توصیه های روشمند برای مطالعه دوره "سیستم های اعداد". در مورد روش بدیهی ساخت یک نظریه

هنگام ساخت نظریه بدیهی اعداد طبیعی ، اصطلاحات اصلی "عنصر" یا "عدد" (که در متن این کتاب درسی می توانیم آن را مترادف بدانیم) و "مجموعه" ، روابط اصلی: "متعلق" (یک عنصر متعلق به مجموعه است) ، "برابری" و " پیگیری"، با a نشان داده می شود (بخوانید" عدد و سکته از عدد a پیروی می کند "، به عنوان مثال ، این دو با سه دنبال می شوند ، یعنی 2 / \u003d 3 ، عدد 10 با عدد 11 دنبال می شود ، یعنی 10 / \u003d 11 و غیره).

بسیاری از اعداد طبیعی(سری های طبیعی ، اعداد صحیح مثبت) مجموعه N با رابطه معرفی شده "follow after" است که در آن 4 بدیهی زیر انجام می شود:

A 1 مجموعه N شامل عنصری به نام است واحدکه هیچ شماره دیگری را دنبال نمی کند.

A 2 برای هر عنصر از سری طبیعی ، یک عنصر در زیر آن وجود دارد.

A 3 هر عنصر N حداکثر یک عنصر طبیعی را دنبال می کند.

A 4. ( بدیهیات القایی) اگر زیر مجموعه M مجموعه N دارای یک واحد باشد ، و همچنین همراه با هر یک از عناصر a آن ، دارای عنصر زیر a / نیز باشد ، M همزمان با N است.

همان بدیهیات را می توان در نمادهای ریاضی خلاصه کرد:

А 1 ( 1  N) ( a  N) a / ≠ 1

A 2 ( a  N) ( a /  N) a \u003d b \u003d\u003e a / \u003d b /

A 3 a / \u003d b / \u003d\u003e a \u003d b

اگر عنصر b از عنصر a پیروی کند (b \u003d a /) ، پس می گوییم عنصر a برای عنصر b مقدم است (یا قبل از b). به این سیستم بدیهیات گفته می شود سیستم های بدیهیات Peano (از آنجا که در قرن نوزدهم توسط ریاضیدان ایتالیایی جوزپه پینو معرفی شد). این فقط یکی از مجموعه های بدیهی احتمالی است که به شما اجازه می دهد مجموعه اعداد طبیعی را تعریف کنید. رویکردهای معادل دیگری نیز وجود دارد.

ساده ترین خصوصیات اعداد طبیعی

املاک 1... اگر عناصر متفاوت باشند ، موارد زیر نیز متفاوت هستند ، یعنی

a  b \u003d\u003e a /  b /.

شواهد و مدارک با روش تناقض انجام می شود: فرض کنید a / \u003d b / ، سپس (مطابق A3) a \u003d b ، که با شرط قضیه مغایرت دارد.

خاصیت 2... اگر عناصر متفاوت باشند ، عناصر قبلی (در صورت وجود) متفاوت هستند ، یعنی

a /  b / \u003d\u003e a  b.

شواهد و مدارک: فرض کنید a \u003d b ، پس طبق A2 ، a / \u003d b / داریم ، که با شرط قضیه مغایرت دارد.

املاک 3... هیچ عدد طبیعی با عدد بعدی برابر نیست.

شواهد و مدارک: ما مجموعه M متشکل از اعداد طبیعی که این شرط برای آنها برآورده می شود را در نظر می گیریم

М \u003d (a  N | a  a /).

اثبات بر اساس بدیهیات القایی انجام خواهد شد. با تعریف مجموعه M ، زیر مجموعه ای از مجموعه اعداد طبیعی است. بعلاوه ، 1M ، از آنجا که واحد هیچ عدد طبیعی (A1) را دنبال نمی کند ، بنابراین ، از جمله برای a \u003d 1 ، ما باید: 1  1 /. حال فرض کنید برخی از a  M. به این معنی است که a  a / (با تعریف M) ، از آنجا a /  (a /) / (ویژگی 1) ، یعنی a /  M. از آنچه در بالا گفته شد ، بر اساس بدیهیات القایی ، می توان نتیجه گرفت که M \u003d N ، یعنی قضیه ما برای همه اعداد طبیعی درست است.

قضیه 4... برای هر عدد طبیعی غیر از 1 ، عددی وجود دارد که قبل از آن باشد.

شواهد و مدارک: مجموعه را در نظر بگیرید

М \u003d (1)  (c N | ( a  N) c \u003d a /).

م داده شده زیر مجموعه ای از مجموعه اعداد طبیعی است ، واحد به وضوح به این مجموعه تعلق دارد. قسمت دوم این مجموعه عناصری است که موارد قبلی برای آنها وجود دارد ، بنابراین ، اگر a  M ، a / نیز متعلق به M است (قسمت دوم آن ، از آنجا که a / قبلی دارد ، این a). بنابراین ، بر اساس بدیهی القایی ، M با مجموعه تمام اعداد طبیعی همزمان می شود ، به این معنی که همه اعداد طبیعی یا 1 هستند یا اعدادی که عنصر قبلی برای آنها وجود دارد. قضیه اثبات شده است.

سازگاری نظریه بدیهی اعداد طبیعی

به عنوان یک مدل شهودی از مجموعه اعداد طبیعی ، می توان مجموعه هایی از خط تیره را در نظر گرفت: عدد 1 با | ، عدد 2 || و غیره مطابقت دارد ، یعنی سری طبیعی به صورت زیر است:

|, ||, |||, ||||, ||||| ….

این ردیف های خط تیره می توانند به عنوان الگویی از اعداد طبیعی عمل کنند ، اگر از "اختصاص یک خط تیره به یک عدد" به عنوان رابطه "follow after" استفاده کنیم. اعتبار همه بدیهیات به طور شهودی واضح است. البته این مدل کاملا منطقی نیست. برای ساخت یک مدل دقیق ، شما باید یک نظریه بدیهی کاملاً ثابت داشته باشید. همانطور که در بالا اشاره شد ، ما چنین نظریه ای در اختیار نداریم. بنابراین ، یا مجبور می شویم به شهود اعتماد کنیم ، یا به روش مدل متوسل نمی شویم ، بلکه به این واقعیت اشاره می کنیم که برای بیش از 6 هزاره ، که در طی آن مطالعه اعداد طبیعی انجام شده است ، هیچ تناقضی با این بدیهیات یافت نشده است.

استقلال سیستم بدیهیات Peano

برای اثبات استقلال اصل اول ، کافی است مدلی درست کنیم که در آن بدیهیات А 1 نادرست باشد ، و بدیهیات А 2 ، А 3 ، А 4 درست باشد. بگذارید اعداد 1 ، 2 ، 3 را به عنوان اصطلاحات اصلی (عناصر) در نظر بگیریم و رابطه "follow after" با نسبت ها تعریف می شود: 1 / \u003d 2 ، 2 / \u003d 3 ، 3 / \u003d 1.

در این مدل هیچ عنصری وجود ندارد که از هیچ چیز دیگری پیروی نکند (اصل 1 نادرست است) ، اما تمام بدیهیات دیگر برآورده شده اند. بنابراین ، بدیهیات اول مستقل از بقیه است.

اصل دوم دارای دو قسمت است - وجود و منحصر به فرد. استقلال این بدیهی (از نظر وجود) را می توان با الگویی از دو عدد (1 ، 2) با رابطه زیر که توسط یک رابطه واحد داده شده است نشان داد: 1 / \u003d 2:

برای دو نفر ، عنصر بعدی گم شده است ، در حالی که بدیهیات A 1 ، A 3 ، A 4 درست است.

استقلال این بدیهی ، از نظر منحصر به فرد ، با مدلی نشان داده می شود که در آن مجموعه N مجموعه ای از همه اعداد طبیعی عادی است ، همچنین انواع کلمات (مجموعه ای از حروف که لزوماً معنی ندارند) متشکل از حروف الفبای لاتین (بعد از حرف z ، بعدی بعدی aa خواهد بود) ab ... az ، سپس ba ... ؛ تمام کلمات احتمالی دو حرفی ، که آخرین آنها zz خواهد بود ، aaa و غیره دنبال می شوند). ما رابطه "follow" را همانطور که در شکل نشان داده شده است معرفی می کنیم:

در اینجا بدیهیات A 1، A 3، A 4 نیز درست هستند ، اما 1 بلافاصله با دو عنصر 2 و a دنبال می شود. بنابراین ، Axiom 2 به دیگران بستگی ندارد.

استقلال Axiom 3 توسط این مدل نشان داده شده است:

که در آنها A 1 ، A 2 ، A 4 درست است ، اما عدد 2 هم از عدد 4 پیروی می کند و هم از عدد 1.

برای اثبات استقلال بدیهیات القایی ، ما از مجموعه N متشکل از تمام اعداد طبیعی و همچنین سه حرف (a ، b ، c) استفاده می کنیم. رابطه زیر را در این مدل می توان مطابق شکل زیر وارد کرد:

در اینجا ، برای اعداد طبیعی ، از رابطه معمول زیر استفاده می شود و برای حروف ، رابطه زیر با فرمول های زیر تعیین می شود: a / \u003d b ، b / \u003d c ، c / \u003d a. بدیهی است که 1 هیچ عدد طبیعی را دنبال نمی کند ، برای هر یک بعدی وجود دارد ، و علاوه بر این ، فقط یک ، هر عنصر بیش از یک عنصر را دنبال نمی کند. با این حال ، اگر یک مجموعه M متشکل از اعداد طبیعی معمولی در نظر بگیریم ، این زیر مجموعه ای از این مجموعه خواهد بود که حاوی یک و همچنین عنصر بعدی برای هر عنصر از M است. با این حال ، این زیر مجموعه با کل مدل مورد بررسی منطبق نخواهد بود ، زیرا شامل نخواهد شد حروف a ، b ، c بنابراین ، بدیهیات القایی در این مدل وجود ندارد و بنابراین ، بدیهیات القایی به سایر بدیهیات بستگی ندارد.

نظریه بدیهی اعداد طبیعی است دسته ای (کامل به معنای محدود).

 (n /) \u003d ( (n)) /.

اصل استقرا complete کامل ریاضی.

قضیه القایی.بگذارید برخی از ادعاهای P (n) برای همه اعداد طبیعی فرموله شود و α) P (1) درست باشد ، ب) از واقعیت P (k) ، نتیجه این است که P (k /) نیز درست است. سپس ادعای P (n) برای همه اعداد طبیعی درست است.

برای اثبات ، مجموعه M چنین اعداد طبیعی n (M  N) را که جمله P (n) برای آنها درست است ، معرفی می کنیم. ما از بدیهیات A 4 استفاده خواهیم کرد ، یعنی سعی خواهیم کرد که ثابت کنیم:

1. k  M \u003d\u003e k /  م

اگر موفق شویم ، طبق اصل A4 ، می توان نتیجه گرفت که M \u003d N ، یعنی P (n) برای همه اعداد طبیعی درست است.

1) با شرط a) قضیه ، P (1) درست است ؛ بنابراین ، 1  M.

2) اگر مقداری k  M باشد ، پس (با ساخت M) P (k) درست است. با شرط ب) قضیه ، این حاکی از حقیقت P (k /) است ، و از این رو k /  M.

بنابراین ، با بدیهیات القا (A4) ، M \u003d N و از این رو P (n) برای همه اعداد طبیعی صادق است.

بنابراین ، بدیهیات استقرا allows به ما امکان می دهد تا روشی را برای اثبات قضیه های "با استقرا" ایجاد کنیم. این روش در اثبات قضیه های اصلی حساب در مورد اعداد طبیعی نقش اساسی دارد. این شامل موارد زیر است:

1) اعتبار بیانیه تأیید می شودn=1 (پایه القایی) ,

2) اعتبار این گزاره در نظر گرفته شده استn= کجایی کهک - یک عدد دلخواه طبیعی(حدس القایی) ، و با در نظر گرفتن این فرض ، اعتبار گزاره برایn= ک / (مرحله القایی ).

اثبات مبتنی بر الگوریتم داده شده را اثبات می نامند با استقرا mathemat ریاضی .

تکالیف خودیاری

شماره 1.1. دریابید کدام یک از سیستم های ذکر شده بدیهیات Peano را برآورده می کند (آنها مدل هایی از مجموعه اعداد طبیعی هستند) ، تعیین کنید که کدام بدیهیات انجام می شود و کدام یک نه.

الف) N \u003d (3 ، 4 ، 5 ...) ، n / \u003d n + 1 ؛

ب) N \u003d (n  6 ، n ن) ، n / \u003d n + 1 ؛

ج) N \u003d (n  - 2 ، n ز) ، n / \u003d n + 1 ؛

د) N \u003d (n  - 2 ، n ز) ، n / \u003d n + 2 ؛

ه) اعداد طبیعی عجیب و غریب ، n / \u003d n +1 ؛

و) اعداد طبیعی عجیب و غریب ، n / \u003d n +2 ؛

g) اعداد طبیعی با نسبت n / \u003d n + 2 ؛

ح) N \u003d (1 ، 2 ، 3) ، 1 / \u200b\u200b\u003d 3 ، 2 / \u003d 3 ، 3 / \u003d 2 ؛

من) N \u003d (1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5) ، 1 / \u200b\u200b\u003d 2 ، 2 / \u003d 3 ، 3 / \u003d 4 ، 4 / \u003d 5 ، 5 / \u003d 1 ؛

ی) اعداد طبیعی قابل تقسیم بر 3 با نسبت n / \u003d n + 3

k) اعداد طبیعی حتی با نسبت n / \u003d n + 2

م) عدد صحیح ،
.

در ساخت بدیهی هر نظریه ریاضی ، مسلم است آئین نامه:

· برخی از مفاهیم نظریه به عنوان اساسی انتخاب شده و بدون تعریف پذیرفته می شوند.

· هر مفهوم نظریه ، که در لیست مفاهیم اساسی وجود ندارد ، تعریفی ارائه شده است.

· بدیهیات فرموله می شوند - جملاتی که در این نظریه بدون اثبات پذیرفته می شوند. آنها خصوصیات مفاهیم اساسی را آشکار می کنند.

· هر گزاره نظریه ای که در فهرست بدیهیات موجود نباشد ، باید اثبات شود. این گزاره ها را قضیه می نامند و آنها را بر اساس بدیهیات و قضیه ها اثبات می كنند.

با ساخت بدیهی نظریه ، تمام گزاره ها از طریق اثبات از بدیهیات استنباط می شوند.

بنابراین ، سیستم بدیهیات تابع خاص است الزامات:

· سازگاری (اگر استنباط منطقی از آن دو جمله متغیر متقابل غیرممکن باشد ، به یک سیستم بدیهیات سازگار گفته می شود) ؛

· استقلال (اگر هیچ یک از بدیهیات این سیستم نتیجه سایر بدیهیات نباشد ، به یک سیستم بدیهیات ، استقلال گفته می شود).

اگر تمام بدیهیات یک سیستم داده شده در آن راضی باشد ، مجموعه ای با رابطه معین در آن مدل از یک سیستم بدیهی معین نامیده می شود.

روشهای زیادی برای ساختن یک سیستم بدیهی برای مجموعه اعداد طبیعی وجود دارد. مفهوم اساسی را می توان برای مثال مجموع اعداد یا رابطه ترتیب در نظر گرفت. در هر صورت ، شما باید سیستمی از بدیهیات را توصیف کنید که خصوصیات مفاهیم اساسی را توصیف کند.

با پذیرفتن مفهوم اساسی عملکرد جمع ، بیایید سیستمی از بدیهیات را ارائه دهیم.

مجموعه غیر خالی ن درصورتی که عملیاتی در آن تعریف شده باشد ، مجموعه اعداد طبیعی نامیده می شود (آ؛ ب) → a + b، جمع نامیده می شود و دارای خواص است:

1. اضافه کردن ، جابجایی است ، به عنوان مثال a + b \u003d b + a.

2. افزودن مشارکتی است ، یعنی (a + b) + c \u003d a + (b + c).

4. در هر مجموعه وکه زیر مجموعه ای است نجایی که ویک عدد وجود دارد به طوری که همه هابرابر هستند a + bجایی که bN

بدیهیات 1 - 4 برای ساختن حساب کامل اعداد طبیعی کافی است. اما با چنین ساختاری دیگر نمی توان به خصوصیات مجموعه های محدودی که در این بدیهیات منعکس نشده اند اعتماد کرد.

بیایید به عنوان مفهوم اساسی ، رابطه "مستقیماً پیروی کنیم ..." را در یک مجموعه غیر خالی ارائه دهیم ن... سپس سری طبیعی اعداد مجموعه N خواهد بود ، که در آن رابطه "بلافاصله دنبال می شود" تعریف شده و تمام عناصر N اعداد طبیعی نامیده می شوند ، و موارد زیر بدیهیات Peano:

AXIOM 1.

در مجموعهن عنصری وجود دارد که بلافاصله هیچ عنصری از این مجموعه را دنبال نمی کند. ما آن را یک واحد می نامیم و آن را با نماد 1 نشان می دهیم.

AXIOM 2

برای هر عنصر a ازن فقط یک عنصر a بلافاصله پس از a وجود دارد.

AXIOM 3

برای هر عنصر a ازن حداکثر یک عنصر بلافاصله توسط a وجود دارد.

AXOIM 4.

هر زیر مجموعه M از مجموعهن مصادف باناگر دارای خصوصیات زیر باشد: 1) 1 در M موجود است. 2) از این واقعیت که a در M موجود است ، نتیجه می شود که a نیز در M موجود است.

خیلی زیاد N ، برای عناصری که رابطه "مستقیماً به دنبال ..." برقرار می شود ، که بدیهیات 1-4 را برآورده می کند ، نامیده می شود مجموعه ای از اعداد طبیعی و عناصر آن هستند اعداد طبیعی.

اگر به عنوان یک مجموعه باشد ن برخی از مجموعه های خاص را انتخاب کنید ، که یک رابطه خاص "به طور مستقیم دنبال کنید ..." مشخص شده است ، بدیهیات 1 - 4 را برآورده می کند ، سپس ما متفاوت می شویم تفسیرها (مدل ها) داده شده سیستم بدیهیات.

مدل استاندارد سیستم بدیهیات Peano یک سری اعداد است که در روند توسعه تاریخی جامعه بوجود آمد: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، ...

هر مجموعه قابل شمارش می تواند مدلی از بدیهیات Peano باشد.

به عنوان مثال ، I ، II ، III ، IIII ، ...

اوه اووو اووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووا

یک دو سه چهار، …

دنباله ای از مجموعه ها را در نظر بگیرید که مجموعه (oo) عنصر اولیه است و هر مجموعه بعدی با اختصاص یک دایره دیگر از مجموعه قبلی بدست می آید (شکل 15).

سپس ن مجموعه ای متشکل از مجموعه هایی از نوع توصیف شده وجود دارد و این یک مدل از سیستم بدیهیات Peano است.

در واقع ، در مجموعه نیک عنصر (oo) وجود دارد که بلافاصله هیچ عنصر از مجموعه داده شده را دنبال نمی کند ، به عنوان مثال Axiom 1 نگهداری می شود. برای هر مجموعه و مجموعه مورد بررسی ، یک مجموعه منحصر به فرد وجود دارد که از آن بدست می آید و با اضافه کردن یک دایره ، یعنی Axiom 2 نگهداری می شود. برای هر مجموعه و حداکثر یک مجموعه وجود دارد که مجموعه از آن است وبا اضافه کردن یک دایره ، یعنی Axiom 3 برقرار است من و شناخته شده است که مجموعه و موجود در م ، از این رو مجموعه ای که در آن یک دایره بیشتر از مجموعه وجود دارد و، همچنین موجود در مسپس M \u003dن، و از این رو Axiom 4 برقرار است.

در تعریف یک عدد طبیعی ، هیچ یک از بدیهیات قابل حذف نیست.

بگذارید کدام یک از مجموعه های نشان داده شده در شکل را مشخص کنیم. 16 نمونه ای از بدیهیات Peano است.

1 a b d a د) شکل 16

تصمیم گیری شکل 16 الف) مجموعه ای را نشان می دهد که در آن بدیهیات 2 و 3 راضی هستند. در واقع ، برای هر عنصر بلافاصله فقط یک عنصر وجود دارد و یک عنصر واحد وجود دارد که به دنبال آن دنبال می شود. اما این مجموعه Axiom 1 را در اختیار ندارد (Axiom 4 منطقی نیست ، زیرا این مجموعه حاوی عنصری نیست که بلافاصله به دنبال عنصر دیگری نباشد). بنابراین ، این مجموعه مدلی از بدیهیات Peano نیست.

شکل 16 ب) مجموعه ای را نشان می دهد که در آن بدیهیات 1 ، 3 و 4 راضی هستند ، اما پشت عنصر است و بلافاصله دو عنصر دنبال می شود ، نه یک مورد ، همانطور که در اصل 2 لازم است. بنابراین ، این مجموعه مدلی از بدیهیات Peano نیست.

در شکل 16 ج) مجموعه ای را نشان می دهد که در آن بدیهیات 1 ، 2 ، 4 راضی هستند ، اما عنصر است از جانب بلافاصله دو عنصر را بلافاصله دنبال می کند. بنابراین ، این مجموعه مدلی از بدیهیات Peano نیست.

در شکل 16 د) مجموعه ای را نشان می دهد که بدیهیات 2 ، 3 را برآورده می کند و اگر عدد 5 را به عنوان یک عنصر اولیه در نظر بگیریم ، این مجموعه بدیهیات 1 و 4 را برآورده می کند. یعنی در این مجموعه برای هر عنصر یک بلافاصله دنبال می شود آن ، و یک عنصر واحد وجود دارد که آن را دنبال می کند. همچنین عنصری وجود دارد که بلافاصله هیچ عنصری از این مجموعه را دنبال نمی کند ، این 5 است , آنهایی که بدیهیات 1 معتبر است. بر این اساس ، بدیهیات 4 نیز حفظ می شوند. بنابراین ، این مجموعه مدلی از بدیهیات Peano است.

با استفاده از بدیهیات Peano ، ما می توانیم تعدادی از عبارات را ثابت کنیم. به عنوان مثال ، ما ثابت خواهیم کرد که برای همه اعداد طبیعی نابرابری x x

شواهد و مدارک.بگذارید با مشخص کنیم و مجموعه اعداد طبیعی که برای آنها aaعدد 1 متعلق است واز آنجا که از هیچ شماره ای پیروی نمی کند ن، و بنابراین به خودی خود دنبال نمی کند: 1 1. بگذار aA ، سپس aa ما نشان می دهیم و از طریق ب... به موجب اصل 3 ، وب ،آنهایی که ب بو bА

روش بدیهی در ریاضیات.

مفاهیم و روابط اساسی نظریه بدیهی سری طبیعی. تعیین یک عدد طبیعی.

جمع اعداد طبیعی.

ضرب اعداد طبیعی.

خصوصیات مجموعه اعداد طبیعی

تفریق و تقسیم اعداد طبیعی.

روش بدیهی در ریاضیات

در ساخت بدیهی هر نظریه ریاضی ، قوانین خاصی:

1. برخی از مفاهیم نظریه به عنوان انتخاب شده اند عمده و بدون تعریف پذیرفته می شوند.

2. فرموله شده بدیهیات، که در این نظریه بدون اثبات پذیرفته می شوند ، خصوصیات مفاهیم اساسی را آشکار می کنند.

3. هر مفهوم از این نظریه در لیست مفاهیم اساسی آورده نشده است تعریف، معنای آن را با کمک اصلی و پیشین این مفهوم توضیح می دهد.

4. هر گزاره در نظریه ای که در لیست بدیهیات نیست باید اثبات شود. به چنین پیشنهادهایی گفته می شود قضیه ها و آنها را بر اساس بدیهیات و قضیه های مقدم بر آنچه در نظر گرفته شده اثبات کند.

سیستم بدیهی باید باشد:

الف) سازگار:ما باید مطمئن باشیم که با نتیجه گیری انواع سیستم بدیهیات ، هرگز به تناقضی نخواهیم رسید.

ب) مستقل: هیچ بدیهی نباید نتیجه سایر بدیهیات این سیستم باشد.

که در) کاملاگر در چارچوب آن همیشه می توان اظهارات داده شده یا انکار آن را اثبات کرد.

اولین آزمایش در ساخت بدیهی یک نظریه را می توان ارائه هندسه توسط اقلیدس در "عناصر" خود (قرن 3 قبل از میلاد) دانست. سهم قابل توجهی در توسعه روش بدیهی ساخت هندسه و جبر توسط N.I. لوباچفسکی و ای. گالویس. در پایان قرن نوزدهم. ریاضیدان ایتالیایی Peano سیستمی از بدیهیات حساب را ایجاد کرد.

مفاهیم و روابط اساسی نظریه بدیهی اعداد طبیعی. تعیین عدد طبیعی.

به عنوان یک مفهوم اساسی (تعریف نشده) در برخی مجموعه ها ن انتخاب شد نگرش ، و همچنین از مفاهیم نظری مجموعه ، و همچنین قوانین منطق استفاده کرد.

عنصر بلافاصله پس از عنصر و ،مشخص کن و ".

رابطه "بلافاصله دنبال کنید" بدیهیات زیر را برآورده می کند:

بدیهیات Peano:

بدیهیات 1... مجموعه ن به طور مستقیم یک عنصر وجود دارد بعدی نیست فراتر از هر عنصر از این مجموعه. ما آن را صدا خواهیم کرد واحد و با نماد نشان می دهد 1 .

بدیهیات 2... برای هر مورد و از ن فقط یک عنصر وجود دارد و " بلافاصله به دنبال و .

بدیهیات 3... برای هر مورد و از نحداکثر یک عنصر بلافاصله دنبال می شود و .

بدیهیات 4 هر زیر مجموعه م جمعیت ن مصادف با ن اگر دارای خصوصیات زیر باشد: 1) 1 موجود در م ; 2) از این واقعیت که و موجود در م , نتیجه می شود که و " موجود در م

تعریف 1... خیلی زیاد ن ، برای عناصر که رابطه است "مستقیم دنبال کنید»رضایت بدیهی های 1-4 نامیده می شود مجموعه ای از اعداد طبیعیو عناصر آن هستند اعداد طبیعی.

این تعریف در مورد ماهیت عناصر مجموعه چیزی نمی گوید ن . از این رو ، هر چیزی می تواند باشد. انتخاب به عنوان یک مجموعه ن برخی از مجموعه های خاص ، که یک رابطه خاص "بلافاصله دنبال می شود" تنظیم شده است ، بدیهیات 1-4 ، ما بدست می آوریم مدل این سیستم بدیهیات

مدل استاندارد سیستم بدیهی Peano یک سری اعداد است که در روند توسعه تاریخی جامعه بوجود آمده است: 1،2،3،4 ، ... سری طبیعی با شماره 1 شروع می شود (بدیهی 1) ؛ هر عدد طبیعی بلافاصله یک عدد طبیعی واحد دنبال می کند (بدیهی 2). هر عدد طبیعی بلافاصله حداکثر یک عدد طبیعی را دنبال می کند (بدیهی 3). با شروع از عدد 1 و عبور به ترتیب بلافاصله به دنبال یکی دیگر از اعداد طبیعی ، کل مجموعه این اعداد را بدست می آوریم (بدیهی 4).

بنابراین ، ما ساخت بدیهی یک سیستم از اعداد طبیعی را با انتخاب پایه شروع کردیم مستقیماً رابطه را دنبال کنید و بدیهیاتی که خصوصیات آن را توصیف می کنند. ساخت بیشتر نظریه شامل در نظر گرفتن خصوصیات شناخته شده اعداد طبیعی و عملیات روی آنها است. آنها باید در تعاریف و قضیه ها افشا شوند ، از یک رابطه کاملاً منطقی از رابطه "بلافاصله دنبال کنید" و بدیهیات 1-4 استنباط می شود.

اولین مفهومی که پس از تعریف عدد طبیعی معرفی خواهیم کرد نگرش "بلافاصله مقدم است" , که اغلب هنگام در نظر گرفتن خصوصیات محدوده طبیعی استفاده می شود.

تعریف 2 اگر یک عدد طبیعی باشد ب مستقیم دنبال می شود عدد طبیعی و, آن تعداد و نامیده می شود بلافاصله قبل (یا قبل) شماره ب .

رابطه "مقدم" است تعدادی از خواص.

قضیه 1. واحد فاقد تعداد طبیعی قبلی است.

قضیه 2. هر عدد طبیعی وغیر از 1 دارای یک شماره قبلی است ب ،به طوری که ب "= و

ساخت بدیهی نظریه اعداد طبیعی در مدارس ابتدایی یا متوسطه در نظر گرفته نشده است. با این حال ، خصوصیات این رابطه "بلافاصله دنبال می شود" ، که در بدیهیات Peano منعکس شده است ، موضوع مطالعه در دوره اولیه ریاضیات است. قبلاً در کلاس اول ، هنگام در نظر گرفتن اعداد ده اول ، مشخص می شود که چگونه می توان هر عدد را بدست آورد. در این حالت از مفاهیم "باید" و "قبل" استفاده می شود. هر عدد جدید به عنوان ادامه بخش مورد مطالعه از سری طبیعی اعداد عمل می کند. دانش آموزان متقاعد می شوند که هر عدد بعدی و علاوه بر این فقط یک عدد بی نهایت بودن سری طبیعی اعداد است.

جمع اعداد طبیعی

طبق قوانین ساخت یک تئوری بدیهی ، تعریف جمع اعداد طبیعی باید فقط با استفاده از رابطه ارائه شود "مستقیم دنبال کنید"، و مفاهیم "عدد طبیعی" و "شماره مقدماتی".

ما تعریف جمع را با استدلال زیر مقدمه می کنیم. اگر به هر عدد طبیعی باشد و1 را اضافه کنید ، سپس شماره را دریافت می کنیم و "،بلافاصله به دنبال و، یعنی و+ 1 \u003d a "و بنابراین ، ما قانون اضافه کردن 1 به هر عدد طبیعی را بدست می آوریم. اما نحوه افزودن به عدد وعدد طبیعی ب ،غیر از 1؟ بیایید از این واقعیت استفاده کنیم: اگر مشخص شد که 2 + 3 \u003d 5 ، پس حاصل جمع 2 + 4 \u003d 6 است که بلافاصله عدد 5 را دنبال می کند. این اتفاق می افتد زیرا در جمع 2 + 4 اصطلاح دوم عددی است که بلافاصله بعد از عدد 3 قرار می گیرد. بنابراین 2 + 4 \u003d 2 + 3 " =(2+3)". به طور کلی ، ما داریم , .

این حقایق مبنایی برای تعریف جمع اعداد طبیعی در نظریه بدیهی است.

تعریف 3. جمع اعداد طبیعی یک عمل جبری با خصوصیات زیر نامیده می شود:

عدد a + b نامیده می شود جمع اعداد وو ب , و خود اعداد وو ب - مقررات.

این سیستم بدیهیات برای نظریه اعداد صحیح مستقل نیست ، همانطور که در تمرین 3.1.4 ذکر شده است.

قضیه 1نظریه بدیهی اعداد صحیح سازگار است.

شواهد و مدارک. ما سازگاری نظریه بدیهی اعداد صحیح را بر این فرض که تئوری بدیهی اعداد طبیعی سازگار باشد ، اثبات خواهیم کرد. برای این ، ما مدلی را خواهیم ساخت که تمام بدیهیات نظریه ما بر اساس آن انجام می شود.

ابتدا حلقه بسازیم. مجموعه را در نظر بگیرید

ن´ ن = {(الف ، ب)ï الف ، بÎ ن}.

الف ، ب) اعداد طبیعی. منظور ما از چنین جفتی اختلاف اعداد طبیعی است الف - ب... اما تا زمانی که وجود سیستمی از اعداد صحیح که چنین تفاوتی در آن وجود دارد اثبات نشده است ، ما حق استفاده از چنین تعریفی را نداریم. در عین حال ، این درک به ما این فرصت را می دهد تا خصوصیات جفت ها را در صورت نیاز تنظیم کنیم.

ما می دانیم که تفاوت های مختلف اعداد طبیعی می تواند برابر با یک عدد صحیح باشد. بر این اساس ، ما در مجموعه معرفی می کنیم ن´ ن رابطه برابری:

(الف ، ب) = (ج ، د) Û a + d \u003d b + c.

به راحتی می توان فهمید که این رابطه انعکاسی ، متقارن و انتقالی است. بنابراین ، این یک رابطه هم ارز است و حق دارد برابری نامیده شود. فاکتور تنظیم کنید ن´ ن ز... عناصر آن عدد صحیح نامیده می شوند. آنها کلاسهای معادل سازی را روی مجموعه ای از جفت ها نشان می دهند. کلاس حاوی جفت
(الف ، ب) ، ما با [ الف ، ب].

ز الف ، ب] به عنوان یک تفاوت الف - ب

[الف ، ب] + [ج ، د] = [a + c ، b + d];

[الف ، ب] × [ ج ، د] = [ac + bd ، تبلیغ + bc].

باید در نظر داشت که ، به عبارت دقیق ، استفاده از نمادهای عملیاتی در اینجا کاملاً صحیح نیست. همان نماد + نشانگر جمع اعداد و جفت های طبیعی است. اما از آنجا که همیشه مشخص است که یک عملیات مشخص در کدام مجموعه انجام می شود ، در اینجا ما برای این عملیات نامگذاری جداگانه ای ارائه نخواهیم کرد.

لازم است صحت تعاریف این عملیات بررسی شود ، یعنی اینکه نتایج به انتخاب عناصر بستگی ندارند آو بتعریف جفت [ الف ، ب] در واقع ، اجازه دهید

[الف ، ب] = [آ 1 ، ب 1 ], [sD] = [از جانب 1 ، د 1 ].

معنیش اینه که a + b 1 = b + a 1 , c + d 1 = د + از جانب 1 با اضافه کردن این برابری ها ، به دست می آوریم

a + b 1 + c + d 1 = b + a 1 + د + از جانب 1 Þ [ a + b ، c + d] = [آ 1 + از جانب 1 ، ب 1 + د 1]

Þ [ الف ، ب] + [ج ، د] = [آ 1 ، ب 1 ] + [ج 1 ، د 1 ].

صحت تعریف ضرب به طور مشابه تعیین می شود. اما در اینجا باید ابتدا بررسی شود که [ الف ، ب] × [ ج ، د] = [آ 1 ، ب 1] × [ ج ، د].

حال باید بررسی کنیم که جبر حاصل یک حلقه باشد ، بدیهیات (Z1) - (Z6) باشد.

بگذارید مثلاً عواملی بودن جمع ، یعنی بدیهیات (Z2) را بررسی کنیم. ما داریم

[ج ، د] + [الف ، ب] = = [a + c ، b + d] = [الف ، ب] + [ج ، د].

اشتراکی بودن جمع برای اعداد صحیح از عواملی برای اعداد طبیعی حاصل می شود که در نظر گرفته شده است.

بدیهیات (Z1) ، (Z5) ، (Z6) به روشی مشابه تأیید می شوند.

این جفت نقش صفر را بازی می کند. ما آن را با نشان می دهیم 0 ... واقعاً

[الف ، ب] + 0 = [الف ، ب] + = [a +1، b +1] = [الف ، ب].

سرانجام، -[ الف ، ب] = [ب ، الف] واقعاً

[الف ، ب] + [ب ، الف] = [a + b ، b + a] = = 0 .

حالا اجازه دهید بدیهیات پسوند را بررسی کنیم. باید در نظر داشت که در حلقه ساخته شده هیچ عددی طبیعی وجود ندارد ، زیرا عناصر حلقه دسته های جفت اعداد طبیعی هستند. بنابراین ، یافتن یک ناهمگن زیر جبر برای منشعب شدن اعداد طبیعی مورد نیاز است. در اینجا دوباره ایده جفت [ الف ، ب] به عنوان یک تفاوت الف - ب... عدد طبیعی n می تواند به عنوان تفاوت دو مقدار طبیعی نشان داده شود ، به عنوان مثال ، به شرح زیر: n = (n + 1) - 1. از این رو قضیه برای ایجاد مکاتبات ایجاد می شود f: ن ® ز طبق قاعده

f(n) = [n + 1, 1].

این مسابقه کاربردی است:

f(n) = f(متر) Þ [ n + 1, 1]= [متر 1+ 1] Þ ( n + 1) + 1= 1 + (متر + 1) n \u003d متر.

بنابراین ، ما مکاتبه ای یک به یک بین داریم ن و برخی از زیرمجموعه ها ز، که با آن نشان می دهیم N *... بیایید بررسی کنیم که آیا عملیات را ذخیره می کند:

f(n) + f(متر) = [n + 1, 1]+ [متر + 1, 1] = [n + متر +2, 2]= [n + متر+ 1, 1] = f(n + m);

f(n) × f(متر) = [n 1 + 1 ، 1] × [ متر + 1, 1] = [nm + n + متر +2, n + m +2]= [نانومتر+ 1, 1] = f(نانومتر).

بنابراین مشخص شد که N * در شکل می گیرد ز با توجه به عملیات جمع و ضرب ، جبر فرعی یک شکل نیست ن

ما یک جفت را نشان می دهیم [ n 1+ 1] از N * n، از طریق n الف ، ب] ما داریم

[الف ، ب] = [آ + 1, 1] + = [آ + 1, 1] – [ب + 1, 1] = آ – ب .

بنابراین ، سرانجام ، مفهوم جفت [ الف ، ب] به عنوان تفاوت اعداد طبیعی. در همان زمان ، مشخص شد که هر عنصر از مجموعه ساخته شده است ز به عنوان تفاوت دو ارزش طبیعی نشان داده شده است. این به بررسی بدیهی بودن حداقل کمک خواهد کرد.

بگذار م -زیرمجموعه ز, حاوی N *و همراه با هر عنصر و و ب تفاوت آنها الف - ب... بگذارید در این صورت ثابت کنیم M \u003dز... در واقع ، هر عنصری از ز به عنوان اختلاف دو عدد طبیعی نشان داده می شود که طبق شرایط متعلق به آنهاست م همراه با تفاوت آن.

ز

قضیه 2نظریه بدیهی اعداد صحیح طبقه ای است.

شواهد و مدارک. بگذارید ثابت کنیم که هر دو مدلی که تمام بدیهیات این نظریه روی آنها قرار دارد ، یکدست نیستند.

بگذارید ب ز 1 ، + ، ، ن 1 و á ز 2 ، + ، × ، ن 2 ñ - دو مدل از تئوری ما. به عبارت دقیق ، عملیات در آنها باید با نمادهای مختلف نشان داده شود. ما از این نیاز دور خواهیم شد تا محاسبات را بهم نریزیم: هر بار مشخص می شود که در مورد چه عملیاتی صحبت می کنیم. عناصر متعلق به مدلهای مورد بررسی با شاخصهای مربوطه 1 یا 2 تامین می شوند.

ما قصد داریم یک نقشه ناهمسان از مدل اول به مدل دوم تعریف کنیم. زیرا ن 1 و ن 2 semirings از اعداد طبیعی است ، سپس یک نقشه ناهمسان از j semiring اول به دوم وجود دارد. ما نقشه برداری را تعریف می کنیم f: ز 1 ز 2 هر عدد صحیح ایکس 1 ز 1 به عنوان تفاوت دو مقدار طبیعی نشان داده شده است:
ایکس 1 \u003d الف 1 - ب 1 ما اعتقاد داریم

f (ایکس 1) \u003d j ( آ 1) – j ( ب 1).

بگذارید این را ثابت کنیم f - همسان سازی نگاشت به درستی تعریف شده است: اگر ایکس 1 = در 1 ، کجا y 1 = ج 1 – د 1 ، پس

آ 1 - ب 1 = ج 1 – د 1 آ 1 + d 1 = ب 1 + ج 1 Þ j ( آ 1 + d 1) \u003d j ( ب 1 + ج 1)

Þ j ( آ 1) + j ( د 1) \u003d j ( ب 1) + j ( ج 1) Þ j ( آ 1) - j ( ب 1) \u003d j ( ج 1) - j ( د 1) f(ایکس 1) = f (y 1).

از این رو نتیجه می شود که f - نقشه برداری بدون ابهام ز 1 اینچ ز 2 اما برای هرکسی ایکس 2 از ز 2 عنصر طبیعی را می توان یافت آ 2 و ب 2 مانند ایکس 2 \u003d الف 2 - ب 2 از آنجا که j یک شکل یک شکل است ، این عناصر تصاویر معکوس دارند آ 1 و ب 1 از این رو ، ایکس 2 \u003d j ( آ 1) – j ( ب 1) =
= f (آ 1 - ب 1) ، و هر عنصر از ز 2 نمونه اولیه است. از این رو مکاتبات انجام می شود f یک به یک. بیایید بررسی کنیم که این باعث صرفه جویی در عملیات می شود.

اگر یک ایکس 1 \u003d الف 1 - ب 1 , y 1 \u003d ج 1 - د 1 ، پس

ایکس 1 + y 1 = (آ 1 + ج 1) – (ب 1 + د 1),

f(ایکس 1 + y 1) \u003d j ( آ 1 + ج 1) – j ( ب 1 + د 1) \u003d j ( آ 1) + j ( ج 1) – j ( ب 1) – j ( د 1) =

J ( آ 1) – j ( ب 1) + j ( ج 1)– j ( د 1) = f(ایکس 1) + f(y 1).

به همین ترتیب بررسی می شود که ضرب حفظ شود. بنابراین مشخص شد که f آیا یک شکل است و قضیه اثبات شده است.

تمرینات

1. ثابت کنید که هر حلقه ای که شامل یک سیستم از اعداد طبیعی باشد ، یک حلقه از اعداد صحیح را نیز شامل می شود.

2. ثابت کنید که هر کمترین حلقه عوض شده با وحدت با حلقه اعداد صحیح یکسان نیست.

3. ثابت کنید که هر حلقه مرتب شده با وحدت و بدون تقسیم کننده صفر حاوی و فقط یک انحراف غیر حلقه ای زیر حلقه اعداد صحیح است.

4. ثابت کنید که حلقه ماتریس های مرتبه دوم روی قسمت اعداد واقعی حاوی بی نهایت بسیاری از زیرشاخه ها با حلقه اعداد صحیح یکدست است.

فیلد شماره گویا

تعریف و ساخت سیستم اعداد گویا به همان روشی که برای سیستم اعداد صحیح انجام می شود ، انجام می شود.

تعریف.سیستم اعداد گویا یک قسمت حداقل است که پسوند حلقه اعداد صحیح است.

مطابق با این تعریف ، ساخت بدیهی زیر را از یک سیستم اعداد گویا بدست می آوریم.

اصطلاحات اولیه:

س - مجموعه ای از اعداد منطقی ؛

0 ، 1 - ثابت ها ؛

+ ، × - عملیات باینری روشن است س

ز - زیرمجموعه س، مجموعه ای از اعداد صحیح

Е، Д - عملیات باینری روشن ز.

بدیهیات:

من. بدیهیات میدانی.

(Q1) آ+ (b + c) = (a + b) + ج.

(Q2) a + b \u003d b + a.

(Q3) (" آ) آ + 0 = آ.

(Q4) (" آ)($(–آ)) آ + (–آ) = 0.

(Q5) آ× ( ب× ج) = (آ× ب) × ج.

(Q6) آ× ب \u003d ب× آ.

(Q7) و × 1 \u003d و.

(Q8) (" آ¹ 0)($ آ –1) آ × آ –1 = 1.

(Q9) ( a + b) × c \u003d a × c + b× ج.

دوم بدیهیات پسوند.

(Q10) ز، M ، L ، 0 ، 1ñ حلقه اعداد طبیعی است.

(Q11) ز Í س.

(Q12) (" الف ، بÎ ز) a + b \u003d aÅ ب.

(Q13) (" الف ، بÎ ز) آ× b \u003d aÄ ب.

III بدیهی بودن حداقل.

(Q14) مÍ س, زÍ م, ("الف ، بÎ م)(ب ¹ 0 ® آ× ب –1 م)Þ م = س.

عدد آ× ب -1 ضریب نامیده می شود و و ب، مشخص شده آ/ب یا .

قضیه 1هر عدد منطقی به عنوان ضریب دو عدد کامل نشان داده می شود.

شواهد و مدارک. بگذار م - مجموعه اعداد گویا ، که به عنوان مقدار دو عدد صحیح نشان داده شده است. اگر یک n - کامل ، پس n \u003d n/ 1 متعلق به م، از این رو ، زÍ م... اگر یک الف ، بÎ مسپس a \u003d k/ l ، b \u003d m/ n ،جایی که k ، l ، m ، nÎ ز... از این رو ، آ/ ب=
= (kn) / (لم)Î م... توسط بدیهیات (Q14) م= س، و قضیه اثبات شده است.

قضیه 2زمینه اعداد گویا را می توان بصورت خطی و دقیق و به روشی منحصر به فرد مرتب کرد. ترتیب در زمینه اعداد منطقی Archimedes است و ترتیب را در حلقه اعداد صحیح ادامه می دهد.

شواهد و مدارک. بگذارید با مشخص کنیم س + مجموعه اعدادی که به عنوان کسر نمایش داده می شوند ، kl \u003e 0. به راحتی می توان دریافت که این شرایط به نوع کسری که عدد را نشان می دهد بستگی ندارد.

اجازه دهید ما بررسی کنیم س + – قسمت مثبت این رشته س... از آنجا که برای یک عدد صحیح است kl سه مورد ممکن است: kl = 0, klÎ ن, –kl Î ن، سپس برای a \u003d یکی از سه احتمال را بدست می آوریم: a \u003d 0، aÎ س + ، –AÎ س + ... بعلاوه ، اگر a \u003d ، b \u003d متعلق به س + ، پس kl > 0, mn \u003e 0. سپس a + b \u003d ، و ( kn + ml)ln \u003d kln 2 + mnl 2\u003e 0. از این رو ، a + bÎ س + ... به همین ترتیب تأیید می شود که abÎ س + ... به این ترتیب س + - قسمت مثبت این رشته س.

بگذار س ++ - هر قسمت مثبت در این زمینه. ما داریم

l \u003d .l 2 Î س ++ .

از اینجا نÍ س ++ با قضیه 2.3.4 ، اعداد معکوس نسبت به اعداد طبیعی نیز متعلق هستند س ++ سپس س + Í س ++ توسط قضیه 2.3.6 س + =س ++ بنابراین ، سفارشات تعریف شده توسط قسمتهای مثبت نیز همزمان هستند س + و س ++ .

زیرا ز + = نÍ س + ، سپس سفارش در س ادامه سفارش در ز.

حالا بگذارید a \u003d\u003e 0 ، b \u003d\u003e 0. از آنجا که ترتیب در حلقه اعداد صحیح ارشمیدس است ، پس برای مثبت knو میلی لیتر طبیعی است از جانب به طوری که از جانب× kn> میلی لیتر... از اینجا از جانبa \u003d از جانب \u003e \u003d ب از این رو ، ترتیب در زمینه اعداد گویا ، ارشمیدس است.

تمرینات

1. ثابت کنید که میدان اعداد گویا متراکم است ، یعنی برای هر عدد گویا آ < ب منطقی وجود دارد ر به طوری که آ < ر < ب.

2. ثابت کنید که معادله ایکس 2 = 2 هیچ راه حلی در ندارد س.

3. ثابت کنید که مجموعه س شمردنی.

قضیه 3.نظریه بدیهی اعداد گویا سازگار است.

شواهد و مدارک. سازگاری نظریه بدیهی اعداد گویا به همان روشی که برای اعداد صحیح اثبات شده است. برای این ، مدلی ساخته شده است که تمام بدیهیات تئوری بر اساس آن انجام می شود.

ما مجموعه را مبنا قرار می دهیم

ز´ Z * = {(الف ، ب)ï الف ، بÎ ز, ب ¹ 0}.

عناصر این مجموعه جفت هستند ( الف ، ب) اعداد صحیح منظور ما از چنین جفتی ضریب اعداد صحیح است آ/ب... مطابق با این ، خواص جفت ها را تنظیم می کنیم.

در مجموعه ز´ Z * رابطه برابری:

(الف ، ب) = (ج ، د) Û آگهی \u003d قبل از میلاد.

ما توجه می کنیم که این یک رابطه هم ارز است و حق دارد برابری نامیده شود. فاکتور تنظیم کنید ز´ Z * با توجه به این رابطه برابری که با آن مشخص می کنیم س... عناصر آن اعداد گویا نامیده می شوند. کلاس حاوی جفت ( الف ، ب) ، ما با [ الف ، ب].

در مجموعه ساخته شده معرفی کنید س عملیات جمع و ضرب. نمایش عنصر [ الف ، ب] به عنوان یک شخص خصوصی آ/ ب... مطابق با این ، ما طبق تعریف فرض می کنیم:

[الف ، ب] + [ج ، د] = [تبلیغ + bc ، bd];

[الف ، ب] × [ ج ، د] = [ac ، bd].

ما صحت تعاریف این عملیات را بررسی می کنیم ، یعنی اینکه نتایج به انتخاب عناصر بستگی ندارد آو بتعریف جفت [ الف ، ب] این کار به همان روشی است که در اثبات قضیه 3.2.1 انجام شده است.

این جفت نقش صفر را بازی می کند. ما آن را با نشان می دهیم 0 ... واقعاً

[الف ، ب] + 0 = [الف ، ب] + = [a1 + 0 ب ، ب1] = [الف ، ب].

مخالف [ الف ، ب] یک جفت است - [ الف ، ب] = [–الف ، ب] واقعاً

[الف ، ب] + [–الف ، ب]= [ab - ab ، bb] = = 0 .

واحد یک جفت است \u003d 1 ... عکس این جفت [ الف ، ب] - جفت [ ب ، الف].

حالا اجازه دهید بدیهیات پسوند را بررسی کنیم. بیایید مکاتبه ای ایجاد کنیم
f: ز ® س طبق قاعده

f(n) = [n, 1].

ما بررسی می کنیم که این مکاتبات یک به یک بین است ز و برخی از زیرمجموعه ها س، که با آن نشان می دهیم Z *... ما بیشتر بررسی می کنیم که آیا عملیات را حفظ می کند ، به این معنی که بین یکدیگر یک شکل گیری ایجاد می کند زو زیرمجموعه Z * که در س... از این رو ، بدیهیات پسوند تأیید شده است.

ما یک جفت را نشان می دهیم [ n، 1] از Z *مربوط به عدد طبیعی است n، از طریق n ... سپس برای یک جفت دلخواه [ الف ، ب] ما داریم

[الف ، ب] = [آ،1] × \u003d [ آ،1] / [ب ،1] = آ /ب .

بنابراین ، مفهوم جفت [ الف ، ب] به عنوان ضریب اعداد صحیح. در همان زمان ، مشخص شد که هر عنصر از مجموعه ساخته شده است س به عنوان ضریب دو کل نشان داده شده است. این به بررسی بدیهی بودن حداقل کمک خواهد کرد. بررسی همانند قضیه 3.2.1 انجام می شود.

بنابراین ، برای سیستم ساخته شده است س تمام بدیهیات نظریه اعداد صحیح برآورده شده است ، یعنی ما مدلی از این نظریه ساخته ایم. قضیه اثبات شده است.

قضیه 4.نظریه بدیهی اعداد گویا طبقه ای است.

اثبات مشابه اثبات قضیه 3.2.2 است.

قضیه 5.فیلد مرتب شده Archimedean پسوند فیلد اعداد گویا است.

اثبات - به عنوان یک تمرین.

قضیه 6.بگذار F - مزرعه سفارش شده Archimedean ، آ > ب ،جایی که الف ، بÎ F... یک عدد منطقی وجود دارد F به طوری که آ > > ب.

شواهد و مدارک. بگذار آ > ب ³ 0. سپس الف - ب\u003e 0 ، و ( الف - ب) –1\u003e 0. یک امر طبیعی وجود دارد تی به طوری که متر× 1\u003e ( الف - ب) –1 ، از کجا متر –1 < الف - ب £ و... علاوه بر این ، یک طبیعی وجود دارد ک به طوری که ک× متر –1 آ... بگذار ک کوچکترین عددی است که این نابرابری برای آن به همراه دارد. زیرا ک \u003e 1 ، سپس می توانیم قرار دهیم k \u003d n + 1, n Î ن... که در آن
(n + 1) متر –1 آ, n× متر –1 < آ... اگر یک n× متر –1 بسپس آ = ب + (الف - ب) > b + m –1 n× متر –1 + متر –1 =
= (n + 1) متر -1 تناقض. از این رو ، آ > n× متر –1 > ب.

تمرینات

4. ثابت کنید که هر فیلدی که شامل یک حلقه از اعداد صحیح باشد ، شامل زمینه اعداد گویا نیز می باشد.

5. ثابت کنید که هر قسمت حداقل مرتب شده با فیلد اعداد گویا ناهمسان است.

اعداد واقعی

برای اعداد واقعی ، نشان داده شده توسط (به اصطلاح R خرد شده) ، عمل جمع ("+") معرفی شده است ، یعنی هر جفت عنصر ( ایکس,y) از مجموعه اعداد واقعی ، این عنصر است ایکس + y از همان مجموعه ، مجموع نامیده می شود ایکس و y .

بدیهیات ضرب

عمل ضرب ("·") ، برای هر جفت عنصر ( ایکس,y) از مجموعه اعداد واقعی ، یک عنصر (یا به طور خلاصه ، ایکسy ) از همان مجموعه ، محصول نامیده می شود ایکس و y .

رابطه جمع و ضرب

بدیهیات را سفارش دهید

در رابطه ترتیب داده شده "" (کمتر یا مساوی) ، یعنی برای هر جفت x ، y حداقل از یکی از شرایط یا

رابطه نظم و رابطه جمع

رابطه نظم و ضرب

بدیهیات تداوم

اظهار نظر

این بدیهی بدان معنی است که اگر ایکس و بله - دو مجموعه غیر خالی از اعداد واقعی به طوری که هر عنصر از ایکس بیش از هر عنصر از بله، سپس می توان یک عدد واقعی را بین این مجموعه ها وارد کرد. این بدیهی برای اعداد منطقی نگهداری نمی شود. مثال کلاسیک: اعداد منطقی مثبت را در نظر بگیرید و به مجموعه مراجعه کنید ایکس آن اعدادی که مربع آنها کمتر از 2 است و بقیه - k بله... سپس بین ایکس و بله شما نمی توانید یک عدد منطقی (نه یک عدد منطقی) وارد کنید.

این بدیهی کلیدی تراکم را فراهم می کند و بنابراین امکان ساخت تجزیه و تحلیل ریاضی را فراهم می کند. برای نشان دادن اهمیت آن ، به دو پیامد اساسی آن اشاره می کنیم.

نتیجه گیری از بدیهیات

برخی از خصوصیات مهم اعداد واقعی مستقیماً از بدیهیات دنبال می شوند ، به عنوان مثال ،

• منحصر به فرد بودن صفر ،
• منحصر به فرد عناصر مخالف و مخالف است.

ادبیات

• زوریخ V.A. تحلیل ریاضی. جلد I. م.: فاضس ، 1997 ، فصل 2.

همچنین ببینید

پیوندها

بنیاد ویکی مدیا. 2010

ببینید که "Axiomatics اعداد واقعی" در دیکشنری های دیگر چیست:

عدد واقعی یا واقعی یک انتزاع ریاضی است که از نیاز به اندازه گیری مقادیر هندسی و فیزیکی دنیای اطراف و همچنین انجام عملیاتی مانند استخراج ریشه ، محاسبه لگاریتم ها ، حل ...

اعداد واقعی یا انتزاعی ریاضی ، که بطور خاص برای نشان دادن و مقایسه مقادیر مقادیر فیزیکی عمل می کند. چنین عددی را می توان بصورت شهودی به عنوان توصیف موقعیت یک نقطه بر روی یک خط نمایش داد ... ... ... ویکی پدیا

اعداد واقعی یا انتزاعی ریاضی ، که بطور خاص برای نشان دادن و مقایسه مقادیر مقادیر فیزیکی عمل می کند. چنین عددی را می توان بصورت شهودی به عنوان توصیف موقعیت یک نقطه بر روی یک خط نمایش داد ... ... ... ویکی پدیا

اعداد واقعی یا انتزاعی ریاضی ، که بطور خاص برای نشان دادن و مقایسه مقادیر مقادیر فیزیکی عمل می کند. چنین عددی را می توان بصورت شهودی به عنوان توصیف موقعیت یک نقطه بر روی یک خط نمایش داد ... ... ... ویکی پدیا

اعداد واقعی یا انتزاعی ریاضی ، که بطور خاص برای نشان دادن و مقایسه مقادیر مقادیر فیزیکی عمل می کند. چنین عددی را می توان بصورت شهودی به عنوان توصیف موقعیت یک نقطه بر روی یک خط نمایش داد ... ... ... ویکی پدیا

اعداد واقعی یا انتزاعی ریاضی ، که بطور خاص برای نشان دادن و مقایسه مقادیر مقادیر فیزیکی عمل می کند. چنین عددی را می توان بصورت شهودی به عنوان توصیف موقعیت یک نقطه بر روی یک خط نمایش داد ... ... ... ویکی پدیا

اعداد واقعی یا انتزاعی ریاضی ، که بطور خاص برای نشان دادن و مقایسه مقادیر مقادیر فیزیکی عمل می کند. چنین عددی را می توان بصورت شهودی به عنوان توصیف موقعیت یک نقطه بر روی یک خط نمایش داد ... ... ... ویکی پدیا

ویکی پدیا حاوی مقاله "بدیهی" است (دیگر یونانی ... ویکی پدیا

بدیهیاتی که در سیستمهای مختلف بدیهی اتفاق می افتد. بدیهیات اعداد واقعی بدیهیات هیلبرت از هندسه اقلیدسی بدیهیات نظریه احتمالات کلموگوروف ... ویکی پدیا