فرمول استروگرادسکی - سبز

این فرمول ارتباطی بین انتگرال منحنی بر روی یک کانتور بسته C و یک انتگرال دو برابر بیش از منطقه محدود شده توسط این خط ایجاد می کند.

تعریف 1. دامنه D اگر بتوان آن را به تعداد محدود دامنه نوع اول و مستقل از این ، به تعداد محدود دامنه نوع دوم تقسیم كرد ، دامنه ساده نامیده می شود.

قضیه 1. اجازه دهید توابع P (x، y) و Q (x، y) در یک دامنه ساده همراه با مشتقات جزئی آنها تعریف شوند و

سپس فرمول زیر برقرار است:

جایی که C یک کانتور بسته از دامنه D است.

این فرمول استروگرادسکی-سبز است.

شرایط استقلال انتگرال منحنی از مسیر یکپارچه سازی

تعریف 1. به دامنه ربع بسته D گفته می شود که اگر منحنی بسته بسته شود ، D می تواند به طور مداوم به یک نقطه تغییر شکل دهد ، بنابراین اگر این تغییر شکل غیرممکن باشد ، تمام نقاط این منحنی به منطقه D تعلق دارند سپس منطقه را ضرب متصل می نامند (با "سوراخ" - D 2).

تعریف 2. اگر مقدار انتگرال منحنی در امتداد منحنی AB به شکل منحنی اتصال نقاط A و B بستگی نداشته باشد ، آنها می گویند که این انتگرال منحنی به مسیر یکپارچه سازی بستگی ندارد:

قضیه 1. اجازه دهید توابع پیوسته P (x ، y) و Q (x ، y) در یک دامنه بسته و متصل به سادگی تعریف شوند. سپس 4 شرط زیر معادل (معادل) است:

1) انتگرال منحنی در امتداد یک حلقه بسته

که در آن C هر حلقه بسته در D است.

2) انتگرال منحنی بر روی یک حلقه بسته به مسیر ادغام در دامنه D بستگی ندارد ، یعنی

3) فرم دیفرانسیل P (x، y) dx + Q (x، y) dy کل دیفرانسیل برخی از تابع F در دامنه D است ، به عنوان مثال ، یک عملکرد F وجود دارد به طوری که (x ، y) D برابری

dF (x ، y) \u003d P (x ، y) dx + Q (x ، y) dy ؛ (3)

4) برای تمام نقاط (x ، y) D شرایط زیر برآورده می شود:

بگذارید با طرح ثابت کنیم.

اجازه دهید ما ثابت کنیم که از.

بگذارید 1) داده شود ، یعنی \u003d 0 توسط ویژگی 2 از §1 ، که \u003d 0 (توسط ویژگی 1 از 1).

اجازه دهید ما ثابت کنیم که از.

داده می شود که int. به مسیر ادغام بستگی ندارد ، بلکه فقط به انتخاب آغاز و پایان مسیر بستگی دارد

عملکرد را در نظر بگیرید

ما ادعا می کنیم که فرم دیفرانسیل P (x، y) dx + Q (x، y) dy کل دیفرانسیل تابع F (x، y) است ، یعنی ، چی

بیایید یک منفعت شخصی تعیین کنیم

x F (x ، y) \u003d F (x + x ، y) -F (x ، y) \u003d \u003d \u003d\u003d \u003d

(با ویژگی 3 از 1 B ، BB * Oy) \u003d P (c ، y) x (با قضیه مقدار میانگین ، c -const) ، جایی که x

(به موجب تداوم تابع P). فرمول (5) را دریافت کرد. فرمول (6) به طور مشابه بدست می آید.

اجازه دهید ما ثابت کنیم که از.

فرمول داده شده است

dF (x ، y) \u003d P (x ، y) dx + Q (x ، y) dy.

بدیهی است ، \u003d P (x ، y). سپس

با فرضیه قضیه ، ضلع های راست دست (7) و (8) توابع مداوم هستند ، سپس با قضیه برابری مشتقات مخلوط ، ضلع های سمت چپ نیز برابر خواهند بود ، یعنی اینکه

بگذارید این را از 41 ثابت کنیم.

هر کانتور بسته را از ناحیه D انتخاب کنید ، که محدوده D 1 باشد.

توابع P و Q شرایط استروگرادسکی-سبز را برآورده می کنند:

به موجب برابری (4) در سمت چپ (9) ، انتگرال برابر 0 است ، به این معنی که سمت راست برابری

نکته 1. قضیه 1. را می توان به عنوان سه قضیه مستقل فرموله کرد

قضیه 1 *. به منظور اینکه در یک دامنه ربع به سادگی متصل D منحنی int. به مسیر ادغام بستگی ندارد ، بنابراین شرط (.1) برآورده می شود ،

قضیه 2 *. به منظور اینکه در یک دامنه ربع به سادگی متصل D منحنی int. به مسیر ادغام بستگی نداشت تا شرط (3) برآورده شود:

فرم دیفرانسیل P (x، y) dx + Q (x، y) dy دیفرانسیل کل برخی از عملکردهای F در دامنه D است.

قضیه 3 *. به منظور اینکه در یک دامنه ربع به سادگی متصل D منحنی int. به مسیر ادغام بستگی ندارد ، بنابراین شرط (4) برآورده می شود:

نکته 2. در قضیه 2 * ، دامنه D نیز می تواند ضرب شود.

6. فرمول مقدار متوسط \u200b\u200bبرای یک انتگرال مشخص.

7. انتگرال با حد بالایی متغیر. تداوم و متفاوت بودن آن.

8. فرمول نیوتن-لایب نیتس برای انتگرال مشخص.

9. محاسبه یک انتگرال مشخص توسط قطعات و تغییر متغیر.

10. کاربرد یک انتگرال مشخص (مساحت یک شکل مسطح ، طول یک قوس منحنی ، حجم یک بدنه چرخش).

11. مفهوم سری اعداد و مجموع آن. معیار کوشی برای همگرایی یک سری. شرط لازم برای همگرایی.

12. آزمونهای دلمبرت و کوشی برای همگرایی سریها با اصطلاحات غیر منفی.

13. معیار کوشی انتگرال برای همگرایی یک سری اعداد.

14. سری عددی متناوب با علامت. همگرایی مطلق و مشروط. ردیف های متناوب علامت لایب نیتس.

15. محدوده عملکردی. مجموع مجموعه ها. تعیین همگرایی یکنواخت یک سری. معیار کوشی برای همگرایی یکنواخت یک سری عملکردی.

16. آزمون وایراسترس برای همگرایی یکنواخت.

18. سری قدرت. قضیه هابیل.

19. شعاع همگرایی سری قدرت. فرمول کوشی-هادامارد برای شعاع همگرایی یک سری قدرت.

21. توابع چندین متغیر. مفهوم فضای اقلیدسی n بعدی. مجموعه نقاط در فضای اقلیدسی. توالی نقاط و حد آن. تعریف تابعی از چندین متغیر.

22. محدودیت تابعی از چندین متغیر. تداوم عملکرد مشتقات جزئی.

23- تعریف عملکرد متغیر چند متغیر و دیفرانسیل آن. مشتقات و اختلافات با مرتبه بالاتر.

24. فرمول تیلور برای تابعی از چندین متغیر. Extremum از تابعی از چندین متغیر. یک شرط لازم برای یک حالت شدید. شرایط کافی برای اکستریموم.

25. انتگرال دوگانه و خصوصیات آن. کاهش یک انتگرال مضاعف به یک تکرار مکرر.

27. تغییر متغیرها در یک انتگرال سه گانه. مختصات استوانه ای و کروی.

28. محاسبه مساحت یک سطح صاف که بصورت پارامتری و صریح داده شده باشد.

29. تعریف انتگرال منحنی خطی نوع اول و دوم ، خصوصیات اساسی و محاسبه آنها.

30. فرمول گرین. شرایط استقلال انتگرال منحنی از مسیر یکپارچه سازی.

31. انتگرال های سطح نوع اول و دوم ، خصوصیات اساسی و محاسبه آنها.

32. قضیه گاوس-استروگرادسکی ، نوشتن آن در اشکال مختصات و بردار (ثابت).

33. فرمول استوکس ، نوشتن آن در اشکال مختصات و بردار (ثابت).

34. زمینه های مقیاس دار و بردار. شیب ، واگرایی ، روتور. زمینه های بالقوه و برقی.

35. اپراتور همیلتون. (نبله) کاربرد آن (مثالها).

36. مفاهیم اساسی مربوط به معادلات دیفرانسیل معمولی (قصیده) از مرتبه اول: راه حل های کلی و خاص ، منحنی انتگرال عمومی ، انتگرال. مسئله کوشی ، معنای هندسی آن.

37. ادغام قصیده مرتبه اول با متغیرهای قابل تفکیک و همگن.

38. ادغام خطوط اول و اولین معادلات برنولی.

39. تلفیق قصیده مرتبه اول در دیفرانسیل های قطبی. عامل یکپارچه سازی

40. معادلات دیفرانسیل مرتبه اول ، با توجه به مشتق حل نشده است. روش معرفی پارامتر.

41. معادله مرتبه n با ضرایب ثابت. معادله مشخصه سیستم اساسی راه حل ها (fsr) یک معادله همگن ، راه حل کلی یک معادله ناهمگن.

42. سیستم معادلات دیفرانسیل خطی از مرتبه اول. Fsr یک سیستم همگن. راه حل کلی یک سیستم همگن.

30. فرمول گرین. شرایط استقلال انتگرال منحنی از مسیر یکپارچه سازی.

فرمول گرین: اگر C یک مرز بسته از دامنه D است و توابع P (x ، y) و Q (x ، y) ، همراه با مشتقات جزئی مرتبه اول آنها ، در دامنه بسته D (از جمله مرز C) مداوم هستند ، فرمول سبز معتبر است: در اطراف کانتور C انتخاب می شود تا منطقه D در سمت چپ باقی بماند.

از سخنرانی ها: اجازه دهید توابع P (x، y) و Q (x، y) داده شوند که در دامنه D همراه با مشتقات جزئی از مرتبه اول مداوم هستند. انتگرال بیش از حد (L) که کاملا در دامنه D قرار دارد و شامل تمام نقاط موجود در دامنه D است: جهت مثبت مسیر زمانی است که قسمت محدودی از مسیر به سمت چپ باشد.

شرط استقلال انتگرال منحنی نوع دوم از مسیر ادغام. شرط لازم و کافی این است که انتگرال منحنی نوع اول که نقاط M1 و M2 را متصل می کند به مسیر ادغام بستگی ندارد ، بلکه فقط به نقاط شروع و پایان بستگی دارد ، برابری است:

31. انتگرال های سطح نوع اول و دوم ، خصوصیات اساسی و محاسبه آنها.

- تعیین سطح.

ما S را روی صفحه xy قرار می دهیم ، منطقه D را بدست می آوریم. منطقه D را با شبکه ای از خطوط به قسمتهایی به نام Di تقسیم می کنیم. از هر نقطه هر خط ، خطوطی به موازات z رسم کنید ، سپس S به Si تقسیم می شود. بیایید مجموع انتگرال را بسازیم:. بگذارید حداکثر قطر Di را به صفر برسانیم: ، بدست می آوریم:

این یک انتگرال سطحی از نوع اول است

اینگونه است که انتگرال سطح نوع اول در نظر گرفته می شود.

تعریف به طور خلاصه اگر حد محدودی از مجموع انتگرال وجود داشته باشد که به روش تقسیم S به مقاطع اولیه Si و به انتخاب نقاط بستگی نداشته باشد ، آن را انتگرال سطح از نوع اول می نامند.

هنگام رفتن از متغیرهای x و y به u و v:

پ انتگرال سطح دارای تمام خصوصیات یک انتگرال معمولی است. به س questionsالات بالا مراجعه کنید.

تعریف انتگرال سطح از نوع دوم ، خصوصیات اساسی و محاسبه آن. اتصال با انتگرال از نوع اول.

اجازه دهید سطح S محدود به خط L داده شود (شکل 3.10). مقداری L از سطح S بگیرید که هیچ نقطه مشترکی با مرز L ندارد. در یک نقطه M از خط L ، می توانیم دو حالت عادی را به سطح S. برگردانیم یکی از این جهت ها را انتخاب کنید. ما نقطه M را در امتداد خط L با جهت انتخاب شده از حالت عادی ترسیم می کنیم.

اگر نقطه M با همان جهت عادی (و نه برعکس) به موقعیت اصلی خود برگردد ، سطح S را دو طرفه می نامند. ما فقط سطوح دو طرفه را در نظر خواهیم گرفت. هر سطح صاف با یک معادله یک سطح دو طرفه است.

بگذارید S یک سطح غیر بسته دو طرفه باشد که با یک خط L محدودیت دارد که دارای نقاط خود تلاقی نیست. بیایید یک طرف خاص از سطح را انتخاب کنیم. جهت مثبت عبور از کانتور L را چنین جهت می نامیم ، هنگام حرکت در امتداد سمت انتخاب شده سطح ، سطح خود به سمت چپ باقی می ماند. به یک سطح دو طرفه با جهت مثبت عبور از خطوطی که از این طریق روی آن قرار گرفته ، سطح گرا گفته می شود.

اجازه دهید به ساخت یک انتگرال سطح از نوع دوم بپردازیم. یک سطح S دو طرفه را در فضا بگیرید ، متشکل از تعداد محدودی قطعه ، که هر یک از آنها با یک معادله از فرم داده می شود یا یک سطح استوانه ای با ژنراتورهای موازی با محور Oz است.

بگذارید R (x ، y ، z) تابعی باشد که روی سطح S. تعریف شده و پیوسته باشد. با شبکه ای از خطوط ، S را به روشی دلخواه به n بخش "ابتدایی" ΔS1 ، ΔS2 ، ... ، ΔSi ، ... ، ΔSn که هیچ مشترک ندارند تقسیم می کنیم. نقاط داخلی در هر بخش ΔSi ، خودسرانه یک نقطه Mi (xi ، yi ، zi) را انتخاب می کنیم (i \u003d 1، ...، n). بگذارید (ΔSi) xy مساحت پیش بینی مقطع ΔSi در صفحه مختصات Oxy باشد که با علامت "+" گرفته شده است ، اگر نرمال سطح S در نقطه Mi (xi ، yi ، zi) باشد (i \u003d 1 ، ... ، n) با محور Oz یک زاویه حاد است و اگر این زاویه مبهم باشد با علامت "-" وجود دارد. اجازه دهید جمع انتگرال را برای تابع R (x، y، z) روی سطح S در متغیرهای x، y بسازیم: بگذارید λ بزرگترین قطر ΔSi باشد (i \u003d 1 ، ... ، n).

اگر حد محدودی وجود داشته باشد که به روش تقسیم سطح S به بخشهای "ابتدایی" ΔSi و انتخاب نقاط بستگی نداشته باشد ، آن را به عنوان انتگرال سطح از سمت انتخاب شده از سطح S از تابع R (x ، y ، z) در امتداد مختصات x ، y (یا) انتگرال سطح از نوع دوم) و نشان داده شده است .

به طور مشابه ، می توان انتگرال های سطح را روی مختصات x ، z یا y ، z در امتداد سمت مربوط به سطح ، یعنی و .

اگر همه این انتگرال ها وجود داشته باشند ، می توانید یک انتگرال "کلی" را از سمت انتخاب شده سطح وارد کنید:.

انتگرال سطحي از نوع دوم داراي ويژگي هاي معمول انتگرال است. فقط توجه داریم که هر انتگرال سطحی از نوع دوم با تغییر سمت سطح تغییر علامت می دهد.

رابطه بین انتگرال های سطح نوع اول و دوم.

اجازه دهید سطح S با معادله داده شود: z \u003d f (x، y) ، و f (x، y) ، f "x (x، y) ، f" y (x، y) توابع مداوم در حوزه بسته τ هستند (پیش بینی های سطح S در صفحه مختصات Oxy) ، و تابع R (x ، y ، z) بر روی سطح S. پیوسته است. حالت عادی به سطح S ، با داشتن جهت کسینوس cos α، cos β، cos γ ، به سمت بالای سطح S. انتخاب می شود سپس سپس.

برای حالت کلی ، ما باید:

از مسیر ادغام.

انتگرال منحنی از نوع دوم را در نظر بگیرید ل - نقاط اتصال منحنی م و N... اجازه دهید توابع P (x ، y)و Q (x ، y)در بعضی از مناطق مشتقات جزئی مداوم دارند د، که در آن منحنی کامل نهفته است ل... اجازه دهید شرایطی را تعریف کنیم که انتگرال منحنی خطی در نظر گرفته شده به شکل منحنی بستگی ندارد ل، اما فقط در محل نقاط م و N.

بیایید دو منحنی دلخواه ترسیم کنیم MPN و MQNدروغ گفتن در منطقه د و نقاط اتصال م و N (عکس. 1).

م Nشکل: 1

بیایید اینگونه وانمود کنیم ، یعنی

پس کجا ل - یک کانتور بسته که از منحنی ها تشکیل شده است MPN و NQM(از این رو ، می توان آن را خودسرانه دانست). بنابراین ، شرط مستقل بودن یک انتگرال منحنی از نوع دوم از مسیر یکپارچه سازی ، معادل شرطی است که چنین انتگرال در امتداد هر کانتور بسته ، برابر با صفر باشد.

شماره بلیط 34. انتگرال سطح از نوع اول (بیش از سطح) .کاربردها (جرم سطح ماده ، مختصات مرکز ثقل ، گشتاورها ، سطح یک سطح منحنی).

یک سطح باز را در نظر بگیرید سمحدود شده توسط کانتور ل، و توسط برخی از منحنی ها آن را به قطعات تقسیم کنید S 1 ، S 2 ، ... ، S n... بگذارید در هر قسمت یک نقطه انتخاب کنیم م منو این قسمت را بر روی سطح مماس به سطح عبوری از این نقطه بریزید. در طرح ریزی یک شکل مسطح با یک مساحت بدست می آوریم تی من... ما ρ را بیشترین فاصله بین دو نقطه از هر قسمت از سطح می نامیم س.

تعریف 12.1.بیا زنگ بزنیم حوزه س سطوحمحدوده جمع منطقه تی مندر

انتگرال سطح از نوع اول.

مقداری سطح را در نظر بگیرید سمحدود شده توسط کانتور ل، و آن را به قطعات تقسیم کنید S 1 ، S 2 ، ... ، S p (در این حالت ، مساحت هر قسمت نیز مشخص می شود S p) بگذارید مقدار تابع در هر نقطه از این سطح داده شود f (x ، y ، z). بیایید در هر قسمت انتخاب کنیم S مننقطه M i (x i ، y i ، z i)و جمع انتگرال را بنویسید

. (12.2)

تعریف 12.2.اگر در مجموع انتگرال حد محدودی وجود داشته باشد (12.2) ، این به روش تقسیم سطح به قطعات و انتخاب نقاط بستگی ندارد م منسپس نامیده می شود انتگرال سطح از نوع اول از تابع f (M) \u003d f (x ، y ، z)روی سطح س و نشان داده شده است

اظهار نظر. یک انتگرال سطحی از نوع اول دارای خصوصیات معمول انتگرال ها (خطی بودن ، جمع انتگرال های یک تابع معین در قسمت های جداگانه سطح مورد بررسی و غیره) است.

معنای هندسی و فیزیکی انتگرال سطح از نوع اول.

اگر انتگراند باشد f (M) ≡ 1 ، سپس از تعریف 12.2 نتیجه می شود که برابر با مساحت سطح در نظر گرفته شده است اس

. (12.4)

کاربرد انتگرال سطح از نوع اول.

1. مساحت یک سطح منحنی که معادله آن برابر است z \u003d f (x ، y)، به شکل زیر یافت می شود:

(14.21)

(Ω - فرافکنی س در هواپیما O هو).

2. جرم سطح

(14.22)

3. لحظه ها:

لحظه های ساکن سطح نسبت به صفحات مختصات O xy، O xz، O yz;

لحظه های اینرسی سطح نسبت به محورهای مختصات ؛

لحظه های اینرسی سطح نسبت به صفحات مختصات ؛

- (14.26)

لحظه اینرسی یک سطح نسبت به مبدا.

4. مختصات مرکز جرم سطح:

. (14.27)

شماره بلیط 35. محاسبه انتگرال سطح از نوع 1 (کاهش آن به چند برابر).

ما خود را به موردی که سطح باشد محدود می کنیم س به صراحت ، یعنی با معادله فرم داده می شود z \u003d φ (x ، y)... علاوه بر این ، از تعریف سطح به دست می آید که

S i \u003d، جایی که Δ σ i -منطقه فرافکنی S من در هواپیما O هو، و γ من - زاویه بین محور O z و طبیعی به سطح س در نقطه م من... مشخص است که

جایی که ( x i ، y i ، z i) -مختصات نقطه م من... در نتیجه،

با جایگزینی این عبارت در فرمول (12.2) ، این را بدست می آوریم

جایی که جمع در سمت راست بر روی دامنه Ω صفحه O انجام می شود هو، که یک برآمدگی بر روی این صفحه از سطح است س (عکس. 1).

S: z \u003d φ (x ، y)

Δσ iΩ

در این حالت ، در سمت راست ، یک مقدار انتگرال برای تابعی از دو متغیر در یک منطقه مسطح بدست می آید که در حد مجاز یک انتگرال دو برابر می کند. بنابراین ، فرمولی بدست آمده است که کاهش محاسبه انتگرال سطح نوع اول را به محاسبه یک انتگرال دو برابر می کند:

اظهار نظر. اجازه دهید دوباره روشن کنیم که در سمت چپ فرمول (12.5) وجود دارد سطح انتگرال ، و در سمت راست - دو برابر.

شماره بلیط 36. انتگرال سطح از نوع دوم. جریان زمینه برداری. رابطه بین انتگرال های سطح نوع اول و دوم.

جریان زمینه برداری.

یک قسمت برداری را در نظر بگیرید و (م)در دامنه مکانی تعریف شده است G ،سطح صاف گرا S Gو قسمت عادی واحد پ (م) در سمت انتخاب شده از سطح س.

تعریف 13.3.انتگرال سطح از نوع 1

, (13.1)

جایی که آن آیا محصول اسکالر از بردارهای مربوطه است ، و A n - طرح برداری و در جهت نرمال نامیده می شود میدان بردار جریان صبح)از طریق قسمت انتخاب شده سطح س .

نکته 1. اگر طرف دیگر سطح را انتخاب کنیم ، جریان عادی و در نتیجه جریان تغییر می کند.

نکته 2. اگر بردار و میزان جریان سیال را در یک نقطه مشخص می کند ، سپس انتگرال (13.1) مقدار جریان سیال در واحد زمان از سطح را تعیین می کند س در جهت مثبت (از این رو اصطلاح عمومی "جریان").

اگر منطقه ای مجموعه متصل باشد ، به سادگی متصل می شود. دامنه ای در صورت تقسیم مرزهای آن به مجموعه های متصل به n ، متصل می شود.

اظهار نظر. فرمول گرین برای دامنه های متصل چند برابر نیز معتبر است.

برای اینکه انتگرال (A ، B - هر نقطه از D) مستقل از مسیر ادغام باشد (اما فقط در نقاط شروع و پایان A ، B) لازم و کافی است که در امتداد هر منحنی بسته (در امتداد هر کانتور) واقع در D انتگرال صفر \u003d 0 بود

اثبات (ضرورت). اجازه دهید (4) مستقل از مسیر ادغام باشد. یک کانتور دلخواه C را در دامنه D در نظر بگیرید و دو نقطه دلخواه A ، B را روی این کانتور انتخاب کنید. سپس منحنی C را می توان به عنوان اتحاد دو منحنی AB \u003d G2 ، AB \u003d G1 ، C \u003d Г - 1 + G2 نشان داد.

قضیه 1. برای اینکه انتگرال منحنی از مسیر ادغام در D مستقل باشد ، لازم و کافی است که

در منطقه D. کفایت. در صورت رضایت ، فرمول گرین برای هر کانتور C خواهد بود از آنجا که عبارت مورد نیاز توسط لما دنبال می شود. نیاز. توسط لما ، برای هر کانتور \u003d 0. سپس ، با فرمول گرین برای دامنه D محدود به این کانتور ، \u003d 0. با قضیه مقدار میانگین ، \u003d mD یا \u003d\u003d 0. با عبور از حد مجاز ، انقباض کانتور به یک نقطه ، در این مرحله به این نتیجه می رسیم.

قضیه 2. برای اینکه انتگرال منحنی (4) مستقل از مسیر ادغام در D باشد ، لازم و کافی است که انتگرال Pdx + Qdy دیفرانسیل کل برخی از توابع u در دامنه D. du \u003d Pdx + Qdy باشد. کفایت بگذارید برآورده شود ، پس ضرورت. بگذارید انتگرال مستقل از مسیر ادغام باشد. برخی از نقاط A0 را در دامنه D ثابت می کنیم و تابع u (A) \u003d u (x، y) \u003d را تعریف می کنیم

در این مورد

XÎ (xÎ) بنابراین ، یک مشتق \u003d P وجود دارد. به طور مشابه ، بررسی می شود که \u003d Q. بر اساس فرضیات ارائه شده ، تابع u به طور مداوم قابل تغییر است و du \u003d Pdx + Qdy است.

32-33. تعریف انتگرال منحنی خطی از نوع 1 و 2

انتگرال منحنی در امتداد طول قوس (نوع اول)

بگذارید تابع f (x ، y) در نقاط قوس AB منحنی صاف K تعریف شده و مداوم باشد. به دلخواه نقاط t0..tn قوس را به n قوس های اولیه تقسیم می کند. اجازه دهید lk طول k قوس جزئی باشد. بر روی هر قوس ابتدایی یک نقطه دلخواه N (k، k) بگیرید و این نقطه را در نقطه مربوط ضرب کنید. طول قوس سه جمع انتگرال است:

1 = f (k ، k) lk 2 \u003d Р (k ، k) хk 3 \u003d Q (k ، k) yk ، جایی که хk \u003d x k -x k -1 ، yk \u003d y k -y k -1

انتگرال منحنی از نوع اول در طول قوس ، حد جمع انتگرال 1 است به شرطی که حداکثر (lk)  0

اگر حد جمع انتگرال 2 یا  3 برای   0 باشد ، این حد فراخوانی می شود. انتگرال منحنی از نوع دوم ، تابع P (x، y) یا Q (x، y) در امتداد منحنی l \u003d AB و با نشان داده می شود:
یا

میزان:
+
معمول است که انتگرال منحنی خطی نوع 2 را بنامید و با علامت نشان دهید:
در این حالت ، توابع f (x، y) ، P (x، y) ، Q (x، y) را در امتداد منحنی l \u003d AB قابل تلفیق می نامیم. منحنی l خود را کانتور می نامند یا با تلفیق A - اولیه ، B - نقاط انتهایی یکپارچه سازی ، dl - دیفرانسیل طول قوس ، بنابراین انتگرال منحنی خطی نوع اول نامیده می شود. یک انتگرال منحنی بر روی قوس یک منحنی ، و از نوع دوم بیش از یک تابع ..

از تعریف انتگرال های منحنی خطی نتیجه می گیرد که انتگرال های نوع اول به جهتی که منحنی l از A و B یا از B و A اجرا می شود بستگی ندارند. انتگرال منحنی از نوع 1 نسبت به AB:

، برای انتگرال های منحنی خطی از نوع دوم ، تغییر جهت حرکت منحنی منجر به تغییر علامت می شود:

در حالتي كه l يك منحني بسته است ، به عنوان مثال ، B با m برابر است ، پس از دو جهت ممكن براي دور زدن يك خط بسته ، جهتي كه در آن ناحيه قرار گرفته در داخل کانتور نسبت به ؟؟؟ ایجاد یک دور زدن ، یعنی جهت حرکت خلاف جهت عقربه های ساعت است. جهت مخالف انحراف منفی نامیده می شود. انتگرال منحنی خط AB در امتداد یک کانتور بسته که در جهت مثبت اجرا می شود با علامت نشان داده می شود:

برای یک منحنی فضایی ، 1 انتگرال از نوع اول به طور مشابه معرفی می شود:

و سه انتگرال از نوع 2:

به جمع سه انتگرال آخر گفته می شود. انتگرال منحنی خطی کلی از نوع دوم.

برخی از کاربردهای انتگرال منحنی در نوع اول.

1. انتگرال
- طول قوس AB

2. معنای مکانیکی انتگرال از نوع اول.

اگر f (x، y) \u003d  (x، y) چگالی خطی قوس ماده باشد ، جرم آن برابر است با:

3. مختصات مرکز جرم قوس مواد:

4. لحظه اینرسی یک قوس که در صفحه اکسی قرار دارد نسبت به مبدا و محورهای چرخش oo، oy:

5. معنای هندسی یک انتگرال از نوع اول

اجازه دهید تابع z \u003d f (x، y) - دارای ابعاد طول f (x ، y)\u003e \u003d 0 در تمام نقاط قوس ماده واقع در صفحه اکسیژن باشد:

، جایی که S مساحت یک سطح استوانه ای است ، گربه از عمودهای اکسیژن صفحه ، شرق تشکیل شده است. در نقاط M (x ، y) منحنی AB.

برخی از کاربردهای انتگرال منحنی از نوع دوم.

محاسبه مساحت یک منطقه مسطح D با مرز L

2. نیروی کار اجازه دهید نقطه ماده تحت عمل نیرو در امتداد یک منحنی تخت مداوم قبل از میلاد حرکت کند ، از B به C ، کار این نیرو حرکت می کند:

بیایید دو منحنی دلخواه ترسیم کنیم MPN و MQNدروغ گفتن در منطقه د و نقاط اتصال م و N (عکس. 1).

م Nشکل: 1 پ

فرض کنید که ، این است

قضیه 1اجازه دهید در تمام نقاط یک منطقه د توابع مداوم P (x ، y) و Q (x ، y) و مشتقات جزئی آنها و. سپس به منظور هر کانتور بسته لدروغ گفتن در منطقه د، شرایط

لازم و کافی است که \u003d در تمام نقاط منطقه د.

شواهد و مدارک .

1) کفایت: بگذارید شرط \u003d راضی باشد. یک کانتور بسته دلخواه را در نظر بگیرید ل در محدوده ی دمحدوده محدوده سفرمول گرین را برای آن بنویسید:

بنابراین ، کفایت اثبات شده است.

2) ضرورت: فرض کنید شرط در هر نقطه از دامنه برآورده شود د، اما حداقل یک نقطه از این منطقه وجود دارد که در آن - ≠ 0. بگذارید ، برای مثال ، در نقطه قرار گیرد P (x 0 ، y 0) -\u003e 0. از آنجا که سمت چپ نابرابری حاوی یک تابع مداوم است ، در بعضی از مناطق کوچک مثبت و بیشتر از برخی δ\u003e 0 خواهد بود D`حاوی نقطه R... از این رو ،

از این رو ، با استفاده از فرمول گرین ، نتیجه می گیریم که کجا L` - رئوس مطالب محدوده منطقه D`... این نتیجه با شرایط منافات دارد. بنابراین ، \u003d در تمام نقاط منطقه د، همانطور که برای اثبات لازم است.

یادداشت 1 ... به روشی مشابه ، برای یک فضای سه بعدی می توان ثابت کرد که شرایط لازم و کافی برای استقلال انتگرال منحنی

از مسیر ادغام عبارتند از:

یادداشت 2 تحت شرایط (28 / 1.18) ، عبارت Pdx + Qdy + Rdzدیفرانسیل کل برخی از عملکردها است و... این به ما اجازه می دهد تا محاسبه انتگرال منحنی را برای تعیین تفاوت در مقادیر کاهش دهیم و در انتها و نقاط شروع کانتور ادغام ، از آن زمان

علاوه بر این ، عملکرد و با فرمول می توان یافت

جایی که ( x 0 ، y 0 ، z 0) - نقطه از منطقه د، آ ج آیا یک ثابت دلخواه است. در واقع ، تأیید اینکه مشتقات جزئی تابع آسان است وداده شده توسط فرمول (28 / 1.19) هستند P ، Q و R.