V tomto článku sa naučíme riešiť bikvadratické rovnice.
Aké druhy rovníc sa teda nazývajú bikvadratické?
Všetko rovnice tvaru ach 4 +
bx
2
+
c
= 0
, kde a ≠ 0 ktoré sú štvorcové vzhľadom na x 2 a sa nazývajú bikvadratické rovnice. Ako vidíte, tento zápis je veľmi podobný písaniu kvadratickej rovnice, preto budeme bikvadratické rovnice riešiť pomocou vzorcov, ktoré sme použili pri riešení kvadratickej rovnice.
Len budeme musieť zaviesť novú premennú, to znamená, ktorú označujeme x 2 iná premenná, napr pri alebo t (alebo akékoľvek iné písmeno latinskej abecedy).
napr. poďme riešiť rovnicu x 4 + 4 x 2 - 5 = 0.
Označujeme x 2
naprieč pri
(x 2 = y
) a získajte rovnicu y 2 + 4y - 5 = 0.
Ako vidíte, už viete, ako riešiť takéto rovnice.
Vyriešime výslednú rovnicu:
D = 4 2 - 4 (- 5) = 16 + 20 = 36, √D = √36 = 6.
y 1 = (- 4 - 6) / 2 = - 10/2 = - 5,
y2 = (- 4 + 6) / 2 = 2/2 = 1.
Vráťme sa k našej premennej x.
Dostali sme, že x 2 = - 5 a x 2 = 1.
Všimnite si, že prvá rovnica nemá žiadne riešenia a druhá dáva dve riešenia: x 1 = 1 a x 2 = ‒1. Dávajte pozor, aby ste nestratili záporný koreň (najčastejšie je odpoveď x = 1, čo nie je správne).
odpoveď:- 1 a 1.
Pre lepšie pochopenie témy rozoberieme niekoľko príkladov.
Príklad 1 Vyriešte rovnicu 2x 4 - 5 x 2 + 3 = 0.
Nech x 2 = y, potom 2y 2 - 5y + 3 = 0.
D = (- 5) 2 - 4 2 3 = 25 - 24 = 1, √D = √1 = 1.
y1 = (5 - 1) / (2 2) = 4/4 = 1, y2 = (5 + 1) / (2 2) = 6/4 = 1,5.
Potom x 2 = 1 a x 2 = 1,5.
Dostaneme x 1 = ‒1, x 2 = 1, x 3 = - √1,5, x 4 = √1,5.
odpoveď: ‒1; 1; ‒ √1,5; √1,5.
Príklad 2 Vyriešte rovnicu 2x 4 + 5 x 2 + 2 = 0.
2 roky 2 + 5 rokov + 2 = 0.
D = 5 2 - 4 2 2 = 25 - 16 = 9, √D = √9 = 3.
y1 = (- 5 - 3) / (2 2) = - 8/4 = ‒2, y 2 = (‒5 + 3) / (2 2) = - 2/4 = - 0,5.
Potom x 2 = - 2 a x 2 = - 0,5. Všimnite si, že žiadna z týchto rovníc nemá riešenie.
odpoveď:žiadne riešenia.
Neúplné bikvadratické rovnice- je to kedy b = 0 (ax 4 + c = 0) príp c = 0
(ax 4 + bx 2 = 0) sa riešia ako neúplné kvadratické rovnice.
Príklad 3 Vyriešte rovnicu x 4 - 25 x 2 = 0
Rozložme na faktor, umiestnime x 2 mimo zátvorky a potom x 2 (x 2 - 25) = 0.
Dostaneme x 2 = 0 alebo x 2 - 25 = 0, x 2 = 25.
Potom máme korene 0; 5 a -5.
odpoveď: 0; 5; – 5.
Príklad 4 Vyriešte rovnicu 5x 4 - 45 = 0.
x 2 = - √9 (nemá žiadne riešenia)
x 2 = √9, x 1 = - 3, x 2 = 3.
Ako vidíte, keď viete, ako riešiť kvadratické rovnice, môžete sa vyrovnať s bikvadratickými rovnicami.
Ak máte ešte otázky, prihláste sa na moje lekcie. Tútorkou je Valentina Galinevskaya.
stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.
Riešenie rovnice znamená nájsť také hodnoty neznámej, pre ktoré bude rovnosť pravdivá.
Riešenie rovnice
- Predstavme si rovnicu v nasledujúcom tvare:
2x * x - 3 * x = 0.
- Vidíme, že členy rovnice na ľavej strane majú spoločný faktor x. Vyberme to zo zátvoriek a zapíšme si to:
x * (2x - 3) = 0.
- Výsledný výraz je súčinom faktorov x a (2x - 3). Pripomeňme, že súčin sa rovná 0, ak sa aspoň jeden z faktorov rovná 0. Rovnosti teda môžeme napísať:
x = 0 alebo 2x - 3 = 0.
- Takže jeden z koreňov pôvodnej rovnice je x 1 = 0.
- Nájdite druhý koreň riešením rovnice 2x - 3 = 0.
V tomto výraze je 2x klesajúce, 3 je odčítanie, 0 je rozdiel. Ak chcete nájsť odpočítané, musíte k rozdielu pridať odpočítané:
V poslednom výraze sú 2 a x faktory, 3 je súčin. Ak chcete nájsť neznámy faktor, musíte rozdeliť produkt podľa známeho faktora:
Tak sme našli druhý koreň rovnice: x 2 = 1,5.
Kontrola správnosti riešenia
Aby sme zistili, či je rovnica vyriešená správne, je potrebné do nej dosadiť číselné hodnoty x a vykonať potrebné aritmetické operácie. Ak sa v dôsledku výpočtov ukáže, že ľavá a pravá strana výrazu majú rovnakú hodnotu, potom je rovnica vyriešená správne.
Skontrolujme to:
- Vypočítame hodnotu pôvodného výrazu pri x 1 = 0 a dostaneme:
2 * 0 2 - 3 * 0 = 0,
0 = 0, správne.
- Vypočítame hodnotu výrazu pri x 2 = 0 a dostaneme:
2 * 1,5 2 - 3 * 1,5 = 0,
2 * 2,25 - 4,5 = 0,
0 = 0, správne.
- To znamená, že rovnica je vyriešená správne.
Odpoveď: x 1 = 0, x 2 = 1,5.
riešiť matematiku. Nájdite rýchlo riešenie matematickej rovnice v režime online... Stránka www.site to umožňuje vyriešiť rovnicu takmer akýkoľvek daný algebraické, trigonometrické alebo transcendentálna rovnica online... Pri štúdiu takmer akéhokoľvek odvetvia matematiky v rôznych fázach musíte vyriešiť rovnice online... Aby ste dostali odpoveď hneď a hlavne presnú, potrebujete zdroj, ktorý vám to umožní. Vďaka webovej stránke www.site riešenie rovníc online bude trvať niekoľko minút. Hlavnou výhodou www.site pri riešení matematických rovnice online je rýchlosť a presnosť danej odozvy. Stránka je schopná vyriešiť akékoľvek algebraické rovnice online, goniometrické rovnice online, transcendentálne rovnice online, ako aj rovnice s neznámymi parametrami v režime online. Rovnice slúži ako výkonný matematický aparát riešenia praktické úlohy. S pomocou matematických rovníc dokážete vyjadriť fakty a vzťahy, ktoré sa na prvý pohľad môžu zdať mätúce a zložité. Neznáme množstvá rovnice možno nájsť formulovaním problému na matematický jazyk vo formulári rovnice a rozhodnúť prijatú úlohu v režime online na webovej stránke www.site. akýkoľvek algebraická rovnica, goniometrická rovnica alebo rovnice obsahujúce transcendentálny funguje jednoducho rozhodnúť online a získajte presnú odpoveď. Študovaním prírodných vied nevyhnutne narazíte na potrebu riešenie rovníc... V tomto prípade musí byť odpoveď presná a musí byť prijatá okamžite v režime online... Preto pre riešenie matematických rovníc online odporúčame stránku www.site, ktorá sa stane vašou nenahraditeľnou kalkulačkou riešenie algebraických rovníc online, goniometrické rovnice online, ako aj transcendentálne rovnice online alebo rovnice s neznámymi parametrami. Na praktické úlohy hľadania koreňov rôznych matematických rovníc zdroj www .. Riešením rovnice online na vlastnú päsť, je užitočné skontrolovať odpoveď, ktorú ste dostali online riešenie rovníc na webovej stránke www.site. Je potrebné zapísať rovnicu správne a okamžite ju získať online riešenie, po ktorom zostáva už len porovnať odpoveď s vaším riešením rovnice. Kontrola odpovede zaberie menej ako minútu, dosť riešiť rovnicu online a porovnajte odpovede. To vám pomôže vyhnúť sa chybám rozhodnutie a včas opravte odpoveď riešenie rovníc onlineči algebraické, trigonometrické, transcendentálny alebo rovnica s neznámymi parametrami.
Kvadratické rovnice.
Kvadratická rovnica- všeobecná algebraická rovnica
kde x je voľná premenná,
a, b, c, - koeficienty, a
Výraz 
nazývaný štvorcový trojčlen.
Metódy riešenia kvadratických rovníc.
1. METÓDA : Faktorizácia ľavej strany rovnice.
Poďme vyriešiť rovnicu x 2 + 10 x - 24 = 0... Zoberme do úvahy ľavú stranu:
x 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x (x + 12) - 2 (x + 12) = (x + 12) (x - 2).
Preto je možné rovnicu prepísať takto:
(x + 12) (x - 2) = 0
Keďže súčin je nula, aspoň jeden z jeho faktorov je nula. Preto ľavá strana rovnice zmizne pri x = 2 a tiež pre x = - 12... To znamená, že číslo 2 a - 12 sú korene rovnice x 2 + 10 x - 24 = 0.
2. METÓDA : Metóda výberu plného štvorca.
Poďme vyriešiť rovnicu x 2 + 6 x - 7 = 0... Vyberte celý štvorec vľavo.
Za týmto účelom napíšte výraz x 2 + 6x v nasledujúcom tvare:
x 2 + 6 x = x 2 + 2 x 3.
Vo výslednom výraze je prvý člen druhou mocninou čísla x a druhý je zdvojnásobený súčin x o 3. Preto, aby ste dostali úplný štvorec, musíte pridať 3 2, pretože
x 2 + 2 x 3 + 3 2 = (x + 3) 2.
Teraz transformujeme ľavú stranu rovnice
x 2 + 6 x - 7 = 0,
sčítanie a odčítanie 3 2. Máme:
x 2 + 6 x - 7 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.
Túto rovnicu teda možno zapísať takto:
(x + 3) 2 - 16 = 0, (x + 3) 2 = 16.
teda x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1 alebo x + 3 = -4, x 2 = -7.
3. METÓDA :Riešenie kvadratických rovníc pomocou vzorca.
Vynásobte obe strany rovnice
ax 2 + bx + c = 0 a ≠ 0
na 4а a postupne máme:
4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0,
((2ax) 2 + 2ax b + b 2) - b 2 + 4ac = 0,
(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,
2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,
2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,
Príklady.
a) Poďme vyriešiť rovnicu: 4x 2 + 7x + 3 = 0.
a = 4, b = 7, c = 3, D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,
D > 0, dva rôzne korene;
Teda v prípade pozitívneho diskriminanta, t.j. pri
b2 - 4ac> 0, rovnica ax 2 + bx + c = 0 má dva odlišné korene.
b) Poďme vyriešiť rovnicu: 4x 2 - 4x + 1 = 0,
a = 4, b = - 4, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 4 1 = 16 - 16 = 0,
D = 0, jeden koreň;
Ak je teda diskriminant nulový, t.j. b2 - 4ac = 0, potom rovnica
ax 2 + bx + c = 0 má jeden koreň,
v) Poďme vyriešiť rovnicu: 2x 2 + 3x + 4 = 0,
a = 2, b = 3, c = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D< 0.
Táto rovnica nemá korene.
Takže ak je diskriminant negatívny, t.j. b 2 - 4ac< 0 , rovnica
ax 2 + bx + c = 0 nemá korene.
Vzorec (1) pre korene kvadratickej rovnice ax 2 + bx + c = 0 umožňuje nájsť korene akýkoľvek kvadratická rovnica (ak existuje), vrátane redukovanej a neúplnej. Vzorec (1) je vyjadrený slovami takto: korene kvadratickej rovnice sa rovnajú zlomku, ktorého čitateľ sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom plus mínus druhá odmocnina druhej mocniny tohto koeficientu bez štvornásobného súčinu prvého koeficientu voľný termín a menovateľom je dvojnásobok prvého koeficientu.
4. SPÔSOB: Riešenie rovníc pomocou Vietovej vety.
Ako viete, daná kvadratická rovnica má tvar
x 2 + px + c = 0.(1)
Jeho korene spĺňajú Vietovu vetu, ktorá pre a = 1 má formu
x 1 x 2 = q,
x 1 + x 2 = - str
Z toho možno vyvodiť nasledujúce závery (znamienka koreňov možno predpovedať z koeficientov p a q).
a) Ak je konsolidovaný pojem q daná rovnica (1) je kladná ( q > 0), potom má rovnica dva korene rovnakého znamienka a to závisí od druhého koeficientu p... Ak R< 0 , potom sú oba korene záporné, ak R< 0 , potom sú oba korene kladné.
napr.
x 2 - 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 a x 2 = 1, pretože q = 2 > 0 a p = - 3< 0;
x 2 + 8 x + 7 = 0; x 1 = - 7 a x 2 = - 1, pretože q = 7 > 0 a p = 8 > 0.
b) Ak je voľný termín q daná rovnica (1) je záporná ( q< 0 ), potom má rovnica dva korene s rôznym znamienkom a koreň s väčšou absolútnou hodnotou bude kladný, ak p< 0 , alebo negatívne, ak p > 0 .
napr.
x 2 + 4 x - 5 = 0; x 1 = - 5 a x 2 = 1, pretože q = -5< 0 a p = 4 > 0;
x 2 - 8 x - 9 = 0; x 1 = 9 a x 2 = - 1, pretože q = -9< 0 a p = - 8< 0.
Príklady.
1) Vyriešte rovnicu 345 x 2 – 137 x – 208 = 0.
Riešenie. Pretože a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), potom
x 1 = 1, x 2 = c/a = -208/345.
Odpoveď: 1; -208/345.
2) Vyriešte rovnicu 132x 2 – 247x + 115 = 0.
Riešenie. Pretože a + b + c = 0 (132 - 247 + 115 = 0), potom
x 1 = 1, x 2 = c/a = 115/132.
Odpoveď: 1; 115/132.
B. Ak druhý koeficient b = 2k Je párne číslo, potom koreňový vzorec
Príklad.
Poďme vyriešiť rovnicu 3x2 - 14x + 16 = 0.
Riešenie... Máme: a = 3, b = - 14, c = 16, k = - 7;
D = k 2 - ac = (- 7) 2 - 3 16 = 49 - 48 = 1, D > 0, dva rôzne korene;
Odpoveď: 2; 8/3
V. Rovnica zredukovaná
x 2 + px + q = 0
sa zhoduje so všeobecnou rovnicou, v ktorej a = 1, b = p a c = q... Preto pre redukovanú kvadratickú rovnicu koreňový vzorec
Má podobu:
Vzorec (3) je obzvlášť vhodný na použitie, keď R- párne číslo.
Príklad. Poďme vyriešiť rovnicu x 2 - 14 x - 15 = 0.
Riešenie. Máme: x 1,2 = 7 ±
Odpoveď: x 1 = 15; x 2 = -1.
5. METÓDA: Grafické riešenie rovníc.
Príklad. Vyriešte rovnicu x2 - 2x - 3 = 0.
Zostrojme graf funkcie y = x2 - 2x - 3
1) Máme: a = 1, b = -2, x0 = = 1, y0 = f (1) = 12 - 2 - 3 = -4. Vrchol paraboly je teda bod (1; -4) a os paraboly je priamka x = 1.
2) Vezmite dva body na osi x, ktoré sú symetrické okolo osi paraboly, napríklad body x = -1 a x = 3.
Máme f (-1) = f (3) = 0. Zostrojme body (-1; 0) a (3; 0) na rovine súradníc.
3) Nakreslite parabolu cez body (-1; 0), (1; -4), (3; 0) (obr. 68).
Korene rovnice x2 - 2x - 3 = 0 sú úsečky priesečníkov paraboly s osou x; korene rovnice sú teda nasledovné: x1 = - 1, x2 - 3.
Vyriešte rovnicu X 2 + (1-x) 2 = x
Dokážte, že neexistujú žiadne celé čísla, ktoré by sa od permutácie počiatočnej číslice po koniec zvýšili 5-krát.
V určitom kráľovstve sú každý dvaja priatelia alebo nepriatelia. Každý sa môže v určitom okamihu pohádať so všetkými priateľmi a uzavrieť mier so všetkými nepriateľmi. Ukázalo sa, že každý traja ľudia sa môžu takto stať priateľmi. Dokážte, že potom sa všetci ľudia v tomto kráľovstve môžu stať priateľmi.
V trojuholníku je jeden zo stredov kolmý na jednu z priesečníkov. Dokážte, že jedna zo strán tohto trojuholníka je dvakrát väčšia ako druhá.
Úlohy na krajskú (mestskú) olympiádu pre školákov z matematiky.
V streľbe na cieľ športovec vyradil iba 8,9 a 10 bodov. Celkovo po viac ako 11 výstreloch knokautoval presne 100 bodov. Koľko rán vystrelil športovec a aké boli zásahy?
Dokážte pravdivosť nerovnosti:
3. Vyriešte rovnicu:
Nájdite trojciferné číslo, ktoré sa po prečiarknutí prostrednej číslice zmenší 7-krát.
V trojuholníku ABC sú osi nakreslené z vrcholov A a B. Potom sú z vrcholu C nakreslené priamky rovnobežné s týmito osami. Body D a E priesečníka týchto čiar s osami sú spojené. Ukázalo sa, že priamky DE a AB sú rovnobežné. Dokážte, že trojuholník ABC je rovnoramenný.
Úlohy na krajskú (mestskú) olympiádu pre školákov z matematiky.
Vyriešte sústavu rovníc:
Na stranách AB a HELL rovnobežníka AVSD sa zoberú body E a K, takže segment EK je rovnobežný s uhlopriečkou VD. Dokážte, že plochy trojuholníkov ALL a SDK sú rovnaké.
Skupinu turistov bolo rozhodnuté posadiť do autobusov tak, aby každý autobus mal rovnaký počet cestujúcich. Najprv do každého autobusu nasadli 22 ľudí, no ukázalo sa, že jedného turistu nie je možné usadiť. Keď jeden autobus odišiel prázdny, do zvyšných autobusov nastúpili všetci turisti rovnako. Koľko autobusov bolo pôvodne a koľko turistov bolo v skupine, ak je známe, že každý autobus má kapacitu maximálne 32 osôb?
Úlohy na krajskú (mestskú) olympiádu pre školákov z matematiky.
Vyriešte sústavu rovníc:
Dokážte, že štyri vzdialenosti od bodu na kruhu k vrcholu štvorca, ktorý je do neho vpísaný, nemôžu byť súčasne racionálnymi číslami.
Možné riešenia problémov
1. Odpoveď: x = 1, x = 0,5
Od preusporiadania začiatočnej číslice po koncovú sa význam čísla nezmení. Zároveň by sa podľa stavu problému malo získať číslo, ktoré je 5-krát väčšie ako prvé číslo. Preto by sa prvá číslica požadovaného čísla mala rovnať 1 a iba 1. (keďže ak je prvá číslica 2 alebo viac, hodnota sa zmení, 2 * 5 = 10). Pri preusporiadaní 1 na konci výsledné číslo končí 1, preto nie je deliteľné 5.
Z podmienky vyplýva, že ak sú A a B priatelia, potom C je buď ich spoločný nepriateľ, alebo spoločný priateľ (inak sa títo traja nezmieria). Zoberme si všetkých priateľov človeka A. Z toho, čo bolo povedané, vyplýva, že všetci sú medzi sebou priateľskí a sú v nepriateľstve s ostatnými. Teraz nechajte A a jeho priateľov striedavo sa hádať s priateľmi a uzatvárať mier s nepriateľmi. Potom budú všetci priatelia.
Vskutku, nech sa A prvý poháda so svojimi priateľmi a uzavrie mier so svojimi nepriateľmi, ale potom sa s ním každý z jeho bývalých priateľov uzmieri a bývalí nepriatelia zostanú priateľmi. Všetci ľudia sa teda stanú priateľmi A, a teda aj priateľmi navzájom.
Číslo 111 je deliteľné 37, teda aj pomenovaná suma je deliteľná 37.
Podľa podmienky je číslo deliteľné 37, teda súčet
Deliteľné 37.
Všimnite si, že indikovaný medián a stred nemôže vychádzať z jedného vrcholu, pretože inak by bol uhol v tomto vrchole väčší ako 180 0. Teraz nech sa v trojuholníku ABC pretína osi AD a stred CE v bode F. Potom AF je os a výška v trojuholníku ACE, čo znamená, že tento trojuholník je rovnoramenný (AC = AE), a keďže CE je stred, potom AB = 2AE a teda AB = 2AC.
Možné riešenia problémov
1. Odpoveď: 9 rán po 8 bodov,
2 strely po 9 bodov,
1 strela za 10 bodov.
Nechaj X výstrely vystrelil športovec, vyradili 8 bodov, r strely 9 bodov, z výstrely 10 bodov. Potom môžete zostaviť systém:
Pomocou prvej rovnice systému napíšeme:
Z tohto systému vyplýva, že X+ r+ z=12
Vynásobte druhú rovnicu (-8) a pridajte k prvej. Chápeme to r+2 z=4 , kde r=4-2 z, r=2(2- z) ... teda pri- párne číslo, t.j. y = 2t, kde .
teda
3. Odpoveď: x = -1/2, x = -4
Po zredukovaní zlomkov na jedného menovateľa dostaneme
4. odpoveď: 105
Označme podľa X, r, z prvá, druhá a tretia číslica požadovaného trojciferného čísla. Potom to môže byť napísané ako. Prečiarknutím strednej číslice vznikne dvojciferné číslo. Stavom problému, t.j. neznáme čísla X, r, z splniť rovnicu
7(10 X+ z)=100 X+10 r+ X, ktorý po redukcii podobných pojmov a skratiek nadobúda podobu 3 z=15 X+5 r.
Z tejto rovnice vyplýva, že z musí byť deliteľné 5 a musí byť kladné, ako aj podmienkou. Preto z = 5 a čísla x, y splniť rovnicu 3 = 3x + y, ktorá má na základe podmienky jednoznačné riešenie x = 1, y = 0. Preto podmienku úlohy spĺňa jediné číslo 105.
Označme písmenom F bod, v ktorom sa pretínajú priamky AB a CE. Pretože priamky DB a CF sú rovnobežné, potom. Pretože BD je osou uhla ABC, dospeli sme k záveru, že. Z toho vyplýva, že t.j. trojuholník BCF je rovnoramenný a BC = BF. Ale z podmienky vyplýva, že štvoruholník BDEF je rovnobežník. Preto BF = DE, a teda BC = DE. Podobným spôsobom sa dokáže, že AC = DE. Výsledkom je požadovaná rovnosť.
Možné riešenia problémov
1.
Odtiaľ (x + y) 2 = 1 , t.j. x + y = 1 alebo x + y = -1.
Uvažujme o dvoch prípadoch.
a) x + y = 1... Nahrádzanie x = 1 - y
b) x + y = -1... Po vystriedaní x = -1-y
Riešením systému teda môžu byť iba nasledujúce štyri dvojice čísel: (0; 1), (2; -1), (-1; 0), (1; -2). Dosadením do rovníc pôvodnej sústavy sa uistíme, že každá z týchto štyroch dvojíc je riešením sústavy.
Trojuholníky CDF a BDF majú spoločnú základňu FD a rovnakú výšku, pretože čiary BC a AD sú rovnobežné. Preto sú ich plochy rovnaké. Podobne sú plochy trojuholníkov BDF a BDE rovnaké, pretože priamka BD je rovnobežná s priamkou EF. A plochy trojuholníkov BDE a BCE sú rovnaké, pretože AB je rovnobežná s CD. Z toho vyplýva požadovaná rovnosť plôch trojuholníkov CDF a BCE.
Vzhľadom na doménu funkcie zostavme graf.
Pomocou vzorca 
vykonať ďalšie transformácie
Aplikovaním sčítacích vzorcov a vykonaním ďalších transformácií dostaneme
5. Odpoveď: 24 autobusov, 529 turistov.
Označme podľa k počiatočný počet autobusov. Z problémového vyjadrenia vyplýva, že a že počet všetkých turistov je 22 k +1 ... Po odchode jedného autobusu sa všetci turisti posadili do zvyšného (k-1) autobusy. Preto číslo 22 k +1 by mala byť deliteľná k-1... Problém sa teda zredukoval na určenie všetkých celých čísel, pre ktoré je číslo
Je to celé číslo a spĺňa nerovnosť (číslo n sa rovná počtu turistov sediacich v každom autobuse a podľa stavu problému sa do autobusu zmestí maximálne 32 cestujúcich).
Číslo bude celé iba vtedy, keď bude celé. To druhé je možné len vtedy k=2 a pri k=24 .
Ak k=2 , potom n = 45.
A keď k=24 , potom n = 23.
Z tohto a podmienky získame len to k=24 spĺňa všetky podmienky problému.
Pôvodne tam teda bolo 24 autobusov a počet všetkých turistov je n (k-1) = 23 x 23 = 529
Možné riešenia problémov
1. odpoveď:
Potom bude mať rovnica tvar:
Dostali sme kvadratickú rovnicu vzhľadom na R.
2. Odpoveď: (0; 1), (2; -1), (-1; 0), (1; -2)
Sčítaním rovníc sústavy získame, príp
Odtiaľ (x + y) 2 = 1 , t.j. x + y = 1 alebo x + y = -1.
Uvažujme o dvoch prípadoch.
a) x + y = 1... Nahrádzanie x = 1 - y do prvej rovnice sústavy dostaneme
b) x + y = -1... Po vystriedaní x = -1-y do prvej rovnice sústavy dostaneme buď
Načítava ...