Homogénny system je vždy konzistentný a má triviálne riešenie 
... Aby mohlo existovať netriviálne riešenie, je potrebné, aby bola matica hodnosť 
bol menší ako počet neznámych:
.
سیستم Základný rozhodovací
سیستم همگنی 
sa nazýva system riešení vo forme stĺpcových vektorov 
ktoré zodpovedajú kanonickému základu، t.j. základ، v ktorom sú ľubovoľné konštanty 
sa striedavo rovnajú jednej, zatiaľ čo ostatné sa rovnajú nule.
Potom má všeobecné riešenie homogénneho systému tvar:
kde 
- ľubovoľné konštanty. Inymi slovami، všeobecné riešenie je lineárna kombinácia základného systému riešení.
Základné riešenia teda možno získať zo všeobecného riešenia، ak sa voľným neznámym striedavo priraďuje hodnota jednoty، za predpokladu، že všetky ostatné n.
پریکلاد... Poďme nájsť riešenie systému
Akceptujme, potom dostaneme riešenie v tvare:
سیستم Zostavme si teraz základný rozhodovací:
.
Všeobecné riešenie bude napísané v tvare:
Riešenia sústavy homogénnych lineárnych rovníc majú tieto vlastnosti:
Inými slovami، akákoľvek lineárna kombinácia riešení do homogénnej sústavy je opäť riešením.
Riešenie sústav lineárnych rovníc Gaussovou metódou
Riešenie sústav lineárnych rovníc je predmetom záujmu matematikov už niekoľko storočí. Prvé výsledky boli ziskane v 18. storočí. V roku 1750 G. Kramer (1704 - 1752) publikoval svoje práce o determinantoch štvorcových matíc a navrhol algoritmus na nájdenie inverznej matice. V roku 1809 Gauss načrtol novú metódu riešenia známu ako eliminačná metóda.
Gaussova Metóda alebo Metóda postupného odstraňovania neznámych spočíva v tom, že pomocou elementárnych transformácií sa sústava rovníc redukuje na ekvivalentnú sústavu tv stupňovitéhoho (aleborutrohohoho) Takéto systémy umožňujú postupne nájsť všetky neznáme v určitom poradí.
Predpokladajme, že v system (1) 
(čo je vždy možné).
(1)
Vynásobením prvej rovnice v poradí tzv vhodné čísla
a sčítaním výsledku násobenia so zodpovedajúcimi rovnicami systému dostaneme ekvivalentný system, v ktorom všetkým rovniciam, okrem prvej, bude chýbať neznáma NS 1
(2)
Teraz vynásobíme druhú rovnicu systému (2) vhodnými číslami, za predpokladu, že 
,
a jej pridaním k podriadeným vylúčime premennú 
zo všetkých rovníc، počnúc treťou.
Pokračovanie v tomto processe po 
کروک دوستانه:
(3)
Ak aspoň jedno z čísel 
sa nerovná nule, potom je zodpovedajúca rovnosť nekonzistentná a system (1) je nekonzistentný. Naopak، pre akúkoľvek spoločnú číselnú sústavu 
sa rovnajú nule. číslo 
nie je nič iné ako hodnosť matice systemu (1).
Prechod zo systému (1) do (3) sa nazýva کورز اولیه Gaussova metóda a hľadanie neznámych z (3) - obrátene .
Commentujte : Je pohodlnejšie vykonávať transformácie nie pomocou samotných rovníc, ale pomocou rozšírenej matice systému (1).
پریکلاد... Poďme nájsť riešenie systému
.
Zapíšme si rozšírenú maticu system:
.
Pridajte do riadkov 2, 3, 4 prvý, vynásobený (-2), (-3), (-2), v tomto poradí:
.
Vymeňme riadky 2 a 3 na miestach, potom vo výslednej matici pridajte riadok 2 k riadku 4, vynásobte 
:
.
Pridajte do riadku 4 riadok 3 vynásobte 
:
.
به je zrejmé 
preto je system compatibilný. Z výslednej sústavy rovníc
جایگزینی اینورزنو:
,
,
,
.
پریکلاد 2سیستم پیش سیستم جدید:
.
Je zrejmé, že system je nekompatibilný, keďže 
، آ 
.
روش Výhody Gaussovej :
Menej časovo náročná ako Cramerova Metóda.
Jednoznačne stanovuje system compatibilitu a umožňuje vám nájsť riešenie.
Umožňuje určiť poradie ľubovoľných matíc.
ریشنیه nájsť pomocou kalkulačky. Algoritmus riešenia je rovnaký ako pre sústavy lineárnych nehomogénnych rovníc.
Pri práci iba s riadkami nájdeme hodnosť matice, základnú minor; deklarujeme závislé a slobodné neznáme a nájdeme všeobecné riešenie.
Prvý a druhý riadok sú proporcionálne، jeden z nich vymažeme:
.
Závislé premenné - x 2, x 3, x 5, voľné - x 1, x 4. Z prvej rovnice 10x 5 = 0 nájdeme x 5 = 0, teda
; .
Všeobecné riešenie je:
Nájdeme základný system riešení، ktorý pozostáva z (n-r) riešení. V našom prípade n = 5, r = 3, teda Fundamentálny system riešení pozostáva z dvoch riešení a tieto riešenia musia byť lineárne nezávislé. Aby boli riadky lineárne nezávislé, je potrebné a postačujúce, aby sa poradie matice zloženej z prvkov riadkov rovnalo počtu riadkov, teda x 2, x 3, x 5. Najjednoduchší nenulový determinant.
Takže prvé riešenie:
، دروه جه 
.
Tieto dve rozhodnutia tvoria základný system rozhodovania. Všimnite si, že základný system nie je jedinečný (môže existovať ľubovoľný počet nenulových determinantov).
Príklad 2 Nájsť všeobecné riešenie a základný system rozhodnutí systému 
ریشنیه.
,
z toho vyplýva, že poradie matice sa rovna 3 a rovna sa počtu neznámych. به znamená، že system nemá žiadne voľné neznáme، a preto má unikátne riešenie - triviálne.
Cvičenie. Preskúmajte a riešte system lineárnych rovníc.
پریکلاد 4
Cvičenie. Nájdite všeobecné a špecifické riešenia pre každý system.
ریشنیه. Napíšme hlavnú maticu systemu:
| 5 | -2 | 9 | -4 | -1 |
| 1 | 4 | 2 | 2 | -5 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Maticu privedieme do trojuholníkového tvaru. Budeme pracovať len s riadkami, keďže vynásobiť riadok matice iným číslom ako nula a pridať do ďalšieho riadku pre sústavu znamená vynásobiť rovnicu rovnakým čísločm pridať سیستم.
Vynásobte 2.riadok (-5). Pridajme 2.riadok k 1 .:
| 0 | -22 | -1 | -14 | 24 |
| 1 | 4 | 2 | 2 | -5 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
Vynásobte 2.riadok číslom (6). Vynásobte 3.riadok (-1). Pridajme 3.riadok k 2 .:
Poďme nájsť hodnosť matice.
| 0 | 22 | 1 | 14 | -24 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Zvýraznená vedľajšia skupina má najvyššie poradie (z možných vedľajších položiek) a je nenulová (rovná sa súčinu prvkov na opačnej uhlopriečke), preto zazvonilo (A)
Táto Minorita je základná. Zahŕňa koeficienty pre neznáme x 1, x 2, čo znamená, že neznáme x 1, x 2 sú závislé (základné) a x 3, x 4, x 5 sú voľné.
Transformujeme maticu، pričom vľavo ponecháme iba základnú mollovú.
| 0 | 22 | 14 | -1 | -24 |
| 6 | 2 | -2 | -11 | -6 |
| x 1 | x 2 | x 4 | x 3 | x 5 |
سیستم s koeficientmi tejto matice je ekvivalentný pôvodnému systému a má tvar:
22x2 = 14x4 - x 3 - 24x5
6x 1 + 2x 2 = - 2x 4 - 11x 3 - 6x 5
Odstránením neznámych nachádzame netriviálne riešenie:
Získali sme vzťahy vyjadrujúce závislé premenné x 1, x 2 až voľné x 3, x 4, x 5, teda zistili sme spoločné rozhodnutie:
x 2 = 0.64 x 4 - 0.0455 x 3 - 1.09 x 5
x 1 = - 0.55 x 4 - 1.82 x 3 - 0.64 x 5
Nájdeme základný system riešení، ktorý pozostáva z (n-r) riešení.
V našom prípade n = 5, r = 2, teda Fundamentálny system riešení pozostáva z 3 riešení, pričom tieto riešenia musia byť lineárne nezávislé.
Aby boli riadky lineárne nezávislé, je potrebné a postačujúce, aby sa poradie matice zloženej z prvkov riadkov rovnalo počtu riadkov, teda 3.
Stačí dať voľným neznámym hodnoty x 3, x 4, x 5 z riadkov determinantu 3. rádu iné ako nula a vypočítať x 1, x 2.
Najjednoduchším nenulovým determinantom je matica هویت.
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
اولوها. Nájdite základnú množinu riešení homogénneho systému lineárnych rovníc.
همگن سیستم خطی جبری روونیک
V rámci lekcií روش گاوسواآ Nekompatibilné Systémy / Systémy so spoločným riešením zvažovali sme nehomogénne sústavy lineárnych rovníc، kde voľný člen(ktorý je zvyčajne vpravo) aspoň jeden rovníc bola nenulová.
A teraz، po dobrej rozcvičke s hodnosť matice, bude pokračovať v brúsení techniky عنصر تبدیل na homogénna sústava lineárnych rovníc.
V prvých odsekoch môže látka pôsobiť nudne a obyčajne، no tento dojem klame. Okrem ďalšieho rozvíjania techník bude veľa nových informácií، preto sa prosím snažte nezanedbávať príklady v tomto článku.
Čo je homogénna sústava lineárnych rovníc؟
Odpoveď sa ponúka sama. System lineárnych rovníc je homogénny, ak je voľný člen z každého rovnice systému sa rovná nule. ناپریکلاد:
To je úplne jasné homogénny system je vždy compatibilný, teda vždy má riešenie. A predovšetkým tzv بی اهمیتریشنیه 
... Triviálne, pre tých, ktorí vôbec nechápu význam prídavného mena, znamená bespontov. Nie akademické, samozrejme, ale zrozumiteľné =) ... Načo sa motať okolo, poďme zistiť, či má tento system nejaké iné riešenia:
پریکلاد 1
ریشنیه: na riešenie homogénnej sústavy je potrebné napísať سیستم ماتیکا a pomocou elementárnych transformácií ho priviesť do stupňovitej podoby. Upozorňujeme، že tu nie je potrebné písať zvislú čiaru a nulový stĺpec voľných členov - koniec koncov، čokoľvek urobíte s nulami، zostanú nulami: 
(1) Prvý riadok vynásobený –2 bol pridaný k druhému riadku. Prvý riadok vynásobený –3 bol pridaný k tretiemu riadku.
(2) Druhý riadok vynásobený -1 bol pridaný k tretiemu riadku.
Deliť tretí riadok 3 nedáva veľký zmysel.
V dôsledku elementárnych transformácií sa získal ekvivalentný homogénny system 
a použitím opačného priebehu Gaussovej metódy je ľahké overiť, že riešenie je jedinečné.
از:
Sformulujme jasné kritérium: homogénna sústava lineárnych rovníc má len triviálne riešenie، آک سیستم matica hodnosť(v tomto prípade 3) sa rovná počtu premenných (v tomto prípade - 3 ks).
Rozohrievame a ladíme náš rádiový prijímač na vlnu elementárnych premien:
پریکلاد 2
Vyriešte homogénnu sústavu lineárnych rovníc 
Z článku آیا دوست دارید؟ pamätajte na racionálnu metódu súčasného znižovania maticových čísel. V opačnom prípade budete musiceť veľké a často hryzavé ryby rozrezať. Približná ukážka zadania na konci hodiny.
Nuly sú dobré a pohodlné, ale v praxi je oveľa bežnejší prípad, keď sú riadky matice systému lineárne závislé... A potom je nevyhnutný vznik spoločného riešenia:
پریکلاد 3
Vyriešte homogénnu sústavu lineárnych rovníc 
ریشنیه: maticu sústavy zapíšeme a pomocou elementárnych transformácií ju uvedieme do stupňovitého tvaru. Prvá akcia je zameraná nielen na získanie jednej hodnoty، ale aj na zníženie čísel v prvom stĺpci:
(1) Tretí riadok vynásobený -1 bol pridaný k prvému riadku. Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku vynásobenému –2. Vľavo hore som dostal jednotku s „minusom“, čo je často oveľa pohodlnejšie pre ďalšie premeny.
(2) Prvé dva riadky sú rovnaké, jeden z nich bol vypustený. Úprimne povedané, s riešením som sa neponáhľal - jednoducho sa to stalo. Ak vykonávate transformácie v šablóne، potom lineárny vzťah riadky sa objavia o niečo neskôr.
(3) Druhý riadok، vynásobený 3، bol pridaný k tretiemu riadku.
(4) Znamienko prvého riadku bolo zmenené.
V dôsledku elementárnych transformácií sa získal ekvivalentný system: 
Algoritmus funguje presne rovnako ako pre سیستم ناهمگن... Premenné „sedí na schodoch“ sú hlavné, premenná, ktorá nedostala „kroky“, je voľná.
Vyjadrime základné premenné pomocou voľnej premennej: 
از: spoločné rozhodnutie: 
Vo všeobecnom vzorci je zahrnuté triviálne riešenie، ktoré je zbytočné zapisovať samostatne.
Kontrola sa tiež vykonáva podľa obvyklej schémy: výsledné všeobecné riešenie sa musí nahradiť do ľavá Strana každej rovnice systému a získajte zákonnú nulu pre všetky substitúcie.
Na tomto by sa dalo pokojne a pokojne skončiť, ale často sa vyžaduje, aby bolo znázornené riešenie homogénneho systému rovníc. vo vektorovej form používaním سیستم základný rozhodovací... Prosím, dočasne zabudnite هندسه تحلیلی, keďže teraz bude hovoriť o vektoroch vo všeobecnom algebraickom zmysle, čo som trochu otvoril v článku o maticová hodnosť... Nie je potrebné zahmlievať terminology, všetko je celkom jednoduché.
6.3. HOMOGÉNNE SYSTÉMY LINEÁRNYCH ROVNIC
Teraz vpustite system (6.1).
Homogénny system je vždy compatibilný. ریشنیه () سا نازیوا نولا، آلبو بی اهمیت.
Homogénny system (6.1) má nenulové riešenie práve vtedy, ak je jeho poradie ( 
) je menší ako počet neznámych. Najmä homogénny system, v ktorom sa počet rovníc rovná počtu neznámych، má nenulové riešenie práve vtedy، ak je jeho determinant rovný nule.
Od tejto chvíle všetko
, namiesto vzorcov (6.6) dostaneme nasledovné:
(6.7)
Vzorce (6.7) obsahujú akýkoľvek roztok do homogénneho systému (6.1).
1. Množina všetkých riešení homogénnej sústavy lineárnych rovníc (6.1) tvorí lineárny priestor.
2. کشیش خطیآرvšetkých riešení homogénnej sústavy lineárnych rovníc (6.1) snneznámych a hodnosť hlavnej matice rovnar، ما روزمرn - r.
Akákoľvek zbierka od (n - r) lineárne nezávislých riešení homogénnej sústavy (6.1) tvorí základ v priestoreآرvšetky riešenia. به سا نازیوا zásadný množina riešení homogénnej sústavy rovníc (6.1). زلاتی کلینک "عادی"سیستم základný súbor riešení homogénneho system (6.1):
(6.8)
Podľa definície základu akékoľvek riešenie NS homogénny system (6.1) možno znázorniť vo form
(6.9)
kde 
- ľubovoľné konštanty.
Keďže vzorec (6.9) obsahuje akýkoľvek roztok homogénneho systému (6.1), dáva spoločné rozhodnutieسیستم تنتو
پریکلاد.
Nazývajú sa sústavy lineárnych rovníc، v ktorých sú všetky voľné členy rovné nule همگن :
Akýkoľvek homogénny system je vždy compatibilný, pretože vždy vlastní نولا (بی اهمیت ) ریشنیه. Vzniká otázka، za akých podmienok bude mať homogénny system netriviálne riešenie.
Veta 5.2.Homogénny system má netriviálne riešenie vtedy a len vtedy، ak je poradie hlavnej matice menšie ako počet jej neznámych.
دوسلدوک... Štvorcový homogénny system má netriviálne riešenie práve vtedy, ak determinant základnej matice systému nie je rovný nule.
پریکلاد 5.6. Určte hodnoty parametra l، pre ktoré má system netriviálne riešenia، a nájdite tieto riešenia:
ریشنیه... Tento system bude mať netriviálne riešenie, keď sa determinant hlavnej matice rovná nule:
Systém je teda netriviálny, keď l = 3 alebo l = 2. Pre l = 3 je poradie hlavnej matice systému 1. Potom ponecháme iba jednu rovnicu a predpokladáme, že r=آآ z=ب، دوستانه x = b-a، t.j.
Pre l = 2 je poradie hlavnej matice systému 2. Potom ako základ vyberieme vedľajšiu:
Dostaneme zjednodušený system
Z toho zistíme، že x = z/4، y = z/ 2. Za predpokladu z=4آ، دوستانه
Súbor všetkých riešení homogénneho systému má veľmi dôležitý lineárna vlastnosť : ak stĺpce X 1 تبر 2 - roztoky homogénnej sústavy sústavy AX = 0, potom ľubovoľná ich lineárna kombináciaآ ایکس 1 + ب ایکس 2 bude tiež riešením tohto systemu... Skutočne, odvtedy تبر 1 = 0 آ تبر 2 = 0 ، پوتوم آ(آ ایکس 1 + ب ایکس 2) = الف تبر 1 + ب تبر 2 = a 0 + b 0 = 0. Je to kvôli tejto vlastnosti, že ak má lineárny system viac ako jedno riešenie, tak týchto riešení bude nekonečne veľa.
Lineárne nezávislé stĺpce E 1 , E 2 , E k ktoré sú riešenia homogénnej sústavy sa nazývajú سیستم základný rozhodovací homogénna sústava lineárnych rovníc، ak je možné všeobecné riešenie tejto sústavy zapísať ako lineárnu kombináciu týchto stĺpcov:
سیستم همگنی n premenné a poradie hlavnej matice systému je r، پوتوم ک = n-r.
پریکلاد 5.7. Nájdite základný system riešení nasledujúceho system lineárnych rovníc:
ریشنیه... Poďme nájsť hodnosť hlavnej matice systemu:
Množina riešení tohto systému rovníc teda tvorí lineárny podpriestor dimenzie n - r= 5 - 2 = 3. Vyberte si ako základnú moll
Potom ponechajte iba základné rovnice (zvyšok bude لاینارنا کمبیناسیا tieto rovnice) a základné premenné (zvyšné, tzv.voľné premenné, posunieme doprava), dostaneme zjednodušený system rovníc:
Za predpokladu ایکس 3 = آ, ایکس 4 = ب, ایکس 5 = ج, nájdeme
Za predpokladu آ= 1, b = c= 0، dostaneme prvé základné riešenie; za predpokladu ب= 1, a = c= 0، dostaneme druhé základné riešenie; za predpokladu ج= 1, a = b= 0، dostaneme tretie základné riešenie. Výsledkom je, že normalálny základný rozhodovací system nadobúda formu
Pomocou základného systému je možné všeobecné riešenie homogénneho systému zapísať vo forme
ایکس = aE 1 + بودن 2 + cE 3.a
Všimnime si niektoré vlastnosti riešení nehomogénnej sústavy lineárnych rovníc AX = B a ich vzťah so zodpovedajúcou homogénnou sústavou rovníc AX = 0.
Všeobecné riešenie heterogénneho systémusa rovná súčtu všeobecného riešenia zodpovedajúcej homogénnej sústavy AX = 0 a ľubovoľného partikulárneho riešenia nehomogénnej sústavy... Skutočne, nech Y 0 je ľubovoľné partikulárne riešenie nehomogénneho systému, t.j. AY 0 = بآ Y- všeobecné riešenie heterogénnej sústavy, t.j. AY = B... Odčítaním jednej rovnosti od druhej dostaneme
آ(Y-Y 0) = 0، t.j. Y - Y 0 je všeobecné riešenie zodpovedajúceho homogénneho systemu تبر= 0.teda Y - Y 0 = ایکس، آلبو Y = Y 0 + ایکس... Q.E.D.
Nech má nehomogénny system tvar Tvar AX = B 1 + ب 2 . Potom je možné všeobecné riešenie takéhoto systému zapísať ako X = X 1 + ایکس 2 , kde AX 1 = ب 1 یک تبر 2 = ب 2. سیستم خطی Táto vlastnosť vyjadruje univerzálnu vlastnosť všeobecne pre akékoľvek lineárne system (جبری، تفاوت، عملکرد و عملکرد). Vo fyzike sa táto vlastnosť nazýva princíp superpozície v elektrotechnike a radiotechnike - اصل پرکریتیا... Napríklad v teórii lineárnych elektrikých obvodov možno prúd v akomkoľvek obvode získať ako algebraický súčet prúdov spôsobených každým zdrojom energie samostatne.
ناچیتاوا...