบเทียบเศษส่วนกับหน่วย แก้ไขถ้าน้อยกว่าหนึ่ง: ตัวอย่าง 2 ตัวอย่างเช่นเศษส่วนทั่วไป $ \\ frac (6) (13) $ ถูกต้องเนื่องจาก เงื่อนไข $ \\ frac (6) (13) เศษส่วนผิด เป็นเศษส่วนธรรมดา $ \\ frac (m) (n) $ ซึ่งตัวเศษมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วนนั่นคือ $ m \\ ge n $. ตัวอย่างที่ 3 ตัวอย่างเช่นเศษส่วน $ \\ frac (5) (5) $, $ \\ frac (24) (3) $, $ \\ frac (567) (113) $, $ \\ frac (100001) (100000) $ ไม่ถูกต้องดังนั้น เนื่องจากในแต่ละตัวเศษมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วนซึ่งสอดคล้องกับคำจำกัดความของเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม ให้คำจำกัดความของเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมซึ่งอ้างอิงจากการเปรียบเทียบกับหน่วย เศษส่วนสามัญ $ \\ frac (m) (n) $ คือ ไม่ถูกต้องถ้ามันเท่ากับหรือมากกว่าหนึ่ง: \\ [\\ frac (ม) (n) \\ ge 1 \\] ตัวอย่างที่ 4 ตัวอย่างเช่นเศษส่วน $ \\ frac (21) (4) $ ทั่วไปไม่ถูกต้องเนื่องจาก เงื่อนไข $ \\ frac (21) (4)\u003e 1 $ พอใจ; เศษส่วนสามัญ $ \\ frac (8) (8) $ ไม่ถูกต้องเนื่องจาก เงื่อนไข $ \\ frac (8) (8) \u003d 1 $ พอใจ มาดูแนวคิดเรื่องเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมกันดีกว่า ใช้เศษส่วนที่ไม่เหมาะสม $ \\ frac (7) (7) $ เป็นตัวอย่าง ความหมายของเศษส่วนนี้คือเจ็ดส่วนของหัวเรื่องซึ่งแบ่งออกเป็นเจ็ดส่วนเท่า ๆ กัน ดังนั้นจากเจ็ดส่วนที่มีอยู่คุณสามารถสร้างรายการทั้งหมดได้ เหล่านั้น. เศษส่วนที่ไม่เหมาะสม $ \\ frac (7) (7) $ อธิบายวัตถุทั้งหมดและ $ \\ frac (7) (7) \u003d 1 $ ดังนั้นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมซึ่งตัวเศษเท่ากับตัวส่วนให้อธิบายวัตถุทั้งหมดหนึ่งชิ้นและเศษส่วนดังกล่าวสามารถแทนที่ด้วยจำนวนธรรมชาติ $ 1 $ $ \\ frac (5) (2) $ - เห็นได้ชัดว่าจากการแชร์ห้าวินาทีนี้คุณสามารถสร้างรายได้ $ 2 $ ทั้งรายการ (หนึ่งรายการจะเป็น $ 2 $ หุ้นและในการเขียนสองรายการทั้งหมดคุณต้อง $ 2 + 2 \u003d 4 $ หุ้น) และส่วนแบ่งหนึ่งวินาทียังคงอยู่ นั่นคือเศษส่วนที่ผิดปกติ $ \\ frac (5) (2) $ อธิบาย $ 2 $ ของรายการและ $ \\ frac (1) (2) $ เศษของรายการนั้น $ \\ frac (21) (7) $ - หุ้นที่ยี่สิบเอ็ดในเจ็ดสามารถสร้างรายได้ $ 3 $ ทั้งรายการ ($ 3 $ item พร้อม $ $ 7 $ ต่อหุ้น) เหล่านั้น. เศษส่วน $ \\ frac (21) (7) $ อธิบาย $ 3 $ ของวัตถุทั้งหมด จากตัวอย่างที่พิจารณาสามารถสรุปได้ดังนี้เศษส่วนที่ไม่ถูกต้องสามารถแทนที่ด้วยจำนวนธรรมชาติได้ถ้าตัวเศษหารด้วยตัวส่วนได้อย่างสมบูรณ์ (ตัวอย่างเช่น $ \\ frac (7) (7) \u003d 1 $ และ $ \\ frac (21) (7) \u003d 3 $) หรือผลรวมของจำนวนธรรมชาติและเศษส่วนปกติหากตัวเศษไม่สามารถหารด้วยตัวส่วนได้อย่างสมบูรณ์ (ตัวอย่างเช่น $ \\ \\ frac (5) (2) \u003d 2 + \\ frac (1) (2) $) ดังนั้นจึงเรียกเศษส่วนดังกล่าว ไม่ถูกต้อง. คำจำกัดความ 1 กระบวนการแทนเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมเป็นผลรวมของจำนวนธรรมชาติและเศษส่วนปกติ (ตัวอย่างเช่น $ \\ frac (5) (2) \u003d 2 + \\ frac (1) (2) $) เรียกว่า แยกส่วนทั้งหมดออกจากเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม. เมื่อทำงานกับเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมจะมีความสัมพันธ์ใกล้ชิดระหว่างเศษส่วนและจำนวนคละ เศษส่วนที่ไม่เหมาะสมมักเขียนเป็นจำนวนคละ - จำนวนที่ประกอบด้วยจำนวนเต็มและเศษส่วน ในการเขียนเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมเป็นจำนวนคละคุณต้องหารตัวเศษด้วยส่วนที่เหลือ ผลหารจะเป็นส่วนทั้งหมดของจำนวนคละส่วนที่เหลือคือตัวเศษของส่วนเศษส่วนและตัวหารคือตัวส่วนของเศษส่วน ตัวอย่างที่ 5 เขียนเศษส่วน $ \\ frac (37) (12) $ ที่ไม่เหมาะสมเป็นจำนวนคละ การตัดสินใจ. หารเศษด้วยตัวส่วนด้วยเศษเหลือ: \\ [\\ frac (37) (12) \u003d 37: 12 \u003d 3 \\ (ส่วนที่เหลือ \\ 1) \\] \\ [\\ frac (37) (12) \u003d 3 \\ frac (1) (12) \\] ตอบ. $ \\ frac (37) (12) \u003d 3 \\ frac (1) (12) $. ในการเขียนจำนวนคละเป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมคุณต้องคูณตัวส่วนด้วยส่วนทั้งหมดของจำนวนเพิ่มตัวเศษของส่วนที่เป็นเศษส่วนลงในผลคูณที่ปรากฎและเขียนผลรวมที่ได้ลงในตัวเศษของเศษส่วน ตัวส่วนของเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมจะเท่ากับตัวส่วนของเศษส่วนของจำนวนคละ ตัวอย่างที่ 6 เขียนจำนวนผสม $ 5 \\ frac (3) (7) $ เป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม การตัดสินใจ. ตอบ. $ 5 \\ frac (3) (7) \u003d \\ frac (38) (7) $. การบวกเลขผสม $ a \\ frac (b) (c) $ และเศษส่วนที่ถูกต้อง $ \\ frac (d) (e) $ ดำเนินการโดยการเพิ่มส่วนที่เป็นเศษส่วนของจำนวนคละที่กำหนด: ตัวอย่างที่ 7 เพิ่มเศษส่วน $ \\ frac (4) (15) $ ที่ถูกต้องและจำนวนผสม $ 3 \\ frac (2) (5) $ การตัดสินใจ. มาใช้สูตรในการเพิ่มจำนวนคละและเศษส่วนปกติ: \\ [\\ frac (4) (15) +3 \\ frac (2) (5) \u003d 3 + \\ left (\\ frac (2) (5) + \\ frac (4) (15) \\ right) \u003d 3 + \\ สิบห้า) \\] การหารด้วยจำนวน \\ textit (5) เราสามารถระบุได้ว่าเศษส่วน $ \\ frac (10) (15) $ นั้นสามารถยกเลิกได้ มาทำการลดและค้นหาผลลัพธ์ของการเพิ่ม: ดังนั้นผลลัพธ์ของการเพิ่มเศษส่วน $ \\ frac (4) (15) $ ที่ถูกต้องและจำนวนผสม $ 3 \\ frac (2) (5) $ จะเป็น $ 3 \\ frac (2) (3) $ ตอบ: $ 3 \\ frac (2) (3) $ เพิ่มเศษส่วนและจำนวนคละที่ไม่เหมาะสม ลดการเพิ่มจำนวนผสมสองจำนวนซึ่งเพียงพอที่จะเลือกส่วนทั้งหมดจากเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม ตัวอย่างที่ 8 คำนวณผลรวมของจำนวนผสม $ 6 \\ frac (2) (15) $ และเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม $ \\ frac (13) (5) $ การตัดสินใจ. ขั้นแรกเลือกส่วนจำนวนเต็มจากเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม $ \\ frac (13) (5) $: ตอบ: $ 8 \\ frac (11) (15) $. เศษส่วนที่เหมาะสม ไตรมาส การสรุปเศษส่วน คุณสมบัติอื่น ๆ ทั้งหมดที่มีอยู่ในจำนวนตรรกยะจะไม่ถูกแยกออกมาเป็นคุณสมบัติหลักเนื่องจากโดยทั่วไปแล้วคุณสมบัติเหล่านี้ไม่ได้อาศัยคุณสมบัติของจำนวนเต็มโดยตรงอีกต่อไป แต่สามารถพิสูจน์ได้จากคุณสมบัติพื้นฐานที่กำหนดหรือโดยตรงจากคำจำกัดความของวัตถุทางคณิตศาสตร์บางอย่าง คุณสมบัติเพิ่มเติมดังกล่าวมีจำนวนมาก มันสมเหตุสมผลที่จะอ้างถึงเพียงบางส่วนที่นี่ style \u003d "max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src \u003d "/ pictures / wiki / files / 48 /.png" border \u003d "0"\u003e เลขที่มีเหตุผล ในการประมาณจำนวนที่เป็นเหตุเป็นผลคุณต้องหาจำนวนเต็มของเซต เป็นเรื่องง่ายที่จะพิสูจน์ว่าชุดของจำนวนตรรกยะสามารถนับได้ ในการทำเช่นนี้ก็เพียงพอแล้วที่จะให้อัลกอริทึมที่ตัวเลขที่มีเหตุผลนั่นคือมันสร้างการคาดคะเนระหว่างชุดของจำนวนเหตุผลและธรรมชาติ ขั้นตอนวิธีที่ง่ายที่สุดมีดังนี้ มีการรวบรวมตารางเศษส่วนธรรมดาสำหรับแต่ละตาราง ผม บรรทัดที่ - ในแต่ละ ญ - คอลัมน์ที่มีเศษส่วนอยู่ เพื่อความชัดเจนจะถือว่าแถวและคอลัมน์ของตารางนี้มีหมายเลขเริ่มต้นจากหนึ่ง เซลล์ตารางถูกกำหนดโดยที่ ผม คือหมายเลขแถวของตารางที่เซลล์ตั้งอยู่และ ญ - หมายเลขคอลัมน์ ตารางผลลัพธ์จะถูกข้ามโดย "งู" ตามขั้นตอนวิธีทางการต่อไปนี้ กฎเหล่านี้จะสแกนจากบนลงล่างและตำแหน่งถัดไปจะถูกเลือกในนัดแรก ในกระบวนการส่งผ่านดังกล่าวจำนวนตรรกยะใหม่แต่ละตัวจะเชื่อมโยงกับจำนวนธรรมชาติถัดไป นั่นคือเศษส่วน 1/1 จะถูกกำหนดให้เป็นหมายเลข 1 เศษ 2/1 - หมายเลข 2 เป็นต้นควรสังเกตว่าจะมีเลขเศษส่วนที่ไม่สามารถวัดได้เท่านั้น สัญญาณที่เป็นทางการของความไม่สามารถวัดได้คือความเท่ากันของตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดตัวหนึ่งของตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน ตามอัลกอริทึมนี้สามารถแจกแจงจำนวนเหตุผลเชิงบวกทั้งหมดได้ ซึ่งหมายความว่าชุดของจำนวนตรรกยะที่เป็นบวกสามารถนับได้ เป็นเรื่องง่ายที่จะสร้าง bijection ระหว่างชุดของจำนวนตรรกยะเชิงบวกและเชิงลบโดยการกำหนดสิ่งที่ตรงกันข้ามกับจำนวนตรรกยะแต่ละตัว ต. เกี่ยวกับ. ชุดของจำนวนตรรกยะที่เป็นลบสามารถนับได้เช่นกัน การรวมกันของพวกเขายังสามารถนับได้ด้วยคุณสมบัติของเซตที่นับได้ ชุดของจำนวนตรรกยะยังสามารถนับได้เช่นเดียวกับการรวมกันของเซตที่นับได้โดยมีจำนวน จำกัด การยืนยันว่าชุดของจำนวนตรรกยะสามารถนับได้อาจทำให้เกิดความสับสนเนื่องจากเมื่อมองแวบแรกดูเหมือนว่าจะครอบคลุมมากกว่าชุดของจำนวนธรรมชาติ ในความเป็นจริงมันไม่เป็นเช่นนั้นและมีจำนวนธรรมชาติเพียงพอที่จะแจกแจงตัวเลขที่เป็นเหตุเป็นผลทั้งหมด ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมดังกล่าวไม่ได้แสดงด้วยจำนวนตรรกยะ ตัวเลขเชิงเหตุผลของรูปแบบ 1 / n ที่มีขนาดใหญ่ n คุณสามารถวัดปริมาณเล็กน้อยโดยพลการ ข้อเท็จจริงนี้สร้างความประทับใจที่หลอกลวงว่าสามารถวัดระยะทางเรขาคณิตด้วยตัวเลขที่มีเหตุผลได้ เป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงว่าไม่เป็นความจริง เป็นที่รู้กันจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสว่าด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากแสดงเป็นรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของขาของมัน ต. เกี่ยวกับ. ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของหน้าจั่วสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขาหน่วยคือจำนวนที่มีกำลังสองคือ 2 ถ้าเราสมมติว่าจำนวนนั้นแสดงด้วยจำนวนตรรกยะก็จะมีจำนวนเต็ม ม และเป็นจำนวนธรรมชาติ n ซึ่งยิ่งไปกว่านั้นเศษส่วนนั้นไม่สามารถนำกลับมาวัดได้นั่นคือตัวเลข ม และ n - ง่ายซึ่งกันและกันเศษส่วนบวกและลบ
การดำเนินการกับเศษส่วน
แก้ไขเศษส่วน
เศษส่วนไม่ถูกต้อง
การเพิ่มจำนวนคละและเศษส่วนปกติ
เพิ่มจำนวนคละและเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม
.
.
คุณสมบัติเพิ่มเติม
ความสามารถในการนับชุด
ขาดตัวเลขที่เป็นเหตุเป็นผล
กำลังโหลด ...