Ուժերի աշխատանքի հաշվարկ: Աշխատանքի բանաձև

Սահմանում

Այն դեպքում, երբ ուժի ազդեցության տակ տեղի է ունենում մարմնի արագության մոդուլի փոփոխություն, ապա նրանք ասում են, որ ուժը կատարում է աշխատել... Ենթադրվում է, որ եթե արագությունը մեծանում է, ապա աշխատանքը դրական է, եթե արագությունը նվազում է, ապա այն ուժը, որը կատարում է աշխատանքը, բացասական է: Նյութական կետի կինետիկ էներգիայի փոփոխությունը երկու դիրքերի միջև դրա շարժման ընթացքում հավասար է այն ուժի կատարած աշխատանքին.

Նյութական կետի վրա ուժի գործողությունը կարող է բնութագրվել ոչ միայն մարմնի արագությունը փոխելու միջոցով, այլ շարժման մեծությամբ, որը ուժի գործողության ներքո կատարում է դիտարկվող մարմինը ():

Տարրական աշխատանք

Որոշ ուժի տարրական աշխատանքը սահմանվում է որպես կետային արտադրանք.

Շառավիղը կետի վեկտորն է, որին գործադրվում է ուժը, հետագծի երկայնքով կետի տարրական շարժումն է, վեկտորների և անկյունի անկյունն է: Եթե \u200b\u200bաշխատանքը զրոյից պակաս բութ անկյուն է, եթե անկյունը սուր է, ապա աշխատանքը դրական է, հետ

Կարտեզյան կոորդինատներում (2) բանաձևն ունի հետևյալ ձևը.

որտեղ F x, F y, F z - վեկտորային կանխատեսումներ քարտեզյան առանցքների վրա:

Նյութական կետի նկատմամբ կիրառված ուժի աշխատանքը դիտարկելիս կարող եք օգտագործել բանաձևը.

որտեղ է նյութական կետի արագությունը, նյութական կետի իմպուլսն է:

Եթե \u200b\u200bմիաժամանակ մի քանի ուժեր գործում են մարմնի (մեխանիկական համակարգի) վրա, ապա տարրական աշխատանքը, որը այդ ուժերը կատարում են համակարգի վրա, հավասար է.

որտեղ իրականացվում է բոլոր ուժերի տարրական աշխատանքի ամփոփումը, dt- ը փոքր ժամանակային ընդմիջում է, որի ընթացքում կատարվում է համակարգի վրա տարրական աշխատանք:

Ներքին ուժերի արդյունքում առաջացած աշխատանքը, նույնիսկ եթե կոշտ մարմինը շարժվում է, զրո է:

Թող կոշտ մարմինը պտտվի ֆիքսված կետի շուրջ ՝ ծագման (կամ այս կետով անցնող ֆիքսված առանցքի) շուրջ: Այս դեպքում մարմնի վրա ազդող բոլոր արտաքին ուժերի (ասենք, որ դրանց թիվը n է) տարրական աշխատանքը հավասար է.

որտեղ է պտտման կետին վերաբերող ուժերի արդյունքի պահը, տարրական ռոտացիայի վեկտոր է, ակնթարթային անկյունային արագություն է:

Հետագծի վերջում ուժի աշխատանքը

Եթե \u200b\u200bուժը կատարում է մարմինը իր շարժման հետագծի վերջին հատվածում տեղափոխելու աշխատանքները, ապա աշխատանքը կարելի է գտնել հետևյալ կերպ.

Այն դեպքում, երբ ուժի վեկտորը հաստատուն արժեք է տեղաշարժման ողջ հատվածում, ապա.

որտեղ է ուժի պրոյեկցիան հետագծի տանգենտի վրա:

Աշխատանքային ստորաբաժանումներ

SI համակարգում աշխատանքի պահի չափման հիմնական միավորը `[A] \u003d J \u003d N m

SGS- ում ՝ [A] \u003d erg \u003d dyn սմ

1J \u003d 10 7 erg

Խնդիրների լուծման օրինակներ

Օրինակ

Առաջադրանքը. Նյութական կետը շարժվում է ուղղահայաց (նկ. 1) ուժի ազդեցության տակ, որը տրված է հավասարմամբ. Ուժն ուղղված է նյութական կետի շարժման երկայնքով: Ո՞րն է տրված ուժի աշխատանքը s \u003d 0-ից s \u003d s 0 ուղու հատվածի վրա:

Որոշում: Որպես խնդրի լուծման հիմք `մենք վերցնում ենք ձևի աշխատանքը հաշվարկելու բանաձևը.

որտեղ, ինչպես ըստ խնդրի հայտարարության: Փոխարինեք պայմանները տրված ուժի մոդուլի արտահայտությունը, վերցրեք ամբողջը.

Պատասխանել

Օրինակ

Առաջադրանքը. Նյութական կետը շարժվում է շրջանագծի մեջ: Դրա արագությունը փոխվում է ՝ համապատասխան արտահայտությանը. Այս դեպքում կետի վրա գործող ուժի աշխատանքը համամասնական է ժամանակին. Ո՞րն է n- ի արժեքը:

Այս դասախոսությունն անդրադառնում է հետևյալ հարցերին.

1. Իշխանության աշխատանք:

2. Պահպանողական ուժեր:

2. Հզորություն:

3. Աշխատանքի հաշվարկման օրինակներ:

4. Պոտենցիալ էներգիա

5. Կինետիկ էներգիա

6. Մի կետի կինետիկ էներգիայի փոփոխության մասին թեորեմ:

7. Պահերի թեորեմ:

Այս հարցերի ուսումնասիրությունն անհրաժեշտ է մեխանիկական համակարգի զանգվածի կենտրոնի, կոշտ մարմնի ռոտացիոն շարժման դինամիկայի, մեխանիկական համակարգի կինետիկ պահի, «մեքենաների և մեխանիզմների տեսություն» և «մեքենայական մասեր» առարկաների խնդիրների լուծման համար:

Ուժի աշխատանք: Ուժ.

Մարմնի վրա ուժի կողմից որոշակի շարժումով գործադրվող գործողությունը բնութագրելու համար ներկայացվում է ուժի աշխատանքի գաղափարը:

Նկար 1

Այս դեպքում աշխատանքը բնութագրում է ուժի գործողությունը, որը որոշում է փոփոխությունը մոդուլ շարժվող կետի արագությունը:

Նախ ներկայացնենք անսահման փոքր տեղաշարժի վրա ուժի տարրական աշխատանքի հայեցակարգը դս ... Ուժի տարրական աշխատանք(Նկ. 1) սկալարը կոչվում է.

,

որտեղ է ուժի պրոյեկցիան կետի տեղափոխմանն ուղղված հետագծի տանգենտին ևդս - այս շոշափողի երկայնքով ուղղված կետի անսահմանափակ տեղաշարժ:

Այս սահմանումը համապատասխանում է աշխատանքի գաղափարին ՝ որպես ուժի գործողության բնութագրիչ, որը հանգեցնում է կետի արագության մոդուլի փոփոխմանը: Իսկապես, եթե ուժն ընդլայնեքմեջ բաղադրիչների և , ապա միայն բաղադրիչըկետին տալով շոշափելի արագացում: Բաղադրիչըկամ փոխում է արագության վեկտորի ուղղությունը գ (նորմալ արագացում է հաղորդում կետին), կամ, եթե ոչ ազատ, շարժումը փոխում է ճնշումը կապի վրա: Մեկ արագության մոդուլի բաղադրիչով չի ազդի, այսինքն, ինչպես ասում են, ուժի վրա«Աշխատանք չի տա»:

Նկատելով դա, մենք ստանում ենք.

.(1)

Այսպիսով, ուժի տարրական աշխատանքը հավասար է կետի շարժման ուղղությամբ ուժի պրոյեկտմանը ՝ բազմապատկած տարրական տեղաշարժովդս կամ ուժի տարրական աշխատանքը հավասար է տարրական տեղաշարժով ուժի մոդուլի արտադրյալինդս և ուժի և շարժման ուղղության միջև ընկած անկյունի կոսինուսով:

Եթե \u200b\u200bանկյունը սուր, ապա աշխատանքը դրական է: Մասնավորապես, հանունտարրական աշխատանքdA= Fds.

Եթե \u200b\u200bանկյունը հիմար, աշխատանքը բացասական է: Մասնավորապես, հանունտարրական աշխատանքdA=- Fds.

Եթե \u200b\u200bանկյունը , այսինքն եթե ուժն ուղղորդվում է տեղաշարժին ուղղահայաց, ապա ուժի տարրական աշխատանքը զրո է:

Դրական ուժՖ (α\u003e 90 ° ) կոչվում են մեքենա վարելըև բացասական (α\u003e 90 ° ) – ստիպողաբար դիմադրություն.

Եկեք գտնենք տարրական աշխատանքի վերլուծական արտահայտություն: Դրա համար մենք ընդլայնում ենք ուժըբաղադրիչների մեջ կոորդինատային առանցքների ուղղությունների երկայնքով (նկ. 2; ուժն ինքնինգծապատկերում չի ցուցադրվում)

Նկար 2

Տարրական շարժումտեղահանվածներից կազմվածdx, մեռնել , ձ կոորդինատային առանցքների երկայնքով, որտեղ x, y, z- կետի կոորդինատները Մ... Հետո ուժի գործտեղահանման վրա ds կարող է հաշվարկվել որպես դրա բաղադրիչների աշխատանքի հանրագումարտեղահանության մասին dx, մեռնել , ձ .

Բայց շարժման մեջdx միայն բաղադրիչն է կատարում աշխատանքը, և դրա աշխատանքն էՖ x dx... Աշխատանք տեղահանության վրամեռնել և ձ հաշվարկվում է նույն կերպ:

Վերջապես մենք գտնում ենք.dA= F x dx+ F y dy+ Ֆ ժ ձ.

Բանաձեւը տալիս է վերլուծական արտահայտություն ուժի տարրական աշխատանքի համար:

Ստիպեք աշխատել ցանկացած վերջնական տեղահանման վրա Մ 0 Մ 1-ը հաշվարկվում է որպես համապատասխան տարրական աշխատանքների ամբողջական բաղկացուցիչ գումար և հավասար կլինի.

Հետևաբար աշխատանքային ուժ ցանկացած տեղաշարժի վրա Մ 0 Մ 1 հավասար է այս տեղահանման ընթացքում կատարված տարրական աշխատանքի ինտեգրալին: Ինտեգրալի սահմանները համապատասխանում են կետերում ինտեգրման փոփոխականների արժեքներին Մ 0 և Մ 1 Գրաֆիկորեն, ամբողջ կորի տակ գտնվող տարածքը Մ 0 և Մ 1 և կլինի ցանկալի գործը:

Նկար 3

Եթե \u200b\u200bարժեքը հաստատուն է ( , ապա նշելով տեղահանումը Մ 0 Մ 1-իցմենք ստանում ենք.

Նման դեպք կարող է տեղի ունենալ, երբ գործող ուժը մեծության և ուղղության կայուն է (Ֆ= կոնստ), և այն կետը, որի վրա գործադրվում է ուժը, շարժվում է ուղղահայաց (նկ. 3): Այս դեպքումև ուժի գործ:

SI համակարգում աշխատանքի չափման միավորն է ջուլ (1 ժ \u003d 1 N ∙ մ) 1 J - 1 N ուժի կողմից կատարված աշխատանք ճանապարհի 1 մ-ի վրա:

Պահպանողական ուժեր .

Մարմնի վրա գործող ուժերը կարող են լինել պահպանողական և ոչ պահպանողական: Իշխանությունը կոչվում է պահպանողական կամ ներուժեթե այս ուժի կողմից կատարված աշխատանքը նյութական կետը մի դիրքից մյուսը տեղափոխելիս, կախված չէ հետագծի տեսակից (ուղու ձև) և որոշվում է միայն մարմնի սկզբնական և վերջնական դիրքերով (Նկար 3.1): ԵՎ 1B2 \u003d ԵՎ 1C2 \u003d ԵՎ 12 .

Նկար 3.1

Երբ եթե մարմինը շարժվում է հակառակ ուղղությամբ ԵՎ 12 = –ԵՎ 21, այսինքն. հետագծի երկայնքով շարժման ուղղության փոխումը հակառակն է առաջացնում աշխատանքի նշանի փոփոխություն: Հետևաբար, երբ նյութական կետը շարժվում է փակ հետագծով, պահպանողական ուժի աշխատանքը զրո է (օրինակ ՝ բեռը բարձրացնել և իջեցնել).

Պահպանողական ուժերը գրավիտացիոն ուժեր են, առաձգական ուժեր, էլեկտրաստատիկ ուժեր: Կոչվում են այն ուժերը, որոնք չեն բավարարում պայմանը (1) ոչ պահպանողական... Ոչ պահպանողական ուժերը ներառում են շփման և դիմադրության ուժեր: Դաշտը, որում գործում են պահպանողական ուժերը, կոչվում է պոտենցիալ:

Ուժ.

Ուժ կոչվում է արժեք, որը որոշում է ուժի կատարած աշխատանքը ժամանակի մեկ միավորի համար: Եթե \u200b\u200bաշխատանքը կատարվում է միատեսակ, ապա ուժը

Որտեղ տ - ժամանակ, որի ընթացքում կատարվել է աշխատանքը Ա... Ընդհանրապես

Հետեւաբար, հզորությունը հավասար է ուժի շոշափող բաղադրիչի արտադրանքին և շարժման արագությանը:

Համակարգում ուժի չափման միավոր ՍԻ է վտ (1 եռ = 1 ժ / վ): Տեխնոլոգիայում էներգիայի միավորը հաճախ ընդունվում է որպես 1 ձիաուժ ՝ 75-ի հավասար կիլոմետր / վրկ կամ 736 Երք

Մեքենայի կողմից կատարված աշխատանքը կարելի է չափել դրա հզորության արտադրանքով, քան աշխատանքային ժամանակը: Այստեղից առաջացավ կիլովատ ժամի չափման միավորը, որն օգտագործվում է տեխնոլոգիայի մեջ (1 կՎտժ \u003d 3,6 ∙ 10 6 ժ ≈ 367100 կգ)):

Հավասարությունից կարելի է տեսնել, որ տվյալ ուժով շարժիչՎ, ձգողական ուժ կլինի այնքան, այնքան ցածր կլինի շարժման արագությունըՎ. Հետևաբար, օրինակ, ճանապարհի վերևում կամ ճանապարհի վատ հատվածում մեքենան ներքաշված է ավելի ցածր փոխանցումատուփերով, ինչը թույլ է տալիս նրան ամբողջ ուժով շարժվել ավելի ցածր արագությամբ և զարգացնել ավելի մեծ ձգում:

Աշխատանքի հաշվարկման օրինակներ:

Ստորև բերված օրինակները տալիս են արդյունքներ, որոնք կարող են ուղղակիորեն օգտագործվել խնդիրների լուծման ժամանակ:

1) Ձգողականության աշխատանք: Թող կետը Մ, որի վրա ազդում է ձգողականությունը, տեղից դուրս է գալիս M 0 ( x­ 0 , 0-ին,զ 0 ) դիրքի մեջ Մ 1 (x 1, y 1,զ 1 ). Եկեք ընտրենք կոորդինատային առանցքները այնպես, որ առանցքըՕզուղղահայաց էր դեպի վեր (նկ. 4):

Նկար 4

Հետո Ռ x=0, Ռ y \u003d 0,Պ զ= -Ռ... Փոխարինելով այս արժեքները և հաշվի առնելով ինտեգրման փոփոխականըզ:

Եթե \u200b\u200bկետը Մ 0 վերևում Մ 1 , ապաորտեղ ժ- կետի ուղղահայաց շարժման չափը.

Եթե \u200b\u200bկետը Մ 0 կետից ցածր Մ 1 ապա .

Վերջապես մենք ստանում ենք..

Հետևաբար, ծանրության ուժի աշխատանքը հավասար է ուժի մոդուլի և դրա կիրառման կետի ուղղահայաց տեղաշարժի `գումարած-մինուս նշանով վերցվածին: Աշխատանքը դրական է, եթե մեկնարկի կետը բարձր է վերջնակետից, և բացասական է, եթե մեկնարկային կետը ցածր է վերջնակետից: Ստացված արդյունքից հետեւում է, որ ինքնահոս աշխատանքը կախված չէ հետագծի այն տեսակից, որի երկայնքով շարժվում է դրա կիրառման կետը:

Այս հատկություն ունեցող ուժերը կոչվում են պոտենցիալ:

2) Էլաստիկ ուժի աշխատանք . Հաշվի առեք բեռը Մպառկած է հորիզոնական հարթության վրա և կցված է ինչ-որ աղբյուրի ազատ ավարտին (նկ. 5, ա): Մենք ինքնաթիռում նշում ենք կետով ՄԱՍԻՆ դիրքը, որը զբաղեցնում է գարնան վերջը, երբ այն չի շեշտվում (չշեշտված աղբյուրի երկարությունն է), և այս կետը վերցրեք որպես ծագում: Եթե \u200b\u200bմենք այժմ բեռը քաշենք հավասարակշռության դիրքից ՄԱՍԻՆ աղբյուրը արժեքի վրա երկարացնելովլ, ապա զսպանակային ուժը կգործի բեռի վրա Ֆդեպի կետը ՄԱՍԻՆ.

Նկար 5

Հուկի օրենքի համաձայն, այս ուժի մեծությունը համաչափ է աղբյուրի երկարացմանը... Քանի որ մեր դեպքում, ապա մոդուլ

Գործակից սկսած կոչված կոշտության գործակից աղբյուրներ Տեխնոլոգիայում դրանք սովորաբար չափում են արժեքը սկսած ժամը Հ / սմ, ենթադրելով գործակիցը սկսած թվային առումով հավասար է այն ուժին, որը պետք է գործադրվի զսպանակի վրա ՝ այն 1-ով ձգելու համար սմ .

Եկեք գտնենք առաձգական ուժի կողմից կատարված աշխատանքը բեռը դիրքից տեղափոխելիսդիրքի մեջ Քանի որ այս դեպքումF x\u003d - F \u003d - cx, F y= F z\u003d 0, ապա մենք ստանում ենք.

(Նույն արդյունքը կարելի է ստանալ կախվածության գրաֆիկից Ֆ սկսած x(նկ. 20, բ), մակերեսը հաշվարկելիսգծագրված trapezium գծագրում և հաշվի առնելով աշխատանքի նշանը:) Ստացված բանաձևումներկայացնում է աղբյուրի սկզբնական երկարացումը, և վերջնական գարնանային երկարացում... Հետևաբար

այդ առաձգական ուժի աշխատանքը հավասար է կոշտության գործակցի արտադրանքի կեսին `զսպանակի սկզբնական և վերջնական երկարացումների (կամ սեղմումների) քառակուսիների տարբերությամբ:

Աշխատանքը դրական կլինի, երբ, այսինքն, երբ զսպանակի վերջը շարժվում է հավասարակշռության դիրքի, իսկ բացասական ՝ երբ, այսինքն գարնան վերջը հեռանում է հավասարակշռության դիրքից: Կարելի է ապացուցել, որ բանաձևը ուժի մեջ է մնում այն \u200b\u200bդեպքում, երբ կետի տեղաշարժը Մպարզ չէ:

Այսպիսով, ստացվում է, որ ուժի աշխատանքը Ֆ կախված է միայն արժեքներիցև և կախված չէ կետի հետագծի տեսակից Մ... Հետեւաբար, առաձգական ուժը նույնպես պոտենցիալ է:

Նկար 6

3) Շփման ուժի աշխատանք: Հաշվի առեք մի կետ, որը շարժվում է ինչ-որ կոպիտ մակերեսի երկայնքով (նկ. 6) կամ կոր: Կետի վրա գործող շփման ուժը մոդուլով հավասար է fN որտեղզ շփման գործակիցն է, և- նորմալ մակերեսային արձագանք: Ֆրիկացիոն ուժն ուղղված է կետի տեղաշարժին հակառակ: ՀետևաբարՖ տր =- fN և բանաձևով

Եթե \u200b\u200bշփման ուժի մեծությունը կայուն է, ապա, Որտեղ ս- կորի աղեղի երկարությունը Մ 0 Մ 1, որի երկայնքով շարժվում է կետը:

Այս կերպ, լոգարիթմական շփման աշխատանքը միշտ բացասական է . Այս աշխատանքի քանակը կախված է աղեղի երկարությունից: Մ 0 Մ 1 . Հետեւաբար, շփման ուժը ուժն է ոչ պոտենցիալ .

4) Ֆիքսված առանցքի շուրջ պտտվող մարմնի վրա կիրառվող ուժի աշխատանքը:

Այս դեպքում (նկ. 7) ուժի կիրառման կետըշարժվում է շառավղով շրջանովռ... Տարրական աշխատանքը, համաձայն (1) –ի,որտեղ

Նկար 7

Հետևաբար

Բայց

Դա հեշտ է պարզել ՝ ուժը քայքայելով երեք բաղադրիչի (նկ. 7): (Իշխանության պահերը)և հավասար է զրոյի): Հետևաբար,

(2)

Մասնավորապես, եթե առանցքի շուրջ ուժի պահը, ուժի աշխատանքը մարմինը անկյան տակ դարձնելիսհավասար է

.(3)

Աշխատանքի նշանը որոշվում է ուժի պահի նշաններով և պտտման անկյունով: Եթե \u200b\u200bդրանք նույնն են, աշխատանքը դրական է:

Aույգ ուժերի աշխատանքը որոշելու կանոնը հետևում է (3) բանաձևից: Եթե \u200b\u200bմի պահ ունեցող զույգմ գտնվում է մարմնի պտտման առանցքին ուղղահայաց հարթության մեջ, ապա նրա աշխատանքը, երբ մարմինը պտտվում է անկյան տակ

.(4)

Եթե \u200b\u200bմի զույգ ուժեր գործում են պտտման առանցքին ուղղահայաց հարթության մեջ, ապա այն պետք է փոխարինվի երկու զույգով: Մեկը տեղադրեք առանցքին ուղղահայաց հարթության մեջ, մյուսը `առանցքին զուգահեռ հարթության մեջ: Նրանց պահերը որոշվում են պահի վեկտորի ընդլայնմամբհամապատասխան ոլորտներում.... Իհարկե, միայն առաջին զույգը կկատարի աշխատանքը պահի հետ կապվածորտեղ Վեկտորի միջեւ անկյունն էև պտտման առանցքը զ,

.(5)

Էներգիա .

Մարմնի ազդակը թարգմանական շարժման միջոց է, բայց այս բնութագիրը համընդհանուր չէ: Բոլոր տեսակի նյութերի շարժման և փոխազդեցության ունիվերսալ քանակական չափանիշն է էներգիա... Էներգիայի ձևերը. Մեխանիկական, ջերմային, էլեկտրական, միջուկային, ներքին և այլն: Էներգիան մի ձևից կարող է անցնել մյուսին: Մեխանիկական էներգիա քանակապես բնութագրում է այն շարժման հնարավոր քանակական և որակական վերափոխումների տեսանկյունից: Այս փոխակերպումները պայմանավորված են համակարգի մարմինների փոխազդեցությամբ միմյանց և արտաքին մարմինների հետ: Այսպիսով, շարժումն ու էներգիան անքակտելիորեն կապված են միմյանց հետ, և դրանից հետո շարժումը նյութի բաղկացուցիչ մասն է, ապա յուրաքանչյուր մարմին ունի մի տեսակ էներգիա:

Կինետիկ էներգիա մարմինը կոչվում է էներգիա, որը նրա մեխանիկական շարժման չափանիշ է և որոշվում է այն աշխատանքով, որը պետք է կատարվի այս շարժումը հարուցելու համար:

Եթե \u200b\u200bուժովհանգստի վիճակից մարմինը շարժվում է արագությամբ, ապա աշխատանքը կկատարվի, և մարմնի էներգիան ավելանում է ծախսված աշխատանքի քանակով.

որտեղ է շարժումը; dA – տարրական աշխատանք:

Հաշվի առնելով Նյուտոնի երկրորդ օրենքի սկալային նշումը.

Մենք ստանում ենք

Եվ քանի որ կատարված աշխատանքը հավասար է էներգիայի ավելացմանը, ապա

Ընդհանուր էներգիան հայտնաբերվում է ինտեգրման միջոցով, երբ արագությունը 0-ից փոխվում է որոշակի արժեքիՎ:

Կինետիկ էներգիան միշտ էլ դրական է . Նյութական կետերի համակարգի կինետիկ էներգիան հավասար է համակարգի բոլոր նյութական կետերի կինետիկ էներգիաների հանրահաշվական հանրագումարին:

Համակարգի կինետիկ էներգիան նրա շարժման վիճակի ֆունկցիա է:

Կինետիկ էներգիան կախված է հղման շրջանակի ընտրությունից, քանի որ տարբեր իներցիոն հղումների շրջանակներում արագությունը նույնը չէ:

Հնարավոր էներգիա - համակարգի ընդհանուր մեխանիկական էներգիայի մի մասը, որը որոշվում է միմյանց վրա գործող մարմինների փոխադարձ դասավորությամբ:

Կոչվում է տարածության այն մասը, որում ուժը, կախված կետի գտնվելու վայրից, գործում է այնտեղ տեղադրված նյութական կետի վրա ուժի դաշտ:

Ավելին, այս ուժը որոշվում է ուժի գործառույթովu \u003d u (x, y, z): Եթե \u200b\u200bդա կախված չէ ժամանակից, ապա այդպիսի դաշտը կոչվում է անշարժ Եթե \u200b\u200bբոլոր կետերում նույնն է, ապա դաշտը միատարր

Եթե \u200b\u200bուժի կանխատեսումը միացված է Կարտեզյան առանցքներն են համապատասխան կոորդինատների նկատմամբ ուժի ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալներ

ապա այդպիսի դաշտ է կոչվում ներուժ

Եթե \u200b\u200bաշխատանքը կախված է հետագիծից, ապա ուժերը կանչվում են ցրող (շփման ուժ):

Մենք հաշվարկում ենք պոտենցիալ դաշտի ուժի աշխատանքը դիրքից կետ տեղափոխելիս Մ 1 դիրքի համար Մ 2. (նկ. 8):

Նկար 8

Տարրական աշխատանք,

Սա էլեկտրաէներգիայի գործառույթի լրիվ դիֆերենցիալն է:

Վերջնական տեղահանման աշխատանքներ

Որտեղ դու 2 և դու 1 - ուժի ֆունկցիայի արժեքները միավորներով Մ 2 և Մ 1 .

Հետևաբար Պոտենցիալ դաշտի ուժի աշխատանքը կախված չէ կետի հետագծից, բայց որոշվում է միայն կետի սկզբնական և վերջնական դիրքերում ուժի ֆունկցիայի արժեքներով:

Բնականաբար, եթե կետը վերադառնում է իր նախնական դիրքին, ուժի աշխատանքըկլինի զրո: Մեկ այլ կետ տեղափոխվելիս աշխատանքը հավասար կլինի զրոյի: Մ 3, եթե ուժի գործառույթի արժեքը նույնն է, ինչ նախնական դիրքում:

Հեշտ է կռահել, որ ուժի ֆունկցիայի նույն արժեքներով կետերը կստեղծեն մի ամբողջ մակերես: Եվ որ ուժի դաշտը շերտավորված տարածություն է, որը բաղկացած է այդպիսի մակերեսներից (նկ. 8): Այս մակերեսները կոչվում են մակարդակի մակերեսներ կամ հավասարազոր մակերեսներ ... Նրանց հավասարումները.դու( x, յ, զ)= Գ(Գ- արժեքին հավասար հաստատունդու այս մակերեսի կետերում): Եվ ուժի գործառույթը կոչվում է, համապատասխանաբար, ներուժդաշտեր.

Իհարկե, հնարավոր ներուժը չի հատվում: Հակառակ դեպքում դաշտի կետեր կլինեին անորոշ ներուժով:

Քանի որ, հավասարաչափ պոտենցիալ մակերեսի երկայնքով մի կետ տեղափոխելիս, ուժի աշխատանքըզրո է, ապա ուժի վեկտորը ուղղահայաց է մակերեսին:

Մենք ընտրում ենք այս մակերեսներից մեկը և այն անվանում ենք զրո մակերես (դնում ենք)դու= դու 0 ).

Այն աշխատանքը, որը կատարելու է ուժը երբ մի կետ անցնում է որոշակի վայրից M դեպի զրոյական մակերես, այն կոչվում է կետի պոտենցիալ էներգիա տվյալ տվյալ վայրում M:

Եթե \u200b\u200bմարմինը գտնվում է ուժերի պոտենցիալ դաշտում, ապա այն կունենա պոտենցիալ էներգիա: Հղման համակարգի զրոյական մակարդակի հետ կապված մարմնի պոտենցիալ էներգիան համարվում է զրո, իսկ այլ դիրքերի էներգիան չափվում է զրոյական մակարդակի համեմատ:

Համաձայն (8) էներգիայի գործառույթի... Ուստի, Կարտեզյան առանցքների վրա ուժի կանխատեսումը, ըստ (6) –ի, սկսած,

և ուժի վեկտորը:

Եկեք քննարկենք մի քանի հավանական դաշտեր:

1) Ձգողականության դաշտ:

Երկրի մակերեսի մոտ, ծանրության ուժը բոլոր կետերում նույնն է, հավասար է մարմնի քաշին: Սա նշանակում է, որ ուժի այս դաշտը միատեսակ է: Քանի որ, երբ կետը շարժվում է հորիզոնական հարթությունում, ուժի աշխատանքը հավասար է զրոյի, հավասարակշռված մակերեսները կլինեն հորիզոնական հարթություններ (նկ. 9), և դրանց հավասարումները.դու = զ = Գ.

Նկար 9

Եթե \u200b\u200bդուք որպես զրոյական մակերես նշանակեք ինքնաթիռ xOy , ապա դիրքի կետի պոտենցիալ էներգիան Մ հավասար կլինի ծանրության աշխատանքին.

W P \u003d A \u003d Պ.գ.թ.= մղ.

սա Երկրի վերևում բարձրության վրա բարձրացված մարմնի էներգիան էժ.

Քանի որ ծագումն ընտրվում է կամայականորեն, ուրեմնՎ Պ ընդհանուր առմամբ կարող է բացասական արժեքներ վերցնել (օրինակ ՝Վ P ականի ներքևում):

2) Էլաստիկ ուժի դաշտ:

Երբ առաձգական մարմինը դեֆորմացվում է, օրինակ ՝ զսպանակը, ուժ է հայտնվում: Այսինքն ՝ այս մարմնի մոտ առաջանում է ուժային դաշտ, որի ուժերը համաչափ են մարմնի դեֆորմացիային և ուղղված են դեպի չձևափոխված վիճակ: Գարնանը ՝ կետին Մ 0, որտեղ գտնվում է չձևափոխված աղբյուրի վերջը (նկ. 10):

Նկար 10

Եթե \u200b\u200bգարնան վերջը տեղափոխեք այնպես, որ դրա երկարությունը չփոխվի, ապա առաձգական ուժի աշխատանքըկլինի զրո: Սա նշանակում է, որ հավասարակշռված մակերեսներն են գնդային մակերեսներ, որոնք կենտրոնացած են O կետում:

Սահմանեք զրոյական մակերեսը կետով անցնող գնդի Մ 0 մինչև չձևափոխված գարնան վերջը: Ապա աղբյուրի պոտենցիալ էներգիան դիրքում Մ: Վ P \u003d Ա = 0,5 kx 2 .

Zeroրոյական մակերեսի այս ընտրությամբ պոտենցիալ էներգիան միշտ դրական կլինի (Վ Պ \u003e 0), ինչպես ձգված, այնպես էլ սեղմված:

Համակարգի ընդհանուր մեխանիկական էներգիան հավասար է մեխանիկական շարժման և փոխազդեցության էներգիայի.

Մարմնի ընդհանուր մեխանիկական էներգիան, երբ այն շարժվում է պոտենցիալ դաշտի ցանկացած հետագծի երկայնքով, մնում է հաստատուն:

Օրինակ 1.Զանգվածային մեքենաՄ շարժվում է ուղիղ գծով հորիզոնական ճանապարհի երկայնքով արագությամբգ... Մեքենայի անիվների և ճանապարհի շարժակազմի շփման գործակիցը կազմում էզ կ , անիվի շառավիղը - ռ, աերոդինամիկ օդային դիմադրության ուժը համաչափ է արագության քառակուսիին., որտեղ μ Գործակից է, որը կախված է մեքենայի ձևից: Որոշեք կայուն վիճակում շարժիչ ուժը փոխանցվող շարժիչ անիվների առանցքներին:

Որոշում:

Կինետիկ էներգիայի փոփոխության թեորեմին համապատասխան, մենք ունենք

Որտեղ - շարժիչ ուժի տարրական աշխատանքը,- շարժման դիմադրության ուժերի տարրական աշխատանք: Կայուն արագության մեջգ մեքենան կայուն է, և, հետևաբար, դրա կինետիկ էներգիան չի փոխվում, այսինքն.դՏ \u003d 0 Դա նշանակում է որ... Եկեք ընդլայնենք արդյունքում ստացված հավասարության աջ կողմը.

Ահա այստեղ dS - մեքենայի տարրական շարժում: Այդ դեպքում շարժիչի կողմից շարժիչ անիվների առանցքներին փոխանցվող հզորությունը հավասար կլինի

Այսպիսով, հորիզոնական ճանապարհով հաստատուն արագությամբ վարելիս մեքենայի շարժիչը զարգացնում է կայուն ուժ: համապատասխանաբար, բաքում վառելիքը հավասարապես սպառվում է:

Օրինակ 2.Պողպատե գնդակն ընկավ բարձրությունիցՀ = 15 մ առանց նախնական արագության: Գտեք գնդակի արագությունըՎգետնի վրա իր ազդեցության պահին: Անտեսեք օդի դիմադրությունը:

Որոշում:

Գնդակի վրա գործում է միայն ծանրության ուժը, որը պոտենցիալ է, և դրա ներուժը ակնհայտորեն կախված չէ ժամանակից: Հետեւաբար, (10) -ին համապատասխան, գնդակի ընդհանուր մեխանիկական էներգիան դրա շարժման ընթացքում կլինի հաստատուն

Քանի որ գնդակի սկզբնական պահին գնդակը գտնվում էր հանգստի վիճակում և ուներ միայն պոտենցիալ էներգիա, ապա գետնի վրա ազդեցության պահին նրա ամբողջ նախնական պոտենցիալ էներգիան վերածվում է կինետիկ էներգիայի:

Հետևաբար դրան հետեւում էԱյս խնդրի լուծման արդյունքը մեզ իրավունք է տալիս պնդել, որ մարմինների ազատ անկման արագությունը կախված չէ դրանց զանգվածից:

Օրինակ3 . Հաշվի առեք զանգվածով քարի ազատ անկումըմ1-ից 2-րդ կետից նետված Երկրի ինքնահոս դաշտում (նկ. 11):

Նկար 11

Քարը տեղափոխելիս ինքնահոսով կատարված տարրական աշխատանքը հավասար է.

1-2-րդ բաժնում լրիվ աշխատանքը հետևյալն է

Որտեղ Ֆ գր = մգ - ինքնահոս; ապա մենք ստանում ենք.

Վերջին արտահայտությունից կարելի է տեսնել, որ աշխատանքը որոշվում է միայն մարմնի հետագծի մեկնարկային և ավարտվող կետերի դիրքով:

Օրինակ4 . Եկեք գտնենք էլաստիկորեն դեֆորմացված մարմնի (աղբյուր) պոտենցիալ էներգիան: Հայտնի է, որ առաձգական ուժը համաչափ է դեֆորմացիայինx:

Որտեղ կ - առաձգականության գործակից;x - դեֆորմացման արժեքը; նշան (-) ցույց է տալիս, որՖ հսկողություն ուղղված է դեֆորմացիային հակառակ ուղղությամբ:

Էլաստիկ ուժը հաղթահարելու համար անհրաժեշտ է ուժ կիրառել.

Տարրական աշխատանք - անսահման փոքր դեֆորմացիայով կատարված աշխատանք.

Լրիվ աշխատանք կարելի է գտնել, ինչպես

Այս օրինակում աշխատանքն ուղղված է աղբյուրի պոտենցիալ էներգիայի ավելացմանը: Եթե \u200b\u200bժամըx = 0 Վ = 0, ապա գ \u003d0. Էլաստիկորեն դեֆորմացված մարմնի պոտենցիալ էներգիան կազմում է

Օրինակ5 . Նյութը կետ առ զանգվածմ շարժվում է առանցքի երկայնքով ՄԱՍԻՆ x էներգիայի հետ կապված պոտենցիալ ուժի դաշտում ՝ կախված կոորդինատիցx օրենքով: Վ р \u003d - α x 4, որտեղ α դրական հաստատուն է: Գտեք կետի արագացման կախվածությունը կոորդինատիցx.

Որոշում: Օգտագործելով ուժի և պոտենցիալ էներգիայի կապը.

գտնել ուժի կախվածությունը կոորդինատիցx:

Նյուտոնի երկրորդ օրենքի համաձայն ՝ մենք ստանում ենք արագացման արտահայտություն.

Եթե \u200b\u200bպոտենցիալ էներգիայի կախվածությունը պտտվող շարժման ընթացքում ռոտացիայի անկյունից տրված է վերլուծական կամ գրաֆիկական, ապա օգտագործելով հարաբերությունը, Դուք կարող եք արտահայտել ուժի պահը և գտնել անկյունային արագացումը

Օրինակ6 . Վագոնի քաշը մ \u003d 20 տ շարժվող հավասարապես դանդաղ նախնական արագությամբգ 0 \u003d 54 կմ / ժ, շփումային F mp \u003d Որոշ ժամանակ անց 6 կՆ դադարում է: Աշխատանք գտնելԱ շփման ուժերը և հեռավորությունըՍորը մեքենան կանցնի կանգառ:

Որոշում:

1) աշխատանք ԵՎ Արդյունքում ստացված ուժի միջոցով կարող է սահմանվել որպես նյութական կետի կինետիկ էներգիայի փոփոխության չափիչ.

որտեղ W k \u003d mv 2/2 \u003d 0:

Հետևաբար A \u003d - W k 0 ;

Ա\u003d -2,25 ՄJ

2) հեռավորությունը

Պատասխան. Շփման ուժերի աշխատանքն է -2.25 ՄJ, հեռավորությունը, որը մեքենան կանցնի մինչ կանգառը 375 մ է:

Օրինակ 7 . Նկարը ցույց է տալիս պրոյեկցիայի կախվածությունըՖ xx կոորդինատից նյութական կետի վրա գործող ուժ: Որոշեք 5 մ հեռավորության վրա կետ տեղափոխելիս կատարված աշխատանքը:

Նկար 12

Որոշում: Ըստ պայմանի ՝ ուժը կախված է կոորդինատիցx... Փոփոխական ուժի աշխատանքիցx 1 նախքանx 2 հավասար է

Երկրաչափորեն, ինտեգրալը կարող է մեկնաբանվել որպես գծապատկերի համապատասխան հատվածով, առանցքի հատվածով սահմանափակված գործչի տարածքx և ուղղահայացները գրաֆիկի վերջնական կետերից իջնում \u200b\u200bէին դեպի աբսցիսայի առանցք: Գրաֆիկի առաջին բաժնում ՝ ուժի պրոյեկցիաF x բացասական է և աշխատանքը նույնպես բացասական է: Թվային առումով այն հավասար է եռանկյունու մակերեսին: Երկրորդ և երրորդ բաժիններումF x\u003e 0, այս հատվածների աշխատանքը դրական է և հաշվարկվում է որպես ուղղանկյան և եռանկյունու համապատասխան տարածքներ: Արդյունքում, մենք ունենք.

A \u003d - (1∙ 2)/2 + 1 ∙ 2 + (1 ∙ 1) ∙ 2 \u003d 1,5 J..

Եթե \u200b\u200bտրված է ուժի պահի կախվածությունը անկյունային կոորդինատիցφ , ապա աշխատանքի հաշվարկն իրականացվում է նմանատիպ բանաձեւի համաձայն կա՛մ վերլուծական, կա՛մ գրաֆիկական:

Օրինակ 8 . Սկավառակի զանգվածի եզրինմ \u003d Կիրառվել է 5 կգ կտրող ուժՖ = 19,6 Ն. Ինչ կինետիկ էներգիաՎ դեպի ժամանակին կունենա սկավառակտ = 5 գ ուժի մեկնարկից հետո՞:

Որոշում:

1) - սկավառակի կինետիկ էներգիա;

2) ω = ε տ - անկյունային արագություն;

3)

4) սկավառակի իներցիայի պահը ;

6) Փոխարինելով տվյալները, մենք ստանում ենք.

Պատասխան. Կինետիկ էներգիա, 5 վրկ-ից հետո: Գործողության սկսվելուց հետո ուժը հավասար կլինի 1,9 կJ-ին:

Մի կետի կինետիկ էներգիայի փոփոխության մասին թեորեմ:

Դիտարկենք զանգվածով կետ տ, շարժվելով դիրքից իրեն դիմած ուժերի գործողության ներքո Մ 0, որտեղ այն ունի արագություն , դիրքի մեջ Մ 1 որտեղ դրա արագությունն է .

Theանկալի կախվածություն ստանալու համար դիմենք հավասարումը արտահայտելով դինամիկայի հիմնական օրենքը: Այս հավասարության երկու կողմերն էլ նախագծելով շոշափողի վրա ցույց տալ հետագիծը Մ, շարժմանն ուղղված, մենք ստանում ենք.

Ձախից շոշափելի արագացման արժեքը կարող է ներկայացվել ինչպես

Արդյունքում, մենք կունենանք.

Այս հավասարության երկու կողմերն էլ բազմապատկելովդս , ավելացնել տ դիֆերենցիալ նշանի տակ: Հետո, նկատելով դա Որտեղ - ուժի տարրական աշխատանքՖ կ մենք ստանում ենք թեորեմի արտահայտությունը կինետիկ էներգիայի փոփոխության դիֆերենցիալ տեսքով.

Այժմ այս հավասարության երկու կողմերն էլ ինտեգրվում են կետերում փոփոխականների արժեքներին համապատասխանող սահմաններումՄ 0 ևՄ 1 , մենք վերջապես գտնում ենք.

Հավասարումն արտահայտում է թեորեմ `վերջնական տեսքով կետի կինետիկ էներգիայի փոփոխության վերաբերյալ. կետի կինետիկ էներգիայի փոփոխությունն իր որոշ տեղաշարժով հավասար է նույն տեղաշարժի կետի վրա գործող բոլոր ուժերի աշխատանքի հանրահաշիվ գումարին:

Օրինակ 9 . Ըստ արագության ընդդեմ ժամանակի գծապատկերի գ (տ) որոշելու համար, թե արդյոք 0-ից ժամանակահատվածի նյութական կետի վրա գործող ուժի աշխատանքը նախքանτ դրական, բացասական, հավասար է զրոյի (նկ. 13): Հաշվի առեք, որ AO \u003d ОВ:

Նկար 13

Որոշում: Մասնիկի վրա գործող ուժի աշխատանքը հավասար է մասնիկի կինետիկ էներգիայի ավելացմանը:

Նյութական կետի կինետիկ էներգիան հարաբերակցության հետ կապված է արագության հետ Քանի որ մասնիկների արագությունները մերթտ\u003d 0 ևտ= τ ըստ խնդրի պայմանի մեծությամբ հավասար են (AO \u003d OB գրաֆիկի վրա), ապա այս վիճակներում կինետիկ էներգիաները նույնն են, այսինքն. Հետեւաբար, կիրառված ուժի աշխատանքը նշված ժամանակահատվածի համար հավասար է զրոյի:

Օրինակ 10 . Կետը շարժվում է առանցքի երկայնքովԵզ առանցքի երկայնքով ուղղված ուժի գործողության ներքոx (նկ. 14): Համեմատեք կետի կինետիկ էներգիայի արժեքները նախնական և վերջնական վիճակներում այն \u200b\u200bդեպքերի համար, երբ կոորդինատային առանցքի վրա ուժի կանխատեսումը փոխվում է ըստ «ա» և «բ» գծապատկերների ?

Նկար 14

Որոշում: Ըստ թեորեմի ՝ մասնիկի կինետիկ էներգիայի ավելացումը հավասար է մասնիկի վրա գործող ուժի աշխատանքին:

Փոփոխական ուժի աշխատանքը որոշվում է հարաբերակցությամբ Հաշվի առնելով ինտեգրալի երկրաչափական իմաստը (կորի գծային տրեպեզի մակերեսը) հեշտ է տեսնել, որ «ա» -ի դեպքում աշխատանքը հավասար է զրոյի, և նախնական և վերջնական վիճակների կինետիկ էներգիաները համընկնում են: «Բ» դեպքում աշխատանքը դրական է, իսկ վերջնական վիճակի կինետիկ էներգիան ավելի մեծ է, քան նախնականը:

Օրինակ 11 . Երկու սկավառակ հավասար զանգվածներով, վրա տարբեր չափսեր (Ռ Ա = 2 Ռ Բ ) պտտվել մինչև նույն անկյունային արագությունները: Գտեք արտադրված ստեղծագործության փոխհարաբերությունները:

Որոշում: Սկավառակը պտտելու վրա աշխատանքը հավասար է կինետիկ էներգիայի ավելացմանը, այսինքն.Ա= ∆ W k... Յուրաքանչյուր սկավառակի նախնական կինետիկ էներգիան հավասար է զրոյի, վերջինը բանաձևով կապված է անկյունային արագության հետ

Հաշվի առնելով, որ շարունակական միատարր սկավառակի իներցիայի պահն է զ , ինչը կարելի է տեսնել հավասարության երկու կողմերի նախագծմամբայս առանցքի վրա: Առանցքի մասին պահի թեորեմի մաթեմատիկական արտահայտությունը տրված է բանաձևով.

Ինքնաքննության հարցեր

- Որո՞նք են մեխանիկական շարժման երկու չափումները և ուժի գործողության համապատասխան չափիչները:

- Ո՞ր ուժերն են կոչվում շարժիչ ուժեր:

- Ո՞ր ուժերն են կոչվում դիմադրության ուժեր:

- Գրե՞լ թարգմանական և ռոտացիոն շարժումներում աշխատանքը որոշելու բանաձևերը:

- Ո՞ր ուժն է կոչվում թաղային ուժ: Ի՞նչ է պտտող պահը

- Ձևակերպեք արդյունքի աշխատանքի վերաբերյալ թեորեմ:

- Ինչպե՞ս է ուժի աշխատանքը կայունության չափով և ուղղությամբ որոշվում ուղիղ գծի շարժման վրա:

- Ո՞րն է լոգարիթմական շփման ուժի աշխատանքը, եթե այդ ուժը կայուն է մեծությամբ և ուղղությամբ:

- Ո՞ր պարզ եղանակով կարող եք հաշվարկել կորի գծի տեղաշարժի վրա մեծության և ուղղության կայուն ուժի աշխատանքը:

- Ո՞րն է արդյունքի հասած ուժի աշխատանքը:

- Ինչպե՞ս արտահայտել ուժի տարրական աշխատանքը ուժի կիրառման կետի տարրական ուղու միջոցով և ինչպե՞ս `այս կետի աղեղի կոորդինատի ավելացման միջոցով:

- Ո՞րն է տարրական աշխատանքի վեկտորային արտահայտությունը:

- Ո՞րն է ուժի տարրական աշխատանքի արտահայտումը կոորդինատային առանցքի վրա ուժի պրոյեկցիայի միջոցով:

- Գրիր տարբեր տեսակի կոր գծային ինտեգրալ, որը որոշում է փոփոխական ուժի աշխատանքը վերջավոր կոր գծային տեղաշարժի վրա:

- Ո՞րն է կոր շարժման վրա փոփոխական ուժի աշխատանքը որոշելու գրաֆիկական եղանակը:

- Ինչպե՞ս են հաշվվում ինքնահոս աշխատանքը և առաձգականության աշխատանքը:

- Ինչ տեղաշարժերի վրա է ծանրության աշխատանքը. Ա) դրական, բ) բացասական, գ) հավասար է զրոյի:

- Ո՞ր դեպքում է առաձգական ուժի աշխատանքը դրական, իսկ ո՞ր դեպքում ՝ բացասական:

- Ինչ ուժ է կոչվում ՝ ա) պահպանողական; բ) ոչ պահպանողական. գ) ցրող.

- Ի՞նչ է կոչվում պահպանողական ուժերի ներուժ:

- Ո՞ր ոլորտն է կոչվում պոտենցիալ:

- Ի՞նչ է կոչվում ուժի գործառույթ:

- Ի՞նչ է կոչվում ուժային դաշտ: Բերեք ուժի դաշտերի օրինակներ:

- Որո՞նք են մաթեմատիկական կապերը դաշտի ներուժի և ուժի ֆունկցիայի միջև:

- Ինչպե՞ս որոշել պոտենցիալ դաշտի ուժերի տարրական աշխատանքը և այդ ուժերի աշխատանքը համակարգի վերջնական տեղահանման վրա, եթե դաշտի ուժային ֆունկցիան հայտնի է:

- Ի՞նչ աշխատանք են կատարում պոտենցիալ դաշտում համակարգի կետերի վրա գործող գործող ուժերը `փակ տեղաշարժի վրա:

- Ո՞րն է համակարգի պոտենցիալ էներգիան ցանկացած դիրքում:

- Ո՞րն է մեխանիկական համակարգի պոտենցիալ էներգիայի փոփոխությունը, երբ այն տեղափոխում է մի դիրքից մյուսը:

- Ի՞նչ կապ կա պոտենցիալ դաշտի ուժային ֆունկցիայի և այս ոլորտում համակարգի պոտենցիալ էներգիայի միջև:

- Հաշվարկե՞լ 20 կգ կշռող կետի կինետիկ էներգիայի փոփոխությունը, եթե դրա արագությունը 10-ից դարձել է 20 մ / վրկ:

- Ինչպե՞ս են որոշվում համակարգի ցանկացած կետում պոտենցիալ դաշտում գործող ուժի կոորդինատային առանցքների կանխատեսումները:

- Ո՞ր մակերեսներն են կոչվում հավասարազոր և որո՞նք են դրանց հավասարումները:

- Ինչպե՞ս է պոտենցիալ դաշտի նյութական կետի վրա ազդող ուժն ուղղված այս կետով անցնող հավասարաչափ մակերեսի նկատմամբ:

- Ո՞րն է ծանրության ազդեցության տակ գտնվող նյութական կետի և մեխանիկական համակարգի պոտենցիալ էներգիան:

- Ի՞նչ ձև ունեն ինքնահոս դաշտի հավասարակշռված մակերեսները և նյուտոնյան ձգողականության ուժե՞րը:

- Ո՞րն է մեխանիկական էներգիայի պահպանման և վերափոխման օրենքը:

- Ինչու է նյութական կետը նկարագրում հարթ կորի կենտրոնական ուժի գործողության ներքո:

- Ի՞նչ է կոչվում հատվածի արագություն և ինչպե՞ս արտահայտել դրա մոդուլը բևեռային կոորդինատներով:

- Ո՞րն է տարածքների օրենքը:

- Ո՞րն է դիֆերենցիալ հավասարման ձևը ձևում Բինետկենտրոնական ուժի գործողության տակ շարժվող կետի հետագիծը որոշե՞լը:

- Ինչ բանաձեւով է որոշվում մոդուլը նյուտոնյան ձգողականության ուժե՞րը:

- Ո՞րն է կոնաձև հատվածի հավասարման կանոնական ձևը և էքսցենտրիկության ո՞ր արժեքներով է դաշտում շարժվող մարմնի հետագիծը: նյուտոնյան ձգողականության ուժեր, արդյո՞ք դա շրջան է, էլիպս, պարաբոլա, հիպերբոլա:

- Ձեւակերպեք Կեպլերի կողմից հայտնաբերված մոլորակային շարժման օրենքները:

- Ի՞նչ նախնական պայմաններում է մարմինը դառնում Երկրի արբանյակ, և ի՞նչ պայմաններում է այն կարողանում հաղթահարել երկրի ձգողականությունը:

- Որո՞նք են առաջին և երկրորդ տիեզերական արագությունները:

- Գրե՞լ աշխատանքը թարգմանական և պտտվող շարժումներով աշխատանքի հաշվարկման բանաձևերը:

- 1000 կգ կշռող վագոնը հորիզոնական գծի երկայնքով տեղափոխվում է 5 մ-ով, շփման գործակիցը 0,15 է: Սահմանեք ինքնահոս աշխատանքը:

- Գրե՞լ թարգմանական և պտտվող շարժումների հզորությունը հաշվարկելու բանաձևերը:

- Որոշեք 1 րոպեում 0,5 կՆ քաշով բեռը 10 մ բարձրության վրա բարձրացնելու համար պահանջվող հզորությունը:

- Ի՞նչ աշխատանք է կատարում ուղղանկյուն շարժվող մարմնի վրա 100 կգ զանգված ունեցող ուժը, եթե մարմնի արագությունը 5-ից հասել է 25 մ / վ-ի:

- Որոշեք մեխանիզմի ընդհանուր արդյունավետությունը, եթե շարժիչի 12.5 կՎտ հզորությամբ և 2 կՆ շարժման ընդհանուր դիմադրողականությամբ շարժման արագությունը 5 մ / վ է:

- Եթե մեքենան շարժիչով շարժիչի անընդհատ հզորությամբ սար է բարձրանում, ապա այն դանդաղեցնում է: Ինչո՞ւ

- Գծային շարժումով կայուն ուժի աշխատանք Վ=10 J... Ո՞րն է ուժի ուղղության անկյունը շարժման ուղղությամբ:

1) սուր անկյուն;

2) աջ անկյուն;

3) բութ անկյուն:

- Ինչպե՞ս կփոխվի ուղղանկյուն շարժվող կետի կինետիկ էներգիան, եթե դրա արագությունը կրկնապատկվի:

1) կկրկնապատկվի.

2) քառապատկվելու է:

- Ի՞նչ է ծանրության ուժի աշխատանքը մարմնի հորիզոնական շարժման հետ:

1) ծանրության և տեղաշարժի արտադրանքը.

2) ծանրության աշխատանքը զրո է:

- Մեխանիկական էներգիայի պահպանման օրենքը կատարվում է, եթե

1) բոլոր ներքին ուժերի գումարը զրո է.

2) Վերքի բոլոր արագությունների գումարը զրո է.

3) բոլոր արտաքին ուժերի հանրագումարը;

4) արտաքին ուժերի բոլոր պահերի գումարը զրոյի հասցված;

5) պահպանողական ուժերի գործողության ներքո.

- Մեխանիկայի աշխատանքն է

1)

1 ) ուժեր, որոնց աշխատանքը կախված չէ ուղու ձևից.

2 ) ուժեր, որոնց աշխատանքը կախված է ուղու ձևից;

3 ) շփման ուժեր;

4 ) գրավիտացիոն ուժեր;

5 ) էլեկտրաստատիկ ուժեր:

- Ո՞րն է արդյունքում ուժի աշխատանքը.

1 ) մարմնի կինետիկ էներգիայի փոփոխություն;

2 ) կինետիկ էներգիա

Դաշտային ուժերի աշխատանքը հաշվարկելու բանաձևի լիցքը տեղափոխման ժամանակ: Ներուժի հասկացությունը, էլեկտրաստատիկ դաշտի պոտենցիալ բնույթը: Լարվածության և ներուժի կապը: Հարթ կոնդենսատորի, լիցքավորված թելիկի, գլանաձև և գնդաձեւ կոնդենսատորների դաշտային ներուժը:

4. 1. Լիցքերը տեղափոխելիս դաշտային ուժերի աշխատանքը հաշվարկելու բանաձևի ածանցում: 4. 2. Պոտենցիալի հասկացությունը, էլեկտրաստատիկ դաշտի պոտենցիալ բնույթը: 4. 3. Լարվածության և ներուժի միջև կապը: 4. 4. Հարթ կոնդենսատորի, լիցքավորված թելիկի, գլանաձև և գնդաձեւ կոնդենսատորների դաշտային ներուժը:

4. 1. Լիցքերը տեղափոխելիս դաշտային ուժերի աշխատանքը հաշվարկելու բանաձևի ածանցում: Թող լինի կետային դրական լիցք: Եկեք հաշվարկենք 1-ին կետից 2. կետ տեղափոխելու աշխատանքը: Նկ. 4. 1. Մի կետի դրական լիցքի տեղափոխում 1-ից 2-րդ կետ:

(4. 1) Եզրակացություն. Լիցքը դաշտի մի կետից մյուսը տեղափոխելու աշխատանքը հավասար է այս լիցքի մեծության արտադրյալին ՝ հետագծի մեկնարկային և ավարտական \u200b\u200bկետերի պոտենցիալ տարբերությամբ: Բովանդակության ցուցակին

4. 2. Պոտենցիալի հասկացությունը, էլեկտրաստատիկ դաշտի պոտենցիալ բնույթը: կարող է ծառայել որպես բնագավառի բնութագիր: Քանի որ արտահայտման ֆունկցիոնալ մասում (4. 2), ապա վերցնում ենք const \u003d 0. Ստանում ենք (4. 3) Այս արժեքը կոչվում է կետային լիցքի դաշտի ներուժ: (4.4) (4.5)

Տվյալ կետում դաշտի ներուժը ֆիզիկական մեծություն է, որը թվային առումով հավասար է դաշտի տվյալ կետից դաշտի տվյալ կետից դեպի անսահմանություն միավորի դրական լիցքը տեղափոխելու աշխատանքին: Էլեկտրաստատիկ դաշտի ուժերի աշխատանքը հավասար է պոտենցիալ էներգիայի կորստին, այսինքն (4.6) (4.7) Այնուհետև, համեմատելով (4.4) և (4.6), մենք ստանում ենք T.- ից: At (4.8), ապա տվյալ կետում դաշտի ներուժը ֆիզիկական մեծություն է, որը թվային առումով հավասար է պոտենցիալ էներգիայի, որը ձեռք է բերվում միավորի դրական լիցքի միջոցով, երբ անվերջությունից դաշտի տվյալ կետ է տեղափոխվում: Եկեք պարզենք պոտենցիալ էլեկտրաստատիկ դաշտի հատկությունները: (4. 9) Նկ. 4.2.

1. Էլեկտրական դաշտը մի կետից մյուսը տեղափոխելու աշխատանքը կախված չէ հետագծի ձևից: (4. 10) 2. Փակ արահետով լիցքի փոխանցման աշխատանքը զրո է: 1-ը և 2-ը արտացոլում են ոլորտի պոտենցիալ բնույթը: 3. Էլեկտրական դաշտում ինտենսիվության վեկտորի շրջանառությունը փակ օղակի երկայնքով հավասար է զրոյի:

Հավասար պոտենցիալ մակերեսներ: Equi նախածանցը նշանակում է հավասար: Հավասար պոտենցիալ մակերեսը նույն ներուժն ունեցող կետերից կազմված մակերես է: Էլեկտրական դաշտի երկրաչափական նկարագրության համար, ուժի գծերի հետ միասին, օգտագործվում են նաև հավասարազոր մակերեսներ: 1. Ուժի գծերը ուղղահայաց են հավասարազոր մակերեսներին: Նկար: 4. 3. Հավասարաչափ մակերեսներ 2. Հավասարաչափ մակերեսի երկայնքով լիցքը տեղափոխելու աշխատանքը զրո է:

Փորձ 4. 1. Հավասար ներուժի մակերեսների ցուցադրում: Նպատակը. Հավասար ներուժի մակերեսների ցուցադրում: Սարքավորումներ. 1. Demուցադրման էլեկտրաչափ: 2. Շերտավոր դիրիժոր մեկուսացման տակդիրի վրա: 3. Ebony փայտ: 4. Բուրդ: 5. Փորձարկման գնդակը մեկուսիչ բռնակի վրա: 6. Երկու հաղորդիչ. Մեկը `1, 5 - 2 մ երկարությամբ ճկուն, մյուսը` էլեկտրոմետրը հիմնավորելու համար: Նկար: 4. 4. Տեղադրում Աշխատանքի առաջընթացը. Երկար դիրիժորով փորձնական գնդակը միացված է էլեկտրոսկոպի ձողին, մարմինը հիմնավորված է: Մենք լիցքավորում ենք դիրիժորին և գնդակը տեղափոխում ենք դիրիժորի ամբողջ մակերևույթի վրա (արտաքին և ներքին): Էլեկտրամաչափի ընթերցումները չեն փոխվում: Եզրակացություններ. Լիցքավորված հաղորդիչի մակերեսը ամենուր ունի նույն ներուժը: Բովանդակության ցուցակին

4. 3. Լարվածության և ներուժի միջև կապը: Թող լինեն վեկտորային դաշտ և մասշտաբային դաշտ (4. 11) Հայտնի է, որ էլեկտրաստատիկ դաշտի ուժի և ներուժի միջև կապ կա. (4. 12) Բովանդակության ցուցակին

4. 4. Հարթ կոնդենսատորի, լիցքավորված թելիկի, գլանաձև և գնդաձեւ կոնդենսատորների դաշտի ներուժ: Միատարր հարթ կոնդենսատոր: (4.13) Նկ. 4. 4. Միատարր հարթ կոնդենսատոր Հանձնարարություն անկախ աշխատանքի: Օգտագործելով 3-րդ և 4-րդ դասախոսությունների նյութը `բերեք բանաձևեր, որոնք նկարագրում են լիցքավորված թելիկի, գլանաձև և գնդաձեւ կոնդենսատորների դաշտի ներուժը: Բովանդակության ցուցակին

Գլանաձեւ կոնդենսատորի համար մենք գիտենք, որ կոնդենսատորի սալերի միջև մենք կգտնենք պոտենցիալ տարբերությունը `ինտեգրվելով, եթե սալերի միջև բացը հարաբերական է, այսինքն` պայմանն այս դեպքում բավարարված է Նկ. 4.5

Գնդաձեւ կոնդենսատորի համար Նկ. 4. 6 Լիցքավորված թելի համար, որտեղ R- ը թելի հաստությունն է Նկ. 4.7

Ստորև բերված օրինակները տալիս են արդյունքներ, որոնք կարող են ուղղակիորեն օգտագործվել խնդիրների լուծման ժամանակ:

1. Ձգողականության աշխատանք: Թող M կետը, որի վրա գործում է ծանրության P ուժը, տեղափոխվի դիրքից դիր: Եկեք ընտրենք կոորդինատային առանցքները այնպես, որ առանցքը ուղղահայաց վեր ուղղվի (նկ. 231): Հետո Այս արժեքները փոխարինելով բանաձևով (44) մենք ստանում ենք ՝ հաշվի առնելով, որ ինտեգրման փոփոխականն է.

Եթե \u200b\u200bկետն ավելի բարձր է, ապա ուր է h կետի ուղղահայաց շարժումը. եթե կետը կետից ցածր է, ապա.

Վերջապես մենք ստանում ենք

Հետևաբար, ծանրության ուժի աշխատանքը հավասար է ուժի մոդուլի արտադրյալին և դրա կիրառման կետի ուղղահայաց տեղաշարժին `գումարած կամ մինուս նշանով վերցված: Աշխատանքը դրական է, եթե մեկնարկի կետն ավելի բարձր է, քան վերջնակետը, և բացասական է, եթե մեկնարկի կետն ավելի ցածր է, քան վերջնակետը:

Ստացված արդյունքից հետեւում է, որ ինքնահոս աշխատանքը կախված չէ հետագծի այն տեսակից, որի երկայնքով շարժվում է դրա կիրառման կետը: Այս հատկությամբ ուժերը կոչվում են ներուժ (տես § 126):

2. Էլաստիկ ուժի աշխատանքը: Հաշվի առեք հորիզոնական հարթության վրա ընկած և բեռի ազատ ծայրին կցված M բեռը (նկ. 232, ա): Ինքնաթիռում O կետով նշեք զսպանակի վերջում զբաղեցրած դիրքը, երբ այն չի շեշտվում ՝ չշեշտված աղբյուրի երկարությունը) և վերցրեք այս կետը որպես ծագում: Եթե \u200b\u200bմենք հիմա հետ քաշենք բեռը O հավասարակշռության դիրքից, զսպանակը ձգելով I արժեքի, ապա զսպանակը կստանա ձգում և F կետին ուղղված առաձգական ուժը կգործի բեռի վրա: Քանի որ մեր դեպքում, ըստ բանաձևի (6) § 76-ից

Վերջին հավասարությունը նույնպես ճիշտ է (O կետի ձախ կողմում գտնվող բեռը); ապա F ուժը ուղղվում է աջ և կստացվի, ինչպես պետք է լինի,

Եկեք գտնենք առաձգական ուժի կողմից կատարված աշխատանքը բեռը դիրքից դիր տեղափոխելիս

Քանի որ այս դեպքում մենք գտնում ենք, որ այդ արժեքները փոխարինելով բանաձևով (44)

(Նույն արդյունքը կարելի է ստանալ F- ի կախվածության գրաֆիկից (նկ. 232, բ), գծապատկերում ստվերում տրեպեզի մակերեսը հաշվարկելիս և հաշվի առնելով աշխատանքի նշանը): Արդյունքում ստացված բանաձևում այն \u200b\u200bներկայացնում է աղբյուրի սկզբնական երկարացումը `աղբյուրի վերջնական երկարացումը:

այսինքն `առաձգական ուժի աշխատանքը հավասար է կոշտության գործակցի արտադրանքի կեսին` զսպանակի սկզբնական և վերջնական երկարացումների (կամ սեղմումների) քառակուսիների միջև տարբերությամբ:

Աշխատանքը դրական կլինի, երբ զսպանակի վերջը շարժվի դեպի հավասարակշռության դիրքը, և բացասական, երբ դա կլինի, երբ գարնան վերջը հեռանա հավասարակշռության դիրքից:

Կարելի է ապացուցել, որ (48) բանաձեւը ուժի մեջ է մնում այն \u200b\u200bդեպքում, երբ M կետի տեղաշարժը ուղղագիծ չէ: Այսպիսով, պարզվում է, որ F ուժի աշխատանքը կախված է միայն M կետի հետագծի ձևերից և կախված չէ և, հետեւաբար, կախված չէ առաձգական ուժը:

3. շփման ուժի աշխատանք: Հաշվի առեք մի կետ, որը շարժվում է ինչ-որ կոպիտ մակերեսի երկայնքով (նկ. 233) կամ կոր: Կետի վրա գործող շփման ուժը հավասար է մեծության, երբ f- ը շփման գործակիցն է, իսկ N- ը մակերեսի նորմալ արձագանքն է: Շփման ուժն ուղղված է կետի տեղաշարժին հակառակ: Հետևաբար, և բանաձևով (44)

Եթե \u200b\u200bշփման ուժը թվային առումով հաստատուն է, ապա որտեղ s է կորի աղեղի երկարությունը, որի երկայնքով շարժվում է կետը:

Այսպիսով, լոգարիթմական շփման ուժի աշխատանքը միշտ բացասական է: Քանի որ այս աշխատանքը կախված է աղեղի երկարությունից, հետեւաբար, շփման ուժը ոչ պոտենցիալ ուժ է:

4. Ձգողական ուժի աշխատանքը Եթե Երկիրը (մոլորակը) համարվում է միատարր գնդակ (կամ միատարր համակենտրոն շերտերից բաղկացած գնդակ), ապա գնդակը դուրս գտնվող զանգվածով M կետը գտնվում է նրա կենտրոնից O հեռավորության վրա (կամ գտնվում է գնդակի մակերեսին): գործել ձգողական ուժը F ուղղված կենտրոնին O (նկ. 234), որի արժեքը որոշվում է § 76-ից (5) բանաձևով: Մենք ներկայացնում ենք այս բանաձևը տեսքով

n մենք սահմանում ենք k գործակիցը այն պայմանից, որ երբ կետը գտնվում է Երկրի մակերևույթի վրա (r \u003d R, որտեղ R- ը Երկրի շառավիղն է), ներգրավման ուժը մգ է, որտեղ g է ձգողականության արագացումը (ավելի ճիշտ ՝ ծանրության ուժը) երկրի մակերևույթի վրա: Հետո պետք է լինի