Jednou z najpohodlnejších metód riešenia štvorcových nerovností je grafická metóda. V tomto článku budeme analyzovať, ako sa štvorcové nerovnosti graficky riešia. Po prvé, poďme diskutovať o tom, čo je podstatou tejto metódy. A potom dáme algoritmus a zvážime príklady riešenia štvorcových nerovností grafickým spôsobom.
Navigácia po stránke.
Podstata grafickej metódy
Spravidla grafickým spôsobom riešenia nerovností s jednou premennou slúži nielen na riešenie štvorcových nerovností, ale aj nerovností iných typov. Podstata grafickej metódy riešenia nerovností ďalej: zvážte funkcie y \u003d f (x) a y \u003d g (x), ktoré zodpovedajú ľavej a pravej strane nerovnosti, zostavte ich grafy v jednom obdĺžnikovom súradnicovom systéme a zistite, v akých intervaloch sa graf jedného z nich nachádza pod alebo nad druhým. Tie intervaly, v ktorých
- graf funkcie f nad grafom funkcie g sú riešenia nerovnosti f (x)\u003e g (x);
- graf funkcie f nie je nižší ako graf funkcie g sú riešenia nerovnosti f (x) ≥g (x);
- graf funkcie f pod grafom funkcie g sú riešenia nerovnosti f (x)
- graf funkcie f nie vyšší ako graf funkcie g sú riešenia nerovnosti f (x) ≤g (x).
Tiež hovoríme, že úsečky priesečníkov grafov funkcií f a g sú riešením rovnice f (x) \u003d g (x).
Tieto výsledky prenášame do nášho prípadu - na riešenie štvorcovej nerovnosti a x 2 + b x + c<0 (≤, >, ≥).
Zavádzame dve funkcie: prvá y \u003d a x 2 + b x + c (v tomto prípade f (x) \u003d a x 2 + b x + c) zodpovedá ľavej strane štvorcovej nerovnosti, druhá y \u003d 0 (v tomto prípade g (x) \u003d 0) zodpovedá pravej strane nerovnosti. Časový plán kvadratická funkcia f je parabola a graf konštantná funkcia g - priamka zhodná s osou úsečky Ox.
Ďalej je podľa grafickej metódy riešenia nerovností potrebné analyzovať, v akých intervaloch je graf jednej funkcie umiestnený nad alebo pod druhou, čo nám umožní napísať požadované riešenie štvorcovej nerovnosti. V našom prípade musíme analyzovať polohu paraboly vzhľadom na os Ox.
V závislosti na hodnotách koeficientov a, b a c je možných nasledujúcich šesť možností (pre naše potreby postačuje schematické znázornenie a je možné nezobraziť os Oy, pretože jej poloha nemá vplyv na riešenie nerovnosti):
- riešením štvorcovej nerovnosti a x 2 + b x + c\u003e 0 je (−∞, x 1) ∪ (x 2, + ∞) alebo v inej notácii x
x 2; - riešenie štvorcovej nerovnosti a · x 2 + b · x + c≥0 je (−∞, x 1] ∪ alebo v inej notácii x 1 ≤x≤x 2,
- riešením štvorcovej nerovnosti a x 2 + b x + c\u003e 0 je (−∞, x 0) ∪ (x 0, + ∞) alebo v inom zápise x ≠ x 0;
- riešenie štvorcovej nerovnosti a · x 2 + b · x + c≥0 je (−∞, + ∞) alebo v inom zápise x∈R;
- štvorcová nerovnosť a x 2 + b x + c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
- štvorcová nerovnosť a x 2 + b x + c≤0 má jedinečné riešenie x \u003d x 0 (je dané bodom dotyčnice),
Na tomto výkrese vidíme parabolu, ktorej vetvy smerujú nahor a ktorá pretína os Ox v dvoch bodoch, ktorých úsečky sú x 1 a x 2. Tento výkres zodpovedá možnosti, keď je koeficient a kladný (je zodpovedný za smer vetiev paraboly smerom nahor) a keď je hodnota kladná diskriminuje štvorcovú trojčlen a x 2 + b x + c (v tomto prípade má trinomiál dva korene, ktoré sme označili ako x 1 a x 2, a predpokladali sme, že x 1
Pre názornosť si zobrazme červeno tie časti paraboly, ktoré sa nachádzajú nad osou úsečky, a modrou farbou - tie, ktoré sa nachádzajú pod osou úsečky. 
Teraz poďme zistiť, čomu zodpovedajú rozstupy týchto častí. Nasledujúci výkres ich pomôže určiť (v budúcnosti sa podobné výbery vo forme obdĺžnikov budú vykonávať mentálne): 
Takže na osi úsečky sa ukázalo, že dva intervaly (−∞, x 1) a (x 2, + turned) sú zvýraznené červenou farbou, na ktorých je parabola nad osou Ox, tvoria riešenie štvorcovej nerovnosti a x 2 + b x + c\u003e 0 , a medzera (x 1, x 2) je zvýraznená modrou farbou, má parabolu pod osou Ox, je riešením nerovnosti a x 2 + b x + c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .
A teraz krátko: pre a\u003e 0 a D \u003d b 2 −4 · a · c\u003e 0 (alebo D "\u003d D / 4\u003e 0 pre párny koeficient b)
kde x 1 a x 2 sú korene štvorcového trojuholníka a x 2 + b x + c a x 1 Výkres jasne ukazuje, že parabola je umiestnená nad osou Ox všade, okrem kontaktného bodu, to znamená v intervaloch (−∞, x 0), (x 0, ∞). Kvôli prehľadnosti vyberte oblasť na výkrese analogicky s predchádzajúcim odsekom. Robíme závery: pre a\u003e 0 a D \u003d 0 kde x 0 je odmocnina štvorcového trojuholníka a x 2 + b x + c. Je zrejmé, že parabola je umiestnená nad osou Ox po celej dĺžke (neexistujú žiadne intervaly, kde je pod osou Ox, nie je tam žiadny dotyčnicový bod). Teda pre\u003e 0 a D<0
решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 a a x 2 + b x + c≥0 je množina všetkých reálnych čísel a nerovnosti a x 2 + b x + c<0
и a·x 2 +b·x+c≤0
не имеют решений.
Tu vidíme parabolu, ktorej vetvy smerujú nahor a ktorá sa dotýka osi úsečky, teda má s ňou jeden spoločný bod, označme úsečku tohto bodu ako x 0. Prezentovaný prípad zodpovedá a\u003e 0 (vetvy smerujú nahor) a D \u003d 0 (štvorcový trojčlen má jeden koreň x 0). Ako príklad si môžeme vziať kvadratickú funkciu y \u003d x 2 −4 x + 4, tu a \u003d 1\u003e 0, D \u003d (- 4) 2 −4 · 1,4 · 0 \u003d x a x 0 \u003d 2.
V tomto prípade sú vetvy paraboly nasmerované nahor a nemá žiadne spoločné body s osou úsečky. Tu máme podmienky a\u003e 0 (vetvy smerujú nahor) a D<0
(квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1
, здесь a=2>0, D \u003d 0 2 −4 2 1 \u003d −8<0
.
Existujú tri možnosti umiestnenia paraboly s vetvami smerujúcimi nadol, nie nahor, vo vzťahu k osi Ox. V zásade ich netreba brať do úvahy, pretože vynásobením oboch strán nerovnosti −1 nám umožní prejsť na ekvivalentnú nerovnosť s kladným koeficientom pri x 2. Napriek tomu nezaškodí získať predstavu o týchto prípadoch. Zdôvodnenie je tu podobné, preto píšeme iba hlavné výsledky.
Algoritmus riešenia
Výsledok všetkých predchádzajúcich výpočtov je algoritmus na grafické riešenie štvorcových nerovností:
- Najprv hodnota koeficientu a odhalí, kam smerujú jeho vetvy (pre a\u003e 0 - nahor, pre a<0 – вниз).
- A za druhé, hodnotou diskriminátora štvorcového trojuholníka a x 2 + b x + c sa zistí, či parabola pretína os úsečky v dvoch bodoch (pre D\u003e 0), dotkne sa jej v jednom bode (pre D \u003d 0), alebo nemá žiadne spoločné body s osou Ox (pre D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.
Keď je výkres pripravený, podľa neho v druhom kroku algoritmu
- pri riešení štvorcovej nerovnosti a x 2 + b x + c\u003e 0 sa určia intervaly tam, kde je parabola umiestnená nad úsečkou;
- pri riešení nerovnosti a x 2 + b x + c≥0 sa určia intervaly, v ktorých je parabola umiestnená nad osou úsečky a k nim sa pripočítajú úsečky priesečníkov (alebo úsečka dotykového bodu);
- pri riešení nerovnosti a x 2 + b x + c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
- nakoniec pri riešení štvorcovej nerovnosti tvaru a x 2 + b x + c≤0 sa nájdu intervaly, kde je parabola pod osou Ox a pripočítajú sa k nim úsečky priesečníkov (alebo úsečka dotyčnice);
tvoria požadované riešenie štvorcovej nerovnosti, a ak neexistujú také intervaly a neexistujú body dotyčnice, potom pôvodná štvorcová nerovnosť nemá riešenie.
Na súradnicovej rovine sa vykoná schematický nákres, ktorý zobrazuje os Ox (os Oy je voliteľná) a náčrt paraboly zodpovedajúci kvadratickej funkcii y \u003d a x 2 + b x + c. Ak chcete vytvoriť náčrt paraboly, stačí zistiť dva body:
Zostáva už len vyriešiť niekoľko štvorcových nerovností pomocou tohto algoritmu.
Príklady riešení
Príklad.
Vyriešiť nerovnosť 
.
Rozhodnutie.
Musíme vyriešiť štvorcovú nerovnosť, použijeme algoritmus z predchádzajúceho odseku. V prvom kroku musíme nakresliť náčrt grafu kvadratickej funkcie 
... Koeficient pri x 2 je 2, je kladný, preto vetvy paraboly smerujú nahor. Poďme tiež zistiť, či má parabola spoločné body s úsečkou, preto vypočítame diskriminačný faktor štvorcovej trojice 
... Máme 
... Ukázalo sa, že diskriminátor je väčší ako nula, preto má trinomiál dva skutočné korene: 
a 
, to znamená, že x 1 \u003d -3 a x 2 \u003d 1/3.
Je teda zrejmé, že parabola pretína os Ox v dvoch bodoch s úsečkami -3 a 1/3. Tieto body zobrazíme na výkrese obyčajnými bodmi, pretože riešime slabú nerovnosť. Podľa zistených údajov dostaneme nasledujúci výkres (pasuje na prvú šablónu z prvého odseku článku): 
Prejdeme k druhému kroku algoritmu. Pretože riešime slabú štvorcovú nerovnosť so znamienkom ≤, musíme určiť intervaly, v ktorých sa parabola nachádza pod osou úsečky, a pripočítať k nim úsečky priesečníkov. 
Z výkresu vidno, že parabola je v intervale pod osou úsečky (−3, 1/3) a k nej pripočítame úsečky priesečníkov, teda čísla −3 a 1/3. Vo výsledku sa dostaneme k číselnému segmentu [−3, 1/3]. Toto je riešenie, ktoré hľadáte. Môže to byť zapísané ako dvojitá nerovnosť −3≤x≤1 / 3.
Odpoveď:
[-3, 1/3] alebo -3-3xx1 / 3.
Príklad.
Nájdite riešenie štvorcovej nerovnosti −x 2 + 16 x - 63<0 .
Rozhodnutie.
Ako obvykle začíname kresbou. Numerický koeficient štvorca premennej je záporný, −1, preto vetvy paraboly smerujú nadol. Poďme vypočítať diskriminujúceho, alebo lepšie - jeho štvrtú časť: D "\u003d 8 2 - (- 1) · (- 63) \u003d 64 - 63 \u003d 1... Jeho hodnota je kladná, vypočítame korene štvorcovej trojuholníka: 
a 
, x 1 \u003d 7 a x 2 \u003d 9. Takže parabola pretína os Ox v dvoch bodoch s úsečkami 7 a 9 (pôvodná nerovnosť je prísna, takže tieto body zobrazíme s prázdnym stredom). Teraz môžete vytvoriť schematický nákres: 
Keďže riešime podpísanú prísnu štvorcovú nerovnosť<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:
Výkres ukazuje, že riešením pôvodnej štvorcovej nerovnosti sú dva intervaly (−∞, 7), (9, + ∞).
Odpoveď:
(−∞, 7) ∪ (9, + ∞) alebo v inej notácii x<7 , x>9 .
Pri riešení štvorcových nerovností, keď sa diskriminátor štvorcovej trojčlenky na jeho ľavej strane rovná nule, musíte byť opatrní pri začleňovaní alebo vylučovaní úsečky dotyčného bodu od odpovede. Závisí to od znaku nerovnosti: ak je nerovnosť prísna, potom nejde o riešenie nerovnosti, a ak nie je prísna, potom je.
Príklad.
Má štvorcová nerovnosť 10 x 2 −14 x + 4,9≤0 aspoň jedno riešenie?
Rozhodnutie.
Vyneste funkciu y \u003d 10 x 2 −14 x + 4,9. Jeho vetvy sú nasmerované nahor, pretože koeficient pri x 2 je kladný a dotýka sa osi vodorovnej osi v bode s vodorovnou osou 0,7, pretože D "\u003d (- 7) 2 −10 · 4,9 \u003d 0, odkiaľ alebo 0,7 ako desatinný zlomok. Schematicky to vyzerá takto: 
Pretože riešime štvorcovú nerovnosť so znamienkom ≤, jej riešením budú intervaly, kde je parabola pod osou Ox, ako aj úsečka dotyčnicového bodu. Z výkresu je zrejmé, že neexistuje jediný interval, v ktorom by parabola bola pod osou Ox, preto bude jeho riešením iba úsečka kontaktného bodu, teda 0,7.
Odpoveď:
táto nerovnosť má jedinečné riešenie 0,7.
Príklad.
Vyriešte štvorcovú nerovnosť –x 2 + 8 · x - 16<0 .
Rozhodnutie.
Postupujeme podľa algoritmu riešenia štvorcových nerovností a začneme tvorbou grafu. Vetvy paraboly smerujú nadol, pretože koeficient pri x 2 je záporný, −1. Nájdite diskriminátora štvorcového trojuholníka –x 2 + 8 · x - 16, ktorý máme D '\u003d 4 2 - (- 1) (−16) \u003d 16−16 \u003d 0 a ďalej x 0 \u003d −4 / (- 1), x 0 \u003d 4. Takže parabola sa dotýka osi Ox v bode s úsečkou 4. Poďme vykonať výkres: 
Pozeráme sa na znak pôvodnej nerovnosti, to je<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.
V našom prípade sú to otvorené lúče (−∞, 4), (4, + ∞). Samostatne si všimnite, že 4 - úsečka tangenciálneho bodu - nie je riešením, pretože v tangenciálnom bode nie je parabola nižšia ako os Ox.
Odpoveď:
(−∞, 4) ∪ (4, + ∞) alebo v inom zápise x ≠ 4.
Venujte osobitnú pozornosť prípadom, keď je diskriminátor štvorcovej trojčlenky na ľavej strane štvorcovej nerovnosti menší ako nula. Nie je potrebné sa ponáhľať a tvrdiť, že nerovnosť nemá žiadne riešenia (pre kvadratické rovnice so záporným diskriminačným vzorom sme zvyknutí robiť taký záver). Ide o to, že štvorcová nerovnosť pre D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.
Príklad.
Nájdite riešenie štvorcovej nerovnosti 3 x 2 +1\u003e 0.
Rozhodnutie.
Ako obvykle začíname kresbou. Koeficient a sa rovná 3, je kladný, preto vetvy paraboly smerujú nahor. Vypočítajte diskriminačný: D \u003d 0 2 −4 · 3 · 1 \u003d −12. Pretože je diskriminátor záporný, parabola nemá spoločné body s osou Ox. Získané informácie stačia na schematický graf: 
Striktnú hranatú nerovnosť riešime znakom\u003e. Jeho riešením budú všetky intervaly, kde je parabola nad osou Ox. V našom prípade je parabola po celej dĺžke vyššia ako os úsečky, preto hľadaným riešením bude množina všetkých reálnych čísel.
K nim treba pripočítať vôl a tiež úsečky priesečníkov alebo úsečku dotyčnice. Ale kresba jasne ukazuje, že neexistujú žiadne také medzery (pretože parabola je všade pod osou úsečky), pretože tu nie sú žiadne priesečníky ani dotyčnicový bod. Preto pôvodná štvorcová nerovnosť nemá žiadne riešenia.
Odpoveď:
žiadne riešenia ani iný záznam or.
Zoznam referencií.
- Algebra: štúdium. pre 8 cl. všeobecné vzdelanie. inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Telyakovskij. - 16. vydanie - M .: Education, 2008 .-- 271 s. : zle. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Algebra: 9. ročník: učebnica. pre všeobecné vzdelávanie. inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Telyakovskij. - 16. vydanie - M .: Education, 2009 .-- 271 s. : zle. - ISBN 978-5-09-021134-5.
- A. G. Mordkovič Algebra. 8. ročník. O 14.00 h 1. časť Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich. - 11. vydanie, Vymazané. - M.: Mnemosina, 2009. - 215 s.: Zle. ISBN 978-5-346-01155-2.
- A. G. Mordkovič Algebra. Stupeň 9. O 14.00 h 1. časť Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. vydanie, Vymazané. - M.: Mnemosina, 2011. - 222 s.: Ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
- A. G. Mordkovič Algebra a začiatok matematickej analýzy. Stupeň 11. O 14.00 h 1. časť Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií (profilová úroveň) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. vyd., Vymazané. - M.: Mnemosina, 2008. - 287 s .: Ill. ISBN 978-5-346-01027-2.
Ministerstvo školstva a politiky mládeže na území Stavropol
Štátna rozpočtová odborná vzdelávacia inštitúcia
Georgievsk Regional College "Integral"
JEDNOTLIVÝ PROJEKT
V disciplíne „Matematika: algebra, začiatok matematickej analýzy, geometria“
Na tému: „Grafické riešenie rovníc a nerovností“
Účinkuje študent skupiny PK-61, študujúci špecializáciu
„Programovanie v počítačových systémoch“
Zeller Timur Vitalievič
Vedúci: učiteľka Serkova N.A.
Dátum vyplnenia:„“ 2017
Dátum ochrany:„“ 2017
Georgievsk 2017
VYSVETLIVKA
CIEĽ PROJEKTU:
Cieľ: Zistite výhody grafického spôsobu riešenia rovníc a nerovností.
Úlohy:
Porovnajte analytické a grafické metódy na riešenie rovníc a nerovností.
Zistite, v akých prípadoch má grafická metóda výhody.
Zvážte riešenie rovníc s modulom a parametrom.
Relevantnosť výskumu: Analýza materiálu venovaného grafickému riešeniu rovníc a nerovností v učebniciach „Algebra a začiatok matematickej analýzy“ od rôznych autorov s prihliadnutím na ciele štúdia tejto témy. Napáda rovnaké povinné študijné výsledky súvisiace s danou témou.
Obsah
Úvod
1. Rovnice s parametrami
1.1. Definície
1.2. Algoritmus riešenia
1.3. Príklady
2. Nerovnosti s parametrami
2.1. Definície
2.2. Algoritmus riešenia
2.3. Príklady
3. Používanie grafov na riešenie rovníc
3.1. Grafické riešenie kvadratickej rovnice
3.2. Systémy rovníc
3.3. Trigonometrické rovnice
4. Aplikácia grafov pri riešení nerovností
5. Záver
6. Odkazy
Úvod
Štúdium mnohých fyzikálnych procesov a geometrických vzorov často vedie k riešeniu problémov s parametrami. Niektoré univerzity tiež zahŕňajú vstupenky na skúšky, nerovnice a ich systémy, ktoré sú často veľmi zložité a vyžadujú si neštandardný prístup k riešeniu. V škole sa táto jedna z najťažších častí školského kurzu matematiky zvažuje iba v niekoľkých výberových triedach.
Pri príprave tejto práce som si stanovil cieľ hlbšieho štúdia tejto témy, identifikácie najracionálnejšieho riešenia, ktoré rýchlo vedie k odpovedi. Podľa môjho názoru je grafická metóda pohodlným a rýchlym spôsobom riešenia rovníc a nerovností pomocou parametrov.
V mojom projekte sú uvažované bežné typy rovníc, nerovností a ich systémov.
1. Rovnice s parametrami
Základné definície
Zvážte rovnicu
(a, b, c, ..., k, x) \u003d (a, b, c, ..., k, x), (1)
kde a, b, c, ..., k, x sú premenné.
Ľubovoľný systém premenných hodnôt
a \u003d a 0 , b \u003d b 0 , c \u003d c 0 , ..., K \u003d k 0 , x \u003d x 0 ,
pri ktorej ľavá aj pravá strana tejto rovnice nadobúdajú skutočné hodnoty, sa nazýva systém prípustných hodnôt premenných a, b, c,…, k, x. Nech A je množina všetkých prípustných hodnôt a, B množina všetkých prípustných hodnôt b atď., X je množina všetkých prípustných hodnôt x, t.j. aA, bB, ..., xX. Ak pre každú z množín A, B, C, ..., K vyberieme a zafixujeme jednu hodnotu a, b, c, ..., k a dosadíme ich do rovnice (1), potom dostaneme rovnicu pre x, t.j. rovnica s jednou neznámou.
Premenné a, b, c, ..., k, ktoré sa pri riešení rovnice považujú za konštantné, sa nazývajú parametre a samotná rovnica sa nazýva rovnica obsahujúca parametre.
Parametre sú označené prvými písmenami latinskej abecedy: a, b, c, d,…, k, l, m, n a neznáme - písmenami x, y, z.
Riešiť rovnicu s parametrami znamená naznačiť, pri akých hodnotách parametrov riešenia existujú a aké sú.
Dve rovnice obsahujúce rovnaké parametre sa považujú za rovnocenné, ak:
a) majú zmysel pre rovnaké hodnoty parametrov;
b) každé riešenie prvej rovnice je riešením druhej a naopak.
Algoritmus riešenia
Nájdite doménu rovnice.
Vyjadrujeme a ako funkciu x.
V súradnicovom systéme xOa vykreslíme funkciu a \u003d (x) pre tie hodnoty x, ktoré sú obsiahnuté v doméne tejto rovnice.
Nájdite priesečníky priamky a \u003d c, kde c (-; + ) s grafom funkcie a \u003d (x). Ak priamka a \u003d c pretína graf a \u003d (x), potom určíme úsečky priesečníkov. K tomu stačí vyriešiť rovnicu a \u003d (x) pre x.
Odpoveď si zapisujeme.
Príklady
I. Vyriešte rovnicu
(1)
Rozhodnutie.
Pretože x \u003d 0 nie je koreňom rovnice, je možné vyriešiť rovnicu pre a:
alebo
Funkčný graf sú dve „nalepené“ hyperboly. Počet riešení pôvodnej rovnice je určený počtom priesečníkov zostrojenej priamky a priamky y \u003d a.
Ak a (-; -1] (1; + ) , potom priamka y \u003d a pretína v jednom bode graf rovnice (1). Úsečka tohto bodu sa zistí riešením rovnice pre x.
V tomto intervale má teda rovnica (1) riešenie.
Ak a , potom priamka y \u003d a pretína graf rovnice (1) v dvoch bodoch. Úsečky týchto bodov môžeme nájsť z rovníc, ktoré získame
a.
Ak a , potom priamka y \u003d a nepretína graf rovnice (1), preto neexistujú žiadne riešenia.
Odpoveď:
Ak a (-; -1] (1; + ) , potom;
Ak , potom ;;
Ak a, potom neexistujú žiadne riešenia.
II. Nájdite všetky hodnoty parametra a, pre ktoré má rovnica tri rôzne korene.
Rozhodnutie.
Po prepísaní rovnice do tvaru a zvážení dvojice funkcií si možno všimnúť, že hľadané hodnoty parametra a a len tie budú zodpovedať tým pozíciám funkčného grafu, v ktorých má presne tri priesečníky s funkčným grafom.
V súradnicovom systéme xOy vykreslíme funkciu). Z tohto dôvodu to môžeme reprezentovať vo forme a po zvážení štyroch vznikajúcich prípadov napíšeme túto funkciu do formulára
Pretože graf funkcie je priamka, ktorá má uhol sklonu k osi Ox rovný, a pretína os Oy v bode so súradnicami (0, a), dospeli sme k záveru, že tri uvedené priesečníky je možné získať, až keď sa táto čiara dotkne grafu funkcie. Preto nájdeme deriváciu
Odpoveď :.
III. Nájdite všetky hodnoty parametra a, pre každú z nich platí sústava rovníc
má riešenia.
Rozhodnutie.
Z prvej rovnice systému, ktorú dostaneme v, Táto rovnica definuje skupinu „semi-paraboly“ - pravé vetvy paraboly „sa posúvajú“ s vrcholmi pozdĺž osi úsečky.
Vyberte celé štvorce na ľavej strane druhej rovnice a rozdeľte ich na faktory
Množina bodov v rovine vyhovujúca druhej rovnici sú dve priame čiary
Zistíme, pre ktoré hodnoty parametra má krivka z rodiny „semi-paraboly“ aspoň jeden spoločný bod s jednou zo získaných čiar.
Ak sú vrcholy polovičnej paraboly napravo od bodu A, ale naľavo od bodu B (bod B zodpovedá vrcholu „polovičnej paraboly“, ktorá sa dotýka
priama čiara), potom príslušné grafy nemajú spoločné body. Ak sa vrchol „semi-paraboly“ zhoduje s bodom A, potom.
Prípad dotyčnice „polovičnej paraboly“ s priamkou sa určuje z podmienky existencie jedinečného riešenia systému.
V tomto prípade rovnica
má jeden koreň, odkiaľ nájdeme:
Z toho vyplýva, že pôvodný systém nemá žiadne riešenie pre a pre alebo má aspoň jedno riešenie.
Odpoveď: a (-; -3] (; + ).
IV. Vyriešte rovnicu
Rozhodnutie.
Použitím rovnosti možno danú rovnicu prepísať na
Táto rovnica je ekvivalentná systému
Rovnicu prepíšeme na
. (*)
Posledná rovnica je najjednoduchšie vyriešiť pomocou geometrických úvah. Zostrojme grafy funkcií a Z grafu vyplýva, že keď sa grafy nepretínajú, a preto rovnica nemá riešenie.
Ak sa potom grafy funkcií zhodujú, a preto sú všetky hodnoty riešením rovnice (*).
Keď sa grafy pretínajú v jednom bode, ktorého úsečka je vodorovná. Preto má rovnica (*) jedinečné riešenie -.
Poďme teraz preskúmať, aké hodnoty nájdených riešení rovnice (*) vyhovejú podmienkam
Poďme teda. Systém bude mať formu
Jeho riešením bude interval x (1; 5). Ak to vezmeme do úvahy, môžeme dospieť k záveru, že pre pôvodnú rovnicu všetky hodnoty x z intervalu vyhovujú pôvodnej nerovnosti ekvivalentnej skutočnej číselnej nerovnosti 2<4.Поэтому все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решений.
Na integrále (1; + ∞) získame opäť lineárnu nerovnosť 2х<4, справедливое при х<2. Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.
Rovnaký výsledok je však možné získať z jasných a zároveň dôsledných geometrických úvah. Obrázok 7 zobrazuje grafy funkcií:r= f( x)=| x-1|+| x+1 | ar=4.
Obrázok 7.
Na integrále (-2; 2) je graf funkcier= f(x) sa nachádza pod grafom funkcie y \u003d 4, čo znamená, že nerovnosťf(x)<4 справедливо. Ответ:(-2;2)
II ) Nerovnosti s parametrami.
Riešenie nerovností s jedným alebo viacerými parametrami je spravidla zložitejší problém ako problém, v ktorom neexistujú žiadne parametre.
Napríklad nerovnosť √a + x + √a-x\u003e 4, obsahujúca parameter a, si prirodzene vyžaduje oveľa väčšie úsilie pri jej riešení ako nerovnosť √1 + x + √1-x\u003e 1.
Čo to znamená vyriešiť prvú z týchto nerovností? To v podstate znamená vyriešiť nie jednu nerovnosť, ale celú triedu, celú sadu nerovností, ktoré sa získajú priradením konkrétnych číselných hodnôt parametru a. Druhá z vyššie uvedených nerovností je špeciálnym prípadom prvej, pretože sa z nej získa pre hodnotu a \u003d 1.
Riešenie parametrov obsahujúcich nerovnosť teda znamená určenie, pre ktoré hodnoty parametrov má nerovnosť riešenie, a pre všetky tieto hodnoty parametrov nájsť všetky riešenia.
Príklad 1:
Vyriešte nerovnosť | x-a | + | x + a |< b, a<>0.
Túto nerovnosť vyriešiť dvoma parametramia u b používame geometrické úvahy. Obrázky 8 a 9 zobrazujú grafy funkcií.
Y.= f(x)=| x- a|+| x+ a| u r= b.
Je zrejmé, že preb<=2| a| rovnor= b neprechádza vyššie ako vodorovný úsek krivkyr=| x- a|+| x+ a| a preto nerovnosť v tomto prípade nemá žiadne riešenie (obrázok 8). Akb>2| a| potom rovnor= b pretne funkčný grafr= f(x) v dvoch bodoch (-b/2; b) u (b/2; b) (Obrázok 6) a nerovnosť v tomto prípade platí pre -b/2< x< b/ 2, pretože pre tieto hodnoty premennej je krivkar=| x+ a|+| x- a| umiestnené pod čiarour= b.
Odpoveď: Akb<=2| a| , potom neexistujú žiadne riešenia,
Akb>2| a| potomx €(- b/2; b/2).
III) Trigonometrické nerovnosti:
Pri riešení nerovností trigonometrickými funkciami sa v zásade používa periodicita týchto funkcií a ich monotónnosť v zodpovedajúcich intervaloch. Najjednoduchšie trigonometrické nerovnosti. Funkciahriech x má kladné obdobie 2π. Preto nerovnosti formy:sin x\u003e a, sin x\u003e \u003d a,
hriech x
Stačí najskôr vyriešiť nejaký segment dĺžky 2π ... Množinu všetkých riešení získame pridaním ku každému z riešení, ktoré sa nachádzajú na tomto intervalovom čísle formulára 2π n, nЄZ.
Príklad 1: Riešenie nerovnostihriech x\u003e -1/2. (Obrázok 10)
Najskôr túto nerovnosť vyriešime na segmente [-π / 2; 3π / 2]. Zvážte jeho ľavú stranu - segment [-π / 2; 3π / 2]. Tu rovnicahriech x\u003d -1 / 2 má jedno riešenie x \u003d -π / 6; a funkciahriech x sa zvyšuje monotónne. Preto, ak –π / 2<= x<= -π/6, то hriech x<= hriech(- π / 6) \u003d - 1/2, t.j. tieto hodnoty x nie sú riešením nerovnosti. Ak –π / 6<х<=π/2 то hriech x> hriech(-π / 6) \u003d –1/2. Všetky tieto hodnoty x nie sú riešením nerovnosti.
Na zostávajúcom segmente [π / 2; 3π / 2] funkciahriech x monotónne klesá a rovnicahriech x \u003d -1/2 má jedno riešenie x \u003d 7π / 6. Preto ak π / 2<= x<7π/, то hriech x> hriech(7π / 6) \u003d - 1/2, t.j. všetky tieto hodnoty x sú riešením nerovnosti. Prex Є mámehriech x<= hriech(7π / 6) \u003d - 1/2, tieto hodnoty x nie sú riešením. Množina všetkých riešení tejto nerovnosti na intervale [-π / 2; 3π / 2] je teda integrál (-π / 6; 7π / 6).
Z dôvodu periodicity funkciehriech x s periódou 2π hodnôt х z ktoréhokoľvek integrálu tvaru: (-π / 6 + 2πn; 7π / 6 + 2πn), nЄZsú tiež riešenia nerovnosti. Žiadne iné hodnoty x nie sú riešením tejto nerovnosti.
Odpoveď: -π / 6 + 2πn< x<7π/6+2π nkdenЄ Z.
Záver
Preskúmali sme grafickú metódu riešenia rovníc a nerovností; považované za konkrétne príklady, pri riešení ktorých sa využili také vlastnosti funkcií ako monotónnosť a parita.Analýza vedeckej literatúry, učebnice matematiky umožnili štruktúrovať vybraný materiál v súlade s cieľmi štúdie, zvoliť a vyvinúť efektívne metódy riešenia rovníc a nerovností. Príspevok predstavuje grafickú metódu riešenia rovníc a nerovností a príklady, ktoré tieto metódy využívajú. Výsledok projektu možno považovať za tvorivé úlohy, ako pomocný materiál pre rozvoj zručnosti riešenia rovníc a nerovností pomocou grafickej metódy.
Zoznam použitej literatúry
Dalinger V. A. „Geometria pomáha algebre“. Škola - vydavateľstvo pre tlač. Moskva 1996
Dalinger V. A. „Všetko pre zabezpečenie úspechu pri záverečných a prijímacích skúškach z matematiky“. Vydavateľstvo Omskej pedagogickej univerzity. Omsk 1995
Okunev A. A. „Grafické riešenie rovníc s parametrami“. Škola - vydavateľstvo pre tlač. Moskva 1986
DT Pismensky „Matematika pre študentov stredných škôl“. Vydavateľstvo Iris. Moskva 1996
Yastribinetsky GA „Rovnice a nerovnosti obsahujúce parametre“. Vydavateľstvo „Vzdelávanie“. Moskva 1972
G. Korn a T. Korn „Príručka matematiky“. Vydavateľstvo prírodovednej a matematickej literatúry „Science“. Moskva 1977
Amelkin V. V. a Rabtsevich V. L. „Problémy s parametrami“. Vydavateľstvo Asar. Minsk 1996
Internetové zdroje
Žiak 10. ročníka Kotovchikhin Yuri
Žiaci začínajú študovať rovnice s modulmi už od 6. ročníka, študujú štandardnú metódu riešenia rozširovaním modulov o intervaly znakovej stálosti submodulárnych výrazov. Túto konkrétnu tému som si vybral, pretože verím, že si vyžaduje hlbšie a podrobnejšie štúdium, problémy s modulom spôsobujú študentom veľké ťažkosti. V školských učebných osnovách sú úlohy obsahujúce modul ako úlohy so zvýšenou zložitosťou a pri skúškach preto musíme byť pripravení čeliť takejto úlohe.
Stiahnuť ▼:
Náhľad:
Mestská vzdelávacia inštitúcia
Stredná škola №5
Výskumné práce na tému:
« Algebraické a grafické riešenie rovníc a nerovností obsahujúcich modul»
Urobil som prácu:
študent 10. ročníka
Kotovčikhin Jurij
Vodca:
Učiteľ matematiky
Shanta N.P.
Uryupinsk
1. Úvod ………………………………………………………… .3
2. Pojmy a definície ………………………………………… .5
3. Dôkaz viet ………………………………………… ..6
4. Spôsoby riešenia rovníc obsahujúcich modul ... ... ... ... ... 7
4.1 Riešenie využívajúce závislosti medzi číslami a a b, ich modulmi a štvorcami ……………………………………………………… 12
4.2 Využitie geometrickej interpretácie modulu na riešenie rovníc ……………………………………………………… .14
4.3 Grafy najjednoduchších funkcií obsahujúce znamienko absolútnej hodnoty.
………………………………………………………………………15
4.4. Riešenie neštandardných rovníc obsahujúcich modul ... .16
5. Záver …………………………………………………… .17
6. Zoznam použitej literatúry …………………………… 18
Účel práce: študenti začínajú študovať rovnice s modulmi už od 6. ročníka, študujú štandardnú metódu riešenia rozširovaním modulov o intervaly konštantných znamienok submodulových výrazov. Túto konkrétnu tému som si vybral, pretože verím, že si vyžaduje hlbšie a podrobnejšie štúdium, problémy s modulom spôsobujú študentom veľké ťažkosti. V školských učebných osnovách sú úlohy obsahujúce modul ako úlohy so zvýšenou zložitosťou a pri skúškach preto musíme byť pripravení čeliť takejto úlohe.
1. Úvod:
Slovo „modul“ pochádza z latinského slova „modulus“, čo znamená „zmerať“. Toto je polysémantické slovo (homonymum), ktoré má veľa významov a používa sa nielen v matematike, ale aj v architektúre, fyzike, strojárstve, programovaní a ďalších exaktných vedách.
V architektúre je to počiatočná jednotka merania stanovená pre danú architektonickú štruktúru a slúžiaca na vyjadrenie viacerých pomerov jej jednotlivých prvkov.
V technológii sa jedná o pojem používaný v rôznych oblastiach techniky, ktorý nemá univerzálny význam a slúži na označenie rôznych koeficientov a veličín, napríklad modul zapojenia, modul pružnosti atď.
Sypký modul (vo fyzike) je pomer normálového napätia v materiáli k relatívnemu predĺženiu.
2. Pojmy a definície
Modul - absolútna hodnota - skutočného čísla A je označený | A |.
Ak chcete túto tému preštudovať do hĺbky, musíte sa oboznámiť s najjednoduchšími definíciami, ktoré budem potrebovať:
Rovnica je rovnosť obsahujúca premenné.
Rovnica s modulom je rovnica obsahujúca premennú pod znamienkom absolútnej hodnoty (pod znamienkom modulu).
Vyriešiť rovnicu znamená nájsť všetky jej korene alebo dokázať, že korene neexistujú.
3 dôkaz viet
Veta 1. Absolútna hodnota reálneho čísla sa rovná väčšiemu z dvoch čísel a alebo -a.
Dôkazy
1. Ak je číslo a kladné, potom -a je záporné, to znamená, -a
Napríklad číslo 5 je kladné, potom -5 je záporné a -5
V tomto prípade | a | \u003d a, teda | a | zodpovedá väčšiemu z dvoch čísel a a - a.
2. Ak je a záporné, potom -a je kladné a a
Dôsledok. Z vety vyplýva, že | -a | \u003d | a |.
V skutočnosti sú obidve a rovnajú sa väčšiemu z čísel -a a a, čo znamená, že sú si navzájom rovné.
Veta 2. Absolútna hodnota ľubovoľného reálneho čísla a sa rovná aritmetickej odmocnine A2 .
Skutočne, ak potom podľa definície modulu čísla máme lAl\u003e 0 Na druhej strane pre A\u003e 0 to znamená | a | \u003d √A2
Ak 2
Táto veta umožňuje nahradiť | a | na
Geometricky | a | znamená vzdialenosť na súradnicovej čiare od bodu predstavujúceho číslo a k počiatku.
Ak potom na súradnicovej čiare existujú dva body a a -a, ktoré sú rovnako vzdialené od nuly, ich moduly sú rovnaké.
Ak a \u003d 0, potom na súradnicovej čiare | a | predstavované bodom 0
4. Metódy riešenia rovníc obsahujúcich modul.
Pri riešení rovníc obsahujúcich znamienko absolútnej hodnoty budeme vychádzať z definície modulu čísla a vlastností absolútnej hodnoty čísla. Vyriešime niekoľko príkladov rôznymi spôsobmi a uvidíme, ktorá metóda je ľahšia na riešenie rovníc obsahujúcich modul.
Príklad 1. Vyriešime analyticky a graficky rovnicu | x + 2 | \u003d 1.
Rozhodnutie
Analytické riešenie
1. spôsob
Budeme argumentovať na základe definície modulu. Ak je výraz pod modulom nezáporný, to znamená x + 2 ≥0, potom „nechá“ znamienko modulu so znamienkom plus a rovnica bude mať tvar: x + 2 \u003d 1. Ak sú hodnoty výrazu pod znamienkom modulu záporné , potom sa podľa definície bude rovnať: alebo x + 2 \u003d -1
Dostaneme teda buď x + 2 \u003d 1, alebo x + 2 \u003d -1. Riešením výsledných rovníc nájdeme: X + 2 \u003d 1 alebo X + 2 + -1
X \u003d -1 X \u003d 3
Odpoveď: -3; -1.
Teraz môžeme konštatovať: ak sa modul niektorého výrazu rovná skutočnému kladnému číslu a, potom je výraz pod modulom buď a alebo -a.
Grafické riešenie
Jedným zo spôsobov riešenia rovníc obsahujúcich modul je grafický spôsob. Podstatou tejto metódy je zostavenie grafov týchto funkcií. V prípade, že sa grafy pretnú, budú priesečníky týchto grafov koreňmi našej rovnice. Ak sa grafy nepretínajú, môžeme dospieť k záveru, že rovnica nemá korene. Táto metóda sa pravdepodobne používa na riešenie rovníc obsahujúcich modul menej často ako iné, pretože za prvé to trvá veľa času a nie je to vždy racionálne, a za druhé, výsledky získané vykresľovaním grafov nie sú vždy presné.
Ďalším spôsobom riešenia rovníc obsahujúcich modul je rozdelenie číselnej rady na intervaly. V takom prípade musíme číselný rad rozdeliť tak, aby podľa definície modulu bolo možné v týchto intervaloch odstrániť znamienko absolútnej hodnoty. Potom pre každý z intervalov budeme musieť túto rovnicu vyriešiť a urobiť záver ohľadom výsledných koreňov (či už vyhovujú nášmu intervalu alebo nie). Korene uspokojujúce medzery dajú konečnú odpoveď.
2. spôsob
Stanovme, pre aké hodnoty x je modul nulový: | X + 2 | \u003d 0, X \u003d 2
Získame dva intervaly, z ktorých každý vyriešime rovnicu:
Získali sme dva zmiešané systémy:
(1) X + 2 0
X-2 \u003d 1 X + 2 \u003d 1
Vyriešime každý systém:
X \u003d -3 X \u003d -1
Odpoveď: -3; -1.
Grafické riešenie
y \u003d | X + 2 |, y \u003d 1.
Grafické riešenie
Aby ste rovnicu graficky vyriešili, musíte zakresliť grafy funkcií a
Na vykreslenie funkčného grafu nakreslíme funkčný graf - to je funkcia, ktorá pretína os OX a os OY v bodoch.
Osciály priesečníkov grafov funkcií poskytnú riešenie rovnice.
Priamy graf funkcie y \u003d 1 sa pretínal s grafom funkcie y \u003d | x + 2 | v bodoch so súradnicami (-3; 1) a (-1; 1) budú teda riešením rovnice úsečky bodov:
x \u003d -3, x \u003d -1
Odpoveď: -3; -1
Príklad 2. Vyriešte analyticky a graficky rovnicu 1 + | x | \u003d 0,5.
Rozhodnutie:
Analytické riešenie
Transformujeme rovnicu: 1 + | x | \u003d 0,5
| x | \u003d 0,5-1
| x | \u003d -0,5
Je zrejmé, že v tomto prípade rovnica nemá riešenie, pretože modul je podľa definície vždy nezáporný.
Odpoveď: Riešenia neexistujú.
Grafické riešenie
Transformujme rovnicu :: 1 + | x | \u003d 0,5
| x | \u003d 0,5-1
| x | \u003d -0,5
Grafom funkcie sú lúče - polnice 1. a 2. súradnicového uhla. Graf funkcie je priamka rovnobežná s osou OX a prechádzajúca bodom -0,5 na osi OY.
Grafy sa nepretínajú, čo znamená, že rovnica nemá riešenie.
Odpoveď: neexistujú žiadne riešenia.
Príklad 3. Vyriešte analyticky a graficky rovnicu | -x + 2 | \u003d 2x + 1.
Rozhodnutie:
Analytické riešenie
1. spôsob
Najprv by ste mali nastaviť rozsah platných hodnôt premennej. Vynára sa prirodzená otázka, prečo v predchádzajúcich príkladoch nebolo potrebné to robiť, teraz však vznikla.
Faktom je, že v tomto príklade nie je na ľavej strane rovnice modul nejakého výrazu a na pravej strane číslo, ale výraz s premennou - práve táto dôležitá okolnosť odlišuje tento príklad od predchádzajúcich.
Pretože na ľavej strane je modul a na pravej strane výraz obsahujúci premennú, je potrebné vyžadovať, aby bol tento výraz nezáporný, t. J. Teda rozsah prípustného
hodnoty modulu
Teraz môžete uvažovať rovnakým spôsobom ako v príklade 1, keď bolo na pravej strane rovnosti kladné číslo. Získali sme dva zmiešané systémy:
(1) -X + 2≥0 a (2) -X + 2
X + 2 \u003d 2X + 1; X-2 \u003d 2X + 1
Vyriešime každý systém:
(1) je zahrnutá v intervale a je koreňom rovnice.
X≤2
X \u003d ⅓
(2) X\u003e 2
X \u003d -3
X \u003d -3 nie je zahrnutý v intervale a nie je koreňom rovnice.
Odpoveď: ⅓.
4.1 Riešenie pomocou závislostí medzi číslami a a b, ich modulmi a štvorcami týchto čísel.
Okrem metód, ktoré som uviedol vyššie, existuje určitá ekvivalencia medzi číslami a jednotkami číselných údajov, ako aj medzi štvorcami a jednotkami číselných údajov:
| a | \u003d | b | a \u003d b alebo a \u003d -b
A2 \u003d b2 a \u003d b alebo a \u003d -b
Preto to teda získame
| a | \u003d | b | a 2 \u003d b 2
Príklad 4. Vyriešime rovnicu | x + 1 | \u003d | 2x - 5 | dvoma rôznymi spôsobmi.
1. Berúc do úvahy vzťah (1), dostaneme:
X + 1 \u003d 2x - 5 alebo x + 1 \u003d -2x + 5
x - 2x \u003d -5 - 1 x + 2x \u003d 5 - 1
X \u003d -6 | (: 1) 3x \u003d 4
X \u003d 6 x \u003d 11/3
Odmocnina prvej rovnice je x \u003d 6, odmocnina druhej rovnice je x \u003d 11/3
Teda korene pôvodnej rovnice x1 \u003d 6, x 2 \u003d 11/3
2. Na základe vzťahu (2) získame
(x + 1) 2 \u003d (2x - 5) 2 alebo x2 + 2x + 1 \u003d 4x2 - 20x + 25
X2 - 4x2 + 2x + 1 + 20x - 25 \u003d 0
3x2 + 22x - 24 \u003d 0 | (: - 1)
3x2 - 22x + 24 \u003d 0
D / 4 \u003d 121 - 3 24 \u003d 121 - 72 \u003d 49\u003e 0 \u003d\u003d\u003e rovnica má 2 rôzne korene.
x 1 \u003d (11 - 7) / 3 \u003d 11/3
x 2 \u003d (11 + 7) / 3 \u003d 6
Ako ukazuje riešenie, koreňmi tejto rovnice sú tiež čísla 11/3 a 6
Odpoveď: x 1 \u003d 6, x 2 \u003d 11/3
Príklad 5. Vyriešme rovnicu (2x + 3)2 \u003d (x - 1) 2.
Ak vezmeme do úvahy vzťah (2), získame to | 2x + 3 | \u003d | x - 1 |, odkiaľ podľa modelu predchádzajúceho príkladu (a podľa vzťahu (1)):
2x + 3 \u003d x - 1 alebo 2x + 3 \u003d -x + 1
2x - x \u003d -1 - 3 2x + x \u003d 1 - 3
X \u003d -4 x \u003d -0, (6)
Takže korene rovnice sú x1 \u003d -4 a x2 \u003d -0, (6)
Odpoveď: x1 \u003d -4, x 2 \u003d 0, (6)
Príklad 6. Vyriešte rovnicu | x - 6 | \u003d | x2 - 5x + 9 |
Pomocou pomeru dostaneme:
x - 6 \u003d x2 - 5x + 9 alebo x - 6 \u003d - (x2 - 5x + 9)
X2 + 5x + x - 6 - 9 \u003d 0 | (-1) x - 6 \u003d -x2 + 5x - 9
x2 - 6x + 15 \u003d 0 x2 - 4x + 3 \u003d 0
D \u003d 36 - 4 15 \u003d 36 - 60 \u003d -24 D \u003d 16 - 4 3 \u003d 4\u003e 0 \u003d\u003d\u003e 2 p.c.
\u003d\u003d\u003e žiadne korene.
X 1 \u003d (4-2) / 2 \u003d 1
X 2 \u003d (4 + 2) / 2 \u003d 3
Kontrola: | 1 - 6 | \u003d | 12 - 5 1 + 9 | | 3 - 6 | \u003d | 32 - 5 3 + 9 |
5 \u003d 5 (I) 3 \u003d | 9 - 15 + 9 |
3 \u003d 3 (AND)
Odpoveď: x 1 \u003d 1; x 2 \u003d 3
4.2 Využitie geometrickej interpretácie modulu na riešenie rovníc.
Geometrickým významom modulu rozdielu v množstvách je vzdialenosť medzi nimi. Napríklad geometrický význam výrazu | x - a | je dĺžka úseku spojovacieho bodu súradnicových osí s úsečkami a a x. Preklad algebraického problému do geometrického jazyka sa často vyhýba ťažkopádnym riešeniam.
Príklad 7. Vyriešme rovnicu | x - 1 | + | x - 2 | \u003d 1 pomocou geometrickej interpretácie modulu.
Budeme argumentovať nasledovne: na základe geometrickej interpretácie modulu je ľavá strana rovnice súčtom vzdialeností od určitého bodu úsečky x do dvoch pevných bodov s úsečkami 1 a 2. Potom je zrejmé, že všetky body s úsečkami zo segmentu majú požadovanú vlastnosť a body, umiestnené mimo tohto segmentu - č. Preto odpoveď: množina riešení rovnice je segment.
Odpoveď:
Príklad 8. Vyriešme rovnicu | x - 1 | - | x - 2 | \u003d 1 1 pomocou geometrickej interpretácie modulu.
Budeme argumentovať podobne ako v predchádzajúcom príklade, pričom získame, že rozdiel medzi vzdialenosťami k bodom s úsečkami 1 a 2 sa rovná jednej iba pre body umiestnené na osi súradníc napravo od čísla 2. Preto riešením tejto rovnice nie je segment uzavretý medzi bodmi 1 a 2, a lúč vychádzajúci z bodu 2 a smerujúci v pozitívnom smere osi OX.
Odpoveď :)
Načítava ...