ฟังก์ชันและการศึกษาคุณลักษณะเป็นหนึ่งในบทสำคัญในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ องค์ประกอบหลักของฟังก์ชันใด ๆ คือกราฟที่ไม่เพียง แต่แสดงคุณสมบัติของฟังก์ชันเท่านั้น แต่ยังรวมถึงพารามิเตอร์ของอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ด้วย ลองมาดูหัวข้อที่ยากนี้ แล้ววิธีใดที่ดีที่สุดในการมองหาจุดสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน?
ฟังก์ชัน: คำจำกัดความ
ตัวแปรใด ๆ ที่ขึ้นอยู่กับค่าของปริมาณอื่นสามารถเรียกได้ว่าเป็นฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน f (x 2) เป็นกำลังสองและกำหนดค่าสำหรับทั้งเซต x สมมติว่า x \u003d 9 แล้วค่าของฟังก์ชันของเราจะเป็น 9 2 \u003d 81
ฟังก์ชันมีหลายรูปแบบ ได้แก่ ตรรกะเวกเตอร์ลอการิทึมตรีโกณมิติตัวเลขและอื่น ๆ จิตใจที่โดดเด่นเช่น Lacroix, Lagrange, Leibniz และ Bernoulli มีส่วนร่วมในการศึกษาของพวกเขา งานเขียนของพวกเขาเป็นเสมือนปราการในการศึกษาหน้าที่ในรูปแบบใหม่ ๆ ก่อนที่จะหาจุดต่ำสุดจำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องเข้าใจความหมายของฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมัน
อนุพันธ์และบทบาทของมัน
ฟังก์ชันทั้งหมดขึ้นอยู่กับค่าตัวแปรซึ่งหมายความว่าสามารถเปลี่ยนค่าได้ตลอดเวลา บนกราฟจะแสดงเป็นเส้นโค้งที่จะลงหรือขึ้นตามลำดับ (นี่คือชุดตัวเลข "y" ทั้งหมดตามแนวตั้งของกราฟ) ดังนั้นคำจำกัดความของจุดสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันจึงเชื่อมโยงกับ "ความผันผวน" เหล่านี้ ให้เราอธิบายว่าความสัมพันธ์นี้คืออะไร
อนุพันธ์ของฟังก์ชันใด ๆ จะถูกพล็อตบนกราฟเพื่อศึกษาลักษณะสำคัญและคำนวณว่าฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงเร็วเพียงใด (กล่าวคือเปลี่ยนค่าขึ้นอยู่กับตัวแปร "x") ในช่วงเวลาที่ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นกราฟของอนุพันธ์ก็จะเพิ่มขึ้นเช่นกัน แต่ในไม่กี่วินาทีฟังก์ชันอาจเริ่มลดลงจากนั้นกราฟของอนุพันธ์จะลดลง จุดที่อนุพันธ์เปลี่ยนจากเครื่องหมายลบไปยังเครื่องหมายบวกเรียกว่าจุดต่ำสุด เพื่อที่จะทราบวิธีหาคะแนนขั้นต่ำคุณควรทำความเข้าใจให้ดีขึ้น
ฉันจะคำนวณอนุพันธ์ได้อย่างไร
นิยามและฟังก์ชันแสดงถึงแนวคิดหลายประการจากโดยทั่วไปคำจำกัดความของอนุพันธ์สามารถแสดงได้ดังนี้เป็นค่าที่แสดงอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน
วิธีการคำนวณทางคณิตศาสตร์สำหรับนักเรียนหลายคนดูเหมือนจะยาก แต่ในความเป็นจริงแล้วทุกอย่างง่ายกว่ามาก คุณเพียงแค่ต้องทำตามแผนมาตรฐานเพื่อค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันใด ๆ ด้านล่างนี้อธิบายถึงวิธีการหาจุดต่ำสุดของฟังก์ชันโดยไม่ต้องใช้กฎของการสร้างความแตกต่างและโดยไม่ต้องจำตารางอนุพันธ์
- คุณสามารถคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้กราฟ ในการทำเช่นนี้คุณต้องพรรณนาฟังก์ชันเองจากนั้นใช้จุดหนึ่งจุด (จุด A ในรูป) ลากเส้นในแนวตั้งลงไปที่แกน abscissa (จุด x 0) และที่จุด A วาดแทนเจนต์กับกราฟฟังก์ชัน แกน abscissa และเส้นสัมผัสก่อตัวเป็นมุมหนึ่ง a. ในการคำนวณค่าของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันอย่างรวดเร็วจำเป็นต้องคำนวณแทนเจนต์ของมุมนี้ก.
- ปรากฎว่าแทนเจนต์ของมุมระหว่างแทนเจนต์กับทิศทางของแกน x เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันในส่วนเล็ก ๆ ที่มีจุด A วิธีนี้ถือเป็นวิธีทางเรขาคณิตในการกำหนดอนุพันธ์
วิธีการวิจัยฟังก์ชัน
ในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนคุณสามารถหาจุดต่ำสุดของฟังก์ชันได้สองวิธี เราได้วิเคราะห์วิธีแรกโดยใช้กราฟแล้ว แต่จะหาค่าตัวเลขของอนุพันธ์ได้อย่างไร? ในการทำเช่นนี้คุณจะต้องเรียนรู้สูตรต่างๆที่อธิบายคุณสมบัติของอนุพันธ์และช่วยแปลงตัวแปรเช่น "x" เป็นตัวเลข วิธีการต่อไปนี้เป็นวิธีสากลดังนั้นจึงสามารถใช้ได้กับฟังก์ชันเกือบทุกประเภท (ทั้งเรขาคณิตและลอการิทึม)
- จำเป็นที่จะต้องนำฟังก์ชันมาเทียบเคียงกับฟังก์ชันอนุพันธ์จากนั้นจึงทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นโดยใช้กฎของความแตกต่าง
- ในบางกรณีเมื่อมีการกำหนดฟังก์ชันซึ่งตัวแปร "x" อยู่ในตัวหารจำเป็นต้องกำหนดช่วงของค่าที่อนุญาตโดยไม่รวมจุด "0" จากมัน (ด้วยเหตุผลง่ายๆว่าในทางคณิตศาสตร์ไม่ว่าในกรณีใดคุณจะหารด้วยศูนย์ไม่ได้)
- หลังจากนั้นคุณควรแปลงรูปแบบเดิมของฟังก์ชันเป็นสมการอย่างง่ายโดยให้นิพจน์ทั้งหมดเป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่นถ้าฟังก์ชันมีลักษณะเช่นนี้ f (x) \u003d 2x 3 + 38x ดังนั้นตามกฎของความแตกต่างอนุพันธ์ของมันคือ f "(x) \u003d 3x 2 +1 จากนั้นเราจะแปลงนิพจน์นี้เป็นสมการของรูปแบบต่อไปนี้: 3x 2 +1 \u003d 0 ...
- หลังจากแก้สมการและหาจุด "x" แล้วคุณควรวาดมันบนแกน abscissa และพิจารณาว่าอนุพันธ์ในพื้นที่เหล่านี้ระหว่างจุดที่ทำเครื่องหมายไว้เป็นบวกหรือลบ หลังจากกำหนดแล้วจะเห็นได้ชัดว่าจุดใดที่ฟังก์ชันเริ่มลดลงนั่นคือเปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นตรงกันข้าม ด้วยวิธีนี้คุณจะพบทั้งคะแนนต่ำสุดและสูงสุด
กฎความแตกต่าง
องค์ประกอบพื้นฐานที่สุดในการศึกษาฟังก์ชันและอนุพันธ์คือความรู้เกี่ยวกับกฎของความแตกต่าง ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขาเท่านั้นที่จะสามารถแปลงนิพจน์ขนาดใหญ่และฟังก์ชันที่ซับซ้อนขนาดใหญ่ได้ มาทำความคุ้นเคยกับพวกเขากันดีกว่ามีอยู่ไม่กี่ตัว แต่ทั้งหมดนั้นง่ายมากเนื่องจากคุณสมบัติตามธรรมชาติของทั้งฟังก์ชันกำลังและลอการิทึม
- อนุพันธ์ของค่าคงที่เป็นศูนย์ (f (x) \u003d 0) นั่นคืออนุพันธ์ f (x) \u003d x 5 + x - 160 จะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้: f "(x) \u003d 5x 4 +1
- อนุพันธ์ของผลรวมของสองพจน์: (f + w) "\u003d f" w + fw "
- อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม: (log a d) "\u003d d / ln a * d สูตรนี้ใช้กับลอการิทึมทุกชนิด
- อนุพันธ์ดีกรี: (x n) "\u003d n * x n-1 ตัวอย่างเช่น (9x 2)" \u003d 9 * 2x \u003d 18x
- อนุพันธ์ของฟังก์ชันไซน์: (sin a) "\u003d cos a ถ้าบาปของมุม a คือ 0.5 อนุพันธ์ของมันคือ√3 / 2
จุดสุดยอด
เราได้หาวิธีหาจุดต่ำสุดแล้ว แต่ยังมีแนวคิดเกี่ยวกับจุดสูงสุดของฟังก์ชัน หากค่าต่ำสุดหมายถึงจุดที่ฟังก์ชันผ่านจากเครื่องหมายลบไปยังเครื่องหมายบวกจุดสูงสุดคือจุดเหล่านั้นบนแกน abscissa ที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเปลี่ยนจากบวกไปเป็นตรงกันข้าม - ลบ
คุณสามารถค้นหาได้ด้วยวิธีการที่อธิบายไว้ข้างต้นเพียงจำไว้ว่าพวกเขาแสดงถึงส่วนเหล่านั้นที่ฟังก์ชันเริ่มลดลงนั่นคืออนุพันธ์จะน้อยกว่าศูนย์
ในทางคณิตศาสตร์เป็นเรื่องปกติที่จะสรุปแนวคิดทั้งสองโดยแทนที่ด้วยวลี "จุดสุดยอด" เมื่องานขอให้กำหนดจุดเหล่านี้หมายความว่าจำเป็นต้องคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้และหาจุดต่ำสุดและสูงสุด
มูลค่า
ยิ่ง
มูลค่า
ที่น้อยที่สุด
จุดสูงสุด
จุดต่ำสุด
ปัญหาในการค้นหาจุดสุดขั้วของฟังก์ชันได้รับการแก้ไขตามรูปแบบมาตรฐานใน 3 ขั้นตอน
ขั้นตอนที่ 1... หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
- จดจำสูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานและกฎพื้นฐานของการสร้างความแตกต่างเพื่อค้นหาอนุพันธ์
y ′(x) \u003d (x3−243x + 19)′ \u003d 3x2−243
ขั้นตอนที่ 2... หาศูนย์ของอนุพันธ์
- แก้สมการผลลัพธ์เพื่อหาศูนย์ของอนุพันธ์
3x2−243 \u003d 0⇔x2 \u003d 81⇔x1 \u003d −9, x2 \u003d 9
ขั้นตอนที่ 3... หาจุดสุดขั้ว
- ใช้วิธีการเว้นวรรคเพื่อกำหนดสัญญาณของอนุพันธ์
- ที่จุดต่ำสุดอนุพันธ์จะเท่ากับศูนย์และเปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวกและที่จุดสูงสุด - จากบวกถึงลบ
ลองใช้แนวทางนี้เพื่อแก้ปัญหาต่อไปนี้:
หาจุดสูงสุดของฟังก์ชัน y \u003d x3−243x + 19
1) หาอนุพันธ์: y ′(x) \u003d (x3−243x + 19)′ \u003d 3x2−243;
2) แก้สมการ y ′(x) \u003d 0: 3x2−243 \u003d 0⇔x2 \u003d 81⇔x1 \u003d −9, x2 \u003d 9;
3) อนุพันธ์เป็นบวกสำหรับ x\u003e 9 และ x<−9 и отрицательная при −9 วิธีค้นหาค่าฟังก์ชันที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด เพื่อแก้ปัญหาในการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน จำเป็น: ช่วยในหลาย ๆ งาน ทฤษฎีบท: หากมีจุดสุดขั้วเพียงจุดเดียวบนเซ็กเมนต์และนี่คือจุดต่ำสุดแสดงว่ามีค่าน้อยที่สุดของฟังก์ชันที่นั่น หากนี่คือจุดสูงสุดแสดงว่าค่าสูงสุดจะถึงที่นั่น 14. แนวคิดและคุณสมบัติพื้นฐานของอินทิกรัลไม่ จำกัด ถ้าฟังก์ชั่น ฉ(x Xและ k - ตัวเลขแล้ว ในระยะสั้น: ค่าคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายอินทิกรัลได้ ถ้าฟังก์ชั่น ฉ(x) และ ก(x) มี antiderivatives ในช่วงเวลา X แล้ว ในระยะสั้น: อินทิกรัลของผลรวมเท่ากับผลรวมของปริพันธ์ ถ้าฟังก์ชั่น ฉ(x) มี antiderivative ในช่วงเวลา X จากนั้นสำหรับจุดภายในของช่วงเวลานี้: ในระยะสั้น: อนุพันธ์ของอินทิกรัลเท่ากับปริพันธ์ ถ้าฟังก์ชั่น ฉ(x) ต่อเนื่องในช่วงเวลา X และแตกต่างกันได้ที่จุดภายในของช่วงเวลานี้จากนั้น: ในระยะสั้น: อินทิกรัลของดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันเท่ากับฟังก์ชันนี้บวกค่าคงที่ของการรวม ให้เราให้คำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวด แนวคิดเชิงปริพันธ์ไม่แน่นอน. ชนิดที่เรียกว่าการแสดงออก อินทิกรัลของฟังก์ชัน f (x)
ที่ไหน f (x)
- integrand ซึ่งได้รับ (รู้จัก) dx
- ความแตกต่าง x
มีสัญลักษณ์อยู่เสมอ dx
. คำจำกัดความ อินทิกรัลไม่แน่นอน เรียกว่าฟังก์ชัน F (x) + ค
มีค่าคงที่โดยพลการ ค
ซึ่งความแตกต่างมีค่าเท่ากับ integrand นิพจน์ f (x) dx
เช่น หรือ จำได้ว่า - ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียล และถูกกำหนดไว้ดังนี้: งานในการค้นหา อินทิกรัลไม่แน่นอน คือการค้นหาฟังก์ชันดังกล่าว อนุพันธ์ ซึ่งเท่ากับอินทิแกรนด์ ฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดขึ้นเป็นค่าคงที่ตั้งแต่ อนุพันธ์ของค่าคงที่เท่ากับศูนย์ เช่นเป็นที่รู้กันแล้วปรากฎว่า กำลังค้นหางาน อินทิกรัลไม่แน่นอน จากฟังก์ชั่นไม่ง่ายและสะดวกอย่างที่เห็นในตอนแรก ในหลาย ๆ กรณีต้องมีทักษะในการทำงานด้วย ปริพันธ์ไม่แน่นอน ต้องมีประสบการณ์ที่มาพร้อมกับการฝึกฝนและคงที่ การแก้ปัญหาของตัวอย่างสำหรับปริพันธ์ไม่แน่นอน เป็นมูลค่าการพิจารณาความจริงที่ว่า ปริพันธ์ไม่แน่นอนฟังก์ชั่นบางอย่าง (มีจำนวนมาก) ไม่ได้ใช้ในฟังก์ชันพื้นฐาน 15. ตารางอินทิกรัลพื้นฐานไม่ จำกัด สูตรพื้นฐาน 16. อินทิกรัลที่แน่นอนเป็นขีด จำกัด ของผลรวมอินทิกรัล ความหมายทางเรขาคณิตและทางกายภาพของอินทิกรัล ให้ฟังก์ชัน y \u003d ƒ (x) ถูกกำหนดบนเซ็กเมนต์ [a; b] และ< b. Выполним следующие действия. 1. ด้วยความช่วยเหลือของจุด x 0 \u003d a, x 1, x 2, ... , x n \u003d B (x 0 2. ในแต่ละส่วนบางส่วน i \u003d 1,2, ... , n ให้เลือกจุดใดจุดหนึ่งด้วย i єและคำนวณค่าของฟังก์ชันในนั้นนั่นคือค่าƒ (ด้วย i) 3. คูณค่าที่พบของฟังก์ชันƒ (ด้วย i) ด้วยความยาว ∆x i \u003d x i -x i-1 ของเซ็กเมนต์บางส่วนที่เกี่ยวข้อง: ƒ (ด้วย i) ∆x i 4. มาเขียนผลรวม S n ของผลิตภัณฑ์ดังกล่าวทั้งหมด: ผลรวมของรูปแบบ (35.1) เรียกว่าผลรวมอินทิกรัลของฟังก์ชัน y \u003d ƒ (x) ในช่วงเวลา [a; b]. ให้λหมายถึงความยาวของส่วนย่อยที่ใหญ่ที่สุด: λ \u003d max ∆x i (i \u003d 1,2, ... , n) 5. ให้เราหาขีด จำกัด ของผลรวมอินทิกรัล (35.1) เป็น n →∞เพื่อให้λ→ 0 ถ้าในกรณีนี้ผลรวมอินทิกรัล S n มีขีด จำกัด I ซึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับวิธีการแบ่งเซ็กเมนต์ [a; b] ไปยังเซ็กเมนต์บางส่วนหรือจากการเลือกจุดในพวกเขาดังนั้นจำนวนที่ฉันเรียกว่าอินทิกรัลที่แน่นอนของฟังก์ชัน y \u003d ƒ (x) บนเซ็กเมนต์ [a; b] และแสดงด้วยประการฉะนี้ ตัวเลข a และ b ตามลำดับเรียกว่าขีด จำกัด ล่างและบนของการรวม, ƒ (x) - ปริพันธ์, ƒ (x) dx - ปริพันธ์, x - ตัวแปรของการรวม, ส่วน [a; b] - พื้นที่ (ส่วน) ของการรวม ฟังก์ชัน y \u003d ƒ (x) ซึ่งในเซ็กเมนต์ [a; b] มีอินทิกรัลที่แน่นอนเรียกว่าอินทิกรัลในช่วงเวลานี้ ตอนนี้ให้เรากำหนดทฤษฎีบทการดำรงอยู่สำหรับอินทิกรัลที่แน่นอน ทฤษฎีบท 35.1 (Cauchy) ถ้าฟังก์ชัน y \u003d ƒ (x) ต่อเนื่องบนเซ็กเมนต์ [a; b] จากนั้นจึงเป็นอินทิกรัลที่แน่นอน โปรดทราบว่าความต่อเนื่องของฟังก์ชันเป็นเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการรวมเข้าด้วยกัน อย่างไรก็ตามอินทิกรัลที่แน่นอนอาจมีอยู่สำหรับฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องบางฟังก์ชันโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับฟังก์ชันใด ๆ ที่อยู่ในช่วงเวลาและมีจุดไม่ต่อเนื่องจำนวน จำกัด อยู่ ให้เราระบุคุณสมบัติบางอย่างของอินทิกรัลที่แน่นอนซึ่งตามมาโดยตรงจากนิยาม (35.2) 1. อินทิกรัลที่แน่นอนไม่ขึ้นอยู่กับการกำหนดตัวแปรของการรวม: สิ่งนี้ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าผลรวมอินทิกรัล (35.1) และดังนั้นขีด จำกัด (35.2) จึงไม่ขึ้นอยู่กับตัวอักษรใดที่แสดงถึงอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันนี้ 2. อินทิกรัลที่แน่นอนที่มีขีด จำกัด เดียวกันของการรวมเท่ากับศูนย์: 3. สำหรับจำนวนจริงค. 17. สูตรนิวตัน - ไลบ์นิซ คุณสมบัติพื้นฐานของอินทิกรัลที่แน่นอน ให้ฟังก์ชั่น y \u003d f (x) ต่อเนื่องในกลุ่ม
และ F (x) เป็นหนึ่งใน antiderivatives ของฟังก์ชันในส่วนนี้จากนั้น สูตรนิวตัน - ไลบ์นิซ: สูตร Newton-Leibniz เรียกว่า สูตรพื้นฐานของแคลคูลัสอินทิกรัล. เพื่อพิสูจน์สูตรนิวตัน - ไลบ์นิซเราต้องใช้แนวคิดของอินทิกรัลที่มีขีด จำกัด บนตัวแปร ถ้าฟังก์ชั่น y \u003d f (x) ต่อเนื่องในกลุ่ม
จากนั้นสำหรับอาร์กิวเมนต์อินทิกรัลของฟอร์มคือฟังก์ชันของขีด จำกัด บน เราแสดงถึงฟังก์ชันนี้ อันที่จริงเราเขียนการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันที่สอดคล้องกับการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์และใช้คุณสมบัติที่ห้าของอินทิกรัลที่แน่นอนและผลลัพธ์ของคุณสมบัติที่สิบ: เราเขียนความเท่าเทียมนี้ใหม่เป็น ลองคำนวณดู F (ก)โดยใช้คุณสมบัติแรกของอินทิกรัลที่แน่นอน: ดังนั้น. เราจะใช้ผลลัพธ์นี้เมื่อคำนวณ F (ข): เช่น โดยปกติการเพิ่มฟังก์ชันจะแสดงเป็น ในการใช้สูตร Newton-Leibniz เราจำเป็นต้องรู้หนึ่งในยาต้านไวรัส y \u003d F (x) ฟังก์ชัน integrand y \u003d f (x) ในกลุ่ม
และคำนวณการเพิ่มขึ้นของ antiderivative นี้ในส่วนนี้ ในบทความวิธีการรวมจะวิเคราะห์วิธีหลักในการค้นหา antiderivative นี่คือตัวอย่างบางส่วนของการคำนวณปริพันธ์ที่แน่นอนโดยใช้สูตร Newton-Leibniz เพื่อการชี้แจง ตัวอย่าง. คำนวณค่าของอินทิกรัลที่แน่นอนโดยใช้สูตรนิวตัน - ไลบ์นิซ การตัดสินใจ. ในการเริ่มต้นโปรดทราบว่า integrand นั้นต่อเนื่องกันในกลุ่ม
ดังนั้นจึงสามารถรวมเข้ากับมันได้ (เราได้พูดถึงฟังก์ชันอินทิกรัลในส่วนของฟังก์ชันที่มีอินทิกรัลแน่นอนอยู่) จากตารางอินทิกรัลไม่ จำกัด จะเห็นได้ว่าสำหรับฟังก์ชันชุดของแอนติเดอร์ดิเนทีฟสำหรับค่าจริงทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ (และดังนั้นสำหรับ) จะถูกเขียนเป็น ตอนนี้ยังคงใช้สูตร Newton-Leibniz เพื่อคำนวณอินทิกรัลที่ชัดเจน: 18. การประยุกต์ทางเรขาคณิตของอินทิกรัลที่แน่นอน แอปพลิเคชันทางภูมิศาสตร์ของการรวมกลุ่มบางส่วน การคำนวณปริมาตรของร่างกาย การคำนวณปริมาตรของร่างกายจากพื้นที่ที่ทราบของส่วนคู่ขนาน: ปริมาณการหมุนของร่างกาย:; ... ตัวอย่าง 1... หาพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง y \u003d sinx เส้นตรง การตัดสินใจ: ค้นหาพื้นที่ของรูป: ตัวอย่าง 2... คำนวณพื้นที่ของรูปร่างที่ล้อมรอบด้วยเส้น การตัดสินใจ: ลองหาตัวย่อของจุดตัดของกราฟของฟังก์ชันเหล่านี้ ในการทำเช่นนี้เราแก้ระบบสมการ จากที่นี่เราจะพบ x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2.5 19. แนวคิดของการควบคุมที่แตกต่างกัน สมการเชิงอนุพันธ์ของลำดับแรก สมการเชิงอนุพันธ์ - สมการที่เชื่อมต่อค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชันกับฟังก์ชันเองค่าของตัวแปรอิสระตัวเลข (พารามิเตอร์) ลำดับของอนุพันธ์ที่รวมอยู่ในสมการอาจแตกต่างกันได้ (อย่างเป็นทางการไม่ได้ จำกัด ด้วยสิ่งใดเลย) อนุพันธ์ฟังก์ชันตัวแปรอิสระและพารามิเตอร์อาจเข้าสู่สมการในชุดค่าผสมต่างๆหรือทั้งหมดยกเว้นอนุพันธ์อย่างน้อยหนึ่งรายการอาจขาดไปพร้อมกัน ไม่ใช่ทุกสมการที่มีอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ไม่รู้จักจะเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ ตัวอย่างเช่น สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยบางส่วน (PDE) คือสมการที่มีฟังก์ชันที่ไม่รู้จักของตัวแปรหลายตัวและอนุพันธ์บางส่วน รูปแบบทั่วไปของสมการดังกล่าวสามารถแสดงเป็น: ตัวแปรอิสระอยู่ที่ไหนและเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเหล่านี้ ลำดับของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยสามารถกำหนดได้ในลักษณะเดียวกับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ การจำแนกประเภทที่สำคัญอีกประการหนึ่งของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยคือการแบ่งออกเป็นสมการของรูปไข่พาราโบลาและไฮเพอร์โบลิกโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับสมการลำดับที่สอง ทั้งสมการเชิงอนุพันธ์สามัญและสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยสามารถแบ่งออกเป็น เชิงเส้น และ ไม่เชิงเส้น... สมการเชิงอนุพันธ์จะเป็นเส้นตรงถ้าฟังก์ชันที่ไม่รู้จักและอนุพันธ์ของมันเข้าสู่สมการในระดับแรกเท่านั้น (และจะไม่คูณกัน) สำหรับสมการดังกล่าวการแก้ปัญหาจะสร้างพื้นที่ย่อย Affine ของพื้นที่ฟังก์ชัน ทฤษฎีของ DE เชิงเส้นได้รับการพัฒนาที่ลึกกว่าทฤษฎีสมการไม่เชิงเส้น มุมมองทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น nลำดับที่ -: ที่ไหน p ผม(x) เป็นฟังก์ชันที่รู้จักกันของตัวแปรอิสระเรียกว่าสัมประสิทธิ์ของสมการ ฟังก์ชัน ร(x) ทางด้านขวาเรียกว่า สมาชิกฟรี (คำศัพท์เดียวที่ไม่ขึ้นกับฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก) คลาสเฉพาะที่สำคัญของสมการเชิงเส้นคือสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่มี สัมประสิทธิ์คงที่. คลาสย่อยของสมการเชิงเส้นคือ เป็นเนื้อเดียวกัน สมการเชิงอนุพันธ์ - สมการที่ไม่มีระยะว่าง: ร(x) \u003d 0. สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์หลักการซ้อนทับจะเป็นจริง: การรวมเชิงเส้นของคำตอบเฉพาะของสมการดังกล่าวจะเป็นคำตอบด้วย เรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอื่น ๆ ทั้งหมด ไม่เหมือนกัน สมการเชิงอนุพันธ์. ในกรณีทั่วไปสมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เชิงเส้นไม่มีการพัฒนาวิธีการแก้ปัญหายกเว้นบางคลาสเฉพาะ ในบางกรณี (โดยใช้การประมาณอย่างใดอย่างหนึ่ง) สามารถลดเป็นเชิงเส้นได้ ตัวอย่างเช่นสมการเชิงเส้นของออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิก · - สมการเชิงอนุพันธ์ที่เป็นเนื้อเดียวกันของลำดับที่สองที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ การแก้ปัญหาเป็นกลุ่มของฟังก์ชันโดยที่และเป็นค่าคงที่โดยพลการซึ่งสำหรับโซลูชันเฉพาะจะถูกกำหนดจากเงื่อนไขเริ่มต้นที่ระบุแยก โดยเฉพาะสมการนี้อธิบายการเคลื่อนที่ของออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกที่มีความถี่รอบ 3 กฎข้อที่สองของนิวตันสามารถเขียนได้ในรูปของสมการเชิงอนุพันธ์ ·สมการเชิงอนุพันธ์เบสเซลเป็นสมการลำดับสองที่เป็นเนื้อเดียวกันเชิงเส้นธรรมดาที่มีค่าสัมประสิทธิ์ตัวแปร: คำตอบคือฟังก์ชันเบสเซล ตัวอย่างของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญที่ไม่ใช่เชิงเส้นของลำดับที่ 1: ในกลุ่มตัวอย่างถัดไปฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก ยู ขึ้นอยู่กับสองตัวแปร x และ t หรือ x และ ย. สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยลำดับแรกเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกัน: สมการคลื่นมิติเดียว - สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันของประเภทไฮเพอร์โบลิกลำดับที่สองที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่อธิบายถึงการสั่นสะเทือนของสตริงถ้า - การเบี่ยงเบนของสตริงที่จุดที่มีพิกัด x ในขณะนี้ tและพารามิเตอร์ ก ตั้งค่าคุณสมบัติของสตริง: สมการของลาปลาซในปริภูมิสองมิติเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันของลำดับที่สองของชนิดรูปไข่ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ซึ่งเกิดขึ้นในปัญหาทางกายภาพหลายประการของกลศาสตร์การนำความร้อนไฟฟ้าสถิตไฮดรอลิกส์: สมการ Korteweg - de Vries ซึ่งเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่ไม่เชิงเส้นลำดับที่สามที่อธิบายถึงคลื่นที่ไม่เคลื่อนที่เชิงเส้นรวมทั้งโซลิตัน: 20. สมการเชิงอนุพันธ์ที่สามารถแยกใช้ได้ สมการเชิงเส้นและวิธีของเบอร์นูลลี สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่หนึ่งคือสมการที่เป็นเส้นตรงเกี่ยวกับฟังก์ชันที่ไม่รู้จักและอนุพันธ์ของมัน มันมีแบบฟอร์ม ค่าฟังก์ชันที่ใหญ่ที่สุด ค่าฟังก์ชันที่เล็กที่สุด ดังที่เจ้าพ่อเคยพูดว่า: "มันไม่มีอะไรเป็นส่วนตัว" อนุพันธ์เท่านั้น! 12 งานสถิติถือว่าค่อนข้างยากและทั้งหมดเป็นเพราะพวกเขาไม่ได้อ่านบทความนี้ (เรื่องตลก) ในกรณีส่วนใหญ่ความประมาทคือการตำหนิ 12 งานมีสองประเภท: ภารกิจกับการสอบ: หาจุดสูงสุดของฟังก์ชัน หาจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน ภารกิจกับการสอบ: ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันในเซ็กเมนต์ [−4; −1] คำตอบ: −6 ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันในเซ็กเมนต์ คำตอบ: 11 สรุป: ทฤษฎีบท.
(เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการดำรงอยู่ของสุดขั้ว) ถ้าฟังก์ชัน f (x) แตกต่างกันได้ที่จุด x \u003d x 1 และจุด x 1 เป็นจุดสุดขั้วอนุพันธ์ของฟังก์ชันจะหายไป ณ จุดนี้ หลักฐาน.
สมมติว่าฟังก์ชัน f (x) มีค่าสูงสุดที่จุด x \u003d x 1 จากนั้นสำหรับค่าบวกที่น้อยพอ Dx\u003e 0 อสมการต่อไปนี้เป็นจริง: ตามความหมาย: เหล่านั้น. ถ้าDx®0 แต่ Dx<0, то f¢(x 1) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0 แล้ว f ¢ (x 1) £ 0 และจะเป็นไปได้ก็ต่อเมื่ออยู่ที่Dх®0 f ¢ (x 1) \u003d 0 สำหรับกรณีที่ฟังก์ชัน f (x) มีค่าต่ำสุดที่จุด x 2 จะมีการพิสูจน์ทฤษฎีบทในทำนองเดียวกัน ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว ผลที่ตามมา
คอนเวิร์สไม่เป็นความจริง หากอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดใดจุดหนึ่งมีค่าเท่ากับศูนย์ก็ไม่ได้หมายความว่า ณ จุดนี้ฟังก์ชันนั้นมีค่าปลายสุด ตัวอย่างที่คมชัดของสิ่งนี้คือฟังก์ชัน y \u003d x 3 ซึ่งมีอนุพันธ์ที่จุด x \u003d 0 เป็นศูนย์ แต่ ณ จุดนี้ฟังก์ชันมีเพียงการผันกลับไม่ใช่ค่าสูงสุดหรือต่ำสุด คำจำกัดความ จุดวิกฤต ฟังก์ชันเรียกว่าจุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันไม่มีอยู่หรือเท่ากับศูนย์ ทฤษฎีบทที่พิจารณาข้างต้นทำให้เรามีเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการดำรงอยู่ของสุดขั้ว แต่ยังไม่เพียงพอ ตัวอย่าง: f (x) \u003d ôxô ตัวอย่าง: f (x) \u003d ที่จุด x \u003d 0 ฟังก์ชันมีค่าต่ำสุด แต่ที่จุด x \u003d 0 ฟังก์ชันไม่มีทั้งสองอย่าง ไม่มีอนุพันธ์ สูงสุดไม่มีขั้นต่ำไม่มีการผลิต โดยทั่วไปฟังก์ชัน f (x) สามารถมีค่าสุดขั้วที่จุดที่อนุพันธ์ไม่มีอยู่หรือเท่ากับศูนย์ ทฤษฎีบท.
(เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการดำรงอยู่ของสุดขั้ว) ให้ฟังก์ชัน f (x) ต่อเนื่องกันในช่วงเวลา (a, b) ซึ่งมีจุดวิกฤต x 1 และแตกต่างกันได้ทุกจุดของช่วงเวลานี้ (ยกเว้นบางทีจุด x 1 เอง) ถ้าเมื่อผ่านจุด x 1 จากซ้ายไปขวาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ¢ (x) เปลี่ยนเครื่องหมายจาก“ +” เป็น“ -“ ดังนั้นที่จุด x \u003d x 1 ฟังก์ชัน f (x) จะมีค่าสูงสุดและหากอนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจาก“ - “ เปิด“ +” - จากนั้นฟังก์ชันจะมีค่าต่ำสุด หลักฐาน.
ให้เป็น ตามทฤษฎีบทของ Lagrange: f (x) - f (x 1) \u003d f ¢ (จ) (x - x 1), โดยที่ x< e < x 1 . จากนั้น: 1) ถ้า x< x 1 , то e < x 1 ; f¢(e)>0; f ¢ (จ) (x - x 1)<0, следовательно f (x) - ฉ (x 1)<0 или f(x) < f(x 1). 2) ถ้า x\u003e x 1 ดังนั้น e\u003e x 1 f ¢ (e)<0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно f (x) - ฉ (x 1)<0 или f(x) < f(x 1). เนื่องจากคำตอบเหมือนกันเราจึงพูดได้ว่า f (x)< f(x 1) в любых точках вблизи х 1 , т.е. х 1 – точка максимума. การพิสูจน์ทฤษฎีบทสำหรับจุดต่ำสุดนั้นคล้ายคลึงกัน ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว จากข้อมูลข้างต้นคุณสามารถหาขั้นตอนแบบรวมเพื่อค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันในเซ็กเมนต์: 1) ค้นหาจุดวิกฤตของฟังก์ชัน 2) ค้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุดวิกฤต 3) ค้นหาค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์ 4) เลือกระหว่างค่าที่ได้รับมากที่สุดและน้อยที่สุด การตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับแขนขาโดยใช้ อนุพันธ์ของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้น ให้ที่จุด x \u003d x 1 f ¢ (x 1) \u003d 0 และ f ¢¢ (x 1) มีอยู่และต่อเนื่องกันในบางย่านของจุด x 1 ทฤษฎีบท.
ถ้า f ¢ (x 1) \u003d 0 ดังนั้นฟังก์ชัน f (x) ที่จุด x \u003d x 1 จะมีค่าสูงสุดถ้า f ¢¢ (x 1)<0 и минимум, если f¢¢(x 1)>0.
หลักฐาน.
ให้ f ¢ (x 1) \u003d 0 และ f ¢¢ (x 1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x 1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х 1 . เพราะ f ¢¢ (x) \u003d (f ¢ (x)) ¢< 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х 1 , но f¢(x 1)=0, т.е. f¢(x) > 0 ที่ x สำหรับกรณีของฟังก์ชันขั้นต่ำทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกัน ถ้า f ¢¢ (x) \u003d 0 แสดงว่าไม่ทราบลักษณะของจุดวิกฤต จำเป็นต้องมีการวิจัยเพิ่มเติมเพื่อตรวจสอบ ความนูนและความเว้าของเส้นโค้ง จุดเปลี่ยน คำจำกัดความ
โค้งหันหน้าไปทางนูน ขึ้น ในช่วงเวลา (a, b) หากจุดทั้งหมดอยู่ต่ำกว่าสัมผัสใด ๆ ในช่วงเวลานี้ เส้นโค้งที่หันขึ้นด้านบนเรียกว่า นูนและเส้นโค้งที่หันลงด้านล่างเรียกว่า เว้า. รูปแสดงภาพประกอบของคำจำกัดความข้างต้น ทฤษฎีบท 1.
ถ้าทุกจุดของช่วงเวลา (a, b) อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน f (x) เป็นลบเส้นโค้ง y \u003d f (x) จะนูนขึ้น (นูน) หลักฐาน.
ให้ x 0 Î (a, b) ลากเส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง ณ จุดนี้ สมการเส้นโค้ง: y \u003d f (x); สมการแทนเจนต์: ก็ควรจะพิสูจน์ได้ว่า ตามทฤษฎีบทของ Lagrange สำหรับ f (x) - f (x 0) :, x 0< c < x. ตามทฤษฎีบทของ Lagrange สำหรับ ให้ x\u003e x 0 แล้ว x 0< c 1 < c < x. Т.к. x – x 0 > 0 และ c - x 0\u003e 0 และนอกจากนี้ตามเงื่อนไข ดังนั้น. ให้ x< x 0 тогда x < c < c 1 < x 0 и x – x 0 < 0, c – x 0 < 0, т.к. по условию то ในทำนองเดียวกันมีการพิสูจน์ว่าถ้า f ¢¢ (x)\u003e 0 ในช่วงเวลา (a, b) เส้นโค้ง y \u003d f (x) จะเว้าในช่วงเวลา (a, b) ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว คำจำกัดความ
จุดที่แยกส่วนนูนของส่วนโค้งออกจากส่วนเว้าเรียกว่า จุดสะท้อน. เห็นได้ชัดว่าที่จุดเบี่ยงเบนแทนเจนต์ตัดกับเส้นโค้ง ทฤษฎีบท 2.
ให้เส้นโค้งกำหนดโดยสมการ y \u003d f (x) ถ้าอนุพันธ์อันดับสอง f ¢¢ (a) \u003d 0 หรือ f ¢¢ (a) ไม่มีอยู่และเมื่อผ่านจุด x \u003d a f ¢¢ (x) จะเปลี่ยนเครื่องหมายจุดของเส้นโค้งที่มี abscissa x \u003d a คือจุดเบี่ยงเบน หลักฐาน.
1) ให้ f ¢¢ (x)< 0 при х < a и f¢¢(x) > 0 สำหรับ x\u003e a. จากนั้นที่ x< a кривая выпукла, а при x > เส้นโค้งเว้าเช่น จุด x \u003d a - จุดเบี่ยงเบน 2) ให้ f ¢¢ (x)\u003e 0 สำหรับ x< b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x > b - นูนขึ้น จากนั้น x \u003d b คือจุดผันแปร ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว Asymptotes ในการศึกษาฟังก์ชั่นมักเกิดขึ้นเมื่อพิกัด x ของจุดของเส้นโค้งเคลื่อนที่ไปยังอินฟินิตี้เส้นโค้งจะเข้าใกล้เส้นตรงไม่ จำกัด คำจำกัดความ
เส้นตรงเรียกว่า เส้นกำกับเส้นโค้งถ้าระยะห่างจากจุดแปรผันของเส้นโค้งถึงเส้นตรงนี้มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์เมื่อจุดเคลื่อนที่ไปไม่มีที่สิ้นสุด ควรสังเกตว่าไม่ใช่ทุกเส้นโค้งที่มีเส้นกำกับ เส้นกำกับสามารถตรงและเฉียง การศึกษาฟังก์ชันสำหรับการปรากฏตัวของเส้นกำกับมีความสำคัญอย่างยิ่งและช่วยให้คุณสามารถกำหนดลักษณะของฟังก์ชันและพฤติกรรมของกราฟของเส้นโค้งได้แม่นยำยิ่งขึ้น โดยทั่วไปแล้วเส้นโค้งที่เข้าใกล้เส้นกำกับของมันไปเรื่อย ๆ สามารถตัดกันได้ไม่ใช่ที่จุดใดจุดหนึ่งดังแสดงในกราฟของฟังก์ชันด้านล่าง ให้เราพิจารณารายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการค้นหาเส้นกำกับของเส้นโค้ง เส้นกำกับแนวตั้ง จากนิยามของเส้นกำกับว่าถ้าหรือหรือแล้วเส้นตรง x \u003d a คือเส้นกำกับของเส้นโค้ง y \u003d f (x) ตัวอย่างเช่นสำหรับฟังก์ชันเส้น x \u003d 5 คือเส้นกำกับแนวตั้ง เส้นกำกับแนวเฉียง สมมติว่าเส้นโค้ง y \u003d f (x) มีเส้นกำกับเฉียง y \u003d kx + b เราหมายถึงจุดตัดกันของเส้นโค้งและจุดที่ตั้งฉากกับเส้นกำกับ - M, P - จุดตัดของสิ่งนี้ที่ตั้งฉากกับเส้นกำกับ มุมระหว่างเส้นกำกับและแกน Ox แสดงด้วย j МQที่ตั้งฉากกับแกน Ox ตัดกับเส้นกำกับที่จุด N จากนั้น MQ \u003d y คือลำดับของจุดบนเส้นโค้ง NQ \u003d คือลำดับของจุด N บนเส้นกำกับ ตามเงื่อนไข:, РNMP \u003d j,. มุม j จะคงที่และไม่เท่ากับ 90 0 แล้ว แล้ว ดังนั้นเส้นตรง y \u003d kx + b คือเส้นกำกับของเส้นโค้ง ในการกำหนดเส้นตรงนี้อย่างถูกต้องจำเป็นต้องหาวิธีคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ k และ b ในนิพจน์ผลลัพธ์เราจะนำ x ออกนอกวงเล็บ: เพราะ х®¥แล้ว แล้ว เพราะ โปรดสังเกตว่าเส้นกำกับแนวนอนเป็นกรณีพิเศษของเส้นกำกับแนวเฉียงที่ k \u003d 0 ตัวอย่าง. 1) เส้นกำกับแนวตั้ง: y® + ¥x®0-0: y®-¥x®0 + 0 ดังนั้น x \u003d 0 คือเส้นกำกับแนวตั้ง 2) เส้นกำกับแนวเฉียง: ดังนั้นเส้น y \u003d x + 2 จึงเป็นเส้นกำกับแบบเฉียง มาพล็อตฟังก์ชั่น: ตัวอย่าง. ค้นหาเส้นกำกับและสร้างกราฟของฟังก์ชัน เส้นตรง x \u003d 3 และ x \u003d -3 คือเส้นกำกับแนวตั้งของเส้นโค้ง ค้นหาเส้นกำกับแบบเฉียง: y \u003d 0 - เส้นกำกับแนวนอน ตัวอย่าง. ค้นหาเส้นกำกับและสร้างกราฟฟังก์ชัน เส้นตรง x \u003d -2 คือเส้นกำกับแนวตั้งของเส้นโค้ง ค้นหาเส้นกำกับแนวเฉียง ดังนั้นเส้นตรง y \u003d x - 4 คือเส้นกำกับเฉียง แผนภาพการศึกษาฟังก์ชัน กระบวนการวิจัยฟังก์ชันประกอบด้วยหลายขั้นตอน เพื่อให้ได้ภาพที่สมบูรณ์ที่สุดของพฤติกรรมของฟังก์ชันและลักษณะของกราฟคุณต้องค้นหา: 1) ขอบเขตการดำรงอยู่ของฟังก์ชัน แนวคิดนี้มีทั้งขอบเขตและขอบเขตของฟังก์ชัน 2) จุดพัก (ถ้ามี). 3) ช่วงเวลาที่เพิ่มขึ้นและลดลง 4) คะแนนสูงสุดและต่ำสุด 5) ค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันในโดเมนของนิยาม 6) พื้นที่นูนและส่วนเว้า 7) จุดเบี่ยงเบน (ถ้ามี) 8) เส้นกำกับ (ถ้ามี) 9) การสร้างกราฟ ให้เราพิจารณาการประยุกต์ใช้โครงการนี้โดยใช้ตัวอย่าง ตัวอย่าง. ตรวจสอบฟังก์ชันและพล็อต ค้นหาพื้นที่ที่มีอยู่ของฟังก์ชัน เห็นได้ชัดว่า ขอบเขต ฟังก์ชันคือโดเมน (- ¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥) ในทางกลับกันจะเห็นได้ว่าเส้น x \u003d 1, x \u003d -1 อยู่ เส้นกำกับแนวตั้ง คดเคี้ยว ช่วงของค่าฟังก์ชันนี้คือช่วงเวลา (- ¥; ¥) ทำลายจุด ฟังก์ชันคือจุด x \u003d 1, x \u003d -1 หา จุดวิกฤต. หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน จุดวิกฤต: x \u003d 0; x \u003d -; x \u003d; x \u003d -1; x \u003d 1. ค้นหาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน กำหนดความนูนและความเว้าของเส้นโค้งตามช่วงเวลา -¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая - < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая 1 < x < 0, y¢¢ > 0, โค้งเว้า 0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая 1 < x < , y¢¢ > 0, โค้งเว้า < x < ¥, y¢¢ > 0, โค้งเว้า การหาช่องว่าง เพิ่มขึ้นและ ลดน้อยลง ฟังก์ชั่น. ในการทำเช่นนี้เรากำหนดสัญญาณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันในช่วงเวลา -¥ < x < - , y¢ > 0 ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้น - < x < -1, y¢ < 0, функция убывает 1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает 0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает 1 < x < , y¢ < 0, функция убывает < x < ¥, y¢¢ > 0 ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้น จะเห็นได้ว่าจุด x \u003d - คือจุด ขีดสุดและจุด x \u003d คือจุด ขั้นต่ำ... ค่าฟังก์ชัน ณ จุดเหล่านี้คือ -3 / 2 และ 3/2 ตามลำดับ เกี่ยวกับแนวตั้ง เส้นกำกับ ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น ตอนนี้เราจะพบ เส้นกำกับเฉียง. ผลรวมสมการเส้นกำกับเฉียงคือ y \u003d x มาสร้างกันเถอะ กำหนดการ ฟังก์ชั่น: หน้าที่ของตัวแปรหลายตัว
เมื่อพิจารณาถึงฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวเรา จำกัด ตัวเองไว้ที่คำอธิบายโดยละเอียดของฟังก์ชันของสองตัวแปรเนื่องจาก ผลลัพธ์ทั้งหมดที่ได้จะใช้ได้กับฟังก์ชันของตัวแปรตามจำนวนที่กำหนด คำจำกัดความ: ถ้าแต่ละคู่ที่เป็นอิสระจากกัน (x, y) จากชุดตามกฎบางข้อมีความสัมพันธ์กับค่าของตัวแปร z อย่างน้อยหนึ่งค่าตัวแปร z จะเรียกว่าฟังก์ชันของสองตัวแปร คำจำกัดความ:
หากคู่ของตัวเลข (x, y) ตรงกับค่า z หนึ่งค่าฟังก์ชันจะถูกเรียกใช้ ไม่ชัดเจนและถ้ามีมากกว่าหนึ่ง - คลุมเครือ. คำจำกัดความ: ขอบเขตของ ฟังก์ชัน z เรียกว่าคอลเลกชันของคู่ (x, y) ซึ่งมีฟังก์ชัน z อยู่ คำจำกัดความ: จุดใกล้М 0 (x 0, y 0) ของรัศมี r เรียกว่าชุดของจุดทั้งหมด (x, y) ที่เป็นไปตามเงื่อนไข คำจำกัดความ:
หมายเลข A เรียกว่า ขีด จำกัด ฟังก์ชัน f (x, y) เนื่องจากจุด M (x, y) มีแนวโน้มที่จะไปที่จุด M 0 (x 0, y 0) ถ้าสำหรับแต่ละหมายเลข e\u003e 0 จะมีตัวเลข r\u003e 0 สำหรับจุดใด ๆ M (x, y) ซึ่งเงื่อนไข เงื่อนไขก็เป็นจริงเช่นกัน พวกเขาเขียน: คำจำกัดความ:
ให้จุดМ 0 (x 0, y 0) อยู่ในโดเมนของนิยามของฟังก์ชัน f (x, y) จากนั้นฟังก์ชัน z \u003d f (x, y) จะถูกเรียกใช้ ต่อเนื่อง ที่จุดМ 0 (x 0, y 0) ถ้า ยิ่งไปกว่านั้นจุด M (x, y) มีแนวโน้มที่จะไปที่จุด M 0 (x 0, y 0) โดยพลการ หากในบางจุดเงื่อนไข (1) ไม่พอใจจุดนี้จะถูกเรียกว่า จุดพักฟังก์ชัน f (x, y) ซึ่งอาจเกิดขึ้นในกรณีต่อไปนี้: 1) ฟังก์ชัน z \u003d f (x, y) ไม่ได้กำหนดไว้ที่จุด M 0 (x 0, y 0) 2) ไม่มีขีด จำกัด 3) ขีด จำกัด นี้มีอยู่ แต่ไม่เท่ากับ f (x 0, y 0) ทรัพย์สิน.
ถ้าฟังก์ชัน f (x, y, ... ) ถูกกำหนดและต่อเนื่องในปิดและ โดเมนที่มีขอบเขต D จากนั้นโดเมนนี้มีอย่างน้อยหนึ่งจุด N (x 0, y 0, ... ) เพื่อให้คะแนนที่เหลือตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน f (x 0, y 0, ... ) ³ f (x, y, ... ) และชี้ N 1 (x 01, y 01, ... ) เพื่อให้จุดอื่น ๆ ทั้งหมดเป็นอสมการ f (x 01, y 01, ... ) £ f (x, y, ... ) แล้ว f (x 0, y 0, ... ) \u003d M - มูลค่าสูงสุด ฟังก์ชันและ f (x 01, y 01, ... ) \u003d m - ค่าน้อยที่สุดฟังก์ชัน f (x, y, ... ) ในโดเมน D. ฟังก์ชันต่อเนื่องในโดเมนปิดและขอบเขต D ถึงค่าที่มากที่สุดอย่างน้อยหนึ่งครั้งและค่าน้อยที่สุดอีกครั้งหนึ่ง ทรัพย์สิน.
ถ้าฟังก์ชัน f (x, y, ... ) ถูกกำหนดและต่อเนื่องในโดเมนขอบเขตปิด D และ M และ m เป็นค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันในโดเมนนี้ตามลำดับดังนั้นสำหรับจุดใด ๆ m Îจะมีจุดอยู่ N 0 (x 0, y 0, …) เช่นนั้น f (x 0, y 0, …) \u003d m. พูดง่ายๆคือฟังก์ชันต่อเนื่องรับค่ากลางทั้งหมดระหว่าง M และ m ในโดเมน D ผลลัพธ์ของคุณสมบัตินี้คือข้อสรุปที่ว่าถ้าตัวเลข M และ m เป็นเครื่องหมายตรงกันข้ามดังนั้นในโดเมน D ฟังก์ชันจะหายไปอย่างน้อยหนึ่งครั้ง ทรัพย์สิน.
ฟังก์ชัน f (x, y, ... ), ต่อเนื่องในโดเมนขอบเขตปิด D, ถูก จำกัด ในภูมิภาคนี้หากมีจำนวน K เช่นนั้นสำหรับทุกจุดของภูมิภาคจะมีความไม่เท่าเทียมกัน ทรัพย์สิน.
ถ้าฟังก์ชัน f (x, y, ... ) ถูกกำหนดและต่อเนื่องในโดเมนที่มีขอบเขตปิด D ดังนั้น ต่อเนื่องสม่ำเสมอ ในพื้นที่นี้เช่น สำหรับจำนวนบวกใด ๆ e มีจำนวน D\u003e 0 ดังนั้นสำหรับสองจุดใด ๆ (x 1, y 1) และ (x 2, y 2) ของพื้นที่ที่อยู่ห่างกันน้อยกว่า D ซึ่งเป็นอสมการ คุณสมบัติข้างต้นคล้ายกับคุณสมบัติของฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งที่ต่อเนื่องกันบนเซ็กเมนต์ ดูคุณสมบัติของฟังก์ชันที่ต่อเนื่องบนเซ็กเมนต์ อนุพันธ์และความแตกต่างของฟังก์ชัน ตัวแปรหลายตัว คำจำกัดความ
ให้ฟังก์ชัน z \u003d f (x, y) ได้รับในบางโดเมน หาจุด M (x, y) โดยพลการและตั้งค่าส่วนเพิ่ม Dx ให้กับตัวแปร x จากนั้นจึงเรียกปริมาณ D x z \u003d f (x + Dx, y) - f (x, y) การเพิ่มขึ้นบางส่วนของฟังก์ชันใน x คุณสามารถเขียน แล้วเรียกว่า อนุพันธ์ย่อยฟังก์ชัน z \u003d f (x, y) ใน x การกำหนด: อนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันเทียบกับ y ถูกกำหนดในลักษณะที่คล้ายกัน ความหมายทางเรขาคณิตอนุพันธ์ย่อย (ตัวอย่าง) คือแทนเจนต์ของมุมเอียงของแทนเจนต์ที่วาด ณ จุด N 0 (x 0, y 0, z 0) ไปยังส่วนของพื้นผิวโดยระนาบ y \u003d y 0 การเพิ่มเต็มและความแตกต่างแบบเต็ม
ระนาบสัมผัส ให้ N และ N 0 เป็นจุดของพื้นผิวที่กำหนด ลองวาดเส้นตรง NN 0 เครื่องบินที่ผ่านจุด N 0 เรียกว่า ระนาบสัมผัส กับพื้นผิวถ้ามุมระหว่างเซแคนท์ NN 0 และระนาบนี้มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์เมื่อระยะทาง NN 0 มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ คำจำกัดความ ปกติไปยังพื้นผิวที่จุด N 0 เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด N 0 ที่ตั้งฉากกับระนาบสัมผัสกับพื้นผิวนี้ ณ จุดใดพื้นผิวจะมีระนาบแทนเจนต์เพียงระนาบเดียวหรือไม่มีเลย ถ้าพื้นผิวถูกกำหนดโดยสมการ z \u003d f (x, y) โดยที่ f (x, y) เป็นฟังก์ชันที่แตกต่างกันได้ที่จุดМ 0 (x 0, y 0) ระนาบแทนเจนต์ที่จุด N 0 (x 0, y 0, ( x 0, y 0)) มีอยู่และมีสมการ: สมการของสิ่งปกติกับพื้นผิว ณ จุดนี้คือ: ความหมายทางเรขาคณิต ความแตกต่างทั้งหมดของฟังก์ชันของสองตัวแปร f (x, y) ที่จุด (x 0, y 0) คือการเพิ่มขึ้นของการประยุกต์ใช้ (พิกัด z) ของระนาบสัมผัสกับพื้นผิวเมื่อผ่านจากจุด (x 0, y 0) ไปยังจุด (x 0 + Dx, y 0 + Dy) อย่างที่คุณเห็นความหมายทางเรขาคณิตของผลต่างทั้งหมดของฟังก์ชันของสองตัวแปรคืออะนาล็อกเชิงพื้นที่ของความหมายทางเรขาคณิตของความแตกต่างของฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งตัว ตัวอย่าง. หาสมการของระนาบแทนเจนต์และปกติกับพื้นผิว ที่จุด M (1, 1, 1) สมการระนาบสัมผัส: สมการปกติ: การคำนวณโดยประมาณโดยใช้ค่าส่วนต่างทั้งหมด
ผลต่างทั้งหมดของฟังก์ชัน u คือ: ค่าที่แน่นอนของนิพจน์นี้คือ 1.049275225687319176 อนุพันธ์บางส่วนของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้น ถ้าฟังก์ชัน f (x, y) ถูกกำหนดไว้ในบางโดเมน D อนุพันธ์บางส่วนของมันจะถูกกำหนดในโดเมนเดียวกันหรือบางส่วนของมันด้วย เราจะเรียกอนุพันธ์เหล่านี้ว่า อนุพันธ์บางส่วนของลำดับแรก อนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้จะเป็น อนุพันธ์บางส่วนของลำดับที่สอง เพื่อแยกความแตกต่างของความเท่าเทียมที่ได้รับอย่างต่อเนื่องเราได้รับอนุพันธ์บางส่วนของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้น จากบทความนี้ผู้อ่านจะได้เรียนรู้เกี่ยวกับคุณค่าที่ใช้งานได้สูงสุดรวมถึงคุณสมบัติของการใช้งานในทางปฏิบัติ การเรียนรู้แนวคิดดังกล่าวเป็นสิ่งสำคัญในการทำความเข้าใจพื้นฐานของคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น หัวข้อนี้เป็นพื้นฐานสำหรับการศึกษาหลักสูตรที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้น ติดต่อกับ ในหลักสูตรของโรงเรียนมีคำจำกัดความของแนวคิด "เอ็กซ์ตรีม" ไว้มากมาย บทความนี้มีวัตถุประสงค์เพื่อให้ความเข้าใจที่ลึกซึ้งและชัดเจนที่สุดเกี่ยวกับคำศัพท์สำหรับผู้ที่ไม่รู้ในเรื่องนี้ ดังนั้นคำนี้จึงเข้าใจว่าช่วงเวลาการทำงานได้รับค่าต่ำสุดหรือสูงสุดในชุดใดชุดหนึ่ง Extremum เป็นทั้งค่าต่ำสุดของฟังก์ชันและค่าสูงสุดในเวลาเดียวกัน แยกแยะระหว่างจุดต่ำสุดและจุดสูงสุดนั่นคือค่ามากของอาร์กิวเมนต์บนแผนภูมิ วิทยาศาสตร์หลักที่ใช้แนวคิดนี้: จุด Extremum มีบทบาทสำคัญในการกำหนดลำดับของฟังก์ชันที่กำหนด ระบบพิกัดบนกราฟจะแสดงการเปลี่ยนแปลงในตำแหน่งสุดขั้วที่ดีที่สุดโดยขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลงในฟังก์ชันการทำงาน นอกจากนี้ยังมีปรากฏการณ์เช่น "อนุพันธ์" มีความจำเป็นต้องกำหนดจุดสุดขั้ว สิ่งสำคัญคืออย่าสับสนระหว่างจุดต่ำสุดหรือสูงสุดกับค่าสูงสุดและต่ำสุด แนวคิดเหล่านี้เป็นแนวคิดที่แตกต่างกันแม้ว่าอาจดูเหมือนคล้ายกันก็ตาม ค่าของฟังก์ชันเป็นปัจจัยหลักในการกำหนดวิธีการหาจุดสูงสุด อนุพันธ์ไม่ได้ถูกสร้างขึ้นจากค่า แต่เกิดจากตำแหน่งสุดขั้วในคำสั่งอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น อนุพันธ์นั้นกำหนดขึ้นจากข้อมูลของจุดสุดขั้วไม่ใช่ค่าสูงสุดหรือต่ำสุด ในโรงเรียนของรัสเซียเส้นแบ่งระหว่างแนวคิดทั้งสองนี้ไม่ได้ถูกวาดไว้อย่างชัดเจนซึ่งส่งผลต่อความเข้าใจในหัวข้อนี้โดยทั่วไป ตอนนี้เรามาดูสิ่งที่เรียกว่า "เฉียบพลันรุนแรง" วันนี้มีการแยกแยะค่าต่ำสุดที่คมชัดและค่าสูงสุดเฉียบพลัน คำจำกัดความได้รับตามการจำแนกประเภทจุดวิกฤตของฟังก์ชันของรัสเซีย แนวคิดจุดสุดขั้วเป็นหัวใจสำคัญของการค้นหาจุดวิกฤตบนแผนภูมิ ในการกำหนดแนวคิดดังกล่าวเราต้องใช้ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ เป็นสิ่งที่สำคัญที่สุดในการศึกษาประเด็นที่รุนแรงและให้ความคิดที่ชัดเจนเกี่ยวกับการดำรงอยู่ของพวกเขาในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง เพื่อให้แน่ใจว่ามีความพิเศษสิ่งสำคัญคือต้องสร้างเงื่อนไขบางประการสำหรับการลดหรือเพิ่มบนกราฟ ในการตอบคำถาม "วิธีหาจุดสูงสุด" อย่างถูกต้องคุณต้องปฏิบัติตามข้อกำหนดต่อไปนี้: โปรดทราบ!การค้นหาจุดวิกฤตของฟังก์ชันจะทำได้ก็ต่อเมื่อมีอนุพันธ์ของลำดับที่สองเป็นอย่างน้อยซึ่งมั่นใจได้จากการมีจุดสุดขั้วในสัดส่วนที่สูง เพื่อให้จุดสูงสุดมีอยู่สิ่งสำคัญคือมีทั้งคะแนนต่ำสุดและสูงสุด หากปฏิบัติตามกฎนี้เพียงบางส่วนแสดงว่ามีการละเมิดเงื่อนไขการดำรงอยู่ของสุดขั้ว แต่ละฟังก์ชันในตำแหน่งใด ๆ จะต้องมีความแตกต่างกันเพื่อเปิดเผยความหมายใหม่ สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่ากรณีของจุดที่หายไปไม่ใช่หลักการพื้นฐานในการค้นหาจุดที่แตกต่าง ความสุดขั้วที่คมชัดรวมถึงฟังก์ชันขั้นต่ำเป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่งในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์โดยใช้ค่ามาก เพื่อให้เข้าใจส่วนประกอบนี้ได้ดีขึ้นสิ่งสำคัญคือต้องอ้างถึงค่าตารางเพื่อระบุฟังก์ชันการทำงาน 2. การหาจุดแตกหักปลายสุดและจุดตัดด้วยแกนพิกัด 3. ขั้นตอนการกำหนดการเปลี่ยนแปลงตำแหน่งบนแผนภูมิ 4. การกำหนดเลขชี้กำลังและทิศทางของความนูนและความนูนโดยคำนึงถึงการมีอยู่ของเส้นกำกับ 5. การสร้างตารางสรุปผลการศึกษาในแง่ของการกำหนดพิกัด 6. การหาช่วงเวลาของการเพิ่มและลดจุดที่รุนแรงและแหลม 7. การกำหนดความนูนและความเว้าของเส้นโค้ง 8. การสร้างกราฟตามการศึกษาช่วยให้คุณสามารถหาค่าต่ำสุดหรือสูงสุดได้ ครูในโรงเรียนมักไม่ให้ความสำคัญสูงสุดกับประเด็นสำคัญดังกล่าวซึ่งเป็นการละเมิดขั้นตอนการศึกษาอย่างร้ายแรง การพล็อตกราฟจะเกิดขึ้นตามผลของการศึกษาข้อมูลเชิงหน้าที่การกำหนดจุดสุดขั้วที่คมชัดและจุดบนกราฟเท่านั้น ความสุดขั้วที่คมชัดของอนุพันธ์ของฟังก์ชันถูกลงจุดบนพล็อตค่าที่แน่นอนโดยใช้ขั้นตอนการกำหนดเส้นกำกับมาตรฐาน จุดสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันมาพร้อมกับการวางแผนที่ซับซ้อนมากขึ้น นี่เป็นเพราะความต้องการที่ลึกซึ้งในการแก้ไขปัญหาที่รุนแรงอย่างรุนแรง นอกจากนี้ยังจำเป็นต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนและเรียบง่ายเนื่องจากนี่เป็นแนวคิดที่สำคัญที่สุดประการหนึ่งของปัญหาปลายสุด ในการค้นหาค่าข้างต้นคุณต้องปฏิบัติตามกฎต่อไปนี้: นอกจากนี้ยังใช้เป็นแนวคิดเช่น low low และ strong low สิ่งนี้จะต้องนำมาพิจารณาในการกำหนดจุดสุดยอดและคำนวณอย่างแม่นยำ ในขณะเดียวกันฟังก์ชันที่คมชัดคือการค้นหาและสร้างเงื่อนไขที่จำเป็นทั้งหมดสำหรับการทำงานกับกราฟฟังก์ชัน
ฟังก์ชันนี้เรียกว่า ฟังก์ชั่น antiderivative ... antiderivative ของฟังก์ชันถูกกำหนดขึ้นเป็นค่าคงที่
นี่คือค่าคงที่โดยพลการ
.
และฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องและความเท่าเทียมกัน 
.
ที่ไหน.
... ถ้าเราจำคำจำกัดความของอนุพันธ์ของฟังก์ชันและไปที่ขีด จำกัด ที่เราจะได้ นั่นคือมันเป็นหนึ่งในยาต้านไวรัสของฟังก์ชัน y \u003d f (x) ในกลุ่ม
... ดังนั้นชุดของ antiderivatives ทั้งหมด F (x) สามารถเขียนเป็นที่ไหน จาก เป็นค่าคงที่โดยพลการ
... ความเท่าเทียมกันนี้ให้สูตรนิวตัน - ไลบนิซที่พิสูจน์แล้ว .
... การใช้สัญกรณ์นี้สูตรนิวตัน - ไลบนิซจะอยู่ในรูปแบบ
... ใช้ยาต้านการอักเสบสำหรับ C \u003d 0: .
. เอส. เค. สี่เหลี่ยม ฟังก์ชันกำหนดพาราเมตริก Polyarnaya S.K.
การคำนวณพื้นที่ของรูประนาบ
การคำนวณความยาวส่วนโค้งของเส้นโค้งระนาบ
การคำนวณพื้นที่ผิวของการปฏิวัติ
ไม่ใช่สมการเชิงอนุพันธ์
ถือได้ว่าเป็นการประมาณสมการไม่เชิงเส้นของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ 
สำหรับกรณีของแอมพลิจูดขนาดเล็กเมื่อ ย ≈บาป ย.
ที่ไหน ม - มวลร่างกาย, x - พิกัด ฉ(x, t) คือแรงที่กระทำต่อร่างกายด้วยพิกัด x ในขณะนี้ t... การแก้ปัญหาคือวิถีของร่างกายภายใต้การกระทำของแรงที่กำหนด
ค่าฟังก์ชันและคะแนนสูงสุดและต่ำสุด
จะดำเนินการอย่างไรในกรณีเหล่านี้? หาจุดสูง / ต่ำ
ถูกต้องอันดับแรกฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นจากนั้นลดลง - นี่คือจุดสูงสุด!
คำตอบ: −15 
คำตอบ: −2 ค้นหาค่าฟังก์ชันที่ใหญ่ที่สุด / น้อยที่สุด
y y
ที่
... เส้นกำกับเฉียงคือ y \u003d x
.
ตั้งแต่ b \u003d const แล้ว 
.
ด้วยเหตุนี้
.
แล้ว 
ด้วยเหตุนี้
.
.
.
.
(1)
.
.
เอ็กซ์ตรีมคืออะไร?
Extrema อนุพันธ์
เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการสิ้นสุดของฟังก์ชัน
ศึกษาความหมายให้ครบถ้วน
การพล็อตค่า
1. การกำหนดจุดของค่าที่เพิ่มขึ้นและลดลง.
องค์ประกอบหลักเมื่อจำเป็นต้องทำงานกับสุดขั้วคือการสร้างกราฟที่ถูกต้อง
ฟังก์ชั่นสุดขั้ว
กำลังโหลด ...