สูตร Ostrogradsky - สีเขียว

สูตรนี้สร้างการเชื่อมโยงระหว่าง curvilinear integral เหนือวงจรปิดด้วยและอินทิกรัลสองเท่าในพื้นที่ จำกัด อยู่ที่วงจรนี้

คำนิยาม 1. พื้นที่ D เรียกว่าพื้นที่ง่าย ๆ ถ้าสามารถแบ่งออกเป็นจำนวนของเรือแคนูของพื้นที่ประเภทแรกและไม่คำนึงถึงจำนวนที่ จำกัด ของภูมิภาคที่สอง

ทฤษฎีบท 1. สมมติว่าในภูมิภาคง่าย ๆ ฟังก์ชั่น p (x, y) และ q (x, y) มีความชัดเจนพร้อมกับอนุพันธ์ส่วนตัวของพวกเขาและ

จากนั้นมีสูตร

ที่ C เป็นวงจรปิดของภูมิภาค D

นี่คือสูตรของ Ostrogradsky - สีเขียว

เงื่อนไขสำหรับความเป็นอิสระของ curvilinear integral จากเส้นทางของการรวม

คำนิยาม 1. มีการกล่าวกันว่าพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสปิด D คือการเชื่อมต่อเดียวหาก LD โค้งปิดใด ๆ สามารถใช้ DISORFORMED ต่อจุดเพื่อให้จุดทั้งหมดของเส้นโค้งนี้จะเป็นของพื้นที่ D (พื้นที่ที่ไม่มี "หลุม" - D 1) หากไม่สามารถเสียรูปได้ภูมิภาคจะถูกเรียกว่า MultiSycle (ด้วย "หลุม" - D 2)

คำนิยาม 2. หากค่าของ curvilinear integral โดยเส้นโค้งไม่ได้ขึ้นอยู่กับมุมมองของจุดเชื่อมต่อเส้นโค้ง A และ B จากนั้นพวกเขาก็บอกว่านี้ krivolynoe Integral ไม่ได้ขึ้นอยู่กับเส้นทางของการรวม:

ทฤษฎีบท 1. ให้ต่อเนื่องพร้อมกับอนุพันธ์เฉพาะของฟังก์ชั่น p (x, y) และ q (x, x, y) และ q (x, y) และ q (x, y) ถูกกำหนดไว้ในซิงเกิ้ลปิด -Connected Region D. จากนั้นเงื่อนไข 4 ประการต่อไปนี้เทียบเท่า (เทียบเท่า):

1) อินทิกรัล Curvilinear บนรูปร่างปิด

โดยที่ C เป็นวงจรปิดใด ๆ ใน D;

2) curvilinear integral เหนือรูปร่างที่ปิดไม่ได้ขึ้นอยู่กับเส้นทางของการรวมในภูมิภาค D, I.e.

3) DV + Q (x, y) dx + q (x, y) dy เป็นความแตกต่างที่สมบูรณ์ของฟังก์ชั่นบางอย่าง f ในภูมิภาค d, i.e. มีฟังก์ชั่น f เช่นนั้น (x, y) d เกิดขึ้นเท่ากัน

dF (x, y) \u003d p (x, y) dx + q (x, y) dy; (3)

4) สำหรับทุกจุด (x, y) d เงื่อนไขต่อไปนี้จะดำเนินการ:

เราพิสูจน์ตามโครงการ

เราพิสูจน์ว่าจาก

ให้มันได้รับ 1), I.e. \u003d 0 โดยอสังหาริมทรัพย์ 2 §1ซึ่ง \u003d 0 (ตามคุณสมบัติ 1 §1)

เราพิสูจน์ว่าจาก

มันได้รับนั้น kr.inka ไม่ได้ขึ้นอยู่กับเส้นทางของการรวม แต่จากการเลือกเส้นทางเริ่มต้นและ kansa เท่านั้น

พิจารณาฟังก์ชั่น

บรรจุที่รูปแบบที่แตกต่าง P (x, y) dx + q (x, y) dy เป็นฟังก์ชั่นที่แตกต่างกัน f (x, y), i.e. , อะไร

ให้เราถามการเพิ่มส่วนตัว

x f (x, y) \u003d f (x + x, y) -f (x, y) \u003d \u003d \u003d\u003d \u003d

(โดยอสังหาริมทรัพย์ 3 § 1, bb * oh) \u003d \u003d p (c, y) x (โดยทฤษฎีบทเฉลี่ยด้วย -Const) โดยที่ x

(การตรวจสอบความต่อเนื่องของฟังก์ชั่น p) ได้รับสูตร (5) ในทำนองเดียวกันสูตรได้รับ (6)

เราพิสูจน์ว่าจาก

สูตร Dana

dF (x, y) \u003d p (x, y) dx + q (x, y) dy

เห็นได้ชัดว่า \u003d p (x, y) จากนั้น

ภายใต้เงื่อนไขของทฤษฎีบทส่วนที่เหมาะสมของความเท่าเทียมกัน (7) และ (8) เป็นฟังก์ชั่นต่อเนื่องจากนั้นในทฤษฎีความเท่าเทียมกันของอนุพันธ์ผสมจะมีเท่ากันและชิ้นส่วนซ้าย, I.

เราพิสูจน์ว่าจาก 41

เลือกวงจรปิดใด ๆ จากพื้นที่ D ซึ่ง จำกัด พื้นที่ D 1

ฟังก์ชั่น P และ Q เป็นไปตามเงื่อนไขของ OstroGrad Green:

โดยอาศัยความเท่าเทียมกัน (4) ในส่วนซ้าย (9) อินทิกรัลคือ 0 ซึ่งหมายความว่าด้านขวาของความเสมอภาคเท่ากัน

หมายเหตุ 1. ทฤษฎีบท 1. สามารถสูตรเป็นทฤษฎีบทอิสระสามแห่ง

ทฤษฎีบท 1 * เพื่อที่จะอยู่ในพื้นที่สี่เหลี่ยมที่เชื่อมต่อแบบเดียว D Kriv.int ไม่ได้ขึ้นอยู่กับเส้นทางของการรวมเพื่อให้เงื่อนไขดำเนินการ (.1), i.e.

ทฤษฎีบท 2 * เพื่อที่จะอยู่ในพื้นที่สี่เหลี่ยมที่เชื่อมต่อแบบเดียว D Kriv.int ไม่ได้ขึ้นอยู่กับเส้นทางของการรวมเพื่อเงื่อนไข (3) พอใจ:

รูปแบบที่แตกต่าง P (x, y) dx + q (x, y) dy เป็นความแตกต่างที่สมบูรณ์ของฟังก์ชั่นบางอย่าง f ในภูมิภาค D.

ทฤษฎีบท 3 * เพื่อที่จะอยู่ในพื้นที่สี่เหลี่ยมที่เชื่อมต่อแบบเดียว D Kriv.int ไม่ได้ขึ้นอยู่กับเส้นทางของการรวมเพื่อเงื่อนไข (4) พอใจ:

หมายเหตุ 2. ใน Theorem2 * Region D อาจมีการเชื่อมต่อหลายแบบ

6. สูตรค่ากลางสำหรับอินทิกรัลเฉพาะ

7. อินทิกรัลกับขีด จำกัด บนตัวแปร ความต่อเนื่องและความแตกต่างของมัน

8. สูตรนิวตันเลื่อยสำหรับอินทิกรัลที่เฉพาะเจาะจง

9. คำนวณอินทิกรัลเฉพาะในส่วนและการเปลี่ยนตัวแปร

10. การประยุกต์ใช้อินทิกรัลเฉพาะ (พื้นที่รูปร่างแบน, ความยาวโค้งโค้ง, ร่างกายหมุน)

11. แนวคิดของชุดตัวเลขและจำนวนเงิน เกณฑ์ที่อยากรู้อยากเห็นสำหรับการบรรจบกันของซีรีส์ เงื่อนไขการบรรจบกันที่จำเป็น

12. สัญญาณของการบรรจบกันของผู้หญิงและ Cauchi ของแถวกับสมาชิกที่ไม่ใช่ผู้ไม่เป็นลบ

13. สัญลักษณ์สำคัญของ Cauchy ของการบรรจบกันของซีรี่ส์ตัวเลข

14. แถวตัวเลขที่มีการลงชื่อ การบรรจบกันอย่างสมบูรณ์และตามเงื่อนไข จัดตำแหน่งแถว สัญลักษณ์ของ Leibnia

15. ชุดฟังก์ชั่น ผลรวมของแถว การกำหนดคอนเวอร์เจนซ์ที่สม่ำเสมอของชุด เกณฑ์ที่อยากรู้อยากเห็นสำหรับการบรรจบกันของชุดฟังก์ชั่น

16. สัญญาณของ Weierstrass การบรรจบกันเครื่องแบบ

18. Power Row. ทฤษฎีบทของ Abel

19. รัศมีของการบรรจบกันของชุดพลังงาน สูตรของ Cauchy Adamar สำหรับรัศมีของการบรรจบกันของ Power Row

21. ฟังก์ชั่นของตัวแปรหลายตัว แนวคิดของพื้นที่ eluclidean n-dimensional หลายจุดของอวกาศยุคลิด ลำดับของคะแนนและขีด จำกัด การกำหนดฟังก์ชั่นของตัวแปรหลายตัว

22. ขีด จำกัด ของฟังก์ชั่นของตัวแปรหลายตัว ฟังก์ชั่นต่อเนื่อง อนุพันธ์ส่วนตัว

23. นิยามฟังก์ชั่นที่แตกต่างกันของตัวแปรหลายตัวและความแตกต่าง อนุพันธ์และความแตกต่างของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้น

24. สูตรเทย์เลอร์สำหรับฟังก์ชั่นของตัวแปรหลายตัว ฟังก์ชั่นสุดขีดของตัวแปรหลายตัว สภาพ orthma ที่ต้องการ เงื่อนไข Extremum ที่เพียงพอ

25. การรวมสองเท่าและคุณสมบัติของมัน การคำนึงถึงอินทิกรัลสองเท่าเพื่ออีกครั้ง

27. การแทนที่ตัวแปรในอินทิกรัลสามอย่าง พิกัดทรงกระบอกและทรงกลม

28. การคำนวณพื้นที่ผิวเรียบที่ระบุพารามิเตอร์และชัดเจน

29. การกำหนดอินทิกรัลโค้งคำนับของชนิดแรกและชนิดที่สองคุณสมบัติหลักของพวกเขาและการคำนวณ

30. สูตรสีเขียว เงื่อนไขสำหรับความเป็นอิสระของ curvilinear integral จากเส้นทางของการรวม

31. การรวมพื้นผิวของชนิดแรกและชนิดที่สองคุณสมบัติหลักของพวกเขาและการคำนวณ

32. ทฤษฎีบท Gauss-Ostrogradsky รายการในแบบฟอร์มพิกัดและเวกเตอร์ (คงที่)

33. สูตรของสโตกส์รายการในแบบฟอร์มพิกัดและเวกเตอร์ (คงที่)

34. สนามสเกลาร์และเวกเตอร์ ไล่ระดับสี, ความแตกต่าง, โรเตอร์ ฟิลด์ที่มีศักยภาพและโซลินอยด์

35. ผู้ประกอบการแฮมิลตัน (NAT) การใช้งาน (ตัวอย่าง)

36. แนวคิดพื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (ODU) ของการสั่งซื้อครั้งแรก: โซลูชั่นทั่วไปและส่วนตัวซึ่งเป็นส่วนประกอบทั่วไป, ส่วนประกอบสำคัญ งานของ Cauchy ความหมายทางเรขาคณิตของมัน

37. การบูรณาการ ODU One-Only ด้วยตัวแปรแยกและเป็นเนื้อเดียวกัน

38. การบูรณาการของ ODU เชิงเส้นของการสั่งซื้อครั้งแรกและสมการ Bernoulli

39. การบูรณาการ ODU ลำดับแรกในความแตกต่างของขั้วโลก รวมตัวคูณ

40. สมการเชิงอนุพันธ์ของคำสั่งแรกที่ไม่ได้แก้ไขเมื่อเทียบกับอนุพันธ์ วิธีการป้อนพารามิเตอร์

41. สมการแก้ไข n-th กับสัมประสิทธิ์คงที่ สมการลักษณะ ระบบพื้นฐานของโซลูชั่น (FSR) ของสมการที่เป็นเนื้อเดียวกันโซลูชันทั่วไปของสมการที่ไม่สม่ำเสมอ

42. ระบบของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของการสั่งซื้อครั้งแรก ระบบ FSR เป็นเนื้อเดียวกัน โซลูชันทั่วไปของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน

30. สูตรสีเขียว เงื่อนไขสำหรับความเป็นอิสระของ curvilinear integral จากเส้นทางของการรวม

สูตรสีเขียว: ถ้า C เป็นขอบเขตปิดของภูมิภาค D และฟังก์ชั่น P (x, y) และ q (x, y) พร้อมกับอนุพันธ์เฉพาะของคำสั่งแรกในภูมิภาคปิด d (รวมถึงเส้นขอบ c) จากนั้นสูตรสีเขียวเป็นจริงวงจร C ถูกเลือกเพื่อให้ภูมิภาค D อยู่ทางซ้าย

จากการบรรยาย: ให้ฟังก์ชั่น p (x, y) และ q (x, y) ได้รับซึ่งต่อเนื่องในพื้นที่ d พร้อมกับอนุพันธ์ส่วนตัวสั่งซื้อครั้งแรก อินทิกรัลที่ขอบเขต (L) ซึ่งกำลังโกหกในภูมิภาค D และมีคะแนนทั้งหมดในภูมิภาค D:. ทิศทางที่เป็นบวกของรูปร่างคือเมื่อส่วนที่ จำกัด ของรูปร่างอยู่ทางซ้าย

เงื่อนไขของความเป็นอิสระของ curvilinear integral ของการคลอดครั้งที่ 2 จากเส้นทางของการรวม เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอที่ curvilinear integral ของชนิดแรกเชื่อมต่อจุด m1 และ m2 ไม่ขึ้นอยู่กับเส้นทางของการรวมและขึ้นอยู่กับจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดเท่านั้นคือความเสมอภาค:

31. การรวมพื้นผิวของชนิดแรกและชนิดที่สองคุณสมบัติหลักของพวกเขาและการคำนวณ

- งานพื้นผิว

เราออกแบบ S บนเครื่องบิน XY เราได้รับพื้นที่ D แยกพื้นที่ d ของบรรทัดบนชิ้นส่วนที่เรียกว่า di จากแต่ละจุดของแต่ละบรรทัดเราวาดเส้น z แบบขนานแล้วจะแบ่งออกเป็นศรี เราจะทำจำนวนรวม:. เราจะแก้ไขเส้นผ่านศูนย์กลางสูงสุด di เป็นศูนย์: เราได้รับ:

นี่คือพื้นผิวที่สำคัญของชนิดแรก

ดังนั้นจึงมีการพิจารณาพื้นผิวของชนิดแรก

คำนิยามสั้น ๆ หากมีวงเงิน จำกัด จำนวน จำกัด ที่ไม่ขึ้นอยู่กับวิธีการแยก S ไปยังส่วนเบื้องต้น SI และในการเลือกคะแนนจากนั้นเรียกว่าพื้นผิวที่สำคัญของชนิดแรก

เมื่อย้ายจากตัวแปร x และ y ถึงคุณและ v:

p อินทิกรัลเหนือศีรษะมีคุณสมบัติทั้งหมดของอินทิกรัลปกติ เห็นในเรื่องด้านบน

ความมุ่งมั่นของพื้นผิวที่สำคัญของชนิดที่สองคุณสมบัติหลักและการคำนวณ การสื่อสารกับอินทิกรัลของชนิดแรก

ให้พื้นผิว S ถูก จำกัด โดย line l (รูปที่ 3.10) เราใช้บนพื้นผิว S บางส่วน L ซึ่งไม่มีจุดทั่วไปที่มีขอบเขต L. ที่จุด M ของวงจร L เป็นไปได้ที่จะเรียกคืนสองบรรทัดฐานของ IR Surface S. เลือกหนึ่งในทิศทางเหล่านี้ เราจัดหาจุด m ตามแนวรูปร่าง l ด้วยทิศทางที่เลือกปกติ

หากในตำแหน่งเดิมจุด M จะกลับมาพร้อมกับทิศทางเดียวกับปกติ (ไม่ใช่กับตรงกันข้าม) จากนั้นพื้นผิวจะเรียกว่าทวิภาคี เราจะพิจารณาเฉพาะพื้นผิวทวิภาคีเท่านั้น พื้นผิวสองด้านคือพื้นผิวที่เรียบทุกครั้งด้วยสมการ

ให้ S เป็นพื้นผิวที่ปลดล็อคทวิภาคีซึ่งเป็นบรรทัดที่ จำกัด L ซึ่งไม่มีจุดตัดตนเอง เลือกด้านเฉพาะของพื้นผิว เราจะเรียกทิศทางบวกของวงจรบายพาส l ทิศทางดังกล่าวเมื่อเคลื่อนที่ไปตามที่พื้นผิวของพื้นผิวนั้นถูกทิ้งไว้ทางซ้าย พื้นผิวสองด้านที่มีทิศทางบวกของการไหลเวียนในนั้นเรียกว่าพื้นผิวเป้าหมาย

ให้เราหันไปสร้างโครงสร้างพื้นผิวที่สองเรียงลำดับที่สอง เราใช้พื้นที่ในพื้นที่พื้นผิวทวิภาคีประกอบด้วยจำนวนชิ้นที่ จำกัด ซึ่งแต่ละชิ้นนั้นตั้งค่าโดยสมการของแบบฟอร์มหรือเป็นพื้นผิวทรงกระบอกที่มีการขึ้นรูปแกนขนานออนซ์

ให้ r (x, y, z) เป็นฟังก์ชั่นที่กำหนดและต่อเนื่องบนพื้นผิว S. เครือข่ายเส้นแบ่งแบบสุ่มบนส่วน n "ระดับประถมศึกษา" δS1, δs2, ... , δsi, ... , δsi, ... , δsi, ไม่มี จุดภายในที่พบบ่อย ในแต่ละส่วนδSIสุ่มเลือกจุด mi (xi, yi, zi) (i \u003d 1, ... , n) ให้ (δSI) XY เป็นพื้นที่ของการฉายภาพของส่วนδSIบนระนาบพิกัดของ OHU ถ่ายด้วยเครื่องหมาย "+" หากพื้นผิวปกติถึงจุด Mi (Xi, Yi, Zi) (i \u003d 1, ... , N) แบบฟอร์ม Axis OZ มุมคมและด้วยเครื่องหมาย "-" ถ้ามุมนี้โง่ เราจะทำให้จำนวนเงินรวมสำหรับฟังก์ชั่น r (x, y, z) บนพื้นผิว s ในตัวแปร x, y:. ให้λเป็นขนาดใหญ่ที่สุดของเส้นผ่านศูนย์กลางδsi (i \u003d 1, ... , N)

หากมีขีด จำกัด ที่ จำกัด ที่ไม่ขึ้นอยู่กับวิธีการแยกพื้นผิว S ไปยังส่วน "เบื้องต้น" δsiและในการเลือกคะแนนจากนั้นเรียกว่าพื้นผิวที่สำคัญกว่าด้านที่เลือกของพื้นผิว S จากฟังก์ชั่น r (x, y, z) โดยพิกัด x, y (หรือพื้นผิวผิวเผินของชนิดที่สอง) และถูกระบุ .

ในทำนองเดียวกันคุณสามารถสร้าง Integrals พื้นผิวด้วยพิกัด x, z หรือ y, z ตามด้านที่เหมาะสมของพื้นผิว, I. และ .

หากมีอินทิกรัลเหล่านี้ทั้งหมดคุณสามารถป้อน "ทั่วไป" อินทิกรัลเหนือด้านที่เลือกของพื้นผิว:

พื้นผิวเผินที่สำคัญของชนิดที่สองมีคุณสมบัติปกติของอินทิกรัล เราโปรดทราบว่า Surface Surface ที่สองใด ๆ จะเปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อเปลี่ยนด้านพื้นผิว

การสื่อสารระหว่างอินทิกรัลพื้นผิวของชนิดแรกและที่สอง

ให้พื้นผิว S ถูกตั้งค่าโดยสมการ: Z \u003d F (x, y), กับ f (x, y), f "x (x, y), f" y (x, y) - ฟังก์ชั่นต่อเนื่องในการปิด พื้นที่τ (การฉายผิว s บนระนาบพิกัด ohu) และฟังก์ชั่น r (x, y, z) มีความต่อเนื่องบนพื้นผิว s ปกติกับพื้นผิว s, มีคู่มือโคไซน์ cos α, cos β, cos γ, คือ เลือกที่ด้านบนของพื้นผิว S แล้ว

สำหรับกรณีทั่วไปเรามี:

จากเส้นทางของการรวม

พิจารณา curvilinear integral ของชนิดที่ 2 ที่ไหน L. - จุดเชื่อมต่อ Curve เอ็ม และ น.. ให้ฟังก์ชั่น p (x, y)และ Q (x, y)มีอนุพันธ์ส่วนตัวอย่างต่อเนื่องในบางภูมิภาค D.ซึ่งเส้นโค้งทั้งหมดอยู่ L.. เรากำหนดเงื่อนไขที่พิจารณาความโค้งรวมขึ้นอยู่กับรูปแบบของเส้นโค้ง L.แต่จากตำแหน่งของคะแนนเท่านั้น เอ็ม และ น..

เราจะใช้โค้งสองเส้นโค้งโดยพลการ MPN และ mqn.นอนอยู่ในพื้นที่ D. และจุดเชื่อมต่อ เอ็ม และ น. (รูปที่ 1)

ถาม

เอ็ม น.รูปที่. หนึ่ง.

ลองทำท่าว่า , i.e

แล้วที่ L. - เค้าโครงปิดเส้นโค้งองค์ประกอบที่นำ MPN และ nqm(ดังนั้นจึงสามารถพิจารณาได้โดยพลการ) ดังนั้นเงื่อนไขของความเป็นอิสระของ curvilinear integral ของสกุลที่ 2 จากเส้นทางของ Integrida นั้นเทียบเท่ากับเงื่อนไขที่เป็นส่วนสำคัญสำหรับรูปร่างที่ปิดอยู่ใด ๆ เป็นศูนย์

หมายเลขตั๋ว 34. พื้นผิวของการแข่งขันครั้งแรก (บนพื้นที่ผิว) พิมพ์ (มวลของพื้นผิววัสดุพิกัดของศูนย์กลางของแรงโน้มถ่วง, ช่วงเวลา, พื้นที่ของพื้นผิวโค้ง)

พิจารณาพื้นผิวที่ไม่สะอาด S.รูปร่าง จำกัด L.และแบ่งปันกับเส้นโค้งใด ๆ ในส่วน S 1, S 2, ... , S N. เลือกในแต่ละส่วน m i.และเราออกแบบส่วนนี้บนระนาบสัมผัสกับพื้นผิวที่ผ่านจุดนี้ เราได้รับรูปทรงแบนพร้อมพื้นที่ในโครงการ TI.. ลองเรียกρระยะทางที่ยิ่งใหญ่ที่สุดระหว่างสองจุดของส่วนใดส่วนหนึ่งของพื้นผิว S..

คำนิยาม 12.1ชื่อ จัตุรัส S. พื้นผิวขีด จำกัด ของจำนวนพื้นที่ TI.สำหรับ

พื้นผิวที่สำคัญของชนิดแรก

พิจารณาพื้นผิว S.รูปร่าง จำกัด L.และทำลายมันในส่วน S 1, S 2, ... , S N (ในเวลาเดียวกันพื้นที่ของแต่ละส่วนยังแสดงถึง S P.. ให้ค่าฟังก์ชั่นระบุที่แต่ละจุดของพื้นผิวนี้ f (x, y, z) เลือกในแต่ละส่วน S I.จุด m i (x i, y i, z i)และสร้างจำนวนรวม

. (12.2)

คำนิยาม 12.2หากมีขีด จำกัด ขั้นสุดท้ายในจำนวนที่สำคัญ (12.2) เป็นอิสระจากวิธีการแยกพื้นผิวไปยังชิ้นส่วนและเลือกจุด m i.จากนั้นเรียกว่า พื้นผิวที่สำคัญของฟังก์ชั่นประเภทแรก f (m) \u003d f (x, y, z)บนพื้นผิว S. และหมายถึง

ความคิดเห็น. พื้นผิวที่สำคัญของสกุลที่ 1 มีคุณสมบัติตามปกติของอินทิกรัล (เชิงเส้น, การรวมของอินทิกรัลจากฟังก์ชั่นนี้ตามแต่ละส่วนของพื้นผิวภายใต้การพิจารณา ฯลฯ )

ความหมายทางเรขาคณิตและทางกายภาพของพื้นผิวที่สำคัญของสกุลที่ 1

หากฟังก์ชั่นในตัว f (m) ≡ 1 จากนั้นจากคำจำกัดความ 12.2 มันเป็นไปตามพื้นผิวของพื้นผิวที่อยู่ระหว่างการพิจารณา S.

. (12.4)

แอพลิเคชันของพื้นผิวที่สำคัญของสกุลที่ 1

1. พื้นที่ของพื้นผิว Curvilinear สมการซึ่ง z \u003d f (x, y)สามารถพบได้ในรูปแบบ:

(14.21)

(ω - การฉาย S. บนเครื่องบิน O. หู.).

2. พื้นผิวมวล

(14.22)

3. ช่วงเวลา:

ช่วงเวลาแบบคงที่ของพื้นผิวที่สัมพันธ์กับเครื่องบินพิกัด o xyO. xzO. yz;

ช่วงเวลาของความเฉื่อยของพื้นผิวที่สัมพันธ์กับแกนพิกัด;

ช่วงเวลาของความเฉื่อยของพื้นผิวที่สัมพันธ์กับเครื่องบินพิกัด;

- (14.26)

ช่วงเวลาของความเฉื่อยของพื้นผิวที่สัมพันธ์กับการเริ่มต้นของพิกัด

4. พิกัดของศูนย์กลางของมวลของพื้นผิว:

. (14.27)

หมายเลขตั๋ว 35 การคำนวณพื้นผิวที่สำคัญของสกุลที่ 1 (การลดลงหลายครั้ง)

เรา จำกัด ตัวเองในกรณีที่พื้นผิว S. กำหนดอย่างชัดเจนนั่นคือสมการ z \u003d φ (x, y). ในกรณีนี้จากการกำหนดพื้นที่ผิวมันเป็นไปตามนั้น

s i \u003dที่ไหนδ σฉัน -ฉายสี่เหลี่ยม S I. บนเครื่องบิน O. หู.แต่ γฉัน - มุมระหว่างแกน o z. และปกติกับพื้นผิว S. ที่จุด m i.. เป็นที่ทราบกันดีว่า

ที่ไหน ( x i, y i, z i) -พิกัดคะแนน m i.. อย่างยืนกราน

แทนที่การแสดงออกนี้ในสูตร (12.2) เราได้รับ

ในกรณีที่การรวมของสิทธิดำเนินการตามภูมิภาคωเครื่องบิน หู.ซึ่งเป็นการฉายภาพบนระนาบพื้นผิวนี้ S. (รูปที่ 1)

S: Z \u003d φ (x, y)

δσฉันΩ

ในเวลาเดียวกันผลรวมที่สำคัญสำหรับฟังก์ชั่นของตัวแปรสองตัวบนพื้นที่ราบซึ่งในขีด จำกัด ให้อินทิกรัลเป็นสองเท่าในวิธีนี้สูตรได้รับซึ่งช่วยให้การคำนวณพื้นผิวของสกุล 1st 1st การคำนวณอินทิกรัลสองเท่า:

ความคิดเห็น. ชี้แจงอีกครั้งว่าในด้านซ้ายของต้นทุนสูตร (12.5) พื้นผิว อินทิกรัลและขวา - คู่.

หมายเลขตั๋ว 36 พื้นผิวที่สำคัญที่สอง เขตเวกเตอร์สตรีม การสื่อสารระหว่างอินทิกรัลพื้นผิวของชนิดแรกและที่สอง

เขตเวกเตอร์สตรีม

พิจารณาฟิลด์เวกเตอร์ แต่ (m)กำหนดไว้ในภูมิภาคอวกาศ g,พื้นผิวที่เรียบ S G.และฟิลด์ของปกติปกติ p (m) บนด้านที่เลือกของพื้นผิว S..

คำนิยาม 13.3พื้นผิวที่สำคัญของสกุลที่ 1

, (13.1)

ที่ไหน . - ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์ที่สอดคล้องกันและ P. - การฉายภาพของเวกเตอร์ แต่ ไปที่ทิศทางของปกติเรียกว่า กระแสของเวกเตอร์ฟิลด์ a (m)ผ่านด้านที่เลือกของพื้นผิว S. .

หมายเหตุ 1. หากคุณเลือกด้านอื่น ๆ ของพื้นผิวจากนั้นปกติและตามปกติและการไหลจะเปลี่ยนเครื่องหมาย

หมายเหตุ 2. ถ้าเวกเตอร์ แต่ ระบุอัตราการไหลของของเหลว ณ จุดนี้อินทิกรัล (13.1) กำหนดปริมาณของของเหลวที่ไหลต่อหน่วยเวลาผ่านพื้นผิว S. ในทิศทางบวก (ดังนั้นระยะเวลาทั้งหมด "สตรีม")

พื้นที่นี้เรียกว่าการเชื่อมต่อหนึ่งครั้งหากเส้นขอบของมันเป็นชุดที่สอดคล้องกัน ภูมิภาคนี้เรียกว่า N- เชื่อมต่อหากขอบเขตของมันแตกสลายบนชุดที่เชื่อมต่อ N

ความคิดเห็น. สูตรสีเขียวเป็นจริงสำหรับพื้นที่ที่เชื่อมต่อหลาย

เพื่อที่จะเป็นส่วนสำคัญ (A, B - คะแนนใด ๆ จาก D) จากเส้นทางของการรวม (และจากการเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด A เท่านั้นมันเป็นสิ่งจำเป็นและเพียงพอที่จะรวมเข้ากับเส้นโค้งใด ๆ ที่ปิด (สำหรับใด ๆ Contour) มันเป็นศูนย์ \u003d 0

หลักฐาน (จำเป็น) ให้ (4) เป็นอิสระจากเส้นทางของการรวม พิจารณาวงจรโดยพลการ c นอนอยู่ในภูมิภาค D และเลือกจุดโดยพลการสองจุด A, B ในวงจรนี้ จากนั้น Curve C สามารถแสดงเป็นการรวมกันของสอง curves ab \u003d g2, ab \u003d g1, c \u003d g - 1 + g2

ทฤษฎีบท 1. เพื่อให้ curvilinear อินทิกรัลไม่ขึ้นอยู่กับเส้นทางของการรวมใน D มันเป็นสิ่งจำเป็นและเพียงพอ

ในภูมิภาค D. พอเพียง หากดำเนินการสูตรสีเขียวสำหรับวงจร C จะ ที่ Lemma ปฏิบัติตามการยืนยันที่จำเป็น ความจำเป็น โดย Lemma สำหรับวงจรใด ๆ \u003d 0 จากนั้นตามสูตรสีเขียวสำหรับภูมิภาค D จำกัด อยู่ที่วงจรนี้ \u003d 0 โดยทฤษฎีบทกลาง \u003d mdi \u003d\u003d 0 เปลี่ยนเป็นขีด จำกัด ให้กระชับเส้นใยไปจนถึงจุดที่เราได้รับในจุดนี้

ทฤษฎีบท 2. เพื่อให้ curvilinear integral (4) ไม่ขึ้นอยู่กับเส้นทางของการรวมใน D จำเป็นต้องมีความจำเป็นและเพียงพอเพื่อให้ PDX + QDY Guideline เป็นที่แตกต่างกันอย่างสมบูรณ์ของฟังก์ชั่นบางอย่าง U ใน DD du \u003d PDX + ภูมิภาค QDY ความเพียงพอ ปล่อยให้เป็นจริงแล้วความต้องการ ให้อินทิกรัลไม่ได้ขึ้นอยู่กับเส้นทางของการรวม แก้ไขจุด A0 ในภูมิภาค D และเรากำหนดฟังก์ชั่น U (A) \u003d U (x, y) \u003d

ในกรณีนี้

xî (xî) ดังนั้นจึงมีอนุพันธ์ \u003d p ในทำนองเดียวกันตรวจสอบเป็น \u003d q ด้วยสมมติฐานที่ทำฟังก์ชั่น U นั้นแตกต่างกันอย่างต่อเนื่องและ du \u003d PDX + QDY

32-33 ความมุ่งมั่นของ Ingstration Curvilinear 1 และ 2

อินทิกรัล Curvilinear เหนือความยาวของส่วนโค้ง (1 ชนิด)

ปล่อยให้ F-│ F (x, y) ถูกกำหนดและต่อเนื่องที่จุดของ arc ของ av smooth curve k. disbands ของ arc บน arcs arcs on n arcs t0 ..tn ปล่อยให้lkความยาว k ของส่วนโค้งส่วนตัว ใช้กับแต่ละอาร์คระดับประถมเป็นจุดศูนย์กลาง n (k, k) และทวีคูณจุดนี้ที่ ACC ความยาว ARC จะเป็นสามจำนวนรวม:

1 = f (k, k) lk2 \u003d P (k, k) хк3 \u003d Q (k, k) ykที่хк \u003d x k -x k -1, yk \u003d y k-yy k-1

Curvilinear Integral 1 ของชนิดที่มีความยาวของ ARC จะเรียกว่าขีด จำกัด ของจำนวนรวม1, หากแม็กซ์ (lk)  0

หากขีด จำกัด จำนวนเงินรวมเป็น2หรือ3ที่ 0 ดังนั้นขีด จำกัด นี้จะเรียกว่า Curvilinear Integral 2 ชนิดฟังก์ชั่น P (X, Y) หรือ Q (x, y) โดย curve l \u003d ab และถูกระบุ:
หรือ

จำนวน:
+
เป็นธรรมเนียมที่จะเรียกใช้ curvilinear ทั่วไปที่สำคัญของ 2 และแสดงถึงสัญลักษณ์:
ในกรณีนี้ F-│ F (x, y), p (x, y), q (x, y) เรียกว่า l \u003d ab รวมเข้าด้วยกันตามเส้นโค้ง Cigarette L Curve เป็นวงจรหรือโดยการรวม A - เริ่มต้นในจุดรวมขั้นสุดท้าย DL คือความยาวส่วนโค้งที่แตกต่างกันดังนั้นการรวม Curvilinear ที่เรียกว่า 1 สกุล 1 Curvilinear Integral บนส่วนโค้งของเส้นโค้งและฟังก์ชั่นชนิดที่สอง ..

จากการกำหนดอินทิกรัลของ Curvilinear มันเป็นไปตามที่อินทิกรัล 1 ของสกุลไม่ได้ขึ้นอยู่กับทิศทางจาก A และ B หรือจาก B และ A, Curve L กำลังทำงานอยู่ Curvilinear Integral 1 ชนิดบน AV:

สำหรับ Integrals Curvilinear 2 ชนิดเปลี่ยนทิศทางของการเรียกใช้เส้นโค้งนำไปสู่การเปลี่ยนเครื่องหมาย:

ในกรณีที่ L เป็นเส้นโค้งปิดที่เป็นเพราะทิศทางที่เป็นไปได้สองทิศทางของการบายพาสรูปทรงปิด l เรียกว่าเป็นบวกจากนั้นทิศทางที่พื้นที่ที่ขีดเส้นใต้ยังคงเหลืออยู่ที่เกี่ยวข้องกับ ??? บายพาส, I.e. ทิศทางของการเคลื่อนไหวทวนเข็มนาฬิกา ทิศทางตรงกันข้ามของบายพาสเป็นลบ AV Curvilinear ที่สำคัญตามรูปร่างปิดของ L ทำงานในวางทิศทางจะถูกแสดงโดยสัญลักษณ์:

สำหรับเส้นโค้งเชิงพื้นที่ 1 อินทิกรัล 1 ของสกุลนั้นคล้ายกัน:

และสามอินทิกรัล 2 ชนิด:

ผลรวมของอินทิกรลสามครั้งล่าสุดเรียกว่า Common Curvilinear Integral 2 ชนิด

การใช้งานบางอย่างของ Curvilinear Integrals 1.

1.Integral
- ความยาวของ ARC AV

2.MaeHnicial ความหมายของอินทิกรัล 1 สกุล

ถ้า f (x, y) \u003d  (x, y) เป็นความหนาแน่นเชิงเส้นของวัสดุอาร์คจากนั้นมวลของมัน:

3.Copinates ของศูนย์กลางของวัสดุมวลอาร์ค:

4. ช่วงเวลาแห่งความเฉื่อยของส่วนโค้งนอนอยู่ในเครื่องบิน Ohu เกี่ยวกับการเริ่มต้นของพิกัดและขวานของการหมุนโอ้โอ้:

5. ความหมายทางเรขาคณิตของอินทิกรัล 1 ชนิด

ให้ f-│ z \u003d f (x, y) - มีขนาดของความยาว f (x, y)\u003e \u003d 0 ที่ทุกจุดของวัสดุโค้งนอนอยู่ในระนาบ ohu แล้ว:

โดยที่ S คือพื้นที่ของพื้นผิวทรงกระบอกแมวประกอบด้วยเครื่องบินตั้งฉาก Ohu Vost ที่จุด M (x, y) curve av

การใช้งานบางอย่างของ Integrals Curvilinear เป็น 2 ชนิด

การคำนวณพื้นที่ของพื้นที่ราบ D กับขอบเขต L

2. การทำงานของแรง ปล่อยให้วัสดุ t ของคะแนนภายใต้การกระทำของแรงเคลื่อนไปตามเส้นโค้งแบนอย่างต่อเนื่องของดวงอาทิตย์, ออกเดทจากใน c, การทำงานของแรงนี้:

เอ็ม น.รูปที่. หนึ่ง. พี.

สมมติว่านั่นคือ

ทฤษฎีบท 1ให้คะแนนทั้งหมดของบางภูมิภาค D. ฟังก์ชั่นต่อเนื่อง p (x, y) และ Q (x, y) และอนุพันธ์ส่วนตัวของพวกเขาและ จากนั้นเพื่อให้โซนใด ๆ - รูปร่างใด ๆ สำหรับใด ๆ L.นอนอยู่ในพื้นที่ D.เงื่อนไขดำเนินการ

มีความจำเป็นและเพียงพอที่จะ \u003d ในทุกจุดของภูมิภาค D..

หลักฐาน .

1) ความเพียงพอ: ให้เงื่อนไข \u003d เสร็จสมบูรณ์ พิจารณารูปทรงปิดโดยพลการ L. ในพื้นที่ D.จำกัด พื้นที่ S.และเราเขียนให้เขาสูตรสีเขียว:

ดังนั้นการพอเพียงได้รับการพิสูจน์แล้ว

2) ความจำเป็น: สมมติว่าสภาพดำเนินการในแต่ละจุดของภูมิภาค D.แต่จะมีอย่างน้อยหนึ่งจุดของพื้นที่นี้ซึ่ง - ≠ 0 ให้ยกตัวอย่างเช่นที่จุด p (x 0, y 0) -\u003e 0 เนื่องจากส่วนซ้ายของความไม่เท่าเทียมนั้นเป็นฟังก์ชั่นเพนนีมันจะเป็นบวกและอื่น ๆ ของδ\u003e 0 ในบางพื้นที่เล็ก ๆ D`มีจุด r. ดังนั้น

ดังนั้นสูตรสีเขียวที่เราได้รับที่ l` - Contour Limiting ภูมิภาค D`. ผลลัพธ์นี้ขัดแย้งกับเงื่อนไข ดังนั้น \u003d ทุกจุดของภูมิภาค D.ตามที่จำเป็นในการพิสูจน์

หมายเหตุ 1. . ในทำนองเดียวกันสำหรับพื้นที่สามมิติเป็นไปได้ที่จะพิสูจน์ว่าเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความเป็นอิสระของ integral curvilinear

จากเส้นทางของการรวมคือ:

โน้ต 2. เมื่อแสดงการแสดงออก (28 / 1.18) PDX + QDY + RDZมันเป็นความแตกต่างที่สมบูรณ์ของฟังก์ชั่นบางอย่าง และ. สิ่งนี้ช่วยให้คุณสามารถลดการคำนวณของ curvilinear integral เพื่อกำหนดความแตกต่างของค่า และ ในจุดสูงสุดและเริ่มต้นของวงจรรวมตั้งแต่

ในฟังก์ชั่นนี้ และ สามารถพบได้โดยสูตร

ที่ไหน ( x 0, y 0, z 0) - จุดจากพื้นที่ D., A. ค. - คงที่ตามอำเภอใจ แน่นอนมันเป็นเรื่องง่ายที่จะทำให้แน่ใจว่าฟังก์ชั่นที่ได้รับส่วนตัว และกำหนดโดยสูตร (28 / 1.19) เท่ากัน P, Q. และ อาร์.