โครงร่างของ Horner ลดระดับ การแยกตัวประกอบฮอร์เนอร์ของพหุนาม

โดยปกติแล้วพหุนามจะแสดงเป็น:

$ f (x) \u003d \\ sum \\ LIMIT_ (k \u003d 0) ^ (n) a_k x ^ k $

f (x) \u003d a 0 + ก 1 x + ก 2 x 2 + ... + ก x k

ที่ไหน ก นี่คือจำนวนจริงที่แสดงถึงสัมประสิทธิ์ของพหุนามและ
x k นี่คือตัวแปรพหุนาม

พหุนามข้างต้นเรียกว่าพหุนามดีกรีที่ n นั่นคือ deg (f (x)) \u003d nที่ไหน n แสดงถึงระดับสูงสุดของตัวแปร

โครงร่างของ Horner สำหรับการหารพหุนามเป็นอัลกอริทึมที่ช่วยให้การคำนวณค่าของพหุนามง่ายขึ้น f (x) ที่ค่าหนึ่ง x \u003d x 0 โดยการหารพหุนามเป็นโมโนเมียล (พหุนามของดีกรีที่ 1) โมโนเมียลแต่ละตัวมีกระบวนการคูณมากที่สุดและกระบวนการบวกหนึ่งกระบวนการ ผลลัพธ์ที่ได้จากโมโนเมียลหนึ่งจะถูกเพิ่มเข้าไปในผลลัพธ์ที่ได้จากโมโนเมียลถัดไปและอื่น ๆ ในลักษณะสะสม กระบวนการฟิชชันนี้เรียกอีกอย่างว่าฟิชชันสังเคราะห์

เพื่ออธิบายข้างต้นเรามาเขียนพหุนามใหม่ในรูปแบบขยาย

f (x 0) \u003d a 0 + ก 1 x 0 + ก 2 x 0 2 + ... + a n x 0 n

นอกจากนี้ยังสามารถเขียนเป็น:

f (x 0) \u003d a 0 + x 0 (ก 1 + x 0 (ก 2 + x 0 (ก 3 + ... + (a n-1 + a n x 0) .... )

อัลกอริทึมที่เสนอโดยโครงร่างนี้ขึ้นอยู่กับการค้นหาค่าของโมโนเมียลที่เกิดขึ้นข้างต้นโดยเริ่มจากค่าที่อยู่ในวงเล็บเพิ่มเติมและเคลื่อนออกไปด้านนอกเพื่อค้นหาค่าของโมโนเมียลในวงเล็บด้านนอก

อัลกอริทึมถูกเรียกใช้โดยทำตามขั้นตอนด้านล่าง:

1. ระบุ k \u003d n
2. ให้ b k \u003d a k
3. ให้ ข k - 1 \u003d a k - 1 + b k x 0
4. ปล่อยให้ k \u003d k - 1
5. ถ้า k ≥ 0จากนั้นกลับไปที่ขั้นตอนที่ 3
มิฉะนั้นสิ้นสุด

อัลกอริทึมนี้สามารถมองเห็นได้ในรูปแบบกราฟิกโดยคำนึงถึงพหุนามระดับที่ 5 ที่กำหนด:

f (x) \u003d ก 0 + ก 1 x + ก 2 x 2 + ก 3 x 3 + ก 4 x 4 + ก 5 x 5

ซึ่งพบค่าเป็น x \u003d x 0โดยจัดเรียงใหม่ดังนี้:

f (x 0) \u003d ก 0 + x 0 (ก 1 + x 0 (ก 2 + x 0 (ก 3 + x 0 (ก 4 + ก 5 x 0))))

อีกวิธีหนึ่งในการนำเสนอผลลัพธ์โดยใช้อัลกอริทึมนี้อยู่ในรูปแบบของตารางด้านล่าง:

ดังนั้น f (2) \u003d 83

ทำไมเราต้องทำเช่นนี้?

โดยปกติแล้วการหาค่าของพหุนามที่ค่าหนึ่งของตัวแปรเราจะใช้แทนค่านี้ในการคำนวณพหุนามและดำเนินการ นอกจากนี้เรายังสามารถพัฒนาโปรแกรมคอมพิวเตอร์สำหรับการคำนวณทางคณิตศาสตร์ซึ่งเป็นสิ่งจำเป็นเมื่อต้องจัดการกับพหุนามที่ซับซ้อนในระดับที่สูงขึ้น

วิธีที่คอมพิวเตอร์จัดการกับปัญหานั้นส่วนใหญ่ขึ้นอยู่กับวิธีที่คุณในฐานะโปรแกรมเมอร์อธิบายกับคอมพิวเตอร์ คุณสามารถออกแบบโปรแกรมของคุณเพื่อค้นหาค่าของพหุนามโดยการแทนที่ค่าของตัวแปรโดยตรงหรือใช้การหารสังเคราะห์ที่กำหนดในโครงร่างของ Horner ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวระหว่างสองแนวทางนี้คือความเร็วที่คอมพิวเตอร์จะหาทางแก้ไขในกรณีเฉพาะ

ข้อดีของโครงร่างของ Horner คือช่วยลดจำนวนการคูณ เมื่อพิจารณาว่าเวลาในการประมวลผลของแต่ละขั้นตอนการคูณนั้นนานกว่าเวลาประมวลผลของกระบวนการเพิ่ม 5 ถึง 20 เท่าคุณสามารถยืนยันได้ว่าการสร้างโปรแกรมเพื่อหาค่าของพหุนามตามแบบแผนของ Horner จะช่วยลดเวลาในการคำนวณที่คอมพิวเตอร์ใช้

ทฤษฎีบทของ Bezoutแม้จะมีความเรียบง่ายและชัดเจน แต่ก็เป็นหนึ่งในทฤษฎีบทพื้นฐานของทฤษฎีพหุนาม ในทฤษฎีบทนี้ลักษณะทางพีชคณิตของพหุนาม (อนุญาตให้ทำงานกับพหุนามเช่นเดียวกับจำนวนเต็ม) เกี่ยวข้องกับลักษณะการทำงานของมัน (ซึ่งทำให้เราสามารถพิจารณาพหุนามเป็นฟังก์ชันได้)

ทฤษฎีบทของ Bezout ระบุว่าส่วนที่เหลือของการหารพหุนามด้วยพหุนามคือ

ค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามแฝงอยู่ในวงแหวนสับเปลี่ยนที่มีเอกภาพ (ตัวอย่างเช่นในด้านจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน)

ทฤษฎีบทของ Bezout เป็นเครื่องพิสูจน์

เราหารด้วยส่วนที่เหลือเป็นพหุนาม P (x) โดยพหุนาม (x-a):

จากข้อเท็จจริงที่ว่า องศา R (x)< deg (x-a) = 1 - พหุนามขององศามากที่สุดเป็นศูนย์ เราแทนที่เนื่องจากเราได้รับ .

แต่สิ่งที่สำคัญที่สุดไม่ใช่แค่ทฤษฎีบท แต่เป็นข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทของ Bezout:

1. Number คือรากของพหุนาม P (x) ถ้าและต่อเมื่อ P (x) หารเป็นทวินาม x-a.

จากสิ่งนี้ชุดของรากของพหุนาม P (x) เหมือนกับชุดรากของสมการที่เกี่ยวข้อง x-a.

2. ระยะอิสระของพหุนามหารด้วยจำนวนเต็มรากของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม (เมื่อสัมประสิทธิ์นำหน้าเท่ากับหนึ่งรากที่เป็นเหตุเป็นผลทั้งหมดจะเป็นจำนวนเต็ม)

3. สมมติว่าเป็นรากจำนวนเต็มของพหุนามที่ลดลง P (x) ด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ดังนั้นสำหรับจำนวนเต็มใด ๆ จำนวนจึงหารด้วย

ทฤษฎีบทของ Bezout ทำให้เป็นไปได้เมื่อพบรากหนึ่งของพหุนามเพื่อค้นหารากของพหุนามที่มีระดับน้อยกว่า 1 อยู่แล้ว: ถ้าดังนั้นพหุนามที่กำหนด P (x) จะมีลักษณะดังนี้:

ตัวอย่างทฤษฎีบทของ Bezout:

ค้นหาส่วนที่เหลือของการหารพหุนามด้วยทวินาม

ตัวอย่างการแก้ปัญหาทฤษฎีบทของ Bezout:

ตามทฤษฎีบทของ Bezout เศษที่เหลือที่ต้องการจะสอดคล้องกับค่าของพหุนามที่จุด จากนั้นเราจะพบว่าเราแทนที่ค่านี้ในนิพจน์สำหรับพหุนามแทน เราได้รับ:

ตอบ: ส่วนที่เหลือ \u003d 5.

โครงการของ Horner

โครงการของ Horner เป็นอัลกอริทึมสำหรับหาร (หารด้วยโครงร่างของ Horner) ของพหุนามซึ่งเขียนขึ้นสำหรับกรณีเฉพาะถ้าผลหารเท่ากับทวินาม

มาสร้างอัลกอริทึมนี้:

สมมติว่าเป็นเงินปันผล

ส่วนตัว (ระดับของมันน่าจะน้อยกว่า) ร - ส่วนที่เหลือ (เนื่องจากการหารดำเนินการโดยพหุนาม ที่ 1 องศาจากนั้นระดับของส่วนที่เหลือจะน้อยกว่าหนึ่งเช่น ศูนย์ดังนั้นส่วนที่เหลือจึงเป็นค่าคงที่)

ตามความหมายของการหารด้วยเศษเหลือ P (x) \u003d Q (x) (x-a) + r... หลังจากการแทนที่นิพจน์ของพหุนามเราได้รับ:

เราเปิดวงเล็บและหาค่าสัมประสิทธิ์ในองศาเดียวกันหลังจากนั้นเราจะแสดงค่าสัมประสิทธิ์ของผลหารผ่านค่าสัมประสิทธิ์ของการปันผลและตัวหาร:

สะดวกในการสรุปการคำนวณในตารางต่อไปนี้:

ในเซลล์เหล่านั้นจะถูกไฮไลต์เนื้อหาที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณในขั้นตอนถัดไป

ตัวอย่างโครงการของ Horner:

ให้จำเป็นต้องแบ่งพหุนามเป็นทวินาม x-2.

สร้างตารางที่มีสองแถว ใน 1 บรรทัดเราเขียนค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามของเรา ในบรรทัดที่สองเราจะได้ค่าสัมประสิทธิ์ของผลหารไม่สมบูรณ์ตามรูปแบบต่อไปนี้ก่อนอื่นเราเขียนค่าสัมประสิทธิ์อาวุโสของพหุนามที่กำหนดใหม่จากนั้นเพื่อให้ได้ค่าสัมประสิทธิ์ถัดไปเราจะคูณค่าสุดท้ายที่พบด้วย a \u003d 2 และเพิ่มด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามที่สอดคล้องกัน F (x)... ค่าสัมประสิทธิ์ล่าสุดจะเป็นส่วนที่เหลือและค่าก่อนหน้าทั้งหมดจะเป็นสัมประสิทธิ์ของผลหารไม่สมบูรณ์

เว็บไซต์ "ครูสอนพิเศษคณิตศาสตร์มืออาชีพ" ยังคงเป็นวงจรของบทความเกี่ยวกับวิธีการสอน ฉันเผยแพร่คำอธิบายวิธีการทำงานของฉันพร้อมกับหัวข้อที่ยากและเป็นปัญหาที่สุดของหลักสูตรของโรงเรียน เนื้อหานี้จะเป็นประโยชน์สำหรับครูและผู้สอนวิชาคณิตศาสตร์ที่ทำงานร่วมกับนักเรียนในเกรด 8-11 ทั้งในโปรแกรมปกติและในชั้นเรียนคณิตศาสตร์

ครูสอนพิเศษคณิตศาสตร์ไม่สามารถอธิบายเนื้อหาที่นำเสนอไม่ดีในหนังสือเรียนได้เสมอไป น่าเสียดายที่มีหัวข้อดังกล่าวมากขึ้นเรื่อย ๆ และข้อผิดพลาดในการนำเสนอตามผู้เขียนคู่มือมีความมุ่งมั่นอย่างมาก สิ่งนี้ใช้ไม่เพียงกับผู้สอนคณิตศาสตร์ระดับเริ่มต้นและผู้สอนพิเศษนอกเวลาเท่านั้น (ผู้สอน - นักเรียนและผู้สอนในมหาวิทยาลัย) แต่ยังรวมถึงครูผู้สอนที่มีประสบการณ์ผู้สอน - มืออาชีพผู้สอนที่มีประสบการณ์และคุณสมบัติ ผู้สอนวิชาคณิตศาสตร์บางคนไม่ได้มีความสามารถในการพิสูจน์อักษรที่มีความสามารถเกี่ยวกับความหยาบของหนังสือเรียนในโรงเรียน ไม่ใช่ทุกคนที่เข้าใจว่าการแก้ไข (หรือเพิ่มเติม) เหล่านี้เป็นสิ่งที่จำเป็น มีเพียงไม่กี่คนที่มีส่วนร่วมในการปรับเปลี่ยนเนื้อหาเพื่อการรับรู้เชิงคุณภาพของเด็ก ๆ น่าเสียดายที่เวลาผ่านไปเมื่อครูคณิตศาสตร์ร่วมกับนักระเบียบวิธีและผู้เขียนสิ่งพิมพ์ได้สนทนากันอย่างหนาแน่นในหนังสือเรียนทุกตัวอักษร ก่อนหน้านี้ก่อนที่จะนำหนังสือเรียนเข้าโรงเรียนพวกเขาได้ทำการวิเคราะห์และวิจัยอย่างจริงจังเกี่ยวกับผลการเรียนรู้ ถึงเวลาแล้วสำหรับมือสมัครเล่นที่ต้องการทำให้คู่มือเป็นสากลโดยปรับให้เข้ากับมาตรฐานของชั้นเรียนคณิตศาสตร์ที่แข็งแกร่ง

การแข่งขันเพื่อเพิ่มปริมาณข้อมูลเพียงนำไปสู่การลดคุณภาพของการดูดซึมและส่งผลให้ระดับความรู้จริงในคณิตศาสตร์ลดลง แต่ไม่มีใครให้ความสำคัญกับเรื่องนี้ และลูก ๆ ของเราถูกบังคับให้เรียนในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 สิ่งที่เราผ่านมาที่สถาบัน: ทฤษฎีความน่าจะเป็นการแก้สมการที่มีดีกรีสูงและอย่างอื่น การดัดแปลงเนื้อหาในหนังสือเพื่อการรับรู้ที่สมบูรณ์ของเด็กทำให้เป็นที่ต้องการอย่างมากและครูสอนพิเศษคณิตศาสตร์ถูกบังคับให้ต่อสู้กับมัน

เรามาพูดถึงวิธีการสอนของหัวข้อเฉพาะเช่น "การหารพหุนามด้วยพหุนามด้วยมุม" หรือที่รู้จักกันดีในคณิตศาสตร์สำหรับผู้ใหญ่ว่า "ทฤษฎีของเบซูต์และโครงร่างของฮอร์เนอร์" เมื่อสองสามปีก่อนคำถามนี้ไม่ได้รุนแรงสำหรับครูสอนพิเศษคณิตศาสตร์เพราะเขาไม่ได้รวมอยู่ในหลักสูตรหลักของโรงเรียน ตอนนี้ผู้เขียนที่เคารพนับถือของตำราเรียนซึ่งแก้ไขโดย Telyakovsky ได้ทำการเปลี่ยนแปลงฉบับล่าสุดที่ดีที่สุดในความคิดของฉันตำราเรียนและในที่สุดการทำลายมันก็เพิ่มความกังวลที่ไม่จำเป็นให้กับผู้สอนเท่านั้น ครูในโรงเรียนและชั้นเรียนที่ไม่มีสถานะของคณิตศาสตร์โดยมุ่งเน้นที่นวัตกรรมของผู้เขียนเริ่มใส่ย่อหน้าเพิ่มเติมในบทเรียนบ่อยขึ้นและเด็ก ๆ ที่อยากรู้อยากเห็นดูหน้าสวย ๆ ของหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ของพวกเขาบ่อยขึ้นถามครูสอนพิเศษว่า“ การแบ่งมุมนี้คืออะไร? เราจะผ่านสิ่งนี้ไปหรือไม่? แบ่งมุมยังไง " คุณไม่สามารถซ่อนจากคำถามโดยตรงเช่นนั้นได้ ครูสอนพิเศษจะต้องบอกเด็กบางอย่าง

แต่เป็น? อาจเป็นไปได้ว่าฉันจะไม่อธิบายวิธีการทำงานกับหัวข้อหากมีการนำเสนออย่างถูกต้องในตำราเรียน เป็นยังไงบ้างกับเรา? ต้องพิมพ์หนังสือเรียนและจำหน่าย และสำหรับสิ่งนี้พวกเขาจำเป็นต้องได้รับการอัปเดตเป็นประจำ อาจารย์มหาวิทยาลัยบ่นว่าเด็ก ๆ มาหาพวกเขาด้วยหัวว่างเปล่าไม่มีความรู้และทักษะ? ความต้องการทางคณิตศาสตร์เพิ่มขึ้นหรือไม่? ยอดเยี่ยม! ลองนำแบบฝึกหัดบางส่วนออกและแทรกหัวข้อที่สอนในโปรแกรมอื่นแทน ทำไมหนังสือเรียนของเราแย่ลง? มารวมบทเพิ่มเติมกัน เด็กนักเรียนไม่ทราบกฎการแบ่งตามมุม? นี่คือคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา จำเป็นต้องทำให้ย่อหน้าดังกล่าวเป็นตัวเลือกโดยมีหัวข้อว่า "สำหรับผู้ที่ต้องการทราบข้อมูลเพิ่มเติม" ติวเตอร์ต่อต้าน? เราสนใจอะไรเกี่ยวกับติวเตอร์โดยทั่วไป? นักระเบียบวิธีและครูในโรงเรียนคัดค้านด้วยหรือไม่? เราจะไม่ทำให้เนื้อหาซับซ้อนและจะพิจารณาส่วนที่เรียบง่ายที่สุดของมัน

และนี่คือจุดเริ่มต้น ความเรียบง่ายของหัวข้อและคุณภาพของการดูดซึมประกอบด้วยประการแรกในความเข้าใจในตรรกะและไม่ใช่ในความจริงที่ว่าตามคำแนะนำของผู้เขียนตำราให้ดำเนินการบางอย่างที่ไม่เกี่ยวข้องกันอย่างชัดเจน ไม่งั้นหมอกในหัวนักเรียนจะจัดให้ หากผู้เขียนคาดหวังกับนักเรียนที่ค่อนข้างแข็งแกร่ง (แต่กำลังศึกษาในโปรแกรมปกติ) คุณไม่ควรส่งหัวข้อในรูปแบบทีม เราเห็นอะไรในหนังสือเรียน? ควรแบ่งเด็กตามกฎนี้ หาพหุนามใต้มุม ดังนั้นพหุนามดั้งเดิมจึงถูกแยกตัวประกอบ อย่างไรก็ตามไม่ชัดเจนว่าเหตุใดจึงเลือกคำที่อยู่ใต้มุมด้วยวิธีนี้เหตุใดจึงต้องคูณด้วยพหุนามเหนือมุมแล้วลบออกจากส่วนที่เหลือในปัจจุบัน และที่สำคัญที่สุดคือไม่มีความชัดเจนว่าเหตุใดจึงต้องเพิ่มโมโนเมียลที่เลือกในตอนท้ายและเหตุใดวงเล็บที่เป็นผลลัพธ์จึงเป็นการสลายตัวของพหุนามดั้งเดิม นักคณิตศาสตร์ที่มีความสามารถทุกคนจะใส่เครื่องหมายคำถามตัวหนาไว้เหนือคำอธิบายที่ให้ไว้ในหนังสือเรียน

ฉันนำความสนใจของครูสอนพิเศษและครูคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหาของฉันซึ่งทำให้ทุกอย่างที่ระบุไว้ในหนังสือเรียนเป็นที่ประจักษ์แก่นักเรียน ในความเป็นจริงเราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Bezout: ถ้าจำนวน a เป็นรากของพหุนามพหุนามนี้สามารถแยกย่อยออกเป็นปัจจัยได้ซึ่งหนึ่งในนั้นคือ x-a และค่าที่สองจะได้รับจากต้นฉบับด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งในสามวิธี: โดยการแยกตัวประกอบเชิงเส้นผ่านการแปลงหารด้วยมุมหรือตามโครงร่างของ Horner ด้วยสูตรนี้จะช่วยให้ครูสอนพิเศษคณิตศาสตร์ทำงานได้ง่ายขึ้น

วิธีการสอนคืออะไร? ประการแรกมันเป็นลำดับที่ชัดเจนในลำดับของคำอธิบายและตัวอย่างบนพื้นฐานของข้อสรุปทางคณิตศาสตร์ หัวข้อนี้ไม่มีข้อยกเว้น เป็นสิ่งสำคัญมากสำหรับครูสอนพิเศษคณิตศาสตร์ที่จะแนะนำให้เด็กรู้จักทฤษฎีบทของ Bezout ก่อนทำการแบ่งมุม... มันสำคัญมาก! วิธีที่ดีที่สุดในการบรรลุความเข้าใจคือผ่านตัวอย่างที่เป็นรูปธรรม ลองหาพหุนามกับรูทที่เลือกแล้วแสดงเทคนิคการแยกตัวประกอบโดยใช้วิธีการแปลงที่เหมือนกันซึ่งนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 คุ้นเคยกันดี ด้วยคำอธิบายสำเนียงและเคล็ดลับที่เหมาะสมจากครูสอนพิเศษคณิตศาสตร์จึงเป็นไปได้มากที่จะถ่ายทอดเนื้อหาโดยไม่ต้องคำนวณทางคณิตศาสตร์ทั่วไปค่าสัมประสิทธิ์และองศาโดยพลการ

คำแนะนำที่สำคัญสำหรับครูสอนพิเศษคณิตศาสตร์ - ทำตามคำแนะนำตั้งแต่ต้นจนจบและอย่าเปลี่ยนลำดับนี้

สมมุติว่าเรามีพหุนาม ถ้าเราแทนเลข 1 แทนค่า x ค่าของพหุนามจะเท่ากับศูนย์ ดังนั้น x \u003d 1 คือรากของมัน ลองแยกย่อยออกเป็นสองพจน์เพื่อให้หนึ่งในนั้นเป็นผลคูณของนิพจน์เชิงเส้นและโมโนเมียลบางค่าและอันที่สองมีดีกรีน้อยกว่าหนึ่ง นั่นคือเราแสดงในรูปแบบ

เราเลือก monomial สำหรับฟิลด์สีแดงดังนั้นเมื่อคูณด้วยพจน์นำหน้าจะตรงกับพจน์นำของพหุนามดั้งเดิมอย่างสมบูรณ์ หากนักเรียนไม่ใช่คนที่อ่อนแอที่สุดเขาจะสามารถตั้งชื่อนิพจน์ที่ต้องการให้กับครูสอนพิเศษคณิตศาสตร์ได้: ครูสอนพิเศษควรเสนอให้ใส่ลงในกล่องสีแดงทันทีและแสดงสิ่งที่จะได้รับเมื่อเปิด ที่ดีที่สุดคือเซ็นชื่อพหุนามชั่วคราวเสมือนนี้ใต้ลูกศร (ใต้ภาพถ่าย) โดยเน้นด้วยสีบางสีเช่นสีน้ำเงิน สิ่งนี้จะช่วยในการเลือกคำศัพท์สำหรับฟิลด์สีแดงซึ่งเรียกว่าส่วนที่เหลือของการเลือก ฉันจะแนะนำให้ผู้สอนชี้ให้เห็นตรงนี้ว่าส่วนที่เหลือสามารถหาได้โดยการลบ การดำเนินการนี้เราจะได้รับ:

ครูสอนพิเศษคณิตศาสตร์ควรดึงดูดความสนใจของนักเรียนให้เข้าใจว่าการแทนที่หนึ่งในความเท่าเทียมกันนี้เรารับประกันได้ว่าจะได้ศูนย์ทางด้านซ้าย (เนื่องจาก 1 เป็นรากของพหุนามดั้งเดิม) และทางด้านขวาเราจะศูนย์ในเทอมแรกด้วย ดังนั้นหากไม่มีการตรวจสอบใด ๆ เราสามารถพูดได้ว่าสิ่งหนึ่งคือรากของ "กากสีเขียว"

เราจะทำกับมันในลักษณะเดียวกับที่เราทำกับพหุนามดั้งเดิมโดยแยกตัวประกอบเชิงเส้นเดียวกันออกจากมัน ครูสอนพิเศษคณิตศาสตร์วาดสองเฟรมต่อหน้านักเรียนและขอให้กรอกจากซ้ายไปขวา

นักเรียนเลือกโมโนเมียลสำหรับฟิลด์สีแดงสำหรับครูสอนพิเศษดังนั้นเมื่อคูณด้วยพจน์นำหน้าของนิพจน์เชิงเส้นเขาจะให้คำนำหน้าของพหุนามขยาย เราเข้าสู่กรอบแทนเจนต์เปิดวงเล็บทันทีและไฮไลต์นิพจน์ที่ต้องการลบออกจากนิพจน์ที่ขยายเป็นสีน้ำเงิน เราได้รับการดำเนินการนี้

และสุดท้ายทำเช่นเดียวกันกับสารตกค้างสุดท้าย

เราได้รับในที่สุด

ทีนี้มาเอานิพจน์ออกจากวงเล็บและเราจะมีการสลายตัวของพหุนามดั้งเดิมเป็นปัจจัยหนึ่งในนั้นคือ "x ลบรากที่เลือก"

เพื่อไม่ให้นักเรียนคิดว่า "กากสีเขียว" สุดท้ายได้สลายตัวไปเป็นปัจจัยที่จำเป็นโดยไม่ได้ตั้งใจครูสอนพิเศษคณิตศาสตร์ควรชี้ให้เห็นคุณสมบัติที่สำคัญของสารตกค้างสีเขียวทั้งหมด - แต่ละคนมีรากที่ 1 เนื่องจากระดับของสารตกค้างเหล่านี้ลดลงไม่ว่าจะเริ่มต้นในระดับใดก็ตาม ไม่มีการให้พหุนามแก่เราไม่ช้าก็เร็วเราจะได้ "เศษสีเขียว" เชิงเส้นที่มีรากเป็น 1 ดังนั้นจึงต้องถูกย่อยสลายเป็นผลคูณของจำนวนและนิพจน์

หลังจากเตรียมงานดังกล่าวครูสอนพิเศษคณิตศาสตร์จะไม่ยากที่จะอธิบายให้นักเรียนเข้าใจว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อแบ่งมุม นี่เป็นกระบวนการเดียวกันเฉพาะในรูปแบบที่สั้นกว่าและกะทัดรัดกว่าโดยไม่มีเครื่องหมายที่เท่ากันและไม่มีการเขียนคำศัพท์ที่เลือกซ้ำ พหุนามที่ดึงตัวประกอบเชิงเส้นจะถูกเขียนไว้ทางด้านซ้ายของมุมโมโนเมียลสีแดงที่เลือกจะถูกรวบรวมที่มุมหนึ่ง (ตอนนี้มันชัดเจนแล้วว่าทำไมจึงควรบวกกัน) เพื่อให้ได้ "พหุนามสีน้ำเงิน" ค่า "สีแดง" จะต้องคูณด้วย x-1 แล้วลบออกจากค่าปัจจุบันที่เลือก วิธีนี้ทำได้ในการหารตัวเลขตามปกติในคอลัมน์ (ในที่นี้เป็นการเปรียบเทียบกับการศึกษาก่อนหน้านี้) "กากสีเขียว" ที่เกิดขึ้นจะต้องมีการเลือกใหม่และการเลือก "โมโนเมียลสีแดง" ไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะได้ "กากสีเขียว" เป็นศูนย์ สิ่งที่สำคัญที่สุดคือนักเรียนมีความชัดเจนเกี่ยวกับชะตากรรมของพหุนามที่เขียนไว้ด้านบนและด้านล่างของมุม เห็นได้ชัดว่านี่คือวงเล็บที่มีผลิตภัณฑ์เท่ากับพหุนามดั้งเดิม

ขั้นตอนต่อไปของงานของครูสอนพิเศษคณิตศาสตร์คือการกำหนดทฤษฎีบทของ Bezout จริงๆแล้วการกำหนดสูตรด้วยวิธีนี้ของครูสอนพิเศษจะชัดเจน: ถ้าตัวเลข a เป็นรากของพหุนามก็สามารถแยกย่อยออกเป็นปัจจัยได้ซึ่งหนึ่งในนั้นและอีกวิธีหนึ่งได้มาจากต้นฉบับด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งในสามวิธี:

• การสลายตัวโดยตรง (คล้ายกับวิธีการจัดกลุ่ม)
• หารด้วยมุม (ในคอลัมน์)
• ผ่านโครงการของ Horner

ต้องบอกว่าไม่ใช่ผู้สอนคณิตศาสตร์ทุกคนที่แสดงให้นักเรียนเห็นถึงโครงร่างของ Horner และไม่ใช่ว่าครูในโรงเรียนทุกคน (โชคดีสำหรับผู้สอนเอง) ที่เจาะลึกหัวข้อในห้องเรียน อย่างไรก็ตามสำหรับนักเรียนชั้นเรียนคณิตศาสตร์ฉันไม่เห็นเหตุผลที่จะหยุดการหารยาว ยิ่งไปกว่านั้นสะดวกที่สุดและ รวดเร็ว เทคนิคการสลายตัวขึ้นอยู่กับโครงร่างของ Horner อย่างแม่นยำ เพื่ออธิบายให้เด็กเข้าใจว่ามันมาจากไหนก็เพียงพอที่จะติดตามโดยใช้ตัวอย่างของการหารด้วยมุมการปรากฏตัวของสัมประสิทธิ์อาวุโสในสารตกค้างสีเขียว เป็นที่ชัดเจนว่าค่าสัมประสิทธิ์ชั้นนำของพหุนามเริ่มต้นถูกโอนไปยังค่าสัมประสิทธิ์ของ "โมโนเมียลสีแดง" ตัวแรกและต่อจากสัมประสิทธิ์ที่สองของพหุนามตอนบน หักผลของการคูณค่าสัมประสิทธิ์ปัจจุบันของ "โมโนเมียลสีแดง" ด้วย จึงเป็นไปได้ เพิ่ม ผลลัพธ์ของการคูณด้วย หลังจากเน้นความสนใจของนักเรียนไปที่ลักษณะเฉพาะของการกระทำที่มีสัมประสิทธิ์แล้วครูสอนคณิตศาสตร์สามารถแสดงให้เห็นว่าการกระทำเหล่านี้มักจะดำเนินการอย่างไรโดยไม่ต้องบันทึกตัวแปรด้วยตนเอง ด้วยเหตุนี้จึงสะดวกในการป้อนรูทและค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามเริ่มต้นตามลำดับความสำคัญในตารางต่อไปนี้:

หากไม่มีองศาใด ๆ ในพหุนามค่าสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์จะถูกบังคับให้อยู่ในตาราง ค่าสัมประสิทธิ์ของ "พหุนามสีแดง" ตามกฎ "hook" เขียนไว้ที่บรรทัดล่างสุดทีละบรรทัด:

รากจะคูณด้วย "สัมประสิทธิ์สีแดง" ที่ถูกลบออกไปล่าสุดบวกกับค่าสัมประสิทธิ์ถัดไปของบรรทัดบนสุดและผลลัพธ์จะถูกนำไปที่บรรทัดล่างสุด ในคอลัมน์สุดท้ายเรารับประกันได้ว่าจะได้ค่าสัมประสิทธิ์อาวุโสของ "กากสีเขียว" สุดท้ายนั่นคือศูนย์ หลังจากเสร็จสิ้นกระบวนการตัวเลข คั่นกลางระหว่างรูทที่ตรงกันและส่วนที่เหลือเป็นศูนย์ กลายเป็นสัมประสิทธิ์ของปัจจัยที่สอง (ไม่ใช่เชิงเส้น)

เนื่องจากรูท a ให้ศูนย์ที่ส่วนท้ายของบรรทัดล่างจึงสามารถใช้โครงร่างของ Horner เพื่อทดสอบตัวเลขสำหรับรูทของพหุนาม หากมีทฤษฎีบทพิเศษเกี่ยวกับการเลือกรากที่มีเหตุผล ผู้สมัครทั้งหมดสำหรับชื่อนี้ที่ได้รับด้วยความช่วยเหลือจะถูกแทรกทีละคนทางด้านซ้ายในโครงร่าง Horner ทันทีที่เราได้ศูนย์จำนวนที่ทดสอบจะเป็นรูทและในเวลาเดียวกันเราจะได้รับสัมประสิทธิ์ของการแยกตัวประกอบของพหุนามดั้งเดิมบนเส้นของมัน สบายมาก.

โดยสรุปฉันต้องการทราบว่าสำหรับการแนะนำโครงการของ Horner อย่างถูกต้องรวมถึงการรวมหัวข้อในทางปฏิบัติครูสอนพิเศษคณิตศาสตร์ควรมีจำนวนชั่วโมงที่เพียงพอ ครูสอนพิเศษที่ทำงานกับระบอบการปกครอง "สัปดาห์ละครั้ง" ไม่ควรแบ่งตามมุม ที่ Ege ในคณิตศาสตร์และที่ GIA ในคณิตศาสตร์ไม่น่าเป็นไปได้ที่ในส่วนแรกจะมีสมการของระดับที่สามที่แก้ไขได้ด้วยวิธีดังกล่าว หากครูสอนพิเศษเตรียมเด็กสำหรับการสอบวิชาคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโกการศึกษาหัวข้อจะกลายเป็นข้อบังคับ อาจารย์มหาวิทยาลัยต่างจากผู้รวบรวมข้อสอบชอบตรวจสอบความรู้เชิงลึกของผู้สมัครมาก

Kolpakov Alexander Nikolaevich ผู้สอนวิชาคณิตศาสตร์มอสโก Strogino

เมื่อแก้สมการและอสมการมักจำเป็นต้องแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีตั้งแต่สามขึ้นไป ในบทความนี้เราจะดูวิธีที่ง่ายที่สุดในการดำเนินการนี้

ตามปกติเรามาขอความช่วยเหลือจากทฤษฎี

ทฤษฎีบทของ Bezout ระบุว่าส่วนที่เหลือของการหารพหุนามด้วยทวินามคือ

แต่สำหรับเรามันไม่ใช่ตัวทฤษฎีบทที่มีความสำคัญ แต่ ผลที่ตามมา:

ถ้าตัวเลขเป็นรากของพหุนามพหุนามจะหารด้วยทวินามโดยไม่มีเศษเหลือ

งานของเราคือการหารากของพหุนามอย่างน้อยหนึ่งรูทจากนั้นหารพหุนามด้วยโดยที่รากของพหุนามอยู่ที่ไหน เป็นผลให้เราได้พหุนามที่มีดีกรีน้อยกว่าดีกรีเดิม จากนั้นหากจำเป็นคุณสามารถทำขั้นตอนนี้ซ้ำได้

งานนี้แบ่งออกเป็นสองส่วน: วิธีหารากของพหุนามและวิธีแบ่งพหุนามเป็นทวินาม.

ให้เราอาศัยประเด็นเหล่านี้ในรายละเอียดเพิ่มเติม

1. วิธีหารากของพหุนาม

ขั้นแรกให้ตรวจสอบว่าตัวเลข 1 และ -1 เป็นรากของพหุนามหรือไม่

ข้อเท็จจริงต่อไปนี้จะช่วยเราได้:

ถ้าผลรวมของสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของพหุนามเป็นศูนย์แสดงว่าจำนวนนั้นเป็นรากของพหุนาม

ตัวอย่างเช่นในพหุนามผลรวมของสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์: ง่ายต่อการตรวจสอบว่าอะไรคือรากของพหุนาม

ถ้าผลรวมของสัมประสิทธิ์ของพหุนามที่องศาคู่เท่ากับผลรวมของสัมประสิทธิ์ที่องศาคี่จำนวนนั้นจะเป็นรากของพหุนาม ระยะอิสระถือเป็นค่าสัมประสิทธิ์ของระดับคู่และเป็นเลขคู่

ตัวอย่างเช่นในพหุนามผลรวมของสัมประสิทธิ์ที่กำลังคู่: และผลรวมของสัมประสิทธิ์ที่มีอำนาจคี่:. ง่ายต่อการตรวจสอบว่าอะไรคือรากของพหุนาม

ถ้าทั้ง 1 หรือ -1 ไม่ใช่รากของพหุนามก็ให้ย้ายไป

สำหรับพหุนามที่ลดลงของดีกรี (นั่นคือพหุนามซึ่งค่าสัมประสิทธิ์ชั้นนำ - สัมประสิทธิ์ที่ - เท่ากับหนึ่ง) สูตร Vieta นั้นใช้ได้:

รากของพหุนามอยู่ที่ไหน

นอกจากนี้ยังมีสูตรของ Vieta ที่เกี่ยวกับสัมประสิทธิ์ที่เหลืออยู่ของพหุนาม แต่เราสนใจอันนี้

จากสูตร Vieta นี้เป็นไปตามนั้น ถ้ารากของพหุนามเป็นจำนวนเต็มแสดงว่าเป็นตัวหารของพจน์อิสระซึ่งเป็นจำนวนเต็มด้วย

จากข้อมูลนี้ เราจำเป็นต้องแยกตัวประกอบของระยะอิสระของพหุนามและตามลำดับจากน้อยที่สุดไปหามากที่สุดตรวจสอบว่าปัจจัยใดเป็นรากของพหุนาม

ตัวอย่างเช่นพิจารณาพหุนาม

ตัวหารสมาชิกฟรี:; ; ;

ผลรวมของสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของพหุนามจึงเป็นดังนั้นเลข 1 จึงไม่ใช่รากของพหุนาม

ผลรวมของสัมประสิทธิ์ของพลังคู่:

ผลรวมของสัมประสิทธิ์ที่องศาคี่:

ดังนั้นเลข -1 จึงไม่ใช่รากของพหุนาม

ให้เราตรวจสอบว่าเลข 2 เป็นรากของพหุนามหรือไม่ดังนั้นเลข 2 จึงเป็นรากของพหุนาม ดังนั้นตามทฤษฎีบทของ Bezout พหุนามจึงหารไม่เหลือเศษด้วยทวินาม

2. วิธีแบ่งพหุนามเป็นทวินาม.

พหุนามสามารถแบ่งออกเป็นทวินามด้วยคอลัมน์

เราแบ่งพหุนามเป็นทวินามตามคอลัมน์:

มีอีกวิธีหนึ่งในการแบ่งพหุนามเป็นทวินาม - โครงร่างของ Horner

ดูวิดีโอนี้เพื่อทำความเข้าใจ วิธีแบ่งพหุนามเป็นทวินามตามคอลัมน์และใช้โครงร่าง Horner

โปรดทราบว่าหากเมื่อหารด้วยคอลัมน์ระดับของสิ่งที่ไม่รู้จักบางส่วนไม่มีอยู่ในพหุนามดั้งเดิมเราจะเขียน 0 แทนเช่นเดียวกับเมื่อรวบรวมตารางสำหรับโครงร่าง Horner

ดังนั้นหากเราต้องการแบ่งพหุนามเป็นทวินามและเป็นผลมาจากการหารเราได้พหุนามเราสามารถหาค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามโดยใช้โครงร่าง Horner:

เรายังสามารถใช้ โครงการของ Horner เพื่อตรวจสอบว่าตัวเลขที่ระบุเป็นรูทของพหุนามหรือไม่: ถ้าตัวเลขเป็นรูทของพหุนามส่วนที่เหลือของการหารพหุนามด้วยจะเท่ากับศูนย์นั่นคือในคอลัมน์สุดท้ายของแถวที่สองของโครงร่าง Horner เราจะได้ 0

เราใช้โครงร่างของ Horner "ฆ่านกสองตัวด้วยหินก้อนเดียว": เราตรวจสอบพร้อมกันว่าจำนวนนั้นเป็นรากของพหุนามหรือไม่และหารพหุนามนี้ด้วยทวินาม

ตัวอย่าง. แก้สมการ:

1. ให้เราเขียนตัวหารของเทอมอิสระและมองหารากของพหุนามในตัวหารของเทอมอิสระ

ตัวหาร 24:

2. ตรวจสอบว่าเลข 1 เป็นรากของพหุนามหรือไม่

ผลรวมของสัมประสิทธิ์ของพหุนามดังนั้นเลข 1 จึงเป็นรากของพหุนาม

3. แบ่งพหุนามดั้งเดิมออกเป็นทวินามโดยใช้โครงร่างของ Horner

A) ให้เราเขียนค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามดั้งเดิมในแถวแรกของตาราง

เนื่องจากสมาชิกที่มีไม่อยู่ในคอลัมน์ของตารางที่ควรมีค่าสัมประสิทธิ์ให้เขียน 0 ทางด้านซ้ายให้เขียนรูทที่พบ: หมายเลข 1

B) กรอกข้อมูลในแถวแรกของตาราง

ในคอลัมน์สุดท้ายตามที่คาดไว้เราได้ศูนย์เราแบ่งพหุนามดั้งเดิมออกเป็นทวินามโดยไม่มีเศษเหลือ ค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามที่เกิดจากการหารจะแสดงเป็นสีน้ำเงินในแถวที่สองของตาราง:

ง่ายต่อการตรวจสอบว่าตัวเลข 1 และ -1 ไม่ใช่รากของพหุนาม

C) ไปที่ตารางต่อไป ตรวจสอบว่าเลข 2 เป็นรากของพหุนามหรือไม่:

ดังนั้นระดับของพหุนามซึ่งได้จากการหารทีละหนึ่งจึงน้อยกว่าระดับของพหุนามดั้งเดิมดังนั้นจำนวนของสัมประสิทธิ์และจำนวนคอลัมน์จึงน้อยกว่าหนึ่งคอลัมน์

ในคอลัมน์สุดท้ายเราได้ -40 ซึ่งเป็นจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ดังนั้นพหุนามจึงหารด้วยไบนารีที่มีเศษเหลือได้และเลข 2 ไม่ใช่รากของพหุนาม

C) ตรวจสอบว่าตัวเลข -2 เป็นรากของพหุนามหรือไม่ เนื่องจากความพยายามก่อนหน้านี้ล้มเหลวในการหลีกเลี่ยงความสับสนกับสัมประสิทธิ์ฉันจะลบบรรทัดที่ตรงกับความพยายามนี้:

ยอดเยี่ยม! ในส่วนที่เหลือเราได้ศูนย์ดังนั้นพหุนามจึงถูกแบ่งออกเป็นทวินามโดยไม่มีเศษเหลือดังนั้นจำนวน -2 จึงเป็นรากของพหุนาม ค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามซึ่งได้มาจากการหารพหุนามด้วยทวินามจะแสดงเป็นสีเขียวในตาราง

ผลของการหารเราได้ไตรโนเมียลกำลังสอง ซึ่งพบได้ง่ายโดยทฤษฎีบทของ Vieta:

ดังนั้นรากของสมการดั้งเดิม:

{}

คำตอบ: ( }

สไลด์ 3

Horner Williams George (1786-22.9.1837) เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ เกิดที่เมืองบริสตอล เขาเรียนและทำงานที่นั่นจากนั้นที่โรงเรียนบา ธ ผลงานหลักเกี่ยวกับพีชคณิต ในปีพ. ศ. 2362 เผยแพร่วิธีการคำนวณโดยประมาณของรากที่แท้จริงของพหุนามซึ่งปัจจุบันเรียกว่าวิธี Ruffini-Horner (วิธีนี้เป็นที่รู้จักในหมู่ชาวจีนเมื่อต้นศตวรรษที่ 13) ชื่อ Horner เป็นโครงร่างสำหรับการหารพหุนามด้วยทวินาม x-a

สไลด์ 4

โครงการของ GORNER

วิธีการหารพหุนามของระดับที่ n ด้วยทวินามเชิงเส้น - a โดยอาศัยความจริงที่ว่าสัมประสิทธิ์ของผลหารไม่สมบูรณ์และ r ที่เหลือสัมพันธ์กับสัมประสิทธิ์ของพหุนามหารและด้วยสูตร:

สไลด์ 5

การคำนวณตามรูปแบบของ Horner วางไว้ในตาราง:

ตัวอย่าง 1. หารผลหารไม่สมบูรณ์คือ x3-x2 + 3x - 13 และส่วนที่เหลือคือ 42 \u003d f (-3)

สไลด์ 6

ข้อได้เปรียบหลักของวิธีนี้คือความกะทัดรัดและความสามารถในการแบ่งพหุนามเป็นทวินามได้อย่างรวดเร็ว ในความเป็นจริงโครงร่างของ Horner เป็นสัญกรณ์อีกรูปแบบหนึ่งสำหรับวิธีการจัดกลุ่มแม้ว่าจะแตกต่างจากแบบหลังก็ตาม คำตอบ (การแยกตัวประกอบ) ที่นี่ได้มาจากตัวมันเองและเราไม่เห็นขั้นตอนการได้มา เราจะไม่เข้าไปเกี่ยวข้องกับการกำหนดแนวทางที่เข้มงวดของ Horner แต่จะแสดงเฉพาะวิธีการทำงานเท่านั้น

สไลด์ 7

ตัวอย่าง 2.

ให้เราพิสูจน์ว่าพหุนาม P (x) \u003d x4-6x3 + 7x-392 หารด้วย x-7 ได้และหาผลหาร การตัดสินใจ. เมื่อใช้โครงร่างของ Horner เราจะพบ P (7): ดังนั้นเราจึงได้รับ P (7) \u003d 0 นั่นคือ เศษที่เหลือเมื่อหารพหุนามด้วย x-7 จะเท่ากับศูนย์ดังนั้นพหุนาม P (x) จึงเป็นผลคูณของ (x-7) ยิ่งไปกว่านั้นตัวเลขในแถวที่สองของตารางเป็นค่าสัมประสิทธิ์ของผลหารของการหาร P (x) ด้วย (x-7) ดังนั้น P (x) \u003d (x-7) (x3 + x2 + 7x + 56)

สไลด์ 8

แยกตัวประกอบของพหุนาม x3 - 5x2 - 2x + 16

พหุนามนี้มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ถ้าจำนวนเต็มเป็นรากของพหุนามนี้ก็จะเป็นตัวหาร 16 ดังนั้นหากพหุนามที่กำหนดมีรากจำนวนเต็มก็จะเป็นตัวเลขได้เพียง± 1 เท่านั้น ± 2; ± 4; ± 8; ± 16. โดยการตรวจสอบโดยตรงเราต้องแน่ใจว่าเลข 2 เป็นรากของพหุนามนี้นั่นคือ x3 - 5x2 - 2x + 16 \u003d (x - 2) Q (x) โดยที่ Q (x) เป็นพหุนามของระดับที่สอง

สไลด์ 9

ตัวเลขผลลัพธ์ 1, −3, −8 คือสัมประสิทธิ์ของพหุนามซึ่งได้จากการหารพหุนามดั้งเดิมด้วย x - 2 ดังนั้นผลลัพธ์ของการหาร: 1 · x2 + (–3) x + (–8) \u003d x2 - 3x - 8 ระดับของพหุนามที่เกิดจากการหารจะน้อยกว่าดีกรีเดิมเสมอ 1 ดังนั้น: x3 - 5x2 - 2x + 16 \u003d (x - 2) (x2 - 3x - 8)