Pre stredoškolákov bude užitočné naučiť sa riešiť USE úlohy na zistenie objemu a iných neznámych parametrov pravouhlého rovnobežnostena. Skúsenosti z minulých rokov potvrdzujú, že takéto úlohy sú pre mnohých absolventov dosť náročné.

Študenti stredných škôl s akoukoľvek úrovňou výcviku by zároveň mali pochopiť, ako nájsť objem alebo plochu pravouhlého rovnobežnostena. Len v tomto prípade budú môcť počítať so získaním súťažných bodov na základe výsledkov zloženia jednotnej štátnej skúšky z matematiky.

Kľúčové body na zapamätanie

Rovnobežníky, ktoré tvoria rovnobežnosten, sú jeho strany, ich strany sú hrany. Vrcholy týchto obrazcov sa považujú za vrcholy samotného mnohostenu.
Všetky uhlopriečky kvádra sú rovnaké. Keďže ide o priamy mnohosten, bočné strany sú obdĺžniky.
Keďže rovnobežnosten je hranol s rovnobežníkom na jeho základni, tento obrazec má všetky vlastnosti hranola.
Bočné okraje pravouhlého rovnobežnostena sú kolmé na základňu. Preto sú jeho výškami.

Pripravte sa na skúšku spolu so Shkolkovo!

Aby bolo vyučovanie jednoduché a čo najefektívnejšie, vyberte si náš matematický portál. Tu nájdete všetok potrebný materiál, ktorý bude potrebný v štádiu prípravy na jednotnú štátnu skúšku.

Špecialisti vzdelávacieho projektu "Shkolkovo" navrhujú prejsť od jednoduchého k zložitému: najprv dáme teóriu, základné vzorce a elementárne úlohy s riešeniami a potom postupne prejdeme na úlohy na expertnej úrovni. Cvičiť môžete napríklad s .

Potrebné základné informácie nájdete v časti „Teoretická referencia“. Môžete tiež okamžite začať riešiť problémy na tému "Obdĺžnikový rovnobežnostěn" online. V sekcii "Katalóg" je veľký výber cvikov rôzneho stupňa náročnosti. Základ úloh je pravidelne aktualizovaný.

Skontrolujte, či práve teraz môžete ľahko nájsť objem kvádra. Rozoberte akúkoľvek úlohu. Ak je pre vás cvičenie ľahké, prejdite na ťažšie úlohy. A ak sa vyskytnú určité ťažkosti, odporúčame vám naplánovať si deň tak, aby váš rozvrh zahŕňal hodiny so vzdialeným portálom Shkolkovo.

Kváder je druh mnohostenu pozostávajúceho zo 6 plôch, z ktorých každá je obdĺžnik. Diagonála je zase segment, ktorý spája opačné vrcholy rovnobežníka. Jeho dĺžku možno zistiť dvoma spôsobmi.

Budete potrebovať

Poznať dĺžku všetkých strán rovnobežníka.

Inštrukcia

1. Metóda 1. Je daný pravouhlý rovnobežnosten so stranami a, b, c a uhlopriečkou d. Podľa jednej z vlastností rovnobežníka sa štvorec uhlopriečky rovná súčtu štvorcov jej 3 strán. Z toho vyplýva, že dĺžku samotnej uhlopriečky je možné vypočítať s podporou vytiahnutia štvorca z daného súčtu (obr. 1).

2. Metóda 2. Je možné, že kváder je kocka. Kocka je pravouhlý hranol, v ktorom je každá plocha reprezentovaná štvorcom. Preto sú všetky jeho strany rovnaké. Potom vzorec na výpočet dĺžky jej uhlopriečky bude vyjadrený takto: d = a*?3

Rovnobežník je špeciálny prípad hranola, ktorého všetkých šesť plôch sú rovnobežníky alebo obdĺžniky. Rovnobežník s pravouhlými plochami sa tiež nazýva obdĺžnikový. Rovnobežník má štyri pretínajúce sa uhlopriečky. Vzhľadom na tri hrany a, b, c je možné pomocou dodatočných konštrukcií nájsť všetky uhlopriečky kvádra.

Inštrukcia

1. Nakreslite obdĺžnikovú škatuľu. Zapíšte si riadené dáta: tri hrany a, b, c. Najprv postavte jednu uhlopriečku m. Na jej určenie používame kvalitu pravouhlého rovnobežnostena, podľa ktorej sú všetky jeho rohy správne.

2. Zostrojte uhlopriečku n jednej zo strán rovnobežnostena. Konštrukciu vykonajte tak, aby slávna hrana, požadovaná uhlopriečka rovnobežnostena a uhlopriečka čela spolu tvorili pravouhlý trojuholník a, n, m.

3. Zistite uhlopriečku postavenej tváre. Je to prepona iného pravouhlého trojuholníka b, c, n. Podľa Pytagorovej vety n² = c² + b². Vypočítajte tento výraz a vezmite druhú odmocninu z výslednej hodnoty - to bude uhlopriečka plochy n.

4. Nájdite uhlopriečku krabice m. Ak to chcete urobiť, v pravouhlom trojuholníku a, n, m nájdite neznámu preponu: m² = n² + a². Dosaďte známe hodnoty a potom vypočítajte druhú odmocninu. Výsledným výsledkom bude prvá uhlopriečka rovnobežnostena m.

5. Podobne nakreslite v krokoch všetky ostatné tri uhlopriečky rovnobežnostena. Tiež pre všetky z nich vykonajte dodatočné konštrukcie uhlopriečok susedných plôch. Ak vezmeme do úvahy vytvorené pravouhlé trojuholníky a použijeme Pytagorovu vetu, nájdite hodnoty zostávajúcich uhlopriečok pravouhlého rovnobežnostena.

Podobné videá

Mnoho skutočných predmetov má tvar rovnobežnostena. Príkladom je miestnosť a bazén. Časti, ktoré majú tento tvar, nie sú v priemysle nezvyčajné. Z tohto dôvodu často vzniká problém nájsť objem daného údaja.

Inštrukcia

1. Rovnobežník je hranol, ktorého základňou je rovnobežník. Rovnobežník má tváre - všetky roviny, ktoré tvoria daný obrazec. Každá má šesť plôch a všetky sú rovnobežníky. Jeho protiľahlé strany sú rovnaké a navzájom rovnobežné. Navyše má uhlopriečky, ktoré sa pretínajú v jednom bode a v ňom sú rozdelené na polovicu.

2. Rovnobežník je 2 typov. V prvom sú všetky plochy rovnobežníky a v druhom sú všetky obdĺžniky. Posledný sa nazýva pravouhlý rovnobežnosten. Má všetky pravouhlé plochy a bočné plochy sú kolmé na základňu. Ak má obdĺžnikový rovnobežnosten plochy, ktorých základne sú štvorce, potom sa nazýva kocka. V tomto prípade sú jeho plochy a okraje rovnaké. Hrana je strana akéhokoľvek mnohostenu, ktorý obsahuje rovnobežnosten.

3. Aby ste našli objem rovnobežnostena, musíte poznať oblasť jeho základne a výšku. Objem sa zistí na základe toho, ktorý konkrétny rovnobežnosten sa objaví v podmienkach problému. Bežný rovnobežnosten má na svojej základni rovnobežník, zatiaľ čo obdĺžnikový má obdĺžnik alebo štvorec, ktorý má vždy pravé uhly. Ak rovnobežník leží na základni rovnobežnostena, jeho objem sa zistí nasledujúcim spôsobom: V \u003d S * H, kde S je plocha základne, H je výška rovnobežnostena. Výška rovnobežnostena je zvyčajne jeho bočná hrana. Základňa rovnobežnostena môže obsahovať aj rovnobežník, ktorý nie je obdĺžnikom. Z priebehu planimetrie je známe, že plocha rovnobežníka sa rovná: S=a*h, kde h je výška rovnobežníka, a je dĺžka základne, t.j. :V=a*hp*H

4. Ak nastane druhý prípad, keď základňa kvádra je obdĺžnik, potom sa objem vypočíta pomocou rovnakého vzorca, ale plocha základne sa zistí trochu iným spôsobom: V=S*H,S= a*b, kde a a b sú bočné obdĺžniky a hrana rovnobežnostena. V=a*b*H

5. Ak chcete nájsť objem kocky, mali by ste sa riadiť primitívnymi logickými metódami. Zo skutočnosti, že všetky steny a hrany kocky sú rovnaké a na základni kocky je štvorec, vedený vzorcami uvedenými vyššie, je možné odvodiť nasledujúci vzorec: V \u003d a ^ 3

Uzavretý geometrický útvar tvorený dvoma pármi rovnobežných segmentov rovnakej dĺžky ležiacich oproti sebe sa nazýva rovnobežník. Rovnobežník so všetkými uhlami rovnými 90° sa tiež nazýva obdĺžnik. Na tomto obrázku je dovolené nakresliť dva segmenty rovnakej dĺžky spájajúce protiľahlé vrcholy - diagonály. Dĺžka týchto uhlopriečok sa vypočíta niekoľkými metódami.

Inštrukcia

1. Ak sú známe dĺžky 2 susedných strán obdĺžnik(A a B), potom je určenie dĺžky uhlopriečky (C) veľmi primitívne. Predpokladám že uhlopriečka leží oproti pravému uhlu v trojuholníku, ktorý tvorí ona a tieto dve strany. To vám umožňuje použiť Pytagorovu vetu vo výpočtoch a vypočítať dĺžku uhlopriečky nájdením druhej odmocniny súčtu štvorcových dĺžok známych strán: C \u003d v (A? + B?).

2. Ak je známa dĺžka len jednej strany obdĺžnik(A), ako aj hodnotu uhla (?), ktorý s ním tvorí uhlopriečka, potom na výpočet dĺžky tejto uhlopriečky (C) budete musieť použiť jednu z priamych goniometrických funkcií - kosínus. Vydeľte dĺžku hnanej strany kosínusom známeho uhla - bude to požadovaná dĺžka uhlopriečky: C \u003d A / cos (?).

3. Ak je obdĺžnik daný súradnicami jeho vrcholov, potom sa úloha výpočtu dĺžky jeho uhlopriečky zredukuje na nájdenie vzdialenosti medzi dvoma bodmi v tomto súradnicovom systéme. Aplikujte Pytagorovu vetu na trojuholník, ktorý tvorí priemet uhlopriečky na niektorú zo súradnicových osí. Je možné, že obdĺžnik v dvojrozmerných súradniciach tvoria vrcholy A(X?;Y?), B(X?;Y?), C(X?;Y?) a D(X?;Y? ). Potom musíte vypočítať vzdialenosť medzi bodmi A a C. Dĺžka priemetu tohto segmentu na os X sa bude rovnať modulu rozdielu súradníc |X?-X?| a priemetu na os Y - |Y?-Y?|. Uhol medzi osami je 90°, z čoho vyplýva, že tieto dva výbežky sú nohy a dĺžka uhlopriečky (hypotenzy) sa rovná druhej odmocnine súčtu druhých mocnín ich dĺžok: AC=v(( X=-X?)+(Y=-Y?)?).

4. Ak chcete nájsť uhlopriečku obdĺžnik v trojrozmernom súradnicovom systéme postupujte rovnako ako v predchádzajúcom kroku, len do vzorca pripočítajte dĺžku priemetu na tretiu súradnicovú os: AC=v((X?-X?)?+(Y) a-Y?)?+(Z=-Z?)?).

Podobné videá

V pamäti mnohých zostal matematický vtip: Pythagorejské nohavice sú si rovné vo všetkých smeroch. Použite ho na výpočet uhlopriečka obdĺžnik .

Budete potrebovať

List papiera, pravítko, ceruzka, kalkulačka s funkciou výpočtu koreňov.

Inštrukcia

1. Obdĺžnik je štvoruholník so všetkými pravými uhlami. Uhlopriečka obdĺžnikÚsečka, ktorá spája dva protiľahlé vrcholy.

2. Na list papiera pomocou pravítka a ceruzky nakreslite ľubovoľný obdĺžnik ABCD. Je lepšie to urobiť na štvorcovom hárku notebooku - bude jednoduchšie kresliť pravé uhly. Zjednoťte sa so segmentom vrcholov obdĺžnik A a C. Výsledný segment AC je uhlopriečka Yu obdĺžnik A B C D.

3. Poznámka, uhlopriečka AC rozdelil obdĺžnik ABCD na trojuholníky ABC a ACD. Výsledné trojuholníky ABC a ACD sú pravouhlé trojuholníky, pretože uhly ABC a ADC sú 90 stupňov obdĺžnik). Pamätajte na Pytagorovu vetu - druhá mocnina prepony sa rovná súčtu štvorcov nôh.

4. Prepona je strana trojuholníka, ktorá je oproti pravému uhlu. Nohy sú strany trojuholníka susediace s pravým uhlom. Pokiaľ ide o trojuholníky ABC a ACD: AB a BC, AD a DC - nohy, AC - univerzálna prepona pre oba trojuholníky (požadovaná uhlopriečka). Preto AC na druhú = AB na druhú + BC na druhú alebo AC na druhú = AD na druhú + DC na druhú. Zasuňte dĺžky strán obdĺžnik do vyššie uvedeného vzorca a vypočítajte dĺžku prepony (uhlopriečku obdĺžnik).

5. Povedzme strany obdĺžnik ABCD sa rovnajú ďalším hodnotám: AB = 5 cm a BC = 7 cm. Druhá mocnina uhlopriečky AC daného obdĺžnik vypočítané podľa Pytagorovej vety: AC štvorec \u003d AB štvorec + BC štvorec \u003d 52 + 72 \u003d 25 + 49 \u003d 74 cm štvorcových. Pomocou kalkulačky vypočítajte druhú odmocninu zo 74. Mali by ste dostať 8,6 cm (zaokrúhlené nahor). Majte na pamäti, že jedna z vlastností obdĺžnik, jeho uhlopriečky sú rovnaké. Čiže dĺžka 2. uhlopriečky BD obdĺžnik ABCD sa rovná dĺžke uhlopriečky AC. Pre vyššie uvedený príklad je táto hodnota 8,6 cm.

Podobné videá

Tip 6: Ako nájsť uhlopriečku rovnobežníka s danými stranami

Rovnobežník je štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú rovnobežné. Priame čiary spájajúce jeho opačné uhly sa nazývajú uhlopriečky. Ich dĺžka závisí nielen od dĺžok strán obrázku, ale aj od uhlov vo vrcholoch tohto mnohouholníka, preto bez znalosti pravdivosti jedného z uhlov je možné vypočítať iba dĺžky uhlopriečok. vo výnimočných prípadoch. Ide o špeciálne prípady rovnobežníka – štvorca a obdĺžnika.

Inštrukcia

1. Ak sú dĺžky všetkých strán rovnobežníka rovnaké (a), potom sa tento údaj môže nazývať aj štvorec. Hodnoty všetkých jeho uhlov sa rovnajú 90° a dĺžky uhlopriečok (L) sú identické a možno ich vypočítať pomocou Pytagorovej vety pre pravouhlý trojuholník. Vynásobte dĺžku strany štvorca odmocninou z dvoch - výsledkom bude dĺžka ktorejkoľvek z jeho uhlopriečok: L=a*?2.

2. Ak je o rovnobežníku známe, že ide o obdĺžnik s dĺžkou (a) a šírkou (b) špecifikovanou v podmienkach, tak v tomto prípade budú dĺžky uhlopriečok (L) rovnaké. A aj tu použite Pytagorovu vetu pre trojuholník, v ktorom prepona je uhlopriečka a nohy sú dve susedné strany štvoruholníka. Vypočítajte požadovanú hodnotu vytiahnutím odmocniny súčtu druhej mocniny šírky a výšky obdĺžnika: L=?(a?+b?).

3. Vo všetkých ostatných prípadoch stačí zručnosť dĺžok strán len na určenie hodnoty, ktorá zahŕňa dĺžky oboch uhlopriečok naraz - súčet ich štvorcov sa podľa definície rovná dvojnásobku súčtu štvorcov dĺžky strán. Ak je okrem dĺžok 2 susedných strán rovnobežníka (a a b) známy aj uhol medzi nimi (?), potom nám to umožní vypočítať dĺžky ľubovoľného segmentu spájajúceho protiľahlé rohy obrázku. . Nájdite dĺžku uhlopriečky (L?), ktorá leží oproti riadenému uhlu, pomocou kosínusovej vety - pridajte druhé mocniny dĺžok susedných strán, odpočítajte súčin rovnakých dĺžok o kosínus uhla medzi nimi od súčtu a extrahujte druhú odmocninu z výslednej hodnoty: L? = ?(a?+b?-2*a*b*cos(?)). Na zistenie dĺžky ďalšej uhlopriečky (L?) môžete použiť vlastnosť rovnobežníka uvedenú na začiatku tohto kroku - zdvojnásobte súčet druhých mocnín dĺžok 2 strán, od celkovej uhlopriečky odčítajte štvorec užší ako vypočítaná uhlopriečka. a extrahujte koreň z výslednej hodnoty. Vo všeobecnom tvare môže byť tento vzorec napísaný takto: L? = ?(a?+b?- L??) =?(a?+b?-(a?+b?-2*a*b*cos(?))) =?(a?+b?- a?-b?+2*a*b*cos(?)) = ?(2*a*b*cos(?)).

V tejto lekcii si každý bude môcť preštudovať tému „Obdĺžnikový box“. Na začiatku hodiny si zopakujeme, čo sú ľubovoľné a rovné rovnobežnosteny, pripomenieme si vlastnosti ich protiľahlých plôch a uhlopriečok rovnobežnostena. Potom zvážime, čo je kváder a prediskutujeme jeho hlavné vlastnosti.

Téma: Kolmosť priamok a rovín

Lekcia: Kocka

Plocha zložená z dvoch rovnakých rovnobežníkov ABCD a A 1 B 1 C 1 D 1 a štyroch rovnobežníkov ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 sa nazýva rovnobežnosten(obr. 1).

Ryža. 1 rovnobežník

To znamená: máme dva rovnaké rovnobežníky ABCD a A 1 B 1 C 1 D 1 (základne), ležia v rovnobežných rovinách tak, že bočné hrany AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 sú rovnobežné. Tak sa nazýva plocha zložená z rovnobežníkov rovnobežnosten.

Povrch rovnobežnostena je teda súčtom všetkých rovnobežníkov, ktoré tvoria rovnobežnosten.

1. Protiľahlé strany rovnobežnostena sú rovnobežné a rovnaké.

(čísla sú rovnaké, to znamená, že ich možno kombinovať prekrytím)

Napríklad:

ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (rovnaké rovnobežníky podľa definície),

AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (keďže AA 1 B 1 B a DD 1 C 1 C sú opačné strany rovnobežnostena),

AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (pretože AA 1 D 1 D a BB 1 C 1 C sú opačné strany rovnobežnostena).

2. Uhlopriečky rovnobežnostena sa pretínajú v jednom bode a pretínajú tento bod.

Uhlopriečky rovnobežnostena AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B sa pretínajú v jednom bode O, pričom každá diagonála je týmto bodom rozdelená na polovicu (obr. 2).

Ryža. 2 Uhlopriečky rovnobežnostena pretínajú a pretínajú priesečník.

3. K dispozícii sú tri štvorce rovnakých a rovnobežných hrán rovnobežnostena: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.

Definícia. Rovnobežník sa nazýva rovný, ak sú jeho bočné okraje kolmé na základne.

Bočná hrana AA 1 nech je kolmá na základňu (obr. 3). To znamená, že priamka AA 1 je kolmá na priamky AD a AB, ktoré ležia v rovine podstavy. A preto obdĺžniky ležia na bočných plochách. A základňami sú ľubovoľné rovnobežníky. Označme ∠BAD = φ, uhol φ môže byť ľubovoľný.

Ryža. 3 Pravý box

Pravá krabica je teda krabica, v ktorej sú bočné okraje kolmé na základne krabice.

Definícia. Rovnobežník sa nazýva obdĺžnikový, ak sú jeho bočné okraje kolmé na základňu. Základy sú obdĺžniky.

Rovnobežník АВСДА 1 В 1 С 1 D 1 je pravouhlý (obr. 4), ak:

1. AA 1 ⊥ ABCD (bočná hrana je kolmá na rovinu základne, teda rovný rovnobežnosten).

2. ∠BAD = 90°, t.j. základňa je obdĺžnik.

Ryža. 4 Kváder

Obdĺžnikový box má všetky vlastnosti ľubovoľného boxu. Existujú však ďalšie vlastnosti, ktoré sú odvodené z definície kvádra.

takže, kváder je rovnobežnosten, ktorého bočné okraje sú kolmé na základňu. Základom kvádra je obdĺžnik.

1. V kvádri je všetkých šesť plôch obdĺžniky.

ABCD a A 1 B 1 C 1 D 1 sú podľa definície obdĺžniky.

2. Bočné rebrá sú kolmé na základňu. To znamená, že všetky bočné strany kvádra sú obdĺžniky.

3. Všetky dihedrálne uhly kvádra sú pravé.

Uvažujme napríklad uhol vzpriamenia pravouhlého rovnobežnostena s hranou AB, t. j. uhol vzpriamenia medzi rovinami ABB 1 a ABC.

AB je hrana, bod A 1 leží v jednej rovine - v rovine ABB 1 a bod D v druhej - v rovine A 1 B 1 C 1 D 1. Potom možno uvažovaný dihedrálny uhol označiť aj takto: ∠А 1 АВD.

Vezmite bod A na hrane AB. AA 1 je kolmá na hranu AB v rovine ABB-1, AD je kolmá na hranu AB v rovine ABC. ∠A 1 AD je teda lineárny uhol daného dihedrálneho uhla. ∠A 1 AD \u003d 90 °, čo znamená, že uhol klinu na okraji AB je 90 °.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Podobne je dokázané, že akékoľvek uhly klinu pravouhlého rovnobežnostena sú správne.

Druhá mocnina uhlopriečky kvádra sa rovná súčtu štvorcov jeho troch rozmerov.

Poznámka. Dĺžky troch hrán vychádzajúcich z rovnakého vrcholu kvádra sú rozmermi kvádra. Niekedy sa nazývajú dĺžka, šírka, výška.

Dané: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - pravouhlý rovnobežnosten (obr. 5).

Dokázať: .

Ryža. 5 Kváder

dôkaz:

Priamka CC1 je kolmá na rovinu ABC, a teda na priamku AC. Takže trojuholník CC 1 A je pravouhlý trojuholník. Podľa Pytagorovej vety:

Uvažujme pravouhlý trojuholník ABC. Podľa Pytagorovej vety:

Ale BC a AD sú opačné strany obdĺžnika. Takže BC = nl. potom:

Pretože , a , potom. Keďže CC 1 = AA 1, potom to, čo bolo potrebné dokázať.

Uhlopriečky pravouhlého rovnobežnostena sú rovnaké.

Označme rozmery kvádra ABC ako a, b, c (pozri obr. 6), potom AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

KAPITOLA TRETIA

POLYHEDRALY

1. ROVNOBEŽNÁ A PYRAMÍDA

Vlastnosti plôch a uhlopriečok krabice

72. Veta. V rovnobežnostene:

1)protiľahlé plochy sú rovnaké a rovnobežné;

2) všetky štyri diagonály sa pretínajú v jednom bode a v ňom sa pretínajú.

1) Steny (obr. 80) BB 1 C 1 C a AA 1 D 1 D sú rovnobežné, pretože dve pretínajúce sa priamky BB 1 a B 1 C 1 jednej steny sú rovnobežné s dvomi pretínajúcimi sa priamkami AA 1 a A 1 D 1 druhý (§ 15 ); tieto plochy sú rovnaké, pretože B 1 C 1 \u003d A 1 D 1, B 1 B \u003d A 1 A (ako protiľahlé strany rovnobežníkov) a / BB1C1= / AA1D1.

2) Vezmite (obr. 81) nejaké dve uhlopriečky, napríklad AC 1 a BD 1, a nakreslite pomocné čiary AD 1 a BC 1.

Pretože hrany AB a D1C1 sú rovnaké a rovnobežné s hranou DC, sú rovnaké a navzájom rovnobežné; výsledkom je, že obrázok AD 1 C 1 B je rovnobežník, v ktorom sú priamky C 1 A a BD 1 uhlopriečky a v rovnobežníku sú uhlopriečky v priesečníku rozdelené na polovicu.

Vezmime si teraz jednu z týchto uhlopriečok, napríklad AC 1 , s treťou uhlopriečkou, povedzme, s B 1 D. Presne rovnakým spôsobom môžeme dokázať, že sú v priesečníku rozdelené na polovicu. Preto sa uhlopriečky B 1 D a AC 1 a uhlopriečky AC 1 a BD 1 (ktoré sme zobrali skôr) pretínajú v rovnakom bode, a to v strede uhlopriečky
AC 1 . Nakoniec, ak vezmeme rovnakú uhlopriečku AC 1 so štvrtou uhlopriečkou A 1 C, dokážeme tiež, že sú rozpoltené. Priesečník tejto dvojice uhlopriečok teda leží v strede uhlopriečky AC 1 . Všetky štyri uhlopriečky rovnobežnostena sa teda pretínajú v rovnakom bode a pretínajú tento bod.

73. Veta. V kvádri, štvorci ľubovoľnej uhlopriečky (AC 1, obr. 82) sa rovná súčtu druhých mocnín jeho troch rozmerov .

Nakreslením uhlopriečky základne AC dostaneme trojuholníky AC 1 C a DIA. Obidva sú pravouhlé: prvý preto, lebo škatuľa je rovná, a preto je hrana CC1 kolmá na základňu; druhá preto, že hranol je pravouhlý, a preto má na svojej základni obdĺžnik. Z týchto trojuholníkov nájdeme:

AC 1 2 = AC 2 + CC 1 2 a AC 2 = AB 2 + BC 2

v dôsledku toho

AC 1 2 \u003d AB 2 + BC 2 + SS 1 2 \u003d AB 2 + AD 2 + AA 1 2.

Dôsledok.V kvádri sú všetky uhlopriečky rovnaké.