เมื่อสร้างทฤษฎีสัจพจน์ของจำนวนธรรมชาติคำหลักจะเป็น "องค์ประกอบ" หรือ "จำนวน" (ซึ่งในบริบทของตำรานี้เราสามารถพิจารณาว่าเป็นคำพ้องความหมาย) และ "ชุด" ความสัมพันธ์หลัก: "เป็นของ" (องค์ประกอบเป็นของเซต) "ความเท่าเทียมกัน" และ " ติดตาม", แสดงโดย a / (อ่าน" จำนวนและเส้นขีดตามด้วยหมายเลข a "ตัวอย่างเช่นทั้งสองตามด้วยสามนั่นคือ 2 / \u003d 3 หมายเลข 10 ตามด้วยหมายเลข 11 นั่นคือ 10 / \u003d 11 เป็นต้น)
ตัวเลขธรรมชาติมากมาย(อนุกรมธรรมชาติ, จำนวนเต็มบวก) คือเซต N ที่มีความสัมพันธ์แนะนำ "ตามหลัง" ซึ่งมีการเติมเต็มสัจพจน์ 4 ประการต่อไปนี้:
ก 1. ชุด N มีองค์ประกอบที่เรียกว่า หน่วยที่ไม่เป็นไปตามหมายเลขอื่น ๆ
ก 2. สำหรับแต่ละองค์ประกอบของอนุกรมธรรมชาติจะมีองค์ประกอบเดียวต่อไปนี้
ก 3. องค์ประกอบ N แต่ละองค์ประกอบตามด้วยองค์ประกอบธรรมชาติอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบ
ก 4. ( สัจพจน์การเหนี่ยวนำ) ถ้าเซตย่อย M ของเซต N มีหน่วยและรวมกับแต่ละองค์ประกอบของมันด้วย a มีองค์ประกอบต่อไปนี้ a / ด้วยดังนั้น M จะเกิดขึ้นพร้อมกับ N
สัจพจน์เดียวกันสามารถสรุปได้ในสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์:
А 1 ( 1 N) ( a N) a / ≠ 1
ก 2 ( a N) ( a / N) a \u003d b \u003d\u003e a / \u003d b /
ก 3 a / \u003d b / \u003d\u003e a \u003d b
ถ้าองค์ประกอบ b ตามหลังองค์ประกอบ a (b \u003d a /) แสดงว่าองค์ประกอบ a อยู่ข้างหน้าสำหรับองค์ประกอบ b (หรือนำหน้า b) ระบบนี้เรียกว่าสัจพจน์ ระบบ Peano axiom (เนื่องจากได้รับการแนะนำในศตวรรษที่ 19 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี Giuseppe Peano) นี่เป็นเพียงชุดของสัจพจน์ที่เป็นไปได้ชุดหนึ่งที่ช่วยให้คุณกำหนดเซตของจำนวนธรรมชาติได้ มีแนวทางอื่นที่เทียบเท่ากัน
คุณสมบัติที่เรียบง่ายที่สุดของจำนวนธรรมชาติ
คุณสมบัติ 1... หากองค์ประกอบแตกต่างกันสิ่งต่อไปนี้ก็แตกต่างกันเช่นกันนั่นคือ
a b \u003d\u003e a / b /.
หลักฐาน ดำเนินการโดยวิธีการขัดแย้ง: สมมติว่า a / \u003d b / แล้ว (ตาม A3) a \u003d b ซึ่งขัดแย้งกับสมมติฐานของทฤษฎีบท
คุณสมบัติ 2... หากองค์ประกอบต่างกันองค์ประกอบก่อนหน้า (ถ้ามี) จะแตกต่างกันนั่นคือ
a / b / \u003d\u003e a b.
หลักฐาน: สมมติว่า a \u003d b จากนั้นตาม A2 เรามี a / \u003d b / ซึ่งขัดแย้งกับเงื่อนไขของทฤษฎีบท
คุณสมบัติ 3... ไม่มีจำนวนธรรมชาติเท่ากับจำนวนถัดไป
หลักฐาน: แนะนำให้พิจารณาเซต M ประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติที่เงื่อนไขนี้เป็นที่พอใจ
М \u003d (a N | a a /)
การพิสูจน์จะดำเนินการตามสัจพจน์การเหนี่ยวนำ ตามความหมายของเซต M มันเป็นเซตย่อยของเซตของจำนวนธรรมชาติ นอกจากนี้1Mเนื่องจากหน่วยไม่ได้เป็นไปตามจำนวนธรรมชาติใด ๆ (A1) ดังนั้นรวมถึงสำหรับ a \u003d 1 เราจึงมี: 1 1 / สมมติว่าตอนนี้มี M. ซึ่งหมายความว่า a / (ตามนิยามของ M) โดยที่ a / (a /) / (คุณสมบัติ 1) นั่นคือ a / M. จากสิ่งที่ได้กล่าวไว้ข้างต้นบนพื้นฐานของ สัจพจน์ของการเหนี่ยวนำเราสามารถสรุปได้ว่า M \u003d N นั่นคือทฤษฎีบทของเราเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด
ทฤษฎีบท 4... สำหรับจำนวนธรรมชาติอื่น ๆ ที่ไม่ใช่ 1 จะมีจำนวนที่นำหน้า
หลักฐาน: พิจารณาชุด
М \u003d (1) (c N | ( a N) c \u003d a /)
M ที่กำหนดเป็นส่วนย่อยของเซตของจำนวนธรรมชาติหน่วยนี้เป็นของเซตนี้อย่างชัดเจน ส่วนที่สองของชุดนี้เป็นองค์ประกอบที่มีอยู่ก่อนหน้าดังนั้นถ้า M ดังนั้น a / ก็เป็นของ M ด้วย (ส่วนที่สองเนื่องจาก a / มีก่อนหน้านี้จึงเป็น a) ดังนั้นบนพื้นฐานของสัจพจน์การเหนี่ยวนำ M จึงเกิดขึ้นพร้อมกับเซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดซึ่งหมายความว่าจำนวนธรรมชาติทั้งหมดเป็น 1 หรือจำนวนที่มีองค์ประกอบนำหน้า ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
ความสอดคล้องของทฤษฎีสัจพจน์ของจำนวนธรรมชาติ
ในฐานะที่เป็นแบบจำลองที่ใช้งานง่ายของเซตของจำนวนธรรมชาติเราสามารถพิจารณาชุดของเครื่องหมายขีดกลาง: หมายเลข 1 จะตรงกับ |, หมายเลข 2 || ฯลฯ นั่นคืออนุกรมธรรมชาติจะมีรูปแบบ:
|, ||, |||, ||||, ||||| ….
แถวของขีดกลางเหล่านี้สามารถใช้เป็นแบบจำลองของจำนวนธรรมชาติได้หากเราใช้ "การกำหนดหนึ่งขีดให้กับตัวเลข" เป็นความสัมพันธ์ "ตามหลัง" ความถูกต้องของสัจพจน์ทั้งหมดนั้นชัดเจนโดยสัญชาตญาณ แน่นอนว่าโมเดลนี้ไม่ได้ใช้ตรรกะอย่างเคร่งครัด ในการสร้างแบบจำลองที่เข้มงวดคุณต้องมีทฤษฎีสัจพจน์ที่สอดคล้องกันอย่างชัดเจนอีกทฤษฎีหนึ่ง แต่เราไม่มีทฤษฎีดังกล่าวในการกำจัดของเราดังที่ระบุไว้ข้างต้น ดังนั้นเราจึงถูกบังคับให้ต้องพึ่งพาสัญชาตญาณหรือไม่ให้หันไปใช้วิธีการของแบบจำลอง แต่เพื่ออ้างถึงความจริงที่ว่ามานานกว่า 6 พันปีในระหว่างที่มีการศึกษาเกี่ยวกับจำนวนธรรมชาติจึงไม่พบความขัดแย้งกับสัจพจน์เหล่านี้
ความเป็นอิสระของระบบสัจพจน์ Peano
เพื่อพิสูจน์ความเป็นอิสระของสัจพจน์แรกก็เพียงพอที่จะสร้างแบบจำลองที่สัจพจน์А 1 เป็นเท็จและสัจพจน์А 2, А 3, А 4 เป็นจริง ให้เราพิจารณาตัวเลข 1, 2, 3 เป็นเงื่อนไขหลัก (องค์ประกอบ) และความสัมพันธ์“ ตามหลัง” ถูกกำหนดโดยอัตราส่วน: 1 / \u003d 2, 2 / \u003d 3, 3 / \u003d 1
ไม่มีองค์ประกอบใดในแบบจำลองนี้ที่ไม่เป็นไปตามอื่นใด (สัจพจน์ 1 เป็นเท็จ) แต่มีการเติมเต็มสัจพจน์อื่น ๆ ทั้งหมด ดังนั้นสัจพจน์แรกจึงไม่ขึ้นกับคนอื่น ๆ
สัจพจน์ที่สองมีสองส่วน - การดำรงอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ ความเป็นอิสระของสัจพจน์นี้ (ในแง่ของการดำรงอยู่) สามารถแสดงโดยแบบจำลองของตัวเลขสองตัว (1, 2) โดยมีความสัมพันธ์ต่อไปนี้ที่กำหนดโดยความสัมพันธ์เดียว: 1 / \u003d 2:
สำหรับสององค์ประกอบถัดไปขาดหายไปในขณะที่สัจพจน์ A 1, A 3, A 4 เป็นจริง
ความเป็นอิสระของสัจพจน์นี้ในแง่ของความเป็นเอกลักษณ์แสดงโดยแบบจำลองซึ่งชุด N จะเป็นชุดของจำนวนธรรมชาติธรรมดาทั้งหมดเช่นเดียวกับคำทุกประเภท (ชุดของตัวอักษรที่ไม่จำเป็นต้องมีความหมาย) ประกอบด้วยตัวอักษรของอักษรละติน (หลังจากตัวอักษร z ตัวถัดไปจะเป็น aa จากนั้น ab ... az แล้ว ba ... ; คำสองตัวอักษรที่เป็นไปได้ทั้งหมดซึ่งสุดท้ายคือ zz จะตามด้วย aaa และอื่น ๆ ) เราแนะนำความสัมพันธ์ "follow" ดังแสดงในรูป:
สัจพจน์ที่นี่ A 1, A 3, A 4 ก็เป็นจริงเช่นกัน แต่ 1 ตามมาด้วยสององค์ประกอบ 2 และ a ทันที ดังนั้น Axiom 2 จึงไม่ขึ้นอยู่กับสิ่งอื่น ๆ
ความเป็นอิสระของ Axiom 3 แสดงโดยแบบจำลอง:
ซึ่ง A 1, A 2, A 4 เป็นจริง แต่เลข 2 ตามหลังทั้งเลข 4 และเลข 1
เพื่อพิสูจน์ความเป็นอิสระของสัจพจน์การเหนี่ยวนำเราใช้ชุด N ซึ่งประกอบด้วยตัวเลขธรรมชาติทั้งหมดและตัวอักษรสามตัว (a, b, c) คุณสามารถป้อนความสัมพันธ์ต่อไปนี้ในโมเดลนี้ดังแสดงในรูปต่อไปนี้:
ที่นี่สำหรับจำนวนธรรมชาติจะใช้ความสัมพันธ์ตามปกติและสำหรับตัวอักษรความสัมพันธ์ต่อไปนี้ถูกกำหนดโดยสูตรต่อไปนี้: a / \u003d b, b / \u003d c, c / \u003d a เห็นได้ชัดว่า 1 ไม่ได้เป็นไปตามจำนวนธรรมชาติใด ๆ สำหรับแต่ละตัวจะมีค่าถัดไปและยิ่งไปกว่านั้นมีเพียงองค์ประกอบเดียวเท่านั้นแต่ละองค์ประกอบตามหลังไม่เกินหนึ่งองค์ประกอบ อย่างไรก็ตามหากเราพิจารณาเซต M ที่ประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติธรรมดานี่จะเป็นเซตย่อยของเซตนี้ที่มีหนึ่งเช่นเดียวกับองค์ประกอบถัดไปสำหรับแต่ละองค์ประกอบจาก M อย่างไรก็ตามเซตย่อยนี้จะไม่ตรงกับโมเดลทั้งหมดที่อยู่ระหว่างการพิจารณาเนื่องจากจะไม่มี ตัวอักษร a, b, c ดังนั้นสัจพจน์การเหนี่ยวนำจึงไม่ถืออยู่ในแบบจำลองนี้ดังนั้นสัจพจน์การเหนี่ยวนำจึงไม่ขึ้นอยู่กับสัจพจน์อื่น ๆ
ทฤษฎีสัจพจน์ของจำนวนธรรมชาติคือ เด็ดขาด (สมบูรณ์ในความหมายแคบ)
(n /) \u003d ( (n)) /.
หลักการของการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ที่สมบูรณ์.
ทฤษฎีบทการเหนี่ยวนำให้คำยืนยันบางส่วน P (n) ถูกกำหนดสำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมดและให้ a) P (1) เป็นจริง b) จากข้อเท็จจริงที่ว่า P (k) เป็นจริงตามที่ P (k /) เป็นจริงเช่นกัน ดังนั้นการยืนยัน P (n) เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด
สำหรับการพิสูจน์เราแนะนำเซต M ของจำนวนธรรมชาติดังกล่าว n (M N) ซึ่งคำสั่ง P (n) เป็นจริง เราจะใช้สัจพจน์ A 4 นั่นคือเราจะพยายามพิสูจน์ว่า:
k M \u003d\u003e k / ม.
ถ้าเราประสบความสำเร็จตามสัจพจน์ A4 เราสามารถสรุปได้ว่า M \u003d N นั่นคือ P (n) เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด
1) ตามเงื่อนไขก) ของทฤษฎีบท P (1) จึงเป็นจริงดังนั้น 1 M.
2) ถ้าบาง k M แสดงว่า (โดยโครงสร้างของ M) P (k) เป็นจริง ตามเงื่อนไข b) ของทฤษฎีบทนี่แสดงถึงความจริงของ P (k /) และด้วยเหตุนี้ k / M.
ดังนั้นโดยสัจพจน์ของการเหนี่ยวนำ (A4), M \u003d N และด้วยเหตุนี้ P (n) จึงเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด
ดังนั้นสัจพจน์ของการเหนี่ยวนำทำให้เราสามารถสร้างวิธีการพิสูจน์ทฤษฎีบท "โดยการเหนี่ยวนำ" วิธีนี้มีบทบาทสำคัญในการพิสูจน์ทฤษฎีหลักของเลขคณิตเกี่ยวกับจำนวนธรรมชาติ ประกอบด้วยสิ่งต่อไปนี้:
1) มีการตรวจสอบความถูกต้องของใบแจ้งยอดสำหรับn=1 (ฐานเหนี่ยวนำ) ,
2) ความถูกต้องของคำสั่งนี้ถือว่าสำหรับn= kที่ไหนk - จำนวนธรรมชาติโดยพลการ(การคาดเดาการเหนี่ยวนำ) และคำนึงถึงสมมติฐานนี้ความถูกต้องของคำสั่งสำหรับn= k / (ขั้นตอนการเหนี่ยวนำ ).
การพิสูจน์ตามอัลกอริทึมที่กำหนดเรียกว่าการพิสูจน์ โดยการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ .
งานช่วยเหลือตนเอง
ลำดับที่ 1.1. ค้นหาว่าระบบใดในรายการที่ตรงตามสัจพจน์ของ Peano (เป็นแบบจำลองของเซตของจำนวนธรรมชาติ) พิจารณาว่าสัจพจน์ใดที่ตอบสนองได้และไม่เป็นจริง
ก) N \u003d (3, 4, 5 ... ), n / \u003d n + 1;
b) N \u003d (n 6, n น), n / \u003d n + 1;
c) N \u003d (n - 2, n Z), n / \u003d n + 1;
ง) N \u003d (n - 2, n Z), n / \u003d n + 2;
จ) จำนวนธรรมชาติคี่ n / \u003d n +1;
f) จำนวนธรรมชาติคี่ n / \u003d n +2;
g) จำนวนธรรมชาติที่มีอัตราส่วน n / \u003d n + 2;
ซ) N \u003d (1, 2, 3), 1 / \u003d 3, 2 / \u003d 3, 3 / \u003d 2;
ผม) N \u003d (1, 2, 3, 4, 5), 1 / \u003d 2, 2 / \u003d 3, 3 / \u003d 4, 4 / \u003d 5, 5 / \u003d 1;
j) จำนวนธรรมชาติหารด้วย 3 ด้วยอัตราส่วน n / \u003d n + 3
k) แม้แต่จำนวนธรรมชาติที่มีอัตราส่วน n / \u003d n + 2
m) จำนวนเต็ม 
.
ในการสร้างสัจพจน์ของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ใด ๆ แน่นอน ข้อบังคับ:
·แนวคิดบางอย่างของทฤษฎีถูกเลือกให้เป็นพื้นฐานและได้รับการยอมรับโดยไม่มีคำจำกัดความ
·แต่ละแนวคิดของทฤษฎีซึ่งไม่มีอยู่ในรายการพื้นฐานจะได้รับคำจำกัดความ
·สัจพจน์เป็นสูตร - ประโยคที่ยอมรับในทฤษฎีนี้โดยไม่มีการพิสูจน์ พวกเขาเปิดเผยคุณสมบัติของแนวคิดพื้นฐาน
·ทุกประโยคของทฤษฎีที่ไม่มีอยู่ในรายการสัจพจน์จะต้องได้รับการพิสูจน์ ข้อเสนอดังกล่าวเรียกว่าทฤษฎีบทและได้รับการพิสูจน์บนพื้นฐานของสัจพจน์และทฤษฎีบท
ด้วยการสร้างทฤษฎีตามความเป็นจริงข้อความทั้งหมดจะอนุมานได้จากสัจพจน์โดยวิธีการพิสูจน์
ดังนั้นระบบสัจพจน์จึงมีความพิเศษ ข้อกำหนด:
•ความสอดคล้องกัน (ระบบของสัจพจน์เรียกว่าสอดคล้องกันหากไม่สามารถอนุมานเชิงเหตุผลจากประโยคสองประโยคที่ใช้ร่วมกันได้)
·ความเป็นอิสระ (ระบบสัจพจน์เรียกว่าอิสระหากไม่มีสัจพจน์ของระบบนี้เป็นผลมาจากสัจพจน์อื่น ๆ )
ชุดที่มีความสัมพันธ์ที่กำหนดเรียกว่าแบบจำลองของระบบสัจพจน์ที่กำหนดหากความจริงทั้งหมดของระบบที่กำหนดมีความพึงพอใจในนั้น
มีหลายวิธีในการสร้างระบบสัจพจน์สำหรับเซตของจำนวนธรรมชาติ สำหรับแนวคิดพื้นฐานคุณสามารถใช้ตัวอย่างเช่นผลรวมของตัวเลขหรือความสัมพันธ์ของลำดับ ไม่ว่าในกรณีใดคุณต้องระบุระบบสัจพจน์ที่อธิบายคุณสมบัติของแนวคิดพื้นฐาน
ให้เราให้ระบบสัจพจน์ยอมรับแนวคิดพื้นฐานของการดำเนินการของการบวก
ชุดที่ไม่ว่างเปล่า น เรียกว่าชุดของจำนวนธรรมชาติหากมีการกำหนดการดำเนินการไว้ในนั้น (ก; b) → a + bเรียกว่าการเพิ่มและมีคุณสมบัติ:
1. การบวกเป็นการสับเปลี่ยนเช่น a + b \u003d b + ก.
2. การเพิ่มเป็นการเชื่อมโยงเช่น (a + b) + c \u003d a + (b + c)
4. ในชุดใดก็ได้ กซึ่งเป็นส่วนย่อยของเซต นที่ไหน กมีจำนวนมากเช่นนั้นทั้งหมด ฮามีค่าเท่ากัน a + bที่ไหน bN.
สัจพจน์ 1 - 4 เพียงพอที่จะสร้างเลขคณิตทั้งหมดของจำนวนธรรมชาติ แต่ด้วยโครงสร้างเช่นนี้จึงเป็นไปไม่ได้อีกต่อไปที่จะอาศัยคุณสมบัติของเซต จำกัด ที่ไม่ได้สะท้อนอยู่ในสัจพจน์เหล่านี้
ให้เราใช้เป็นแนวคิดพื้นฐานเกี่ยวกับความสัมพันธ์ "ตามตรง ... " ซึ่งกำหนดให้ในชุดที่ไม่ว่างเปล่า น... จากนั้นอนุกรมธรรมชาติของตัวเลขจะเป็นเซต N ซึ่งมีการกำหนดความสัมพันธ์ "ตามทันที" และองค์ประกอบทั้งหมดของ N จะเรียกว่าจำนวนธรรมชาติและต่อไปนี้ สัจพจน์ของ Peano:
แกน 1.
ในชุดน มีองค์ประกอบที่ไม่เป็นไปตามองค์ประกอบใด ๆ ของชุดนี้ในทันที เราจะเรียกมันว่าหน่วยและแสดงด้วยสัญลักษณ์ 1
แกน 2.
สำหรับแต่ละองค์ประกอบ a จากน มีเพียงองค์ประกอบเดียวที่ตามหลัง a.
แกน 3.
สำหรับแต่ละองค์ประกอบ a จากน มีองค์ประกอบอย่างน้อยหนึ่งอย่างทันทีตามด้วย.
AXOIM 4.
M ส่วนย่อยใด ๆ ของชุดน เกิดขึ้นพร้อมกับนถ้ามีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: 1) 1 อยู่ใน M; 2) จากข้อเท็จจริงที่ว่า a มีอยู่ใน M ตามมาว่า a มีอยู่ใน M ด้วย
พวงของ N, สำหรับองค์ประกอบที่สร้างความสัมพันธ์ "ตามตรง ... " ซึ่งตรงตามสัจพจน์ 1 - 4 เรียกว่า ชุดตัวเลขธรรมชาติ และองค์ประกอบของมันคือ ตัวเลขธรรมชาติ
ถ้าเป็นชุด น เพื่อเลือกชุดที่เฉพาะเจาะจงซึ่งจะได้รับความสัมพันธ์เฉพาะ "ปฏิบัติตาม ... " ซึ่งเป็นสัจพจน์ที่น่าพอใจ 1 - 4 จากนั้นเราจะได้รับความสัมพันธ์ที่แตกต่างกัน การตีความ (แบบจำลอง) ให้ ระบบสัจพจน์
แบบจำลองมาตรฐานของระบบสัจพจน์ของ Peano เป็นชุดของตัวเลขที่เกิดขึ้นในกระบวนการพัฒนาการทางประวัติศาสตร์ของสังคม: 1, 2, 3, 4, 5, ...
ชุดที่นับได้ใด ๆ อาจเป็นต้นแบบของสัจพจน์ของ Peano
ตัวอย่างเช่น I, II, III, IIII, ...
ooo ooo oooo, ...
หนึ่งสองสามสี่, …
พิจารณาลำดับของเซตที่เซต (oo) เป็นองค์ประกอบเริ่มต้นและแต่ละเซ็ตที่ตามมาจะได้รับจากเซตก่อนหน้าโดยกำหนดอีกหนึ่งวงกลม (รูปที่ 15)
แล้ว น มีชุดที่ประกอบด้วยชุดของประเภทที่อธิบายไว้และเป็นแบบจำลองของระบบสัจพจน์ Peano
แน่นอนในชุด นมีองค์ประกอบ (oo) ที่ไม่ได้ติดตามองค์ประกอบใด ๆ ของชุดที่กำหนดในทันทีนั่นคือ Axiom 1 ถือสำหรับแต่ละชุด ก ชุดที่อยู่ระหว่างการพิจารณามีชุดเฉพาะที่ได้รับจาก ก โดยเพิ่มหนึ่งแวดวงนั่นคือ Axiom 2 ถือสำหรับแต่ละชุด ก มีมากที่สุดหนึ่งชุดจากชุดนั้น กโดยเพิ่มหนึ่งแวดวงนั่นคือ สัจพจน์ 3 ถือ. ถ้า มน และเป็นที่รู้กันว่าชุด ก บรรจุใน M, เป็นไปตามเซตที่มีวงกลมมากกว่าหนึ่งวงในเซต กนอกจากนี้ยังมีอยู่ใน มแล้ว M \u003dนและด้วยเหตุนี้ Axiom 4 จึงถือครอง
ในนิยามของจำนวนธรรมชาติจะไม่มีความจริงใดที่สามารถละเว้นได้
ให้เรากำหนดว่าชุดใดที่แสดงในรูปที่ 16 เป็นต้นแบบของสัจพจน์ของ Peano
|
การตัดสินใจ. รูปที่ 16 ก) แสดงชุดที่พอใจสัจพจน์ 2 และ 3 อันที่จริงแล้วสำหรับแต่ละองค์ประกอบจะมีเพียงองค์ประกอบเดียวที่ตามมาทันที แต่ชุดนี้ไม่ถือ Axiom 1 (Axiom 4 ไม่สมเหตุสมผลเนื่องจากชุดไม่มีองค์ประกอบที่ไม่ตามหลังอื่น ๆ ในทันที) ดังนั้นชุดนี้จึงไม่ใช่แบบจำลองของสัจพจน์ของ Peano
รูปที่ 16 b) แสดงชุดที่มีการเติมเต็มสัจพจน์ 1, 3 และ 4 แต่อยู่หลังองค์ประกอบ ก สององค์ประกอบตามมาทันทีไม่ใช่หนึ่งตามที่กำหนดไว้ในสัจพจน์ 2 ดังนั้นชุดนี้จึงไม่ใช่แบบจำลองของสัจพจน์ของ Peano
ในรูป 16 c) แสดงชุดที่สัจพจน์ 1, 2, 4 พอใจ แต่เป็นองค์ประกอบ จาก ทำตามสององค์ประกอบทันทีทันที ดังนั้นชุดนี้จึงไม่ใช่แบบจำลองของสัจพจน์ของ Peano
ในรูป 16 d) แสดงให้เห็นถึงชุดที่ตรงตามสัจพจน์ 2, 3 และถ้าเราใช้หมายเลข 5 เป็นองค์ประกอบเริ่มต้นชุดนี้จะตอบสนองสัจพจน์ 1 และ 4 นั่นคือในชุดนี้สำหรับแต่ละองค์ประกอบจะมีค่าที่ไม่ซ้ำกันตามมาทันที มันและมีองค์ประกอบเดียวที่ตามมา นอกจากนี้ยังมีองค์ประกอบที่ไม่เป็นไปตามองค์ประกอบใด ๆ ของชุดนี้ในทันทีนี่คือ 5 , เหล่านั้น สัจพจน์ 1 ถือดังนั้นสัจพจน์ 4 ก็จะยึดด้วยดังนั้นชุดนี้จึงเป็นแบบจำลองของสัจพจน์ของ Peano
ด้วยการใช้สัจพจน์ของ Peano เราสามารถพิสูจน์ข้อความจำนวนหนึ่งได้ตัวอย่างเช่นเราจะพิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมดนั้นเป็นอสมการ x x.
หลักฐาน.ให้เราแสดงโดย ก ชุดของจำนวนธรรมชาติที่ aaจำนวน 1 เป็นของ กเนื่องจากไม่เป็นไปตามตัวเลขใด ๆ จาก นและไม่ปฏิบัติตามด้วยตัวเอง: 1 1. ปล่อย aA, แล้ว aa เราหมายถึง ก ข้าม ข... โดยอาศัยสัจพจน์ 3 กข,เหล่านั้น ขขและ ข.
วิธีการตามหลักคณิตศาสตร์
แนวคิดพื้นฐานและความสัมพันธ์ของทฤษฎีสัจพจน์ของอนุกรมธรรมชาติ การกำหนดจำนวนธรรมชาติ
การเพิ่มจำนวนธรรมชาติ
การคูณจำนวนธรรมชาติ
คุณสมบัติของเซตจำนวนธรรมชาติ
การลบและการหารจำนวนธรรมชาติ
วิธีการตามหลักคณิตศาสตร์
ในการสร้างสัจพจน์ของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ใด ๆ กฎบางอย่าง:
1. บางแนวคิดของทฤษฎีถูกเลือกให้เป็น รายใหญ่ และได้รับการยอมรับโดยไม่มีคำจำกัดความ
2. สูตร สัจพจน์ซึ่งในทฤษฎีนี้ได้รับการยอมรับโดยไม่มีการพิสูจน์พวกเขาเปิดเผยคุณสมบัติของแนวคิดพื้นฐาน
3. แต่ละแนวคิดของทฤษฎีที่ไม่รวมอยู่ในรายการพื้นฐานจะได้รับ นิยามมันอธิบายความหมายด้วยความช่วยเหลือของหลักและนำหน้าแนวคิดนี้
4. ทุกโจทย์ของทฤษฎีที่ไม่รวมอยู่ในรายการสัจพจน์จะต้องได้รับการพิสูจน์ ข้อเสนอดังกล่าวเรียกว่า ทฤษฎีบท และพิสูจน์พวกเขาบนพื้นฐานของสัจพจน์และทฤษฎีบทที่นำหน้าหลักการพิจารณา
ระบบสัจพจน์ควรเป็น:
ก) สอดคล้อง:เราต้องแน่ใจว่าเมื่อได้ข้อสรุปที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากระบบสัจพจน์นี้เราจะไม่มีวันขัดแย้ง
b) อิสระ: สัจพจน์ไม่ควรเป็นผลมาจากสัจพจน์อื่น ๆ ของระบบนี้
ใน) เสร็จสมบูรณ์หากอยู่ในกรอบของมันจะเป็นไปได้เสมอที่จะพิสูจน์คำสั่งที่กำหนดหรือการปฏิเสธ
การทดลองครั้งแรกในการสร้างทฤษฎีเชิงสัจพจน์ถือได้ว่าเป็นการนำเสนอรูปทรงเรขาคณิตของยุคลิดใน "องค์ประกอบ" (ศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช) การมีส่วนร่วมที่สำคัญในการพัฒนาวิธีการเชิงสัจพจน์ในการสร้างเรขาคณิตและพีชคณิตเกิดขึ้นโดย N.I. Lobachevsky และ E. ในตอนท้ายของศตวรรษที่ 19 Peano นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีได้พัฒนาระบบสัจพจน์สำหรับเลขคณิต
แนวคิดพื้นฐานและความสัมพันธ์ของทฤษฎีสัจพจน์ของจำนวนธรรมชาติ การกำหนดจำนวนธรรมชาติ
เป็นแนวคิดพื้นฐาน (ไม่ได้กำหนด) ในบางชุด น เลือกแล้ว ทัศนคติ และยังใช้แนวคิดเซต - ทฤษฎีเช่นเดียวกับกฎของตรรกะ
องค์ประกอบต่อจากองค์ประกอบทันที ก,แสดงว่า ก ".
ความสัมพันธ์ "ตามทันที" เป็นไปตามสัจพจน์ต่อไปนี้:
สัจพจน์ของ Peano:
สัจพจน์ 1... ชุด น มีองค์ประกอบโดยตรง ไม่ต่อไป นอกเหนือจากองค์ประกอบใด ๆ ของชุดนี้ เราจะเรียกมันว่า หน่วย และแสดงด้วยสัญลักษณ์ 1 .
สัจพจน์ 2... สำหรับแต่ละรายการ ก ของ น มีเพียงองค์ประกอบเดียว ก " ตามมาทันที ก .
สัจพจน์ 3... สำหรับแต่ละรายการ ก ของ นมีองค์ประกอบอย่างน้อยหนึ่งอย่างตามด้วยทันที ก .
สัจพจน์ 4. ชุดย่อยใด ๆ ม จำนวนมาก น เกิดขึ้นพร้อมกับ น หากมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: 1) 1 บรรจุใน ม ; 2) จากข้อเท็จจริงที่ว่า ก บรรจุใน ม , เป็นไปตามนั้น ก " บรรจุใน ม.
คำจำกัดความ 1... พวงของ น ซึ่งมีองค์ประกอบของความสัมพันธ์ "ตามตรง»เรียกความพึงพอใจ Axioms 1-4 ชุดตัวเลขธรรมชาติและองค์ประกอบของมันคือ ตัวเลขธรรมชาติ.
คำจำกัดความนี้ไม่ได้พูดอะไรเกี่ยวกับลักษณะขององค์ประกอบของชุด น . ดังนั้นมันสามารถเป็นอะไรก็ได้ เลือกเป็นชุด น ชุดเฉพาะบางชุดซึ่งมีการตั้งค่าความสัมพันธ์เฉพาะ "ติดตามโดยตรง" ซึ่งเป็นสัจพจน์ที่น่าพอใจ 1-4 เราได้รับ แบบจำลองของระบบนี้ สัจพจน์
แบบจำลองมาตรฐานของระบบสัจพจน์ของ Peano เป็นชุดของตัวเลขที่เกิดขึ้นในกระบวนการพัฒนาทางประวัติศาสตร์ของสังคม: 1,2,3,4, ... อนุกรมธรรมชาติเริ่มต้นด้วยหมายเลข 1 (สัจพจน์ 1); จำนวนธรรมชาติแต่ละตัวจะตามด้วยจำนวนธรรมชาติเพียงตัวเดียว (สัจพจน์ 2) จำนวนธรรมชาติแต่ละตัวจะตามด้วยจำนวนธรรมชาติมากที่สุดทันที (สัจพจน์ 3); เริ่มจากหมายเลข 1 และส่งต่อไปยังตัวเลขธรรมชาติต่อไปนี้ทันทีเราจะได้ชุดตัวเลขเหล่านี้ทั้งหมด (สัจพจน์ 4)
ดังนั้นเราจึงเริ่มสร้างระบบตัวเลขธรรมชาติตามความเป็นจริงด้วยการเลือกพื้นฐาน ติดตามความสัมพันธ์โดยตรง และสัจพจน์ที่อธิบายคุณสมบัติของมัน การสร้างทฤษฎีเพิ่มเติมเกี่ยวข้องกับการพิจารณาคุณสมบัติที่รู้จักกันดีของจำนวนธรรมชาติและการดำเนินการกับพวกเขา ต้องเปิดเผยในคำจำกัดความและทฤษฎีบทเช่น อนุมานจากวิธีเชิงตรรกะล้วนๆจากความสัมพันธ์ "ตามทันที" และสัจพจน์ 1-4
แนวคิดแรกที่เราจะแนะนำหลังจากกำหนดจำนวนธรรมชาติคือ ทัศนคติ "นำหน้าทันที" , ซึ่งมักใช้เมื่อพิจารณาคุณสมบัติของช่วงธรรมชาติ
คำจำกัดความ 2. ถ้าเป็นจำนวนธรรมชาติ ข ดังต่อไปนี้โดยตรง จำนวนธรรมชาติ ก, หมายเลขนั้น ก เรียกว่า นำหน้าทันที (หรือก่อนหน้า) หมายเลข b .
ความสัมพันธ์ "นำหน้า" มี คุณสมบัติจำนวนหนึ่ง.
ทฤษฎีบท 1. หน่วยไม่มีจำนวนธรรมชาตินำหน้า
ทฤษฎีบท 2. จำนวนธรรมชาติทุกจำนวน กอื่นที่ไม่ใช่ 1 มีเลขนำหน้าเดียว ข,ดังนั้น ข "= ก.
การสร้างตามความเป็นจริงของทฤษฎีจำนวนธรรมชาติไม่ได้รับการพิจารณาในโรงเรียนประถมศึกษาหรือมัธยมศึกษา อย่างไรก็ตามคุณสมบัติเหล่านั้นของความสัมพันธ์ "ตามทันที" ซึ่งสะท้อนให้เห็นในสัจพจน์ของ Peano เป็นหัวข้อของการศึกษาในรายวิชาคณิตศาสตร์เบื้องต้น ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 เมื่อพิจารณาตัวเลขของสิบอันดับแรกจะเห็นได้ชัดเจนว่าแต่ละหมายเลขได้มาอย่างไร มีการใช้แนวคิด "should" และ "precede" ตัวเลขใหม่แต่ละตัวทำหน้าที่เป็นส่วนต่อเนื่องของส่วนที่ศึกษาของอนุกรมธรรมชาติของตัวเลข นักเรียนเชื่อว่าตัวเลขแต่ละตัวจะตามด้วยหมายเลขถัดไปและยิ่งไปกว่านั้นมีเพียงตัวเดียวเท่านั้นที่อนุกรมธรรมชาติของตัวเลขนั้นไม่มีที่สิ้นสุด
การเพิ่มจำนวนธรรมชาติ
ตามกฎสำหรับการสร้างทฤษฎีสัจพจน์คำจำกัดความของการบวกจำนวนธรรมชาติจะต้องนำมาใช้โดยใช้ความสัมพันธ์เท่านั้น "ติดตามโดยตรง"และแนวคิด "เบอร์ธรรมชาติ" และ "เลขนำหน้า".
เราขอนำคำจำกัดความของการเพิ่มด้วยเหตุผลดังต่อไปนี้ ถ้าเป็นจำนวนธรรมชาติใด ๆ กเพิ่ม 1 แล้วเราจะได้หมายเลข ก ",ตามมาทันที กเช่น ก+ 1 \u003d a "ดังนั้นเราจึงได้รับกฎสำหรับการเพิ่ม 1 ให้กับจำนวนธรรมชาติใด ๆ แต่วิธีการเพิ่มจำนวน กจำนวนธรรมชาติ ข,นอกเหนือจาก 1? ลองใช้ความจริงต่อไปนี้: ถ้ามันรู้ว่า 2 + 3 \u003d 5 แล้วผลรวม 2 + 4 \u003d 6 ซึ่งจะตามหลังเลข 5 ทันทีสิ่งนี้เกิดขึ้นเพราะในผลรวม 2 + 4 พจน์ที่สองคือจำนวนที่อยู่ถัดจากหมายเลข 3 ทันที ดังนั้น 2 + 4 \u003d 2 + 3 " =(2+3)". โดยทั่วไปแล้วเรามี , .
ข้อเท็จจริงเหล่านี้เป็นพื้นฐานสำหรับคำจำกัดความของการบวกจำนวนธรรมชาติในทฤษฎีสัจพจน์
คำจำกัดความ 3. การเพิ่มจำนวนธรรมชาติ เรียกว่าการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตโดยมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
จำนวน a + b เรียกว่า ผลรวมของตัวเลข กและ ข , และตัวเลขเอง กและ ข - เงื่อนไข.
ระบบสัจพจน์สำหรับทฤษฎีจำนวนเต็มนี้ไม่เป็นอิสระตามที่ระบุไว้ในแบบฝึกหัด 3.1.4
ทฤษฎีบท 1.ทฤษฎีสัจพจน์ของจำนวนเต็มมีความสอดคล้องกัน
หลักฐาน. เราจะพิสูจน์ความสอดคล้องของทฤษฎีสัจพจน์ของจำนวนเต็มบนสมมติฐานที่ว่าทฤษฎีสัจพจน์ของจำนวนธรรมชาตินั้นสอดคล้องกัน สำหรับสิ่งนี้เราจะสร้างแบบจำลองที่ทำให้ความจริงทั้งหมดของทฤษฎีของเราเป็นจริง
มาสร้างแหวนก่อน พิจารณาชุด
น´ น = {(ก, ข)ï ก, ขÎ น}.
ก, ข) ตัวเลขธรรมชาติ โดยคู่ดังกล่าวเราหมายถึงความแตกต่างของจำนวนธรรมชาติ ก - ข... แต่จนกว่าจะมีระบบจำนวนเต็มซึ่งความแตกต่างดังกล่าวยังไม่ได้รับการพิสูจน์เราก็ไม่มีสิทธิ์ใช้การกำหนดดังกล่าว ในขณะเดียวกันความเข้าใจดังกล่าวทำให้เรามีโอกาสกำหนดคุณสมบัติของคู่ตามที่เราต้องการ
เราทราบว่าความแตกต่างที่แตกต่างกันของจำนวนธรรมชาติสามารถเท่ากับจำนวนเต็มเดียวกันได้ ดังนั้นเราจึงแนะนำในชุด น´ น ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน:
(ก, ข) = (ค, ง) Û a + d \u003d b + c.
เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าความสัมพันธ์นี้เป็นแบบรีเฟลกซ์สมมาตรและสกรรมกริยา ดังนั้นจึงเป็นความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันและมีสิทธิที่จะเรียกว่าความเท่าเทียมกัน กำหนดปัจจัย น´ น Z... องค์ประกอบของมันจะถูกเรียกว่าจำนวนเต็ม เป็นตัวแทนของคลาสความเท่าเทียมกันในชุดของคู่ คลาสที่มีคู่
(ก, ข) เราแสดงโดย [ ก, ข].
Z ก, ข] เป็นความแตกต่าง ก - ข
[ก, ข] + [ค, ง] = [a + c, b + d];
[ก, ข] × [ ค, ง] = [ac + bd, ad + bc].
ควรระลึกไว้เสมอว่าการใช้สัญลักษณ์การทำงานไม่ถูกต้องที่นี่โดยสิ้นเชิง สัญลักษณ์ + เดียวกันหมายถึงการเพิ่มจำนวนและคู่ตามธรรมชาติ แต่เนื่องจากมีความชัดเจนอยู่เสมอว่าจะดำเนินการตั้งค่าใดในที่นี้เราจะไม่แนะนำการกำหนดแยกต่างหากสำหรับการดำเนินการเหล่านี้
จำเป็นต้องตรวจสอบความถูกต้องของคำจำกัดความของการดำเนินการเหล่านี้กล่าวคือผลลัพธ์ไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกองค์ประกอบ กและ ขการกำหนดคู่ [ ก, ข]. อันที่จริงให้
[ก, ข] = [ก 1 , ข 1 ], [s, d] = [จาก 1 , ง 1 ].
ก็หมายความว่า a + b 1 = b + a 1 , c + d 1 = ง + จาก หนึ่ง. เราได้รับการเพิ่มความเท่าเทียมกันเหล่านี้
a + b 1 + c + d 1 = b + a 1 + ง + จาก 1 Þ [ a + b, c + d] = [ก 1 + จาก 1 , ข 1 + ง 1] Þ
Þ [ ก, ข] + [ค, ง] = [ก 1 , ข 1 ] + [ค 1 , ง 1 ].
ความถูกต้องของคำจำกัดความของการคูณถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน แต่ที่นี่ควรตรวจสอบก่อนว่า [ ก, ข] × [ ค, ง] = [ก 1 , ข 1] × [ ค, ง].
ตอนนี้เราควรตรวจสอบว่าพีชคณิตที่ได้คือวงแหวนนั่นคือสัจพจน์ (Z1) - (Z6)
ให้เราตรวจสอบตัวอย่างเช่นการสับเปลี่ยนของการบวกนั่นคือสัจพจน์ (Z2) เรามี
[ค, ง] + [ก, ข] = = [a + c, b + d] = [ก, ข] + [ค, ง].
การสับเปลี่ยนของการบวกสำหรับจำนวนเต็มนั้นมาจากการสับเปลี่ยนของการบวกสำหรับจำนวนธรรมชาติซึ่งถือว่าเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้ว
สัจพจน์ (Z1), (Z5), (Z6) ได้รับการตรวจสอบในลักษณะเดียวกัน
ทั้งคู่มีบทบาทเป็นศูนย์ เราแสดงโดย 0 ... จริงๆ,
[ก, ข] + 0 = [ก, ข] + = [a +1, b +1] = [ก, ข].
สุดท้าย - [ ก, ข] = [b, ก]. จริงๆ,
[ก, ข] + [b, ก] = [a + b, b + a] = = 0 .
ตอนนี้เรามาตรวจสอบสัจพจน์ส่วนขยาย ควรระลึกไว้เสมอว่าในวงแหวนที่สร้างขึ้นนั้นไม่มีตัวเลขธรรมชาติเช่นนี้เนื่องจากองค์ประกอบของแหวนเป็นคลาสของจำนวนธรรมชาติที่เป็นคู่ ดังนั้นจึงต้องหา isomorphic subalgebra เพื่อเซมิริ่งของจำนวนธรรมชาติ ที่นี่อีกครั้งความคิดของคู่ [ ก, ข] เป็นความแตกต่าง ก - ข... จำนวนธรรมชาติ n สามารถแสดงเป็นความแตกต่างของค่าธรรมชาติสองค่าตัวอย่างเช่นดังนี้: n = (n + 1) - 1. ดังนั้นโจทย์จึงเกิดขึ้นเพื่อสร้างการโต้ตอบ ฉ: น ® Z ตามกฎ
ฉ(n) = [n + 1, 1].
การจับคู่นี้เป็นแบบฉีด:
ฉ(n) = ฉ(ม) Þ [ n + 1, 1]= [ม + 1, 1] Þ ( n + 1) + 1= 1 + (ม + 1) Þ n \u003d ม.
ดังนั้นเราจึงมีการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่าง น และชุดย่อยบางส่วน Zซึ่งเราแสดงโดย N *... ตรวจสอบว่าบันทึกการดำเนินการ:
ฉ(n) + ฉ(ม) = [n + 1, 1]+ [ม + 1, 1] = [n + m +2, 2]= [n + ม+ 1, 1] = ฉ(n + ม);
ฉ(n) × ฉ(ม) = [n + 1, 1] × [ ม + 1, 1] = [นาโนเมตร + น + m +2, n + m +2]= [นาโนเมตร+ 1, 1] = ฉ(นาโนเมตร).
ดังนั้นจึงมีการจัดตั้งขึ้นว่า N * แบบฟอร์มใน Z เกี่ยวกับการดำเนินการของการบวกและการคูณ isomorphic subalgebra น
เราหมายถึงคู่ [ n +1, 1] จาก N * nข้าม n ก, ข] เรามี
[ก, ข] = [ก + 1, 1] + = [ก + 1, 1] – [ข + 1, 1] = ก – ข .
ดังนั้นในที่สุดแนวคิดของคู่ [ ก, ข] เป็นผลต่างของจำนวนธรรมชาติ ในขณะเดียวกันก็เป็นที่ยอมรับว่าแต่ละองค์ประกอบจากชุดที่สร้างขึ้น Z แสดงเป็นผลต่างของค่าธรรมชาติสองค่า สิ่งนี้จะช่วยในการตรวจสอบสัจพจน์ขั้นต่ำ
ปล่อย ม -ชุดย่อย Z, ที่มี N *และร่วมกับองค์ประกอบต่างๆ ก และ ข ความแตกต่างของพวกเขา ก - ข... ให้เราพิสูจน์ว่าในกรณีนี้ M \u003dZ... แท้จริงองค์ประกอบใด ๆ จาก Z แสดงเป็นผลต่างของจำนวนธรรมชาติสองจำนวนซึ่งโดยเงื่อนไขเป็นของ ม พร้อมกับความแตกต่าง
Z
ทฤษฎีบท 2.ทฤษฎีสัจพจน์ของจำนวนเต็มเป็นแบบเด็ดขาด
หลักฐาน. ให้เราพิสูจน์ว่าแบบจำลองสองแบบใด ๆ ที่สัจพจน์ทั้งหมดของทฤษฎีนี้ถือเป็นไอโซมอร์ฟิก
ให้ข Z 1, +, ×, น 1 ñและá Z 2, +, ×, น 2 ñ - สองแบบจำลองของทฤษฎีของเรา พูดอย่างเคร่งครัดการดำเนินการในนั้นควรแสดงด้วยสัญลักษณ์ที่แตกต่างกัน เราจะย้ายออกไปจากข้อกำหนดนี้เพื่อไม่ให้การคำนวณยุ่งเหยิง: ทุกครั้งที่มีความชัดเจนว่าเรากำลังพูดถึงการดำเนินการประเภทใด องค์ประกอบที่เป็นของแบบจำลองที่อยู่ระหว่างการพิจารณาจะมาพร้อมกับดัชนี 1 หรือ 2 ที่เกี่ยวข้อง
เราจะกำหนดการแมปไอโซมอร์ฟิกของโมเดลแรกกับโมเดลที่สอง เช่น น 1 และ น 2 คือเซมิริงของจำนวนธรรมชาติจากนั้นจึงมีการแม็ปไอโซมอร์ฟิก j ของเซมิริงแรกไปยังวินาที เรากำหนดการทำแผนที่ ฉ: Z 1 ® Z 2. ทุกจำนวนเต็ม x 1 Î Z 1 แสดงเป็นผลต่างของค่าธรรมชาติสองค่า:
x 1 \u003d ก 1 - ข หนึ่ง. พวกเราเชื่อว่า
ฉ (x 1) \u003d j ( ก 1) – เจ ( ข 1).
ให้เราพิสูจน์ว่า ฉ - ไอโซมอร์ฟิซึม การแมปถูกกำหนดไว้อย่างถูกต้อง: if x 1 = ที่ 1 ที่ไหน ย 1 = ค 1 – ง 1 แล้ว
ก 1 - ข 1 = ค 1 – ง 1 Þ ก 1 + ง 1 = ข 1 + ค 1 Þ j ( ก 1 + ง 1) \u003d j ( ข 1 + ค 1) Þ
Þ j ( ก 1) + เจ ( ง 1) \u003d j ( ข 1) + j ( ค 1) Þ j ( ก 1) - j ( ข 1) \u003d j ( ค 1) - j ( ง 1) Þ ฉ(x 1) = ฉ (ย 1).
ดังนั้นจึงเป็นไปตามนั้น ฉ - การทำแผนที่ที่ไม่ชัดเจน Z 1 นิ้ว Z 2. แต่สำหรับใคร x 2 จาก Z สามารถพบองค์ประกอบทางธรรมชาติ 2 รายการ ก 2 และ ข 2 เช่นนั้น x 2 \u003d ก 2 - ข 2. เนื่องจาก j เป็นไอโซมอร์ฟิซึมองค์ประกอบเหล่านี้จึงมีรูปผกผัน ก 1 และ ข หนึ่ง. ดังนั้น x 2 \u003d เจ ( ก 1) –
เจ ( ข 1) =
= ฉ (ก 1 - ข 1) และแต่ละองค์ประกอบจาก Z 2 เป็นต้นแบบ ดังนั้นการติดต่อ ฉ หนึ่งต่อหนึ่ง. ตรวจสอบว่าบันทึกการดำเนินงาน
ถ้า x 1 \u003d ก 1 - ข 1 , ย 1 \u003d ค 1 - ง 1 แล้ว
x 1 + ย 1 = (ก 1 + ค 1) – (ข 1 + ง 1),
ฉ(x 1 + ย 1) \u003d j ( ก 1 + ค 1) – เจ ( ข 1 + ง 1) \u003d j ( ก 1) + j ( ค 1) – เจ ( ข 1) – เจ ( ง 1) =
เจ ( ก 1) – เจ ( ข 1) + j ( ค 1)– เจ ( ง 1) = ฉ(x 1) + ฉ(ย 1).
มีการตรวจสอบในทำนองเดียวกันว่าการคูณถูกเก็บรักษาไว้ ดังนั้นจึงมีการจัดตั้งขึ้นว่า ฉ เป็น isomorphism และมีการพิสูจน์ทฤษฎีบท
การออกกำลังกาย
1. พิสูจน์ว่าวงแหวนใด ๆ ที่มีระบบของจำนวนธรรมชาติรวมถึงวงแหวนของจำนวนเต็มด้วย
2. พิสูจน์ว่าวงแหวนสับเปลี่ยนลำดับขั้นต่ำทุกวงที่มีเอกภาพมีค่า isomorphic กับวงแหวนของจำนวนเต็ม
3. พิสูจน์ว่าแหวนที่เรียงลำดับทุกวงที่มีเอกภาพและไม่มีตัวหารศูนย์มีและมีไอโซมอร์ฟิกย่อยเพียงตัวเดียวสำหรับวงแหวนของจำนวนเต็ม
4. พิสูจน์ว่าวงแหวนของเมทริกซ์ลำดับที่สองเหนือเขตข้อมูลของจำนวนจริงมีไอโซมอร์ฟิกย่อยจำนวนมากกับวงแหวนของจำนวนเต็ม
ฟิลด์จำนวนเหตุผล
ความหมายและการสร้างระบบของจำนวนตรรกยะนั้นดำเนินการในลักษณะเดียวกับที่ทำกับระบบจำนวนเต็ม
คำจำกัดความระบบจำนวนตรรกยะเป็นเขตข้อมูลขั้นต่ำที่เป็นส่วนขยายของวงแหวนของจำนวนเต็ม
ตามคำจำกัดความนี้เราได้รับการสร้างระบบตัวเลขที่มีเหตุผลตามความเป็นจริงดังต่อไปนี้
เงื่อนไขหลัก:
ถาม - ชุดตัวเลขที่มีเหตุผล
0, 1 - ค่าคงที่;
+, × - เปิดการดำเนินการไบนารี ถาม;
Z - ชุดย่อย ถามชุดของจำนวนเต็ม
Е, Д - เปิดการดำเนินการไบนารี Z.
สัจพจน์:
ผม. สัจพจน์ของสนาม.
(Q1) ก+ (b + c) = (a + b) + ค.
(Q2) a + b \u003d b + ก.
(Q3) (" ก) ก + 0 = ก.
(Q4) (" ก)($(–ก)) ก + (–ก) = 0.
(Q5) ก× ( ข× ค) = (ก× ข) × ค.
(Q6) ก× b \u003d ข× ก.
(Q7) ก × 1 \u003d ก.
(Q8) (" ก¹ 0)($ ก –1) ก × ก –1 = 1.
(Q9) ( a + b) × c \u003d a × c + b× ค.
II. สัจพจน์ส่วนขยาย.
(Q10) á Z, M, L, 0, 1ñคือวงแหวนของจำนวนธรรมชาติ
(Q11) Z Í ถาม.
(Q12) (" ก, ขÎ Z) a + b \u003d aÅ ข.
(Q13) (" ก, ขÎ Z) ก× b \u003d กÄ ข.
สาม. สัจพจน์ขั้นต่ำ.
(Q14) มÍ ถาม, ZÍ ม, ("ก, ขÎ ม)(ข ¹ 0 ® ก× ข –1 Î ม)Þ ม = ถาม.
จำนวน ก× ข -1 เรียกว่าผลหาร ก และ ข, แสดง ก/ข หรือ .
ทฤษฎีบท 1.จำนวนตรรกยะใด ๆ จะแสดงเป็นผลหารของจำนวนเต็มสองจำนวน
หลักฐาน. ปล่อย ม - ชุดของจำนวนตรรกยะซึ่งแสดงเป็นผลหารของจำนวนเต็มสองจำนวน ถ้า n - ทั้งหมดแล้ว n \u003d n/ 1 เป็นของ มด้วยเหตุนี้ ZÍ ม... ถ้า ก, ขÎ มแล้ว a \u003d k/ ล. ข \u003d ม/ n,ที่ไหน k, ล., ม., นÎ Z... ดังนั้น ก/ ข=
= (น) / (lm)Î ม... โดย axiom (Q14) ม= ถามและมีการพิสูจน์ทฤษฎีบท
ทฤษฎีบท 2.เขตข้อมูลของจำนวนตรรกยะสามารถเรียงลำดับได้อย่างตรงไปตรงมาและเคร่งครัดและไม่ซ้ำกัน ลำดับในฟิลด์ของจำนวนตรรกยะคืออาร์คิมีดีสและเรียงลำดับต่อไปในวงแหวนของจำนวนเต็ม
หลักฐาน. ให้เราแสดงโดย ถาม + ชุดตัวเลขแสดงเป็นเศษส่วนโดยที่ kl \u003e 0 เห็นได้ง่ายว่าเงื่อนไขนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับประเภทของเศษส่วนที่เป็นตัวแทนของจำนวน
ให้เราตรวจสอบว่า ถาม + – ส่วนบวกของสนาม ถาม... ตั้งแต่สำหรับจำนวนเต็ม kl เป็นไปได้สามกรณี: kl = 0, klÎ น, –kl Î นจากนั้นสำหรับ a \u003d เราได้หนึ่งในสามความเป็นไปได้: a \u003d 0, aÎ ถาม +, –AÎ ถาม + ... นอกจากนี้ถ้า a \u003d, b \u003d เป็นของ ถาม + แล้ว kl > 0, mn \u003e 0 แล้ว a + b \u003d และ ( kn + มล)ln \u003d kln 2 + mnl 2\u003e 0. ดังนั้น a + bÎ ถาม + ... มีการตรวจสอบในทำนองเดียวกันว่าabÎ ถาม + ... ทางนี้, ถาม + - ส่วนบวกของสนาม ถาม.
ปล่อย ถาม ++ - ส่วนบวกใด ๆ ของฟิลด์นี้ เรามี
l \u003d .l 2 Î ถาม ++ .
จากที่นี่ นÍ ถาม ++. ตามทฤษฎีบท 2.3.4 ตัวเลขที่ผกผันกับจำนวนธรรมชาติก็เป็นของ ถาม ++. แล้ว ถาม + Í ถาม ++. โดย Theorem 2.3.6 ถาม + =ถาม ++. ดังนั้นคำสั่งที่กำหนดโดยส่วนบวกก็ตรงกันเช่นกัน ถาม + และ ถาม ++ .
เช่น Z + = นÍ ถาม + ตามด้วยลำดับใน ถาม ยังคงสั่งซื้อใน Z.
ตอนนี้ให้ a \u003d\u003e 0, b \u003d\u003e 0 เนื่องจากลำดับในวงแหวนของจำนวนเต็มคืออาร์คิมีดีสดังนั้นสำหรับค่าบวก นและ มล มีความเป็นธรรมชาติ จาก ดังนั้น จาก× น> มล... จากที่นี่ จากa \u003d จาก \u003e \u003d b. ดังนั้นลำดับในฟิลด์ของจำนวนตรรกยะคืออาร์คิมิดีส
การออกกำลังกาย
1. พิสูจน์ว่าเขตข้อมูลของจำนวนตรรกยะมีความหนาแน่นนั่นคือสำหรับจำนวนตรรกยะใด ๆ ก < ข มีเหตุผล ร ดังนั้น ก < ร < ข.
2. พิสูจน์ว่าสมการ x 2 = 2 ไม่มีวิธีแก้ปัญหาใน ถาม.
3. พิสูจน์ว่าชุด ถาม นับได้
ทฤษฎีบท 3.ทฤษฎีสัจพจน์ของจำนวนตรรกยะมีความสอดคล้องกัน
หลักฐาน. ความสอดคล้องของทฤษฎีสัจพจน์ของจำนวนตรรกยะได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกับจำนวนเต็ม ด้วยเหตุนี้แบบจำลองจึงถูกสร้างขึ้นโดยใช้สัจพจน์ทั้งหมดของทฤษฎี
เราใช้เป็นพื้นฐานของชุด
Z´ Z * = {(ก, ข)ï ก, ขÎ Z, ข ¹ 0}.
องค์ประกอบของชุดนี้เป็นคู่ ( ก, ข) จำนวนเต็ม โดยคู่ดังกล่าวเราหมายถึงผลหารของจำนวนเต็ม ก/ข... ตามนี้เราตั้งค่าคุณสมบัติของคู่
แนะนำเกี่ยวกับชุด Z´ Z * ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน:
(ก, ข) = (ค, ง) Û ad \u003d bc.
เราสังเกตว่ามันเป็นความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันและมีสิทธิที่จะเรียกว่าความเท่าเทียมกัน กำหนดปัจจัย Z´ Z * เกี่ยวกับความสัมพันธ์ความเท่าเทียมกันนี้เราแสดงโดย ถาม... องค์ประกอบของมันจะถูกเรียกว่าจำนวนตรรกยะ ชั้นเรียนที่มีคู่ ( ก, ข) เราแสดงโดย [ ก, ข].
แนะนำในชุดที่สร้างขึ้น ถาม การบวกและการคูณ การแสดงองค์ประกอบ [ ก, ข] เป็นส่วนตัว ก/ ข... ตามนี้เราถือว่าตามความหมาย:
[ก, ข] + [ค, ง] = [ad + bc, bd];
[ก, ข] × [ ค, ง] = [ac, bd].
เราตรวจสอบความถูกต้องของคำจำกัดความของการดำเนินการเหล่านี้กล่าวคือผลลัพธ์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกองค์ประกอบ กและ ขการกำหนดคู่ [ ก, ข]. สิ่งนี้ทำในลักษณะเดียวกับในการพิสูจน์ Theorem 3.2.1
ทั้งคู่มีบทบาทเป็นศูนย์ เราแสดงโดย 0 ... จริงๆ,
[ก, ข] + 0 = [ก, ข] + = [ก×1 + 0 × b, b ×1] = [ก, ข].
ตรงข้ามกับ [ ก, ข] เป็นคู่ - [ ก, ข] = [–ก, ข]. จริงๆ,
[ก, ข] + [–ก, ข]= [ab - ab, bb] = = 0 .
หน่วยเป็นคู่ \u003d 1 ... ผกผันของคู่ [ ก, ข] - คู่ [ b, ก].
ตอนนี้เรามาตรวจสอบสัจพจน์ส่วนขยาย มาสร้างการติดต่อกัน
ฉ: Z ® ถาม ตามกฎ
ฉ(n) = [n, 1].
เราตรวจสอบว่านี่เป็นการโต้ตอบแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่าง Z และชุดย่อยบางส่วน ถามซึ่งเราแสดงโดย Z *... เราตรวจสอบเพิ่มเติมว่ามันรักษาการทำงานซึ่งหมายความว่ามันสร้างไอโซมอร์ฟิซึมระหว่าง Zและการย่อย Z * ใน ถาม... ดังนั้นสัจพจน์ส่วนขยายจึงได้รับการตรวจสอบแล้ว
เราหมายถึงคู่ [ n, 1] จาก Z *สอดคล้องกับจำนวนธรรมชาติ nข้าม n ... จากนั้นสำหรับคู่โดยพลการ [ ก, ข] เรามี
[ก, ข] = [ก,1] × \u003d [ ก,1] / [ข,1] = ก /ข .
ดังนั้นแนวคิดของคู่ [ ก, ข] เป็นผลหารของจำนวนเต็ม ในขณะเดียวกันก็เป็นที่ยอมรับว่าแต่ละองค์ประกอบจากชุดที่สร้างขึ้น ถาม แสดงเป็นส่วนตัวของสองขายส่ง สิ่งนี้จะช่วยในการตรวจสอบสัจพจน์ขั้นต่ำ การตรวจสอบจะดำเนินการตามทฤษฎีบท 3.2.1
ดังนั้นสำหรับระบบที่สร้างขึ้น ถาม สัจพจน์ทั้งหมดของทฤษฎีจำนวนเต็มได้รับการตอบสนองนั่นคือเราได้สร้างแบบจำลองของทฤษฎีนี้ ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
ทฤษฎีบท 4.ทฤษฎีสัจพจน์ของจำนวนตรรกยะเป็นหมวดหมู่
การพิสูจน์นั้นคล้ายกับการพิสูจน์ทฤษฎีบท 3.2.2
ทฤษฎีบท 5.ฟิลด์ตามลำดับของอาร์คิมีดีนเป็นส่วนขยายของฟิลด์ของตัวเลขที่มีเหตุผล
หลักฐาน - เป็นการออกกำลังกาย
ทฤษฎีบท 6.ปล่อย ฉ - เขตข้อมูลคำสั่งของอาร์คิมีดีน ก > ข,ที่ไหน ก, ขÎ ฉ... มีจำนวนตรรกยะÎ ฉ ดังนั้น ก > > ข.
หลักฐาน. ปล่อย ก > ข ³ 0. แล้ว ก - ข\u003e 0 และ ( ก - ข) –1\u003e 0. มีความเป็นธรรมชาติ t ดังนั้น ม× 1\u003e ( ก - ข) –1, เพราะอะไร ม –1 < ก - ข £ ก... นอกจากนี้ยังมีธรรมชาติ k ดังนั้น k× ม –1 ³ ก... ปล่อย k เป็นจำนวนที่น้อยที่สุดที่อสมการนี้มีอยู่ เช่น k \u003e 1 จากนั้นเราสามารถใส่ k \u003d n + 1, n Î น... ประเด็น
(n + 1) × ม –1 ³ ก, n× ม –1 < ก... ถ้า n× ม –1 £ ขแล้ว ก = ข + (ก - ข) > b + ม –1 ³ n× ม –1 + ม –1 =
= (n + 1) × ม - หนึ่ง. ความขัดแย้ง. ดังนั้น ก > n× ม –1 > ข.
การออกกำลังกาย
4. พิสูจน์ว่าเขตข้อมูลใด ๆ ที่มีวงแหวนของจำนวนเต็มรวมถึงเขตข้อมูลของจำนวนตรรกยะด้วย
5. พิสูจน์ว่าทุกเขตข้อมูลที่เรียงลำดับขั้นต่ำคือ isomorphic สำหรับเขตข้อมูลของจำนวนตรรกยะ
ตัวเลขจริง
สำหรับจำนวนจริงแสดงโดย (ที่เรียกว่าสับ R) จะมีการเพิ่มการดำเนินการเพิ่มเติม ("+") นั่นคือแต่ละคู่ขององค์ประกอบ ( x,ย) จากชุดของจำนวนจริงองค์ประกอบ x + ย จากชุดเดียวกันเรียกว่าผลรวม x และ ย .
สัจพจน์การคูณ
การดำเนินการของการคูณ ("·") ได้รับการแนะนำนั่นคือสำหรับแต่ละคู่ขององค์ประกอบ ( x,ย) จากชุดของจำนวนจริงองค์ประกอบ (หรือเรียกสั้น ๆ ว่า xย ) จากชุดเดียวกันเรียกว่าผลิตภัณฑ์ x และ ย .
ความสัมพันธ์ระหว่างการบวกและการคูณ
สัจพจน์สั่งซื้อ
ตามลำดับความสัมพันธ์ที่ระบุ "" (น้อยกว่าหรือเท่ากัน) นั่นคือสำหรับคู่ใด ๆ x, y จากเงื่อนไขอย่างน้อยหนึ่งข้อหรือ
ความสัมพันธ์ของลำดับและความสัมพันธ์เพิ่มเติม
ความสัมพันธ์ของลำดับและการคูณ
สัจพจน์แห่งความต่อเนื่อง
แสดงความคิดเห็น
สัจพจน์นี้หมายความว่าถ้า X และ ย - ชุดจำนวนจริงที่ไม่ว่างเปล่าสองชุดซึ่งมาจากองค์ประกอบใด ๆ X ไม่เกินองค์ประกอบใด ๆ จาก ยจากนั้นสามารถแทรกจำนวนจริงระหว่างชุดเหล่านี้ได้ สัจพจน์นี้ไม่ถือเป็นตัวเลขที่มีเหตุผล ตัวอย่างคลาสสิก: พิจารณาจำนวนเหตุผลเชิงบวกและอ้างถึงชุด X จำนวนที่มีกำลังสองน้อยกว่า 2 ส่วนที่เหลือ - k ย... แล้วระหว่าง X และ ย คุณไม่สามารถแทรกตัวเลขที่เป็นเหตุเป็นผลได้ (ไม่ใช่ตัวเลขที่มีเหตุผล)
สัจพจน์ที่สำคัญนี้ให้ความหนาแน่นและทำให้สามารถสร้างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ได้ เพื่อแสดงให้เห็นถึงความสำคัญขอให้เราชี้ให้เห็นผลพื้นฐานสองประการของมัน
ผลที่ตามมาของสัจพจน์
คุณสมบัติที่สำคัญบางประการของจำนวนจริงตามมาจากสัจพจน์โดยตรงตัวอย่างเช่น
- เอกลักษณ์ของศูนย์
- เอกลักษณ์ขององค์ประกอบที่ตรงกันข้ามและตรงข้าม
วรรณคดี
- Zorich V.A. การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เล่ม I.M .: Fazis, 1997, บทที่ 2
ดูสิ่งนี้ด้วย
ลิงค์
มูลนิธิวิกิมีเดีย พ.ศ. 2553.
ดูว่า "สัจพจน์ของจำนวนจริง" คืออะไรในพจนานุกรมอื่น ๆ :
จำนวนจริงหรือจำนวนจริงเป็นนามธรรมทางคณิตศาสตร์ที่เกิดขึ้นจากความต้องการในการวัดปริมาณทางเรขาคณิตและทางกายภาพของโลกโดยรอบตลอดจนการดำเนินการต่างๆเช่นการแยกรากการคำนวณลอการิทึมการแก้ ... ... Wikipedia
จำนวนจริงหรือจำนวนจริงสิ่งที่เป็นนามธรรมทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งการให้บริการเพื่อแสดงและเปรียบเทียบค่าของปริมาณทางกายภาพ ตัวเลขดังกล่าวสามารถแสดงโดยสัญชาตญาณในการอธิบายตำแหน่งของจุดบนเส้น ... ...
จำนวนจริงหรือจำนวนจริงสิ่งที่เป็นนามธรรมทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งการให้บริการเพื่อแสดงและเปรียบเทียบค่าของปริมาณทางกายภาพ ตัวเลขดังกล่าวสามารถแสดงโดยสัญชาตญาณในการอธิบายตำแหน่งของจุดบนเส้น ... ...
จำนวนจริงหรือจำนวนจริงสิ่งที่เป็นนามธรรมทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งการให้บริการเพื่อแสดงและเปรียบเทียบค่าของปริมาณทางกายภาพ ตัวเลขดังกล่าวสามารถแสดงโดยสัญชาตญาณในการอธิบายตำแหน่งของจุดบนเส้น ... ...
จำนวนจริงหรือจำนวนจริงสิ่งที่เป็นนามธรรมทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งการให้บริการเพื่อแสดงและเปรียบเทียบค่าของปริมาณทางกายภาพ ตัวเลขดังกล่าวสามารถแสดงโดยสัญชาตญาณในการอธิบายตำแหน่งของจุดบนเส้น ... ...
จำนวนจริงหรือจำนวนจริงสิ่งที่เป็นนามธรรมทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งการให้บริการเพื่อแสดงและเปรียบเทียบค่าของปริมาณทางกายภาพ ตัวเลขดังกล่าวสามารถแสดงโดยสัญชาตญาณในการอธิบายตำแหน่งของจุดบนเส้น ... ...
จำนวนจริงหรือจำนวนจริงสิ่งที่เป็นนามธรรมทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งการให้บริการเพื่อแสดงและเปรียบเทียบค่าของปริมาณทางกายภาพ ตัวเลขดังกล่าวสามารถแสดงโดยสัญชาตญาณในการอธิบายตำแหน่งของจุดบนเส้น ... ...
วิกิพจนานุกรมมีบทความ "สัจพจน์" Axiom (ภาษากรีกอื่น ๆ ... Wikipedia
สัจพจน์ที่เกิดขึ้นในระบบสัจพจน์ต่างๆ สัจพจน์ของจำนวนจริงสัจพจน์ของฮิลเบิร์ตเกี่ยวกับเรขาคณิตแบบยุคลิด
กำลังโหลด ...