Oblasť polygónu
Koncept plochy polygónu spojíme s takým geometrickým útvarom, akým je štvorec. Pre jednotku plochy mnohouholníka vezmeme plochu štvorca so stranou rovnajúcou sa jednej. Uvádzame dve základné vlastnosti pre koncepciu oblasti polygónu.
Vlastnosť 1: Pre rovnaké polygóny sú ich plochy rovnaké.
Vlastnosť 2: Každý polygón možno rozdeliť na niekoľko polygónov. V tomto prípade sa plocha pôvodného polygónu rovná súčtu plôch všetkých polygónov, na ktoré je daný polygón rozdelený.
štvorcová plocha
Veta 1
Plocha štvorca je definovaná ako štvorec dĺžky jeho strany.
kde $a$ je dĺžka strany štvorca.
Dôkaz.
Aby sme to dokázali, musíme zvážiť tri prípady.
Veta bola dokázaná.
Oblasť obdĺžnika
Veta 2
Plocha obdĺžnika je určená súčinom dĺžok jeho priľahlých strán.
Matematicky sa to dá zapísať nasledovne
Dôkaz.
Dostaneme obdĺžnik $ABCD$ s $AB=b,\ AD=a$. Postavme ho do štvorca $APRV$, ktorého dĺžka strany sa rovná $a+b$ (obr. 3).
Obrázok 3
Druhou vlastnosťou oblastí máme
\ \ \
Podľa vety 1
\ \
Veta bola dokázaná.
Príklad úlohy
Príklad 1
Nájdite oblasť obdĺžnika so stranami $ 5 $ a $ 3 $.
Prečítajte si článok, aby ste vedeli, ako nájsť plochu štvorca rôznymi spôsobmi.
Štvorec je rovnostranný obdĺžnik. Daný pravidelný a plochý štvoruholník má rovnaké všetky strany, uhly a uhlopriečky. Vzhľadom na to, že existuje takáto rovnosť, vzorec na výpočet plochy a iných charakteristík je v porovnaní s inými matematickými údajmi mierne upravený. To však úlohy príliš nesťažuje. Pozrime sa na všetky vzorce a riešenia problémov v tomto článku.
Námestie S pravý a štvorcový gon sa vypočíta podľa vzorca: a vynásobiť b. Ale keďže štvorec má úplnú rovnosť strán, jeho plocha sa bude rovnať: S=(a) na druhú mocninu. Ako zistiť dĺžku strany štvorca a poznať jeho plochu?
- Ak je známa plocha štvorca, strana sa nájde výpočtom plochy pod odmocninou.
- Napríklad, ak je plocha štvorca 49, aká je dĺžka strany?
- 49=(a) na druhú mocninu. Riešenie: a=odmocnina z 49=7. odpoveď: 7.
Ak potrebujete nájsť stranu štvorca, ktorého plocha je príliš dlhá, použite kalkulačku. Najprv zadajte číslo oblasti a potom stlačte znak koreňa na klávesnici kalkulačky. Výsledné číslo bude odpoveďou.
V tomto príklade použijeme Pytagorovu vetu. Všetky strany štvorca sú rovnaké a uhlopriečka d budeme považovať za preponu pravouhlého rovnoramenného trojuholníka s nohou A. Teraz nájdeme uhlopriečku štvorca, ak je známa jeho plocha:
- Aby sme nenakreslili celú Pytagorovu vetu, budeme riešiť podľa druhej možnosti: d=a√2, kde a je strana štvorca.
- Takže vieme, že plocha námestia je napríklad 64. Takže jedna strana a=√64=8.
- Ukázalo sa d = 8°2. Odmocnina z 2 sa nezíska ako celé číslo, takže v odpovedi môžete napísať takto: d = 8°2. Ak však chcete vypočítať hodnotu, použite kalkulačku: √2= 1,41421356237 a vynásobením 8 dostaneme 11,3137084.
Dôležité: Zvyčajne sa v matematike v odpovedi neostávajú čísla s veľkým počtom čísel za desatinnou čiarkou. Potrebujete zaokrúhliť alebo nechať s koreňom. Preto odpoveď na nájdenie uhlopriečky, ak je oblasť 64, bude: d = 8°2.
Vzorec na nájdenie plochy štvorca z hľadiska uhlopriečky je jednoduchý:
Teraz napíšme riešenie na nájdenie plochy štvorca cez uhlopriečku:
- Uhlopriečka d=8.
- 8 na druhú sa rovná 64.
- 64 delené 2 je 32.
- Plocha štvorca je 32.
Poradenstvo: Tento problém má ďalšie riešenie prostredníctvom Pytagorovej vety, je však zložitejšie. Takže použite riešenie, ktoré sme prebrali.
Obvod štvorca P je súčet všetkých strán. Ak chcete nájsť jeho plochu, poznajúc jej obvod, musíte najprv vypočítať stranu štvorca. Riešenie:
- Povedzme, že obvod je 24. Rozdeľte 24 na 4 strany, ukáže sa 6 - to je jedna strana.
- Teraz použijeme vzorec na nájdenie oblasti, pričom vieme, aká je strana štvorca: S = a na druhú, S = 6 na druhú = 36.
- odpoveď: 36
Ako vidíte, ak poznáte obvod štvorca, je ľahké nájsť jeho plochu.
Polomer R je polovica uhlopriečky štvorca vpísaného do kruhu. Teraz môžeme nájsť uhlopriečku pomocou vzorca: d = 2*R. Ďalej nájdite plochu štvorca vpísanú do kruhu s daným polomerom:
- Uhlopriečka je 2-násobok polomeru. Napríklad polomer je 5, potom je uhlopriečka 2*5=10 .
- Vyššie bolo popísané, ako nájsť plochu štvorca, ak je známa uhlopriečka: S=diagonálny štvorec delený 2. S=10*10 a delený 2=50.
- odpoveď - 50 .
Táto úloha je trochu ťažšia, ale tiež ľahko vyriešiteľná, ak poznáte všetky vzorce.
Obrázok ukazuje, že polomer vpísanej kružnice sa rovná polovici strany. Strana sa nájde podľa vzorca inverzného k vzoru znázornenému na obrázku: a = 2*r. Potom už nájdeme plochu štvorca opísanú okolo kruhu s daným polomerom podľa vzorca S = štvorec. Riešenie:
- Povedzme, že polomer je 7. Strana štvorca a je 2*7=14.
- S = 14 na druhú = 196.
Ak pochopíte podstatu riešenia takýchto problémov, môžete ich vyriešiť rýchlo a jednoducho. Pozrime sa na niekoľko ďalších príkladov.
Príklady riešenia problémov na tému "Štvorcová plocha"
Ak chcete upevniť preberaný materiál a zapamätať si všetky vzorce, musíte vyriešiť niekoľko príkladov problémov na tému „Štvorcová plocha“. Začneme jednoduchým problémom a prejdeme k riešeniu zložitejších: Príklady riešenia zložitých problémov na tému „Štvorcová plocha“
Teraz viete, ako používať vzorec štvorcovej oblasti, čo znamená, že môžete vykonávať akúkoľvek úlohu. Veľa šťastia v ďalšom štúdiu!
Video: Výpočet plochy štvorca
Oblasť polygónu
Koncept plochy polygónu spojíme s takým geometrickým útvarom, akým je štvorec. Pre jednotku plochy mnohouholníka vezmeme plochu štvorca so stranou rovnajúcou sa jednej. Uvádzame dve základné vlastnosti pre koncepciu oblasti polygónu.
Vlastnosť 1: Pre rovnaké polygóny sú ich plochy rovnaké.
Vlastnosť 2: Každý polygón možno rozdeliť na niekoľko polygónov. V tomto prípade sa plocha pôvodného polygónu rovná súčtu plôch všetkých polygónov, na ktoré je daný polygón rozdelený.
štvorcová plocha
Veta 1
Plocha štvorca je definovaná ako štvorec dĺžky jeho strany.
kde $a$ je dĺžka strany štvorca.
Dôkaz.
Aby sme to dokázali, musíme zvážiť tri prípady.
Veta bola dokázaná.
Oblasť obdĺžnika
Veta 2
Plocha obdĺžnika je určená súčinom dĺžok jeho priľahlých strán.
Matematicky sa to dá zapísať nasledovne
Dôkaz.
Dostaneme obdĺžnik $ABCD$ s $AB=b,\ AD=a$. Postavme ho do štvorca $APRV$, ktorého dĺžka strany sa rovná $a+b$ (obr. 3).
Obrázok 3
Druhou vlastnosťou oblastí máme
\ \ \
Podľa vety 1
\ \
Veta bola dokázaná.
Príklad úlohy
Príklad 1
Nájdite oblasť obdĺžnika so stranami $ 5 $ a $ 3 $.
Plocha štvorca je časť roviny, ktorá je ohraničená stranami tohto štvorca.
Štvorec je špeciálny prípad obdĺžnika, potom jeho obsah možno nájsť ako súčin jednej z jeho strán druhou, a keďže všetky strany štvorca sú rovnaké, jeho plocha sa bude rovnať štvorcu dĺžky. z jeho strany:
Plocha štvorca je tiež polovica štvorca dĺžky jeho uhlopriečky (d), to znamená:
Priemer kružnice opísanej okolo štvorca sa zhoduje s uhlopriečkou tohto štvorca, potom jeho obsah možno zistiť aj z dĺžky priemeru (D) opísanej kružnice:
Keďže priemer kruhu je 2-krát väčší ako jeho polomer, plochu štvorca možno nájsť aj cez polomer opísanej kružnice:
S = (2*R)2/2= (4*R2)/2 = 2*R2.
Štvorec je pravidelný štvoruholník, teda štvoruholník, v ktorom sú všetky strany rovnaké. Plochu štvorca možno nájsť tromi spôsobmi:
- cez stranu námestia.
- cez obvod námestia.
- cez uhlopriečku námestia.
Zvážte každú z metód na nájdenie plochy štvorca.
Výpočet plochy štvorca z hľadiska jeho strany
Nech je a strana námestia. Keďže všetky strany štvorca sú rovnaké, každá strana štvorca sa bude rovnať a. V tomto prípade možno štvorcovú plochu S vypočítať podľa vzorca:
S = a* a = a2. Napríklad, ak je strana štvorca 5, jeho plocha bude:
S = 5 2 = 25.
Výpočet plochy štvorca z hľadiska jeho obvodu
Nech P je obvod štvorca. Obvod je súčet všetkých strán, potom P = a + a + a + a = 4 * a. Pretože S \u003d a 2 (podľa predtým napísaného vzorca), potom a možno vyjadriť z obvodu a:
a = P / 4. Potom S = P 2 / 16. Napríklad je známe, že obvod štvorca je 20, potom môžete nájsť jeho obsah: S = 20 2 / 16 = 400 / 16 = 25.
Výpočet plochy štvorca z hľadiska jeho uhlopriečky
Uhlopriečka štvorca ho rozdeľuje na dva rovnaké pravouhlé trojuholníky. Zvážte jeden z pravouhlých trojuholníkov. Jeho nohy sa rovnajú a a a (dve strany štvorca) a prepona sa rovná uhlopriečke štvorca (d). Pomocou Pytagorovej vety vypočítame preponu:
d 2 \u003d a 2 + a 2;
d 2 \u003d 2 * a 2;
d = a* √2.
V tomto prípade bude plocha štvorca zapísaná takto: S = d 2 /2. Napríklad, ak vezmeme do úvahy uhlopriečku štvorca: d = √18, potom bude plocha štvorca: S = (√18) 2 / 2 = 18 / 2 = 9.
Všetky tieto vzorce sú vhodné na výpočet plochy štvorca.
Námestie je pravidelný štvoruholník, v ktorom sú všetky strany a uhly navzájom rovnaké.
Plocha štvorca sa rovná štvorcu jeho strany:
S = a2
Dôkaz
Začnime prípadom kedy a = 1/n, kde n je celé číslo.
Zoberme si štvorec so stranou 1 a rozdeľme ho na n 2 rovnakých štvorcov, ako je znázornené na obrázku 1.
Pretože plocha veľkého štvorca je 1, plocha každého malého štvorca je 1/n 2. Strana každého malého štvorca je 1/n, t.j. rovná sa a. takže,
S = 1/n2 = (1/n)2 = a2. (1)
Teraz nechajte číslo a predstavuje konečný desatinný zlomok obsahujúci n desatinných miest (najmä číslo a môže byť celé číslo a potom n = 0). Potom číslo m = a · 10 n je celé číslo. Rozdeľme tento štvorec so stranou a na m 2 rovnakých štvorcov, ako je znázornené na obrázku 2.
V tomto prípade bude každá strana tohto štvorca rozdelená na m rovnakých častí, a preto sa strana akéhokoľvek malého štvorca rovná
a / m \u003d a / (a 10 n) \u003d 1/10 n.
Podľa vzorca (1) plocha malého štvorca je (1/10 n) 2. teda plocha S daného štvorca sa rovná
m2 (1/10 n) 2 = (m/10 n) 2 = ((aio n)/10 n)2 = a2.
nakoniec nechať číslo a je nekonečné desatinné číslo. Zvážte číslo a n získané od a vypustením všetkých desatinných miest za desatinnou čiarkou, počnúc (n + 1) th. Od čísla a sa líši od a n nie viac ako 1/10n, To a n ≤ a ≤ a n + 1/10 n, kde
an2 ≤ a2 ≤ (an + 1/10 n)2. (2)
Je jasné, že oblasť S tohto štvorca leží medzi plochou štvorca so stranou a n a plochou štvorca so stranou a n + 1/10 n:
t.j. medzi a n 2 A (a n + 1/10 n) 2:
an2 ≤ S ≤ (an + 1/10 n)2. (3)
Počet budeme zvyšovať donekonečna n. Potom číslo 1/10n sa stane ľubovoľne malým, a preto sa číslo (a n + 1/10 n) 2 bude ľubovoľne málo líšiť od čísla a n 2 . Preto z nerovností (2) A (3) z toho vyplýva, že číslo Sľubovoľne málo sa líši od čísla a 2 . Preto sú tieto čísla rovnaké: S = a2, čo malo byť preukázané.
Plochu štvorca možno nájsť aj pomocou nasledujúcich vzorcov:
S = 4r2,
S \u003d 2R 2,
Načítava...