การกำหนดค่าสูงสุดของฟังก์ชัน ฟังก์ชัน Extremum

อัลกอริทึมง่ายๆสำหรับการค้นหาจุดที่รุนแรง

• หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
• หาอนุพันธ์นี้เป็นศูนย์
• ค้นหาค่าของตัวแปรของนิพจน์ผลลัพธ์ (ค่าของตัวแปรที่อนุพันธ์ถูกแปลงเป็นศูนย์)
• เราแบ่งเส้นพิกัดออกเป็นช่วงเวลาด้วยค่าเหล่านี้ (ในกรณีนี้อย่าลืมเกี่ยวกับจุดพักซึ่งต้องใช้กับเส้นด้วย) จุดทั้งหมดนี้เรียกว่าจุด "น่าสงสัย" สำหรับปลายสุด
• เราคำนวณช่วงเวลาเหล่านี้ที่อนุพันธ์จะเป็นบวกและลบ ในการทำเช่นนี้คุณต้องแทนที่ค่าจากช่วงเวลาเป็นอนุพันธ์

ในประเด็นที่น่าสงสัยเกี่ยวกับอาการสุดขั้วมีความจำเป็นต้องค้นหาให้ถูกต้อง ในการทำเช่นนี้เราจะดูช่วงเวลาของเราบนเส้นพิกัด ถ้าเมื่อผ่านจุดหนึ่งเครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจากบวกเป็นลบจุดนี้จะเป็น ขีดสุดและถ้าจากลบถึงบวกแล้ว ขั้นต่ำ.

ในการหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันคุณต้องคำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของส่วนและที่จุดสุดขั้ว จากนั้นเลือกค่าสูงสุดและต่ำสุด

ลองพิจารณาตัวอย่าง
ค้นหาอนุพันธ์และนำมันไปหารศูนย์:

ค่าผลลัพธ์ของตัวแปรจะถูกพล็อตบนเส้นพิกัดและคำนวณเครื่องหมายของอนุพันธ์ในแต่ละช่วงเวลา ตัวอย่างเช่นก่อนอื่นมาดูกัน-2 แล้วอนุพันธ์จะเป็น-0,24 สำหรับวินาทีที่เราใช้0 แล้วอนุพันธ์จะเป็น2 และสำหรับครั้งที่สามเรารับ2 แล้วอนุพันธ์จะเป็น-0.24. เราลงป้ายที่เหมาะสม

เราจะเห็นว่าเมื่อผ่านจุด -1 อนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจากลบไปเป็นบวกนั่นคือมันจะเป็นจุดต่ำสุดและเมื่อผ่าน 1 - จากบวกไปยังลบตามลำดับนี่คือจุดสูงสุด

ทฤษฎีบท. (เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการดำรงอยู่ของสุดขั้ว) ถ้าฟังก์ชัน f (x) แตกต่างกันได้ที่จุด x \u003d x 1 และจุด x 1 เป็นจุดสุดขั้วอนุพันธ์ของฟังก์ชันจะหายไป ณ จุดนี้

หลักฐาน. สมมติว่าฟังก์ชัน f (x) มีค่าสูงสุดที่จุด x \u003d x 1

จากนั้นสำหรับค่าบวกที่น้อยพอ Dx\u003e 0 อสมการต่อไปนี้เป็นจริง:

ตามความหมาย:

เหล่านั้น. ถ้าDx®0 แต่ Dx<0, то f¢(x 1) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0 แล้ว f ¢ (x 1) £ 0

และจะเป็นไปได้ก็ต่อเมื่ออยู่ที่Dх®0 f ¢ (x 1) \u003d 0

สำหรับกรณีที่ฟังก์ชัน f (x) มีค่าต่ำสุดที่จุด x 2 จะมีการพิสูจน์ทฤษฎีบทในทำนองเดียวกัน

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ผลที่ตามมา คอนเวิร์สไม่เป็นความจริง หากอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดใดจุดหนึ่งมีค่าเท่ากับศูนย์ก็ไม่ได้หมายความว่า ณ จุดนี้ฟังก์ชันนั้นมีค่าปลายสุด ตัวอย่างที่คมชัดของสิ่งนี้คือฟังก์ชัน y \u003d x 3 ซึ่งเป็นอนุพันธ์ที่จุด x \u003d 0 เป็นศูนย์ แต่ ณ จุดนี้ฟังก์ชันมีเพียงการเบี่ยงเบนเท่านั้นไม่ใช่ค่าสูงสุดหรือต่ำสุด

คำจำกัดความ จุดวิกฤต ฟังก์ชันเรียกว่าจุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันไม่มีอยู่หรือเท่ากับศูนย์

ทฤษฎีบทที่พิจารณาข้างต้นทำให้เรามีเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการดำรงอยู่ของสุดขั้ว แต่ยังไม่เพียงพอ

ตัวอย่าง: f (x) \u003d ôxô ตัวอย่าง: f (x) \u003d

y y

ที่จุด x \u003d 0 ฟังก์ชันมีค่าต่ำสุด แต่ที่จุด x \u003d 0 ฟังก์ชันไม่มีทั้งสองอย่าง

ไม่มีอนุพันธ์ สูงสุดไม่มีขั้นต่ำไม่มีการผลิต

โดยทั่วไปแล้วฟังก์ชัน f (x) สามารถมีค่าสุดขั้วที่จุดที่อนุพันธ์ไม่มีอยู่หรือเท่ากับศูนย์

ทฤษฎีบท. (เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการดำรงอยู่ของสุดขั้ว)

ให้ฟังก์ชัน f (x) ต่อเนื่องกันในช่วงเวลา (a, b) ซึ่งมีจุดวิกฤต x 1 และแตกต่างกันได้ทุกจุดของช่วงเวลานี้ (ยกเว้นบางทีจุด x 1 เอง)

ถ้าเมื่อผ่านจุด x 1 จากซ้ายไปขวาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f“ (x) เปลี่ยนเครื่องหมายจาก“ +” เป็น“ -“ ดังนั้นที่จุด x \u003d x 1 ฟังก์ชัน f (x) จะมีค่าสูงสุดและหากอนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจาก“ - “ เปิด“ +” - จากนั้นฟังก์ชันจะมีค่าต่ำสุด

หลักฐาน.

ให้เป็น

ตามทฤษฎีบทของ Lagrange: f (x) - f (x 1) \u003d f ¢ (จ) (x - x 1), โดยที่ x< e < x 1 .

จากนั้น: 1) ถ้า x< x 1 , то e < x 1 ; f¢(e)>0; f ¢ (จ) (x - x 1)<0, следовательно

f (x) - ฉ (x 1)<0 или f(x) < f(x 1).

2) ถ้า x\u003e x 1 ดังนั้น e\u003e x 1 f ¢ (e)<0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно

f (x) - ฉ (x 1)<0 или f(x) < f(x 1).

เนื่องจากคำตอบเหมือนกันเราจึงพูดได้ว่า f (x)< f(x 1) в любых точках вблизи х 1 , т.е. х 1 – точка максимума.

การพิสูจน์ทฤษฎีบทสำหรับจุดต่ำสุดนั้นคล้ายคลึงกัน

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

จากข้อมูลข้างต้นคุณสามารถหาขั้นตอนแบบรวมเพื่อค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันในเซ็กเมนต์:

1) ค้นหาจุดวิกฤตของฟังก์ชัน

2) ค้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุดวิกฤต

3) ค้นหาค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์

4) เลือกระหว่างค่าที่ได้รับมากที่สุดและน้อยที่สุด

การตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับแขนขาโดยใช้

อนุพันธ์ของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้น

ให้ที่จุด x \u003d x 1 f ¢ (x 1) \u003d 0 และ f ¢¢ (x 1) มีอยู่และต่อเนื่องกันในบางย่านของจุด x 1

ทฤษฎีบท. ถ้า f ¢ (x 1) \u003d 0 ดังนั้นฟังก์ชัน f (x) ที่จุด x \u003d x 1 จะมีค่าสูงสุดถ้า f ¢¢ (x 1)<0 и минимум, если f¢¢(x 1)>0.

หลักฐาน.

ให้ f ¢ (x 1) \u003d 0 และ f ¢¢ (x 1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x 1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х 1 .

เพราะ f ¢¢ (x) \u003d (f ¢ (x)) ¢< 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х 1 , но f¢(x 1)=0, т.е. f¢(x) > 0 ที่ x x 1. ซึ่งหมายความว่าเมื่อผ่านจุดх \u003d х 1 อนุพันธ์ f ¢ (x) จะเปลี่ยนเครื่องหมายจาก“ +” เป็น“ -“ นั่นคือ

ณ จุดนี้ฟังก์ชัน f (x) มีค่าสูงสุด

สำหรับกรณีของฟังก์ชันขั้นต่ำทฤษฎีบทจะได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกัน

ถ้า f ¢¢ (x) \u003d 0 จะไม่ทราบลักษณะของจุดวิกฤต จำเป็นต้องมีการวิจัยเพิ่มเติมเพื่อตรวจสอบ

ความนูนและความเว้าของเส้นโค้ง

จุดเปลี่ยน

คำจำกัดความ โค้งหันหน้าไปทางนูน ขึ้น ในช่วงเวลา (a, b) หากจุดทั้งหมดอยู่ต่ำกว่าสัมผัสใด ๆ ในช่วงเวลานี้ เส้นโค้งที่หันขึ้นด้านบนเรียกว่า นูนและเส้นโค้งที่หันลงด้านล่างเรียกว่า เว้า.

ที่

รูปแสดงภาพประกอบของคำจำกัดความข้างต้น

ทฤษฎีบท 1. ถ้าทุกจุดของช่วงเวลา (a, b) อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน f (x) เป็นลบเส้นโค้ง y \u003d f (x) จะนูนขึ้น (นูน)

หลักฐาน. ให้ x 0 Î (a, b) ลากเส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง ณ จุดนี้

สมการเส้นโค้ง: y \u003d f (x);

สมการแทนเจนต์:

ก็ควรจะพิสูจน์ได้ว่า

ตามทฤษฎีบทของ Lagrange สำหรับ f (x) - f (x 0) :, x 0< c < x.

ตามทฤษฎีบทของ Lagrange สำหรับ

ให้ x\u003e x 0 แล้ว x 0< c 1 < c < x. Т.к. x – x 0 > 0 และ c - x 0\u003e 0 และนอกจากนี้ตามเงื่อนไข

ดังนั้น.

ให้ x< x 0 тогда x < c < c 1 < x 0 и x – x 0 < 0, c – x 0 < 0, т.к. по условию то

สามารถพิสูจน์ได้ในทำนองเดียวกันว่าถ้า f ¢¢ (x)\u003e 0 ในช่วงเวลา (a, b) เส้นโค้ง y \u003d f (x) จะเว้าในช่วงเวลา (a, b)

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

คำจำกัดความ จุดที่แยกส่วนนูนของส่วนโค้งออกจากส่วนเว้าเรียกว่า จุดสะท้อน.

เห็นได้ชัดว่าที่จุดเบี่ยงเบนแทนเจนต์ตัดกับเส้นโค้ง

ทฤษฎีบท 2. ให้เส้นโค้งกำหนดโดยสมการ y \u003d f (x) ถ้าอนุพันธ์อันดับสอง f ¢¢ (a) \u003d 0 หรือ f ¢¢ (a) ไม่มีอยู่และเมื่อผ่านจุด x \u003d a f ¢¢ (x) จะเปลี่ยนเครื่องหมายจุดของเส้นโค้งที่มี abscissa x \u003d a เป็นจุดเบี่ยงเบน

หลักฐาน. 1) ให้ f ¢¢ (x)< 0 при х < a и f¢¢(x) > 0 สำหรับ x\u003e a. จากนั้นที่

x< a кривая выпукла, а при x > เส้นโค้งเว้าเช่น จุด x \u003d a - จุดเบี่ยงเบน

2) ให้ f ¢¢ (x)\u003e 0 สำหรับ x< b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x > b - นูนขึ้น จากนั้น x \u003d b คือจุดผันแปร

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

Asymptotes

ในการศึกษาฟังก์ชั่นมักเกิดขึ้นเมื่อพิกัด x ของจุดของเส้นโค้งเคลื่อนที่ไปยังอินฟินิตี้เส้นโค้งจะเข้าใกล้เส้นตรงไม่ จำกัด

คำจำกัดความ เส้นตรงเรียกว่า เส้นกำกับเส้นโค้งถ้าระยะห่างจากจุดแปรผันของเส้นโค้งถึงเส้นตรงนี้มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์เมื่อจุดเคลื่อนที่ไปไม่มีที่สิ้นสุด

ควรสังเกตว่าไม่ใช่ทุกเส้นโค้งที่มีเส้นกำกับ เส้นกำกับสามารถตรงและเฉียง การศึกษาฟังก์ชันสำหรับการปรากฏตัวของเส้นกำกับมีความสำคัญอย่างยิ่งและช่วยให้คุณสามารถกำหนดลักษณะของฟังก์ชันและพฤติกรรมของกราฟของเส้นโค้งได้แม่นยำยิ่งขึ้น

โดยทั่วไปแล้วเส้นโค้งที่เข้าใกล้เส้นกำกับของมันไปเรื่อย ๆ สามารถตัดกันได้ไม่ใช่ที่จุดใดจุดหนึ่งดังแสดงในกราฟของฟังก์ชันด้านล่าง ... เส้นกำกับเฉียงคือ y \u003d x

ให้เราพิจารณารายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการค้นหาเส้นกำกับของเส้นโค้ง

เส้นกำกับแนวตั้ง

จากนิยามของเส้นกำกับจะเป็นไปตามนั้นถ้าหรือหรือดังนั้นเส้นตรง x \u003d a คือเส้นกำกับของเส้นโค้ง y \u003d f (x)

ตัวอย่างเช่นสำหรับฟังก์ชันเส้น x \u003d 5 คือเส้นกำกับแนวตั้ง

เส้นกำกับแนวเฉียง

สมมติว่าเส้นโค้ง y \u003d f (x) มีเส้นกำกับเฉียง y \u003d kx + b

เราหมายถึงจุดตัดกันของเส้นโค้งและจุดที่ตั้งฉากกับเส้นกำกับ - M, P - จุดตัดของสิ่งนี้ที่ตั้งฉากกับเส้นกำกับ มุมระหว่างเส้นกำกับและแกน Ox แสดงด้วย j МQที่ตั้งฉากกับแกน Ox ตัดกับเส้นกำกับที่จุด N

จากนั้น MQ \u003d y คือลำดับของจุดบนเส้นโค้ง NQ \u003d คือลำดับของจุด N บนเส้นกำกับ

ตามเงื่อนไข:, РNMP \u003d j,.

มุม j จะคงที่และไม่เท่ากับ 90 0 แล้ว

แล้ว .

ดังนั้นเส้นตรง y \u003d kx + b คือเส้นกำกับของเส้นโค้ง ในการกำหนดเส้นตรงนี้อย่างถูกต้องจำเป็นต้องหาวิธีคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ k และ b

ในนิพจน์ผลลัพธ์เราจะนำ x ออกนอกวงเล็บ:

เพราะ х®¥แล้ว ตั้งแต่ b \u003d const แล้ว .

แล้ว , ดังนั้น

.

เพราะ แล้ว , ดังนั้น

โปรดสังเกตว่าเส้นกำกับแนวนอนเป็นกรณีพิเศษของเส้นกำกับแนวเฉียงที่ k \u003d 0

ตัวอย่าง. .

1) เส้นกำกับแนวตั้ง: y® + ¥x®0-0: y®-¥x®0 + 0 ดังนั้น x \u003d 0 คือเส้นกำกับแนวตั้ง

2) เส้นกำกับแนวเฉียง:

ดังนั้นเส้น y \u003d x + 2 จึงเป็นเส้นกำกับแบบเฉียง

มาพล็อตฟังก์ชั่น:

ตัวอย่าง. ค้นหาเส้นกำกับและสร้างกราฟของฟังก์ชัน

เส้นตรง x \u003d 3 และ x \u003d -3 คือเส้นกำกับแนวตั้งของเส้นโค้ง

ค้นหาเส้นกำกับแบบเฉียง:

y \u003d 0 - เส้นกำกับแนวนอน

ตัวอย่าง. ค้นหาเส้นกำกับและพล็อตฟังก์ชัน .

เส้นตรง x \u003d -2 คือเส้นกำกับแนวตั้งของเส้นโค้ง

ค้นหาเส้นกำกับแนวเฉียง

ดังนั้นเส้นตรง y \u003d x - 4 คือเส้นกำกับเฉียง

แผนภาพการศึกษาฟังก์ชัน

กระบวนการวิจัยฟังก์ชันประกอบด้วยหลายขั้นตอน เพื่อให้ได้ภาพที่สมบูรณ์ที่สุดของลักษณะการทำงานของฟังก์ชันและลักษณะของกราฟคุณจะต้องค้นหา:

1) ขอบเขตการดำรงอยู่ของฟังก์ชัน

แนวคิดนี้มีทั้งขอบเขตและขอบเขตของฟังก์ชัน

2) จุดพัก (ถ้ามี).

3) ช่วงเวลาที่เพิ่มขึ้นและลดลง

4) คะแนนสูงสุดและต่ำสุด

5) ค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันในโดเมนของนิยาม

6) พื้นที่นูนและส่วนเว้า

7) จุดเบี่ยงเบน (ถ้ามี)

8) เส้นกำกับ (ถ้ามี)

9) การสร้างกราฟ

ให้เราพิจารณาการประยุกต์ใช้โครงการนี้ตามตัวอย่าง

ตัวอย่าง. ตรวจสอบฟังก์ชันและพล็อต

ค้นหาโดเมนที่มีอยู่ของฟังก์ชัน เห็นได้ชัดว่า ขอบเขต ฟังก์ชันคือโดเมน (- ¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥)

ในทางกลับกันจะเห็นได้ว่าเส้น x \u003d 1, x \u003d -1 อยู่ เส้นกำกับแนวตั้ง คดเคี้ยว

ช่วงของค่าฟังก์ชันนี้คือช่วงเวลา (- ¥; ¥)

ทำลายจุด ฟังก์ชันคือจุด x \u003d 1, x \u003d -1

หา จุดวิกฤต.

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

จุดวิกฤต: x \u003d 0; x \u003d -; x \u003d; x \u003d -1; x \u003d 1.

ค้นหาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน

กำหนดความนูนและความเว้าของเส้นโค้งตามช่วงเวลา

-¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая

- < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < 0, y¢¢ > 0, โค้งเว้า

0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < , y¢¢ > 0, โค้งเว้า

< x < ¥, y¢¢ > 0, โค้งเว้า

การหาช่องว่าง เพิ่มขึ้นและ ลดน้อยลง ฟังก์ชั่น. ในการทำเช่นนี้เรากำหนดสัญญาณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันในช่วงเวลา

-¥ < x < - , y¢ > 0 ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้น

- < x < -1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < , y¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, y¢¢ > 0 ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้น

จะเห็นได้ว่าจุด x \u003d - คือจุด ขีดสุดและจุด x \u003d คือจุด ขั้นต่ำ... ค่าฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้คือ -3 / 2 และ 3/2 ตามลำดับ

เกี่ยวกับแนวตั้ง เส้นกำกับ ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น ตอนนี้เราจะพบ เส้นกำกับเฉียง.

ผลรวมสมการเส้นกำกับเฉียงคือ y \u003d x

มาสร้างกันเถอะ กำหนดการ ฟังก์ชั่น:

หน้าที่ของตัวแปรหลายตัว

เมื่อพิจารณาถึงฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวเรา จำกัด ตัวเองไว้ที่คำอธิบายโดยละเอียดของฟังก์ชันของสองตัวแปรเนื่องจาก ผลลัพธ์ทั้งหมดที่ได้จะใช้ได้กับฟังก์ชันของตัวแปรตามจำนวนที่กำหนด

คำจำกัดความ: หากแต่ละคู่ของตัวเลขอิสระ (x, y) จากเซตตามกฎบางข้อมีความสัมพันธ์กับค่าของตัวแปร z ตั้งแต่หนึ่งค่าขึ้นไปตัวแปร z จะเรียกว่าฟังก์ชันของสองตัวแปร

คำจำกัดความ: หากคู่ของตัวเลข (x, y) ตรงกับค่า z หนึ่งค่าฟังก์ชันจะถูกเรียกใช้ ไม่ชัดเจนและถ้ามีมากกว่าหนึ่ง - คลุมเครือ.

คำจำกัดความ: ขอบเขตของ ฟังก์ชัน z เรียกว่าคอลเลกชันของคู่ (x, y) ซึ่งมีฟังก์ชัน z อยู่

คำจำกัดความ: จุดใกล้М 0 (x 0, y 0) ของรัศมี r เรียกว่าการรวบรวมจุดทั้งหมด (x, y) ที่เป็นไปตามเงื่อนไข .

คำจำกัดความ: หมายเลข A เรียกว่า ขีด จำกัด ฟังก์ชัน f (x, y) เนื่องจากจุด M (x, y) มีแนวโน้มที่จะไปที่จุด M 0 (x 0, y 0) ถ้าสำหรับแต่ละหมายเลข e\u003e 0 จะมีตัวเลข r\u003e 0 สำหรับจุดใด ๆ M (x, y) ซึ่งเงื่อนไข

เงื่อนไขก็เป็นจริงเช่นกัน .

พวกเขาเขียน:

คำจำกัดความ: ให้จุดМ 0 (x 0, y 0) อยู่ในโดเมนของนิยามของฟังก์ชัน f (x, y) จากนั้นฟังก์ชัน z \u003d f (x, y) จะถูกเรียกใช้ ต่อเนื่อง ที่จุดМ 0 (x 0, y 0) ถ้า

(1)

ยิ่งไปกว่านั้นจุด M (x, y) มีแนวโน้มที่จะไปที่จุด M 0 (x 0, y 0) โดยพลการ

หากเงื่อนไข (1) ไม่เป็นที่พอใจ ณ จุดใดจุดหนึ่งจึงเรียกจุดนี้ จุดพักฟังก์ชัน f (x, y) ซึ่งอาจเกิดขึ้นในกรณีต่อไปนี้:

1) ฟังก์ชัน z \u003d f (x, y) ไม่ได้กำหนดไว้ที่จุด M 0 (x 0, y 0)

2) ไม่มีขีด จำกัด

3) ขีด จำกัด นี้มีอยู่ แต่ไม่เท่ากับ f (x 0, y 0)

ทรัพย์สิน. ถ้าฟังก์ชัน f (x, y, ... ) ถูกกำหนดไว้และต่อเนื่องกันในปิดและ

โดเมนที่มีขอบเขต D จากนั้นโดเมนนี้มีอย่างน้อยหนึ่งจุด

N (x 0, y 0, ... ) เพื่อให้คะแนนที่เหลือตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน

f (x 0, y 0, ... ) ³ f (x, y, ... )

และชี้ N 1 (x 01, y 01, ... ) เพื่อให้จุดอื่น ๆ ทั้งหมดมีความไม่เท่าเทียมกัน

f (x 01, y 01, ... ) £ f (x, y, ... )

แล้ว f (x 0, y 0, ... ) \u003d M - มูลค่าสูงสุด ฟังก์ชันและ f (x 01, y 01, ... ) \u003d m - ค่าน้อยที่สุดฟังก์ชัน f (x, y, ... ) ในโดเมน D.

ฟังก์ชันต่อเนื่องในโดเมนปิดและขอบเขต D ถึงค่าที่มากที่สุดอย่างน้อยหนึ่งครั้งและค่าน้อยที่สุดอีกครั้งหนึ่ง

ทรัพย์สิน. ถ้าฟังก์ชัน f (x, y, ... ) ถูกกำหนดและต่อเนื่องในโดเมนขอบเขตปิด D และ M และ m เป็นค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันในโดเมนนี้ตามลำดับดังนั้นสำหรับจุดใด ๆ m Îจะมีจุด

N 0 (x 0, y 0, …) เช่นนั้น f (x 0, y 0, …) \u003d m.

พูดง่ายๆคือฟังก์ชันต่อเนื่องรับค่ากลางทั้งหมดระหว่าง M และ m ในโดเมน D ผลลัพธ์ของคุณสมบัตินี้อาจเป็นข้อสรุปได้ว่าถ้าตัวเลข M และ m เป็นเครื่องหมายตรงข้ามดังนั้นในโดเมน D ฟังก์ชันจะหายไปอย่างน้อยหนึ่งครั้ง

ทรัพย์สิน. ฟังก์ชัน f (x, y, ... ) ต่อเนื่องในโดเมนขอบเขตปิด D, ถูก จำกัด ในภูมิภาคนี้หากมีจำนวน K เช่นนั้นสำหรับทุกจุดของภูมิภาคจะมีความไม่เท่าเทียมกัน .

ทรัพย์สิน. ถ้าฟังก์ชัน f (x, y, ... ) ถูกกำหนดและต่อเนื่องในโดเมนที่มีขอบเขตปิด D ดังนั้น ต่อเนื่องสม่ำเสมอ ในพื้นที่นี้เช่น สำหรับจำนวนบวกใด ๆ e มีจำนวน D\u003e 0 ดังนั้นสำหรับสองจุดใด ๆ (x 1, y 1) และ (x 2, y 2) ของพื้นที่ที่อยู่ห่างกันน้อยกว่า D ซึ่งเป็นอสมการ

คุณสมบัติข้างต้นคล้ายกับคุณสมบัติของฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งที่ต่อเนื่องกันบนเซ็กเมนต์ ดูคุณสมบัติของฟังก์ชันที่ต่อเนื่องบนเซ็กเมนต์

อนุพันธ์และความแตกต่างของฟังก์ชัน

ตัวแปรหลายตัว

คำจำกัดความ ให้ฟังก์ชัน z \u003d f (x, y) ได้รับในบางโดเมน หาจุด M (x, y) โดยพลการและตั้งค่าส่วนเพิ่ม Dx ให้กับตัวแปร x จากนั้นจึงเรียกปริมาณ D x z \u003d f (x + Dx, y) - f (x, y) การเพิ่มขึ้นบางส่วนของฟังก์ชันใน x

คุณสามารถเขียน

.

แล้วเรียกว่า อนุพันธ์ย่อยฟังก์ชัน z \u003d f (x, y) ใน x

การกำหนด:

อนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันเทียบกับ y ถูกกำหนดไว้ในทำนองเดียวกัน

ความหมายทางเรขาคณิตอนุพันธ์ย่อย (ตัวอย่าง) คือแทนเจนต์ของมุมเอียงของแทนเจนต์ที่ดึงที่จุด N 0 (x 0, y 0, z 0) ไปยังส่วนของพื้นผิวโดยระนาบ y \u003d y 0

การเพิ่มเต็มและความแตกต่างแบบเต็ม

ระนาบสัมผัส

ให้ N และ N 0 เป็นจุดของพื้นผิวที่กำหนด ลองวาดเส้นตรง NN 0 เครื่องบินที่ผ่านจุด N 0 เรียกว่า ระนาบสัมผัส กับพื้นผิวถ้ามุมระหว่างเซแคนท์ NN 0 และระนาบนี้มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์เมื่อระยะทาง NN 0 มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์

คำจำกัดความ ปกติไปยังพื้นผิวที่จุด N 0 เรียกว่าเส้นตรงผ่านจุด N 0 ที่ตั้งฉากกับระนาบสัมผัสกับพื้นผิวนี้

ณ จุดใดพื้นผิวจะมีระนาบแทนเจนต์เพียงระนาบเดียวหรือไม่มีเลย

ถ้าพื้นผิวถูกกำหนดโดยสมการ z \u003d f (x, y) โดยที่ f (x, y) เป็นฟังก์ชันที่แตกต่างกันได้ที่จุดМ 0 (х 0, у 0) ระนาบแทนเจนต์ที่จุด N 0 (x 0, y 0, ( x 0, y 0)) มีอยู่และมีสมการ:

สมการของสิ่งปกติกับพื้นผิว ณ จุดนี้คือ:

ความหมายทางเรขาคณิต ผลต่างทั้งหมดของฟังก์ชันของสองตัวแปร f (x, y) ที่จุด (x 0, y 0) คือการเพิ่มขึ้นของแอปพลิเคชัน (พิกัด z) ของระนาบสัมผัสกับพื้นผิวเมื่อผ่านจากจุด (x 0, y 0) ไปยังจุด (x 0 + Dx, y 0 + Dy)

อย่างที่คุณเห็นความหมายทางเรขาคณิตของผลต่างทั้งหมดของฟังก์ชันของสองตัวแปรคืออะนาล็อกเชิงพื้นที่ของความหมายทางเรขาคณิตของความแตกต่างของฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งตัว

ตัวอย่าง. จงหาสมการของระนาบแทนเจนต์และปกติกับพื้นผิว

ที่จุด M (1, 1, 1)

สมการระนาบสัมผัส:

สมการปกติ:

การคำนวณโดยประมาณโดยใช้ค่าส่วนต่างทั้งหมด

ผลต่างทั้งหมดของฟังก์ชัน u คือ:

ค่าที่แน่นอนของนิพจน์นี้คือ 1.049275225687319176

อนุพันธ์ย่อยในลำดับที่สูงขึ้น

ถ้าฟังก์ชัน f (x, y) ถูกกำหนดไว้ในบางโดเมน D อนุพันธ์บางส่วนของมันจะถูกกำหนดในโดเมนเดียวกันหรือบางส่วนของมันด้วย

เราจะเรียกอนุพันธ์เหล่านี้ว่า อนุพันธ์บางส่วนของลำดับแรก

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้จะเป็น อนุพันธ์บางส่วนของลำดับที่สอง

เราได้รับอนุพันธ์บางส่วนของคำสั่งซื้อที่สูงกว่า

จุดสุดยอดของฟังก์ชันคือจุดในโดเมนของฟังก์ชันที่ค่าของฟังก์ชันรับค่าต่ำสุดหรือสูงสุด ค่าของฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้เรียกว่า extrema (ต่ำสุดและสูงสุด) ของฟังก์ชัน.

คำจำกัดความ... จุด x1 โดเมนฟังก์ชัน ฉ(x) ถูกเรียก จุดสูงสุดของฟังก์ชัน ถ้าค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้มากกว่าค่าของฟังก์ชันที่มีจุดใกล้เคียงเพียงพอตั้งอยู่ทางด้านขวาและด้านซ้ายของฟังก์ชัน (นั่นคืออสมการ ฉ(x0 ) > ฉ(x0 + Δ x) x1 ขีดสุด.

คำจำกัดความ... จุด x2 โดเมนฟังก์ชัน ฉ(x) ถูกเรียก จุดต่ำสุดของฟังก์ชันถ้าค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้น้อยกว่าค่าของฟังก์ชันที่ใกล้เคียงกับค่ามากพอที่จะชี้ไปทางขวาและทางซ้ายของมัน (นั่นคืออสมการ ฉ(x0 ) < ฉ(x0 + Δ x) ). ในกรณีนี้ฟังก์ชันจะถูกกล่าวว่ามีอยู่ที่จุด x2 ขั้นต่ำ

สมมติว่าจุด x1 คือจุดสูงสุดของฟังก์ชัน ฉ(x). จากนั้นในช่วงเวลาถึง x1 ฟังก์ชันเพิ่มขึ้น ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันจึงมีค่ามากกว่าศูนย์ ( ฉ "(x)\u003e 0) และในช่วงเวลาหลัง x1 ฟังก์ชันลดลงดังนั้นและ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน น้อยกว่าศูนย์ ( ฉ "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

ให้เราถือว่าจุดนั้นด้วย x2 คือจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน ฉ(x). จากนั้นในช่วงเวลาถึง x2 ฟังก์ชันลดลงและอนุพันธ์ของฟังก์ชันมีค่าน้อยกว่าศูนย์ ( ฉ "(x) < 0 ), а в интервале после x2 ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นและอนุพันธ์ของฟังก์ชันมีค่ามากกว่าศูนย์ ( ฉ "(x)\u003e 0) ในกรณีนี้ยังตรงจุด x2 อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นศูนย์หรือไม่มีอยู่จริง

ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ (เป็นเกณฑ์ที่จำเป็นสำหรับการมีอยู่ของสุดขั้วของฟังก์ชัน)... ถ้าจุด x0 - จุดสุดยอดของฟังก์ชัน ฉ(x) จากนั้น ณ จุดนี้อนุพันธ์ของฟังก์ชันจะเท่ากับศูนย์ ( ฉ "(x) \u003d 0) หรือไม่มีอยู่

คำจำกัดความ... จุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นศูนย์หรือไม่มีอยู่เรียกว่า จุดวิกฤต .

ตัวอย่าง 1. ลองพิจารณาฟังก์ชั่น

ตรงจุด x \u003d 0 อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นศูนย์ดังนั้นจุด x \u003d 0 คือจุดวิกฤต อย่างไรก็ตามดังที่เห็นได้จากกราฟของฟังก์ชันมันจะเพิ่มขึ้นในโดเมนทั้งหมดของคำจำกัดความดังนั้นจุด x \u003d 0 ไม่ใช่จุดสุดขั้วของฟังก์ชันนี้

ดังนั้นเงื่อนไขที่อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งมีค่าเท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่จึงเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับเอกซ์ตรีม แต่ไม่เพียงพอเนื่องจากตัวอย่างอื่น ๆ ของฟังก์ชันที่เป็นไปตามเงื่อนไขเหล่านี้ แต่ฟังก์ชันนั้นไม่มีจุดสุดขั้วที่จุดที่สอดคล้องกันสามารถให้ได้ ดังนั้น คุณต้องมีสัญญาณเพียงพอทำให้สามารถตัดสินได้ว่ามีจุดวิกฤตที่จุดวิกฤตเฉพาะหรือไม่และอันใดเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด

ทฤษฎีบท (เกณฑ์แรกที่เพียงพอสำหรับการมีอยู่ของสุดขั้วของฟังก์ชัน) จุดวิกฤต x0 ฉ(x) ถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชันเปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อผ่านจุดนี้และถ้าเครื่องหมายเปลี่ยนจาก "บวก" เป็น "ลบ" จุดสูงสุดและถ้าจาก "ลบ" เป็น "บวก" จุดต่ำสุด

ถ้าอยู่ใกล้จุด x0 ทางด้านซ้ายและทางขวาของมันอนุพันธ์จะรักษาสัญลักษณ์ไว้ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันจะลดลงหรือเพิ่มขึ้นเฉพาะในบางส่วนของจุด x0 ... ในกรณีนี้ตรงจุด x0 ไม่มีอะไรสุดโต่ง

ดังนั้น, ในการกำหนดจุดสุดขั้วของฟังก์ชันคุณต้องดำเนินการดังต่อไปนี้ :

1. หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
2. ตั้งค่าอนุพันธ์เป็นศูนย์และกำหนดจุดวิกฤต
3. ทำเครื่องหมายจุดวิกฤตบนแกนตัวเลขทางจิตใจหรือบนกระดาษและกำหนดสัญญาณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่ได้รับ หากเครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจาก "บวก" เป็น "ลบ" จุดวิกฤตคือจุดสูงสุดและถ้าจาก "ลบ" เป็น "บวก" ตามด้วยจุดต่ำสุด
4. คำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดสุดขั้ว

ตัวอย่าง 2. ค้นหา Extrema ของฟังก์ชัน .

การตัดสินใจ. มาค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

ให้เราตั้งค่าอนุพันธ์เป็นศูนย์เพื่อหาจุดวิกฤต:

.

เนื่องจากค่าใด ๆ ของ "x" ตัวส่วนไม่ใช่ศูนย์เราจึงถือตัวเศษเป็นศูนย์:

มีจุดให้ทิปอย่างหนึ่ง x \u003d 3. ให้เรากำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์ในช่วงเวลาที่คั่นด้วยจุดนี้:

ในช่วงจากลบอินฟินิตี้ถึง 3 - เครื่องหมายลบนั่นคือฟังก์ชันลดลง

ในช่วงตั้งแต่ 3 ถึงบวกอินฟินิตี้ - เครื่องหมายบวกนั่นคือฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น

นั่นคือจุด x \u003d 3 คือจุดต่ำสุด

มาหาค่าของฟังก์ชันที่จุดต่ำสุด:

ดังนั้นจึงพบจุดสุดขั้วของฟังก์ชัน: (3; 0) และเป็นจุดต่ำสุด

ทฤษฎีบท (เกณฑ์ที่เพียงพอประการที่สองสำหรับการมีอยู่ของสุดขั้วของฟังก์ชัน) จุดวิกฤต x0 คือจุดสุดยอดของฟังก์ชัน ฉ(x) ถ้าอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน ณ จุดนี้ไม่ใช่ศูนย์ ( ฉ ""(x) ≠ 0) และถ้าอนุพันธ์อันดับสองมากกว่าศูนย์ ( ฉ ""(x)\u003e 0) ตามด้วยจุดสูงสุดและถ้าอนุพันธ์อันดับสองน้อยกว่าศูนย์ ( ฉ ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

หมายเหตุ 1. ถ้าตรงจุด x0 อนุพันธ์ที่หนึ่งและสองหายไปจากนั้น ณ จุดนี้จึงเป็นไปไม่ได้ที่จะตัดสินการมีอยู่ของสุดขั้วบนพื้นฐานของเกณฑ์ที่เพียงพอที่สอง ในกรณีนี้คุณจำเป็นต้องใช้ตัวบ่งชี้แรกที่เพียงพอของสุดขั้วของฟังก์ชัน

ข้อสังเกต 2. เกณฑ์ที่เพียงพอประการที่สองสำหรับสุดขั้วของฟังก์ชันก็ใช้ไม่ได้เช่นกันหากอนุพันธ์แรกไม่มีอยู่ที่จุดหยุดนิ่ง (อนุพันธ์อันดับสองไม่มีอยู่เช่นกัน) ในกรณีนี้จำเป็นต้องใช้ตัวบ่งชี้แรกที่เพียงพอของฟังก์ชันสุดขั้ว

อักขระท้องถิ่นของ Extrema ของฟังก์ชัน

จากคำจำกัดความข้างต้นเป็นไปตามที่สุดขั้วของฟังก์ชันมีลักษณะเฉพาะในท้องถิ่น - นี่คือค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันเมื่อเปรียบเทียบกับค่าที่ใกล้ที่สุด

สมมติว่าคุณกำลังดูรายได้ของคุณในช่วงหนึ่งปี หากคุณได้รับ 45,000 รูเบิลในเดือนพฤษภาคมและ 42,000 รูเบิลในเดือนเมษายนและ 39,000 รูเบิลในเดือนมิถุนายนรายได้ของเดือนพฤษภาคมจะเป็นฟังก์ชันรายได้สูงสุดเมื่อเทียบกับค่าที่ใกล้ที่สุด แต่ในเดือนตุลาคมคุณได้รับ 71,000 รูเบิลในเดือนกันยายน 75,000 รูเบิลและในเดือนพฤศจิกายน 74,000 รูเบิลดังนั้นรายได้ในเดือนตุลาคมจึงเป็นฟังก์ชันขั้นต่ำของรายได้เมื่อเทียบกับค่าใกล้เคียง และคุณจะเห็นได้อย่างง่ายดายว่าค่าสูงสุดในเดือนเมษายน - พฤษภาคม - มิถุนายนนั้นน้อยกว่าค่าต่ำสุดในเดือนกันยายน - ตุลาคม - พฤศจิกายน

โดยทั่วไปแล้วฟังก์ชันสามารถมี extrema ได้หลายช่วงเวลาและอาจกลายเป็นว่าฟังก์ชันต่ำสุดใด ๆ มากกว่าค่าสูงสุดใด ๆ ดังนั้นสำหรับฟังก์ชันที่แสดงในรูปด้านบน

นั่นคือเราไม่ควรคิดว่าค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันคือค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดตามลำดับในช่วงเวลาที่พิจารณาทั้งหมด เมื่อถึงจุดสูงสุดฟังก์ชันจะมีค่ามากที่สุดเมื่อเปรียบเทียบกับค่าที่มีทุกจุดใกล้เคียงกับจุดสูงสุดและที่จุดต่ำสุด - ค่าที่น้อยที่สุดเท่านั้นเมื่อเทียบกับค่าที่มีอยู่ทุกจุดใกล้เคียงกันมากพอ ถึงจุดต่ำสุด

ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะชี้แจงแนวคิดข้างต้นเกี่ยวกับจุดสุดขั้วของฟังก์ชันและเรียกคะแนนต่ำสุดเป็นจุดต่ำสุดในพื้นที่และคะแนนสูงสุดเป็นคะแนนสูงสุดในท้องถิ่น

กำลังมองหาส่วนเกินของฟังก์ชันร่วมกัน

ตัวอย่างที่ 3.

วิธีแก้ไข: ฟังก์ชันถูกกำหนดและต่อเนื่องบนบรรทัดจำนวนเต็ม อนุพันธ์ของมัน ยังมีอยู่ในบรรทัดจำนวนเต็ม ดังนั้นในกรณีนี้จุดวิกฤตจึงเป็นเฉพาะจุดที่กล่าวคือ , ไหนและ. ตามจุดวิกฤตและแบ่งโดเมนทั้งหมดของฟังก์ชันออกเป็นสามช่วงของความน่าเบื่อ:. ลองเลือกจุดควบคุมหนึ่งจุดในแต่ละจุดและหาสัญลักษณ์ของอนุพันธ์ ณ จุดนี้

สำหรับช่วงเวลาจุดควบคุมสามารถ: ค้นหา เราได้จุดในช่วงเวลาเราได้และหาจุดในช่วงเวลาเราได้ ดังนั้นในช่วงเวลาและและในช่วงเวลา ตามเกณฑ์แรกที่เพียงพอสำหรับเอกซ์ตรีมไม่มีจุดสุดขั้ว (เนื่องจากอนุพันธ์ยังคงรักษาเครื่องหมายไว้ในช่วงเวลา) และ ณ จุดนั้นฟังก์ชันจะมีค่าต่ำสุด (เนื่องจากการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์มีเครื่องหมายจากลบถึงบวกเมื่อผ่านจุดนี้) มาหาค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน: และ. ในช่วงเวลาฟังก์ชันจะลดลงเช่นเดียวกับในช่วงเวลานี้และในช่วงเวลาจะเพิ่มขึ้นเช่นเดียวกับในช่วงเวลานี้

เพื่อชี้แจงการสร้างกราฟเราจะหาจุดตัดกับแกนพิกัด สำหรับเราได้สมการที่มีรากและนั่นคือสองจุด (0; 0) และ (4; 0) ของกราฟฟังก์ชันพบ ใช้ข้อมูลทั้งหมดที่ได้รับเราสร้างกราฟ (ดูที่จุดเริ่มต้นของตัวอย่าง)

สำหรับการตรวจสอบตัวเองระหว่างการคำนวณคุณสามารถใช้ เครื่องคำนวณอนุพันธ์ออนไลน์ .

ตัวอย่างที่ 4.ค้นหา Extrema ของฟังก์ชันและสร้างกราฟ

โดเมนของฟังก์ชันคือเส้นจำนวนเต็มยกเว้นจุดนั่นคือ ...

เพื่อให้การวิจัยสั้นลงคุณสามารถใช้ความจริงที่ว่าฟังก์ชันนี้มีค่าสม่ำเสมอตั้งแต่ ... ดังนั้นกราฟของมันจึงสมมาตรเกี่ยวกับแกน เอ๋ย และการสำรวจสามารถทำได้ในช่วงเวลาหนึ่งเท่านั้น

หาอนุพันธ์ และจุดวิกฤตของฟังก์ชัน:

1) ;

2) ,

แต่ฟังก์ชันหยุดทำงาน ณ จุดนี้จึงไม่สามารถเป็นจุดสุดขั้วได้

ดังนั้นฟังก์ชันที่กำหนดจึงมีจุดวิกฤตสองจุด: และ. โดยคำนึงถึงความเท่าเทียมกันของฟังก์ชันให้เราตรวจสอบเฉพาะจุดตามเกณฑ์ที่สองที่เพียงพอของปลายสุด สำหรับสิ่งนี้เราพบอนุพันธ์อันดับสอง และกำหนดสัญลักษณ์ที่: เราได้รับ ตั้งแต่นั้นมาคือจุดต่ำสุดของฟังก์ชันในขณะที่ .

เพื่อให้ได้ภาพกราฟของฟังก์ชันที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้นเรามาดูพฤติกรรมของมันที่ขอบเขตของโดเมนนิยาม:

(ที่นี่สัญลักษณ์แสดงถึงความปรารถนา x เป็นศูนย์ทางขวาและ x ยังคงเป็นบวก ในทำนองเดียวกันหมายถึงความทะเยอทะยาน x เป็นศูนย์ทางด้านซ้ายและ x ยังคงเป็นลบ) ดังนั้นถ้าเป็นเช่นนั้น นอกจากนี้เราพบว่า

,

เหล่านั้น ถ้าเป็นเช่นนั้น

กราฟฟังก์ชันไม่มีจุดตัดกับแกน ภาพอยู่ตอนต้นของตัวอย่าง

สำหรับการตรวจสอบตัวเองระหว่างการคำนวณคุณสามารถใช้ เครื่องคำนวณอนุพันธ์ออนไลน์ .

เรายังคงค้นหา Extrema ของฟังก์ชันด้วยกัน

ตัวอย่างที่ 8.ค้นหา Extrema ของฟังก์ชัน

การตัดสินใจ. มาค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน เนื่องจากต้องมีความไม่เท่าเทียมกันจากที่เราได้รับ

ลองหาอนุพันธ์แรกของฟังก์ชัน

ฟังก์ชันและการศึกษาคุณลักษณะของมันเป็นหนึ่งในบทสำคัญในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ องค์ประกอบหลักของฟังก์ชันใด ๆ คือกราฟที่ไม่เพียง แต่แสดงคุณสมบัติของฟังก์ชันเท่านั้น แต่ยังรวมถึงพารามิเตอร์ของอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ด้วย ลองมาดูหัวข้อที่ยากนี้ แล้ววิธีใดที่ดีที่สุดในการมองหาจุดสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน?

ฟังก์ชัน: คำจำกัดความ

ตัวแปรใด ๆ ที่ขึ้นอยู่กับค่าของปริมาณอื่นสามารถเรียกได้ว่าเป็นฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน f (x 2) เป็นกำลังสองและกำหนดค่าสำหรับทั้งเซต x สมมติว่า x \u003d 9 แล้วค่าของฟังก์ชันของเราจะเป็น 9 2 \u003d 81

ฟังก์ชันมีหลายรูปแบบ ได้แก่ ตรรกะเวกเตอร์ลอการิทึมตรีโกณมิติตัวเลขและอื่น ๆ จิตใจที่โดดเด่นเช่น Lacroix, Lagrange, Leibniz และ Bernoulli มีส่วนร่วมในการศึกษา งานเขียนของพวกเขาเป็นแกนนำในการศึกษาหน้าที่ในรูปแบบใหม่ ๆ ก่อนที่จะหาจุดต่ำสุดจำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องเข้าใจความหมายของฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมัน

อนุพันธ์และบทบาทของมัน

ฟังก์ชันทั้งหมดขึ้นอยู่กับค่าตัวแปรซึ่งหมายความว่าสามารถเปลี่ยนค่าได้ตลอดเวลา บนกราฟจะแสดงเป็นเส้นโค้งที่จะลงหรือขึ้นตามลำดับ (นี่คือชุดตัวเลข "y" ทั้งหมดตามแนวตั้งของกราฟ) ดังนั้นคำจำกัดความของจุดสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันจึงเชื่อมโยงกับ "ความผันผวน" เหล่านี้ ให้เราอธิบายว่าความสัมพันธ์นี้คืออะไร

อนุพันธ์ของฟังก์ชันใด ๆ จะถูกพล็อตบนกราฟเพื่อศึกษาลักษณะสำคัญและคำนวณว่าฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงเร็วเพียงใด (กล่าวคือเปลี่ยนค่าขึ้นอยู่กับตัวแปร "x") ในช่วงเวลาที่ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นกราฟของอนุพันธ์ก็จะเพิ่มขึ้นเช่นกัน แต่ในไม่กี่วินาทีฟังก์ชันอาจเริ่มลดลงจากนั้นกราฟของอนุพันธ์จะลดลง จุดที่อนุพันธ์เปลี่ยนจากเครื่องหมายลบไปยังเครื่องหมายบวกเรียกว่าจุดต่ำสุด เพื่อที่จะทราบวิธีหาคะแนนขั้นต่ำคุณควรทำความเข้าใจให้ดีขึ้น

ฉันจะคำนวณอนุพันธ์ได้อย่างไร

นิยามและฟังก์ชันแสดงถึงแนวคิดหลายประการจากโดยทั่วไปคำจำกัดความของอนุพันธ์สามารถแสดงได้ดังนี้เป็นค่าที่แสดงอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน

วิธีคำนวณทางคณิตศาสตร์สำหรับนักเรียนหลายคนดูเหมือนจะยาก แต่ที่จริงแล้วทุกอย่างง่ายกว่ามาก คุณเพียงแค่ต้องทำตามแผนมาตรฐานเพื่อค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันใด ๆ ด้านล่างนี้อธิบายถึงวิธีการหาจุดต่ำสุดของฟังก์ชันโดยไม่ต้องใช้กฎของการสร้างความแตกต่างและไม่ต้องจำตารางอนุพันธ์

1. คุณสามารถคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้กราฟ ในการทำเช่นนี้คุณต้องพรรณนาฟังก์ชันเองจากนั้นใช้จุดหนึ่งจุด (จุด A ในรูป) ลากเส้นในแนวตั้งลงไปที่แกน abscissa (จุด x 0) และที่จุด A วาดแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน แกน abscissa และเส้นสัมผัสก่อตัวเป็นมุมหนึ่ง a. ในการคำนวณค่าของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันอย่างรวดเร็วจำเป็นต้องคำนวณแทนเจนต์ของมุมนี้ก.
2. ปรากฎว่าแทนเจนต์ของมุมระหว่างแทนเจนต์กับทิศทางของแกน x เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันในส่วนเล็ก ๆ ที่มีจุด A วิธีนี้ถือเป็นวิธีทางเรขาคณิตในการกำหนดอนุพันธ์

วิธีการวิจัยฟังก์ชัน

ในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนคุณสามารถหาจุดต่ำสุดของฟังก์ชันได้สองวิธี เราได้วิเคราะห์วิธีแรกโดยใช้กราฟแล้ว แต่จะหาค่าตัวเลขของอนุพันธ์ได้อย่างไร? ในการทำเช่นนี้คุณจะต้องเรียนรู้สูตรต่างๆที่อธิบายคุณสมบัติของอนุพันธ์และช่วยแปลงตัวแปรเช่น "x" เป็นตัวเลข วิธีการต่อไปนี้เป็นวิธีสากลดังนั้นจึงสามารถใช้ได้กับฟังก์ชันเกือบทุกประเภท (ทั้งเรขาคณิตและลอการิทึม)

1. จำเป็นที่จะต้องนำฟังก์ชันมาเทียบเคียงกับฟังก์ชันอนุพันธ์จากนั้นจึงทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นโดยใช้กฎของความแตกต่าง
2. ในบางกรณีเมื่อมีการกำหนดฟังก์ชันซึ่งตัวแปร "x" อยู่ในตัวหารจำเป็นต้องกำหนดช่วงของค่าที่ยอมรับได้โดยไม่รวมจุด "0" จากมัน (ด้วยเหตุผลง่ายๆว่าในทางคณิตศาสตร์ไม่ว่าในกรณีใดคุณจะหารด้วยศูนย์ไม่ได้)
3. หลังจากนั้นคุณควรแปลงรูปแบบเดิมของฟังก์ชันเป็นสมการอย่างง่ายโดยให้นิพจน์ทั้งหมดเป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่นถ้าฟังก์ชันมีลักษณะเช่นนี้ f (x) \u003d 2x 3 + 38x ดังนั้นตามกฎของความแตกต่างอนุพันธ์ของมันคือ f "(x) \u003d 3x 2 +1 จากนั้นเราจะแปลงนิพจน์นี้เป็นสมการของรูปแบบต่อไปนี้: 3x 2 +1 \u003d 0 ...
4. หลังจากแก้สมการและหาจุด "x" แล้วคุณควรวาดมันบน abscissa และพิจารณาว่าอนุพันธ์ในพื้นที่เหล่านี้ระหว่างจุดที่ทำเครื่องหมายเป็นบวกหรือลบ หลังจากการกำหนดจะเห็นได้ชัดว่าจุดใดที่ฟังก์ชันเริ่มลดลงนั่นคือเปลี่ยนเครื่องหมายจากลบไปเป็นตรงกันข้าม ด้วยวิธีนี้คุณจะพบทั้งคะแนนต่ำสุดและสูงสุด

กฎความแตกต่าง

องค์ประกอบพื้นฐานที่สุดในการศึกษาฟังก์ชันและอนุพันธ์คือความรู้เกี่ยวกับกฎของความแตกต่าง ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขาเท่านั้นที่จะสามารถแปลงนิพจน์ขนาดใหญ่และฟังก์ชันที่ซับซ้อนขนาดใหญ่ได้ มาทำความคุ้นเคยกับพวกเขากันดีกว่ามีอยู่ไม่กี่ตัว แต่ทั้งหมดนั้นง่ายมากเนื่องจากคุณสมบัติตามธรรมชาติของทั้งฟังก์ชันกำลังและลอการิทึม

1. อนุพันธ์ของค่าคงที่เป็นศูนย์ (f (x) \u003d 0) นั่นคืออนุพันธ์ f (x) \u003d x 5 + x - 160 จะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้: f "(x) \u003d 5x 4 +1
2. อนุพันธ์ของผลรวมของสองพจน์: (f + w) "\u003d f" w + fw "
3. อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม: (log a d) "\u003d d / ln a * d สูตรนี้ใช้กับลอการิทึมทุกชนิด
4. อนุพันธ์ดีกรี: (x n) "\u003d n * x n-1 ตัวอย่างเช่น (9x 2)" \u003d 9 * 2x \u003d 18x
5. อนุพันธ์ของฟังก์ชันไซน์: (sin a) "\u003d cos a ถ้าบาปของมุม a คือ 0.5 อนุพันธ์ของมันคือ√3 / 2

จุดสุดยอด

เราได้หาวิธีหาจุดต่ำสุดแล้ว แต่ยังมีแนวคิดเกี่ยวกับจุดสูงสุดของฟังก์ชัน ถ้าค่าต่ำสุดหมายถึงจุดที่ฟังก์ชันผ่านจากเครื่องหมายลบไปยังเครื่องหมายบวกจุดสูงสุดคือจุดเหล่านั้นบนแกน abscissa ที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเปลี่ยนจากบวกเป็นตรงกันข้าม - ลบ

คุณสามารถค้นหาได้ด้วยวิธีการข้างต้นเพียงจำไว้ว่าพวกเขาแสดงถึงส่วนที่ฟังก์ชันเริ่มลดลงนั่นคืออนุพันธ์จะน้อยกว่าศูนย์

ในทางคณิตศาสตร์เป็นเรื่องปกติที่จะสรุปแนวคิดทั้งสองโดยแทนที่ด้วยวลี "จุดสุดยอด" เมื่องานขอให้กำหนดจุดเหล่านี้หมายความว่าจำเป็นต้องคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้และหาจุดต่ำสุดและสูงสุด

พิจารณาฟังก์ชัน y \u003d f (x) ซึ่งพิจารณาตามช่วงเวลา (a, b)

ถ้าเป็นไปได้ที่จะระบุย่าน b ของจุด x1 ที่เป็นของช่วงเวลา (a, b) เช่นนั้นสำหรับ x (x1, b) ทั้งหมดความไม่เท่าเทียมกัน f (x1)\u003e f (x) จะถูกเรียกใช้ y1 \u003d f1 (x1) ฟังก์ชันสูงสุด y \u003d f (x) ดูรูปที่

ค่าสูงสุดของฟังก์ชัน y \u003d f (x) แสดงด้วยค่าสูงสุด f (x) หากคุณสามารถระบุย่าน b ของจุด x2 ที่อยู่ในช่วงเวลา (a, b) เช่นนั้นสำหรับ x ทั้งหมดที่เป็นของ O (x2, 6), x ไม่เท่ากับ x2, อสมการ f (x2)< f(x) จากนั้น y2 \u003d f (x2) เรียกว่าค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน y-f (x) (ดูรูปที่)

สำหรับตัวอย่างการหาค่าสูงสุดโปรดดูวิดีโอต่อไปนี้

ฟังก์ชันต่ำสุด

ค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน y \u003d f (x) แสดงด้วย min f (x) กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันสูงสุดหรือต่ำสุด y \u003d f (x) เรียกว่าค่าดังกล่าวซึ่งมากกว่า (น้อยกว่า) กว่าค่าอื่น ๆ ทั้งหมดที่จุดใกล้เคียงกับค่าที่กำหนดและแตกต่างจากค่านั้น

หมายเหตุ 1. ฟังก์ชั่นสูงสุดกำหนดโดยอสมการเรียกว่าค่าสูงสุดที่เข้มงวด ค่าสูงสุดที่ไม่เข้มงวดถูกกำหนดโดยอสมการ f (x1)\u003e \u003d f (x2)

หมายเหตุ 2. มีลักษณะเฉพาะในท้องถิ่น (ค่าเหล่านี้เป็นค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันในบริเวณใกล้เคียงที่มีขนาดเล็กเพียงพอของจุดที่เกี่ยวข้อง) minima แต่ละฟังก์ชันอาจมีขนาดใหญ่กว่าค่าสูงสุดของฟังก์ชันเดียวกัน

ดังนั้นค่าสูงสุด (ต่ำสุด) ของฟังก์ชันจึงถูกเรียกใช้ สูงสุดในท้องถิ่น(ค่าต่ำสุดในเครื่อง) ตรงกันข้ามกับค่าสูงสุดสัมบูรณ์ (ต่ำสุด) - ค่าที่ใหญ่ที่สุด (น้อยที่สุด) ในโดเมนของฟังก์ชัน

ค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันเรียกว่าเอ็กซ์ตรีม ... Extrema ในการค้นหาฟังก์ชันการพล็อต

ละติน extremeum หมายถึง "สุดขีด" มูลค่า. ค่าของอาร์กิวเมนต์ x ที่จุดสุดขั้วเรียกว่าจุดสุดขั้ว เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับปลายแขนแสดงโดยทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท... ที่จุดสุดขั้วของฟังก์ชันที่แตกต่างและอนุพันธ์ของมันจะเท่ากับศูนย์

ทฤษฎีบทมีความหมายทางเรขาคณิตอย่างง่าย: แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่แตกต่างที่จุดที่สอดคล้องกันจะขนานกับแกน Ox