ตัวเลขในรูปตรีโกณมิติ
สูตร Moivre
ให้ z 1 \u003d r 1 (cos 1 + isin 1) และ z 2 \u003d r 2 (cos 2 + isin 2)
รูปแบบของสัญกรณ์ตรีโกณมิติสำหรับจำนวนเชิงซ้อนนั้นสะดวกในการใช้เพื่อดำเนินการของการคูณการหารการยกกำลังจำนวนเต็มและการแยกรากของกำลัง n
z 1 ∙ z 2 \u003d r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 + 2) + ฉันบาป ( 1 + 2))
เมื่อคูณจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวน ในรูปแบบตรีโกณมิติโมดูลจะถูกคูณและเพิ่มอาร์กิวเมนต์ เมื่อหาร โมดูลของพวกเขาจะถูกแบ่งออกและอาร์กิวเมนต์จะถูกลบออก
ผลลัพธ์ของกฎสำหรับการคูณจำนวนเชิงซ้อนคือกฎสำหรับการเพิ่มจำนวนเชิงซ้อนให้เป็นเลขยกกำลัง
z \u003d r (cos + ฉันบาป)
z n \u003d r n (cos n + isin n)
อัตราส่วนนี้เรียกว่า โดยสูตร Moivre
ตัวอย่าง 8.1 ค้นหาผลิตภัณฑ์และผลหาร:
และ 
การตัดสินใจ
z 1 ∙ z 2 
∙
=
;
ตัวอย่างที่ 8.2 เขียนตัวเลขในรูปตรีโกณมิติ
∙
–I) 7.
การตัดสินใจ
เราหมายถึง 
และ z 2 \u003d 
- ผม.
r 1 \u003d | z 1 | \u003d √ 1 2 + 1 2 \u003d √ 2; 1 \u003d arg z 1 \u003d arctan 
;
z 1 \u003d 
;
r 2 \u003d | z 2 | \u003d √ (√ 3) 2 + (- 1) 2 \u003d 2; 2 \u003d arg z 2 \u003d อาร์กแทน 
;
z 2 \u003d 2 
;
z 1 5 \u003d ( 
) 5 
; z 2 7 \u003d 2 7 
z \u003d ( 
) 5 2 7 
=
2 9 
§ 9 การแยกรูทจากจำนวนเชิงซ้อน
คำจำกัดความ รากn- กำลังของจำนวนเชิงซ้อน z (หมายถึง 
) เป็นจำนวนเชิงซ้อน w ซึ่ง w n \u003d z ถ้า z \u003d 0 แล้ว 
= 0.
ให้ z 0, z \u003d r (cos + isin) เราแสดงว่า w \u003d (cos + sin) จากนั้นสมการ w n \u003d z สามารถเขียนได้ในรูปแบบต่อไปนี้
n (cos (n ) + isin (n )) \u003d r (cos + isin)
ดังนั้น n \u003d r
=
ดังนั้น w k \u003d 
·
.
มีค่าที่แตกต่างกันอย่างแน่นอนในค่าเหล่านี้
ดังนั้น k \u003d 0, 1, 2, …, n - 1
บนระนาบที่ซับซ้อนจุดเหล่านี้คือจุดยอดของ n-gon ปกติที่จารึกไว้ในวงกลมที่มีรัศมี 
ศูนย์กลางที่จุด O (รูปที่ 12)
รูปที่ 12
ตัวอย่างที่ 9.1ค้นหาค่าทั้งหมด 
.
การตัดสินใจ.
ลองแทนจำนวนนี้ในรูปตรีโกณมิติ มาค้นหาโมดูลและอาร์กิวเมนต์
w k \u003d 
โดยที่ k \u003d 0, 1, 2, 3
w 0 \u003d 
.
w 1 \u003d 
.
w 2 \u003d 
.
w 3 \u003d 
.
บนระนาบที่ซับซ้อนจุดเหล่านี้คือจุดยอดของสี่เหลี่ยมที่จารึกไว้ในวงกลมที่มีรัศมี 
ศูนย์กลางที่จุดกำเนิด (รูปที่ 13)
ภาพที่ 13 ภาพที่ 14
ตัวอย่างที่ 9.2ค้นหาค่าทั้งหมด 
.
การตัดสินใจ.
z \u003d - 64 \u003d 64 (cos + isin);
w k \u003d 
โดยที่ k \u003d 0, 1, 2, 3, 4, 5
w 0 \u003d 
; w 1 \u003d 
;
w 2 \u003d 
w 3 \u003d 
w 4 \u003d 
; w 5 \u003d 
.
บนระนาบที่ซับซ้อนจุดเหล่านี้คือจุดยอดของรูปหกเหลี่ยมปกติที่จารึกไว้ในวงกลมรัศมี 2 ศูนย์กลางที่จุด O (0; 0) - รูปที่ 14
§ 10 รูปแบบเลขชี้กำลังของจำนวนเชิงซ้อน
สูตรของออยเลอร์
เราหมายถึง 
\u003d cos + isin และ 
\u003d cos - ไอซิน ความสัมพันธ์เหล่านี้เรียกว่า สูตรของออยเลอร์ .
ฟังก์ชัน 
มีคุณสมบัติของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลตามปกติ:
ให้จำนวนเชิงซ้อน z เขียนในรูปตรีโกณมิติ z \u003d r (cos + isin)
โดยใช้สูตรของออยเลอร์คุณสามารถเขียน:
z \u003d r 
.
รายการนี้เรียกว่า เป็นแบบอย่าง จำนวนเชิงซ้อน. เมื่อใช้เราได้รับกฎสำหรับการคูณการหารการยกกำลังและการแยกราก
ถ้า z 1 \u003d r 1 
และ z 2 \u003d r 2 
แล้ว
z 1 z 2 \u003d r 1 r 2 
;
·
z n \u003d r n 
โดยที่ k \u003d 0, 1, …, n - 1
ตัวอย่างที่ 10.1 เขียนตัวเลขในรูปพีชคณิต
z \u003d 
.
การตัดสินใจ.
ตัวอย่างที่ 10.2แก้สมการ z 2 + (4 - 3i) z + 4 - 6i \u003d 0
การตัดสินใจ.
สำหรับค่าสัมประสิทธิ์ที่ซับซ้อนใด ๆ สมการนี้มีสองราก z 1 และ z 1 (อาจจะตรงกัน) รากเหล่านี้สามารถพบได้โดยใช้สูตรเดียวกับในกรณีจริง เพราะ 
รับค่าสองค่าที่แตกต่างกันในเครื่องหมายเท่านั้นจากนั้นสูตรนี้มีรูปแบบ:
ตั้งแต่ –9 \u003d 9 · e i ตามด้วยค่า 
จะมีตัวเลข:
แล้ว 
และ 
.
|
ตัวอย่างที่ 10.3แก้สมการ z 3 +1 \u003d 0; z 3 \u003d - 1. |
การตัดสินใจ.
รากที่ต้องการของสมการจะเป็นค่า 
.
สำหรับ z \u003d –1 เรามี r \u003d 1, arg (–1) \u003d
w k \u003d 
, k \u003d 0, 1, 2.
การออกกำลังกาย
9 แทนตัวเลข:
|
ข) |
ง) |
+ ฉัน;
.10 เขียนตัวเลขในรูปแบบเลขชี้กำลังและพีชคณิต:
|
และ) |
ที่) |
|
ข) |
ง) 7 (cos0 + isin0) |
11 เขียนตัวเลขในรูปแบบพีชคณิตและเรขาคณิต:
|
และ) |
ข) |
ที่) |
ง) |
12 ตัวเลขที่กำหนด 
โดยการนำเสนอในรูปแบบที่เป็นแบบอย่างให้ค้นหา 
.
13 ใช้รูปแบบเลขชี้กำลังของจำนวนเชิงซ้อนดำเนินการดังนี้:
และ) 
ข) 
ที่) 
ง) 
|
จ) |
|
|
|
|
.จาก และจำนวนธรรมชาติ n 2 .
จำนวนเชิงซ้อน Z เรียกว่า รากn– ค, ถ้า Z n = ค.
ค้นหาค่ารูททั้งหมด n–
กำลังของจำนวนเชิงซ้อน จาก... ให้เป็น ค=|
ค|·(cos
อาร์กิวเมนต์
ค+
ผม·
บาป
อาร์กิวเมนต์ จาก),และ
Z
= |
Z| · (ด้วยระบบปฏิบัติการ
อาร์กิวเมนต์
Z
+
ผม·
บาป
อาร์กิวเมนต์
Z)
ที่ไหน Z ราก n-
กำลังของจำนวนเชิงซ้อน จาก... จากนั้นควรมี
=
ค
= |
ค|·(cos
อาร์กิวเมนต์
ค+
ผม·
บาป
อาร์กิวเมนต์ จาก)... ดังนั้นจึงเป็นไปตามนั้น 
และ n·
อาร์กิวเมนต์
Z
=
อาร์กิวเมนต์ จาก 
อาร์กิวเมนต์
Z
=
(k=0,
1,…)
... ด้วยเหตุนี้ Z
=
(cos
+
ผม·
บาป
),
(k=0,
1,…)
... จะเห็นได้ง่ายว่าค่าใด ๆ
,
(k=0,
1,…)
แตกต่างจากค่าที่เกี่ยวข้องค่าใดค่าหนึ่ง
,(k
= 0,1,…,
n-1)
โดยหลาย 2π... ดังนั้น (k
= 0,1,…,
n-1)
.
ตัวอย่าง.
คำนวณรากของ (-1).
เห็นได้ชัด |-1|
= 1,
อาร์กิวเมนต์
(-1) =
π
-1 \u003d 1 (cos π + ผม· บาป π )
,
(k \u003d 0, 1)
=
ผม
ปริญญาที่มีเลขชี้กำลังเชิงเหตุผลโดยพลการ
หาจำนวนเชิงซ้อนโดยพลการ จาก... ถ้า n จำนวนธรรมชาติแล้ว จาก n
= |
ค|
n ·(จากระบบปฏิบัติการ
nArg c +ผม·
บาป
nArg จาก)(6). สูตรนี้ยังเป็นจริงในกรณี n
= 0
(s ≠ 0)
... ให้เป็น n
< 0
และ n
Z และ s ≠ 0 แล้ว
จาก n
=
(cos nArgจาก+ ฉันบาป nArgจาก)
=
(cos nArgจาก + ฉันบาป nArgจาก)
... ดังนั้นสูตร (6) จึงใช้ได้กับทุก ๆ n.
หาจำนวนที่มีเหตุผล 
ที่ไหน q จำนวนธรรมชาติและ ร คือทั้งหมด
แล้วภายใต้ ระดับ
ค ร เราจะเข้าใจตัวเลข 
.
เราได้รับสิ่งนั้น ,
(k = 0, 1, …, q-1). ค่าเหล่านี้ q ชิ้นหากเศษไม่สามารถยกเลิกได้
การบรรยาย№3ขีด จำกัด ของลำดับของจำนวนเชิงซ้อน
ฟังก์ชันที่มีมูลค่าซับซ้อนของอาร์กิวเมนต์ธรรมชาติเรียกว่า ลำดับของจำนวนเชิงซ้อนและแสดง (จาก n ) หรือ จาก 1 จาก 2 , ... , จาก n . จาก n \u003d ก n + ข n · ผม (n = 1,2, ...) จำนวนเชิงซ้อน
จาก 1 จาก 2 , …เป็นสมาชิกของลำดับ; จาก n - คำทั่วไป
จำนวนเชิงซ้อน จาก
=
ก+
ข·
ผม เรียกว่า ขีด จำกัด ของลำดับของจำนวนเชิงซ้อน (ค n )
ที่ไหน จาก n
\u003d ก n +
ข n ·
ผม
(n
= 1, 2, …)
ที่ไหนก็ได้ 
สำหรับทุกคน n
>
น ความไม่เท่าเทียมกันถือ 
... ลำดับที่มีขีด จำกัด จำกัด เรียกว่า บรรจบกัน ลำดับ.
ทฤษฎีบท.
เพื่อให้ได้ลำดับของจำนวนเชิงซ้อน (ด้วย n ) (จาก n \u003d ก n + ข n · ผม) แปลงเป็นตัวเลขด้วย = ก+ ข· ผมมีความจำเป็นและเพียงพอที่ความเท่าเทียมกันลิม ก n = ก, ลิม ข n = ข.
หลักฐาน.
เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทโดยอาศัยอสมการสองเท่าที่ชัดเจนดังต่อไปนี้
ที่ไหน Z
=
x
+
ย·
ผม
(2)
ความจำเป็น ให้เป็น ลิม (จาก n ) \u003d กับ... ให้เราแสดงความเท่าเทียมกัน ลิม ก n = ก และ ลิม ข n = ข (3).
เห็นได้ชัดว่า (4)
เพราะ 
เมื่อไหร่ n
→ ∞
แล้วตามจากด้านซ้ายมือของอสมการ (4) นั่น 
และ 
เมื่อไหร่ n
→ ∞
... ดังนั้นความเท่าเทียมกัน (3) ถือ ความจำเป็นได้รับการพิสูจน์แล้ว
ความเพียงพอ ตอนนี้ปล่อยให้ความเท่าเทียมกัน (3) ถือ ตามมาจากความเท่าเทียมกัน (3) นั่นเอง 
และ 
เมื่อไหร่ n
→ ∞
ดังนั้นโดยอาศัยด้านขวามือของอสมการ (4) 
เมื่อไหร่ n→∞
หมายถึง ลิม(จาก n ) \u003d กับ... ความพอเพียงได้รับการพิสูจน์แล้ว
ดังนั้นคำถามของการบรรจบกันของลำดับของจำนวนเชิงซ้อนจึงเทียบเท่ากับการบรรจบกันของลำดับจำนวนจริงสองลำดับดังนั้นคุณสมบัติพื้นฐานทั้งหมดของขีด จำกัด ของลำดับจำนวนจริงจึงใช้กับลำดับของจำนวนเชิงซ้อน
ตัวอย่างเช่นสำหรับลำดับของจำนวนเชิงซ้อนเกณฑ์ Cauchy นั้นถูกต้อง: ตามลำดับของจำนวนเชิงซ้อน (ด้วย n ) มาบรรจบกันเป็นสิ่งที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับสิ่งใด ๆ 
ที่สำหรับใด ๆn,
ม
>
น ความไม่เท่าเทียมกันถือ 
.
ทฤษฎีบท.
ให้ลำดับของจำนวนเชิงซ้อน (ด้วย n ) และ (z n ) มาบรรจบกันตามลำดับถึง c และzแล้วความเท่าเทียมกันลิม(จาก n
z n )
=
ค 
z,
ลิม(จาก n ·
z n )
=
ค·
z... หากเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าz ไม่เท่ากับ 0 แล้วความเท่าเทียมกัน 
.
กำลังโหลด ...