انتگرال منحنی از نوع 2 به همان روش یکپارچه منحنی از نوع 1 با کاهش به یک مقدار مشخص محاسبه می شود. برای این ، تمام متغیرهای زیر علامت انتگرال با استفاده از معادله خطی که در آن ادغام انجام می شود ، بر اساس یک متغیر بیان می شوند.

الف) اگر خط ABسپس توسط یک سیستم معادلات داده می شود

(10.3)

برای حالت صفحه ، هنگامی که منحنی با معادله داده می شود انتگرال منحنی خطی با فرمول محاسبه می شود: (10.4)

اگر خط ABسپس با معادلات پارامتریک داده می شود

(10.5)

برای مورد هواپیما ، اگر خط باشد AB معادلات پارامتریک داده شده است ، انتگرال منحنی خطی با فرمول محاسبه می شود:

, (10.6)

مقادیر پارامتر کجاست تی ،مربوط به نقاط شروع و پایان مسیر ادغام است.

اگر خط AB به صورت قطعه ای صاف است ، بنابراین باید با شکستن از خاصیت افزودنی انتگرال منحنی خط استفاده کرد ABروی قوسهای صاف.

مثال 10.1انتگرال منحنی خطی را محاسبه می کنیم در امتداد مسیری که از بخشی از منحنی از یک نقطه تشکیل شده است قبل از و کمانهای بیضوی از نقطه قبل از .

از آنجا که کانتور از دو قسمت تشکیل شده است ، از خاصیت افزودنی انتگرال منحنی خطی استفاده می کنیم: ... بگذارید هر دو انتگرال را به انتزاع مشخص تقلیل دهیم. بخشی از کانتور توسط معادله با توجه به متغیر داده می شود ... بیایید از فرمول استفاده کنیم (10.4 ) ، که در آن ما نقش متغیرها را عوض خواهیم کرد. آنهایی که

... پس از محاسبه ، دریافت می کنیم .

برای محاسبه انتگرال کانتور آفتابما به فرم پارامتری نوشتن معادله بیضی می رسیم و از فرمول (10.6) استفاده می کنیم.

به محدودیت های ادغام توجه کنید. نقطه مربوط به مقدار و نقطه است مطابقت دارد پاسخ:
.

مثال 10.2.ما در امتداد یک قطعه خط محاسبه می کنیم ABجایی که A (1،2،3) ، B (2،5،8).

تصمیم گیری... انتگرال منحنی از نوع 2 داده شده است. برای محاسبه ، باید آن را به یک مورد خاص تبدیل کنید. بیایید معادلات خط مستقیم را بسازیم. بردار جهت آن مختصات دارد .

معادلات متعارف خط مستقیم AB: .

معادلات پارامتری این خط مستقیم: ,

چه زمانی
.

بیایید از فرمول استفاده کنیم (10.5) :

با محاسبه انتگرال ، به جواب می رسیم: .

5- کار نیرو هنگام حرکت یک نقطه ماده از جرم واحد از یک نقطه به نقطه دیگر در امتداد منحنی .

اجازه دهید در هر نقطه از یک منحنی قطعه ای صاف یک بردار با توابع مختصات مداوم داده می شود:. بیایید این نقطه را با نقاط به قطعات کوچک تبدیل کنیم به طوری که در نقاط هر قسمت مقدار تابع
می تواند ثابت تلقی شود ، و خود قسمت را می توان برای یک بخش خط مستقیم در نظر گرفت (شکل 10.1 را ببینید). سپس ... محصول اسکالر یک نیروی ثابت ، که نقش آن را بردار بازی می کند ، توسط یک بردار جابجایی خطی از نظر عددی برابر با کار انجام شده توسط نیرو هنگام حرکت یک نقطه ماده است ... بیایید مجموع انتگرال را بسازیم ... در محدوده ، با افزایش نامحدود تعداد پارتیشن ها ، یک انتگرال منحنی از نوع دوم بدست می آوریم

. (10.7) بنابراین ، معنای فیزیکی انتگرال منحنی از نوع دوم است - این کاری است که با زور انجام می شود هنگام انتقال یک نقطه مادی از و به که در در امتداد کانتور ل.

مثال 10.3.اجازه دهید کار انجام شده توسط بردار را محاسبه کنیم هنگام حرکت یک نقطه در امتداد بخشی از منحنی ویویانی ، مشخص شده به عنوان تقاطع نیمکره و استوانه ، وقتی از قسمت مثبت محور مشاهده می شود ، در خلاف جهت حرکت ساعت حرکت کنید OX

تصمیم گیری... بیایید منحنی داده شده را به عنوان یک خط تقاطع از دو سطح بسازیم (شکل 10.3 را ببینید).

.

برای تقلیل یکپارچه به یک متغیر واحد ، به یک سیستم مختصات استوانه ای تغییر می کنیم: .

زیرا نقطه در امتداد یک منحنی حرکت می کند ، بنابراین راحت است که به عنوان یک پارامتر متغیری را انتخاب کنید که در طول کانتور تغییر کند به طوری که ... سپس معادلات پارامتری زیر را برای این منحنی بدست می آوریم:

.که در آن
.

عبارات بدست آمده را در فرمول محاسبه گردش خون جایگزین کنید:

(- علامت + نشان می دهد که حرکت نقطه در امتداد کانتور خلاف جهت عقربه های ساعت است)

بیایید انتگرال را محاسبه کرده و پاسخ را دریافت کنیم: .

جلسه 11.

فرمول گرین برای یک منطقه متصل به سادگی. استقلال انتگرال منحنی از مسیر یکپارچه سازی. فرمول نیوتن-لایب نیتس. پیدا کردن یک تابع با دیفرانسیل کل آن با استفاده از انتگرال منحنی (موارد مسطح و فضایی).

OL-1 ch.5 ، OL-2 ch.3 ، OL-4 ch.3 § 10 ، ص 10.3 ، 10.4.

تمرین : OL-6 No. 2318 (a، b، e)، 2319 (a، c)، 2322 (a، d)، 2327.2329 or OL-5 No. 10.79، 82، 133، 135، 139.

ساختمان خانه برای درس 11: OL-6 No. 2318 (c، d)، 2319 (c، d)، 2322 (b، c)، 2328، 2330 or OL-5 No. No. 10.80، 134، 136، 140

فرمول گرین.

اجازه دهید سوار هواپیما شوید دامنه ای که به سادگی متصل شده باشد و به طور جداگانه با یک کانتور بسته صاف محدود شده باشد. (اگر ناحیه بسته ای در آن بتواند به نقطه ای از این منطقه کشیده شود ، به منطقه ای متصل می شود).

قضیه... اگر توابع باشد و مشتقات جزئی آنها دسپس

شکل 11.1

- فرمول گرین . (11.1)

جهت بای پس مثبت (خلاف جهت عقربه های ساعت) را نشان می دهد.

مثال 11.1.با استفاده از فرمول Green ، انتگرال را محاسبه می کنیم در امتداد کانتور متشکل از بخشها OA ، OB و یک قوس بزرگتر از یک دایره نقاط اتصال آ و ب ،اگر یک , , .

تصمیم گیری... بیایید یک کانتور بسازیم (شکل 11.2 را ببینید). اجازه دهید مشتقات لازم را محاسبه کنیم.

شکل 11.2

, ; , ... توابع و مشتقات آنها در یک منطقه بسته محدود شده توسط یک خط مشخص داده شده مداوم هستند. این انتگرال طبق فرمول گرین است.

پس از جایگزینی مشتقات محاسبه شده ، بدست می آوریم

... ما انتگرال دو را محاسبه می کنیم ، و به مختصات قطبی می رسیم:
.

بگذارید با محاسبه انتگرال مستقیماً در امتداد کانتور به عنوان یک انتگرال منحنی از نوع دوم ، جواب را بررسی کنیم.
.

پاسخ:
.

2. استقلال انتگرال منحنی از مسیر یکپارچه سازی.

بگذار و - نقاط دلخواه یک منطقه کاملاً متصل pl. ... انتگرال های منحنی خطی محاسبه شده روی منحنی های مختلف متصل کننده این نقاط به طور کلی معانی مختلفی دارند. اما در شرایط خاص ممکن است همه این مقادیر یکسان باشد. سپس انتگرال به شکل مسیر بستگی ندارد ، بلکه فقط به نقاط شروع و پایان بستگی دارد.

قضیه های زیر صدق می کند.

قضیه 1... به منظور انتگرال
به شکل مسیر اتصال نقاط بستگی ندارد و لازم و کافی است که این انتگرال در امتداد هر کانتور بسته برابر با صفر باشد.

قضیه 2 ... به منظور انتگرال
در طول هر حلقه بسته برابر با صفر است ، لازم و کافی است که توابع و مشتقات جزئی آنها در یک منطقه بسته مداوم بودند دو بنابراین شرایط ( 11.2)

بنابراین ، اگر شرایط استقلال انتگرال از شکل مسیر فراهم شود (11.2) ، فقط کافی است فقط نقاط شروع و پایان را مشخص کنید: (11.3)

قضیه 3.اگر شرط در یک دامنه متصل به سادگی برقرار باشد ، یک عملکرد وجود دارد به طوری که. (11.4)

به این فرمول فرمول گفته می شود نیوتن - لایب نیتس برای انتگرال منحنی.

اظهار نظر.یادآوری کنید که برابری شرط لازم و کافی برای بیان است
.

سپس از قضایای فرمول شده در بالا نتیجه می گیرد که اگر توابع باشد و مشتقات جزئی آنها مداوم در یک منطقه بسته دجایی که امتیاز داده می شود و ، و سپس

الف) یک عملکرد وجود دارد ، به طوری که،

به شکل مسیر بستگی ندارد ،

ج) فرمول برقرار است نیوتن - لایب نیتس .

مثال 11.2... بیایید مطمئن شویم که انتگرال
به شکل مسیر بستگی ندارد و آن را محاسبه کنید.

تصمیم گیری .

شکل 11.3

اجازه دهید تحقق شرط را بررسی کنیم (11.2).
... همانطور که می بینید ، شرط برآورده شده است. مقدار انتگرال به مسیر ادغام بستگی ندارد. راه ادغام را انتخاب کنیم. اکثر

ساده ترین راه برای محاسبه خط شکسته است ASVاتصال نقاط شروع و پایان مسیر. (شکل 11.3 را ببینید)

سپس .

3. پیدا کردن یک تابع با دیفرانسیل کل آن.

با استفاده از یک انتگرال منحنی که به شکل مسیر بستگی ندارد ، می توان عملکرد را پیدا کرد با دانستن دیفرانسیل کامل آن این کار به شرح زیر حل شده است.

اگر توابع باشد و مشتقات جزئی آنها مداوم در یک منطقه بسته دو ، سپس این عبارت دیفرانسیل کل برخی از عملکردها است ... علاوه بر این ، انتگرال
، اولاً ، به شکل مسیر بستگی ندارد و ثانیا ، می توان آن را با استفاده از فرمول نیوتن - لایب نیتس محاسبه کرد.

بیایید محاسبه کنیم
دو راه.

شکل 11.4

الف) یک نقطه را در منطقه انتخاب کنید با مختصات خاص و یک نقطه با مختصات دلخواه. اجازه دهید انتگرال منحنی را در امتداد یک خط شکسته متشکل از دو بخش خطی که این نقاط را به هم متصل می کند ، با یکی از بخشهای موازی با محور و دیگری با محور محاسبه کنیم. سپس. (شکل 11.4 را ببینید)

معادله .

معادله .

دریافت می کنیم: با محاسبه هر دو انتگرال ، یک تابع خاص در جواب بدست می آوریم.

ب) اکنون همان انتگرال را با فرمول نیوتن - لایب نیتس محاسبه می کنیم.

حال بیایید دو نتیجه محاسبه یکپارچه را با هم مقایسه کنیم. قسمت عملکردی پاسخ در نقطه a) تابع مورد نیاز است ، و قسمت عددی مقدار آن در نقطه است .

مثال 11.3.اطمینان حاصل کنید که عبارت
دیفرانسیل کل برخی از عملکردها است و او را پیدا کنید اجازه دهید نتایج محاسبه مثال 11.2 را با استفاده از فرمول نیوتن-لایب نیتس بررسی کنیم.

تصمیم گیری شرط وجود عملکرد (11.2) در مثال قبلی تأیید شد. ما این عملکرد را پیدا خواهیم کرد ، که برای آن از شکل 11.4 استفاده خواهیم کرد و برای آن استفاده خواهیم کرد نقطه ... اجازه دهید انتگرال را در امتداد خط شکسته ترکیب و محاسبه کنیم ASV ،جایی که :

همانطور که در بالا ذکر شد ، قسمت عملکردی عبارت بدست آمده تابع مورد نظر است
.

بیایید نتیجه محاسبات مثال 11.2 را با استفاده از فرمول نیوتن - لایب نیتس بررسی کنیم:

نتایج مطابقت داشت.

اظهار نظر.تمام عبارات در نظر گرفته شده برای مورد فضایی نیز صادق است ، اما با تعداد زیادی شرط.

اجازه دهید یک منحنی صاف و جزئی به یک منطقه در فضا تعلق داشته باشد ... سپس ، اگر توابع و مشتقات جزئی آنها در دامنه بسته ای که در آن نقاط وجود دارد ، مداوم باشند و و
(11.5 )، سپس

الف) عبارت کل دیفرانسیل برخی از عملکردها است ,

ب) انتگرال منحنی خطی دیفرانسیل کل برخی از عملکردها به شکل مسیر بستگی ندارد و ،

ج) فرمول برقرار است نیوتن - لایب نیتس .(11.6 )

مثال 11.4... بیایید اطمینان حاصل کنیم که عبارت کل دیفرانسیل برخی از عملکردها است و او را پیدا کنید

تصمیم گیری برای پاسخ به این س ofال که آیا یک عبارت معین دیفرانسیل کل برخی از عملکردها است؟ ، مشتقات جزئی توابع را محاسبه می کنیم ، ، (سانتی متر. (11.5) ) ; ; ; ; ; .

این توابع به همراه مشتقات جزئی آنها در هر نقطه از فضا مداوم هستند.

می بینیم که شرایط لازم و کافی برای وجود : , , ، و غیره.

برای محاسبه تابع ما از این واقعیت استفاده خواهیم کرد که انتگرال خطی به مسیر ادغام بستگی ندارد و می تواند با استفاده از فرمول نیوتن-لایب نیتس محاسبه شود. اجازه دهید نکته - آغاز مسیر ، و برخی از نقاط - پایان مسیر . انتگرال را محاسبه می کنیم

در امتداد کانتور متشکل از بخشهای خط موازی با محورهای مختصات. (شکل 11.5 را ببینید).

.

شکل 11.5

معادلات قطعات کانتور: ، ,
.

سپس

, ایکسدر اینجا ثابت شده ، بنابراین ,

در اینجا ثابت شده است y، بنابراین .

در نتیجه ، ما بدست می آوریم:.

اکنون همان انتگرال را با فرمول نیوتن-لایب نیتس محاسبه می کنیم.

بیایید نتایج را برابر کنیم:.

از برابری به دست آمده نتیجه می شود که ، و

درس 12

انتگرال سطح از نوع اول: تعریف ، خصوصیات اساسی. قوانینی برای محاسبه انتگرال سطح از نوع اول با استفاده از انتگرال دوتایی. کاربردهای انتگرال سطح از نوع اول: سطح ، جرم سطح ماده ، لحظه های ساکن نسبت به صفحات مختصات ، لحظه های اینرسی و مختصات مرکز ثقل. OL-1 Ch. 6 ، OL-2 Ch. 3 ، OL-4 § 11.

تمرین: OL-6 شماره 2347 ، 2352 ، 2353 یا OL-5 شماره 10.62 ، 65 ، 67.

تکالیف درس 12:

OL-6 شماره 2348 ، 2354 یا OL-5 شماره 10.63 ، 64 ، 68.

16.3.2.1. تعریف انتگرال منحنی خطی از نوع اول.فضای متغیرها را وارد کنید x ، y ، z یک منحنی قطعه ای صاف داده می شود که عملکرد آن بر اساس آن است f (ایکس ,y ,z منحنی را به قسمت های مختلف تقسیم کنید ، روی هر یک از قوس ها یک نقطه دلخواه انتخاب کنید ، طول قوس را پیدا کنید و جمع انتگرال را بنویسید. اگر محدوده ای از توالی مبالغ انتگرال در وجود داشته باشد ، که به روش تقسیم منحنی به کمان ها یا به انتخاب نقاط بستگی ندارد ، تابع f (ایکس ,y ,z ) منحنی قابل ادغام نامیده می شود و مقدار این حد انتگرال منحنی نوع اول یا انتگرال منحنی در امتداد طول قوس تابع نامیده می شود f (ایکس ,y ,z ) در امتداد یک منحنی ، و مشخص می شود (یا).

قضیه وجود. اگر تابع f (ایکس ,y ,z ) بر روی یک منحنی صاف به صورت قطعه ای مداوم است ، سپس در امتداد این منحنی قابل تلفیق است.

حالت منحنی بسته در این حالت می توان یک نقطه دلخواه از منحنی را به عنوان نقطه شروع و پایان در نظر گرفت. در ادامه یک منحنی بسته فراخوانی می شود طرح کلی و با یک حرف مشخص کنید از جانب ... این واقعیت که منحنی که انتگرال از طریق آن محاسبه می شود ، معمولاً با دایره ای بر روی علامت انتگرال نشان داده می شود:.

16.3.2.2. خصوصیات انتگرال منحنی شکل از نوع اول.برای این انتگرال ، هر شش ویژگی برای یک انتگرال مشخص ، دوتایی ، سه گانه صادق است خطی بودن قبل از قضیه مقدار متوسط... آنها را فرموله و اثبات کنید توسط خود شما... با این حال ، برای این انتگرال ، مالکیت شخصی هفتم نیز صادق است:

استقلال انتگرال منحنی نوع اول از جهت منحنی:.

شواهد و مدارک. مبالغ انتگرال برای انتگرال در سمت راست و چپ این برابری برای هر تقسیم منحنی و انتخاب نقاط با هم منطبق هستند (همیشه طول قوس) ، بنابراین ، حدود آنها برابر است.

16.3.2.3. محاسبه انتگرال منحنی شکل از نوع اول. مثال ها.اجازه دهید منحنی توسط معادلات پارامتری ، جایی که به طور مداوم توابع قابل تفکیک هستند ، داده شود و اجازه دهید مقادیر پارامتر با نقاطی که پارتیشن منحنی را تعریف می کنند ، مطابقت داشته باشند ... سپس (به بخش 13.3 مراجعه کنید. محاسبه طول منحنی). با قضیه مقدار میانگین ، نکته ای وجود دارد که اجازه دهید نقاط بدست آمده با این مقدار پارامتر را انتخاب کنیم:. سپس مجموع انتگرال برای انتگرال منحنی خطی برابر خواهد بود با مجموع انتگرال برای انتگرال معین. از آنجا که ، با عبور از حد برابر در برابری ، به دست می آوریم

بنابراین ، محاسبه یک انتگرال منحنی از نوع اول به محاسبه یک انتگرال مشخص بر روی یک پارامتر کاهش می یابد. اگر منحنی به صورت پارامتری تنظیم شده باشد ، این انتقال دشوار نیست. اگر یک توصیف کلامی کیفی از منحنی داده شود ، مشکل اصلی ممکن است معرفی پارامتر روی منحنی باشد. ما بار دیگر تأکید می کنیم که ادغام همیشه در راستای افزایش پارامتر انجام می شود.

مثال ها. 1. محاسبه کنید ، یک چرخش مارپیچ کجاست

در اینجا ، انتقال به یک انتگرال مشخص مشکلی ایجاد نمی کند: ما پیدا می کنیم ، و.

2. یکپارچه را در امتداد قطعه خط اتصال نقاط و. محاسبه کنید.

در اینجا مشخصات پارامتری مستقیم منحنی وجود ندارد ، و غیره AB شما باید یک پارامتر وارد کنید معادلات پارامتری خط مستقیم شکلی را دارند که بردار جهت است ، نقطه خط مستقیم است. ما یک نقطه را به عنوان یک نقطه ، یک بردار را به عنوان بردار جهت می گیریم:. به راحتی می توان فهمید که نقطه با مقدار مطابقت دارد ، بنابراین نقطه با مقدار مطابقت دارد.

3. پیدا کنید ، قسمت قسمت استوانه با هواپیما کجاست z =ایکس در اوکتان اول 1+.

تصمیم: معادلات پارامتری دایره - راهنمای استوانه از فرم هستند ایکس \u003d 2cosj ، y \u003d 2sinj ، و از آن زمان z \u003d x 1+ پس z \u003d 2cosj + 1. بنابراین،

بنابراین

16.3.2.3.1. محاسبه انتگرال منحنی شکل از نوع اول. مورد مسطحاگر منحنی روی بعضی از صفحات مختصات قرار دارد ، به عنوان مثال ، صفحه اوه ، و با توجه به یک تابع داده می شود ایکس به عنوان یک پارامتر ، فرمول زیر را برای محاسبه انتگرال بدست می آوریم: به طور مشابه ، اگر منحنی با یک معادله داده شود ، پس

مثال. محاسبه کنید ، یک چهارم دایره در ربع چهارم کجاست؟

تصمیم گیری1. در نظر گرفتن ایکس بنابراین ، به عنوان یک پارامتر ، ما بدست می آوریم

2. اگر متغیر را به عنوان یک پارامتر در نظر بگیریم در ، سپس و.

3. به طور طبیعی ، می توانید معادلات پارامتری معمول دایره را انتخاب کنید:.

اگر منحنی در مختصات قطبی مشخص شده باشد ، و.

تعریف: اجازه دهید در هر نقطه از منحنی صاف L \u003d AB داخل هواپیما اکسی یک تابع مداوم از دو متغیر داده شده است f (x ، y)... خودسر منحنی را تقسیم کنید ل بر n قطعات توسط نقاط A \u003d M 0 ، M 1 ، M 2 ، ... M n \u003d B. سپس در هر یک از قسمتهای حاصل \\ (\\ bar ((M) _ (i-1) (M) _ (i)) \\) هر نقطه را انتخاب کنید \\ (\\ bar ((M) _ (i)) \\ سمت چپ (\\ ) f \\ left (\\ bar ((x) _ (i)) ، \\ bar ((y) _ (i)) \\ right) \\ Delta (l) _ (i) $ $ where \\ (\\ Delta (l) _ (i) \u003d (M) _ (i-1) (M) _ (i) \\) - قوس یک قوس \\ (\\ bar ((M) _ (i-1) (M) _ (i)) \\) ... مبلغ دریافتی فراخوانی می شود مجموع انتگرال از نوع اول برای تابع f (x ، y) روی منحنی L تعریف شده است.

بگذارید با مشخص کنیم د بزرگترین طول قوسها \\ (\\ bar ((M) _ (i-1) (M) _ (i)) \\) (بنابراین d \u003d \\ (max_ (i) \\ Delta (l) _ (i) \\) اگر در د؟ 0 محدودیت مبالغ انتگرال S n وجود دارد (مستقل از روش تقسیم منحنی L به قطعات و انتخاب نقاط \\ (\\ bar ((M) _ (i)) \\)) ، سپس این حد نامیده می شود انتگرال منحنی خطی مرتبه اول از عملکرد f (x ، y) در امتداد منحنی L و با $ $ \\ int_ (L) f (x، y) dl $ $ نشان داده می شود

می توان ثابت کرد که اگر عملکرد f (x ، y)مداوم است ، سپس انتگرال منحنی خط \\ (\\ int_ (L) f (x ، y) dl \\) وجود دارد.

خصوصیات انتگرال منحنی شکل از نوع اول

انتگرال منحنی از نوع اول دارای خصوصیاتی شبیه به خصوصیات مربوط به انتگرال مشخص است:

• افزودنی ،
• خطی بودن ،
• ارزیابی ماژول ،
• قضیه مقدار متوسط.

با این حال ، یک تفاوت وجود دارد: $ $ \\ int_ (AB) f (x، y) dl \u003d \\ int_ (BA) f (x، y) dl $ $ یعنی انتگرال منحنی از نوع اول به جهت ادغام بستگی ندارد.

محاسبه انتگرال منحنی خطی از نوع اول

محاسبه انتگرال منحنی از نوع اول به محاسبه یک انتگرال مشخص کاهش می یابد. برای مثال:

1. اگر منحنی L توسط یک تابع متغیر پیوسته y \u003d y (x) ، x \\ (\\ در \\) داده شود ، $ $ (\\ int \\ limit_L (f \\ چپ ((x ، y) \\ راست) dl)) \u003d (\\ int \\ limit_a ^ b (f \\ چپ ((x ، y \\ چپ (x \\ راست)) \\ راست) \\ sqrt (1 + ((\\ چپ ((y "\\ چپ (x \\ راست)) \\ راست)) ^ 2)) dx)؛) $ $ در حالیکه عبارت \\ (dl \u003d \\ sqrt ((1 + ((\\ چپ ((y "\\ چپ (x \\ راست)) \\ راست)) ^ 2))) dx \\) دیفرانسیل طول قوس نامیده می شود.
2. اگر منحنی L به صورت پارامتری تعریف شود ، به شکل x \u003d x (t) ، y \u003d y (t) ، جایی که x (t) ، y (t) به طور مداوم توابع قابل تفکیک در برخی از بخش ها هستند ((\\ چپ [\\ آلفا ، بتا \\ راست] \\) ، سپس $ $ (\\ int \\ limit_L (f \\ چپ ((x ، y) \\ راست) dl)) \u003d (\\ int \\ limit_ \\ alpha ^ \\ beta (f \\ چپ ((x \\ چپ (t \\ راست) ، y \\ چپ (t \\ راست)) \\ راست) \\ sqrt (((\\ چپ ((x "\\ چپ (t \\ راست)) \\ راست)) ^ 2) + ((\\ چپ ((y" \\ چپ (t \\ right)) \\ right)) ^ 2)) dt)) $ $ این برابری در مورد منحنی فضایی گسترش می یابد L تعریف شده به صورت پارامتر: x \u003d x (t) ، y \u003d y (t) ، z \u003d z (t) ، \\ (t \\ in \\ left [\\ alpha، \\ beta \\ right] \\). در این حالت ، اگر f (x، y، z) یک تابع مداوم در امتداد منحنی L باشد ، $ $ (\\ int \\ limit_L (f \\ چپ ((x ، y ، z) \\ راست) dl)) \u003d (\\ int \\ محدودیت \\ \\ آلفا ^ \\ بتا (f \\ چپ [(x \\ چپ (t \\ راست) ، y \\ چپ (t \\ راست) ، z \\ چپ (t \\ راست)) \\ راست] \\ sqrt (((\\ چپ) ((x "\\ چپ (t \\ راست)) \\ راست)) ^ 2) + ((\\ چپ ((y" \\ چپ (t \\ راست)) \\ راست)) ^ 2) + ((\\ چپ (( z "\\ چپ (t \\ راست)) \\ راست)) ^ 2)) dt)) $ $
3. اگر یک منحنی مسطح L با معادله قطبی r \u003d r (\\ (\\ varphi \\)) داده شود ، \\ (\\ varphi \\ در \\ چپ [\\ آلفا ، \\ بتا \\ راست] \\) ، $ $ (\\ int \\ limit_L (f \\) ^ 2) + (((r) ") \u200b\u200b^ 2)) d \\ varphi)) $ $

انتگرال منحنی از نوع 1 - نمونه ها

مثال 1

انتگرال منحنی نوع اول را محاسبه کنید

$ $ \\ int_ (L) \\ frac (x) (y) dl $ $ که L قوس سهمی است y 2 \u003d 2x ، محصور در بین نقاط (2،2) و (8،4).

راه حل: دیفرانسیل arc dl را برای منحنی \\ (y \u003d \\ sqrt (2x) \\) پیدا کنید. ما داریم:

\\ ((y) "\u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (2x)) \\) $$ dl \u003d \\ sqrt (1+ \\ چپ ((y)" \\ right) ^ (2)) dx \u003d \\ sqrt ( 1+ \\ چپ (\\ frac (1) (\\ sqrt (2x)) \\ right) ^ (2)) dx \u003d \\ sqrt (1+ \\ frac (1) (2x)) dx $ $ بنابراین ، این انتگرال: $ $ \\ int_ (L) \\ frac (x) (y) dl \u003d \\ int_ (2) ^ (8) \\ frac (x) (\\ sqrt (2x)) \\ sqrt (1+ \\ frac (1) (2x) ) dx \u003d \\ int_ (2) ^ (8) \\ frac (x \\ sqrt (1 + 2x)) (2x) dx \u003d $ $ $ $ \\ frac (1) (2) \\ int_ (2) ^ (8) \\ sqrt (1 + 2x) dx \u003d \\ frac (1) (2). \\ frac (1) (3) \\ چپ (1 + 2x \\ راست) ^ (\\ frac (3) (2)) | _ (2 ) ^ (8) \u003d \\ frac (1) (6) (17 \\ sqrt (17) -5 \\ sqrt (5)) $ $

مثال 2

انتگرال منحنی خطی نوع اول \\ (\\ int_ (L) \\ sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) dl \\) را محاسبه کنید ، جایی که L دایره x 2 + y 2 \u003d ax (a\u003e 0) است.

راه حل: مختصات قطبی را وارد کنید: \\ (x \u003d r \\ cos \\ varphi \\) ، \\ (y \u003d r \\ sin \\ varphi \\). پس از x 2 + y 2 \u003d r 2 ، معادله دایره به صورت زیر است: \\ (r ^ (2) \u003d arcos \\ varphi \\) ، یعنی \\ (r \u003d acos \\ varphi \\) و دیفرانسیل قوس $ $ dl \u003d \\ ...

علاوه بر این ، \\ (\\ varphi \\ in \\ left [- \\ frac (\\ pi) (2) ، \\ frac (\\ pi) (2) \\ right] \\). بنابراین ، $ $ \\ int_ (L) \\ sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) dl \u003d a \\ int _ (- \\ frac (\\ pi) (2)) ^ (\\ frac (\\ pi) (2)) acos \\ varphi d \\ varphi \u003d 2a ^ 2 $ $

محاسبه حجم در مختصات استوانه راحت تر است. معادله یک دایره محدوده منطقه D ، یک مخروط و یک سهموی

به ترتیب شکل ρ \u003d 2 ، z \u003d ρ ، z \u003d 6 - ρ 2 را می گیرد. با توجه به اینکه این بدنه در مورد صفحات xOz و yOz متقارن است. ما داریم

	6− ρ 2
V \u003d 4 ∫ 2 dϕ ∫ ρ dρ ∫ dz \u003d 4 ∫ 2 dϕ ∫ ρ z				6 ρ - ρ 2 d ρ \u003d

4 ∫ d ϕ∫ (6 ρ - ρ3 - ρ2) d ρ \u003d

2 d ϕ \u003d

4 ∫ 2 (3 ρ 2 -

∫ 2 روز ϕ \u003d

32π

اگر تقارن در نظر گرفته نشود ، پس

6− ρ 2

32π

V \u003d

dϕ ∫ ρ dρ ∫ dz \u003d

3. انتگرال های منحنی

بگذارید مفهوم انتگرال مشخص را در موردی که منطقه ادغام منحنی خاصی است تعمیم دهیم. به انتگرال های این نوع منحنی خطی گفته می شود. انتگرال منحنی دو نوع وجود دارد: انتگرال منحنی خطی بیش از طول قوس و انتگرال منحنی خطی بیش از مختصات.

3.1 تعیین انتگرال منحنی شکل نوع اول (در امتداد طول قوس). اجازه دهید تابع f (x ، y) در امتداد یک قطعه هواپیما تعریف شده است

یک منحنی صاف L که انتهای آن نقاط A و B است. منحنی L را به صورت دلخواه به n قسمت در نقاط M 0 \u003d A ، M 1 ، ... M n \u003d B تقسیم می کنیم. بر

برای هر کمان جزئی M i M i + 1 یک نقطه دلخواه (x i ، y i) انتخاب می کنیم و مقادیر تابع f (x، y) را در هر یک از این نقاط محاسبه می کنیم. میزان

1 منحنی صاف خوانده می شود اگر در هر نقطه از آن مماسی وجود داشته باشد که به طور مداوم در امتداد منحنی تغییر کند. منحنی قطعه قطعه صاف منحنی متشکل از تعداد محدودی از قطعات صاف است.

n− 1
σ n \u003d ∑ f (x i ، y i) ∆ l i ،

من \u003d 0

جایی که Δ l i طول قوس جزئی M i M i + 1 است ، فراخوانی می شود جمع انتگرال

برای تابع f (x ، y) در امتداد منحنی L بگذارید بزرگترین طولها را مشخص کنیم
قوسهای جزئی M i M i + 1، i \u003d
	0 ، n - 1 تا λ ، یعنی λ \u003d حداکثر ∆ l i.
		0 در −1
اگر یک حد محدود از جمع انتگرال وجود داشته باشد (3.1)
تمایل به صفر از بزرگترین طول قوسهای جزئی M i M i + 1 ،
نه به روش تقسیم منحنی L به قوسهای جزئی و نه بستگی دارد

انتخاب نقاط (x i ، y i) ، سپس این حد نامیده می شود انتگرال منحنی از نوع اول (انتگرال منحنی در طول قوس)از تابع f (x، y) در امتداد منحنی L و با علامت ∫ f (x، y) dl نشان داده می شود.

بنابراین ، با تعریف
n− 1
I \u003d lim ∑ f (xi، yi) ∆ li \u003d ∫ f (x، y) dl.
λ → 0 i \u003d 0

در این حالت تابع f (x، y) فراخوانی می شود قابل انعطاف در امتداد منحنیL ،

منحنی L \u003d AB - توسط کانتور ادغام ، A - با مقدار اولیه و B - با نقاط انتهایی یکپارچه سازی ، dl - با عنصر طول قوس.

نکته 3.1 اگر در (3.2) f (x، y) ≡ 1 را برای (x، y) L قرار دهیم ، پس

ما یک عبارت برای طول قوس L به صورت یک انتگرال منحنی خطی از نوع اول بدست می آوریم

l \u003d ∫ دسی لیتر

در واقع ، از تعریف یک انتگرال منحنی خطی به دست می آید که
	dl \u003d lim n - 1
		l	Lim l \u003d l
	λ → 0 ∑		λ→ 0
	من \u003d 0
3.2 خصوصیات اساسی انتگرال منحنی نوع اول
شبیه خصوصیات یک انتگرال مشخص هستند:
1 ص ∫ [f1 (x، y) ± f2 (x، y)] dl \u003d ∫ f1 (x، y) dl ± ∫ f2 (x، y) dl.
2 ساعت ∫ cf (x، y) dl \u003d c ∫ f (x، y) dl ، که c یک ثابت است.
				و L ، نه
3 ساعت اگر کانتور ادغام L به دو قسمت تقسیم شود L

پس با داشتن نقاط مشترک داخلی

∫ f (x، y) dl \u003d ∫ f (x، y) dl + ∫ f (x، y) dl.

4 o. ما به ویژه توجه داریم که مقدار انتگرال منحنی نوع اول به جهت ادغام بستگی ندارد ، زیرا مقادیر تابع f (x ، y) در تشکیل مجموع انتگرال نقش دارند (3.1)

نقاط دلخواه و طول قوسهای جزئی ∆ l i ، که مثبت هستند ،

بدون در نظر گرفتن اینکه کدام نقطه از منحنی AB اولیه و کدام یک نهایی است ، یعنی

	f (x، y) dl \u003d ∫ f (x، y) dl.
3.3 محاسبه انتگرال منحنی شکل نوع اول
به محاسبه انتگرال های مشخص کاهش می یابد.
	x \u003d x (t)
اجازه بدهید منحنی L معادلات پارامتریک داده شده است		y \u003d y (t)

α و β مقادیر پارامتر t مربوط به مبدا (نقطه A) و

پایان (نقطه B)

[α , β ]

x (t) ، y (t) و

مشتقات

x (t) ، y (t)

مداوم

f (x ، y) -

در امتداد منحنی L پیوسته است. از دوره حساب دیفرانسیل

توابع یک متغیر ، شناخته شده است که

dl \u003d (x (t))

+ (y (t))

∫ f (x ، y) dl \u003d ∫ f (x (t) ، y (t))

(x (t)

+ (y (t))

∫ x2 dl ،

مثال 3.1

محاسبه

محافل

x \u003d a cos t

0 ≤ t

y \u003d یک گناه

تصمیم گیری از آنجا که x (t) \u003d - a sin t ، y (t) \u003d یک cos t ، بنابراین

dl \u003d

(- a sin t) 2 + (a cos t) 2 dt \u003d a2 sin 2 t + cos 2 tdt \u003d adt

و با فرمول (3.4) بدست می آوریم

Cos 2t) dt \u003d

گناه 2t

∫ x2 dl \u003d ∫ a2 cos 2 t adt \u003d a

3 ∫

πa 3

گناه π

مجموعه ای L

معادله

y \u003d y (x) ،

a ≤ x ≤ b

y (x)

همراه با مشتق آن مداوم است

(x) برای ≤ x ≤ b ، سپس

dl \u003d

1+ (y (x))

و فرمول (3.4) شکل می گیرد

∫ f (x ، y) dl \u003d ∫ f (x ، y (x))

(y (x))

مجموعه ای L

x \u003d x (y) ، c ≤ y ≤ d

x (y)

معادله

همراه با مشتق آن x (y) برای c ≤ y ≤ d مداوم است ، سپس

dl \u003d

1+ (x (y))

و فرمول (3.4) شکل می گیرد

∫ f (x ، y) dl \u003d ∫ f (x (y) ، y)

1 + (x (y))

مثال 3.2. ∫ ydl را محاسبه کنید ، جایی که L قوس سهمی است

2 x از فاصله

نقطه A (0/0) تا نقطه B (2،2).

تصمیم گیری ما انتگرال را به دو روش ، محاسبه می کنیم

فرمول (3.5) و (3.6)

1) ما از فرمول (3.5) استفاده می کنیم. زیرا

2x (y ≥ 0) ، y

2 x \u003d

2 x ،

dl \u003d

1+ 2 x dx ،

3 / 2 2

1 (5

3 2 − 1) .

∫ ydl \u003d

2 x + 1 dx \u003d ∫ (2 x + 1) 1/2 dx \u003d

1 (2x + 1)

2) اجازه دهید از فرمول (3.6) استفاده کنیم. زیرا

x \u003d 2 ، x

Y ، dl

1+ سال

		y 1 + y 2 dy \u003d		(1 + سال				/ 2 2
∫ ydl \u003d
				3 / 2

1 3 (5 5 − 1).

نکته 3.2. مشابه آنچه در نظر گرفته شد ، می توان مفهوم یک انتگرال منحنی خطی را برای اولین نوع یک تابع f (x ، y ، z) بیش از

فضایی به طور جزئی منحنی صاف L:

اگر منحنی L توسط معادلات پارامتری داده شود

α ≤ t ≤ β ، پس

dl \u003d

(x (t))

(y (t))

(z (t))

∫ f (x ، y ، z) dl \u003d

= ∫

dt

f (x (t) ، y (t) ، z (t)) (x (t))

(y (t))

(z (t))

x \u003d x (t) ، y \u003d y (t)

z \u003d z (t)

مثال 3.3. (2 z - x 2 + y 2) dl را محاسبه کنید ، جایی که L قوس منحنی است

x \u003d t cos t	0 ≤ t ≤ 2 π.
y \u003d t گناه t
z \u003d t
	x ′ \u003d هزینه - t sint ، y ′ \u003d sint + t هزینه ، z ′ \u003d 1 ،
	dl \u003d	(cos t - t sin t) 2 + (sin t + t cos t) 2 + 1 dt \u003d

Cos2 t - 2 t sin t cos t + t2 sin2 t + sin2 t + 2 t sin t cos t + t2 cos2 t + 1 dt \u003d

2 + t2 dt.

اکنون ، با فرمول (3.7) ، ما داریم

∫ (2z -

x2 + y2) dl \u003d ∫ (2 تن -

t 2 cos 2 t + t 2 sin 2 t)

2 + t 2 dt \u003d

T 2)

= ∫

t 2 + t

dt \u003d

4 π

− 2 2

استوانه ای

سطوح ،

که از عمودها تشکیل شده است به

هواپیما xOy ،

در نقاط بازیابی شده است

(x ، y)

L \u003d AB

و داشتن

جرم منحنی L است که دارای چگالی خطی متغیر ρ (x، y) است

چگالی خطی آن طبق قانون ρ (x، y) \u003d 2 y تغییر می کند.

تصمیم گیری برای محاسبه جرم قوس AB ، از فرمول (3.8) استفاده می کنیم. قوس AB بصورت پارامتری تعریف می شود ، بنابراین ، برای محاسبه انتگرال (3.8) ، از فرمول (3.4) استفاده می کنیم. زیرا

1+ تن

dt ،

x (t) \u003d 1 ، y (t) \u003d t ، dl \u003d

3/ 2 1

1 (1+ تن

m \u003d ∫ 2 ydl \u003d

1 2 + t2 dt \u003d ∫ t 1 + t2 dt \u003d

(2 3 / 2 −

1) =

2 2 − 1.

3.4 تعریف انتگرال منحنی از نوع دوم (توسط

مختصات) اجازه دهید تابع

f (x، y) در امتداد صفحه تعریف می شود

به طور جداگانه منحنی صاف L ، انتهای آن نقاط A و B خواهد بود. از نو

خودسرانه

زنگ تفريح

منحنی L

M 0 \u003d A ، M 1 ، ... M n \u003d B ما نیز در محدوده انتخاب می کنیم

هر بخشی

قوسها M i M i + 1

خودسرانه

(xi ، yi)

و محاسبه کنید

بارگذاری ...