پردنکا 6.
Vektory ...، sa nazývajú lineárne závislé، ak existujú čísla ،، ...، medzi ktorými je najmenej jeden، ktorý sa nerovná nule، takže
Súčet súčinov čísel a vektorov، t.j. وکتور
sa nazýva lineárna kombinácia vektorov.
Ak je vektor reprezentovaný ako lineárna kombinácia vektorov، potom tiež hovorí، vee vektor je rozložený na vektory.
Vyššie uvedená definícia lineárnej závislosti vektorov je ekvivalentná tejto: vektory sú lineárne závislé، ak jeden z nich môže byť reprezentovaný ako lineárna kombinácia ostatnýchírený) rozšš
وتا 1. Aby boli dva vektory lineárne závislé، je potrebné a dostatočné، aby boli kolineárne.
داکاز nutnosť. Dané: vektory a sú lineárne závislé. Je potrebné dokázať، úe sú kolineárne. Pretože vektory sú lineárne závislé، existujú čísla، ktoré nie súasasne rovné nule a podobne
Nechajme napríklad؛ عاجز
z toho vyplýva ، vee vektory a sú kolineárne.
Dané: vektory a kolineárne. Je potrebné dokázať، úe sú lineárne závislé.
Ak، potom dochádza k rovnosti، zo znamená، úe sú vektory a sú lineárne závislé.
Ak za predpokladu، nájdeme، alebo؛ znamená vektory a sú lineárne závislé.
Tri vektory sa nazývajú koplanárne، ak pri vykreslení z jedného bodu ležia v tej istej rovine.
وتا 2 Aby boli tri vektory ،، lineárne závislé، je nevyhnutné a dostatočné، aby boli koplanárne.
Dané: vektory ،، sú lineárne závislé. Je potrebné dokázať، úe sú koplanárne.
Pretože vektory ،، sú lineárne závislé، existujú čísla ،،، medzi ktorými je najmenej jeden؛ také ، že
Nechajme napríklad؛ عاجز
Vektory a sú kolineárne k vektorom a؛ preto súčet takýchto vektorov، t.j. vektor bude koplanárny s vektormi a.
Dôkaz o dostatočnosti. Dané: vektory ،، koplanárne. Je potrebné dokázať، te tieto vektory sú lineárne závislé.
Ak sú vektory a sú kolineárne، potom sú lineárne závislé (veta 1 tejto časti)، t.j. existujú čísla a z nich najmenej jedno nie je rovné nule a také، ale potom a، t.j. vektory ،، lineárne závislé .
Nech sú vektory a nekolineárne. Odložte vektory a z rovnakého bodu O:
Pretože vektory sú koplanárne ، بدن O ležať v tej istej rovine. Bod premietnite na priamku rovnobežnú s priamkou؛ nechaj byť آر.- táto projekcia. پتوم یک پتوم
potom ، za predpokladu
به znamená ، vee vektory ،، - sú lineárne závislé.
وتا 3. Akékoľvek štyri vektory ،،، v priore sú lineárne závislé.
داکاز Navrhujeme، aby vektory ،، neboli koplanárne. Odložte všetky vektory ،،، z rovnakého bodu O:
نچاج byť آر.- priemet bodu na rovinu rovnobežnú s priamkou a - priemet bodu آر. na priamke rovnobežnej s priamkou. پوتوم
Vektory sú zodpovedajúcim spôsobom kolineárne k vektorom a. Za predpokladu؛ ؛ dostaneme؛ ؛
پیش پیش:
tí vektory ،،، sú lineárne závislé.
وتا 4. Aby boli dva nenulové vektory a aby boli kolineárne، je potrebné a dostatočné، aby ich súradnice boli proporcionálne.
Dokážme vetu pre prípad ، keď sú vektory dané ich súradnicami vzhľadom na všeobecné سیستم کارتزیانسکی súradnice v prioreore.
Dôkaz nevyhnutnosti.دانه: vektory؛ یک کولینرن Je potrebné dokázať، e ich súradnice sú proporcionálne.
Keďže za predpokladu ، doste dostaneme ، t.j.
Dôkaz o dostatočnosti. Zadané: súradnice vektorov
proporcionálne Je potrebné dokázať، te tieto vektory sú kolineárne.
نچاج byť؛ به znamená، alebo، a teda sú vektory، a s kolineárne.
وتا 5. V poradí dva vektory a dané ich suradnicami vzhľadom na spoločný karteziánsky suradnicový systém v rovine
alebo vzhľadom na všeobecný karteziánsky súradnicový systém vo vesmíre
sú kolineárne، je to nevyhnutné a dostatočné
(v prípade lietadla) ،
(v prípade pri prioru).
Dokážme vetu pre prppad ، keď sú vektory a sú dané ich súradnicami vzhľadom na všeobecný karteziánsky súradnicový systém v prioreore.
Dôkaz nevyhnutnosti.دانه: vektory a kolineárne. Je potrebné preukázať، ve vzťahy
Ak sú vektory nenulové aj kolineárne، potom sú ich súradnice proporcionálne، a preto sú tieto rovnosti splnené (تعیین کننده، v ktorom sú dva riadky proporcionálne، sa rovná nule). Ak alebo (alebo == 0) ، potom je táto rovnosť zrejmá.
Dôkaz o dostatočnosti. Je zrejmé، te tieto vzťahy sú uspokojené. Je potrebné dokázať، úe sú vektory a s kolineárne.
Ak (t.j. = 0) ، potom vektory a sú kolineárne (pretože nulový vektor je kolineárny k akémukoľvek vektoru). Nech je aspoň jedno z čísel napríklad nenulové. Dali sme؛ potom zo vzťahu alebo (odhaľujúcim determinant) zistíme، ve vzhľadom na ich súradnice vzhľadom na všeobecný karteziánsky súradnicový systém v prioreore patria k jednej primer lenamke vtedy a s
دسلدوک 3.بدن ،،،، dané ich súradnicami vzhľadom na všeobecný karteziánsky súradnicový systém v priore، patria do tej istej roviny práve vtedy، ak sú vektory؛ ؛ koplanárne ، t.j. ak a len ak.
Lineárna kombinácia vektorov z sa nazýva vektorový stit v. Je zrejmé، áe lineárna kombinácia lineárnych kombinácií vektorov je opäť lineárnou kombináciou týchto vektorov.
Súbor vektorov sa nazýva lineárne nezávislý، ak je rovnosť stitu možná iba pre. Ak existujú si، ktoré nie sú rovné nule sasasne، takže stit je 0، potom sa množina vektorov nazýva lineárne závislá. Tieto definície sú rovnaké ako tie، ktoré sú uvedené na strane 108، keď sa použijú na reťazce.
Tvrdenie 1. Sada vektorov je lineárne závislá práve vtedy ، ak je jeden z vektorov lineárnou kombináciou ostatných.
Návrh 2. Ak je zbierka vektorov lineárne nezávislá a zbierka je lineárne závislá ، potom je vektor lineárnou kombináciou vektorov
Návrh 3. Ak sú vektory lineárnymi kombináciami vektorov، potom je zbierka lineárne závislá.
Dôkazy týchto tvrdení sa nelíšia od dôkazov podobných tvrdení pre reťazce (s. 108-110).
Súbor vektorov sa nazýva generovanie، ak sú všetky vektory v prioreore ich lineárnymi kombináciami. Ak pre priacor S existuje konečný generujúci system، potom sa hovorí، prieste prior je konečný-rozmerný، inak sa nazýva nekonečno-rozmerný. V konečno-dimenzionálnom pripore nemôžu existovať ľubovoľne veľké (v počte vektorov) lineárne nezávislé zbierky vektorov، pretože podľa tvrdenia 3 je akákoľvek zbieruka vekútorov presah
Priestor matíc pevných veľkostí a najmä priest reťazcov pevnej dĺžky sú konečno-rozmerné؛ ako generujúci systém je možné brať matice s 1 v jednej polohe a s nulami vo zvyšku.
Priestor všetkých polynómov v je už nekonečne dimenzionálny ، pretože zbierka polynómov je pre akékoľvek lineárne nezávislá.
V nasledujúcom texte budeme uvažovať o konečno-dimenzionálnych priftoroch.
Návrh 4. Akákoľvek minimálna (vzhľadom na počet vektorov) generujúca množina vektorov je lineárne nezávislá.
Skutočne nech je minimálna generujúca sada vektorov. Ak je lineárne závislý، potom je jeden z vektorov، povedzme، lineárna kombinácia zvyšku، a každá lineárna kombinácia je lineárnou kombináciou menšej sady vektorov، ktorá sa teda ukjazuje ako generu
Návrh 5. Generuje sa akákoľvek maximálna (vzhľadom na počet vektorov) lineárne nezávislá zbierka vektorov.
Skutočne nech je maximálna lineárne nezávislá zbierka a u je akýkoľvek vektor priororu. Potom zbierka a nebude lineárne nezávislá a na základe Propozície 2 je vektor lineárnou kombináciou
Návrh 6. Akákoľvek lineárne nezávislá generujúca množina je medzi generátormi minimálna a maximálna medzi lineárne nezávislými.
Skutočne nech je lineárne nezávislá generujúca množina vektorov. Ak - nejaká iná generujúca množina، potom sú to lineárne kombinácie، a z toho usudzujeme، pree pretože ak by to bolo، na základe návrhu by to bola lineárne závislá množina. Teraz nech je nejaká lineárne nezávislá zbierka. Vektory sú lineárne kombinácie vektorov، a preto by، pretože na základe rovnakého návrhu، tvorili lineárne závislú množinu.
Výroky 4، 5، 6 teda stanovujú identitu troch konceptov - minimálnej generujúcej sady vektorov، maximálnej lineárne nezávislej sady vektorov a lineárne nezávislej generujúcej množine.
Súbor vektorov spĺňajúcich tieto podmienky sa nazýva základ prioror a počet vektorov، ktoré tvoria základ، sa nazýva dimenzia prioru. Rozmer pri prioru S je označený. Dimenzia SA TEDA rovná maximálnemu počtu lineárne nezávislých vektorov (často budeme ďalej hovoriť slová "nezávislé lineárne" یک "lineárne závislé vektory" namiesto "vektorov، ktoré tvoria lineárne závislú množinu" یک - podľa TOHO پیش lineárne nezávislá množina) یک minimálny počet generujúcich vektorov.
Návrh 7. Nechajme byť lineárne nezávislou zbierkou vektorov a ich počet je menší ako rozmer pri prioru. Potom k nim možno pripojiť vektor، aby zbierka zostala lineárne nezávislá.
داکاز Zvážte veľa lineárnych kombinácií. Nevyčerpáva celý روحانی ، pretože netvorí generujúcu množinu vektorov. Vezmite vektor ، ktorý nie je lineárnou kombináciou
Potom je to lineárne nezávislá zbierka، pretože inak by to bola lineárna kombinácia vektorov na základe návrhu 2.
Z propozície 7 vyplýva ، úe akúkoľvek lineárne nezávislú zbierku vektorov je možné dokončiť na základe.
Tá istá veta a jej dôkaz naznačujú povahu svojvôle pri výbere základu. Skutočne، AK vezmeme ľubovoľný nenulový VEKTOR، potom هو možno dokončiť NA základe TAK، ZE vezmeme druhý VEKTOR، آکو SA VAM PACI، لن NIE lineárnu kombináciu پارنو kombináciu prvéko، kombináciu prvékoti، kombináciu prvéko، trehoti dve atd
Je možné "zostúpiť" na základňu، vychádzajúc z ľubovoľnej generujúcej množiny.
Návrh 8. Akákoľvek generujúca množina vektorov obsahuje základ.
Skutočne nech je generujúca množina vektorov. Ak je lineárne závislý، potom je jeden z jeho vektorov lineárnou kombináciou ostatných a môže byť vylúčený z generujúcej množiny. Ak sú zvyšné vektory lineárne závislé، potom je možné eliminovať ešte jeden vektor a podobne، k nem nezostane lineárne nezávislá generujúca množina، to znamená základ.
V tomto článku vám povieme:
- kto sú kolineárne vektory؛
- aké sú podmienky pre kolinearitu vektorov؛
- aké sú vlastnosti kolineárnych vektorov؛
- aká je lineárna závislosť kolineárnych vektorov.
Kolineárne vektory sú vektory، ktoré sú rovnobežné alebo kolineárne.
پروکلاد 1
Podmienky kolinearity pre vektory
Dva vektory sú kolineárne ، ak platí jedna z nasledujúcich podmienok:
- podmienka 1 ... Vektory a a b sú kolineárne، ak existuje číslo λ také، ae a = λ b؛
- podmienka 2 ... Vektory a a b sú kolineárne s rovnakým pomerom súradníc:
a = (a 1؛ a 2) ، b = (b 1؛ b 2) a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2
- podmienka 3 ... Vektory a a b sú kolineárne za predpokladu ، vee vektorový súčin a nulový vektor sú rovnaké:
a ∥ b ⇔ a ، b = 0
پوزنمکا 1
پودمینکا 2 nepoužije sa، ak je jedna z vektorových súradníc nulová.
پوزنمکا 2
پودمینکا 3 platí iba pre tie vektory، ktoré sú určené v priore.
Príklady úloh na štúdium kolineárnych vektorov
پروکلاد 1Preskúmajme vektory a = (1؛ 3) a b = (2؛ 1) na kolinearitu.
Ako to vyriešiť؟
V tomto prípade je potrebné použiť 2.podmienku kolinearity. Pre dané vektory to vyzerá takto:
Rovnosť je nesprávna. Preto môžeme konštatovať ، vee vektory a a b sú nekolineárne.
Odpoveď : a | | ب
پرکلاد 2
Aká hodnota m vektora a = (1؛ 2) a b = (- 1؛ m) je potrebná pre kolinearitu vektorov؟
Ako to vyriešiť؟
Pri použití druhej podmienky kolinearity budú vektory kolineárne، ak sú ich súradnice proporcionálne:
به ukazuje ، me m = - 2.
Odpoveď: m = - 2.
Kritériá lineárnej závislosti a lineárnej nezávislosti vektorových systémov
وتاSystém vektorov vektorového prioru je lineárne závislý iba vtedy ، ak jeden z vektorov systému možno vyjadriť inými vektormi daného systému.
داکاز
Nechajte systém e 1، e 2 ،. ... ...، e n je lineárne závislé. Poznamenajme si lineárnu kombináciu tohto systému rovnajúcu sa nulovému vektoru:
a 1 e 1 + a 2 e 2 +. ... ... + a n e n = 0
v ktorom aspoň jeden z kombinačných koeficientov nie je nulový.
Nech a k ≠ 0 k ∈ 1، 2 ،. ... ... ، n.
Obe strany rovnosti delíme nenulovým koeficientom:
a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k +. ... ... + (a k - 1 a n) e n = 0
اوزنایم:
A k - 1 a m ، kde m ∈ 1 ، 2 ،. ... ... ، k - 1 ، k + 1 ، n
V tomto prípade:
β 1 e 1 +. ... ... + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 +. ... ... + β n e n = 0
alebo e k = (- β 1) e 1 +. ... ... + ( - β k - 1) e k - 1 + ( - β k + 1) e k + 1 +. ... ... + (- β n) e n
Z toho vyplýva ، je jeden z vektorov systému je vyjadrený v zmysle všetkých ostatných vektorov systému. bolo bolo potrebné dokázať (ch.t.d.)
پریمرانوسť
Nech je jeden z vektorov lineárne vyjadrený z hľadiska všetkých ostatných vektorov systému:
e k = γ 1 e 1 +. ... ... + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 +. ... ... + γ n e n
Vektor e k prenesieme na pravú stranu tejto rovnosti:
0 = γ 1 e 1 +. ... ... + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 +. ... ... + γ n e n
Pretože koeficient vektora e k je - 1 ≠ 0، získame netriviálne znázornenie nuly systémom vektorov e 1، e 2 ،. ... ...، e n، a to zase znamená، ýe daný systém vektorov je lineárne závislý. bolo bolo potrebné dokázať (ch.t.d.)
Dôsledok:
- Systém vektorov je lineárne nezávislý ، keď adiadny z jeho vektorov nemôže byť vyjadrený v zmysle všetkých ostatných vektorov systému.
- Vektorový systém، ktorý obsahuje nulový vektor alebo dva rovnaké vektory، je lineárne závislý.
Lineárne závislé vlastnosti vektora
- Pre 2- a 3-rozmerné vektory je splnená nasledujúca podmienka: dva lineárne závislé vektory sú kolineárne. Dva kolineárne vektory sú lineárne závislé.
- Pre trojrozmerné vektory je splnená nasledujúca podmienka: tri lineárne závislé vektory sú koplanárne. (3 koplanárne vektory sú lineárne závislé).
- Pre-n-rozmerné vektory je splnená nasledujúca podmienka: n + 1 vektorov je vždy lineárne závislých.
Príklady riešenia problémov pre lineárnu závislosť alebo lineárnu nezávislosť vektorov
پروکلاد 3Skontrolujme vektory a = 3، 4، 5، b = - 3، 0، 5، c = 4، 4، 4، d = 3، 4، 0 na lineárnu nezávislosť.
ریسنی Vektory sú lineárne závislé ، pretože rozmer vektorov je menší ako počet vektorov.
پروکلاد 4
Skontrolujme vektory a = 1، 1، 1، b = 1، 2، 0، c = 0، - 1، 1 na lineárnu nezávislosť.
ریسنی Nájdeme hodnoty koeficientov، pri ktorých bude lineárna kombinácia rovnaká ako nulový vektor:
x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0
Vektorovú rovnicu napíšeme vo forme lineárnej:
x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0
Tento systém riešime Gaussovou metódou:
1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~
Odpočítajte prvý od druhého riadku a prvý od tretieho:
~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~
Odčítajte 2.z 1.riadka ، pridajte 2.do 3..:
~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0
Riešenie znamená ، sye systém má mnoho riešení. به znamená ، existe existuje nenulová kombinácia hodnôt takýchto čísel x 1، x 2، x 3 ، pre ktoré je lineárna kombinácia a، b، c rovná nulovému vektoru. Vektory a، b، c sú teda lineárne závislé.
Ak si v texte všimnete chybu، vyberte ju a stlačte kombináciu klávesov Ctrl + Enter
V súlade s týmto kompromisným kritériom je pre každé riešenie stanovená lineárna kombinácia minimálnej a maximálnej výhry
Druhá možnosť zahŕňa zameranie sa na jedno kritérium. Moze به BYT vybraný عنوان Buď آکو jeden زو štandardných ukazovateľov، ktoré majú úplne zrozumiteľnú ekonomickú interpretáciu (napríklad jeden Z ukazovateľov likvidity، ukazovateľa krytia úrokov ATD)، Alebo JE هم رفته kritérium vypracované VO سابق یوگوسلاوی nejakého umelého ukazovateľa، ktorý sumarizuje konkrétne kritériá. Pre toto zovšeobecnené kritérium je stanovená prahová hodnota، s ktorou sa porovnáva skutočná hodnota kritéria vypočítaného pre potenciálneho dlžníka. Hlavný problém pri implementácii tohto prístupu spočíva v spôsobe vytvorenia generalizovaného ukazovateľa. Najčastejšie ide o lineárnu kombináciu konkrétnych kritérií، z ktorých každé je zahrnuté do generalizujúceho indikátora s určitým váhovým faktorom. Práve tento prístup použil E. Altman pri vývoji Z-kritéria na predpovedanie bankrotu.
Riadok e sa nazýva lineárna kombinácia riadkov e، e- ...، em matice if
Pojem lineárnej kombinácie، lineárna závislosť a nezávislosť vektorov e، e2. f em sú podobné zodpovedajúcim konceptom pre riadky matice e، e2، ...، em (11.5).
Ako je znázornené na obrázku، prehhrančené a konvexne prípustné množiny (2.14) vektor х٪ 0 spĺňajúci obmedzenie A xk bk môže byť reprezentovaný ako konvexná lineárna kombinácia sonečady bodice
Optimalizačný postup na výpočet limitných hodnôt prvkov a a ich lineárnych kombinácií do značnej miery neobsahuje uvedené nevýhody.
Bod (X1 ، g) získaný lineárnou kombináciou (A /، g) a (L. "، g") je tiež zrejme riešením systému (4.43) ، (4.44).
V tejto časti sa budeme zaoberať pravidlami pre výpočet matematického očakávania a rozptylu viacrozmernej náhodnej premennej، ktorá je lineárnou kombináciou korelovaných náhodných premenných
Preto pre lineárnu kombináciu ľubovoľného počtu náhodných premenných dostaneme
Zoberme si prípad، keď sa investícia uskutočňuje do niekoľkých aktív (portfólia). Portfólio je lineárna kombinácia aktív، z ktorých každá má svoj vlastný očakávaný výnos a rozptýlenie príjmu.
Na rozdiel od ľubovoľnej lineárnej kombinácie náhodných premenných sa váhy aktív riadia pravidlom oceňovania
V predchádzajúcom odseku sa ukázalo ، ve v prípade ، jee je korelačný koeficient medzi aktívami menší ako 1، diverzifikácia portfólia môže zlepšiť pomer medzi očakávaným výnosom. Dôvodom je skutočnosť ، če očakávaný výnos portfólia je lineárnou kombináciou očakávaných výnosov aktív zahrnutých v portfóliu a rozptyl portfólia je kvadratickou funkciou efektôvín zaradený do portfólia aktív.
Pretože diskriminačná funkcia závisí iba od lineárnej kombinácie vstupov، neurón je lineárny diskriminátor. V niektorých najjednoduchších situáciách je lineárny diskriminátor najlepší možný، a to v prípade، keď sú pravdepodobnosti vstupných vektorov patriacich do tryy k dané gaussovským rozdelen
Presnejšie povedané، výstupy siete Oia sú lineárnymi kombináciami prvých troch hlavných komponentov. Na získanie presne samotných hlavných komponentov stačí nahradiť súčet všetkých výstupov v pravidle Oya hodnotou
Vektory b okrem toho tvoria takzvaný minimálny základ. Konkrétne ide o minimálny počet vektorov، pomocou ktorých je možné reprezentovať všetky lineárne kombinácie vektorov uložených v pamäti
Nasledujúci systematický postup dokáže iteratívne vybrať najvýznamnejšie vlastnosti، ktorými SU lineárne kombinácie vstupných premenných X = WX (podmnožiny vstupov SU špeciálnym prípadom lineárnej kombinácie، TJ. Formálne môžete nájsť lepšie riešenie، NEZ AKE JE K dispozícii výberom najvýznamnejších kombinácií vstupov).
V priebehu analýzy sa obidva použijú na charakterizáciu rôznych aspektov finančnej situácie. absolútne ukazovatele a finančné ukazovatele، ktoré sú relatívnymi ukazovateľmi finančnej situácie. Tieto sa vypočítavajú vo forme pomerov absolutnych ukazovateľov finančnej situácie alebo ich lineárnych kombinácií. Podľa klasifikácie N.A. بلاتووا ، jedného zo zakladateľov súvahy ، sú relatívne ukazovatele finančnej situácie rozdelené do distribučných pomerov a používajú sa vípadoch ، keď je potrebné určiť ، dtorá čú sáleť
ناشتاوا ...