یکی از راحت ترین روش ها برای حل نابرابری های مربع یک روش گرافیکی است. در این مقاله ما تجزیه و تحلیل خواهیم کرد که چگونه نابرابری های مربع به صورت گرافیکی حل می شوند. ابتدا ماهیت این روش را مورد بحث قرار دهید. و سپس ما الگوریتم را ارائه می دهیم و نمونه هایی از حل نابرابری های مربع را با یک گرافیکی بررسی می کنیم.
مرور صفحه
ماهیت روش گرافیکی
بطور کلی روش گرافیکی برای حل نابرابری یک متغیر نه تنها برای حل نابرابری های مربع، بلکه نابرابری های دیگر گونه ها اعمال می شود. ماهیت روش گرافیکی حل نابرابری بعد: توابع y \u003d f (x) و y \u003d g (x) را در نظر بگیرید، که به قسمت های چپ و راست نابرابری مربوط می شود، نمودارهای خود را در یک سیستم مختصات مستطیلی ایجاد می کنند و متوجه می شوند که یکی از آنها در زیر یا بالاتر قرار دارد از سوی دیگر. آن دسته از کسانی که در آن
- تابع گراف F بالاتر از نمودار عملکرد G است، راه حل های نابرابری F (x)\u003e G (x)؛
- گراف تابع f پایین تر از تابع Graph G است، راه حل های نابرابری F (x) ≥G (x)؛
- تابع تابع f زیر گرافیک G، راه حل های نابرابری F (X)
- تابع گراف F بالاتر از نمودار عملکرد G نیست، راه حل های نابرابری f (x) ≤g (x) است.
ما همچنین می گوییم که سوء تفاهم از تقاطع گراف های توابع F و G راه حل معادله F (x) \u003d g (x) است.
ما این نتایج را در مورد ما انتقال می دهیم - برای حل نابرابری مربع a · x 2 + b · x + c<0 (≤, >, ≥).
ما دو توابع را وارد می کنیم: اولین y \u003d a · x 2 + b · x + c (در همان زمان f (x) \u003d a · x 2 + b · x + c) مربوط به قسمت چپ نابرابری مربع است دوم y \u003d 0 (در همان زمان g (x) \u003d 0) مربوط به سمت راست نابرابری است. برنامه تابع درجه دوم f پارابولا است و برنامه ریزی شده است تابع دائمی G یک خط مستقیم است که با محور Abscissa Ox همخوانی دارد.
علاوه بر این، با توجه به روش گرافیکی حل نابرابری، لازم است تجزیه و تحلیل در فواصل زمانی برنامه یک تابع در بالا یا پایین تر از دیگر، که به شما اجازه می دهد تا راه حل مورد نظر از نابرابری مربع را ضبط کنید. در مورد ما، لازم است که موقعیت پارابولا نسبت به محور OX را تجزیه و تحلیل کنیم.
بسته به مقادیر ضرایب A، B و C، شش گزینه زیر امکان پذیر است (برای ما نیاز به یک تصویر نسبتا طرح ریزی، و شما نمی توانید محور OY را تصویر کنید، زیرا موقعیت آن بر راه حل های نابرابری تاثیر نمی گذارد) :
- راه حل نابرابری مربع a · x 2 + b · x + c\u003e 0 است (-∞، x 1) ∪ (x 2، + ∞) یا در رکورد دیگری x
x 2؛ - راه حل نابرابری مربع a · x 2 + b · x + c≥0 (-∞، x 1) ∪ یا در یک رکورد دیگر x 1 ≤XX 2،
- راه حل نابرابری مربع a · x 2 + b · x + c\u003e 0 است (-∞، x 0) ∪ (x 0، + ∞) یا در رکورد دیگری x ≠ x 0؛
- راه حل نابرابری مربع a · x 2 + b · x + c≥0 (-∞، + ∞) یا در رکورد دیگری از x∈R؛
- نابرابری مربع a · x 2 + b · x + c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
- نابرابری مربع a · x 2 + b · x + c≤0 یک راه حل تنها x \u003d x 0 (آن را به نقطه لمس)،
در این نقاشی، ما Parabola را می بینیم که شاخه های آن به سمت بالا هدایت می شوند و از محور OX در دو نقطه عبور می کنند، سوء استفاده هایی که X 1 و X 2 هستند. این نقاشی با گزینه ای مواجه می شود زمانی که ضریب A مثبت است (مسئولیت هدایت شاخه های پارابولا) و زمانی که ارزش مثبت است تبعیض آمیز مربع سه دایره a · x 2 + b · x + c (در همان زمان، سه کاهش دو ریشه دارد که ما به عنوان x 1 و x 2 تعیین کردیم و ما x 1 را گرفتیم
بیایید قسمت قرمز پارابولا را از محور Abscissa در قرمز و محور Abscissa زیر محور Abscissa زیر ببینیم. 
در حال حاضر پیدا کردن آنچه که شکاف این قطعات مطابقت دارد. نقاشی زیر تعیین خواهد شد که آنها را تعیین کند (در آینده، چنین تخلیه در قالب مستطیل ها به صورت ذهنی انجام می شود): 
بنابراین در محور Abscissa معلوم شد که در دو شکاف قرمز برجسته شده (-∞، x 1) و (x 2، + ∞)، پارابول بالاتر از محور OX بود، آنها یک راه حل نابرابری مربع A · x 2 + B را تشکیل می دهند · X + C\u003e 0، و فاصله (x 1، x 2) در آبی برجسته شده است، پارابولا زیر محور OX است، آن را نشان می دهد راه حل نابرابری A · x 2 + B · x + c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .
و در حال حاضر به طور خلاصه: در a\u003e 0 و d \u003d b 2 -4 · a · c\u003e 0 (یا d "\u003d d / 4\u003e 0 در ضریب حتی B)
جایی که x 1 و x 2 ریشه های مربع سه ردیف A · x 2 + b · x + c و x 1 است با توجه به نقاشی، به وضوح دیده می شود که پارابولا در بالای محور اکسپرس در همه جا قرار دارد، به جز برای نقطه لمسی، یعنی، در فواصل (-∞، x 0)، (x 0، ∞). برای وضوح، ما منطقه را در نقاشی با توجه به نقطه قبلی برجسته می کنیم. ما نتیجه گیری می کنیم: در A\u003e 0 و D \u003d 0 جایی که x 0 ریشه مربع سه دایره A · x 2 + B · x + c است. بدیهی است، Parabola در بالای محور OX در تمام طول آن قرار دارد (هیچ فواصل زمانی که زیر محور OX وجود دارد، نقطه لمسی وجود ندارد). بنابراین، با a\u003e 0 و d<0
решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 و a · x 2 + b · x + c≥0 مجموعه ای از تمام اعداد معتبر و نابرابری a · x 2 + b · x + c است<0
и a·x 2 +b·x+c≤0
не имеют решений.
در اینجا ما Parabola را می بینیم که شاخه های آن به سمت بالا هدایت می شوند و به محور Abscissa مربوط می شود، یعنی یک نقطه مشترک با آن است، ما آن را به عنوان X 0 به عنوان abscissa اشاره می کنیم. مورد ارائه شده مربوط به a\u003e 0 (شاخه ها هدایت می شوند) و d \u003d 0 (مربع سه کاهش دارای یک ریشه x 0 است). به عنوان مثال، شما می توانید یک تابع درجه دوم y \u003d x 2 -4 · x + 4، در اینجا a \u003d 1\u003e 0، d \u003d (- 4) 2 -4 · 1 · 4 \u003d 0 و x 0 \u003d 2.
در این مورد، شاخه های Parabola به سمت بالا هدایت می شوند و نقاط مشترک با محور Abscissa ندارند. در اینجا ما شرایط a\u003e 0 (شاخه ها هدایت می شوند) و d<0
(квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1
, здесь a=2>0، d \u003d 0 -4 · 2 · 1 \u003d -8<0
.
و سه گزینه برای محل پارابولا با جهت پایین، و نه، شاخه نسبت به محور OX وجود دارد. در اصل، آنها نمی توانند در نظر گرفته شوند، زیرا ضرب هر دو بخش نابرابری توسط -1 به شما اجازه می دهد تا به یک نابرابری معادل با ضریب مثبت در x 2 حرکت کنید. اما هنوز هم صدمه نمی زند تا یک ایده و در مورد این موارد دریافت کند. استدلال در اینجا مشابه است، بنابراین ما تنها نتایج اصلی را نوشتیم.
راه حل های الگوریتم
نتیجه تمام محاسبات قبلی عمل می کند الگوریتم راه حل های نابرابری مربع گرافیکی:
- اولا، با توجه به ارزش ضریب a، به نظر می رسد که شاخه های آن هدایت می شوند (با a\u003e 0 - UP، با یک<0 – вниз).
- و در مرحله دوم، با ارزش تقلید از میدان سه، اعلام A · x 2 + b · x + c، به نظر می رسد، آیا محور Abscissa در دو نقطه عبور می کند (در d\u003e 0)، آن را به یک نقطه مربوط می شود (در d \u003d 0)، یا نقاط مشترک با محور OX (با D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.
هنگامی که نقاشی آماده است، بر روی آن در مرحله دوم الگوریتم
- هنگام حل یک نابرابری مربع a · x 2 + b · x + c\u003e 0، شکاف هایی که پارابول در بالای محور Abscissa قرار دارد تعیین می شود؛
- هنگام حل نابرابری A · x 2 + b · x + c≥0، شکاف هایی که پارابولا در بالای محور Abscissa قرار دارد و Abscisses از نقاط تقاطع (یا Abscissa از نقطه لمس) به آنها اضافه می شود؛
- هنگام حل نابرابری A · x 2 + b · x + c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
- در نهایت، هنگام حل یک نابرابری مربع فرم A · x 2 + B · x + C≤0، شکاف هایی وجود دارد که پارابولا زیر محور اکسیژن و سوء استفاده از نقاط تقاطع (یا Abscissa از نقطه لمس) به آنها اضافه می شوند؛
آنها راه حل مورد نظر نابرابری مربع را تشکیل می دهند و اگر چنین فواصل زمانی وجود نداشته باشند و نقاط لمسی وجود نداشته باشند، نابرابری اولیه مربع هیچ راه حل ندارد.
در هواپیما مختصات، یک نقاشی طرح ریزی انجام می شود که در آن محور OX نشان داده شده است (محور OY لازم نیست) و طرح Parabola مربوط به عملکرد درجه دوم y \u003d a · x 2 + b · x + c. برای ساخت یک طرح از Parabolas، آن را به اندازه کافی برای پیدا کردن دو نقطه:
این تنها برای حل نابرابری های مربع با استفاده از این الگوریتم باقی می ماند.
مثالها با راه حل ها
مثال.
حل نابرابری 
.
تصمیم گیری
ما نیاز به حل نابرابری مربع، ما از الگوریتم از پاراگراف قبلی استفاده می کنیم. در مرحله اول، ما باید طرح نمودار نمودار درجه دوم را تصویر کنیم. 
. ضریب x 2 2 است، بنابراین مثبت است، بنابراین شاخه های پارابولا هدایت می شوند. ما هنوز متوجه می شویم که آیا یک پارابولا با محور Abscissa دارای نقاط مشترک است، زیرا ما سه میدان معکوس را محاسبه می کنیم 
. دارند 
. تبعیض آمیز بیشتر از صفر بود، بنابراین دو ریشه معتبر دارد: 
و 
، یعنی، x 1 \u003d -3 و x 2 \u003d 1/3.
از اینجا واضح است که پارابولا توسط محور اکس در دو نقطه با Abscissions -3 و 1/3 عبور می کند. این نقاط در نقاشی با نقاط منظم تصویر می شود، همانطور که ما نابرابری باور نکردنی را حل می کنیم. با توجه به داده های روشن، ما رسم زیر را دریافت می کنیم (مناسب برای اولین قالب از پاراگراف اول مقاله مناسب است): 
به مرحله دوم الگوریتم بروید. از آنجایی که ما نابرابری میدان باور نکردنی را با علامت ≤ حل می کنیم، سپس باید شکاف هایی را که پارابولا در زیر محور Abscissa قرار گرفته اند، تعیین کنیم و عبارات تقاطع را به آنها اضافه کنیم. 
از نقاشی می توان دید که پارابولا زیر محور Abscissa در فاصله (-3، 1/3) قرار دارد و Abscissa از نقاط تقاطع را اضافه می کند، یعنی شماره -3 و 1/3. در نتیجه، ما به یک بخش عددی [-3، 1/3] می رویم. این راه حل دلخواه است. این را می توان در قالب نابرابری دو نفره -3≤x≤1 / 3 نوشته شده است.
پاسخ:
[-3، 1/3] یا -3≤x≤1 / 3.
مثال.
پیدا کردن یک راه حل از نابرابری مربع -x 2 + 16 · X-63<0 .
تصمیم گیری
به طور معمول، با رسم شروع کنید. ضریب عددی با مربع منفی است، بنابراین، شاخه های پارابولا به کار رفته اند. محاسبه تبعیض، و بهتر - بخش چهارم آن: D "\u003d 8 2 - (- 1) · (-63) \u003d 64-63 \u003d 1. ارزش آن مثبت است، محاسبه ریشه های سه لغت مربع: 
و 
، x 1 \u003d 7 و x 2 \u003d 9. بنابراین، Parabola از محور اکس در دو نقطه با Abscissions 7 و 9 عبور می کند (نابرابری اولیه دقیق است، بنابراین این نکات با یک مرکز خالی نشان داده می شود). حالا شما می توانید یک الگوی اساسی را ایجاد کنید: 
همانطور که ما حل نابرابری مربع سخت را با علامت حل می کنیم<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:
با توجه به طراحی، روشن است که دو شکاف (-∞، 7) دیده می شود که راه حل های نابرابری مربع اصلی (9، + ∞) است.
پاسخ:
(-∞، 7) ∪ (9، + ∞) یا در رکورد دیگری X<7 , x>9 .
هنگام حل نابرابری های مربع، زمانی که تبعیض آمیز مربع سه کاهش در سمت چپ آن صفر است، شما باید با توجه به گنجاندن یا استثنا از Abscissa از نقطه لمس توجه کنید. این بستگی به نشانه نابرابری دارد: اگر نابرابری دقیق باشد، این یک راه حل برای نابرابری نیست، و اگر غیر سکته مغزی باشد.
مثال.
آیا نابرابری مربع 10 · x 2 -14 · x + 4،9≤0 حداقل یک راه حل؟
تصمیم گیری
ما یک نمودار از تابع را ساختیم Y \u003d 10 · x 2 -14 · x + 4.9. شاخه های آن هدایت می شوند، زیرا ضریب x 2 مثبت است، و این مربوط به محور Abscissa در نقطه با Abscissa 0.7، از زمان d "\u003d (- 7) 2 -10 · 4.9 \u003d 0، از کجا و یا 0.7 در شکل یک قطعه دهدهی. به طور خلاصه به نظر می رسد این است: 
از آنجایی که ما یک نابرابری مربع را با علامت ≤ حل می کنیم، این راه حل هایی است که Parabola زیر محور OX است، و همچنین Abscissa از نقطه لمسی. از نقاشی می توان دید که یک شکاف واحد وجود ندارد، جایی که Parabolas در زیر محور OX قرار می گیرد، بنابراین تنها نقطه لمس Abscissa خواهد بود، یعنی 0.7.
پاسخ:
این نابرابری یک راه حل تنها 0.7 است.
مثال.
تصمیم به نابرابری مربع -x 2 + 8 · X-16<0 .
تصمیم گیری
ما در الگوریتم برای حل نابرابری های مربع عمل می کنیم و با ساخت برنامه شروع می شود. شاخه های Parabola هدایت می شوند، زیرا ضریب x 2 منفی است، -1. ما تشخیص میدان سه عکس مربع -X 2 + 8 · X-16، ما داریم D '\u003d 4 2 - (- 1) · (-16) \u003d 16-16 \u003d 0 و بیشتر x 0 \u003d -4 / (- 1)، x \u003d 4. بنابراین، Parabola به محور OX در نقطه با Abscissa 4 لمس می کند. انجام نقاشی: 
ما به نشانه ای از نابرابری اولیه نگاه می کنیم، این است<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.
در مورد ما، اینها پرتوهای باز هستند (-∞، 4)، (4، + ∞). به طور جداگانه، ما یادآوری می کنیم که 4 - Abscissa از لمس نقطه یک راه حل نیست، زیرا در نقطه لمس Parabola کمتر از محور OX نیست.
پاسخ:
(-∞، 4) ∪ (4، + ∞) یا در رکورد X ≠ 4 دیگر.
توجه ویژه زمانی که تبعیض آمیز مربع سه کاهش می یابد، که در سمت چپ نابرابری مربع است، کمتر از صفر است. در اینجا شما نیازی به عجله ندارید و می گویند که نابرابری راه حل ها وجود ندارد (ما عادت داریم تا چنین نتیجه ای را برای معادلات مربع با یک تبعیض منفی انجام دهیم). واقعیت این است که نابرابری مربع در د<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.
مثال.
راه حل نابرابری مربع را پیدا کنید 3 · x 2 +1\u003e 0.
تصمیم گیری
به طور معمول، با رسم شروع کنید. ضریب 3، مثبت است، بنابراین شاخه های پارابولا هدایت می شوند. محاسبه تبعیض: d \u003d 0 2 -4 · 3 · 1 \u003d -12. از آنجایی که تبعیض آمیز منفی است، پارابولا هیچ نقاط مشترک با محور اکس ندارد. اطلاعات به دست آمده برای یک برنامه اساسی کافی است: 
ما نابرابری میدان دقیق را با علامت\u003e حل می کنیم. راه حل آن تمام شکاف هایی است که پارابولا بالاتر از محور الاغ است. در مورد ما، پارابولا بالاتر از محور Abscissa در طول طول آن است، بنابراین، مجموعه ای از تمام شماره های معتبر راه حل مورد نظر وجود دارد.
OX، و همچنین نیاز به اضافه کردن Abscissions از نقاط تقاطع و یا Abscissa از نقطه لمس است. اما با توجه به نقاشی، به وضوح دیده می شود که چنین شکاف هایی وجود ندارد (از آنجا که Parabola زیر محور Abscissa است)، به عنوان هیچ نقطه تقاطع، مانند هیچ نقطه لمس وجود دارد. در نتیجه، نابرابری مربع اصلی هیچ راه حل ندارد.
پاسخ:
هیچ راه حل یا در رکورد دیگری وجود ندارد.
فهرست مراجع.
- جبر: مطالعات. برای 8 CL آموزش عمومی. موسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorov]؛ اد. S. A. Telikovsky. - 16 - M: روشنگری، 2008. - 271 پ. : ایل - ISBN 978-5-09-019243-9.
- جبر: درجه 9: مطالعات. برای آموزش عمومی موسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorov]؛ اد. S. A. Telikovsky. - 16 - M: روشنگری، 2009. - 271 پ. : ایل - ISBN 978-5-09-021134-5.
- Mordkovich A. G. جبر کلاس هشتم در 2 قاشق چایخوری. 1. آموزش دانشجویان موسسات آموزشی عمومی / A. Mordkovich. - 11th ed.، ched - متر: Mnemozina، 2009. - 215 پ.: ایل. ISBN 978-5-346-011555-2.
- Mordkovich A. G. جبر درجه 9. در 2 قاشق چایخوری 1. آموزش دانشجویان موسسات آموزشی عمومی / A. Mordkovich، P. V. Semenov. - 13 ساله، حتی. - M: Mnemozina، 2011. - 222 C: IL. ISBN 978-5-346-01752-3.
- Mordkovich A. G. جبر و آغاز تجزیه و تحلیل ریاضی. درجه 11 در 2 قاشق چایخوری 1. کتاب درسی برای دانشجویان موسسات آموزش عمومی (سطح مشخصات) / A. Mordkovich، P. V. Semenov. - دوم ed.، ched - M: Mnemozina، 2008. - 287 پ.: IL. ISBN 978-5-346-01027-2.
وزارت آموزش و پرورش و سیاست های جوانان سرزمین Stavropol
موسسه آموزشی حرفه ای بودجه دولت
کالج منطقه ای Georgiev "انتگرال"
پروژه فردی
تحت نظارت "ریاضیات: جبر، شروع تجزیه و تحلیل ریاضی، هندسه"
در مورد موضوع: "راه حل گرافیک معادلات و نابرابری"
دانش آموز گروه PC-61 را انجام داد و در تخصص تحصیل کرد
"برنامه نویسی در سیستم های کامپیوتری"
Clerk Timur Vitalevich
رهبر: معلم Serkov N.A.
تاریخ تحویل:"" 2017.
تاریخ حفاظت:"" 2017.
Georgievsk 2017.
یادداشت توضیحی
هدف از پروژه:
هدف: مزایای استفاده از روش گرافیکی حل معادلات و نابرابری را بیابید.
وظایف:
مقایسه روش تحلیلی و گرافیکی برای حل معادلات و نابرابری.
بررسی کنید که کدام روش روش گرافیکی دارای مزایای است.
در نظر بگیرید که معادلات را با ماژول و پارامتر حل کنید.
ارتباط تحقیقات: تجزیه و تحلیل مواد اختصاص داده شده به راه حل گرافیکی معادلات و نابرابری در کتاب های درسی "جبر و آغاز تجزیه و تحلیل ریاضی" از نویسندگان مختلف، حسابداری برای اهداف مطالعه این موضوع. حملات نتایج یادگیری اجباری مربوط به موضوع مورد نظر است.
محتوا
معرفی
1. معادلات با پارامترها
1.1. تعاریف
1.2 راه حل های الگوریتم
1.3. مثال ها
2. نابرابری ها با پارامترها
2.1. تعاریف
2.2. راه حل های الگوریتم
2.3. مثال ها
3. استفاده از نمودارها در حل معادلات
3.1. راه حل گرافیکی معادله مربع
3.2. سیستم های معادلات
3.3. معادلات مثلثاتی
4. استفاده از نمودارها در حل نابرابری
5. Transcue
6. فهرست منابع
معرفی
مطالعه بسیاری از فرآیندهای فیزیکی و الگوهای هندسی اغلب منجر به حل مشکلات با پارامترها می شود. برخی از دانشگاه ها همچنین در معادلات امتحان بلیط، نابرابری ها و سیستم های آنها شامل می شوند که اغلب بسیار پیچیده هستند و نیاز به یک رویکرد غیر استاندارد به راه حل دارند. در مدرسه، این یکی از سخت ترین بخش های دوره مدرسه ریاضیات تنها در چند کلاس اختیاری در نظر گرفته شده است.
آماده سازی این کار، من یک هدف از یک مطالعه عمیق تر از این موضوع را تعیین می کنم، شناسایی راه حل های منطقی ترین که به سرعت منجر به پاسخ می شود. به نظر من، روش گرافیکی یک راه مناسب و سریع برای حل معادلات و نابرابری ها با پارامترها است.
در پروژه من، اغلب با انواع معادلات مواجه می شوند، نابرابری ها و سیستم های آنها در نظر گرفته می شود.
1. معادلات با پارامترها
تعاریف اصلی
معادله را در نظر بگیرید
(a، b، c، ...، k، x) \u003d (a، b، c، ...، k، x)، (1)
جایی که A، B، C، ...، K، X-in-free مقادیر آزاد.
هر سیستم مقادیر متغیر
a \u003d A. 0 ، b \u003d b 0 ، c \u003d c 0 ...، k \u003d k 0 ، x \u003d x 0 ,
در آن بخش های چپ و راست این معادله ارزش های معتبر را دریافت می کنند، سیستم مقادیر مجاز متغیرهای A، B، C، ...، K، X نامیده می شود. اجازه دهید مجموعه ای از تمام مقادیر مجاز A، B - مجموعه ای از تمام مقادیر مجاز B، و غیره، X - مجموعه ای از تمام مقادیر معتبر X، I.E. aa، bb، ...، xx. اگر هر یک از مجموعه ها A، B، C، ...، K، آن را انتخاب و تعمیر کنید، به ترتیب یک مقدار A، B، C، ...، K و جایگزین آنها را به معادله (1)، سپس ما به دست آوردن معادله نسبت به x، یعنی معادله با یک ناشناخته
متغیرها a، b، c، ...، k، که، هنگام حل معادله، ثابت هستند، پارامترها نامیده می شوند و معادله خود را معادله حاوی پارامترهای حاوی معادله نامیده می شود.
پارامترها توسط حروف اول الفبای لاتین نشان داده شده است: A، B، C، D، ...، K، L، M، N و ناشناخته - نامه X، Y، Z.
معادله را با پارامترها حل کنید - به این معنی است که در چه مقادیر پارامترها، راه حل ها وجود دارد و آنچه آنها هستند.
دو معادله حاوی پارامترهای مشابه، معادل آن هستند:
الف) آنها با همان مقادیر پارامتر حساس هستند؛
ب) هر راه حل معادله اول، راه حل دوم و بالعکس است.
راه حل های الگوریتم
ما زمینه تعریف معادله را پیدا می کنیم.
بیان a به عنوان یک تابع از x.
در سیستم مختصات HOA، ما یک نمودار از تابع a \u003d (x) را برای آن مقادیر x ساختیم که در محدوده تعیین این معادله گنجانده شده است.
ما نقاط تقاطع مستقیم A \u003d C را پیدا می کنیم، جایی که S (-؛ + ) با یک گراف از تابع a \u003d (x) است. اگر مستقیم A \u003d C عبور از گراف a \u003d (x)، سپس ما تجزیه و تحلیل نکات تقاطع را تعیین کنید. برای این، به اندازه کافی برای حل معادله a \u003d (x) نسبت به x است.
ضبط پاسخ
مثال ها
I. حل معادله
(1)
تصمیم گیری
از آنجا که X \u003d 0 ریشه معادله نیست، سپس معادله را می توان حل کرد:
یا
گراف تابع - دو hyperboles "چسب". تعداد راه حل های معادله اولیه با تعداد نقاط تقاطع خط ساخته شده و مستقیم Y \u003d a تعیین می شود.
اگر (-؛ -1] (1؛ + ) ، سپس راست Y \u003d عبور از نمودار معادله (1) در یک نقطه. Abscissa از این نقطه در حل معادله در مورد X یافت می شود .
بنابراین، در این معادله شکاف (1) یک راه حل دارد.
اگر یک ، سپس مستقیم Y \u003d یک گراف معادله (1) را در دو نقطه عبور می کند. سوء استفاده از این نقاط را می توان از معادلات یافت و دریافت کرد
و.
اگر ، سپس مستقیم Y \u003d و از نمودار معادله عبور نمی کند (1)، بنابراین هیچ راه حل وجود دارد.
پاسخ:
اگر (-؛ -1] (1؛ + ) ، سپس؛
اگر ، سپس،؛
اگر ، پس هیچ راه حل وجود ندارد.
دوم پیدا کردن تمام مقادیر پارامتر A، که در آن معادله سه ریشه متفاوت دارد.
تصمیم گیری
با بازنویسی معادله در فرم و داشتن یک جفت توابع، می توان اشاره کرد که مقادیر مورد نظر پارامتر A و تنها آنها به آن مقررات عملکرد تابع که در آن دقیقا سه تقاطع است، مطابقت دارد نقاط با یک نمودار تابع
در سیستم مختصات Khou، ما یک برنامه تابع ایجاد می کنیم). برای انجام این کار، می توان آن را به صورت خود ارسال کرد و چهار مورد را در نظر گرفت که این ویژگی را به شکل آن بنویسید
از آنجا که گراف تابع یک خط مستقیم است که دارای زاویه گرایش به محور آه، برابر و متقاطع محور OU در نقطه با مختصات (0، a) است، ما نتیجه می گیریم که سه نقطه تقاطع را می توان تنها در مورد به دست آورد هنگامی که این مستقیم به گرافیک عملکرد مربوط می شود. بنابراین، ما یک مشتق را پیدا می کنیم
پاسخ:.
III پیدا کردن تمام مقادیر پارامتر A، با هر کدام از آنها سیستم معادلات
راه حل دارد
تصمیم گیری
از اولین معادله سیستم، ما به دست می آوریم، با نتیجه، این معادله خانواده "نیمه مثل" را تنظیم می کند - شاخه های راست پارابولا "اسلاید" رأس ها در امتداد محور Abscissa.
ما مربع های کامل را در قسمت چپ معادله دوم برجسته می کنیم و آن را در چندگانگی قرار می دهیم.
تعدادی از نقاط هواپیما که معادله دوم را برآورده می کنند، دو خط مستقیم هستند.
ما متوجه می شویم که مقادیر پارامتر و منحنی از خانواده "نیمه مثل" حداقل یک نقطه مشترک با یکی از خطوط مستقیم به دست آمده است.
اگر قله های نیمه محصول راست نقطه A باشد، اما به سمت چپ نقطه (نقطه B به بالای آن "نیمه شجاع" مربوط می شود، که مربوط به آن است
مستقیم)، سپس گرافیک مورد نظر، نکات مشترک ندارید. اگر پیک "نیمه شجاع" همزمان با نقطه A، سپس.
مورد لمس "Semi-Parbash" با یک خط مستقیم از شرایط وجود یک راه حل سیستم واحد تعیین می شود
در این مورد، معادله
این یک ریشه دارد که در آن شما پیدا می کنید:
در نتیجه، سیستم منبع هیچ راه حل ای ندارد و اگر حداقل یک راه حل داشته باشد.
پاسخ: a (-؛ -3] (؛ + ).
IV حل معادله
تصمیم گیری
با استفاده از برابری، معادله مشخص شده برای بازنویسی در قالب
این معادله برابر با سیستم است
معادله بازنویسی در فرم
. (*)
آخرین معادله ساده ترین راه حل استفاده از ملاحظات هندسی است. ما نمودار های توابع را ساختیم و از گراف به این معنی است که نمودارها تقاطع نیستند و بنابراین معادله راه حل ای ندارد.
اگر، نمودارهای توابع همزمان هستند و بنابراین تمام مقادیر راه حل معادله (*) هستند.
نمودارها در یک نقطه تقسیم می شوند، Abscissa از آن. بنابراین، معادله (*) یک راه حل واحد دارد.
کاوش در حال حاضر، تحت چه مقادیر، راه حل ها یافت معادله (*) شرایط را برآورده می کند
بگذارید، سپس. سیستم ظاهر خواهد شد
راه حل آن Gap X (1؛ 5) خواهد بود. با توجه به این که می توان نتیجه گرفت که با معادله اصلی تمام مقادیر x را از فاصله برآورده می کند، نابرابری اولیه معادل نابرابری عددی وفادار است<4.Поэтому все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решений.
در انتگرال (1؛ + ∞) دوباره یک نابرابری خطی 2x دریافت می کنیم<4, справедливое при х<2. Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.
با این حال، نتیجه مشابهی را می توان از بصری و در عین حال ملاحظات هندسی دقیق به دست آورد. شکل 7 ساخت گراف ها از توابع:y.= f.( ایکس.)=| ایکس.-1|+| ایکس.+1 | وy.=4.
شکل 7
در تابع گراف انتگرال (-2؛ 2)y.= f.(ایکس.) واقع در زیر نمودار عملکرد y \u003d 4، و این بدان معنی است که نابرابریf.(ایکس.)<4 справедливо. Ответ:(-2;2)
دوم ) نابرابری ها با پارامترها.
راه حل نابرابری با یک یا چند پارامتر، به عنوان یک قاعده، این کار بیشتر با وظیفه ای است که پارامترها از دست رفته است.
به عنوان مثال، نابرابری √ + x + √a-x\u003e 4، که شامل پارامتر A، به طور طبیعی، نیاز به تلاش بسیار بیشتری برای حل و فصل از نابرابری √1 + x + √1-x\u003e 1 دارد.
منظور اول این نابرابری چیست؟ این، اساسا به معنی حل یک نابرابری نیست، بلکه یک کل کلاس، یک مجموعه کامل از نابرابری هایی است که اگر پارامتر و مقادیر عددی خاص به دست می آید. دومین نابرابری ناخوشایند یک مورد خاص از اول است، زیرا از آن در مقدار a \u003d 1 بدست آمده است.
بنابراین، برای حل نابرابری حاوی پارامترها، به این معنی است که تعیین می کند که مقادیر پارامترهای نابرابری یک راه حل و برای همه این مقادیر پارامترها برای پیدا کردن تمام راه حل ها باشد.
مثال 1:
حل نابرابری | H-A | + | X + A |< ب, آ.<>0.
برای حل این نابرابری با دو پارامترآ. تو ب ما از ملاحظات هندسی استفاده می کنیم. شکل 8 و 9 ساخت گراف ها از توابع.
Y.= f.(ایکس.)=| ایکس.- آ.|+| ایکس.+ آ.| تو y.= ب.
بدیهی است، زمانی کهب<=2| آ.| سر راستy.= ب عبور از برش منحنی افقی نمی شودy.=| ایکس.- آ.|+| ایکس.+ آ.| بنابراین، نابرابری در این مورد هیچ راه حل ندارد (شکل 8). اگرب>2| آ.|، سپس مستقیماy.= ب عبور از نمودار عملکردy.= f.(ایکس.) در دو نقطه (-ب/2; ب) تو (ب/2; ب) (شکل 6) و نابرابری در این مورد نسبتاب/2< ایکس.< ب/ 2، از آنجا که با این مقادیر منحنی متغیرy.=| ایکس.+ آ.|+| ایکس.- آ.| واقع در زیر مستقیمy.= ب.
پاسخ: اگرب<=2| آ.| ، پس هیچ راه حل وجود ندارد
اگر یکب>2| آ.| T.ایکس. €(- ب/2; ب/2).
III) نابرابری های مثلثاتی:
هنگام حل نابرابری ها با توابع مثلثاتی، فرکانس این توابع و یکنواختی آنها در فواصل مناسب به طور قابل توجهی مورد استفاده قرار می گیرد. ساده ترین نابرابری های مثلثاتی. تابعگناه ایکس. این دوره مثبت 2π دارد. بنابراین، نابرابری های فرم:sIN X\u003e A، SIN X\u003e \u003d A،
گناه X
این به اندازه کافی برای حل اول در هر طول طول 2 استπ . بسیاری از تمام راه حل هایی که ما دریافت می کنیم، اضافه کردن به هر یک از شماره های شماره 2 موجود در این بخشπ p، PєZ..
مثال 1: حل نابرابریگناه ایکس.\u003e -1/2 (شکل 10)
اول، ما این نابرابری را در بخش حل خواهیم کرد [-π / 2، 3π / 2]. بخش چپ خود را در نظر بگیرید - بخش [-π / 2، 3π / 2].گناه ایکس.\u003d -1 / 2 یک راه حل x \u003d -π / 6 دارد؛ یک تابعگناه ایکس. یکنواخت افزایش می یابد بنابراین اگر -π / 2 باشد<= ایکس.<= -π/6, то گناه ایکس.<= گناه(- π / 6) \u003d - 1/2، I.E. این مقادیر X راه حل های نابرابری نیستند. اگر -π / 6<х<=π/2 то گناه ایکس.> گناه(-π / 6) \u003d -1/2. همه این مقادیر راه حل نابرابری نیستند.
در بخش باقی مانده [π / 2، 3π / 2] عملکردگناه ایکس. یکنواخت معادله را کاهش می دهدگناه ایکس. \u003d -1/2 یک راه حل X \u003d 7π / 6 دارد. بنابراین، اگر π / 2 باشد<= ایکس.<7π/, то گناه ایکس.> گناه(7π / 6) \u003d - 1/2، I.E. تمام این مقادیر X راه حل های نابرابری هستند. برایایکس. єگناه ایکس.<= گناه(7π / 6) \u003d - 1/2، این مقادیر راه حل نیستند. بنابراین، مجموعه ای از راه حل های این نابرابری در بخش [-π / 2، 3π / 2] یکپارچه (-π / 6، 7π / 6) است.
با توجه به فرکانس تابعگناه ایکس. با یک دوره 2π مقادیر X از هر یک از انتگرال های فرم: (-π / 6 + 2πn؛ 7π / 6 + 2πn)، NєZ.همچنین نابرابری راه حل ها هستند. هیچ ارزش دیگری از راه حل های X این نابرابری وجود ندارد.
پاسخ: -π / 6 + 2πn.< ایکس.<7π/6+2π n.جایی کهn.Є Z..
نتیجه
ما روش گرافیکی حل معادلات و نابرابری را بررسی کردیم؛ مثالهای خاص در نظر گرفته شده، در راه حل که از خواص توابع به عنوان یکنواختی و زوج استفاده می شود.تجزیه و تحلیل ادبیات علمی، کتاب های درسی ریاضیات ما را به ساختار مواد انتخاب شده مطابق با اهداف مطالعه، انتخاب و توسعه روش های موثر برای حل معادلات و نابرابری ها اجازه داد. این مقاله یک روش گرافیکی برای حل معادلات و نابرابری ها و نمونه هایی که از این روش ها استفاده می شود، ارائه می دهد. نتیجه پروژه می تواند وظایف خلاقانه مانند مواد کمکی برای توسعه مهارت راه حل های معادلات و نابرابری ها را با روش گرافیکی در نظر گرفته شود.
فهرست ادبیات مورد استفاده
Dalinger V. A. "هندسه به جبر کمک می کند." انتشارات خانه "مدرسه - مطبوعات". مسکو 1996
Dalinger V. A. "همه برای اطمینان از موفقیت در امتحانات فارغ التحصیلی و ورودی در ریاضیات." انتشارات خانه Omsk Pedubezitte. Omsk 1995
Okunev A. A. "راه حل گرافیکی معادلات با پارامترها". انتشارات خانه "مدرسه - مطبوعات". مسکو 1986
نوشتن D. T. "ریاضیات برای دانش آموزان دبیرستان". انتشارات خانه "IRIS". مسکو 1996
Yastribetsky G. A. A. "معادلات و نابرابری های حاوی پارامترها". انتشارات خانه "روشنگری". مسکو 1972
ذرت و T.Korn "کتابچه راهنمای ریاضیات". ناشر "علم" فیزیک و ادبیات ریاضی. مسکو 1977
Amelkin V. V. و Rabtsevich V. L. "وظایف با پارامترها". انتشارات خانه "Asar". مینسک 1996
منابع اینترنتی
دانش آموز 10 کلاس kotovchikhin یوری
معادلات با ماژول های دانش آموزان از کلاس ششم شروع به مطالعه می کنند، آنها روش راه حل استاندارد را با افشای ماژول ها در فواصل جایگزینی عبارات زیرمجموعه بررسی می کنند. من این موضوع خاص را انتخاب کردم، زیرا فکر می کنم که این نیاز به یک مطالعه عمیق تر و دقیق دارد، وظایف ماژول باعث مشکلات زیادی از دانش آموزان می شود. برنامه مدرسه با وظایف حاوی ماژول را به عنوان یک وظیفه افزایش پیچیدگی و امتحانات ملاقات می کند، بنابراین باید برای یک جلسه با چنین کاری آماده شویم.
دانلود:
پیش نمایش:
موسسه آموزشی شهرداری
دبیرستان №5
تحقیق در مورد موضوع:
« راه حل جبری و گرافیک معادلات و نابرابری هایی که حاوی یک ماژول هستند»
من کار را انجام داده ام:
دانش آموز 10 کلاس
kotovchikhin یوری.
رهبر:
ریاضی سخنران
شانتا N.P.
uryupinsk
1. آموزش و پرورش ................................................. ................... .3.
2. هنوز هم و تعاریف ............................................. ... 5
3. نظریه های صوتی .............................................. .. 6
4. راه حل هایی برای معادلات حاوی ماژول ............ ... 7
4.1 دکوراسیون با کمک وابستگی بین اعداد A و B، ماژول ها و مربع های آنها ............................... ................................... 12
4.2 با استفاده از تفسیر هندسی از ماژول برای حل معادلات ...................................... ............................ .14
4.3.Russies از ساده ترین توابع حاوی نشانه ارزش مطلق.
………………………………………………………………………15
4.4. معادلات غیر استاندارد حاوی یک ماژول .... 16
5. قرار دهید ................................................. ............................... 17
6. فهرست منابع مورد استفاده ...................................
هدف از این کار این است: معادلات با دانش آموزان از کلاس 6 شروع به مطالعه می کنند، آنها روش راه حل استاندارد را با افشای ماژول ها در فواصل جایگزینی عبارات زیرمجموعه بررسی می کنند. من این موضوع خاص را انتخاب کردم، زیرا فکر می کنم که این نیاز به یک مطالعه عمیق تر و دقیق دارد، وظایف ماژول باعث مشکلات زیادی از دانش آموزان می شود. برنامه مدرسه با وظایف حاوی ماژول را به عنوان یک وظیفه افزایش پیچیدگی و امتحانات ملاقات می کند، بنابراین باید برای یک جلسه با چنین کاری آماده شویم.
1. مقدمه:
کلمه "ماژول" از کلمه لاتین "مدول" اتفاق افتاده است، که به معنی "اندازه گیری" است. این یک کلمه چند ارزش (Omonymous) است که ارزش های بسیاری دارد و نه تنها در ریاضیات، بلکه در معماری، فیزیک، فناوری، برنامه نویسی و سایر علوم دقیق کاربرد دارد.
در معماری، این واحد اصلی اندازه گیری است، نصب شده برای این ساختار معماری و خدمت به بیان چندین نسبت عناصر اجزای آن است.
این تکنیک یک اصطلاح کاربردی در زمینه های مختلف تجهیزات است که ارزش جهانی و یک کارمند برای تعیین ضرایب مختلف و ارزش ها را ندارد، به عنوان مثال، ماژول تعامل، یک ماژول الاستیک I.T.P.
ماژول فشرده سازی حجم (در فیزیک) - نسبت ولتاژ طبیعی در مواد به طول عمر نسبی.
2. مفاهیم و تعاریف
ماژول یک مقدار مطلق است - شماره واقعی A نشان داده شده است | a |.
به طور عمیق مطالعه این موضوع، شما باید با ساده ترین تعاریف آشنا شوید که من نیاز دارم:
معادله برابری شامل متغیرها است.
معادله با یک ماژول معادله حاوی یک متغیر تحت علامت ارزش مطلق (تحت نشانه ماژول) است.
معادله را حل می کند این بدان معنی است که همه ریشه های آن را پیدا کرده یا ثابت کنید که هیچ ریشه ای وجود ندارد.
3. قضیه صدا
قضیه 1. مقدار مطلق تعداد واقعی برابر با بیشتر از دو عدد A یا -A است.
شواهد و مدارک
1. اگر تعداد A مثبت باشد، پس از آن منفی است، I.E.A
به عنوان مثال، شماره 5 مثبت است، سپس -5 - منفی و -5
در این مورد | a | \u003d a، I.E. | a | همزمان با بزرگ دو عدد A و - a.
2. اگر منفی باشد، سپس مثبت و یک
نتیجه گیری از قضیه آن را دنبال می کند | -a | \u003d | |
در حقیقت، هر دو برابر با بیشتر از میان -A و A هستند، و به همین ترتیب برابر با یکدیگر هستند.
قضیه 2. مقدار مطلق هر شماره معتبر A برابر با ریشه مربع محاسباتی از یک2 .
در حقیقت، اگر پس از آن، با تعریف ماژول شماره، ما LAL\u003e 0 از سوی دیگر، زمانی که a\u003e 0 به معنی | | \u003d √2
اگر یک. 2
این قضیه زمانی امکان حل برخی از وظایف را برای جایگزینی | a | بر
هندسی | A | به این معنی است که فاصله در مختصات مستقیم از نقطه نشان دهنده شماره A، قبل از شروع مرجع.
اگر پس از آن در مختصات مستقیم، دو نقطه A و Equidistant از صفر وجود دارد، ماژول هایی که برابر هستند.
اگر a \u003d 0، سپس در خط مختصات | a | نقطه نقطه 0
4. راه حل های چندگانه معادلات حاوی ماژول.
برای حل معادلات حاوی علامت ارزش مطلق، ما بر اساس تعریف ماژول شماره و خواص ارزش مطلق شماره، بر اساس تعریف ماژول است. ما چند نمونه را به روش های مختلفی حل می کنیم و می بینیم که کدام روش ها برای حل معادلات حاوی ماژول آسان تر می شود.
مثال 1. من معادله تحلیلی و گرافیکی را حل می کنم X + 2 | \u003d 1
تصمیم
راه حل تحلیلی
1 راه
ما بر اساس تعریف ماژول بحث خواهیم کرد. اگر عبارت زیر ماژول غیرقابل انکار باشد، یعنی X + 2 ≥0، پس از آن از زیر علامت ماژول با علامت "Plus" بیرون می آید و معادله فرم را می گیرد: X + 2 \u003d 1. اگر مقادیر بیان تحت علامت ماژول منفی باشد، پس از تعریف، آن برابر خواهد بود: یا X + 2 \u003d -1
بنابراین، ما دریافت می کنیم، یا x + 2 \u003d 1، یا x + 2 \u003d -1. حل معادلات به دست آمده، پیدا کردن: X + 2 \u003d 1 یا X + 2 + -1
x \u003d -1 x \u003d 3
پاسخ: -3؛ -1.
حالا ما می توانیم نتیجه گیری کنیم: اگر ماژول برخی از عبارات برابر با شماره مثبت معتبر A باشد، سپس بیان زیر ماژول برابر با A یا -A است.
راه حل گرافیکی
یک راه برای حل معادلات حاوی ماژول یک روش گرافیکی است. ماهیت این روش ساخت نمودارهای این توابع است. اگر نمودارها تقاطع شوند، نقاط تقاطع نمودارها ریشه های معادله ما خواهد بود. در صورتی که نمودارها تقاطع نداشته باشند، می توانیم نتیجه گیری کنیم که معادله ریشه ای ندارد. این روش احتمالا کمتر برای حل معادلات حاوی ماژول کمتر است، زیرا اولا زمان بسیار زیادی طول می کشد و همیشه منطقی نیست و در مرحله دوم، نتایج به دست آمده در طول ساخت گراف ها همیشه دقیق نیست.
راه دیگری برای حل معادلات حاوی ماژول یک راه برای تقسیم عددی به فواصل است. در این مورد، ما باید عددی را قطع کنیم تا با تعریف ماژول، علامت ارزش مطلق بر روی این فواصل حذف شود. سپس، برای هر یک از شکاف ها، ما باید این معادله را حل کنیم و نتیجه را نسبت به ریشه های حاصل کنیم (آنها شکاف ما را برآورده می کنند). ریشه هایی که شکاف ها را برآورده می کنند و پاسخ نهایی را ارائه می دهند.
راه دوم
تنظیم، تحت چه مقدار x، ماژول صفر است: | x + 2 | \u003d 0، x \u003d 2
ما دو شکاف را بدست می آوریم، هر کدام از آنها معادله را حل می کنیم:
ما دو سیستم مخلوط را دریافت خواهیم کرد:
(1) X + 2 0
x-2 \u003d 1 x + 2 \u003d 1
اجازه دهید هر سیستم:
x \u003d -3 x \u003d -1
پاسخ: -3؛ -1.
راه حل گرافیکی
y \u003d | x + 2 | Y \u003d 1.
راه حل گرافیکی
برای حل معادله گرافیکی، لازم است که گراف های توابع را بسازید و
برای ساخت یک نمودار از یک تابع، ما یک گراف تابع را ساختیم - این یک تابع است که محور اکس و محور OY را در نقاط قرار می دهد.
سوء تفاهم از تقاطع گراف های توابع، راه حل های معادله را ارائه می دهد.
گرافیک مستقیم تابع y \u003d 1 با گراف تابع y \u003d | x + 2 | در نقاط با مختصات (-3؛ 1) و (-1؛ 1)، بنابراین، راه حل های معادله، سوء استفاده از نقاط خواهد بود:
x \u003d -3، x \u003d -1
پاسخ: -3؛ -1
مثال 2. حل تحلیلی و گرافیکی معادله 1 + | X | \u003d 0.5
تصمیم گیری:
راه حل تحلیلی
ما معادله را تبدیل می کنیم: 1 + | X | \u003d 0.5
| x | \u003d 0.5-1
| x | \u003d -0.5
واضح است که در این مورد معادله راه حل ندارد، زیرا با تعریف، ماژول همیشه غیر منفی است.
پاسخ: هیچ راه حل.
راه حل گرافیکی
ما معادله را تبدیل می کنیم :: 1 + | X | \u003d 0.5
| x | \u003d 0.5-1
| x | \u003d -0.5
نمودار تابع، اشعه ها - بیسکتور زاویه مختصات 1 و دوم است. گراف تابع، اکسپرس مستقیم، موازی موازی است و از طریق -0.5 نقطه در محور OY عبور می کند.
نمودارها تقاطع نیستند، به این معنی که معادله راه حل ندارد.
پاسخ: هیچ راه حل.
مثال 3. معادله تحلیلی و گرافیکی را تعیین کنید. -X + 2 | \u003d 2x + 1
تصمیم گیری:
راه حل تحلیلی
1 راه
قبلا، منطقه مقادیر متغیر مجاز را تنظیم کنید. یک سوال طبیعی وجود دارد، چرا در نمونه های قبلی نیازی به انجام این کار نبود، و اکنون آن را بوجود آورد.
واقعیت این است که در این مثال، در قسمت چپ معادله، ماژول برخی از عبارات، و در قسمت راست یک عدد نیست، اما بیان با یک متغیر، دقیقا این شرایط مهم است که این مثال را از آن متمایز می کند موارد قبلی
از آنجایی که در سمت چپ یک ماژول است و در قسمت راست، بیان حاوی یک متغیر باید مورد نیاز باشد که این عبارت غیرقابل انکار باشد، به همین ترتیب، منطقه مجاز است
ارزش ماژول
در حال حاضر شما همچنین می توانید استدلال کنید، همانطور که در مثال 1، زمانی که تعداد مثبت در قسمت راست برابری وجود دارد. ما دو سیستم مخلوط را دریافت خواهیم کرد:
(1) -x + 2≥0 و (2) -X + 2
X + 2 \u003d 2X + 1؛ x-2 \u003d 2x + 1
اجازه دهید هر سیستم:
(1) شامل در فاصله و ریشه معادله است.
x≤2
x \u003d ⅓
(2) X\u003e 2
x \u003d -3.
x \u003d -3 در فاصله گنجانده نشده است و ریشه معادله نیست.
پاسخ: ⅓.
4.1 دکوراسیون با کمک وابستگی بین اعداد A و B، ماژول های آنها و مربع های این اعداد.
علاوه بر روش های بالا، معیارهای قطعی، بین اعداد و ماژول های داده، و همچنین بین مربع ها و ماژول های داده های اعداد وجود دارد:
| a | \u003d | b | a \u003d b یا a \u003d -b
a2 \u003d b2 a \u003d b یا a \u003d -b
از اینجا، به نوبه خود، ما این را دریافت می کنیم
| a | \u003d | b | 2 \u003d b 2
مثال 4. حل معادله | X + 1 | \u003d | 2x - 5 | دو روش مختلف
1. نسبت یادآوری (1)، ما دریافت می کنیم:
X + 1 \u003d 2X - 5 یا X + 1 \u003d -2X + 5
x - 2x \u003d -5 - 1 x + 2x \u003d 5 - 1
x \u003d -6 | (: 1) 3x \u003d 4
x \u003d 6 x \u003d 11/3
ریشه اولین معادله x \u003d 6، ریشه دوم معادله x \u003d 11/3
بنابراین، ریشه های معادله اولیه X1 \u003d 6، x 2 \u003d 11/3
2. با توجه به رابطه (2)، ما دریافت می کنیم
(x + 1) 2 \u003d (2x - 5) 2، یا x2 + 2x + 1 \u003d 4x2 - 20x + 25
x2 - 4x2 + 2x + 1 + 20x - 25 \u003d 0
3x2 + 22x - 24 \u003d 0 | (: - 1)
3x2 - 22X + 24 \u003d 0
D / 4 \u003d 121-3 24 \u003d 121 - 72 \u003d 49\u003e 0 \u003d\u003d\u003e معادله دارای 2 ریشه مختلف است.
x 1 \u003d (11 - 7) / 3 \u003d 11/3
x 2 \u003d (11 + 7) / 3 \u003d 6
همانطور که راه حل نشان می دهد، ریشه های این معادله نیز تعداد 11/3 و 6 است
پاسخ: x 1 \u003d 6، x 2 \u003d 11/3
مثال 5. حل معادله (2x + 3)2 \u003d (x - 1) 2.
با توجه به رابطه (2)، ما 2x + 3 | \u003d | X - 1 |، از جایی که نمونه نمونه قبلی (و با رابطه (1)):
2x + 3 \u003d X - 1 یا 2X + 3 \u003d -KH + 1
2x - x \u003d -1 - 3 2x + x \u003d 1 - 3
x \u003d -4 x \u003d -0، (6)
بنابراین، ریشه های معادله x1 \u003d -4 و x2 \u003d -0، (6)
پاسخ: x1 \u003d -4، x 2 \u003d 0، (6)
مثال 6. حل معادله | x - 6 | \u003d | x2 - 5x + 9 |
با استفاده از نسبت، ما دریافت می کنیم:
x - 6 \u003d x2 - 5x + 9 یا x - 6 \u003d - (x2 - 5x + 9)
x2 + 5x + x - 6 - 9 \u003d 0 | (-1) x - 6 \u003d -x2 + 5x - 9
x2 - 6x + 15 \u003d 0 x2 - 4x + 3 \u003d 0
d \u003d 36 - 4 15 \u003d 36 - 60 \u003d -22 d \u003d 16 - 4 3 \u003d 4\u003e 0 \u003d\u003d\u003e 2 RK
\u003d\u003d\u003e بدون ریشه
x 1 \u003d (4-2) / 2 \u003d 1
x 2 \u003d (4 + 2) / 2 \u003d 3
بررسی: | 1 - 6 | \u003d | 12 - 5 1 + 9 | | 3 - 6 | \u003d | 32 - 5 3 + 9 |
5 \u003d 5 (ها) 3 \u003d | 9 - 15 + 9 |
3 \u003d 3 (ها)
پاسخ: x 1 \u003d 1؛ x 2 \u003d 3
4.2 استفاده از تفسیر هندسی ماژول برای حل معادلات.
معنای هندسی مقدار ماژول تفاوت فاصله بین آنها است. به عنوان مثال، معنای هندسی بیان | X - A | -Tlin بخش از محور مختصات اتصال نقاط با Abscissions A و X. ترجمه یک کار جبری برای یک زبان هندسی اغلب به شما اجازه می دهد تا از راه حل های بزرگ جلوگیری کنید.
مثال 7 حل معادله | X - 1 | + | X - 2 | \u003d 1 با استفاده از تفسیر هندسی ماژول.
ما به شرح زیر استدلال می کنیم: بر اساس تفسیر هندسی ماژول، قسمت چپ معادله، مقدار فاصله از یک نقطه خاص از Abscissa به دو نقطه ثابت با Abscissions 1 و 2 است. سپس واضح است که همه نقاط با Absecissions از بخش دارای اموال مورد نظر است، و نقطه، واقع در خارج از این بخش نیست. از این رو پاسخ: مجموعه راه حل های معادله بخش است.
پاسخ:
مثال. حل معادله | X - 1 | - | X - 2 | \u003d 1 1 با استفاده از تفسیر هندسی ماژول.
ما به طور مشابه به مثال قبلی بحث خواهیم کرد، در حالی که ما به دست می آوریم که تفاوت فاصله ها به Absecissions 1 و 2 امتیاز برابر با واحد تنها برای نقاط واقع در محور مختصات سمت راست شماره 2. در نتیجه، راه حل این معادله یک بخش نیست که بین نقاط 1 و 2 به پایان برسد و پرتو خارج از نقطه 2، و هدایت شده در جهت مثبت محور آه.
پاسخ :)
بارگذاری ...