อียา ชชูรอฟ
Matematik Ilya Shchurov เกี่ยวกับ desatinných zlomkoch, transcendencii a iracionalite Pi
Ako ten „jeden“ pomohol vybudovať prve mestá a veľké ríše? Ako ste inšpirovali vynikajúce mysle ľudstva? Akú úlohu zohrala pri vzniku peňazí? Ako sa „jedna“ spojila s nulou, aby vládla ทันสมัย svete? História jednotky je neoddeliteľne spojená s históriou európskej อารยธรรม. เทอร์รี่ โจนส์ Pomocou počítačovej grafiky v tomto programe jednotka ožíva rôznymi spôsobmi. Z histórie jednotky je jasné, odkiaľ sa vzali moderné čísla a ako nás vynález nuly zachránil od toho, aby sme dnes museli používať rímske číslice.
ฌาคส์ เซเซียโน่
โอ ดิโอฟานโตวี วีเม มาโล Zda sa, že žil v อเล็กซานเดรีย ก่อนหน้า 4. storočím nespomína, takže žil pravdepodobne v polovici 3. storočia. นัจเวียค ฮลาฟนา ปราคา Diophantus, "Aritmetika" (Ἀριθμητικά), sa odohrala na začiatku 13 "kníh" (βιβλία), t.j. เมืองหลวง ก่อนหน้านี้ 10, a ถึง: 6 v gréckom texte a 4 ďalšie v stredovekom arabskom preklade, ktorých miesto je uprostred gréckych kníh: knihy I-III v gréčtine, IV-VII v arabčine, VIII-X po grécky. „Aritmetika“ Diophantusa je predovšetkým súbor problémov, celkovo ich je asi 260. V skutočnosti neexistuje žiadna teória; v úvode knihy sú len všeobecné pokyny a v prípade potreby špecifické poznámky k niektorým problémom. „Aritmetika“ už má črty algebraického pojednania. Prvý si Diophantus užíva รอซเน่ ซนาเมเนีย, na vyjadrenie neznámeho a jeho právomocí, aj niektoré výpočty; ako všetka algebraická symbolika stredoveku, jej symbolika pochádza z matematických slov. Potom Diophantus vysvetľuje, ako vyriešiť problém algebraickým spôsobom. Diofantinove problémy však nie sú algebraické v obvyklom zmysle, pretože takmer všetky sú redukované na riešenie neurčitej rovnice alebo sústavy takýchto rovníc.
จอร์จ ชาแบต
โปรแกรมคุรุสุ : Historia. Prve ฮอดโนเทเนีย ปัญหา sumernosti obvodu kruhu s jeho priemerom Nekonečné สดใส, สร้าง iné výrazy pre π. Konvergencia และ jej kvalita วิราซี ออบซาฮูจูเช π. เซกเวนซี, ktoré rýchlo konvergujú k π. Moderné metódy na výpočet π, použitie počítačov. O iracionalite a transcendencii π a niektorých ďalších čísel. Na pochopenie kurzu nie sú potrebné žiadne predchádzajúce znalosti.
Vedci z Oxfordskej univerzity uviedli, že prvé známe použitie čísla 0 na označenie absencie hodnoty miesta (ako v čísle 101) možno nájsť v texte indického rukopisu Bakhshali.
วาสิลิจ ปิสปาเนน
Who v detstve nehral hru "vymenuj najväčšie číslo"? Už teraz je ťažké predstaviť si milióny, bilóny a iné "-ony" v mysli, ale pokúsime sa rozoznať "mastodonta" v matematike – Grahamovo číslo.
วิคเตอร์ เคลปต์ซิน
จริง číslo možno ľubovoľne presne aproximovať racionálnymi číslami. A ako dobré môže byť takéto priblíženie v porovnaní s jeho zložitosťou? Napríklad prerušenie desiatkového zapisu čísla x at k-ta cislica za desatinnou čiarkou dostaneme aproximáciu x≈a/10^k s chybou rádovo 1/10^k. A vo všeobecnosti, ak zafixujeme menovateľa q aproximačného zlomku, určite dostaneme aproximáciu s chybou rádovo 1/q. ดา ซา ถึง urobiť lepšie? Známa aproximácia π≈22/7 dáva chybu rádovo 1/1000, čo je jednoznačne oveľa lepšie, ako by sa dalo očakávať. พรีโค? Máme šťastie, že π má takuto aproximáciu? Ukazuje sa, že pre každé iracionálne číslo มีอยู่จริง nekonečne veľa zlomkov p/q, ktoré ho aproximujú lepšie ako 1/q^2. Toto tvrdí Dirichletova veta — a kurz začneme trochu neštandardným dôkazom.
V roku 1980 Guinessova kniha rekordov zopakovala Gardnerove tvrdenia, čo ešte viac podporilo záujem verejnosti o toto číslo. กราฮาโมโว veľke cisla, ako je googol, googolplex a ešte viac หรือ Skewesovo číslo a Moserovo číslo. V skutočnosti je celý pozorovateľný vesmír príliš malý na to, aby obsahoval bežné desatinné vyjadrenie Grahamovho čísla.
ดมิทรี อโนซอฟ
Prednášky číta Anosov Dmitrij Viktorovič, หมอ fyzikálnych a matematických vied, ศาสตราจารย์, akademik Ruskej akadémie vied. Letná skola "Moderná matematika", ดับนา. 16-18 กรกฎาคม 2545
Na túto otázku nie je možné správne odpovedať, ล่วงหน้า ชิเซลนีราดเนมา ฮอร์นู ฮรานิคู K akémukoľvek číslu teda stačí pridať jedno a dostanete ešte väčšie číslo. Hoci samotné čísla sú nekonečné, nemajú príliš veľa vlastných mien, pretože väčšina z nich sa uspokojí s menami zloženými z menších čísel. Je jasné, že v konečnom súbore čísel, ktoré ľudstvo ocenilo vlastným menom, musí byť nejaké najväčšie číslo. Ako sa však volá a čomu sa rovná? Skúsme na to prísť a zároveň zistiť, na aké veľké čísla prišli matematici.
cho nám pre a = 1 slúžilo na určenie súčtu เรขาคณิตเกจ postupnosti. Za predpokladu, že Gaussova veta bola dokázaná, predpokladáme, že a = a 1 je koreň rovnice (17), takže
) = ก + ก |
n-1 |
n-2 |
ก 1 + ก |
|||||||
Odčítaním tohto výrazu od f(x) a preskupením členov dostaneme identitu
f(x) = f(x) − f(a1 ) = (xn − an 1 ) + an−1 (xn−1 − a n 1 −1 ) + . . + ก1 (x - ก1).
(21) Teraz pomocou vzorca (20) môžeme extrahovať faktor x − a 1 z každého člena a potom ho vyňať zo zátvorky a stupeň polynómu, ktorý zostane v zátvorkách, bude už o jeden menší. Opätovným preusporiadaním podmienok získame identitu
ฉ(x) = (x − a1 )g(x),
kde g(x) je polynóm stupňa n − 1:
g(x) = xn−1 + bn−2 xn−2 + . . + b1 x + b0 .
(Výpočet koeficientov označených b nás tu nezaujíma.) ใช้อาร์กิวเมนต์ rovnaký ďalej na polynóm g(x). Podľa Gaussovej vety มีอยู่ koreň a2 rovnice g(x) = 0, takže
g(x) = (x − a2 )h(x),
kde h(x) je nový polynóm stupňa už n − 2. Zopakovaním týchto arguments n − 1-krát
ฉ(x) = (x − a1 )(x − a2 ) . . . (x - อัน) |
Z ตัวตน (22) vyplýva nielen to, že komplexné čísla a1 , a2 ,
A sú korene rovnice (17), ale aj skutočnosť, že rovnica (17) nemá žiadne iné korene. เขียนโดย totiž číslo y bolo koreňom rovnice (17), potom โดย to vyplývalo z (22).
ฉ(y) = (y − a1 )(y − a2 ) . . . (y − an ) = 0
Ale videli sme (s. 115) Takže jeden z faktorov y − ar sa rovná 0, t.j. y = ar, cho je to, cho bolo potrebné stanoviť.
§ 6.
1. นิยามการดำรงอยู่ของ otázky Algebraické číslo je akékoľvek číslo x, skutočné alebo จินตนาการ, ktoré spĺňa nejakú algebraickú rovnicu tvaru
xn + an-1 xn-1 + . . + a1 x + a0 = 0 (n > 1, และ 6 = 0), |
130 MATEMATICKÁ NUMERICKÁ SÚSTAVA แปลว่า ครั้งที่สอง
kde čísla ai su celé čísla. Takže napríklad číslo 2 je algebraické, pretože spĺňa rovnicu
x2 − 2 = 0
Rovnakým spôsobom je algebraickým číslom každý koreň akejkoľvek rovnice s celočíselnými koeficientmi tretieho, štvrtého, piateho, akéhokoľvek stupňa a bez ohľadu na to, či je a lebo nie je vy jadrený v radikáloch. Pojem algebraické číslo je prirodzeným zovšeobecnením pojmu racionálne číslo, ktoré zodpovedá konkrétnemu prípadu n = 1.
Nie každé realne číslo je พีชคณิต. Vyplýva to z nasledujúcej Cantorovej vety: množina všetkých algebraických čísel je spočítateľná. Od množstva všetkých เรียลเน่ ซิสล่า nespočítateľné, potom musia nevyhnutne existovať realne čísla, ktoré nie sú พีชคณิต.
Naznačme jednu z metód na prepočet množiny algebraických čísel. Každá rovnica tvaru (1) je spojená s kladnym celým číslom
ชั่วโมง = | และ | + |an−1 | + . . . + |a1 | + |a0 | +n,
ktorú pre stručnosť nazveme "výška" rovnice. Pre každú pevnú hodnotu n existuje len konečný počet rovníc tvaru (1) s výškou h. Každá z týchto rovníc má najviac n koreňov. Preto môže existovať len konečný počet algebraických čísel generovaných rovnicami s výškou h; preto môžu byť všetky algebraické čísla usporiadané vo forme postupnosti, pričom najprv sú uvedené čísla generované rovnicami výšky 1, potom čísla výšky 2 atď.
Tento dôkaz, že množina algebraických čísel je spočítateľná, potvrdzuje existenciu realnych čísel, ktoré nie sú algebraické. Takéto čísla sa nazývajú transcendentálne (ละตินสเกโฮ ทรานเซนเดเร - พรีจสฺ, พรีโคนาช); Euler im dal toto meno, pretože „prekračujú silu algebraických metód“.
Cantorov dôkaz มีอยู่จริง transcendentalnych čisel nie je konštruktívny. Teoreticky povedané, transcendentálne číslo by sa dalo zostrojiť diagonálnou procedúrou vykonanou na imaárnom zozname desiatkových expanzií všetkých algebraických čísel; ale takýto postup nemá žiadnu praktickú hodnotu a neviedol by k číslu, ktorého rozšírenie na desatinný (alebo nejaký iný) zlomok by sa skutočne dalo zapísať. Najzaujímavejšie problémy spojené s transcendentálnymi číslami spočívajú v dokazovaní, že určité konkrétne čísla (sem patria čísla p a e, pozri s. 319–322) sú transcendentalne.
ALGEBRAICKÉ A TRANSCENDENTNÉ ČÍSLA |
**2. Liouvilleova veta a konštrukcia transcendentalnych čisel. Dôkaz o existencii transcendentalnych čísel ešte pred Cantorom podal J. Liouville (1809–1862) Umožňuje skutočne zostaviť príklady takýchto čísel. Liouvillov dôkaz je zložitejší ako Cantorov, a to nie je prekvapujúce, pretože zostaviť príklad je vo všeobecnosti zložitejšie ako dokázať existenciu. Pri uvádzaní Liouvillovho dôkazu nižšie máme na mysli iba trénovaného čitateľa, hoci znalosť elementárnej matematiky úplne postačuje na pochopenie dôkazu.
Ako zistil Liouville, iracionálne algebraické čísla majú tú vlastnosť, že ich nemožno aproximovať racionálnymi číslami s veľmi vysokým stupňom presnosti, pokiaľ nie sú menovatele aproximačný ch zlomkov สุดขั้ว แย่แล้ว
Predpokladajme, že číslo z spĺňa algebraickú rovnicu s celočíselnými koeficientmi
f(x) = a0 + a1 x + a2 x2 +. . . + an xn = 0 (an 6 = 0), |
ale nespĺňa rovnakú rovnicu nižšieho สตูปา หม้อ
povedzme, že samotné x je algebraické číslo stupňa n. นปริกลัด
číslo z = 2 je algebraické číslo stupňa 2, pretože spĺňa rovnicu x2 − 2 = 0√ stupňa 2, ale nespĺňa rovnicu prvého stupňa; číslo z = 3 2 je stupňa 3, pretože spĺňa rovnicu x3 − 2 = 0, ale nespĺňa (ako ukážeme v kapitole III) rovnicu nižšieho stupňa. Algebraické číslo stupňa n > 1
nemôže byť racionálne, keďže racionálne číslo z = p คิว spĺňa
spĺňa rovnicu qx − p = 0 stupňa 1. Každé iracionálne číslo z možno aproximovať s ľubovoľným stupňom presnosti pomocou racionálneho čísla; ถึง znamená, že vždy môžete zadať postupnosť racionálnych čísel
p1, p2, . . .
คิว 1 คิว 2
s neobmedzene rastúcimi menovateľmi, ktorý má vlastnosť
เซ
พี r → z คิวอาร์
Liouvilleova veta hovorí: nech je algebraické číslo z stupňa n > 1 akékoľvek, nemôže byť aproximované racionálnym
dostatočne veľké menovatele, nerovnosť
z−p คิว |
> qn1+1 |
|||||
MATEMATICKÝ ČÍSELNÝ SYSTÉM |
Dáme dôkaz tejto vety, ale najprv ukážeme, ako ju možno použiť na zostavenie transcendentálnych čísel. ซวาซเต ซิสโล
z = a1 10−1! +a2 10-2! + ก3 10-3! + . . . + dopoludnia · 10 ม.! + . . . == 0,a1 a2 000a3 00000000000000000a4 000 . . ,
kde ai znamená ľubovoľné číslice od 1 do 9 (najjednoduchšie by bolo nastaviť všetky ai na 1) a symbol n!, ako obvykle (pozri str. 36), znamená 1 2 . . . น. Charakteristickou vlastnosťou desatinného rozvoja takéhoto čísla je, že sa v ňom striedajú skupiny núl s rýchlo rastúcou dĺžkou s jednotlivými číslicami inými ako nula. Označme zm konečný desatinný zlomok získaný zobratím všetkých členov do am · 10−m! วาราตาน. Potom dostaneme nerovnosť
Predpokladajme, že z โดย bolo algebraické číslo stupňa n. Potom nastavením Liouvilleovej nerovnosti (3) p q = zm = 22 น.! , ดนตรี mať
|ซ - ซม | > 10(น+1)ม!
นาโดซ veľke hodnotyม. Porovnanie poslednej nerovnosti s nerovnicou (4) dáva
10(n+1)ม.! |
10(ม.+1)! |
10(ม.+1)!-1 |
|||||
odkiaľ nasleduje (n + 1)m! > (ม + 1)! − 1 ก่อน dostatočne veľke m. To však neplatí pre hodnoty m väčšie ako n (nech si čitateľ dá tú námahu a podrobne dokáže toto tvrdenie). Dostali sme sa do rozporu. Takže číslo z je ยอดเยี่ยม
Zostava dokázať Liouvilleovu vetu. Predpokladajme, že z je algebraické číslo stupňa n > 1, ktoré spĺňa rovnicu (1), takže
f(zm ) = f(zm ) − f(z) = a1 (zm − z) + a2 (zm 2 − z2 ) + . . + อัน (zm n − zn )
Vydelením oboch častí zm − z a použitím พีชคณิต
คุณ n − v n = un−1 + un−2 v + un−3 v2 + . . + uvn−2 + vn−1 , u − v
โดสตามีม:
ฉ(zm) |
A1 + a2 (zm + z) + a3 (zm2 + zm z + z2) + . . |
|
zm − z |
||
อัน (zm n-1 + ... + zn-1). (6) |
||
ALGEBRAICKÉ A TRANSCENDENTNÉ ČÍSLA |
Keďže zm má tendenciu k z, potom pre dostatočne veľké m sa racionálne číslo zm bude líšiť od z o menej ako jedna. Preto pre dostatočne veľké m môžeme urobiť nasledujúci hrubý odhad:
ฉ(zm) |
< |a1 | + 2|a2 |(|z| + 1) + 3|a3 |(|z| + 1)2 |
|||
zm − z |
||||
N|อัน |(|z| + 1)n−1 = M, (7)
กองทัพเรือše číslo M vpravo je konštantné, keďže z sa pri dokazovaní nemení. Vyberme teraz m take veľké, že
zlomok z m = p m má menovateľ คิว ม bol väčší หรือ M; หม้อตร.ม
|ซ - ซม | > |
|ฉ(zm )| |
|ฉ(zm )| |
||||
|ฉ(zm )| = |
-qn |
||||||||||
1 หน้า + . . . + ก |
|||||||||||
เหตุผล cislo zm = |
nemože byť koreňom rovnice |
||||||||||
แปลกโดย bolo možné extrahovať faktor (x − zm ) z polynómu f(x), a preto โดย z vyhovovalo rovnici stupňa nižšieho ako n. ทัคเช f(zm ) 6= 0. Z porovnania vzťahov (8) a (9) teda vyplýva เนรอฟโนส
|ซ - ซม | > |
|||||||
qn+1 |
|||||||
cho je práve obsahom naznačenej vety.
Za posledných niekoľko desaťročí pokročil výskum o možnosti aproximácie algebraických čísel racionálnymi oveľa ďalej. Napríklad nórsky matematik A. Thue (1863–1922) zistil, že v Liouvilleovej nerovnosti (3) možno exponent n + 1 nahradiť menším exponentom n 2 + 1.
K. L. Siegel ukázal, že je možné brať aj menšie (เอสเต เมนชี
pre väčšie n) เลขยกกำลัง 2 น.
Transcendentalne čísla boli vždy témou, ktorá priťahuje pozornosť มาเตมาติคอฟ Ale až do pomerne nedávnej doby bolo medzi číslami, ktoré sú samy osebe zaujímavé, len veľmi málo známych, ktorých อักขระเหนือธรรมชาติ bolo možné preukázať. (Z transcendencie čísla p, o ktorom bude reč v kapitole III, vyplýva nemožnosť kvadratúry kruhu pomocou pravítka a kružidla.) navrhol tridsať matematickych
ALGEBRA มโนซิน |
ปัญหา, ktoré pripúšťajú jednoduchú formuláciu, niektoré dokonca celkom elementárne a populárne, z ktorých nielenže neboli vyriešené, ale dokonca sa zdali byť vyriešené pomocou matematiky tej doby. Tieto „Hilbertove problémy“ mali silný stimulačný účinok počas celého nasledujúceho obdobia vo vývoji matematiky. Takmer všetky boli postupne vyriešené a v mnohých prípadoch bolo ich riešenie spojené s jasným pokrokom vo vývoji všeobecnejších a hlbších metód. ปัญหา Jeden, ktorý vyzeral dosť beznádejne, bol
dokaz, že ชิสโล
je transcendentné (อาเลโบ อัสปอน อิราซิโอนัลเน) Počas troch desaťročí nebol z nikoho ani náznak takého prístupu k problematike, ktorý by otvoril nádej na úspech. Napokon Siegel a nezávisle od neho aj mladý ruský matematik A. Gelfond objavili nové metódy na dokázanie transcendencie mnohých
ไชสลา, ktoré su dôležité v matematike. นัจมา โบโล สตาโนเวเน
transcendencia nielen Hilbertovho čísla 2 2 , ale aj pomerne rozsiahlej tryy čísel tvaru ab , kde a je algebraické číslo iné ako 0 a 1 a b je iracionálne algebraické číslo.
DODATOK KU KAPITOLE II
พีชคณิตมโนซิน
1. วีเชอเบคนา เทียเรีย. Pojem tryy, zbierky alebo množiny objektov je jedným z najzákladnejších v matematike. Množina je definovaná nejakou vlastnosťou (“atribútom”) A, ktorú musí mať alebo nemá mať každý predmet, ktorý sa uvažuje; Tie Objekty, KtoréMajúVlastnosť tvoria množinu A. Ak Teda uvažujemecelé sla a vlastnosťou a je„ โดยprvočíslo“ . .
Matematická teória množín vychádza z toho, že z množín možno pomocou určitých operácií vytvárať nové množiny (tak ako sa nové čísla získavajú z čísel operáciami sčítania a náso benia). Štúdium operacií na množinách je predmetom „množinovej algebry“, ktorá má veľa spoločného s bežnou numerickou algebrou, hoci sa od nej v niečom líši. Skutočnosť, že algebraické metódy možno použiť na štúdium nenumerických objektov, ako sú množiny, je názorná.
ALGEBRA มโนซิน |
ukazuje veľkú všeobecnosť myšlienok modernej matematiky. Nedávno sa ukázalo, že množinová algebra vrhá nové svetlo na mnohé oblasti matematiky, napríklad teóriu miery a teóriu pravdepodobnosti; je užitočná aj pri systematizácii matematických pojmov a objasňovaní ich logických súvislostí.
V nasledujúcom budem označovať určitú konštantnú množinu objektov, ktorých povaha je indiferentná a ktorú môžeme nazvať univerzálnou množinou (alebo vesmírom uvažovania) a
เอ บี ซี . . budú nejaké podmnožiny I. Ak ฉัน je zbierka všetkých prirodzene cisla, potom A, povedzme, môže označovať množinu všetkých párnych čísel, B je množina všetkých nepárnych čísel, C je množina všetkých prvočísel atď. Ak I označuje množinu všetkých bodov v rovine, potom Je pre nás vhodné zahrnúť samotné ฉันเรียกว่า "podmnožinu", หรือเรียกอีกอย่างว่า "prázdnu" množinu, ktorá neobsahuje akékoľvek prvky. ฉัน, ktoré túto vlastnosť majú. V prípade, že A je univerzálne Implementovaná vlastnosť, ktorej príkladom je (ak รอซปราวาเม ซา na číslach) vlastnosť splnenia triviálnej rovnosti x = x, potom zodpovedajúca podmnožina I bude sama I, keďže túto vlastnosť má každý prvok; na druhej strane, หรือ A je nejaká vnútorne protirečivá vlastnosť (ako x 6= x), potom zodpovedajúca podmnožina neobsahuje vôbec žiadne prvky, je "prázdna" a je označená symbolom.
Hovoríme, že množina A je podmnožinou množiny B, skrátka "A je zahrnuté v B", alebo "B obsahuje A", ak v množine A nie je prvok, ktorý by nebol aj v množine B. Tento vzťah zodpovedá zápisu
AB, alebo BA
Napríklad množina A všetkých celých čísel deliteľných 10 je podmnožinou množiny B všetkých celých čísel deliteľných 5, keďže každé číslo deliteľné 10 je deliteľné aj 5. Vzťah A B nevylučuje vzťah B A. Ak a tak či tak
To znamená, že každý prvok A je zároveň prvkom B a naopak, takže množiny A a B obsahujú presne tie isté prvky.
Vzťah A B medzi množinami v mnohých ohľadoch pripomína vzťah a 6 b medzi číslami. Predovšetkým si všimneme nasledovné
ALGEBRA มโนซิน |
นาสเลดูยูเช วลาสต์นอสตี โทโปเมรู:
1) ก.
2) Ak A B a B A, potom A = B.
3) Ak A B a B C, potom A C
Z tohto dôvodu sa vzťah A B niekedy označuje ako "relácia poradia". Hlavný rozdiel medzi uvažovaným vzťahom a vzťahom a 6 b ťahov a 6 b alebo b 6 a, zatiaľ čo pre vzťah A B medzi množinami podobné tvrdenie je unpravdive. Napríklad, ak A je množina pozostávajúca z čísel 1, 2, 3,
a B je množina pozostávajúca z čísel 2, 3, 4,
potom neplatí vzťah A B ani vzťah B A. Z tohto dôvodu hovoríme, že podmnožiny A, B, C, . . . množiny ฉัน sú „čiastočne usporiadané“, kým realne čísla a, b, c, . . .
tvoria "dobre usporiadaný" súbor.
Všimnite si, mimochodom, z definície vzťahu A B vyplýva, že bez ohľadu na podmnožinu A množiny I,
Vlastnosť 4) sa môže zdať trochu paradoxná, ale ak sa nad tým zamyslíte, logicalky presne zodpovedá presnému významu definície znaku. V skutočnosti โดย bol porušený iba vzťah A
วี v prípade, že prázdna množina obsahovala prvok, ktorý โดย nebol obsiahnutý v A; ale keďže prázdna množina neobsahuje vôbec žiadne prvky, nemôže to tak byť, nech je A akékoľvek.
Teraz definujeme dve operácie na množinách, ktoré majú formálne mnohé z algebraických vlastností sčítania a násobenia čísel, hoci sú sú svojím vnútorným obsahom úplne odlišné od týchto aritmetick ých operacii. Nech A a B sú nejaké dve množiny. Zjednotenie alebo "logický súčet" A a B
วี ข Tato sada je označená หรือ A+B. 1 „Priesečník“ alebo „logický súčin“ A a B sa chápe ako množina pozostávajúca z tých prvkov, ktoré sú obsiahnuté v Aj B. Táto množina sa označuje ako AB.2
Medzi doležité พีชคณิต vlastnosti operacií A + B a AB uvádzame nasledovné. Čitateľ si bude môcť overiť ich platnosť na základe definície samotných โอเปร่า:
ก + (ข + ค) = (ก + ข) + ค. 9) |
|||
ก(B + C) = AB + AC |
ก + (พ.ศ.) = (ก + ข) (ก + ค). |
||
Vzťah A B je ekvivalentný každému z týchto dvoch vzťahov |
|||
Kontrola všetkých týchto zákonov je vecou tej najzákladnejšej logiky. Napríklad pravidlo 10) uvádza, že množina prvkov obsiahnutých v A alebo A je len množina A; pravidlo 12) uvádza, že množina tých prvkov, ktoré sú obsiahnuté v A a súčasne sú obsiahnuté buď v B alebo v C, sa zhoduje so množinou prvkov, ktoré sú buď obsiahnuté súčasne v A a B, alebo sú obsia hnuté súcasne v A. a C Logické uvažovanie používané pri dôkazoch tohto druhu pravidiel je vhodne ilustrované, ak súhlasíme s reprezentáciou množín A, B, C, . . v podobe nejakých figúrok na rovine a budeme veľmi opatrní, aby sme nepremeškali niektorú z vynárajúcich salogicalkých možností, keď ide o prítomnosť spoločných prvkov dvoch množín ale bo naopak prítomnos ť v jednej množine prvkov, ktoré nie su obsiahnuté v ดรูฮอม
ALGEBRA มโนซิน |
Čitateľ nepochybne upozornil na skutočnosť, že zakony 6), 7), 8), 9) a 12) sú navonok totožné so známymi komutatívnymi, asociatívnymi a distributívnymi zákonmi bežnej algebry. Z toho vyplýva, že všetky pravidlá obyčajnej พีชคณิต, ktoré z týchto zákonov vyplývajú, platia aj v algebre množín. เนาปัก, ซาโกนี 10), 11) และ 13) Napríklad binomický vzorec v množinovej algebre sa redukuje na najjednoduchšiu rovnosť
(A + B) n = (A + B) · (A + B). . . (เอ + บี) = เอ + บี
โช วีปลิวา โซ ซาโคนา 11). Zákony 14), 15) a 17) hovoria, že vlastnosti množín a I vo vzťahu k operáciám zjednotenia a prieniku množín sú veľmi podobné vlastnostiam čísel 0 a 1 vo vzťahu k operáciám numerických operá cí sčítanie a násobenie. Ale zakon 16) nemá v ตัวเลข algebre obdobu.
Zostava definovať ešte jednu operaciu v algebre množín. เอ0 . Takže, ak I je množina všetkých prirodzených čísel a A je množina všetkých prvočísel, potom z A do A0 , ก่อน ktorú neexistuje analóg v bežnej algebre má nasledujúce vlastnosti:
A + A0 = I |
AA0 = . |
||
0 = ฉัน |
I0 = . |
23) ก 00 = ก.
24) Vzťah A B je ekvivalentný vzťahu B 0 เอ0 .
25) (A + B)o = A0BO. 26) (AB)o = อ่าว + B0.
Overenie týchto vlastností opäť nechávame na čitateľa.
Zákony 1)–26) sú základom พีชคณิต množín. Majú pozoruhodnú vlastnosť "ความเป็นคู่" v nasledujúcom zmysle:
Ak v niektorom zo zakonov 1)–26) nahradime zodpovedajúci
(pri každom ich výskyte), potom je výsledkom opäť jeden z tých istých zakonov. Napríklad zákon 6) prechádza do zákona 7), 12) - do 13), 17) - do 16) atď. Z toho vyplýva, že každej vete, ktorú možno odvodiť zo zákonov Skutočne, od dokazu
ช. II ALGEBRA มโนซีน 139
prva veta pozostava z แอปพลิเคชัน konzistentna(v rôznych štádiách prebiehajúceho uvažovania) niektorých zákonov 1–26), potom aplikácia "duálnych" zákonov v zodpovedajúcich štádiách bude predstavovať dôkaz "duálnej" vety. (Podobnú "dualitu" v geometria nájdete v kapitole IV.)
2. Aplikacia na matematickú logiku. Overenie zákonov algebry množín bolo založené na analýze logického významu vzťahu A B a operacií A + B, AB a A0 . Teraz môžeme tento proces zvrátiť a považovať zákony 1)–26) za základ pre „algebru logiky“. Povedzme presnejšie: tú časť logiky, ktorá sa týka množín, alebo v podstate rovnakých vlastností uvažovaných objektov, možno zredukovať na formálny algebraický systém založený na zákonoch 1) –26). Logický "podmienený vesmír" definuje množinu ฉัน; ktoré majú túto vlastnosť. Pravidlá na preklad bežnej logickej terminológie do stanoveného jazyka sú jasné z
nasledujuce príklady: |
||||
"อนิ เอ อนิ บี" |
(A + B)0 alebo, cho je to isté, A0 B0 |
|||
"นี่ เจ ปราฟดา เซ เอ เจ บี" |
(AB)0 alebo, cho je to isté, A0 + B0 |
|||
je B", อะเลโบ |
||||
"อัก เอ ทัก บี" |
||||
"Od A nasleduje B" |
||||
"นิกตอเร เอ เจ บี" |
||||
"เนียะ เจบี" |
เอบี= |
|||
"นิกโทเร เอ เนีย ซู บี" |
AB0 6= |
|||
"Neexistuje žiadne A" |
||||
Z hľadiska množinovej algebry má sylogizmus "Barbara", ktorý znamená "ak každé A je B a každé B je C, potom každé A je C", รูปแบบ jednoduchú:
3) Ak A B a B C, potom A C
Podobne „zákon protirečenia“, ktorý uvádza, že „predmet nemôže mať a zároveň nemať nejakú vlastnosť“, je napísaný takto:
20) AA 0 = ,
ก „zákon vylúčeného stredu“, ktorý hovorí, že „predmet buď musí mať alebo nemusí mať nejakú vlastnosť“ je napísaný:
19) A + อ่าว = ฉัน
ALGEBRA มโนซิน |
S tou časťou logiky, ktorá je vyjadrená pomocou symbolov, +, a 0 , možno teda zaobchádzať ako s formálnym algebraickým systémom podľa zákonov 1)–26). ดำเนินการต่อโดยใช้ตรรกะทางทวารหนัก matematicy a matematickej analýzy logiky vznikla nová disciplína - matematická logika, ktorá je v súčasnosti v procese prudkého rozvoja.
Z axiomatického hľadiska možno pozoruhodnú skutočnosť, že tvrdenia 1)–26), spolu so všetkými ostatnými vetami množinovej algebry, logicky odvodiť z nasledujúcich troch rovníc:
27) ก + ข = ข + ก,
(A + B) + C = A + (B + C),
(A0 + B0)0 + (A0 + B)0 = ก.
Z toho vyplýva, že algebra množín môže byť skonštruovaná ako čisto deduktívna teória, podobne ako euklidovská geometria, na základe týchto troch tvrdení braných ako axiómy. Ak sú tieto axiómy prijaté, potom operacia AB a vzťah A B sú definované v podmienkach A + B a A0 :
označuje množinu (A0 + B0 )0 , |
|
B znamena, že A + B = B |
Úplne iný príklad matematického systému, v ktorom sú splnené všetky formálne zákony algebry množín, poskytuje sústava ôsmich čísel 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30: tu a + b ozna cuje, pod ใช่
podľa definície najmenší spoločný násobok aab, ab je najväčší spoločný deliteľ aab, ab je výrok "b je deliteľné a" a0 je číslo 30 a . สุ-
Existencia takýchto príkladov viedla k štúdiu všeobecných algebraických systémov spĺňajúcich zákony 27). Taketo systémy sa nazývajú „Booleovské algebry“ podľa anglického matematika a logika Georga Boolea (1815 – 1864), ktorého kniha Vyšetrovanie zákonov myslenia vyšla v roku 1854.
3. Jedna z aplikacií do teórie pravdepodobnosti. Množinová algebra úzko súvisí s teóriou pravdepodobnosti a umožňuje vám pozrieť sa na ňu v novom svetle. Uvažujme o najjednoduchšom príklade: predstavme si การทดลอง s konečným počtom možných výsledkov, pričom všetky sú považované za "rovnako možné". Experiment môže napríklad spočívať v náhodnom ťahaní karty z dobre zamiešaného plného balíčka. Ak množinu všetkých výsledkov trialu označíme I a nejakú podmnožinu I, potom pravdepodobnosť, že výsledok Experimentu bude patriť do podmnožiny A, je definovaná ako pomer
p(A) = počet prvkov A . počet prvkov I
ALGEBRA มโนซิน |
Ak súhlasíme, že počet prvkov v nejakej množine A označíme n(A), potom posledná rovnosť môže mať tvar
V našom príklade, za predpokladu, že A je podmnožinou palíc, dostaneme |
|||||||
n(A) = 13, n(I) = 52 a p(A)= |
|||||||
Myšlienky algebry množín sa nachádzajú pri výpočte pravdepodobností, keď je potrebné, poznať pravdepodobnosti niektorých množín, vypočítať pravdepodobnosti iných. Napríklad vzhľadom na pravdepodobnosti p(A), p(B) a p(AB) môžeme vypočítať pravdepodobnosť p(A + B):
p(A + B) = p(A) + p(B) − p(AB) |
Dokázať to nebude ťažké. แหม่
n(A + B) = n(A) + n(B) − n(AB),
keďže prvky obsiahnuté súčasne v A a B, t. เจ prvky AB, sa pri výpočte súčtu n(A) + n(B) počítajú dvakrát, a preto je potrebné od tohto súčtu odpočítať n(AB). aby sa vypočítalo n(A + B) bolo vytvorené správne. Potom vydelením oboch strán rovnosti n(I) dostaneme vzťah (2).
Zaujímavejší vzorec získame, ak hovoríme o troch množinách A, B, C z I. Pomocou vzťahu (2) máme
p(A + B + C) = p[(A + B) + C] = p(A + B) + p(C) − p[(A + B)C]
Zákon (12) z predchádzajúceho odseku nám dáva (A + B)C = AC + BC ถึง znamena:
p[(A + B)C)] = p(AC + BC) = p(AC) + p(BC) − p(ABC)
Nahradením hodnoty p[(A + B)C] a hodnoty p(A + B) prevzatej z (2) do vzťahu získaného skôr, dostaneme vzorec, ktorý potrebujeme:
p(A + B + C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(AB) − p(AC) − p(BC) + p(ABC) (3)
Ako príklad zvážte nasledujúci การทดลอง Tri čísla 1, 2, 3 sú napísané v ľubovoľnom poradí. Aká je pravdepodobnosť, že aspoň jedna z číslic bude na správnom (z hľadiska číslovania) mieste? Nech A je množina permutácií, v ktorých je číslo 1 na prvom mieste, B je množina permutácií, v ktorých je číslo 2 na druhom mieste, C je množina permutácií, v ktorých je číslo 3 na treťom mieste . มิเอสโต Musíme vypočítať p(A + B + C). ถึง je jasne
p(A) = p(B) = p(C) = 26 = 13;
skutočne, ak je akákoľvek číslica na správnom mieste, potom ที่มีอยู่ujú dve možnosti, ako zmeniť usporiadanie zvyšných dvoch číslic z celkového počtu 3 2 1 = 6 možných permutácií troch cislic. ปาเลจ
Cvicenie. Odvoďte vhodný vzorec pre p(A + B + C + D) a applikujte ho na Experiment, ktorý bude zahŕňať 4 číslice. Zodpovedajúca pravdepodobnosť je 5 8 = 0.6250.
Všeobecny vzorec ก่อน spojenie n množín je
p(A1 + A2 + ... + อัน ) = |
||||
พี(ไอ) − |
||||
p(ไออัจ ) + p(ไออัจอัก ) − . . . ± p(A1 A2 ... อัน ), (4) |
||||
สัญลักษณ์เคดี |
označujú súčet všetkých možných |
|||
kombinácie obsahujuce jeden, dva, ไตร, . . . , (n − 1) písmená z A1 , A2 , . . .
หนึ่ง. เต็นท์ vzorec možno stanoviť matematickou indukciou - rovnako ako vzorec (3) bol odvodený zo vzorca (2).
Zo vzorca (4) môžeme usúdiť, že ak je n číslic 1, 2, 3, . . . , n sú napísané v ľubovoľnom poradí, potom pravdepodobnosť, že aspoň jedna z číslic bude na správnom mieste, sa rovná
พน = 1 |
|||||||||
kde pred posledným členom je znamienko + alebo − v závislosti od toho, či je n párne alebo nepárne. Najmä pre n = 5 sa táto pravdepodobnosť rovná
p5 = 1 − 2! + 3! - 4! +5! = 30 = 0.6333. . .
V kapitole VIII uvidíme, že keď n ide do nekonečna, výraz
1 1 1 1 Sn = 2! - 3! +4! - . . . ±n!
smeruje k hranici 1 e , ktorej hodnota s piatimi desatinnými miestami
rovna ใน 0.36788 Keďže zo vzorca (5) je jasné, že pn = 1 − Sn, z toho vyplýva, že ako n → ∞
pn → 1 − e ≈ 0.63212
ปริกเลดี้
ไพรเบห์
Prvýkrát koncept transcendentálneho čísla zaviedol J. Liouville v roku 1844, keď dokázal vetu, že algebraické číslo nemožno príliš dobre aproximovať racionálnym zlomkom.
|หัวเรื่อง 3= Nástroje rozšírenia
číselné sústavy |nadpis4= ลำดับชั้น čísel |zoznam4=
|
|||||||||||||
| คอมเพล็กซ์ซิสลา | |||||||||||||
Úryvok charakterizujúci Transcendentné číslo
- Ako môžeš byť zdravý... keď morálne trpíš? Dá sa v našej dobe, keď má človek pocit, zostať pokojný? โปเบดาลา อันนา ปาฟลอฟนา "Bol si so mnou celý večer, ดูแฟม?"- A sviatok anglického vyslanca? ดเนส เจ สเตรดา Musím sa tam ukázať,“ เจ้าชายโพเวดัล - Moja dcera ma vyzdvihne a vezme.
Myslel som, že tento sviatok bol zrušený. Je vous avoue que toutes ces fetes et tous ces feux d "umelosť začína a devenir insipides" [Priznávam, že všetky tieto sviatky a ohňostroje sa stávajú neznesiteľnými.]
"Keby vedeli, že to chceš, sviatok by bol zrušený," povedal princ zo zvyku ako hodiny na ranu a hovoril veci, ktorým nechcel veriť.
– เน เม ตูร์เมนเตซ พาส Eh bien, qu "ที่ rozhodnúť par port a la depeche de Novosiizoff? Vous save tout" [เนมุคเตมะ. ไม่ ako ste sa rozhodli pri príležitosti odoslania Novosiltsova? วีเชตชีวีเอเต]
- Ako ti to mám povedať? povedal princ chladnym, znudenym tonom. - Qu "at on rozhodnúť? On a rozhodne que Buonaparte a brule ses vaisseaux, et je crois que nous sommes en train de bruler les notres" Ako ste sa rozhodli? Rozhodli sme sa, že Bonaparte spálil svoje lode; a zdá sa, že aj my pripravený spáliť naše.] - Princ Vasilij vždy hovoril lenivo, ako herec hovorí rolu starej hry. Anna Pavlovna Šerer, naopak, bola napriek štyridsiatim rokom plná animácií a impulzov.
Byť nadšencom sa stalo jej spoločenským postavením a niekedy, keď ani nechcela, sa z nej stala nadšenkyňa, aby neoklamala očakávania ľudí, ktorí ju poznali. Anny Pavlovnej, hoci sa netýkal jej zastaraných čŕt, vyjadroval, ako u rozmaznaných detí, neustále vedomie jej sladkého nedostatku, z ktorého ne chce, nemôže a ani to nepovažuje za potrebné. โดย sa opravila.
เหยียดหยาม rozhovoru o politických akciách sa Anna Pavlovna vzrušila.
“อ๊ะ เนโฮวอร์เต มิโอ ราคุสคุ! Nerozumiem možno ničomu, ale Rakúsko vojnu nikdy nechcelo a nechce. โอนา นาซราดี. Spasiteľom เพลงยูโรปี้โดย len Rusko Náš dobrodinec pozná svoje vysoké povolanie a bude mu verný. Tu je jedna vec, ktorej verim. Náš dobrý a úžasný suverén má najväčšiu úlohu na svete a je taký cnostný a dobrý, že ho Boh neopustí a on splní svoje povolanie rozdrviť hydru revolúcie, ktorá je teraz v tvá ri este hroznejš เอีย tohto vraha a darebáka. Len my musíme odčiniť krv spravodlivých... V koho máme dúfať, pýtam sa vás?... Anglicko so svojím obchodným duchom nepochopí a nemôže pochopiť celú vznešenosť duše cisára Alexandra. Odmietla vycistiť มอลตู Chce vidieť, hľadá spätnú myšlienku našich činov. Čo povedali Novosilcovovi?... Nechápali, nedokážu pochopiť nezištnosť nášho cisára, ktorý nechce nič pre seba a všetko chce pre dobro sveta. โช ซูบิลี? นิค. A čo sľúbili, ไปที่รัง! Prusko už vyhlásilo, že Bonaparte je neporaziteľný a že celá Európa proti nemu nič nezmôže... A ja neverím ani slovo Hardenbergovi, ani Gaugwitzovi. Cette fameuse เป็นกลาง prussienne, ce n "est qu" un piege [Táto povestná neutralita Pruska je len pasca.] Verim v jedného Boha a vo vysoký osud nášho drahého cisara ซัครานี่ ยูโรปู!...“
Na realnej čiare je okrem algebraických čísel ešte jedna množina, ktorej mohutnosť sa zhoduje s mohutnosťou celej čiary — ide o množinu transcendentálnych čísel.
คำนิยาม 6 : Volá sa cislo, ktoré nie je algebraické เหนือธรรมชาติ, teda transcendentalne číslo (lat. transcendere - prejsť, prekročiť) - ide o skutočné ตอบสนอง คอมเพล็กซ์ซิสโล, ktorý nemôže byť koreňom polynómu (nie identicky nula) s racionálnymi koeficientmi
Vlastnosti transcendentalnych ชิเซิล:
· Množina transcendentalnych čísel je súvislá.
· Každé transcendentalne realne číslo je iracionálne, ale opak nie je pravdou. Napríklad číslo je iracionálne, ale nie transcendentné: je koreňom polynómu (a preto je algebraické).
Poradie na množine realych transcendentalnych čísel je izomorfné s poradím na množine iracionálnych čísel.
· Miera iracionality takmer každého transcendentalneho čísla sa rovná 2.
Existenciu transcendentalnych čisel prvýkrát dokázal Liouville. Laouvilleov dôkaz มีอยู่จริง transcendentalnych čísel je účinný; na základe nasledujúcej vety, ktorá je priamym dôsledkom vety 5, sú konštruované konkrétne príklady transcendentálnych čísel.
วีต้า 6 [3, ชั้น 54].: เนชาจ je skutocne cislo. อัก เพรย์ เนจาเค พรีโรดเน น 1 akekoľvek skutocne ค>0, มีอยู่จริง aspoň jeden racionálny zlomok taký, že (11), potom je เหนือธรรมชาติ cislo
โดกาซ:อัค bol algebraický, potom by bolo (Veta 5) kladné celé číslo นแผ่น ค>0 tak, že pre akýkoľvek zlomok โดย to bolo, a to odporuje skutočnosti, že (11) prebieha. Predpoklad, ze พีชคณิต cislo, t.j. ยอดเยี่ยม cislo Veta bola dokazana.
Čísla, pre ktoré, pre ľubovoľné น 1a ค>0 ช้า (11) มาก riešenie v celých číslach กก ข sa nazyvajú ล้ำเลิศ Liouvilleove čísla.
Teraz máme zariadenie na zostavovanie nealgebraických realnych čísel. Musíme zostrojiť číslo, ktoré umožňuje aproximácie ľubovoľne vysokého rádu.
ปริกลัด:
ก je เหนือธรรมชาติ cislo
Berte svojvoľne skutočne น 1a ค>0. Nechaj kde เค vybrane ตาก veľké, ze เคน, พอตอม
Keďže pre svojvoľne น 1a ค>0, môžete nájsť taký zlomok, že potom je transcendentálne číslo.
Nastavme číslo v tvare nekonečneho desatinneho zlomku: kde
Potom, kdekoľvek, . Teda, a to znamená, že pripúšťa aproximácie ľubovoľne vysokého rádu, a preto nemôže byť algebraické.
V โรคุ 2416 ช. ฤาษี dokazal ล่วงพ้น chisla อี, zaklady prirodzenych logaritmov.
Dokazať ก้าวพ้น chisla อี su potrebne dve เลมมี่
มะนาว 1.อัค กรัม(เอ็กซ์) je polynóm s celočíselnými koeficientmi, potom pre ľubovoľné เคเอ็น vssetky koeficienty k-แต่ละอนุพันธ์ กรัม (เค) (เอ็กซ์) ในเดเลียนา เค!.
โดกัซตัวดำเนินการ Keďže d / dxบรรทัด, potom stačí overiť tvrdenie lemy len pre polynómy tvaru กรัม(เอ็กซ์)=เอ็กซ์เอส , ส 0.
อัค เค>ส, ถึง กรัม (เค) (เอ็กซ์)=0 ก เค!|0.
อัค เค< s , ถึง
binomický koeficient je celé číslo กรัม(ฎ) ( เอ็กซ์) je opäť deliteľné เค! อัพเพิล
เลขา 2 (Identita pustovníka) .เนชาจ ฉ(เอ็กซ์) je พหุนาม ľubovoľného stupňa เคเรียลนีมี โคเอฟิเชียนมี,
ฉ( เอ็กซ์)=ฉ(เอ็กซ์)+ฉ" (เอ็กซ์)+ฉ"(เอ็กซ์)+ … +ฉ (เค) (เอ็กซ์) je súčtom všetkých jeho derivátov. Potom pre akékoľvek skutočné (a dokonca zložité, ale zatiaľ ถึง nebudeme potrebovať) เอ็กซ์ฮอทวี่:
โดกัซ Integracia podľa casti:
Integrál je opäť integrovaný po častiach atď. โอภาโควานิมฺโต โปตุปุ เค+1 krat, dostaneme:
Veta 7 (เฮอร์ไมต์ 2416). ซิสโล อี พ้น.
โดกัซ Dokážme to tvrdenie protirečením. Predpokladajme, že อี - algebraické cislo, mocniny ม. หม้อ
ก ม อี ม + … +ก 1 อี+ก 0 =0
พรี เนียกโตเร พริรอดซีเน ม Niektore เซเล ก ม ,… ก 1 , ก 0 Namiesto toho dosaďte identitu ฤๅษีดัดตน (12). เอ็กซ์เซเลซิสโล เค ktorý nadobuda hodnoty od 0 do ม; vynasobte každú rovnicu
เคารพ ก เค potom ich všetky zratajte. โดสตานีม:
Keďže (toto je náš nepríjemný predpoklad), ukázalo sa, že pre akýkoľvek polynóm ฉ(เอ็กซ์) musí byť splnená rovnosť:
โวดนู โวโดบู พอลิโนมู ฉ(เอ็กซ์) može byť urobené คาวา สตรานา(13) nenulové celé číslo a pravá strana bude potom medzi nulou a jednotkou.
Zvážte พหุนาม kde นเดฟิโนว่า เนสโกร์ ( นเอ็น, ก น veľky).
Číslo 0 je koreňom násobnosti น-1 พหุนาม ฉ(เอ็กซ์), หมายเลข 1, 2,…, ม- โครีน มินโฮสติ น, เทด้า:
ฉ (ล) (0)=0, ล=1,2,…, น-2
ฉ(n-1) (0) = (-1) นาที (ม!) น
ฉ (ล) (เค)=0, ล=0,1, …, น-1; เค=1,2,…, ม
ซวาซเต จี( เอ็กซ์)=เอ็กซ์ น-1 (เอ็กซ์-1) น (เอ็กซ์-2) น … (x-ม) น je พหุนามที่คล้ายกัน ฉ(เอ็กซ์), ale s celočíselnými koeficientmi. Podľa Lemy 1 sú koeficienty g ( ล) (เอ็กซ์ฟัง) sú celé čísla deliteľné číslom ล!, เทดา คี ล< n , อนุพันธ์ g ( ล) (เอ็กซ์) všetky koeficienty sú celé čísla deliteľné číslom น, เพรโตเช g( ล) (เอ็กซ์) sa získa z g (l) ( เอ็กซ์) เดลีน ไอบา ( น-1)!. เปรโต
เคเด ก je vhodné celé číslo a nad znamienkom súčtu je číslo ( ม+1) น-1 - ขั้นตอนพหุนาม ฉ(เอ็กซ์) a hoci je možné sčítať do nekonečna, nenulové derivácie y ฉ(เอ็กซ์) je presne toľko.
โพโดเน
เคเด ข เค- vhodne celé chisla, เค = 1, 2,…, ม.
เนชาจ เทราซ นเอ็น - เรียกอีกอย่างว่า celé číslo, ktoré spĺňa podmienky:
Zvážte znova rovnosť (13):
V súčte vľavo sú všetky členy celé čísla ก เค ฉ(เค) ป เค = 1, 2,…, มเดเลโน น, ก ก 0 ฉ(0) พลังจิต น nezdieľa. ถึง znamená, že celý súčet je celé číslo, น nezdieľa, t.j. เนีย เช นัลโลวี. เทด้า
Poďme teraz odhadnúť pravú stranu rovnosti (13). Je jasné, že na segmente a teda aj na tomto เซกเมนต์
Kde su konstanty ค 0 ก ค 1 เนซาวิเซีย od น. ลงชื่อ
Preto za dostatocne veke น, pravá strana (13) je menšia ako jedna a rovnosť (13) nie je možná.
V โรคุ 1882 Lindemann dokázal teorem o transcendencii moci อี s nenulovým algebraickým เลขชี้กำลัง, čím sa dokazuje transcendencia čísla.
เวต้า 8 (ลินเดมันน์) [3 ประเทศ 58]. Ak je algebraické cislo a, potom je cislo ยอดเยี่ยม
Lindemannova veta umožňuje konštruovať เหนือธรรมชาติ čísla.
ปริกเลดี้:
Z Lindemann vety napríklad vyplýva, že číslo ล 2 - เหนือธรรมชาติ, pretože 2=อี วี 2, a číslo 2 je algebraické, a číslo ล 2 bolo algebraické, potom โดย podľa lemy číslo 2 bolo transcendentalne číslo.
Vo všeobecnosti, ก่อน akúkoľvek algebraiku, ล podľa Lindemannovej vety je เหนือธรรมชาติ อ. เหนือธรรมชาติ, potom ล nie nevyhnutne ยอดเยี่ยม číslo, napr. วี อี =1
Ukazuje sa, že sme stále สเตร็ดนา สโกลา videl veľa ยอดเยี่ยม čisel - ล 2,ล 3,ล() ตัก ďalej.
Poznamenávame tiež, že čísla vo forme sú transcendentalne pre akékoľvek nenulové algebraické číslo Napríklad čísla sú ยอดเยี่ยม, .
Ak je to transcendentalne, potom nie nevyhnutne transcendentalne čísla, napr.
Dôkaz Lindemannovej vety je možné vykonať pomocou identity Hermite, rovnakým spôsobom ako bola dokázaná transcendencia, s určitými komplikáciami v transformáciách. Presne tak to dokázal aj samotný ลินเดมันน์. A túto vetu môžete dokázať iným spôsobom, ako povedal sovietsky matematik A.O. Gelfond, ktorého myšlienky viedli v polovici 20. storočia k riešeniu Hilbertovho siedmeho problému.
V roku 1900 บน II medzinárodnom kongrese matematikov Hilbert medzi problémami, ktoré sformuloval, sformuloval siedmy problém: „Ak je pravda, že čísla v tvare, kde, sú algebraické a sú iracionálne transcendentalne čísla? . เต็นท์ปัญหา vyriešil v roku 1934 Gelfond, ktorý dokázal, že všetky takéto čísla sú skutočne transcendentalne.
Dôkaz transcendencie hodnôt exponenciálnej funkcie, navrhnutý Gelfondom, je založený na použití interpolačných metód.
ปริกเลดี้:
1) Na základe Gelfondovej vety je možné napríklad dokázať, že číslo je transcendentálne, pretože ak by bolo algebraicky iracionálne, potom, keďže číslo 19 by podľa Gelfondovej vety bolo transcendentalne, co nie je pravda .
2) เนชัยต์ กก ข- อิราโชนัลเน ซิสลา โมเช ชิสโล ก ขโดยมีเหตุผล?
Samozrejme, pri použití Hilbertovho siedmeho problému nie je ťažké vyriešiť tento problém. Toto číslo je skutočne พ้นวิสัย (pretože ide o algebraické iracionálne číslo). Ale všetky racionálne čísla sú พีชคณิต, teda - iracionálne. นา ดรูเฮจ สแตรน,
Takže sme práve predstavili tieto čísla:, Tento problém sa však dá vyriešiť aj bez akéhokoľvek odkazu na výsledok Gelfondu. Môžeme uvažovať takto: zvážte číslo. Ak je toto číslo racionálne, potom je problém vyriešený, napr กก ขพบ. ไปที่ iracionalne, tak berieme a.
Predstavili sme teda dva pary čisel กก ข, tak, že jeden z týchto párov spĺňa podmienku, ale nevie, ktorá. Ale koniec koncov, nebolo potrebné prezentovať takýto pár! Toto riešenie je teda v istom zmysle มีอยู่จริง teorémom.
ซิสโล ซา โวลา พีชคณิต, ak ide o koreň nejakého polynómu s celočíselnými koeficientmi
ก x n +ก n-1 x n-1 +... +ก 1 x+ก 0(t.j. koren rovnice n xn +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0 =0,เคดี หนึ่ง, n-1, ..., 1, 0 --- เซลชิสลา, น 1, 0).
Množinu algebraických čísel označíme písmenom .
Je ľahké vidieť, že každé racionálne číslo je พีชคณิต. V skutočnosti je koreňom rovnice qx-p=0 s celočíselnymi koeficientmi 1 = คิวก 0 = -p. ทัคเช, .
Nie všetky algebraické čísla sú však racionálne: napríklad číslo je koreňom rovnice x2-2 = 0, je teda algebraické cislo.
นาดูโดบู zostala nevyriešená dôležitá otázka pre matematiku: Existujú nealgebraické realne čísla ? Až v roku 1844 uviedol Liouville prvý príklad transcendentného (t. j. nealgebraického) čísla.
Konštrukcia tohto čísla a dôkaz jeho transcendencie sú veľmi ťažké. Je oveľa jednoduchšie dokázať existenciu teorému pre transcendentálne čísla pomocou úvah o ekvivalencii a neekvivalencii číselných množín.
Totižto dokážeme, že množina algebraických čísel je spočítateľná. หม้อ
Vytvorme medzi sebou korešpondenciu jedna ku jednej เนะจากะ พอดสคูปินา . หากต้องการดู znamenať, že - samozrejme alebo spočítateľne. เอล odvtedy , ถึง nekonečné, a teda spočítateľné.
Nech je nejaké algebraické cislo. Zvážte všetky polynómy s celočíselnými koeficientmi, ktorých koreň je , a vyberte si z nich polynóm พี minimálny stupeň (t. j. nebude existovať koreň žiadneho polynómu s celočíselnými koeficientmi menšieho stupňa).
Napríklad pre racionálne číslo má takýto polynóm stupeň 1 a pre číslo má stupeň 2.
Rozdeľte všetky koeficienty โพลิโนมู พี k ich najväčšiemu spoločnému deliteľovi. Získame polynóm, ktorého koeficienty sú v súhrne relatívne prvočísla (ich najväčší spoločný deliteľ je 1). Nakoniec, ak je veduci koeficient หนึ่ง je zaporné, vynasobíme všetky koeficienty polynómu o -1 .
Výsledný polynóm น. จำนวนพหุนาม.
Dá sa dokázať, že takýto polynóm je jednoznačne definovaný: každé algebraické číslo má práve jeden minimálny polynóm.
Počet realnych koreňov polynómu nie je väčší ako jeho stupeň. เปรโต je možné vymenovať (napríklad vo vzostupnom poradí) všetky korene takéhoto polynómu.
Teraz je každé algebraické číslo úplne určené jeho minimálnym polynómom (t. j. množinou jeho koeficientov) a číslom, ktoré tento polynóm odlišuje od iných koreňov: (ก 0 ,ก 1 ,...,ก n-1 ,ก n ,k).
Každému algebraickému číslu sme teda priradili konečnú množinu celých čísel a táto množina je jedinečne obnovená (t.j. รอซเน ชิสลาซอดโปเวดาจู รอซนีม ซูโบรอม)
Všetky prvočísla vymenujeme vo vzostupnom poradí (je ľahké ukázať, že ich je nekonečne veľa). Dostanem nekonečnú postupnosť (พีเค): พี 1=2,พี2=3, p3=5, พี 4=7, ... Teraz mnozina celých ชิเซล (ก 0 ,ก 1 ,...,ก n-1 ,ก ,k)ซา ดา ซลาดี
(toto číslo je pozitívne a racionálne, ale nie vždy prirodzene, pretože medzi číslami 0, 1, ..., n-1, môže byť negatívny). วีซิมไนต์ si. Všimnite si tiež, že dva ireducibilné zlomky s kladnými čitateľmi a menovateľmi sú rovnaké vtedy a len vtedy, ak sú obaja ich čitatelia rovnakí a ich menovatelia sú rovnakí.
Zvážte teraz เลื่อนขึ้น mapovanie:
(ก 0 ,ก 1 ,...,ก n-1 ,ก n ,k) =
Keďže rôznym algebraickým číslam a rôznym množinám sme priradili rôzne množiny celých čísel --- รอซเน่ racionálne čísla, potom sme teda vytvorili korešpondenciu jedna ku jednej medzi množinou เนะจากะ พอดสคูปินา . Preto je množina algebraických čísel spočítateľná.
Keďže množina realnych čísel je nespočítateľná, dokázali sme มีอยู่จริง nealgebraických čísel.
Existenčná veta však nenaznačuje, ako určiť, či je dané číslo พีชคณิต A táto otázka je niekedy pre matematiku veľmi dôležitá.
นชิตาวา...