Derivácia funkcie.
1. Definícia derivácie, jej geometrický význam.
2. Derivácia komplexnej funkcie.
3. Derivácia inverznej funkcie.
4. Deriváty vyššieho rádu.
5. Parametricky definované funkcie a implicitne.
6. Diferenciácia funkcií špecifikovaných parametricky a implicitne.
Úvod.
Zdrojom diferenciálneho počtu boli dve otázky, ktoré vyvolali požiadavky vedy a techniky v 17. storočí.
1) Otázka výpočtu rýchlosti pre svojvoľne daný pohybový zákon.
2) Otázka hľadania (pomocou výpočtov) dotyčnice ku krivke ľubovoľne danej.
Problém nakreslenia dotyčnice k niektorým krivkám vyriešil starogrécky vedec Archimedes (287-212 pred Kr.), metódou kreslenia.
Ale až v 17. a 18. storočí, v súvislosti s pokrokom prírodných vied a techniky, dostali tieto otázky svoj správny vývoj.
Jednou z dôležitých otázok pri štúdiu akéhokoľvek fyzikálneho javu je zvyčajne otázka rýchlosti, rýchlosti vyskytujúceho sa javu.
Rýchlosť, ktorou sa lietadlo alebo auto pohybuje, je vždy najdôležitejším ukazovateľom jeho výkonu. Rýchlosť populačného rastu v danom štáte je jednou z hlavných charakteristík jeho sociálneho vývoja.
Počiatočná myšlienka rýchlosti je každému jasná. Táto všeobecná myšlienka však nestačí na riešenie väčšiny praktických problémov. Je potrebné mať takú kvantitatívnu definíciu tejto veličiny, ktorú nazývame rýchlosť. Potreba takejto presnej kvantitatívnej definície bola historicky jednou z hlavných hnacích síl vytvárania matematickej analýzy. Riešeniu tohto základného problému a záverom z tohto riešenia je venovaná celá časť matematickej analýzy. Obraciame sa na štúdium tejto časti.
Definícia derivácie, jej geometrický význam.
Nech je daná funkcia definovaná v nejakom intervale (a, c) a nepretržite v ňom.
1. Dajme argument X prírastok, potom funkcia dostane
prírastok:
2. Zostavme vzťah 
.
3. Prechod na limit pri a za predpokladu, že limit
existuje, dostaneme množstvo tzv
derivácia funkcie vzhľadom na argument X.
Definícia. Derivácia funkcie v bode je limitom pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu, keď → 0.
Hodnota derivátu samozrejme závisí od bodu X, v ktorej sa nachádza, preto je derivácia funkcie zase nejakou funkciou X... Je to uvedené.
Podľa definície máme
alebo (3)
Príklad. Nájdite deriváciu funkcie.
1. ; 
Derivácia funkcie je jednou z ťažkých tém v školských osnovách. Nie každý absolvent odpovie na otázku, čo je derivát.
Tento článok jednoducho a jasne vysvetľuje, čo je derivát a na čo slúži.... Teraz sa nebudeme snažiť o matematickú prísnosť prezentácie. Najdôležitejšie je pochopiť význam.
Pripomeňme si definíciu:
Derivácia je rýchlosť zmeny funkcie.
Na obrázku sú znázornené grafy troch funkcií. Ktorá podľa vás rastie rýchlejšie?
Odpoveď je zrejmá - tretia. Má najvyššiu mieru zmeny, teda najväčší derivát.
Tu je ďalší príklad.
Kostya, Grisha a Matvey dostali prácu v rovnakom čase. Pozrime sa, ako sa zmenili ich príjmy v priebehu roka:
Na grafe vidíte hneď všetko, nie? Kosťov príjem sa za šesť mesiacov viac ako zdvojnásobil. A Grišov príjem sa tiež zvýšil, ale len mierne. A Matveyho príjem klesol na nulu. Počiatočné podmienky sú rovnaké, ale rýchlosť zmeny funkcie, tj derivát, - rôzne. Pokiaľ ide o Matveyho, derivát jeho príjmu je vo všeobecnosti negatívny.
Intuitívne vieme ľahko odhadnúť rýchlosť zmeny funkcie. Ale ako to urobíme?
V skutočnosti sa pozeráme na to, ako strmo ide graf funkcie nahor (alebo nadol). Inými slovami, ako rýchlo sa mení y so zmenou x. Je zrejmé, že rovnaká funkcia v rôznych bodoch môže mať rôzne hodnoty derivácie - to znamená, že sa môže meniť rýchlejšie alebo pomalšie.
Derivácia funkcie je označená.
Ukážeme si, ako ho nájsť pomocou grafu.
Nakreslí sa graf nejakej funkcie. Zoberme si bod s osou x. V tomto bode nakreslíme dotyčnicu ku grafu funkcie. Chceme odhadnúť, ako strmo nahor je funkčný graf. Výhodná hodnota pre to je dotyčnica uhla sklonu dotyčnice.
Derivácia funkcie v bode sa rovná dotyčnici uhla sklonu dotyčnice nakreslenej ku grafu funkcie v tomto bode.
Pozor - ako uhol sklonu dotyčnice berieme uhol medzi dotyčnicou a kladným smerom osi.
Niekedy sa študenti pýtajú, čo je funkcia dotyčnice. Toto je priamka, ktorá má jeden spoločný bod s grafom v tejto oblasti a ako je znázornené na našom obrázku. Vyzerá to ako dotyčnica ku kruhu.
My to nájdeme. Pamätáme si, že dotyčnica ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku sa rovná pomeru protiľahlej vetvy k susednej vetve. Z trojuholníka:
Našli sme deriváciu pomocou grafu bez toho, aby sme poznali vzorec funkcie. Takéto problémy sa často nachádzajú na skúške z matematiky pod číslom.
Je tu ešte jeden dôležitý vzťah. Pripomeňme, že priamka je daná rovnicou
Množstvo v tejto rovnici sa nazýva sklon priamky... Rovná sa dotyčnici uhla sklonu priamky k osi.
.
Chápeme to
Zapamätajme si tento vzorec. Vyjadruje geometrický význam derivácie.
Derivácia funkcie v bode sa rovná sklonu dotyčnice nakreslenej ku grafu funkcie v tomto bode.
Inými slovami, derivácia sa rovná dotyčnici uhla sklonu dotyčnice.
Už sme povedali, že tá istá funkcia môže mať v rôznych bodoch rôzne derivácie. Pozrime sa, ako derivácia súvisí so správaním funkcie.
Nakreslíme graf nejakej funkcie. Nechajte túto funkciu v niektorých oblastiach rásť a v iných znižovať a rôznymi rýchlosťami. A nech má táto funkcia maximálny a minimálny počet bodov.
V určitom okamihu sa funkcia zvýši. Dotyčnica ku grafu nakreslenému v bode zviera ostrý uhol s kladným smerom osi. To znamená, že derivácia je v bode kladná.
V tomto bode naša funkcia klesá. Dotyčnica v tomto bode zviera tupý uhol s kladným smerom osi. Pretože dotyčnica tupého uhla je záporná, derivácia v bode je záporná.
Čo sa stane:
Ak je funkcia rastúca, jej derivácia je kladná.
Ak klesá, jeho derivácia je záporná.
A čo sa stane pri maximálnom a minime bodov? Vidíme, že v bodoch (maximálny bod) a (minimálny bod) je dotyčnica vodorovná. Preto je dotyčnica uhla sklonu dotyčnice v týchto bodoch nulová a derivácia je tiež nulová.
Bod je maximálny bod. V tomto bode je nárast funkcie nahradený poklesom. V dôsledku toho sa znamienko derivácie mení v bode z „plus“ na „mínus“.
V bode - minimálnom bode - je derivácia tiež nula, ale jej znamienko sa mení z "mínus" na "plus".
Záver: pomocou derivácie môžete zistiť všetko, čo nás zaujíma o správaní funkcie.
Ak je derivácia kladná, funkcia je rastúca.
Ak je derivácia záporná, funkcia klesá.
V maximálnom bode je derivácia nula a mení znamienko z „plus“ na „mínus“.
V minimálnom bode je derivácia tiež nula a mení znamienko z "mínus" na "plus".
Zapíšme si tieto závery vo forme tabuľky:
| zvyšuje sa | maximálny bod | klesá | minimálny bod | zvyšuje sa | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Urobme dve malé upresnenia. Jeden z nich budete potrebovať pri riešení úloh skúšky. Ďalší - v prvom ročníku, s vážnejším štúdiom funkcií a derivátov.
Prípad je možný, keď sa derivácia funkcie v určitom bode rovná nule, ale funkcia v tomto bode nemá maximum ani minimum. Ide o tzv :
V bode je dotyčnica ku grafu vodorovná a derivácia je nula. Avšak až do bodu sa funkcia zvýšila - a po bode sa naďalej zvyšuje. Znamienko derivácie sa nemení – ako bolo kladné, zostáva.
Stáva sa tiež, že derivácia neexistuje v maximálnom alebo minimálnom bode. Na grafe to zodpovedá ostrému ohybu, keď nie je možné nakresliť dotyčnicu v danom bode.
A ako nájsť deriváciu, ak funkcia nie je daná grafom, ale vzorcom? V tomto prípade,
Derivát(funkcie v bode) - základný pojem diferenciálny počet charakterizujúce rýchlosť zmeny funkcie (v danom bode). Definovaný ako limit pomer prírastku funkcie k jej prírastku argument pri tendencii zvyšovať argument na nula ak taký limit existuje. Funkcia, ktorá má konečnú deriváciu (v určitom bode), sa nazýva diferencovateľná (v danom bode).
Proces výpočtu derivácie je tzv diferenciácia... Obrátený proces – nájdenie primitívny - integrácia.
Ak je funkcia daná grafom, jej derivácia v každom bode sa rovná dotyčnici uhla sklonu dotyčnice ku grafu funkcie. A ak je funkcia daná vzorcom, pomôže vám tabuľka derivácií a pravidlá diferenciácie, teda pravidlá hľadania derivácie.
4. Derivácia komplexnej a inverznej funkcie.
Teraz to nechajte nastaviť komplexná funkcia , t.j. premenná je funkciou premennej a premenná je zasa funkciou nezávislej premennej.
Veta . Ak a diferencovateľné funkcie jej argumentov, potom komplexná funkcia je diferencovateľná funkcia a jej derivácia sa rovná súčinu derivácie danej funkcie vzhľadom na stredný argument a derivácie stredného argumentu vzhľadom na nezávisle premennú:
.
Vyhlásenie sa dá ľahko získať zo zjavnej rovnosti 
(platí pre a) prechodom na limitu pre (čo vzhľadom na spojitosť diferencovateľnej funkcie vyplýva).
Prejdime k úvahe o deriváte inverzná funkcia.
Nech má diferencovateľná funkcia na množine množinu hodnôt a na množine existuje inverzná funkcia .
Veta
. Ak v bode
derivát
, potom derivácia inverznej funkcie
v bode
existuje a rovná sa inverznej derivácii tejto funkcie: 
, alebo
Tento vzorec sa dá ľahko získať z geometrických úvah.
T 
Pretože existuje dotyčnica uhla sklonu dotyčnice k osi, to znamená dotyčnica uhla sklonu tej istej dotyčnice (rovnakej priamky) v rovnakom bode k osi.
Ak sú ostré, tak ak sú matné, tak 
.
V oboch prípadoch 
... Táto rovnosť je ekvivalentom rovnosti
5. Geometrický a fyzikálny význam derivácie.
1) Fyzikálny význam derivátu.
Ak funkcia y = f (x) a jej argument x sú fyzikálne veličiny, potom derivácia je rýchlosť zmeny premennej y vzhľadom na premennú x v bode. Napríklad, ak S = S (t) je vzdialenosť prejdená bodom v čase t, potom jej derivácia je rýchlosť v danom čase. Ak q = q (t) je množstvo elektriny pretekajúcej prierezom vodiča v čase t, potom je rýchlosť zmeny množstva elektriny v čase, t.j. aktuálna sila v čase.
2) Geometrický význam derivácie.
Nech je nejaká krivka, buď bod na krivke.
Akákoľvek priamka, ktorá pretína aspoň dva body, sa nazýva sečna.
Dotyčnica ku krivke v bode je limitnou polohou sečny, ak má bod tendenciu sa pohybovať pozdĺž krivky.
Z definície je zrejmé, že ak dotyčnica ku krivke v bode existuje, potom je jedinečná
Uvažujme krivku y = f (x) (t. j. graf funkcie y = f (x)). Nech v bode 
má nezvislú dotyčnicu. Jej rovnica: (rovnica priamky prechádzajúcej bodom 
a majúci sklon k).
Podľa definície sklonu, kde je uhol sklonu priamky k osi.
Nech je uhol sklonu sečnice k osi, kde. Keďže je dotyčnica, potom pre
teda
Takto sme dostali sklon dotyčnice ku grafu funkcie y = f (x) v bode 
(geometrický význam derivácie funkcie v bode). Preto rovnica dotyčnice ku krivke y = f (x) v bode 
možno napísať ako
Začnime tento článok prehľadom požadovaných definícií a pojmov.
Potom prejdime k napísaniu rovnice dotyčnice a uveďme podrobné riešenia najtypickejších príkladov a problémov.
Na záver sa zastavíme pri hľadaní rovnice dotyčnice ku krivkám druhého rádu, teda ku kružnici, elipse, hyperbole a parabole.
Navigácia na stránke.
Definície a pojmy.
Definícia.
Uhol sklonu priamky y = kx + b je uhol nameraný od kladného smeru úsečky k priamke y = kx + b v kladnom smere (to znamená proti smeru hodinových ručičiek).
Na obrázku je kladný smer osi x znázornený vodorovnou zelenou šípkou, kladný smer odčítania uhla je znázornený zeleným oblúkom, priama čiara je znázornená modrou čiarou a sklon priamky je znázornená červeným oblúkom.
Definícia.
Sklon priamky y = kx + b sa nazýva číselný koeficient k.
Sklon priamky sa rovná dotyčnici uhla sklonu priamky, teda .
Definícia.
Priamy Volá sa AB nakreslený cez dva body grafu funkcie y = f (x). sekanta... Inými slovami, sekanta Je priamka prechádzajúca dvoma bodmi funkčného grafu.
Na obrázku je čiara sečnice AB znázornená modrou čiarou, graf funkcie y = f (x) čiernou krivkou, uhol sklonu sečny je znázornený červeným oblúkom.
Ak vezmeme do úvahy, že sklon priamky sa rovná dotyčnici uhla sklonu (o tom sme hovorili vyššie) a dotyčnica uhla v pravouhlom trojuholníku ABC je pomer protiľahlej vetvy k susednému (toto je definícia tangens uhla), potom bude pre našu sečnicu platiť séria rovnosti 
, kde sú úsečky bodov A a B, 
- zodpovedajúce hodnoty funkcie.
teda sečný svah je definovaná rovnosťou 
alebo 
, a sekánová rovnica napísané vo formulári 
alebo 
(v prípade potreby si pozrite časť).
Sečnica rozdeľuje graf funkcie na tri časti: naľavo od bodu A, od A do B a napravo od bodu B, hoci môže mať s grafom funkcie spoločné viac ako dva body.
Obrázok nižšie ukazuje tri skutočne rozdielne sekty (body A a B sú odlišné), ale zhodujú sa a sú dané rovnakou rovnicou.
Nikdy sme sa nestretli s rozhovormi o sečnici pre priamku. Ale napriek tomu, ak vychádzame z definície, potom sa priamka a jej sečnica zhodujú.
V niektorých prípadoch môže mať sečnica nekonečný počet priesečníkov s grafom funkcie. Napríklad sečna definovaná rovnicou y = 0 má so sínusoidou spoločný nekonečný počet bodov.
Definícia.
Dotyčnica ku grafu funkcie y = f (x) v bode sa nazýva priamka prechádzajúca bodom, s ktorého segmentom sa graf funkcie prakticky spája pri hodnotách x ľubovoľne blízkych.
Vysvetlime si túto definíciu na príklade. Ukážme, že priamka y = x + 1 sa dotýka grafu funkcie v bode (1; 2). K tomu si ukážeme grafy týchto funkcií pri priblížení sa k bodu dotyku (1; 2). Graf funkcie je znázornený čiernou farbou, dotyčnica je znázornená modrou čiarou, dotykový bod je znázornený červeným bodom.
Každý nasledujúci výkres je zväčšenou oblasťou predchádzajúceho (tieto oblasti sú zvýraznené červenými štvorcami).
Je jasne vidieť, že v blízkosti bodu dotyku graf funkcie prakticky splýva s dotyčnicou y = x + 1.
Teraz prejdime k zmysluplnejšej definícii dotyčnice.
Aby sme to dosiahli, ukážeme, čo sa stane so sečnicou AB, ak sa bod B nekonečne približuje k bodu A.
Obrázok nižšie ilustruje tento proces.
Sečnica AB (znázornená modrou prerušovanou čiarou) bude mať tendenciu zaberať polohu dotyčnice (znázornená modrou plnou čiarou), uhol sklonu sečny (znázornený červeným prerušovaným oblúkom) bude smerovať k uhlu sklonu dotyčnice (znázornené červeným plným oblúkom).
Definícia.
Touto cestou, dotyčnica ku grafu funkcie y = f (x) v bode A Je hraničná poloha sečny AB pri.
Teraz môžeme pristúpiť k popisu geometrického významu derivácie funkcie v bode.
Geometrický význam derivácie funkcie v bode.
Uvažujme čiaru rezu AB grafu funkcie y = f (x) takú, že body A a B majú súradnice a 
, kde je prírastok argumentu. Označme prírastkom funkcie. Označme všetko na výkrese:
Z pravouhlého trojuholníka ABC máme. Keďže podľa definície je dotyčnica hraničnou pozíciou sečny 
.
Spomeňme si definícia derivácie funkcie v bode: derivácia funkcie y = f (x) v bode je hranica pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu at, zn. 
.
teda 
, kde je sklon dotyčnice.
Existencia derivácie funkcie y = f (x) v bode je teda ekvivalentná existencii dotyčnice ku grafu funkcie y = f (x) v bode dotyku a sklon dotyčnice sa rovná hodnote derivácie v bode, teda .
Dospeli sme k záveru: geometrický význam derivácie funkcie v bode spočíva v existencii dotyčnice ku grafu funkcie v tomto bode.
Rovnica dotyčnice.
Na napísanie rovnice akejkoľvek priamky na rovine stačí poznať jej sklon a bod, ktorým prechádza. Dotyková čiara prechádza dotykovým bodom a jej sklon pre derivovanú funkciu sa rovná hodnote derivácie v bode. To znamená, že od bodu, v ktorom môžeme zobrať všetky údaje na napísanie rovnice dotyčnice.
Rovnica dotyčnice ku grafu funkcie y = f (x) v bode má formu.
Predpokladáme, že derivácia má konečnú hodnotu, inak je dotyčnica buď vertikálna (ak 
a 
), alebo neexistuje (ak 
).
V závislosti od sklonu môže byť dotyčnica rovnobežná s osou úsečky (), rovnobežná s osou ordináty (v tomto prípade bude mať rovnica dotyčnice tvar), zväčšenie () alebo zníženie ().
Je čas uviesť niekoľko príkladov na objasnenie.
Príklad.
Prirovnajte dotyčnicu ku grafu funkcie 
v bode (-1; -3) a určte uhol sklonu.
Riešenie.
Funkcia je definovaná pre všetky reálne čísla (v prípade potreby pozri článok). Keďže (-1; -3) je bod kontaktu, potom 
.
Nájdeme derivát (na tento účel sa môže hodiť materiál článku diferenciácia funkcie, nájdenie derivácie) a vypočítajte jeho hodnotu v bode: 
Pretože hodnota derivácie v bode dotyku je sklon dotyčnice a rovná sa dotyčnici uhla sklonu, potom 
.
Preto je uhol sklonu dotyčnice 
a rovnica dotyčnice má tvar 
Grafické znázornenie.
Graf pôvodnej funkcie je znázornený čiernou farbou, dotyčnica je znázornená modrou čiarou, dotykový bod je znázornený červeným bodom. Obrázok vpravo je zväčšená oblasť označená červeným bodkovaným štvorcom na obrázku vľavo.
Príklad.
Zistite, či existuje funkcia dotyčnica ku grafu 
v bode (1; 1), ak áno, zostavte jeho rovnicu a určte uhol jej sklonu.
Riešenie.
Definičný obor funkcie je celá množina reálnych čísel.
Nájdite derivát: 
Keď derivát nie je definovaný, ale 
a 
, teda v bode (1; 1) je zvislá dotyčnica, jej rovnica má tvar x = 1 a uhol sklonu je.
Grafické znázornenie.
Príklad.
Nájdite všetky body grafu funkcie, v ktorých:
a) dotyčnica neexistuje; b) dotyčnica je rovnobežná s osou x; c) dotyčnica je rovnobežná s priamkou.
Riešenie.
Ako vždy začneme rozsahom funkcie. V našom príklade je funkcia definovaná na celej množine reálnych čísel. Odhalíme znamienko modulu, preto zvážime dva intervaly a: 
Rozlišujme funkciu: 
o Derivát x = -2 neexistuje, pretože jednostranné limity v tomto bode nie sú rovnaké: 
Ak teda vypočítame hodnotu funkcie v x = -2, môžeme dať odpoveď na bod a): dotyčnica ku grafu funkcie v bode (-2; -2) neexistuje.
b) Dotyčnica je rovnobežná s úsečkou, ak jej sklon je nulový (sklon je nulový). Pretože 
, potom musíme nájsť všetky hodnoty x, pri ktorých derivácia funkcie zaniká. Tieto hodnoty budú úsečkami tangenciálnych bodov, v ktorých je dotyčnica rovnobežná s osou Ox.
Keď vyriešime rovnicu 
a na - rovnica 
:
Zostáva vypočítať zodpovedajúce hodnoty funkcie: 
takze 
- požadované body grafu funkcie.
Grafické znázornenie.
Graf pôvodnej funkcie je znázornený čiernou čiarou, červené bodky označujú nájdené body, v ktorých sú dotyčnice rovnobežné s osou x.
c) Ak sú dve priamky v rovine rovnobežné, potom sú ich sklony rovnaké (o tom sa píše v článku). Na základe tohto tvrdenia musíme nájsť všetky body na grafe funkcie, pri ktorých je sklon dotyčnice osem pätín. To znamená, že musíme vyriešiť rovnicu. Takto vyriešime rovnicu 
a na - rovnica 
.
Diskriminant prvej rovnice je záporný, preto nemá žiadne skutočné korene: 
Druhá rovnica má dva skutočné korene: 
Nájdeme zodpovedajúce hodnoty funkcie: 
V bodoch 
funkcie dotýkajúce sa grafu sú rovnobežné s priamkou.
Grafické znázornenie.
Graf funkcie je znázornený ako čierna čiara, červená čiara znázorňuje graf priamky, modré čiary znázorňujú dotyčnice ku grafu funkcie v bodoch .
Pre goniometrické funkcie môže byť vzhľadom na ich periodicitu nekonečne veľa dotyčníc s jedným uhlom sklonu (rovnaký sklon).
Príklad.
Napíšte rovnice všetkých dotyčníc ku grafu funkcie 
ktoré sú kolmé na priamku.
Riešenie.
Na zostavenie rovnice dotyčnice ku grafu funkcie nám stačí poznať jej sklon a súradnice dotykového bodu.
Sklon dotyčníc nájdeme z: súčin sklonov kolmých priamok sa rovná mínus jednej, tzn. Pretože podľa podmienky je sklon kolmice rovnaký 
.
Začnime hľadať súradnice bodov dotyku. Najprv nájdeme úsečky, potom vypočítame zodpovedajúce hodnoty funkcie - to budú súradnice bodov dotyku.
Pri popise geometrického významu derivácie funkcie v bode sme si všimli, že. Z tejto rovnosti nájdeme úsečky tečných bodov. 
Dostávame sa k goniometrickej rovnici. Venujte mu prosím pozornosť, pretože ho neskôr použijeme pri výpočte súradníc dotykových bodov. Riešime to (v prípade ťažkostí pozri časť riešenie goniometrických rovníc):
Našli sa úsečky tangenciálnych bodov, vypočítajme zodpovedajúce súradnice (tu použijeme rovnosť, ktorej sme chceli venovať pozornosť vyššie): 
Teda, - všetky body dotyku. V dôsledku toho majú hľadané rovnice pre dotyčnice tvar: 
Grafické znázornenie.
Čierna krivka zobrazuje graf pôvodnej funkcie na segmente [-10; 10], modré čiary zobrazujú dotyčnice. Je jasne vidieť, že sú kolmé na červenú čiaru. Dotykové body sú označené červenými bodkami.
Dotyčnica ku kružnici, elipsa, hyperbola, parabola.
Doteraz sme sa zaoberali hľadaním rovníc dotyčníc ku grafom jednohodnotových funkcií tvaru y = f (x) v rôznych bodoch. Kanonické rovnice kriviek druhého rádu nie sú jednohodnotové funkcie. Ale môžeme znázorniť kružnicu, elipsu, hyperbolu a parabolu kombináciou dvoch jednohodnotových funkcií a až potom zostaviť rovnice dotyčníc podľa známej schémy.
Dotyčnica ku kružnici.
Kruh so stredom v bode 
a polomer R je daný rovnosťou.
Napíšme túto rovnosť ako spojenie dvoch funkcií: 
Tu prvá funkcia zodpovedá hornému polkruhu, druhá dolnému.
Aby sme teda vytvorili rovnicu dotyčnice ku kružnici v bode patriacom hornému (alebo dolnému) polkruhu, nájdeme rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie (alebo) v zadanom bode.
Je ľahké ukázať, že v bodoch kruhu so súradnicami 
a 
dotyčnice sú rovnobežné s osou x a sú dané rovnicami a (na obrázku nižšie sú znázornené modrými bodkami a modrými priamkami) a v bodoch 
a 
- sú rovnobežné so zvislou osou a majú rovnice a (na obrázku nižšie sú označené červenými bodkami a červenými rovnými čiarami).
Tangenta k elipse.
Elipsa centrovaná v bode s poloosami a a b je daná rovnicou 
.
Elipsu, podobne ako kružnicu, je možné špecifikovať kombináciou dvoch funkcií – hornej a dolnej polelipsy: 
Dotyčnice vo vrcholoch elipsy sú rovnobežné buď s osou úsečky (na obrázku nižšie zobrazená modrou farbou) alebo s osou ordináta (na obrázku nižšie zobrazená červenou farbou).
To znamená, že horná polelipsa je daná funkciou 
a ten nižší je 
.
Teraz môžeme konať podľa štandardného algoritmu na zostavenie rovnice dotyčnice ku grafu funkcie v bode.
Prvá dotyčnica v bode: 
Druhá dotyčnica v bode 
:
Grafické znázornenie.
Tangenta k hyperbole.
Hyperbola sústredená do bodu a vrcholy 
a 
daný rovnosťou 
(obrázok nižšie vľavo) a s vrcholmi 
a 
- rovnosť 
(obrázok vpravo dole).
Ako spojenie dvoch funkcií môže byť hyperbola reprezentovaná ako
alebo 
.
Vo vrcholoch hyperboly sú dotyčnice rovnobežné s osou Oy v prvom prípade a rovnobežné s osou Ox v druhom prípade.
Aby sme teda našli rovnicu dotyčnice k hyperbole, zistíme, do ktorej funkcie dotyčný bod patrí, a postupujeme obvyklým spôsobom.
Vzniká logická otázka, ako určiť, do ktorej z funkcií bod patrí. Aby sme na to odpovedali, dosadíme súradnice do každej rovnice a uvidíme, ktorá z rovníc sa zmení na identitu. Pozrime sa na príklad.
Príklad.
Prirovnať tangentu k hyperbole 
v bode.
Riešenie.
Hyperbolu píšeme vo forme dvoch funkcií: 
Poďme zistiť, ku ktorej funkcii patrí dotykový bod.
Pri prvej funkcii teda bod do grafu tejto funkcie nepatrí.
Pri druhej funkcii teda bod patrí do grafu tejto funkcie.
Nájdite sklon dotyčnice: 
Dotyková rovnica má teda tvar.
Grafické znázornenie.
Tangenta k parabole.
Zostaviť rovnicu dotyčnice k parabole tvaru 
v bode použijeme štandardnú schému a napíšeme tangentovú rovnicu ako. Dotyčnica ku grafu takejto paraboly vo vrchole je rovnobežná s osou Ox.
Parabola 
najprv ho nastavíme spojením dvoch funkcií. Aby sme to dosiahli, riešime túto rovnicu pre y: 
Teraz zistíme, ku ktorej z funkcií dotykový bod patrí a postupujeme podľa štandardnej schémy.
Dotyčnica ku grafu takejto paraboly vo vrchole je rovnobežná s osou Oy.
Pre druhú funkciu: 
Získajte dotykový bod 
.
Rovnica pre požadovanú dotyčnicu má teda tvar 
.
Načítava ...