تعریف:اگر هر عنصر ایکسجمعیت ایکسطبق هر قانونی f(یا طبق یک قانون خاص f) به یک عنصر اختصاص داده شده است دراز جمعیت دارند، سپس آنها می گویند که داده شده است وابستگی عملکردی دراز جانب ایکسدر قانون y= f(ایکس) یا تابع y= f(ایکس).
که در آن ایکسنامیده می شود متغیر مستقل (یا بحث و جدل ),y -متغیر وابسته (یا مقدار تابع ) خیلی زیاد ایکسنامیده می شود محدوده (یا منطقه وجود) تابع است و مشخص می شود د(f) ، بسیاری از دارندنامیده می شود دامنه تابع و نشان داده شده است E (f).
اگر مجموعه ایکسمشخص نشده است ، دامنه تعریف تابع به معنای دامنه مقادیر قابل قبول متغیر مستقل است ایکس، که فرمول برای آن منطقی است. مثلاً برای.
تنظیم عملکرد - به معنای نشان دادن قانون است fیا قانونی که دانستن را مجاز می داند ایکسپیدا کردن مقدار تطبیق در.
راه های تنظیم عملکرد :
1. تحلیلی - اگر عملکرد با استفاده از فرمول مشخص شده باشد. راحت ترین روش برای تجزیه و تحلیل ریاضی ، به شما امکان می دهد عملکرد را کشف کنید.
2. جدولی - اگر جدولی از مقادیر تابع مربوط به یک مقدار آرگومان خاص داده شود. این روش کاربرد گسترده ای در اقتصاد دارد: اندازه گیری های آزمایشی ، جداول صورت های مالی ، بانکداری ، داده های آماری و غیره.
3. گرافیکی - اگر برنامه ای تنظیم شده باشد. این روش معمولاً با استفاده از دستگاه های ضبط کننده (اسیلوسکوپ ، لرزه نگار و ...) استفاده می شود. اقتصاد از نمودارهایی استفاده می کند که مشخص کننده پویایی پارامترهای اقتصادی است: حجم تولید ناخالص داخلی ، درآمد ، نرخ ارز ، قیمت سهام و غیره.
4. کلامی - اگر تابع توسط یک قانون توصیف شده باشد ، برای مثال ، تابع Dirichlet را تشکیل می دهد: f(ایکس)=1 ، اگر یک ایکس - منطقی و f(ایکس)=0 ، اگر یک ایکس- غیر منطقی
خصوصیات اساسی توابع
1. برابری زوج و فرد
تابع y= f(ایکس) نامیده می شود زوج ، اگر یک ایکس D (f)شرایط وجود دارد: -ایکس D (f)و f (-x) \u003d f (x) ؛عجیب است اگر ایکس D (f)شرایط زیر وجود دارد: ایکس D (f)و f (-x)= f (x)
که در آن D (f) نامیده می شود متقارن با توجه به O (0؛ 0). نمودار یک تابع زوج در مورد Oy متقارن است و نمودار یک فرد در مورد O (0؛ 0).
2. یکنواختی
تابع فراخوانی می شود در حال افزایش
در بین من
D (f)در صورت تحقق شرط: 
و کاهش نیافته
، اگر یک 
... تابع فراخوانی می شود در حال کاهش
در بین من
D (f)در صورت تحقق شرط: 
و بدون افزایش
، اگر یک 
.
برای مثال، fدر کاهش می یابد ایکس (a؛ b)، در کاهش نمی یابد ایکس (قبل از میلاد مسیح)و در افزایش می یابد ایکس (از جانب؛د)
توابع افزایش ، کاهش نیافته ، کاهش یافته و افزایش نمی یابند من D (f)نامیده می شوند یکنواخت در این فاصله ، و افزایش و کاهش - کاملاً یکنواخت .
3. محدودیت
تابع فراخوانی می شود محدود
در مجموعه D (f)اگر یک عدد M\u003e 0 وجود داشته باشد به طوری که
ایکس
D (f)نابرابری برقرار است 
... یا به طور خلاصه:
نمودار این توابع محدود به خطوط مستقیم هستند 
... برای مثال، y \u003dگناه کردن
ایکس
محدود به کارگردانی 
.
4. دوره ای بودن
تابع فراخوانی می شود تناوبی در مجموعه D (f)اگر یک عدد T\u003e 0 وجود داشته باشد به طوری که ایکس D (f)ارزش (x + T) D (f)و f(ایکس+ تی)= f(ایکس) .
عدد T نامیده می شود عادت زنانه کارکرد. اگر Т یک دوره باشد ، nT نیز یک دوره است ، جایی که n \u003d ± 1 ؛ ± 2 ؛ ...
به عنوان مثال ، عملکرد y \u003dگناه کردن ایکس دوره ای است ، زیرا ایکس D (f) گناه کردن(ایکس+2 π )= گناه کردن ایکس. به همین ترتیب ، می توان ثابت کرد که 2 π π 4π ؛ π 6π؛ also نیز دوره هستند. دوره 2π است حداقل مثبت و تماس گرفت اصلی .
کاربرد توابع در اقتصاد
از توابع به طور گسترده ای در نظریه و عمل اقتصادی استفاده می شود. توابع معمولاً مورد استفاده قرار می گیرند:
1.عملکرد سودمند (عملکرد اولویت) - وابستگی به ابزار ، به عنوان مثال نتیجه ، تأثیر برخی اقدامات بر سطح (شدت) این عمل است.
2.عملکرد تولید وابستگی نتیجه فعالیت تولید به عواملی که باعث آن شده است.
3.عملکرد انتشار (نوع خاصی از عملکرد تولید) - وابستگی حجم تولید به در دسترس بودن یا مصرف منابع.
4.تابع هزینه (نوع خاصی از عملکرد تولید) - وابستگی هزینه های تولید به حجم تولید.
5.عملکرد تقاضا ، مصرف و عرضه - وابستگی حجم تقاضا ، مصرف یا عرضه برای کالاهای خاص یا خدمات به عوامل مختلف (به عنوان مثال ، قیمت ، درآمد و غیره).
به عنوان مثال ، با بررسی وابستگی تقاضای کالاهای مختلف به درآمد ، می توانید سطح درآمد را تعیین کنید 
که در آن کسب کالاهای خاص و سطوح (نقاط) اشباع آغاز می شود 
برای گروه کالاهای ضروری اول و دوم. (نگاه کنید به شکل 1)
با توجه به منحنی های عرضه و تقاضا در یک سیستم مختصات ، می توان تعادل (بازار) یک محصول معین را در روند شکل گیری قیمت در یک بازار رقابتی تعیین کرد ( مدل تار عنکبوت) (شکل 2 را ببینید)
مطالعه در نظریه تقاضای مصرف کننده منحنی های بی تفاوتی (خطوطی که از طریق آنها سودمندی دو کالا است ایکسو در همان) ، به عنوان مثال ، در فرم داده شده است xy=
توو خط بودجه 
به قیمت کالاها 
و درآمد مصرف کننده من ، ما می توانیم مقدار بهینه کالا را تنظیم کنیم 
داشتن حداکثر سودمندی 
(شکل 3 را ببینید)
کالاهای لوکس کالاهای ضروری 2 کالاهای اساسی
شکل 3 شکل 4
با توجه به توابع هزینه (کل هزینه ها) با (س)
و درآمد شرکت ها ر(س)
، ما می توانیم وابستگی را نصب کنیم سود π (س)=
ج(س)-
ر(س)
از حجم تولید س (شکل 4 را ببینید) و سطوح حجم تولید را که در آن تولید بی سود است شناسایی کنید ( 0<
س<
س 
)
و سود می برد 
، حداکثر ضرر را می دهد ( س=
س)
و حداکثر سود ( س=
س)
، و اندازه این ضررها یا سودها را پیدا کنید.
عملکرد و روش های انتساب آن.
تنظیم یک تابع به معنای ایجاد یک قانون (قانون) است که براساس آن مقادیر متناظر تابع باید از مقادیر داده شده متغیر مستقل پیدا شود. بیایید چند روش برای تعریف توابع در نظر بگیریم.
روش جدولی کاملاً معمول ، مشخص کردن جداولی از مقادیر آرگومان منفرد و مقادیر عملکرد مربوطه است. این روش برای تعریف یک تابع زمانی استفاده می شود که دامنه تابع یک مجموعه متناهی گسسته باشد.
با استفاده از روش جدول بندی تعریف یک تابع ، می توانید مقادیر تابع را که در جدول وجود ندارند و مطابق با مقادیر میانی آرگومان هستند ، تقریباً محاسبه کنید. برای این منظور ، از روش درون یابی استفاده می شود.
مزایای روش جدولی تعریف یک تابع این است که تعیین مقادیر خاص خاصی را می توان بدون اندازه گیری یا محاسبات اضافی به یک باره امکان پذیر می کند. با این حال ، در برخی موارد ، جدول عملکرد را به طور کامل تعریف نمی کند ، بلکه فقط برای برخی از مقادیر آرگومان تعریف می شود و نمایشی بصری از ماهیت تغییر عملکرد بسته به تغییر در آرگومان ارائه نمی دهد.
روش گرافیکی نمودار تابع y \u003d f (x) مجموعه تمام نقاط صفحه است که مختصات آنها معادله داده شده را برآورده می کند.
روش گرافیکی تعریف یک تابع ، تعیین دقیق مقادیر عددی آرگومان را همیشه ممکن نمی کند. با این حال ، این یک مزیت بزرگ نسبت به روش های دیگر است - وضوح. در مهندسی و فیزیک ، اغلب از یک روش گرافیکی برای تعریف یک تابع استفاده می شود و نمودار تنها راه موجود برای این کار است.
برای اینکه تنظیم گرافیکی تابع از نظر ریاضی کاملاً صحیح باشد ، لازم است که ساختار هندسی دقیق نمودار را نشان دهید ، که غالباً توسط معادله تنظیم می شود. این منجر به روش زیر برای تعریف عملکرد می شود.
روش تحلیلی غالباً ، قانونی که رابطه بین یک استدلال و یک تابع را برقرار می کند با استفاده از فرمول ها مشخص می شود. به این روش برای تعریف یک تابع تحلیلی گفته می شود.
این روش برای هر مقدار عددی از آرگومان x این امکان را می دهد که مقدار عددی مربوط به تابع y را دقیقاً یا با کمی دقت پیدا کنید.
اگر رابطه بین x و y با فرمولی حل شود که برای y حل شده باشد ، شکل y \u003d f (x) دارد ، سپس می گوییم عملکرد x صریحاً داده می شود.
اگر مقادیر x و y با برخی معادلات فرم F (x، y) \u003d 0 مرتبط باشد ، به عنوان مثال فرمول با توجه به y حل نشده است ، به این معنی که تابع y \u003d f (x) به طور ضمنی داده شده است.
این تابع را می توان با فرمولهای مختلف در قسمتهای مختلف منطقه وظیفه خود تعریف کرد.
روش تحلیلی رایج ترین روش برای تعریف توابع است. فشردگی ، مختصر بودن ، توانایی محاسبه مقدار یک تابع برای مقدار دلخواه یک آرگومان از حوزه تعریف ، توانایی استفاده از دستگاه تحلیل ریاضی بر روی یک تابع معین از مزایای اصلی روش تحلیلی تعریف یک تابع است. از معایب آن می توان به عدم شفافیت اشاره کرد که با امکان رسم نمودار و نیاز به انجام محاسبات گاه و بی گاه جبران می شود.
راه کلامی. این روش در این واقعیت است که وابستگی عملکردی با کلمات بیان می شود.
مثال 1: تابع E (x) - قسمت صحیح عدد x. به طور کلی ، E (x) \u003d [x] بزرگترین عدد صحیح را نشان می دهد که از x تجاوز نمی کند. به عبارت دیگر ، اگر x \u003d r + q ، جایی که r یک عدد صحیح است (می تواند منفی باشد) و q متعلق به فاصله \u003d r است. تابع E (x) \u003d [x] روی فاصله \u003d r ثابت است.
مثال 2: تابع y \u003d (x) - قسمت کسری یک عدد. به عبارت دقیق تر ، y \u003d (x) \u003d x - [x] ، جایی که [x] قسمت صحیح x است. این تابع برای همه x تعریف شده است. اگر x یک عدد دلخواه است ، آن را به صورت x \u003d r + q (r \u003d [x]) ارائه دهید ، جایی که r یک عدد صحیح است و q در فاصله قرار دارد. و اگر ما در مورد یافتن دامنه تعریف یک تابع تحلیلی ارائه شده بودیم ، همانطور که در 7 پوند انجام دادیم ، باید زمان و تلاش خود را برای حل نابرابری صرف کنیم. به همین دلیل است که آنها معمولاً سعی می کنند همزمان با روشهای تحلیلی و گرافیکی تعریف توابع کار کنند. با این حال ، پس از دو سال مطالعه جبر در مدرسه ، شما قبلاً به این امر عادت کرده اید.
علاوه بر تحلیلی و گرافیکی ، در عمل ، از یک روش جدول بندی برای تعریف یک تابع استفاده می شود. با استفاده از این روش ، جدولی داده می شود که در آن مقادیر تابع (بعضی اوقات دقیق ، گاهی تقریبی) برای یک مجموعه محدود از مقادیر آرگومان نشان داده شده است. نمونه هایی از تعریف جدولی یک تابع ، جداول مربع اعداد ، مکعب اعداد ، ریشه های مربع و غیره است.
در بسیاری از موارد ، تعریف جدول از یک تابع مناسب است. این به شما امکان می دهد مقدار تابع را برای مقادیر آرگومان موجود در جدول و بدون هیچ گونه محاسبه پیدا کنید.
انتسابی ، گرافیکی ، جدولی - جداولی ، ساده تر و بنابراین محبوب ترین تکالیف کلامی عملکرد ، برای نیازهای ما این روش ها کاملا کافی است. در حقیقت ، در ریاضیات ، روشهای مختلفی برای تعریف یک تابع وجود دارد ، اما ما فقط یک روش دیگر را به شما معرفی خواهیم کرد که در شرایط بسیار عجیب و غریب استفاده می شود. ما در مورد یک روش کلامی صحبت می کنیم ، زمانی که قانون تنظیم عملکرد در کلمات توصیف می شود. در اینجا چند نمونه آورده شده است.
مثال 1
تابع y \u003d f (x) در مجموعه همه اعداد غیر منفی با استفاده از قانون زیر داده می شود: به هر عدد x\u003e 0 اولین رقم اعشار در علامت اعشاری عدد x اختصاص داده می شود. اگر مثلاً x \u003d 2.534 ، f (x) \u003d 5 (اولین رقم اعشاری عدد 5 است) ؛ اگر x \u003d 13.002 ، f (x) \u003d 0 ؛ اگر پس از آن ، به صورت کسری اعشاری بی نهایت 0.6666 بنویسید ... ، f (x) \u003d 6. پیدا می کنیم و مقدار f (15) چیست؟ از 15 \u003d 15000 ... برابر است با 0 ، و ما می بینیم که اولین رقم اعشار پس از اعشار 0 است (در واقع ، برابری 15 \u003d 99.149 ... نیز درست است ، اما ریاضیدانان توافق کردند که کسرهای اعشاری دوره ای بی نهایت را با یک دوره در نظر نگیرند نه).
هر عدد غیر منفی x را می توان کسری اعشاری نوشت (متناهی یا نامحدود) ، بنابراین برای هر مقدار x می توانید مقدار مشخصی از رقم اعشار اول را پیدا کنید ، بنابراین می توانیم در مورد یک تابع صحبت کنیم ، البته تا حدودی غیر معمول این عملکرد 
مثال 2
تابع y \u003d f (x) با استفاده از قانون زیر در مجموعه تمام اعداد واقعی آورده شده است: هر عدد x با بزرگترین عدد صحیح که از x تجاوز نمی کنند مرتبط است. به عبارت دیگر ، تابع y \u003d f (x) با شرایط زیر تعیین می شود:
الف) f (x) یک عدد صحیح است.
ب) f (x)< х (поскольку f(х) не превосходит х);
ج) f (x) + 1\u003e x (از آنجا که f (x) بزرگترین عدد صحیح است که بیش از x نیست ، بنابراین f (x) + 1 در حال حاضر بیشتر از r است). اگر مثلاً x \u003d 2.534 ، f (x) \u003d 2 ، اولاً ، 2 یک عدد صحیح است ، و ثانیا ، 2< 2,534 и, в-третьих, следующее целое число 3 уже больше, чем 2,534. Если х = 47, то /(х) = 47, поскольку, во-первых, 47 - целое число, во-вторых, 47< 47 (точнее, 47 = 47) и, в-третьих, следующее за числом 47 целое число 48 уже больше, чем 47. А чему равно значение f(-0,(23))? Оно равно -1. Проверяйте: -1 - наибольшее из всех целых чисел, которые не превосходят числа -0,232323....
این تابع دارای (مجموعه ای از اعداد صحیح) است.
تابعی که در مثال 2 بحث شده است ، قسمت صحیح عدد است. برای قسمت صحیح عدد x از علامت [x] استفاده کنید. به عنوان مثال ، \u003d 2 ، \u003d 47 ، [-0 ، (23)] \u003d -1. نمودار تابع y \u003d [x] بسیار عجیب به نظر می رسد (شکل 54).
بارگذاری ...