Rovnobežník je štvorhranný hranol s rovnobežníkom na jeho základni. Existujú hotové vzorce na výpočet bočného a celkového povrchu postavy, pre ktoré sú potrebné iba dĺžky troch rozmerov rovnobežnostena.
Ako nájsť bočnú plochu kvádra
Je potrebné rozlišovať medzi pravouhlým a pravým rovnobežnostenom. Základom priamej postavy môže byť akýkoľvek rovnobežník. Plocha takéhoto čísla sa musí vypočítať pomocou iných vzorcov.
Súčet S bočných plôch kvádra sa vypočíta pomocou jednoduchého vzorca P*h, kde P je obvod a h je výška. Obrázok ukazuje, že protiľahlé strany pravouhlého rovnobežnostena sú rovnaké a výška h sa zhoduje s dĺžkou hrán kolmých na základňu.
Povrchová plocha kvádra
Celková plocha figúrky pozostáva zo strany a plochy 2 podstavcov. Ako nájsť oblasť pravouhlého rovnobežnostena:
Kde a, b a c sú rozmery geometrického telesa.
Popísané vzorce sú ľahko pochopiteľné a užitočné pri riešení mnohých geometrických problémov. Príklad typickej úlohy je znázornený na nasledujúcom obrázku.
Pri riešení problémov tohto druhu treba pamätať na to, že základňa štvoruholníkového hranola sa volí ľubovoľne. Ak vezmeme za základ tvár s rozmermi x a 3, potom hodnoty Sside budú iné a Stot zostane 94 cm2.
Povrch kocky
Kocka je pravouhlý hranol so všetkými 3 rovnakými rozmermi. V tomto ohľade sa vzorce pre celkovú a bočnú plochu kocky líšia od štandardných.
Obvod kocky je 4a, teda Sstrana = 4*a*a = 4*a2. Tieto výrazy nie sú potrebné na zapamätanie, ale výrazne urýchľujú riešenie úloh.
Príklad riešenia problému
Vyššie uvedené vzorce možno použiť pri hľadaní uhlopriečok rovnobežnostena.
Na nájdenie B1D stačí použiť Pytagorovu vetu: súčet druhých mocnín nôh sa rovná druhej mocnine prepony.
Rovnobežník je mnohosten, čo je zvláštny typ pravouhlého šesťhranného hranola. Na základni rovnobežnostena leží obdĺžnik alebo ekvivalentný štvoruholník a rovnobežníky pôsobia ako bočné plochy. Ako každá prizmatická figúrka, aj krabica je v reálnom živote rozšírená, no vo väčšine prípadov má skutočný mnohosten podobu obdĺžnikovej krabice.
Geometria krabice
Obdĺžnikový hranol pozostáva z dvoch rovnakých obdĺžnikov ležiacich v rovnobežných rovinách a štyroch obdĺžnikov, ktoré ich spájajú, ktoré tvoria bočnú plochu postavy. Vo všeobecnosti je rovnobežnosten špeciálnym prípadom pravého štvoruholníkového hranola. Rovnobežník je najbežnejšou postavou v reálnom živote. Práve tvar tohto mnohostenu majú predmety, ako sú domy, izby, tehly, kartónové škatule, počítačové bloky, obaly od mlieka, zápalkové škatuľky a mnohé ďalšie.
Skutočný svet pozostáva z rôznych geometrických tvarov, takže možno budete potrebovať kalkulačku, ktorá okamžite vypočíta povrchovú plochu objektu, ktorý má tvar pravouhlého rovnobežnostena, či už ide o skriňový nábytok, skriňu alebo systémovú jednotku stolného počítača.
Povrchová plocha rovnobežnostena
Celková plocha takého hranola je definovaná ako súčet plôch všetkých plôch. Rovnobežník je šesťuholník, ktorého každý pár plôch je rovnaký. To znamená, že každá plocha kvádra má svoj vlastný zhodný pár. Plocha povrchu daného prizmatického útvaru je teda vyjadrená ako dvojnásobok súčtu plôch každej fazety.
S = 2 (Sa + Sb + Sc)
Pretože každá plocha rovnobežnostena je pravidelný obdĺžnik, plocha jednej plochy je definovaná ako súčin strán mnohouholníka. Ak má prizmatický obrazec strany a, b a c, jeho celková plocha sa bude rovnať:
S = 2 (ab + bc + ac)
Pre jednoduchšie pochopenie môžeme uviesť vzorec z hľadiska dĺžky, šírky a výšky rovnobežnostena. V tomto prípade dôjde len k malej zmene vo vzorci:
S = 2 (ab + bh + ah)
Na určenie celkovej plochy hranolovej figúry teda potrebujete poznať tri z jej parametrov. Zadajte tieto údaje do formulára online kalkulačky a okamžite získate výsledok. Okrem toho vám kalkulačka okamžite vypočíta dĺžku uhlopriečky mnohostenu. V mnohých situáciách možno budete musieť vypočítať povrch prizmatickej postavy.
Príklady zo života
maľovanie steny
Povedzme, že chcete natrieť steny, podlahu a strop kuchyne bielou farbou. Na ošetrenie vybranej miestnosti si musíte kúpiť dostatok farby. S vedomím, že spotreba olejovej farby na 1 štvorcový meter povrchu je približne 200 gramov, môžete určiť, koľko materiálu potrebujete na prácu. Výška kuchynského priestoru nech je 3 m, šírka 2 m, dĺžka 5 m. Tieto údaje zadajte do online kalkulačky a výsledok dostanete vo formulári:
Budete teda musieť natrieť 62 metrov štvorcových plochy. K tomu budete musieť kúpiť 12,4 kg olejovej farby alebo 5 plechoviek farby po 2,8 kg.
Výroba
Povedzme, že pracujete vo výrobnom prostredí a pokrývate štvorcový oceľový profil ochranným náterom ponorením dielov do maltového kúpeľa. Pre správny výpočet parametrov lakovania potrebujete poznať povrch jedného oceľového profilu, ktorý má tvar rovnobežnostena. Štandardný štvorcový profil má rozmery: dĺžka 6 m, strana a = 80 mm, strana b = 80 mm. Pre správny výpočet je potrebné nahradiť všetky rozmery v rovnakých jednotkách merania, napríklad v centimetroch. V tomto prípade zadajte do online kalkulačky tri strany krabice, ktoré sa rovnajú 600, 8 a 8. Výsledok dostanete vo forme:
Celková plocha oceľového profilu je teda 19 328 štvorcových centimetrov alebo 1,9828 štvorcových metrov. Keď poznáte povrch jedného profilu, môžete ľahko určiť parametre pre lakovanie dielov ochranným náterom.
Záver
Veľké množstvo skutočných objektov má tvar rovnobežnostena: sú to tehly, miestnosti, budovy a časti strojov a oveľa viac. Výpočet plochy tohto mnohostenu môže byť potrebný v najneočakávanejších situáciách, ako sú každodenné problémy alebo profesionálne výpočty. Naša online kalkulačka vám pomôže rýchlo určiť objemy a povrchové plochy akýchkoľvek pravidelných geometrických tvarov.
V 5. ročníku sa v rámci matematiky študuje téma pravouhlý rovnobežnosten. Dnes budeme hovoriť o vzorcoch na nájdenie oblasti pravouhlého rovnobežnostenu bočného povrchu a oblasti celého povrchu tohto obrázku, ktoré najčastejšie spôsobujú študentom ťažkosti pri štúdiu tohto tému.
Definície
Rovnobežník je obrazec, ktorý pozostáva zo šiestich štvoruholníkov. Ak je na základni tohto obrázku obdĺžnik, potom sa mnohosten nazýva pravouhlý rovnobežnosten.
Obdĺžnikový hranol má štyri bočné strany. Dve z nich sa nazývajú základňa mnohostenu. Veľké písmená sa používajú na označenie vrcholov obrázku.
Ak dve tváre nemajú spoločnú hranu, potom sa nazývajú opačné. Pretože každá plocha je obdĺžnik, kde sú protiľahlé strany rovnaké, potom sú protiľahlé strany kvádra rovnaké.
Strany tvárí sú hrany, postava má 12 hrán. Dĺžka hrán určuje hlavné charakteristiky pravouhlého rovnobežnostena: plocha, obvod, objem.
Ryža. 1. Obdĺžnikový box
V našich životoch často vidíme príklady takýchto postáv: tehla, krabica, počítačová systémová jednotka.
Matematická postava - obdĺžnikový rovnobežnosten sa aktívne používa v umení, architektúre a iných oblastiach.
Existuje niekoľko typov rovnobežnostenov so základňou v tvare štvorca, rovnobežníka alebo obdĺžnika.
Vzorec na nájdenie oblasti
Aby bolo možné nájsť plochu bočného povrchu pravouhlého rovnobežnostena, je potrebné samostatne vypočítať plochu každej bočnej steny a potom sčítať výsledné hodnoty.
$S = ac, a, b, c$ sú strany obrázku.
Ryža. 2. Obdĺžnikový box
A keďže sú protiľahlé plochy rovnaké, to znamená $AMPD = BNKC$, $AMNB = DPKC$, ich súčet bude plocha bočného povrchu mnohouholníka.
Preto, aby sa vypočítala celková plocha obdĺžnikového rovnobežnostena, je potrebné pridať bočnú plochu a dve základné plochy. Výsledkom je vzorec pre oblasť pravouhlého rovnobežnostena.
$S = 2(ab + ac) + 2 bc = 2(ab + ac + bc)$
Niekedy je na objasnenie napísané krátke označenie v blízkosti znaku oblasti, napríklad S p.p - plocha celého povrchu alebo S b.p - plocha bočného povrchu . To pomáha pri vykonávaní úlohy nezamieňať potrebné údaje.
Príklad úlohy
Nájdite celkovú plochu pravouhlého rovnobežnostena, ak je dĺžka a šírka základne 4 cm a 3 cm a výška je 2 cm.
Jeden z najjednoduchších možno nazvať rovnobežnosten. Má tvar hranola, na ktorého základni je rovnobežník. Nie je ťažké vypočítať plochu rovnobežnostena, pretože vzorec je veľmi jednoduchý.
Hranol pozostáva z plôch, vrcholov a hrán. Rozmiestnenie týchto základných prvkov sa uskutočňuje v minimálnom množstve, ktoré je potrebné na vytvorenie tohto geometrického tvaru. Rovnobežník obsahuje 6 plôch, ktoré sú spojené 8 vrcholmi a 12 hranami. Navyše protiľahlé strany rovnobežnostena budú vždy rovnaké. Preto na zistenie plochy rovnobežnostena stačí určiť rozmery jeho troch plôch.
Rovnobežník (v gréčtine tento výraz znamená "rovnobežné steny") má niektoré vlastnosti, ktoré by sa mali spomenúť. Po prvé, symetria postavy je potvrdená iba v strede každej z jej uhlopriečok. Po druhé, nakreslením diagonály medzi ktorýmkoľvek z protiľahlých vrcholov môžete zistiť, že všetky vrcholy majú jeden priesečník. Za zmienku tiež stojí vlastnosť, že protiľahlé tváre sú vždy rovnaké a budú nevyhnutne navzájom rovnobežné.
V prírode existujú také typy rovnobežnostenov:
obdĺžnikový - pozostáva z obdĺžnikových plôch;
rovný - má iba obdĺžnikové bočné plochy;
šikmý hranol má bočné strany, ktoré nie sú kolmé na základne;
kocka - pozostáva z plôch štvorcového tvaru.
Pokúsme sa nájsť oblasť rovnobežnostena pomocou príkladu obdĺžnikového typu tohto obrázku. Ako už vieme, všetky jeho tváre sú pravouhlé. A keďže počet týchto prvkov je znížený na šesť, potom, čo sme sa naučili oblasť každej tváre, je potrebné zhrnúť získané výsledky do jedného čísla. A nájsť oblasť každého z nich nie je ťažké. Aby ste to dosiahli, musíte vynásobiť dve strany obdĺžnika.
Na určenie plochy kvádra sa používa matematický vzorec. Pozostáva zo symbolických symbolov označujúcich tváre, plochu a vyzerá takto: S=2(ab+bc+ac), kde S je plocha postavy, a, b sú strany základne, c je bočný okraj.
Urobme si príklad výpočtu. Povedzme a \u003d 20 cm, b \u003d 16 cm, c \u003d 10 cm. Teraz musíte vynásobiť čísla v súlade s požiadavkami vzorca: 20 * 16 + 16 * 10 + 20 * 10 a dostaneme číslo 680 cm2. Ale to bude len polovica čísla, keďže sme sa naučili a zhrnuli oblasti troch tvárí. Pretože každá plocha má svoj vlastný „dvojitý“, musíte výslednú hodnotu zdvojnásobiť a získame plochu rovnobežnostena, ktorá sa rovná 1360 cm2.
Na výpočet bočného povrchu použite vzorec S=2c(a+b). Plochu základne rovnobežnostena možno nájsť vynásobením dĺžok strán základne navzájom.
V každodennom živote možno často nájsť rovnobežnosteny. Ich existenciu nám pripomína tvar tehly, drevená škatuľka obyčajnej zápalkovej škatuľky. Príkladov nájdeme okolo nás neúrekom. V školských osnovách o geometrii je niekoľko hodín venovaných štúdiu rovnobežnostenu. Prvý z nich demonštruje modely pravouhlého rovnobežnostena. Potom sa študentom ukáže, ako do nej vpísať guľu alebo pyramídu, ďalšie postavy, nájsť oblasť rovnobežnostena. Jedným slovom je to najjednoduchšia trojrozmerná postava.
Rovnobežník je najbežnejšou postavou, ktorá obklopuje ľudí. Väčšina izieb je presne taká. Počas opravy je obzvlášť dôležité poznať oblasť rovnobežnostenu, aspoň jeho bočné strany. Koniec koncov, musíte presne vedieť, koľko materiálu kúpiť.
Čo predstavuje?
Ide o hranol so štvorcovou základňou. Preto má štyri bočné strany, ktoré sú rovnobežníky. To znamená, že takéto telo má iba 6 tvárí.
Na určenie rovnobežnostenu v priestore sa určuje jeho plocha a objem. Prvý môže byť buď samostatne pre každú tvár alebo pre celý povrch. Okrem toho je pridelená iba plocha bočných plôch.
Aké sú typy rovnobežnostenov?
Naklonený. Taký, v ktorom bočné strany zvierajú so základňou uhol iný ako 90 stupňov. Jeho horný a dolný štvoruholník neležia oproti sebe, ale sú posunuté.
Rovno. Rovnobežník, ktorého bočné strany sú obdĺžniky a ktorého základňou je obrazec s ľubovoľnými uhlami.
Obdĺžnikový. Špeciálny prípad predchádzajúceho pohľadu: na jeho základni je obdĺžnik.
kocka. Špeciálny typ pravého poľa, v ktorom sú všetky tváre znázornené štvorcami.
Niektoré matematické vlastnosti rovnobežnostena
Môže nastať situácia, keď sú užitočné pri hľadaní oblasti rovnobežnostenu.
- Tváre, ktoré ležia oproti sebe, sú nielen rovnobežné, ale aj rovnaké.
- Uhlopriečky rovnobežnostena sú rozdelené priesečníkom na rovnaké časti.
- Všeobecnejší prípad, ak úsečka spája dva body na povrchu telesa a prechádza priesečníkom uhlopriečok, potom je týmto bodom rozdelená na polovicu.
- Pre pravouhlý rovnobežnosten platí rovnosť, v ktorej je v jednej jeho časti štvorec uhlopriečky a v druhej - súčet štvorcov jeho výšky, šírky a dĺžky.
Oblasti pravého rovnobežnostena
Ak označíme výšku tela ako „n“ a obvod základne ako písmeno P os, potom je možné vypočítať celú bočnú plochu podľa vzorca:
Strana S \u003d R os * n
Pomocou tohto vzorca a určením plochy základne môžete vypočítať celkovú plochu:
S = S strana + 2 * S os
V poslednej položke S os., tj plocha základne rovnobežnostena, sa dá vypočítať pomocou vzorca pre rovnobežník. Inými slovami, potrebujete výraz, v ktorom musíte vynásobiť stranu a výšku na nej zníženú.
Plochy pravouhlého rovnobežnostena
Štandardné označenie dĺžky, šírky a výšky takéhoto tela je prijaté písmenami „a“, „b“ a „c“. Bočný povrch bude vyjadrený vzorcom:
Strana S \u003d 2 * s * (a + b)
Na výpočet celkovej plochy kvádra potrebujete nasledujúci výraz:
S = 2 * (av + slnko + ac)
Ak sa ukáže, že je potrebné poznať oblasť jeho základne, stačí si uvedomiť, že ide o obdĺžnik, čo znamená, že stačí vynásobiť „a“ a „b“.
plocha kocky
Jeho bočnú plochu tvoria štyri štvorce. To znamená, že na jeho nájdenie budete musieť použiť vzorec známy pre štvorec a vynásobiť ho štyrmi.
Strana S = 4 * a 2
A vzhľadom na to, že jeho základne sú rovnaké štvorce, celková plocha je určená vzorcom:
S = 6* a 2
Oblasti nakloneného rovnobežnostena
Pretože jeho tváre sú rovnobežníky, musíte zistiť oblasť každej z nich a potom ju spočítať. Našťastie, protiklady sú si rovné. Preto je potrebné vypočítať plochy iba trikrát a potom ich vynásobiť dvoma. Ak to napíšeme ako vzorec, dostaneme nasledovné:
Strana S = (S 1 + S 2) * 2,
S = (Si + S2 + S3) * 2
Tu S1 a S2 sú plochy dvoch bočných plôch a S3 sú základne.
Súvisiace úlohy
Úloha jedna. Podmienka. Je potrebné zistiť dĺžku uhlopriečky kocky, ak je plocha jej celého povrchu 200 mm2.
Riešenie. Musíte začať získaním výrazu pre požadovanú hodnotu. Jeho štvorec sa rovná trom štvorcom strany kocky. To znamená, že uhlopriečka sa rovná „a“ vynásobenému odmocninou z 3.
Strana kocky však nie je známa. Tu musíte využiť skutočnosť, že oblasť celého povrchu je známa. Zo vzorca vyplýva, že „a“ sa rovná druhej odmocnine podielu S a 6.
Odpoveď. Uhlopriečka kocky je 10 mm.
Úloha dva. Podmienka. Je potrebné vypočítať povrch kocky, ak je známe, že jej objem je 343 cm2.
Riešenie. Pre oblasť kocky budete musieť použiť rovnaký vzorec. V ňom je opäť neznámy okraj tela. Ale vzhľadom na objem. Zo vzorca pre kocku sa dá veľmi ľahko zistiť „a“. Bude sa rovnať odmocnine 343. Jednoduchým výpočtom sa získa táto hodnota pre okraj: a \u003d 7 cm.
Odpoveď. S \u003d 294 cm 2.
Úloha tri. Podmienka. Daný pravidelný štvoruholníkový hranol so základnou stranou 20 dm. Je potrebné nájsť jeho bočnú hranu. Je známe, že plocha rovnobežnostena je 1760 dm 2 .
Riešenie. Musíte začať uvažovať so vzorcom pre oblasť celého povrchu tela. Iba v ňom musíte vziať do úvahy, že okraje "a" a "b" sú rovnaké. Vyplýva to z tvrdenia, že hranol je správny. To znamená, že jeho základňou je štvoruholník s rovnakými stranami. Preto a \u003d b \u003d 20 dm.
Vzhľadom na túto okolnosť sa vzorec plochy zjednoduší na:
S = 2* (a2 + 2ac).
Všetko je v ňom známe, okrem požadovanej hodnoty "c", čo je práve bočná hrana rovnobežnostena. Aby ste to našli, musíte vykonať transformácie:
- vydeľte všetku nerovnosť 2;
- potom presuňte výrazy tak, aby bol výraz 2ac naľavo a napravo bola plocha delená 2 a štvorec "a", pričom druhý je so znamienkom "-";
- potom vydeľte rovnicu číslom 2a.
Výsledkom je výraz:
c \u003d (S / 2 - a 2) / (2a)
Po nahradení všetkých známych hodnôt a vykonaní akcií sa ukázalo, že bočná hrana je 12 dm.
Odpoveď. Bočná hrana "c" sa rovná 12 dm.
Úloha štvrtá. Podmienka. Vzhľadom k tomu, obdĺžnikový rovnobežnosten. Jedna z jej plôch má plochu 12 cm 2 . Je potrebné vypočítať dĺžku okraja, ktorý je kolmý na túto tvár. Ďalšia podmienka: objem tela je 60 cm 3.
Riešenie. Nechajte poznať oblasť tváre, ktorá je obrátená k pozorovateľovi. Ak vezmeme ako označenie štandardné písmená pre rozmery rovnobežnostena, potom v spodnej časti rebra bude „a“ a „b“, zvislé bude „c“. Na základe toho je oblasť známej tváre určená ako súčin „a“ a „c“.
Teraz musíme použiť známy objem. Jeho vzorec pre kváder dáva súčin všetkých troch veličín: "a", "b" a "c". To znamená, že známa oblasť, vynásobená "in", dáva objem. Z toho vyplýva, že požadovanú hranu možno vypočítať z rovnice:
Elementárny výpočet dáva výsledok 5.
Odpoveď. Požadovaný okraj je 5 cm.
Úloha piata. Podmienka. Daný pravý rovnobežnosten. Na jeho základni leží rovnobežník so stranami 6 a 8 cm, ostrý uhol medzi nimi je 30°. Bočný okraj má dĺžku 5 cm. Je potrebné vypočítať celkovú plochu rovnobežnostena.
Riešenie. To je prípad, keď potrebujete zistiť oblasti všetkých tvárí oddelene. Alebo presnejšie tri páry: základný a dva bočné.
Keďže na základni je rovnobežník, jeho plocha sa vypočíta ako súčin strany a výšky k nej. Strana je známa, ale výška nie. Treba s tým počítať. To bude vyžadovať hodnotu ostrého uhla. Nadmorská výška tvorí pravouhlý trojuholník v rovnobežníku. V ňom sa noha rovná súčinu sínusu ostrého uhla, ktorý je proti nej, a prepony.
Nech je známa strana rovnobežníka "a". Potom sa výška zapíše ako v * sin 30º. Plocha základne je teda a * b * sin 30º.
S bočnými stenami je všetko jednoduchšie. Sú to obdĺžniky. Preto sú ich plochy produktom jednej strany druhej. Prvý je * s, druhý je v * s.
Zostáva skombinovať všetko do jedného vzorca a počítať:
S = 2 * (a * b * sin 30º + a * c + b * c)
Po dosadení všetkých hodnôt sa ukáže, že požadovaná plocha je 188 cm2.
Odpoveď. S \u003d 188 cm 2.
Načítava...