แนวคิดของจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน ค่าฟังก์ชันและคะแนนสูงสุดและต่ำสุด

จุดสุดยอดของฟังก์ชันคือจุดในโดเมนของฟังก์ชันที่ค่าของฟังก์ชันใช้ค่าต่ำสุดหรือสูงสุด ค่าของฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้เรียกว่า extrema (ต่ำสุดและสูงสุด) ของฟังก์ชัน.

คำจำกัดความ... จุด x1 โดเมนฟังก์ชัน ฉ(x) ถูกเรียก จุดสูงสุดของฟังก์ชัน ถ้าค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้มากกว่าค่าของฟังก์ชันที่มีจุดใกล้เคียงเพียงพอตั้งอยู่ทางขวาและซ้ายของฟังก์ชัน (นั่นคืออสมการ ฉ(x0 ) > ฉ(x0 + Δ x) x1 ขีดสุด.

คำจำกัดความ... จุด x2 โดเมนฟังก์ชัน ฉ(x) ถูกเรียก จุดต่ำสุดของฟังก์ชันถ้าค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้น้อยกว่าค่าของฟังก์ชันที่มีจุดใกล้เคียงเพียงพอตั้งอยู่ทางขวาและซ้ายของฟังก์ชัน (นั่นคืออสมการ ฉ(x0 ) < ฉ(x0 + Δ x) ). ในกรณีนี้ฟังก์ชันจะถูกกล่าวว่ามีอยู่ที่จุด x2 ขั้นต่ำ

สมมติว่าจุด x1 คือจุดสูงสุดของฟังก์ชัน ฉ(x). จากนั้นในช่วงเวลาถึง x1 ฟังก์ชันเพิ่มขึ้น ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันจึงมีค่ามากกว่าศูนย์ ( ฉ "(x)\u003e 0) และในช่วงเวลาหลัง x1 ฟังก์ชันลดลงดังนั้นและ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน น้อยกว่าศูนย์ ( ฉ "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

ให้เราถือว่าจุดนั้นด้วย x2 คือจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน ฉ(x). จากนั้นในช่วงเวลาถึง x2 ฟังก์ชันลดลงและอนุพันธ์ของฟังก์ชันมีค่าน้อยกว่าศูนย์ ( ฉ "(x) < 0 ), а в интервале после x2 ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นและอนุพันธ์ของฟังก์ชันมีค่ามากกว่าศูนย์ ( ฉ "(x)\u003e 0) ในกรณีนี้ยังตรงจุด x2 อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นศูนย์หรือไม่มีอยู่จริง

ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ (เป็นเกณฑ์ที่จำเป็นสำหรับการมีอยู่ของฟังก์ชันเอ็กซ์ตรีม)... ถ้าจุด x0 - จุดสุดยอดของฟังก์ชัน ฉ(x) จากนั้น ณ จุดนี้อนุพันธ์ของฟังก์ชันจะเท่ากับศูนย์ ( ฉ "(x) \u003d 0) หรือไม่มีอยู่

คำจำกัดความ... จุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นศูนย์หรือไม่มีอยู่เรียกว่า จุดวิกฤต .

ตัวอย่าง 1. ลองพิจารณาฟังก์ชั่น

ตรงจุด x \u003d 0 อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นศูนย์ดังนั้นจุด x \u003d 0 คือจุดวิกฤต อย่างไรก็ตามดังที่เห็นได้จากกราฟของฟังก์ชันมันจะเพิ่มขึ้นในโดเมนทั้งหมดของคำจำกัดความดังนั้นจุด x \u003d 0 ไม่ใช่จุดสุดขั้วของฟังก์ชันนี้

ดังนั้นเงื่อนไขที่อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งมีค่าเท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่จึงเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับสุดขั้ว แต่ไม่เพียงพอเนื่องจากตัวอย่างอื่น ๆ ของฟังก์ชันที่เงื่อนไขเหล่านี้เป็นที่พึงพอใจ แต่ฟังก์ชันนั้นไม่มีจุดสุดขั้วที่จุดที่สอดคล้องกันสามารถให้ได้ ดังนั้น คุณต้องมีสัญญาณเพียงพอทำให้สามารถตัดสินได้ว่ามีจุดวิกฤตที่จุดวิกฤตเฉพาะหรือไม่และอันใดเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด

ทฤษฎีบท (เกณฑ์แรกที่เพียงพอสำหรับการมีอยู่ของสุดขั้วของฟังก์ชัน) จุดวิกฤต x0 ฉ(x) ถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชันเปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อผ่านจุดนี้และถ้าเครื่องหมายเปลี่ยนจาก "บวก" เป็น "ลบ" จุดสูงสุดและถ้าจาก "ลบ" เป็น "บวก" จุดต่ำสุด

ถ้าอยู่ใกล้จุด x0 ทางด้านซ้ายและทางขวาของมันอนุพันธ์จะรักษาเครื่องหมายไว้ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันจะลดลงหรือเพิ่มขึ้นเฉพาะในบางส่วนของจุด x0 ... ในกรณีนี้ตรงจุด x0 ไม่มีอะไรสุดโต่ง

ดังนั้น, ในการกำหนดจุดสุดขั้วของฟังก์ชันคุณต้องดำเนินการดังต่อไปนี้ :

1. หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
2. ตั้งค่าอนุพันธ์เป็นศูนย์และกำหนดจุดวิกฤต
3. ทางจิตใจหรือบนกระดาษทำเครื่องหมายจุดวิกฤตบนแกนตัวเลขและกำหนดสัญญาณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่ได้รับ หากเครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจาก "บวก" เป็น "ลบ" จุดวิกฤตคือจุดสูงสุดและถ้าจาก "ลบ" เป็น "บวก" ตามด้วยจุดต่ำสุด
4. คำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดสุดขั้ว

ตัวอย่าง 2. ค้นหา Extrema ของฟังก์ชัน .

การตัดสินใจ. มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

ให้เราตั้งค่าอนุพันธ์เป็นศูนย์เพื่อหาจุดวิกฤต:

.

เนื่องจากค่าใด ๆ ของ "x" ตัวส่วนไม่ใช่ศูนย์เราจึงถือตัวเศษเป็นศูนย์:

มีจุดให้ทิปอย่างหนึ่ง x \u003d 3. ให้เรากำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์ในช่วงเวลาที่คั่นด้วยจุดนี้:

ในช่วงจากลบอินฟินิตี้ถึง 3 - เครื่องหมายลบนั่นคือฟังก์ชันลดลง

ในช่วงตั้งแต่ 3 ถึงบวกอินฟินิตี้ - เครื่องหมายบวกนั่นคือฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น

นั่นคือจุด x \u003d 3 คือจุดต่ำสุด

มาหาค่าของฟังก์ชันที่จุดต่ำสุด:

ดังนั้นจึงพบจุดสุดขั้วของฟังก์ชัน: (3; 0) และเป็นจุดต่ำสุด

ทฤษฎีบท (เกณฑ์ที่เพียงพอประการที่สองสำหรับการมีอยู่ของสุดขั้วของฟังก์ชัน) จุดวิกฤต x0 คือจุดสุดยอดของฟังก์ชัน ฉ(x) ถ้าอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน ณ จุดนี้ไม่ใช่ศูนย์ ( ฉ ""(x) ≠ 0) และถ้าอนุพันธ์อันดับสองมากกว่าศูนย์ ( ฉ ""(x)\u003e 0) แล้วจุดสูงสุดและถ้าอนุพันธ์อันดับสองน้อยกว่าศูนย์ ( ฉ ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

หมายเหตุ 1. ถ้าตรงจุด x0 อนุพันธ์ที่หนึ่งและสองหายไปจากนั้น ณ จุดนี้จึงเป็นไปไม่ได้ที่จะตัดสินการมีอยู่ของสุดขั้วบนพื้นฐานของเกณฑ์ที่เพียงพอที่สอง ในกรณีนี้คุณจำเป็นต้องใช้ตัวบ่งชี้แรกที่เพียงพอของสุดขั้วของฟังก์ชัน

ข้อสังเกต 2. เกณฑ์ที่เพียงพอประการที่สองสำหรับสุดขั้วของฟังก์ชันก็ใช้ไม่ได้เช่นกันหากอนุพันธ์แรกไม่มีอยู่ที่จุดหยุดนิ่ง (อนุพันธ์อันดับสองไม่มีอยู่เช่นกัน) ในกรณีนี้จำเป็นต้องใช้ตัวบ่งชี้แรกที่เพียงพอของฟังก์ชันสุดขั้ว

อักขระท้องถิ่นของ Extrema ของฟังก์ชัน

จากคำจำกัดความข้างต้นเป็นไปตามที่สุดขั้วของฟังก์ชันมีอักขระท้องถิ่นซึ่งเป็นค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันเมื่อเทียบกับค่าที่ใกล้ที่สุด

สมมติว่าคุณกำลังดูรายได้ของคุณในช่วงหนึ่งปี หากคุณได้รับ 45,000 รูเบิลในเดือนพฤษภาคมและ 42,000 รูเบิลในเดือนเมษายนและ 39,000 รูเบิลในเดือนมิถุนายนรายได้ในเดือนพฤษภาคมจะเป็นฟังก์ชันรายได้สูงสุดเมื่อเทียบกับค่าที่ใกล้ที่สุด แต่ในเดือนตุลาคมคุณได้รับ 71,000 รูเบิลในเดือนกันยายน 75,000 รูเบิลและในเดือนพฤศจิกายน 74,000 รูเบิลดังนั้นรายได้ในเดือนตุลาคมจึงเป็นฟังก์ชันรายได้ขั้นต่ำเมื่อเทียบกับค่าใกล้เคียง และคุณจะเห็นได้อย่างง่ายดายว่าค่าสูงสุดในเดือนเมษายน - พฤษภาคม - มิถุนายนนั้นน้อยกว่าค่าต่ำสุดในเดือนกันยายน - ตุลาคม - พฤศจิกายน

โดยทั่วไปฟังก์ชันสามารถมี extrema ได้หลายช่วงเวลาและอาจกลายเป็นว่าค่าต่ำสุดของฟังก์ชันใด ๆ มากกว่าค่าสูงสุดใด ๆ ดังนั้นสำหรับฟังก์ชันที่แสดงในรูปด้านบน

นั่นคือเราไม่ควรคิดว่าค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันคือค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดตามลำดับในช่วงเวลาที่พิจารณาทั้งหมด เมื่อถึงจุดสูงสุดฟังก์ชันจะมีค่ามากที่สุดเมื่อเปรียบเทียบกับค่าที่มีทุกจุดใกล้เคียงกับจุดสูงสุดและที่จุดต่ำสุด - ค่าที่น้อยที่สุดเท่านั้นเมื่อเทียบกับค่าที่มีอยู่ทุกจุดใกล้เคียงกันมากพอ ถึงจุดต่ำสุด

ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะชี้แจงแนวคิดข้างต้นเกี่ยวกับจุดสุดขั้วของฟังก์ชันและเรียกจุดต่ำสุดเป็นจุดต่ำสุดในท้องถิ่นและคะแนนสูงสุด - คะแนนสูงสุดในท้องถิ่น

กำลังมองหาส่วนเกินของฟังก์ชันร่วมกัน

ตัวอย่างที่ 3.

วิธีแก้ไข: ฟังก์ชันถูกกำหนดและต่อเนื่องบนบรรทัดจำนวนเต็ม อนุพันธ์ของมัน ยังมีอยู่ในบรรทัดจำนวนเต็ม ดังนั้นในกรณีนี้จุดวิกฤตจึงเป็นเฉพาะจุดที่กล่าวคือ , ไหนและ. จุดวิกฤตและแบ่งโดเมนทั้งหมดของฟังก์ชันออกเป็นสามช่วงของความน่าเบื่อ:. ลองเลือกจุดควบคุมหนึ่งจุดในแต่ละจุดและหาสัญลักษณ์ของอนุพันธ์ ณ จุดนี้

สำหรับช่วงเวลาจุดควบคุมสามารถ: ค้นหา เราได้จุดในช่วงเวลาและหาจุดในช่วงเวลาเราได้ ดังนั้นในช่วงเวลาและและในช่วงเวลา ตามเกณฑ์แรกที่เพียงพอสำหรับเอกซ์ตรีมไม่มีจุดสุดขั้ว (เนื่องจากอนุพันธ์ยังคงรักษาเครื่องหมายไว้ในช่วงเวลา) และ ณ จุดนั้นฟังก์ชันจะมีค่าต่ำสุด (เนื่องจากการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์มีเครื่องหมายจากลบถึงบวกเมื่อผ่านจุดนี้) มาหาค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน: และ. ในช่วงเวลาฟังก์ชันจะลดลงเช่นเดียวกับในช่วงเวลานี้และในช่วงเวลาจะเพิ่มขึ้นเช่นเดียวกับในช่วงเวลานี้

ในการปรับแต่งการสร้างกราฟเราจะหาจุดตัดกับแกนพิกัด สำหรับเราได้สมการที่มีรากคือพบสองจุด (0; 0) และ (4; 0) ของกราฟฟังก์ชัน โดยใช้ข้อมูลทั้งหมดที่ได้รับเราสร้างกราฟ (ดูที่จุดเริ่มต้นของตัวอย่าง)

สำหรับการตรวจสอบตัวเองระหว่างการคำนวณคุณสามารถใช้ เครื่องคำนวณอนุพันธ์ออนไลน์ .

ตัวอย่างที่ 4.ค้นหา Extrema ของฟังก์ชันและสร้างกราฟ

โดเมนของฟังก์ชันคือเส้นจำนวนเต็มยกเว้นจุดนั่นคือ ...

เพื่อให้การวิจัยสั้นลงคุณสามารถใช้ความจริงที่ว่าฟังก์ชันนี้มีค่าสม่ำเสมอตั้งแต่ ... ดังนั้นกราฟของมันจึงสมมาตรเกี่ยวกับแกน เอ๋ย และการสำรวจสามารถทำได้ในช่วงเวลาหนึ่งเท่านั้น

หาอนุพันธ์ และจุดวิกฤตของฟังก์ชัน:

1) ;

2) ,

แต่ฟังก์ชันหยุดทำงาน ณ จุดนี้จึงไม่สามารถเป็นจุดสุดขั้วได้

ดังนั้นฟังก์ชันที่กำหนดจึงมีจุดวิกฤตสองจุด: และ. โดยคำนึงถึงความเท่าเทียมกันของฟังก์ชันให้เราตรวจสอบเฉพาะจุดตามเกณฑ์ที่สองที่เพียงพอของปลายสุด สำหรับสิ่งนี้เราพบอนุพันธ์อันดับสอง และกำหนดสัญลักษณ์ที่: เราได้รับ ตั้งแต่นั้นมาคือจุดต่ำสุดของฟังก์ชันในขณะที่ .

เพื่อให้ได้ภาพกราฟของฟังก์ชันที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้นเรามาดูพฤติกรรมของมันที่ขอบเขตของโดเมนนิยาม:

(ที่นี่สัญลักษณ์แสดงถึงความปรารถนา x เป็นศูนย์ทางขวาและ x ยังคงเป็นบวก ในทำนองเดียวกันหมายถึงปณิธาน x เป็นศูนย์ทางด้านซ้ายและ x ยังคงเป็นลบ) ดังนั้นถ้าเป็นเช่นนั้น นอกจากนี้เราพบว่า

,

เหล่านั้น ถ้าเป็นเช่นนั้น

กราฟฟังก์ชันไม่มีจุดตัดกับแกน ภาพอยู่ตอนต้นของตัวอย่าง

สำหรับการตรวจสอบตัวเองระหว่างการคำนวณคุณสามารถใช้ เครื่องคำนวณอนุพันธ์ออนไลน์ .

เรายังคงค้นหา Extrema ของฟังก์ชันด้วยกัน

ตัวอย่างที่ 8.ค้นหา Extrema ของฟังก์ชัน

การตัดสินใจ. มาค้นหาโดเมนของฟังก์ชันกัน เนื่องจากต้องมีความไม่เท่าเทียมกันเราจึงได้รับจาก

ลองหาอนุพันธ์แรกของฟังก์ชัน

1 °

1 °. การกำหนดจุดสุดยอดของฟังก์ชัน

แนวคิดเรื่องค่าสูงสุดต่ำสุดสุดขั้วของฟังก์ชันของสองตัวแปรนั้นคล้ายคลึงกับแนวคิดที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันของตัวแปรอิสระหนึ่งตัว

ให้ฟังก์ชั่น z \u003dฉ (x; y) กำหนดไว้ในบางพื้นที่ D, จุด N (x 0;y 0) ง.

จุด (x 0;y 0) เรียกว่าจุด ขีดสุด ฟังก์ชั่น z= ฉ (x;y),หากมีพื้นที่ใกล้เคียงของจุด (x 0;y 0), แต่ละจุดคืออะไร (x; y), แตกต่างจาก (x 0;y 0) จากละแวกนี้ความไม่เท่าเทียมกัน ฉ (x;y)< ฉ (x 0;y 0) ในรูปที่ 12: ไม่มี 1 - จุดสูงสุด a ไม่มี 2 - จุดต่ำสุดของฟังก์ชัน z \u003dฉ (x;y).

ประเด็น ขั้นต่ำ ฟังก์ชัน: สำหรับทุกจุด (x 0;y 0),นอกเหนือจากนี้ (x 0;y 0),จาก d - พื้นที่ใกล้เคียงของจุด (x 0;y 0) ความไม่เท่าเทียมกันถือ: ฉ (x 0;y 0)\u003eฉ (x 0;y 0)

ฟังก์ชันสุดขั้วของตัวแปรสามตัวขึ้นไปจะถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน

เรียกค่าของฟังก์ชันที่จุดสูงสุด (ต่ำสุด) สูงสุด (ต่ำสุด) ฟังก์ชั่น.

ค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันเรียกมัน เอกซ์เทรมา

โปรดสังเกตว่าตามความหมายจุดสุดขั้วของฟังก์ชันอยู่ภายในโดเมนของฟังก์ชัน สูงสุดและต่ำสุดมี ท้องถิ่น (local) character: ค่าของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง (x 0;y 0)จะเปรียบเทียบกับค่าที่จุดใกล้พอที่จะ (x 0;y 0) ในพื้นที่ของ ง ฟังก์ชันสามารถมีหลาย extrema หรือไม่มีเลย

2 °. เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการสุดขั้ว

พิจารณาเงื่อนไขสำหรับการดำรงอยู่ของสุดขั้วของฟังก์ชัน

เท่ากันทางเรขาคณิต ฉ " y (x 0;y 0)\u003d 0 และ ฉ " y (x 0;y 0) \u003d0 หมายความว่าที่จุดสุดขั้วของฟังก์ชัน z = ฉ (x; y) ระนาบสัมผัสกับพื้นผิวแทนฟังก์ชัน ฉ (x; y), ขนานกับระนาบ โอ้หู่ เนื่องจากสมการของระนาบแทนเจนต์คือ z \u003dz 0.

แสดงความคิดเห็น. ฟังก์ชันสามารถมีจุดสุดขั้วที่จุดที่ไม่มีอนุพันธ์ย่อยอย่างน้อยหนึ่งรายการ ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน มีค่าสูงสุดที่จุด เกี่ยวกับ(0; 0) แต่ไม่มีอนุพันธ์บางส่วน ณ จุดนี้

จุดที่อนุพันธ์ย่อยลำดับที่หนึ่งของฟังก์ชัน z = ฉ (x;y) มีค่าเท่ากับศูนย์นั่นคือ ฉ " x = 0, ฉ" y \u003d 0 เรียกว่า จุดหยุดนิ่ง ฟังก์ชั่น z.

จุดนิ่งและจุดที่ไม่มีอนุพันธ์ย่อยอย่างน้อยหนึ่งตัวถูกเรียก จุดวิกฤต

ในจุดวิกฤตฟังก์ชันอาจมีหรือไม่มีแขนขา ความเท่าเทียมกันเป็นศูนย์ของอนุพันธ์ย่อยเป็นเงื่อนไขที่จำเป็น แต่ไม่เพียงพอสำหรับการดำรงอยู่ของสุดขั้ว ตัวอย่างเช่นพิจารณาฟังก์ชัน z = หือ. สำหรับจุดนี้จุด 0 (0; 0) เป็นสิ่งสำคัญ (นั่นคือจุดที่หายไป) อย่างไรก็ตามฟังก์ชันสุดขั้ว z \u003d xy ไม่มีเนื่องจากในบริเวณใกล้เคียงที่มีขนาดเล็กเพียงพอของจุด O (0; 0) จะมีจุดที่ z\u003e 0 (คะแนนไตรมาสที่ I และ III) และ z< 0 (คะแนน II และ IV ไตรมาส)

ดังนั้นในการหาค่าเอกซ์เทรมาของฟังก์ชันในพื้นที่หนึ่ง ๆ จึงจำเป็นต้องนำประเด็นวิกฤตของฟังก์ชันไปทำการวิจัยเพิ่มเติม

หาจุดนิ่งได้จากการแก้ระบบสมการ

fx (x, y) \u003d 0, f "y (x, y) \u003d 0

(เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับสุดขั้ว).

ระบบ (1) เทียบเท่ากับสมการเดียว df (x, y) \u003d 0 โดยทั่วไปที่จุดสุดขั้ว P (a, b) ฟังก์ชั่น f (x, y) หรือ df (x, y) \u003d 0, หรือ df (ก, ข) ไม่ได้อยู่.

3 °. เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับสุดขั้ว... ให้เป็น P (a; b) - จุดนิ่งของฟังก์ชัน ฉ(x, y), เช่น ... df (a, b) \u003d 0... จากนั้น:

และถ้า d2f (a, b)< 0 ที่แล้ว ฉ(ก, ข) มี ขีดสุด ฟังก์ชั่น ฉ (x, y);

b) ถ้า d2f (a, b)\u003e 0 ที่แล้ว ฉ(ก, ข) มี ขั้นต่ำ ฟังก์ชั่น ฉ (x, y);

c) ถ้า d2f (a, b) เครื่องหมายการเปลี่ยนแปลงแล้ว ฉ (ก, ข) ไม่ใช่ส่วนใหญ่ของฟังก์ชัน ฉ (x, y)

เงื่อนไขเหล่านี้เทียบเท่ากับสิ่งต่อไปนี้: และ. มาแต่งกันเถอะ เลือกปฏิบัติ Δ \u003d AC -B².

1) ถ้าΔ\u003e 0 แสดงว่าฟังก์ชันมีจุดสุดยอดที่จุด P (a; b) คือค่าสูงสุดถ้า ก<0 (หรือ จาก<0 ) และขั้นต่ำถ้า A\u003e 0 (หรือ C\u003e 0);

2) ถ้าΔ< 0, то экстремума в точке P (a; b) ไม่;

3) ถ้าΔ \u003d 0 ดังนั้นคำถามเกี่ยวกับการปรากฏตัวของสุดขั้วของฟังก์ชัน ณ จุดนั้น P (a; b) ยังคงเปิดอยู่ (จำเป็นต้องมีการวิจัยเพิ่มเติม)

4 °. กรณีของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว... สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรสามตัวขึ้นไปเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการดำรงอยู่ของสุดขั้วจะคล้ายกับเงื่อนไข (1) และเงื่อนไขที่เพียงพอนั้นคล้ายคลึงกับเงื่อนไขก), ข), ค) 3 °

ตัวอย่าง... ตรวจสอบฟังก์ชัน z \u003d x³ + 3xy²-15x-12y.

การตัดสินใจ. ให้เราหาอนุพันธ์ย่อยและสร้างระบบสมการ (1):

ในการแก้ระบบเราได้คะแนนนิ่งสี่จุด:

ค้นหาอนุพันธ์ของลำดับที่ 2

และสร้างผู้เลือกปฏิบัติ Δ \u003d AC - B² สำหรับแต่ละจุดหยุดนิ่ง

1) สำหรับจุด: , Δ \u003d AC-B² \u003d 36-144<0 ... ดังนั้นจึงไม่มีจุดสุดยอด

2) สำหรับจุด P2: A \u003d 12, B \u003d 6, C \u003d 12; Δ \u003d 144 - 36\u003e 0, A\u003e 0... ที่จุด P2 ฟังก์ชันมีค่าต่ำสุด ค่าต่ำสุดนี้จะเท่ากับค่าของฟังก์ชันที่ x \u003d 2, y \u003d 1: zmin \u003d 8 + 6-30-12 \u003d -28.

3) สำหรับจุด: ก \u003d -6, B \u003d -12, C \u003d -6; Δ \u003d 36-144<0 ... ไม่มีเอ็กซ์ตรีม

4) สำหรับจุด P 4: ก \u003d -12, B \u003d -6, C \u003d -12; Δ \u003d 144-36\u003e 0... ที่จุดР4ฟังก์ชันมีค่าสูงสุดเท่ากับ Zmax \u003d -8 -6 + 30 + 12 \u003d 28.

5 °. เงื่อนไขสุดขั้ว... ในกรณีที่ง่ายที่สุด เงื่อนไขสุดขั้ว ฟังก์ชั่น ฉ(x, y) เรียกว่าค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชันนี้ทำได้ภายใต้เงื่อนไขที่อาร์กิวเมนต์เกี่ยวข้องกับสมการ φ (x, y) \u003d 0 (สมการข้อ จำกัด). เพื่อค้นหาเงื่อนไขสุดขั้วของฟังก์ชัน ฉ(x, y) ต่อหน้าความสัมพันธ์ φ (x, y) \u003d 0สร้างสิ่งที่เรียกว่า ฟังก์ชัน Lagrange

F (x,y) \u003dฉ (x,y) +λφ (x,y),

โดยที่λเป็นปัจจัยคงที่ที่ไม่ได้กำหนดและหาค่าสุดขั้วตามปกติของฟังก์ชันเสริมนี้ เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับสุดขั้วจะลดลงเป็นระบบสามสมการ

กับสามสิ่งที่ไม่รู้จัก x, y, λซึ่งโดยทั่วไปแล้วเป็นไปได้ที่จะระบุสิ่งที่ไม่รู้จักเหล่านี้

คำถามเกี่ยวกับการดำรงอยู่และลักษณะของเงื่อนไขสุดขั้วได้รับการแก้ไขบนพื้นฐานของการศึกษาสัญลักษณ์ของความแตกต่างที่สองของฟังก์ชัน Lagrange

สำหรับระบบค่าที่อยู่ระหว่างการทดสอบ x, y, λได้รับจาก (2) โดยมีเงื่อนไขว่า dx และ du เกี่ยวข้องกับสมการ

.

ได้แก่ ฟังก์ชัน ฉ(x, y) มีเงื่อนไขสูงสุดหาก d²F< 0 และขั้นต่ำตามเงื่อนไขถ้า d²F\u003e 0... โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าเลือกปฏิบัติสำหรับฟังก์ชัน F (x, y) ที่จุดหยุดนิ่งเป็นบวกจากนั้น ณ จุดนี้จะมีฟังก์ชันสูงสุดตามเงื่อนไข ฉ(x, y) ถ้าก ก< 0 (หรือ จาก< 0) และขั้นต่ำตามเงื่อนไขถ้า A\u003e O (หรือ C\u003e 0).

ในทำนองเดียวกันเงื่อนไขสุดขั้วของฟังก์ชันของตัวแปรสามตัวขึ้นไปจะพบในสมการข้อ จำกัด หนึ่งหรือมากกว่า (จำนวนที่ต้องน้อยกว่าจำนวนตัวแปร) ที่นี่มีความจำเป็นที่จะต้องแนะนำในฟังก์ชัน Lagrange เป็นปัจจัยที่ไม่มีกำหนดจำนวนมากเนื่องจากมีสมการข้อ จำกัด

ตัวอย่าง. ค้นหาสุดยอดของฟังก์ชัน z \u003d 6-4x -3ยโดยมีเงื่อนไขว่าตัวแปร x และ ที่ ตอบสนองสมการ x² + y² \u003d 1.

การตัดสินใจ. ในทางเรขาคณิตปัญหาจะลดลงในการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของแอปพลิเคชัน z เครื่องบิน z \u003d 6 - 4x - Zu สำหรับจุดตัดกับกระบอกสูบ x2 + y2 \u003d 1

เราเขียนฟังก์ชัน Lagrange F (x, y) \u003d 6 -4x -3y + λ (x2 + y2 -1).

เรามี ... เงื่อนไขที่จำเป็นให้ระบบสมการ

การแก้ปัญหาที่เราพบ:

.

,

ง²F \u003d 2λ (dx ² +dy ²)

ถ้างั้น ง²F\u003e 0ดังนั้น ณ จุดนี้ฟังก์ชันจึงมีเงื่อนไขขั้นต่ำ ถ้าก แล้ว ง²ฉ<0, ดังนั้น ณ จุดนี้ฟังก์ชันจึงมีเงื่อนไขสูงสุด

ทางนี้,

6 °. ค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน

ให้ฟังก์ชั่น z \u003dฉ (x; y) กำหนดและต่อเนื่องในพื้นที่ปิดที่มีขอบเขต . จากนั้นก็มาถึงในบางจุด มันยิ่งใหญ่ที่สุด ม และเล็กที่สุด t ค่า (เรียกว่า. ระดับโลก) ค่าเหล่านี้ทำได้โดยฟังก์ชันที่จุดที่อยู่ภายในภูมิภาค , หรือตามจุดที่อยู่บนขอบของพื้นที่

อัลกอริทึมง่ายๆสำหรับการค้นหาจุดที่รุนแรง

• หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
• หาอนุพันธ์นี้เป็นศูนย์
• ค้นหาค่าของตัวแปรของนิพจน์ผลลัพธ์ (ค่าของตัวแปรที่อนุพันธ์ถูกแปลงเป็นศูนย์)
• เราแบ่งเส้นพิกัดออกเป็นช่วง ๆ ด้วยค่าเหล่านี้ (ในกรณีนี้อย่าลืมเกี่ยวกับจุดพักซึ่งต้องใช้กับเส้นด้วย) จุดทั้งหมดนี้เรียกว่าจุด "น่าสงสัย" สำหรับปลายสุด
• เราคำนวณช่วงเวลาเหล่านี้ที่อนุพันธ์จะเป็นบวกและลบ ในการทำเช่นนี้คุณต้องแทนที่ค่าจากช่วงเวลาเป็นอนุพันธ์

ในประเด็นที่น่าสงสัยเกี่ยวกับอาการสุดขั้วมีความจำเป็นต้องค้นหาให้ถูกต้อง ในการทำเช่นนี้เราจะดูช่วงเวลาของเราบนเส้นพิกัด ถ้าเมื่อผ่านจุดหนึ่งเครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจากบวกเป็นลบจุดนี้จะเป็น ขีดสุดและถ้าจากลบถึงบวกแล้ว ขั้นต่ำ.

ในการหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันคุณต้องคำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของส่วนและที่จุดสุดขั้ว จากนั้นเลือกค่าสูงสุดและต่ำสุด

ลองพิจารณาตัวอย่าง
ค้นหาอนุพันธ์และตั้งค่าเป็นศูนย์:

ค่าผลลัพธ์ของตัวแปรจะถูกพล็อตบนเส้นพิกัดและคำนวณเครื่องหมายของอนุพันธ์ในแต่ละช่วงเวลา ตัวอย่างเช่นก่อนอื่นมาดูกัน-2 แล้วอนุพันธ์จะเป็น-0,24 สำหรับวินาทีที่เราใช้0 แล้วอนุพันธ์จะเป็น2 และสำหรับครั้งที่สามเรารับ2 แล้วอนุพันธ์จะเป็น-0.24. เราลงป้ายที่เหมาะสม

เราจะเห็นว่าเมื่อผ่านจุด -1 อนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวกนั่นคือมันจะเป็นจุดต่ำสุดและเมื่อผ่าน 1 - จากบวกไปยังลบตามลำดับนี่คือจุดสูงสุด

ค่าฟังก์ชันและคะแนนสูงสุดและต่ำสุด

ค่าฟังก์ชันที่ใหญ่ที่สุด

ค่าฟังก์ชันน้อยที่สุด

ดังที่เจ้าพ่อเคยพูดว่า: "มันไม่มีอะไรเป็นส่วนตัว" อนุพันธ์เท่านั้น!

12 งานสถิติถือว่าค่อนข้างยากและทั้งหมดเป็นเพราะพวกเขาไม่ได้อ่านบทความนี้ (เรื่องตลก) ในกรณีส่วนใหญ่ความประมาทคือการตำหนิ

12 งานแบ่งเป็นสองประเภท:

1. หาจุดสูงสุด / ต่ำสุด (ขอให้หาค่า "x")
2. ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุด / น้อยที่สุดของฟังก์ชัน (ขอให้ค้นหาค่า "y")

จะดำเนินการอย่างไรในกรณีเหล่านี้?

หาจุดสูง / ต่ำ

1. ตั้งค่าเป็นศูนย์
2. พบหรือพบ "x" และจะเป็นจุดต่ำสุดหรือสูงสุด
3. กำหนดสัญญาณโดยใช้วิธีการเว้นระยะห่างและเลือกจุดที่ต้องการในงาน

ภารกิจกับการสอบ:

หาจุดสูงสุดของฟังก์ชัน

• เราใช้อนุพันธ์:

ถูกต้องอันดับแรกฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นจากนั้นลดลง - นี่คือจุดสูงสุด!
คำตอบ: −15

หาจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน

• ลองแปลงร่างและหาอนุพันธ์:

• ยอดเยี่ยม! ขั้นแรกฟังก์ชั่นลดลงจากนั้นเพิ่มขึ้น - นี่คือจุดต่ำสุด!

คำตอบ: −2

ค้นหาค่าฟังก์ชันที่ใหญ่ที่สุด / น้อยที่สุด

1. หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่เสนอ
   
2. ตั้งค่าเป็นศูนย์
   
3. พบ "x" และจะเป็นจุดต่ำสุดหรือสูงสุด
   
4. กำหนดอักขระโดยใช้วิธีการเว้นระยะห่างและเลือกจุดที่ต้องการในงาน
5. ในงานดังกล่าวจะมีการกำหนดช่องว่างเสมอ: xes ที่พบในขั้นตอนที่ 3 จะต้องรวมอยู่ในช่องว่างนี้
6. การแทนที่จุดสูงสุดหรือต่ำสุดที่ได้รับในสมการดั้งเดิมเราจะได้ค่าที่มากที่สุดหรือน้อยที่สุดของฟังก์ชัน

ภารกิจกับการสอบ:

ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันในเซ็กเมนต์ [−4; −1]

คำตอบ: −6

ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันในเซ็กเมนต์

• ค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันเท่ากับ "11" ที่จุดสูงสุด (ในส่วนนี้) "0"

คำตอบ: 11

สรุป:

1. 70% ของความผิดพลาดเกิดจากการที่พวกเขาจำไม่ได้ว่าตอบสนองอะไร ค่าสูงสุด / ต่ำสุดของฟังก์ชันต้องเขียน "y"และใน จุดสูงสุด / ต่ำสุดเขียน "x"
2. อนุพันธ์ไม่มีทางแก้เมื่อหาค่าฟังก์ชัน?ไม่เป็นไรแทนที่จุดสุดขั้วของช่องว่าง!
3. คำตอบสามารถเขียนเป็นตัวเลขหรือเศษทศนิยมได้เสมอ ไม่? จากนั้นแก้ตัวอย่างใหม่
4. ในงานส่วนใหญ่จะได้รับหนึ่งคะแนนและความขี้เกียจของเราที่จะตรวจสอบค่าสูงสุดหรือต่ำสุดจะเป็นธรรม เรามีข้อหนึ่ง - คุณสามารถเขียนตอบกลับได้อย่างปลอดภัย
5. และที่นี่ คุณไม่ควรทำเช่นนี้เมื่อมองหาค่าฟังก์ชัน! ตรวจสอบให้แน่ใจว่านี่คือจุดที่ถูกต้องมิฉะนั้นค่ามากของช่องว่างอาจใหญ่ขึ้นหรือเล็กลง

ฟังก์ชันและการศึกษาคุณลักษณะของมันเป็นหนึ่งในบทสำคัญในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ องค์ประกอบหลักของฟังก์ชันใด ๆ คือกราฟที่ไม่เพียง แต่แสดงคุณสมบัติของฟังก์ชันเท่านั้น แต่ยังรวมถึงพารามิเตอร์ของอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ด้วย ลองมาดูหัวข้อที่ยากนี้ แล้ววิธีใดที่ดีที่สุดในการมองหาจุดสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน?

ฟังก์ชัน: คำจำกัดความ

ตัวแปรใด ๆ ที่ขึ้นอยู่กับค่าของปริมาณอื่นสามารถเรียกได้ว่าเป็นฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน f (x 2) เป็นกำลังสองและกำหนดค่าสำหรับทั้งเซต x สมมติว่า x \u003d 9 แล้วค่าของฟังก์ชันของเราจะเป็น 9 2 \u003d 81

ฟังก์ชันมีหลายรูปแบบ ได้แก่ ตรรกะเวกเตอร์ลอการิทึมตรีโกณมิติตัวเลขและอื่น ๆ จิตใจที่โดดเด่นเช่น Lacroix, Lagrange, Leibniz และ Bernoulli มีส่วนร่วมในการศึกษาของพวกเขา งานเขียนของพวกเขาเป็นเสมือนปราการในการศึกษาหน้าที่ในรูปแบบใหม่ ๆ ก่อนที่จะหาจุดต่ำสุดจำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องเข้าใจความหมายของฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมัน

อนุพันธ์และบทบาทของมัน

ฟังก์ชันทั้งหมดขึ้นอยู่กับค่าตัวแปรซึ่งหมายความว่าสามารถเปลี่ยนค่าได้ตลอดเวลา บนกราฟจะแสดงเป็นเส้นโค้งที่จะลงหรือขึ้นตามลำดับ (นี่คือชุดตัวเลข "y" ทั้งหมดตามแนวตั้งของกราฟ) ดังนั้นคำจำกัดความของจุดสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันจึงเชื่อมโยงกับ "ความผันผวน" เหล่านี้ ให้เราอธิบายว่าความสัมพันธ์นี้คืออะไร

อนุพันธ์ของฟังก์ชันใด ๆ จะถูกพล็อตบนกราฟเพื่อศึกษาลักษณะสำคัญและคำนวณว่าฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงเร็วเพียงใด (กล่าวคือเปลี่ยนค่าขึ้นอยู่กับตัวแปร "x") ในช่วงเวลาที่ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นกราฟของอนุพันธ์ก็จะเพิ่มขึ้นเช่นกัน แต่ในไม่กี่วินาทีฟังก์ชันอาจเริ่มลดลงจากนั้นกราฟของอนุพันธ์จะลดลง จุดที่อนุพันธ์เปลี่ยนจากเครื่องหมายลบไปยังเครื่องหมายบวกเรียกว่าจุดต่ำสุด เพื่อให้ทราบวิธีหาคะแนนขั้นต่ำคุณควรทำความเข้าใจให้ดีขึ้น

ฉันจะคำนวณอนุพันธ์ได้อย่างไร

นิยามและฟังก์ชันแสดงถึงแนวคิดหลายประการจากโดยทั่วไปคำจำกัดความของอนุพันธ์สามารถแสดงได้ดังนี้เป็นค่าที่แสดงอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน

วิธีคำนวณทางคณิตศาสตร์สำหรับนักเรียนหลายคนดูเหมือนจะยาก แต่ในความเป็นจริงแล้วทุกอย่างง่ายกว่ามาก คุณเพียงแค่ต้องทำตามแผนมาตรฐานเพื่อค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันใด ๆ ด้านล่างนี้อธิบายถึงวิธีการหาจุดต่ำสุดของฟังก์ชันโดยไม่ต้องใช้กฎของการสร้างความแตกต่างและไม่ต้องจำตารางอนุพันธ์

1. คุณสามารถคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้กราฟ ในการทำเช่นนี้คุณต้องพรรณนาฟังก์ชันเองจากนั้นใช้จุดหนึ่งจุด (จุด A ในรูป) ลากเส้นในแนวตั้งลงไปที่แกน abscissa (จุด x 0) และที่จุด A วาดแทนเจนต์กับกราฟฟังก์ชัน แกน abscissa และเส้นสัมผัสก่อตัวเป็นมุมหนึ่ง a. ในการคำนวณค่าของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันอย่างรวดเร็วจำเป็นต้องคำนวณแทนเจนต์ของมุมนี้ก.
2. ปรากฎว่าแทนเจนต์ของมุมระหว่างแทนเจนต์และทิศทางของแกน x เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันในส่วนเล็ก ๆ ที่มีจุด A วิธีนี้ถือเป็นวิธีทางเรขาคณิตในการกำหนดอนุพันธ์

วิธีการวิจัยฟังก์ชัน

ในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนคุณสามารถหาจุดต่ำสุดของฟังก์ชันได้สองวิธี เราได้วิเคราะห์วิธีแรกโดยใช้กราฟแล้ว แต่จะหาค่าตัวเลขของอนุพันธ์ได้อย่างไร? ในการทำเช่นนี้คุณจะต้องเรียนรู้สูตรต่างๆที่อธิบายคุณสมบัติของอนุพันธ์และช่วยแปลงตัวแปรเช่น "x" เป็นตัวเลข วิธีการต่อไปนี้เป็นวิธีสากลดังนั้นจึงสามารถใช้ได้กับฟังก์ชันเกือบทุกประเภท (ทั้งเรขาคณิตและลอการิทึม)

1. จำเป็นที่จะต้องนำฟังก์ชันมาเทียบเคียงกับฟังก์ชันอนุพันธ์จากนั้นจึงทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นโดยใช้กฎของความแตกต่าง
2. ในบางกรณีเมื่อมีการกำหนดฟังก์ชันซึ่งตัวแปร "x" อยู่ในตัวหารจำเป็นต้องกำหนดช่วงของค่าที่อนุญาตโดยไม่รวมจุด "0" จากมัน (ด้วยเหตุผลง่ายๆว่าในทางคณิตศาสตร์ไม่ว่าในกรณีใดคุณสามารถหารด้วยศูนย์ได้)
3. หลังจากนั้นคุณควรแปลงรูปแบบเดิมของฟังก์ชันเป็นสมการอย่างง่ายโดยให้นิพจน์ทั้งหมดเป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่นถ้าฟังก์ชันมีลักษณะเช่นนี้ f (x) \u003d 2x 3 + 38x ดังนั้นตามกฎของความแตกต่างอนุพันธ์ของมันคือ f "(x) \u003d 3x 2 +1 จากนั้นเราจะแปลงนิพจน์นี้เป็นสมการของรูปแบบต่อไปนี้: 3x 2 +1 \u003d 0 ...
4. หลังจากแก้สมการและหาจุด "x" แล้วคุณควรวาดมันบน abscissa และพิจารณาว่าอนุพันธ์ในพื้นที่เหล่านี้ระหว่างจุดที่ทำเครื่องหมายเป็นบวกหรือลบ หลังจากกำหนดแล้วจะเห็นได้ชัดว่าจุดใดที่ฟังก์ชันเริ่มลดลงนั่นคือเปลี่ยนเครื่องหมายจากลบไปเป็นตรงกันข้าม ด้วยวิธีนี้คุณจะพบทั้งคะแนนต่ำสุดและสูงสุด

กฎความแตกต่าง

องค์ประกอบพื้นฐานที่สุดในการศึกษาฟังก์ชันและอนุพันธ์คือความรู้เกี่ยวกับกฎของความแตกต่าง ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขาเท่านั้นที่จะสามารถแปลงนิพจน์ขนาดใหญ่และฟังก์ชันที่ซับซ้อนขนาดใหญ่ได้ มาทำความคุ้นเคยกับพวกเขากันดีกว่ามีอยู่ไม่กี่ตัว แต่ทั้งหมดนั้นง่ายมากเนื่องจากคุณสมบัติตามธรรมชาติของทั้งฟังก์ชันกำลังและลอการิทึม

1. อนุพันธ์ของค่าคงที่เป็นศูนย์ (f (x) \u003d 0) นั่นคืออนุพันธ์ f (x) \u003d x 5 + x - 160 จะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้: f "(x) \u003d 5x 4 +1
2. อนุพันธ์ของผลรวมของสองพจน์: (f + w) "\u003d f" w + fw "
3. อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม: (log a d) "\u003d d / ln a * d สูตรนี้ใช้กับลอการิทึมทุกชนิด
4. อนุพันธ์ดีกรี: (x n) "\u003d n * x n-1 ตัวอย่างเช่น (9x 2)" \u003d 9 * 2x \u003d 18x
5. อนุพันธ์ของฟังก์ชันไซน์: (sin a) "\u003d cos a ถ้าบาปของมุม a เท่ากับ 0.5 อนุพันธ์ของมันคือ√3 / 2

จุดสุดยอด

เราได้หาวิธีหาจุดต่ำสุดแล้ว แต่ยังมีแนวคิดเกี่ยวกับจุดสูงสุดของฟังก์ชัน ถ้าค่าต่ำสุดหมายถึงจุดที่ฟังก์ชันผ่านจากเครื่องหมายลบไปยังเครื่องหมายบวกจุดสูงสุดคือจุดเหล่านั้นบนแกน abscissa ที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเปลี่ยนจากบวกเป็นตรงกันข้าม - ลบ

คุณสามารถค้นหาได้โดยวิธีการที่อธิบายไว้ข้างต้น แต่ควรคำนึงถึงว่าพวกเขาแสดงถึงส่วนที่ฟังก์ชันเริ่มลดลงนั่นคืออนุพันธ์จะน้อยกว่าศูนย์

ในทางคณิตศาสตร์เป็นเรื่องปกติที่จะสรุปแนวคิดทั้งสองโดยแทนที่ด้วยวลี "จุดสุดยอด" เมื่องานขอให้กำหนดจุดเหล่านี้หมายความว่าจำเป็นต้องคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้และหาจุดต่ำสุดและสูงสุด