V predchádzajúcej kapitole bolo ukázané, že výberom určitého súradnicového systému v rovine môžeme geometrické vlastnosti charakterizujúce body uvažovanej priamky analyticky vyjadriť rovnicou medzi aktuálnymi súradnicami. Tak dostaneme rovnicu priamky. Táto kapitola sa bude zaoberať rovnicami s priamkou.
Ak chcete vytvoriť rovnicu pre priamku v karteziánskych súradniciach, musíte nejako nastaviť podmienky, ktoré určujú jej polohu vzhľadom na súradnicové osi.
Najprv si predstavíme pojem uhlový koeficient priamky, ktorý je jednou z veličín charakterizujúcich polohu priamky v rovine.
Uhol sklonu priamky k osi Ox nazvime uhol, o ktorý je potrebné os Ox pootočiť tak, aby sa zhodovala s danou priamkou (alebo bola s ňou rovnobežná). Ako obvykle budeme uvažovať uhol s prihliadnutím na znamienko (znamienko je určené smerom otáčania: proti alebo v smere hodinových ručičiek). Pretože dodatočné otočenie osi Ox o uhol 180° ju opäť vyrovná s priamkou, uhol sklonu priamky k osi nemožno zvoliť jednoznačne (v rámci jedného členu, násobok ).
Tangent tohto uhla je určený jednoznačne (keďže zmenou uhla sa nemení jeho dotyčnica).
Tangenta uhla sklonu priamky k osi Ox sa nazýva uhlový koeficient priamky.
Uhlový koeficient charakterizuje smer priamky (nerozlišujeme tu dva vzájomne opačné smery priamky). Ak je sklon priamky nulový, potom je priamka rovnobežná s osou x. Pri kladnom uhlovom koeficiente bude uhol sklonu priamky k osi Ox ostrý (uvažujeme tu najmenšiu kladnú hodnotu uhla sklonu) (obr. 39); Navyše, čím väčší je uhlový koeficient, tým väčší je uhol jeho sklonu k osi Ox. Ak je uhlový koeficient záporný, potom bude uhol sklonu priamky k osi Ox tupý (obr. 40). Všimnite si, že priamka kolmá na os Ox nemá uhlový koeficient (tangens uhla neexistuje).
Naučte sa brať derivácie funkcií. Derivácia charakterizuje rýchlosť zmeny funkcie v určitom bode ležiacom na grafe tejto funkcie. V tomto prípade môže byť graf rovný alebo zakrivený. To znamená, že derivácia charakterizuje rýchlosť zmeny funkcie v určitom časovom bode. Pamätajte na všeobecné pravidlá, podľa ktorých sa odvodzujú, a až potom prejdite na ďalší krok.
- Prečítajte si článok.
- Je popísané, ako zobrať najjednoduchšie derivácie, napríklad deriváciu exponenciálnej rovnice. Výpočty uvedené v nasledujúcich krokoch budú založené na metódach opísaných v nich.
Naučte sa rozlišovať problémy, v ktorých musí byť sklon vypočítaný pomocou derivácie funkcie. Problémy nie vždy vyžadujú, aby ste našli sklon alebo deriváciu funkcie. Môžete byť napríklad požiadaní, aby ste našli rýchlosť zmeny funkcie v bode A(x,y). Môžete byť tiež požiadaní, aby ste našli sklon dotyčnice v bode A(x,y). V oboch prípadoch je potrebné vziať deriváciu funkcie.
Vezmite deriváciu funkcie, ktorá vám bola pridelená. Tu nie je potrebné vytvárať graf - potrebujete iba rovnicu funkcie. V našom príklade vezmite deriváciu funkcie f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x). Vezmite derivát podľa metód uvedených v článku uvedenom vyššie:
Na výpočet sklonu dosaďte súradnice bodu, ktorý ste dostali, do nájdenej derivácie. Derivácia funkcie sa rovná sklonu v určitom bode. Inými slovami, f"(x) je sklon funkcie v ľubovoľnom bode (x,f(x)). V našom príklade:
Ak je to možné, skontrolujte svoju odpoveď v grafe. Pamätajte, že sklon nemožno vypočítať v každom bode. Diferenciálny počet sa zaoberá komplexnými funkciami a zložitými grafmi, kde nie je možné vypočítať sklon v každom bode a v niektorých prípadoch body na grafoch vôbec neležia. Ak je to možné, použite grafickú kalkulačku, aby ste skontrolovali, či je sklon zadanej funkcie správny. V opačnom prípade nakreslite dotyčnicu ku grafu v bode, ktorý vám bol daný, a porozmýšľajte, či sa nájdená hodnota sklonu zhoduje s tým, čo vidíte na grafe.
- Dotyčnica bude mať v určitom bode rovnaký sklon ako graf funkcie. Ak chcete nakresliť dotyčnicu v danom bode, posuňte sa doľava/doprava na osi X (v našom príklade 22 hodnôt doprava) a potom o jednu nahor na osi Y. Označte bod a potom ho pripojte k bod, ktorý ste dostali. V našom príklade spojte body so súradnicami (4,2) a (26,3).
Obrázok znázorňuje uhol sklonu priamky a udáva hodnotu uhlového koeficientu pre rôzne možnosti umiestnenia priamky vzhľadom na pravouhlý súradnicový systém.
Nájdenie sklonu priamky so známym uhlom sklonu k osi Ox nepredstavuje žiadne ťažkosti. Na to stačí pripomenúť definíciu uhlového koeficientu a vypočítať tangentu uhla sklonu.
Príklad.
Nájdite sklon priamky, ak jej uhol sklonu k osi x je rovný .
Riešenie.
Podľa podmienok. Potom podľa definície sklonu priamky vypočítame 
.
odpoveď:
Úloha nájsť uhol sklonu priamky k osi x so známym sklonom je trochu zložitejšia. Tu je potrebné vziať do úvahy znamenie svahu. Keď je uhol sklonu priamky ostrý a nachádza sa ako . Keď je uhol sklonu priamky tupý a dá sa určiť podľa vzorca 
.
Príklad.
Určte uhol sklonu priamky k osi x, ak sa jej sklon rovná 3.
Riešenie.
Pretože podľa podmienky je uhlový koeficient kladný, uhol sklonu priamky k osi Ox je ostrý. Vypočítame to pomocou vzorca.
odpoveď:
Príklad.
Sklon priamky je . Určte uhol sklonu priamky k osi Ox.
Riešenie.
Označme k je uhlový koeficient priamky, - uhol sklonu tejto priamky ku kladnému smeru osi Ox. Pretože 
, potom pomocou vzorca nájdeme uhol sklonu priamky nasledujúceho tvaru . Dosadíme do nej údaje z podmienky: .
odpoveď:
Rovnica priamky s uhlovým koeficientom.
Rovnica priamky so sklonom má tvar , kde k je sklon priamky, b je nejaké reálne číslo. Pomocou rovnice priamky s uhlovým koeficientom môžete určiť akúkoľvek priamku, ktorá nie je rovnobežná s osou Oy (pre priamku rovnobežnú s osou y nie je definovaný uhlový koeficient).
Poďme pochopiť význam frázy: „priama čiara v rovine v pevnom súradnicovom systéme je daná rovnicou s uhlovým koeficientom v tvare „“. To znamená, že rovnica je splnená súradnicami ktoréhokoľvek bodu na priamke a nie je splnená súradnicami žiadnych iných bodov v rovine. Ak sa teda pri dosadení súradníc bodu získa správna rovnosť, potom priamka prechádza týmto bodom. V opačnom prípade bod neleží na čiare.
Príklad.
Priamka je daná rovnicou so sklonom. Patria do tejto línie aj body?
Riešenie.
Dosadme súradnice bodu do pôvodnej rovnice priamky so sklonom: 
. Dostali sme správnu rovnosť, preto bod M 1 leží na priamke.
Pri dosadení súradníc bodu dostaneme nesprávnu rovnosť: 
. Bod M 2 teda neleží na priamke.
odpoveď:
Bodka M 1 patrí do radu, M 2 nie.
Treba si uvedomiť, že bodom prechádza priamka definovaná rovnicou priamky s uhlovým koeficientom, keďže keď dosadíme jej súradnice do rovnice, dostaneme správnu rovnosť: .
Rovnica priamky s uhlovým koeficientom teda definuje v rovine priamku prechádzajúcu bodom a zvierajúcu uhol s kladným smerom osi x a .
Ako príklad si uveďme priamku definovanú rovnicou priamky s uhlovým koeficientom tvaru . Táto čiara prechádza bodom a má sklon 
radiánov (60 stupňov) do kladného smeru osi Ox. Jeho sklon sa rovná .
Rovnica priamky so sklonom prechádzajúcim daným bodom.
Teraz vyriešime veľmi dôležitý problém: získame rovnicu priamky s daným sklonom k a prechádzajúcej bodom .
Keďže priamka prechádza bodom, rovnosť je pravdivá 
. Číslo b nepoznáme. Aby sme sa toho zbavili, odpočítame ľavú a pravú stranu poslednej rovnosti od ľavej a pravej strany rovnice priamky s koeficientom sklonu, resp. V tomto prípade dostaneme 
. Táto rovnosť je rovnica priamky s daným sklonom k, ktorá prechádza daným bodom.
Pozrime sa na príklad.
Príklad.
Napíšte rovnicu priamky prechádzajúcej bodom, sklon tejto priamky je -2.
Riešenie.
Od stavu, ktorý máme 
. Potom bude mať rovnica priamky s uhlovým koeficientom tvar .
odpoveď:
Príklad.
Napíšte rovnicu priamky, ak je známe, že prechádza bodom a uhol sklonu ku kladnému smeru osi Ox sa rovná .
Riešenie.
Najprv si vypočítajme sklon úsečky, ktorej rovnicu hľadáme (tento problém sme riešili v predchádzajúcom odseku tohto článku). A-priorstvo 
. Teraz máme všetky údaje na zapísanie rovnice priamky s uhlovým koeficientom:
odpoveď:
Príklad.
Napíšte rovnicu priamky s uhlovým koeficientom prechádzajúcej bodom rovnobežným s priamkou.
Riešenie.
Je zrejmé, že uhly sklonu rovnobežných čiar k osi Ox sa zhodujú (ak je to potrebné, pozri článok rovnobežnosť čiar), preto sú uhlové koeficienty rovnobežných čiar rovnaké. Potom sa sklon priamky, ktorej rovnicu musíme získať, rovná 2, pretože sklon priamky sa rovná 2. Teraz môžeme vytvoriť požadovanú rovnicu priamky so sklonom:
odpoveď:
Prechod od rovnice priamky s uhlovým koeficientom k iným typom rovnice priamky a naopak.
Napriek všetkej známosti nie je pri riešení problémov vždy vhodné použiť rovnicu priamky s uhlovým koeficientom. V niektorých prípadoch sa problémy riešia ľahšie, keď je rovnica priamky prezentovaná v inej forme. Napríklad rovnica priamky s uhlovým koeficientom vám neumožňuje okamžite zapísať súradnice smerového vektora priamky alebo súradnice normálového vektora priamky. Preto by ste sa mali naučiť prechádzať od rovnice priamky s uhlovým koeficientom k iným typom rovníc tejto priamky.
Z rovnice priamky s uhlovým koeficientom je ľahké získať kanonickú rovnicu priamky na rovine tvaru 
. Aby sme to urobili, presunieme člen b z pravej strany rovnice na ľavú stranu s opačným znamienkom, potom obe strany výslednej rovnosti vydelíme sklonom k: . Tieto akcie nás vedú od rovnice priamky s uhlovým koeficientom ku kanonickej rovnici priamky.
Príklad.
Uveďte rovnicu priamky s uhlovým koeficientom 
na kánonickú formu.
Riešenie.
Vykonajte potrebné transformácie: .
odpoveď:
Príklad.
Priamka je daná rovnicou priamky s uhlovým koeficientom. Je vektor normálnym vektorom tejto priamky?
Riešenie.
Aby sme tento problém vyriešili, prejdime od rovnice priamky s uhlovým koeficientom k všeobecnej rovnici tejto priamky: 
. Vieme, že koeficienty premenných x a y vo všeobecnej rovnici priamky sú zodpovedajúcimi súradnicami normálového vektora tejto priamky, teda normálového vektora priamky. 
. Je zrejmé, že vektor je kolineárny s vektorom, pretože vzťah je platný (ak je to potrebné, pozri článok). Pôvodný vektor je teda tiež normálnym čiarovým vektorom , a preto je normálnym vektorom a pôvodnou čiarou.
odpoveď:
Áno, je.
A teraz budeme riešiť inverzný problém - problém redukcie rovnice priamky v rovine na rovnicu priamky s uhlovým koeficientom.
Zo všeobecnej priamkovej rovnice formulára 
, v ktorom je veľmi jednoduché prejsť na rovnicu s koeficientom sklonu. Aby ste to dosiahli, musíte vyriešiť všeobecnú rovnicu priamky vzhľadom na y. V tomto prípade dostaneme . Výsledná rovnosť je rovnica priamky s uhlovým koeficientom rovným .
Pokračovanie témy, rovnica priamky v rovine je založená na štúdiu priamky z hodín algebry. Tento článok poskytuje všeobecné informácie o téme rovnice priamky so sklonom. Uvažujme o definíciách, získajme samotnú rovnicu a identifikujme spojenie s inými typmi rovníc. Všetko sa bude diskutovať na príkladoch riešenia problémov.
Pred napísaním takejto rovnice je potrebné definovať uhol sklonu priamky k osi O x s ich uhlovým koeficientom. Predpokladajme, že je daný kartézsky súradnicový systém O x v rovine.
Definícia 1
uhol sklonu priamky k osi O x, umiestnený v karteziánskom súradnicovom systéme O x y v rovine, je to uhol, ktorý sa meria od kladného smeru O x k priamke proti smeru hodinových ručičiek.
Keď je čiara rovnobežná s Ox alebo sa v nej zhoduje, uhol sklonu je 0. Potom je uhol sklonu danej priamky α definovaný na intervale [ 0 , π) .
Definícia 2
Priamy svah je dotyčnica uhla sklonu danej priamky.
Štandardné označenie je k. Z definície zistíme, že k = t g α . Keď je čiara rovnobežná s Oxom, hovoria, že sklon neexistuje, pretože ide do nekonečna.
Sklon je kladný, keď sa graf funkcie zvyšuje a naopak. Na obrázku sú znázornené rôzne variácie umiestnenia pravého uhla voči súradnicovému systému s hodnotou koeficientu.
Na nájdenie tohto uhla je potrebné použiť definíciu uhlového koeficientu a vypočítať tangentu uhla sklonu v rovine.
Riešenie
Z podmienky máme, že α = 120°. Podľa definície sa musí vypočítať sklon. Zistime to zo vzorca k = t g α = 120 = - 3.
odpoveď: k = - 3 .
Ak je známy uhlový koeficient a je potrebné nájsť uhol sklonu k osi x, potom by sa mala brať do úvahy hodnota uhlového koeficientu. Ak k > 0, potom je pravý uhol ostrý a nájdeme ho podľa vzorca α = a r c t g k. Ak k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .
Príklad 2
Určte uhol sklonu danej priamky k O x s uhlovým koeficientom 3.
Riešenie
Z podmienky máme, že uhlový koeficient je kladný, čo znamená, že uhol sklonu k O x je menší ako 90 stupňov. Výpočty sa robia pomocou vzorca α = a r c t g k = a r c t g 3.
Odpoveď: α = a r c t g 3 .
Príklad 3
Nájdite uhol sklonu priamky k osi O x, ak sklon = -1 3.
Riešenie
Ak zoberieme písmeno k ako označenie uhlového koeficientu, tak α je uhol sklonu k danej priamke v kladnom smere O x. Preto k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:
α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6.
odpoveď: 5 π 6 .
Rovnica v tvare y = k x + b, kde k je sklon a b je nejaké reálne číslo, sa nazýva rovnica priamky so sklonom. Rovnica je typická pre akúkoľvek priamku, ktorá nie je rovnobežná s osou O y.
Ak podrobne zvážime priamku v rovine v pevnom súradnicovom systéme, ktorá je určená rovnicou s uhlovým koeficientom, ktorá má tvar y = k x + b. V tomto prípade to znamená, že rovnica zodpovedá súradniciam ľubovoľného bodu na priamke. Ak dosadíme súradnice bodu M, M 1 (x 1, y 1) do rovnice y = k x + b, tak v tomto prípade bude priamka prechádzať týmto bodom, inak bod do priamky nepatrí.
Príklad 4
Je daná priamka so sklonom y = 1 3 x - 1. Vypočítajte, či body M 1 (3, 0) a M 2 (2, - 2) patria danej priamke.
Riešenie
Do danej rovnice je potrebné dosadiť súradnice bodu M 1 (3, 0), potom dostaneme 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0. Rovnosť je pravdivá, čo znamená, že bod patrí k čiare.
Ak dosadíme súradnice bodu M 2 (2, - 2), dostaneme nesprávnu rovnosť tvaru - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3. Môžeme konštatovať, že bod M 2 nepatrí do priamky.
odpoveď: M 1 patrí do radu, ale M 2 nie.
Je známe, že priamka je definovaná rovnicou y = k · x + b, prechádzajúcou cez M 1 (0, b), pri dosadení dostaneme rovnosť tvaru b = k · 0 + b ⇔ b = b. Z toho môžeme usúdiť, že rovnica priamky s uhlovým koeficientom y = k x + b v rovine definuje priamku, ktorá prechádza bodom 0, b. S kladným smerom osi O x zviera uhol α, kde k = t g α.
Uvažujme ako príklad priamku definovanú pomocou uhlového koeficientu špecifikovaného v tvare y = 3 x - 1. Dostaneme, že priamka bude prechádzať bodom so súradnicou 0, - 1 so sklonom α = a r c t g 3 = π 3 radiánov v kladnom smere osi O x. To ukazuje, že koeficient je 3.
Rovnica priamky so sklonom prechádzajúcim daným bodom
Je potrebné vyriešiť úlohu, kde je potrebné získať rovnicu priamky s daným sklonom prechádzajúcej bodom M 1 (x 1, y 1).
Rovnosť y 1 = k · x + b môžeme považovať za platnú, keďže priamka prechádza bodom M 1 (x 1, y 1). Na odstránenie čísla b je potrebné odčítať rovnicu so sklonom z ľavej a pravej strany. Z toho vyplýva, že y - y 1 = k · (x - x 1) . Táto rovnosť sa nazýva rovnica priamky s daným sklonom k, prechádzajúcej súradnicami bodu M 1 (x 1, y 1).
Príklad 5
Napíšte rovnicu pre priamku prechádzajúcu bodom M 1 so súradnicami (4, - 1), s uhlovým koeficientom rovným - 2.
Riešenie
Podľa podmienky máme, že x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2. Odtiaľ bude rovnica priamky napísaná takto: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .
odpoveď: y = -2 x + 7.
Príklad 6
Napíšte rovnicu priamky s uhlovým koeficientom, ktorá prechádza bodom M 1 so súradnicami (3, 5), rovnobežnou s priamkou y = 2 x - 2.
Riešenie
Podmienkou máme, že rovnobežné čiary majú rovnaké uhly sklonu, čo znamená, že uhlové koeficienty sú rovnaké. Aby ste našli sklon z tejto rovnice, musíte si zapamätať jej základný vzorec y = 2 x - 2, z toho vyplýva, že k = 2. Zostavíme rovnicu s koeficientom sklonu a dostaneme:
y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1
odpoveď: y = 2 x - 1 .
Prechod z rovnej priamky so sklonom k iným typom rovníc priamky a späť
Táto rovnica nie je vždy použiteľná na riešenie problémov, pretože nie je príliš vhodne napísaná. Ak to chcete urobiť, musíte ho prezentovať v inej forme. Napríklad rovnica tvaru y = k x + b nám neumožňuje zapísať súradnice smerového vektora priamky ani súradnice normálového vektora. Aby ste to dosiahli, musíte sa naučiť reprezentovať pomocou rovníc iného typu.
Kanonickú rovnicu priamky na rovine môžeme získať pomocou rovnice priamky s uhlovým koeficientom. Dostaneme x - x 1 a x = y - y 1 a y . Je potrebné posunúť člen b na ľavú stranu a deliť vyjadrením výslednej nerovnosti. Potom dostaneme rovnicu v tvare y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k.
Rovnica priamky so sklonom sa stala kanonickou rovnicou tejto priamky.
Príklad 7
Uveďte rovnicu priamky s uhlovým koeficientom y = - 3 x + 12 do kanonickej podoby.
Riešenie
Vypočítajme a prezentujme ju vo forme kanonickej rovnice priamky. Dostaneme rovnicu v tvare:
y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3
Odpoveď: x 1 = y - 12 - 3.
Všeobecnú rovnicu priamky je najjednoduchšie získať z y = k · x + b, ale na to je potrebné vykonať transformácie: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0. Prechádza sa zo všeobecnej rovnice priamky na rovnice iného typu.
Príklad 8
Daná priama rovnica tvaru y = 1 7 x - 2 . Zistite, či vektor so súradnicami a → = (- 1, 7) je normálny čiarový vektor?
Riešenie
Na vyriešenie je potrebné prejsť na inú formu tejto rovnice, preto píšeme:
y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0
Koeficienty pred premennými sú súradnice normálového vektora priamky. Zapíšme si to takto: n → = 1 7, - 1, teda 1 7 x - y - 2 = 0. Je jasné, že vektor a → = (- 1, 7) je kolineárny s vektorom n → = 1 7, - 1, keďže máme spravodlivý vzťah a → = - 7 · n →. Z toho vyplýva, že pôvodný vektor a → = - 1, 7 je normálový vektor priamky 1 7 x - y - 2 = 0, čo znamená, že sa považuje za normálový vektor pre priamku y = 1 7 x - 2.
odpoveď: Je
Poďme vyriešiť inverzný problém tohto.
Je potrebné prejsť od všeobecného tvaru rovnice A x + B y + C = 0, kde B ≠ 0, k rovnici s uhlovým koeficientom. Aby sme to dosiahli, riešime rovnicu pre y. Dostaneme A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .
Výsledkom je rovnica so sklonom rovným -A B.
Príklad 9
Je daná priama rovnica v tvare 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Získajte rovnicu danej priamky s uhlovým koeficientom.
Riešenie
Na základe podmienky je potrebné vyriešiť pre y, potom dostaneme rovnicu v tvare:
2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .
Odpoveď: y = 1 6 x + 1 4 .
Podobným spôsobom sa rieši rovnica tvaru x a + y b = 1, ktorá sa nazýva rovnica priamky v segmentoch alebo kanonická v tvare x - x 1 a x = y - y 1 a y. Musíme to vyriešiť pre y, až potom dostaneme rovnicu so sklonom:
x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a · x + b.
Kanonická rovnica môže byť zredukovaná na formu s uhlovým koeficientom. Pre to:
x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x - a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x x x - a y a x x x 1 + y 1
Príklad 10
Existuje priamka daná rovnicou x 2 + y - 3 = 1. Redukujte na formu rovnice s uhlovým koeficientom.
Riešenie.
Na základe podmienky je potrebné transformovať, potom získame rovnicu v tvare _vzorec_. Obidve strany rovnice sa musia vynásobiť -3, aby sa získala požadovaná rovnica sklonu. Transformáciou dostaneme:
y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .
odpoveď: y = 3 2 x - 3.
Príklad 11
Rovnicu priamky tvaru x - 2 2 = y + 1 5 zredukujte na tvar s uhlovým koeficientom.
Riešenie
Je potrebné vypočítať výraz x - 2 2 = y + 1 5 ako podiel. Dostaneme, že 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Teraz ho musíte úplne povoliť, aby ste to urobili:
5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 r + 2 ⇔ 2 r = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x
Odpoveď: y = 5 2 x - 6 .
Na vyriešenie takýchto problémov by sa parametrické rovnice priamky v tvare x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ mali zredukovať na kanonickú rovnicu priamky, až potom možno prejsť na rovnicu s koeficient sklonu.
Príklad 12
Nájdite sklon priamky, ak je daný parametrickými rovnicami x = λ y = - 1 + 2 · λ.
Riešenie
Je potrebné prejsť z parametrického pohľadu do svahu. Na tento účel nájdeme kanonickú rovnicu z danej parametrickej rovnice:
x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .
Teraz je potrebné vyriešiť túto rovnosť vzhľadom na y, aby sme dostali rovnicu priamky s uhlovým koeficientom. Ak to chcete urobiť, napíšme to takto:
x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1
Z toho vyplýva, že sklon čiary je 2. Toto je napísané ako k = 2.
odpoveď: k = 2.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Nech na rovine, kde je pravouhlý karteziánsky súradnicový systém, priamka l prechádza bodom M 0 rovnobežne so smerovým vektorom A (Obr. 96).
Ak rovno l pretína os O X(v bode N), potom pod uhlom priamky l s osou O X pochopíme uhol α, o ktorý je potrebné os O pootočiť X okolo bodu N v smere opačnom k otáčaniu v smere hodinových ručičiek, takže os O X sa zhodoval s priamkou l. (Toto sa vzťahuje na uhol menší ako 180°.)
Tento uhol sa nazýva uhol sklonu rovno. Ak rovno l rovnobežne s osou O X, potom sa predpokladá, že uhol sklonu je nulový (obr. 97).
Tangenta uhla sklonu priamky sa nazýva sklon priamky a zvyčajne sa označuje písmenom k:
tan α = k. (1)
Ak α = 0, potom k= 0; to znamená, že čiara je rovnobežná s osou O X a jeho sklon je nulový.
Ak α = 90°, potom k= tan α nedáva zmysel: to znamená, že priamka kolmá na os O X(t. j. rovnobežne s osou O pri), nemá sklon.
Sklon priamky možno vypočítať, ak sú známe súradnice akýchkoľvek dvoch bodov na tejto priamke. Nech sú dané dva body na priamke: M 1 ( X 1 ; pri 1) a M 2 ( X 2 ; pri 2) a nech je napríklad 0< α < 90°, а X 2 > X 1 , pri 2 > pri 1 (obr. 98).
Potom z pravouhlého trojuholníka M 1 PM 2 nájdeme
$$ k=tga = \frac(|M_2 P|)(|M_1 P|) = \frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1) $$
$$ k=\frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1) \;\; (2) $$
Podobne je dokázané, že vzorec (2) platí aj v prípade 90°< α < 180°.
Vzorec (2) stráca zmysel, ak X 2 - X 1 = 0, t.j. ak je rovný l rovnobežne s osou O pri. Pre takéto priame čiary neexistuje koeficient sklonu.
Úloha 1. Určte uhlový koeficient prvočísla prechádzajúceho bodmi
M1 (3; -5) a M2 (5; -7).
Dosadením súradníc bodov M 1 a M 2 do vzorca (2) dostaneme
\(k=\frac(-7-(-5))(5-3)\) alebo k = -1
Úloha 2. Určte sklon priamky prechádzajúcej bodmi M 1 (3; 5) a M 2 (3; -2).
Pretože X 2 - X 1 = 0, potom rovnosť (2) stráca zmysel. Pre túto priamku nie je sklon. Priamka M 1 M 2 je rovnobežná s osou O pri.
Úloha 3. Určte sklon priamky prechádzajúcej počiatkom a bodom M 1 (3; -5)
V tomto prípade sa bod M 2 zhoduje s pôvodom. Aplikovaním vzorca (2) dostaneme
$$ k=\frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1)=\frac(0-(-5))(0-3)= -\frac(5)(3); \;\; k= -\frac(5)(3) $$
Vytvorme rovnicu priamky s uhlovým koeficientom k, prechádzajúci bodom
M 1 ( X 1 ; pri 1). Podľa vzorca (2) sa uhlový koeficient priamky zistí zo súradníc jej dvoch bodov. V našom prípade je daný bod M 1 a ako druhý bod môžeme vziať ľubovoľný bod M( X; pri) požadovaná priamka.
Ak bod M leží na priamke, ktorá prechádza bodom M 1 a má uhlový koeficient k, potom na základe vzorca (2) máme
$$ \frac(y-y_1)(x-x_1)=k \;\; (3) $$
Ak bod M neleží na priamke, tak rovnosť (3) neplatí. V dôsledku toho je rovnosť (3) rovnicou priamky prechádzajúcej bodom M 1 ( X 1 ; pri 1) so sklonom k; táto rovnica sa zvyčajne píše ako
r- r 1 = k(X - X 1). (4)
Ak priamka pretína os O pri v určitom okamihu (0; b), potom rovnica (4) nadobúda tvar
pri - b = k (X- 0),
r = kx + b. (5)
Táto rovnica sa nazýva rovnica priamky so sklonom k a začiatočnou ordinátou b.
Úloha 4. Nájdite uhol sklonu priamky √3 x + 3pri - 7 = 0.
Zredukujeme túto rovnicu do tvaru
$$ y= =\frac(1)(\sqrt3)x + \frac(7)(3) $$
teda k= tan α = - 1 / √ 3, odkiaľ α = 150°
Úloha 5. Napíšte rovnicu pre priamku prechádzajúcu bodom P(3; -4) s uhlovým koeficientom k = 2 / 5
Nahrádzanie k = 2 / 5 , X 1 = 3, r 1 = - 4 do rovnice (4), dostaneme
pri - (- 4) = 2 / 5 (X- 3) alebo 2 X - 5pri - 26 = 0.
Úloha 6. Napíšte rovnicu pre priamku prechádzajúcu bodom Q (-3; 4) a komponentom s kladným smerom osi O X uhol 30°.
Ak α = 30°, potom k= tan 30° = √ 3/3. Dosadenie hodnôt do rovnice (4). X 1 , r 1 a k, dostaneme
pri -4 = √ 3 / 3 (X+ 3) alebo √3 X-3r + 12 + 3√3 = 0.
Načítava...