تعیین حداکثر یک تابع. عملکرد Extremum

یک الگوریتم ساده برای یافتن نقاط شدید.

• مشتق تابع را پیدا کنید
• این مشتق را برابر با صفر کنید
• مقادیر متغیر عبارت حاصل را پیدا کنید (مقادیر متغیری که در آن مشتق به صفر تبدیل می شود)
• ما خط مختصات را با این مقادیر به فواصل زمانی تقسیم می کنیم (و نقاط شکست را فراموش نکنید ، که باید روی خط نیز اعمال شوند) ، همه این نقاط را برای قسمت فوقانی "مشکوک" می نامند
• ما محاسبه می کنیم که در کدام یک از این بازه ها مشتق مثبت باشد و در کدام منفی. برای انجام این کار ، باید مقدار را از فاصله در مشتق جایگزین کنید.

از نقاط مشکوک به افراط ، لازم است دقیقاً پیدا کنید. برای این کار ، فاصله های خود را در خط مختصات بررسی می کنیم. اگر هنگام عبور از نقطه ای ، علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر کند ، این نقطه خواهد بود بیشترین، و اگر از منفی به مثبت باشد ، پس کمترین.

برای یافتن بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع ، باید مقدار تابع را در انتهای قطعه و در نقاط انتهایی محاسبه کنید. سپس بالاترین و کمترین مقدار را انتخاب کنید.

مثالی را در نظر بگیرید
مشتق را پیدا کنید و آن را روی صفر تنظیم کنید:

مقادیر حاصل از متغیرها روی خط مختصات رسم شده و علامت مشتق را در هر یک از فواصل محاسبه می کنند. خوب ، برای مثال ، برای اولین بار بیایید بگیریم-2 ، پس مشتق خواهد بود-0,24 ، برای دومی که می گیریم0 ، پس مشتق خواهد بود2 ، و برای سومین مورد استفاده می کنیم2 ، پس مشتق خواهد بود-0.24. علائم مناسب را پایین می گذاریم.

می بینیم که هنگام عبور از نقطه -1 ، مشتق علامت منهای را به مثبت تغییر می دهد ، یعنی حداقل نقطه خواهد بود و هنگام عبور از 1 - به ترتیب از جمع به منفی ، این یک نقطه حداکثر است.

قضیه (شرط لازم برای وجود افراطی) اگر تابع f (x) در نقطه x \u003d x 1 قابل تغییر باشد و نقطه x 1 نقطه extremeum باشد ، مشتق تابع در این نقطه ناپدید می شود.

شواهد و مدارک. فرض کنید که تابع f (x) حداکثر در نقطه x \u003d x 1 باشد.

پس برای Dx مثبت مثبت 0\u003e نابرابری زیر صحیح است:

با تعریف:

آنهایی که اگر Dx®0 باشد ، اما Dx باشد<0, то f¢(x 1) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0 ، سپس f ¢ (x 1) £ 0.

و این تنها درصورتی امکان پذیر است که در Dх®0 f ¢ (x 1) \u003d 0 باشد.

برای موردی که تابع f (x) در نقطه x 2 حداقل داشته باشد قضیه به روشی مشابه اثبات می شود.

قضیه اثبات شده است.

نتیجه. این صحبت درست نیست. اگر مشتق یک تابع در بعضی از نقاط برابر با صفر باشد ، این بدان معنا نیست که در این مرحله تابع دارای یک حد افراط است. یک مثال فصیح از این تابع y \u003d x 3 است که مشتق آن در نقطه x \u003d 0 صفر است ، اما در این مرحله تابع فقط یک عطف دارد ، نه حداکثر یا حداقل.

تعریف. نقاط بحرانی توابع به نقاطی گفته می شود که مشتق تابع در آنها وجود نداشته باشد یا برابر با صفر باشد.

قضیه ای که در بالا در نظر گرفته شد ، شرایط لازم را برای وجود افراط در اختیار ما قرار می دهد ، اما این کافی نیست.

مثال: f (x) \u003d ôxô مثال: f (x) \u003d

بله

در نقطه x \u003d 0 تابع حداقل دارد ، اما در نقطه x \u003d 0 تابع هیچ یک از آنها را ندارد

هیچ مشتقی ندارد حداکثر ، بدون حداقل ، بدون تولید

به طور کلی ، تابع f (x) می تواند در نقاطی که مشتق در آن وجود ندارد یا برابر با صفر است ، دارای حالت افراطی باشد.

قضیه (شرایط کافی برای وجود افراطی)

بگذارید تابع f (x) در فاصله (a ، b) ، که شامل نقطه بحرانی x 1 است ، مداوم باشد و در تمام نقاط این فاصله قابل تفکیک باشد (به جز ، شاید نقطه x 1 خود).

اگر هنگام عبور از نقطه x 1 از چپ به راست ، مشتق تابع f "(x) علامت را از" + "به" - "تغییر دهد ، در نقطه x \u003d x 1 تابع f (x) حداکثر است و اگر مشتق علامت را از" - تغییر دهد " "در" + "- سپس عملکرد حداقل است.

شواهد و مدارک.

بگذار

با قضیه لاگرانژ: f (x) - f (x 1) \u003d f ¢ (e) (x - x 1) ، که در آن x< e < x 1 .

سپس: 1) اگر x< x 1 , то e < x 1 ; f¢(e)>0 f ¢ (e) (x - x 1)<0, следовательно

f (x) - f (x 1)<0 или f(x) < f(x 1).

2) اگر x\u003e x 1 ، پس e\u003e x 1 f ¢ (e)<0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно

f (x) - f (x 1)<0 или f(x) < f(x 1).

از آنجا که پاسخ ها یکسان هستند ، می توانیم بگوییم که f (x)< f(x 1) в любых точках вблизи х 1 , т.е. х 1 – точка максимума.

اثبات قضیه برای حداقل امتیاز مشابه است.

قضیه اثبات شده است.

بر اساس موارد فوق ، می توانید یک روش واحد برای یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع در یک بخش ایجاد کنید:

1) نقاط حساس تابع را پیدا کنید.

2) مقادیر تابع را در نقاط حساس پیدا کنید.

3) مقادیر تابع را در انتهای بخش پیدا کنید.

4) از بین مقادیر بدست آمده بزرگترین و کوچکترین را انتخاب کنید.

بررسی یک تابع برای استفاده شدید

مشتقات سفارشات بالاتر.

بگذارید در نقطه x \u003d x 1 f ¢ (x 1) \u003d 0 و f ¢¢ (x 1) وجود داشته باشد و در بعضی از محله های نقطه x 1 پیوسته باشد.

قضیه اگر f ¢ (x 1) \u003d 0 باشد ، تابع f (x) در نقطه x \u003d x 1 حداکثر اگر f ¢¢ (x 1) باشد<0 и минимум, если f¢¢(x 1)>0.

شواهد و مدارک.

بگذارید f ¢ (x 1) \u003d 0 و f ¢¢ (x 1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x 1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х 1 .

زیرا f ¢¢ (x) \u003d (f ¢ (x))< 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х 1 , но f¢(x 1)=0, т.е. f¢(x) > 0 در x x 1 این بدان معنی است که هنگام عبور از نقطه х \u003d х 1 ، مشتق f ¢ (x) تغییر علامت از "+" به "-" ، به عنوان مثال

در این مرحله تابع f (x) حداکثر است.

در مورد حداقل تابع ، قضیه به روشی مشابه اثبات می شود.

اگر f ¢¢ (x) \u003d 0 باشد ، ماهیت نقطه بحرانی ناشناخته است. برای تعیین آن تحقیقات بیشتری لازم است.

تحدب و تقعر یک منحنی.

نقاط عطف.

تعریف. منحنی رو به تحدب بالا در فاصله (a ، b) اگر تمام نقاط آن زیر این مماس باشد. یک منحنی رو به محدب رو به بالا نامیده می شود محدب، و منحنی رو به تحدب رو به پایین نامیده می شود مقعر.

در

شکل تصویری از تعریف فوق را نشان می دهد.

قضیه 1 اگر در تمام نقاط فاصله (a ، b) مشتق دوم تابع f (x) منفی باشد ، منحنی y \u003d f (x) محدب به بالا (محدب) است.

شواهد و مدارک. بگذارید x 0 Î (a، b). در این نقطه یک خط مماس به منحنی بکشید.

معادله منحنی: y \u003d f (x) ؛

معادله مماس:

باید ثابت شود که

توسط قضیه لاگرانژ برای f (x) - f (x 0): ، x 0< c < x.

توسط قضیه لاگرانژ برای

بگذارید x\u003e x 0 سپس x 0 باشد< c 1 < c < x. Т.к. x – x 0 > 0 و c - x 0\u003e 0 ، و علاوه بر این ، توسط شرط

از این رو ،

بگذارید x< x 0 тогда x < c < c 1 < x 0 и x – x 0 < 0, c – x 0 < 0, т.к. по условию то

به طور مشابه می توان ثابت کرد که اگر f ¢¢ (x)\u003e 0 در فاصله (a ، b) باشد ، منحنی y \u003d f (x) در فاصله (a ، b) مقعر است.

قضیه اثبات شده است.

تعریف. نقطه جدا کننده قسمت محدب منحنی از قسمت مقعر نامیده می شود نقطه عطف.

بدیهی است که در نقطه عطف ، مماس منحنی را قطع می کند.

قضیه 2 اجازه دهید منحنی با معادله y \u003d f (x) تعریف شود. اگر مشتق دوم f ¢¢ (a) \u003d 0 یا f ¢¢ (a) وجود نداشته باشد و هنگام عبور از نقطه x \u003d a f ¢¢ (x) علامت تغییر کند ، آنگاه نقطه منحنی با abscissa x \u003d a نقطه عطف است.

شواهد و مدارک. 1) اجازه دهید f ¢¢ (x)< 0 при х < a и f¢¢(x) > 0 برای x\u003e a. سپس در

ایکس< a кривая выпукла, а при x > a منحنی مقعر است ، به عنوان مثال نقطه x \u003d a - نقطه عطف.

2) اجازه دهید f ¢¢ (x)\u003e 0 برای x< b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x > ب - محدب به بالا. سپس x \u003d b یک نقطه عطف است.

قضیه اثبات شده است.

مجانب

در مطالعه توابع ، غالباً اتفاق می افتد که وقتی مختصات x نقطه منحنی به سمت بی نهایت حرکت می کند ، منحنی بدون محدودیت به برخی از خط های مستقیم نزدیک می شود.

تعریف. خط مستقیم نامیده می شود مجانبمنحنی ، اگر فاصله نقطه متغیر منحنی تا این خط مستقیم با حرکت نقطه به بی نهایت به صفر برسد.

لازم به ذکر است که هر منحنی مجانبی ندارد. مجانب می توانند مستقیم و مایل باشند. مطالعه توابع برای حضور مجانین از اهمیت بالایی برخوردار است و به شما امکان می دهد ماهیت عملکرد و رفتار نمودار منحنی را با دقت بیشتری تعیین کنید.

به طور کلی ، یک منحنی که به طور نامحدود به مجانب خود نزدیک می شود ، می تواند آن را قطع کند و نه در یک نقطه ، همانطور که در نمودار عملکرد زیر نشان داده شده ... مجانای مایل آن y \u003d x است.

بیایید روشهای یافتن مجانب منحنی ها را با جزئیات بیشتری در نظر بگیریم.

مجانب عمودی.

از تعریف مجانب چنین برمی آید که اگر یا یا ، پس خط مستقیم x \u003d a مجانب منحنی y \u003d f (x) است.

به عنوان مثال ، برای یک تابع ، خط x \u003d 5 مجانب عمودی است.

مجانب مجرد

فرض کنید منحنی y \u003d f (x) دارای یک مجانبی متمایل y \u003d kx + b باشد.

ما نقطه تلاقی منحنی و عمود بر مجانب را نشان می دهیم - M ، P - نقطه تقاطع این عمود با مجانا. زاویه بین مجانب و محور Ox با j نشان داده می شود. عمود بر МQ به محور Ox مجانب را در نقطه N قطع می کند.

سپس MQ \u003d y مختصات یک نقطه روی منحنی است ، NQ \u003d مختصات نقطه N روی مجانب است.

به شرط: ، РNMP \u003d j ،.

پس زاویه j ثابت است و برابر با 90 0 نیست

سپس .

بنابراین ، خط مستقیم y \u003d kx + b مجانب منحنی است. برای تعیین دقیق این خط مستقیم ، یافتن راهی برای محاسبه ضرایب k و b ضروری است.

در عبارت حاصل شده ، ما x را خارج از براکت می گیریم:

زیرا х® ¥ ، پس از آنجا که b \u003d ساختار ، پس .

سپس ، از این رو ،

.

زیرا سپس ، از این رو ،

توجه داشته باشید که مجانب های افقی حالت خاصی از مجانب های مورب در k \u003d 0 هستند.

مثال. .

1) مجانای عمودی: y® + ¥ x®0-0: y®- ¥ x®0 + 0 ، بنابراین ، x \u003d 0 مجانب عمودی است.

2) علائم مجرد مورب:

بنابراین ، خط y \u003d x + 2 یک مجانب مایل است.

بیایید عملکرد را رسم کنیم:

مثال. مجانب را پیدا کنید و عملکرد را نمودار کنید.

خطوط مستقیم x \u003d 3 و x \u003d -3 مجانب عمودی منحنی هستند.

مجانب های مورب را پیدا کنید:

y \u003d 0 - مجانب افقی.

مثال. مجانب را پیدا کنید و یک تابع را رسم کنید .

خط مستقیم x \u003d -2 مجانب عمودی منحنی است.

مجانب های مورب را پیدا کنید.

بنابراین ، خط مستقیم y \u003d x - 4 یک مجانب مایل است.

نمودار مطالعه عملکرد

روند تحقیق در مورد عملکرد شامل چندین مرحله است. برای کاملترین تصویر از عملکرد یک تابع و ماهیت نمودار آن ، باید موارد زیر را پیدا کنید:

1) منطقه وجود عملکرد.

این مفهوم هم دامنه و هم دامنه عملکرد را شامل می شود.

2) نقاط شکست. (در صورت وجود)

3) بازه های افزایش و کاهش.

4) امتیاز حداکثر و حداقل.

5) حداکثر و حداقل مقدار تابع در حوزه تعریف آن.

6) مناطق تحدب و تقعر.

7) نقاط عطف (در صورت وجود).

8) مجانین (در صورت وجود).

9) ساختن نمودار.

اجازه دهید با استفاده از یک مثال کاربرد این طرح را بررسی کنیم.

مثال. عملکرد را بررسی کنید و آن را رسم کنید.

منطقه وجود تابع را پیدا کنید. واضح است که محدوده تابع دامنه (- ¥؛ -1) È (-1؛ 1) È (1؛) است.

به نوبه خود ، می توان خطوط x \u003d 1 ، x \u003d -1 را مشاهده کرد مجانب عمودی کج

دامنه ارزشهااین تابع فاصله (- ¥ ؛ ¥) است.

نقاط شکست توابع نقاط x \u003d 1 ، x \u003d -1 هستند.

پیدا کردن نقاط بحرانی.

مشتق تابع را پیدا کنید

نکات مهم: x \u003d 0؛ x \u003d - ؛ x \u003d ؛ x \u003d -1 ؛ x \u003d 1

مشتق دوم تابع را پیدا کنید

در دوره ها تحدب و تقعر منحنی را تعریف کنید.

-¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая

- < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < 0, y¢¢ > 0 ، منحنی مقعر

0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < , y¢¢ > 0 ، منحنی مقعر

< x < ¥, y¢¢ > 0 ، منحنی مقعر

یافتن شکاف ها افزایشو کم شدن کارکرد. برای انجام این کار ، علائم مشتق تابع را در فواصل مشخص می کنیم.

-¥ < x < - , y¢ > 0 ، عملکرد افزایش می یابد

- < x < -1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < , y¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, y¢¢ > 0 ، عملکرد افزایش می یابد

دیده می شود که نقطه x \u003d - یک نقطه است بیشترین، و نقطه x \u003d یک نقطه است کمترین... مقادیر تابع در این نقاط به ترتیب 3/2 و 3/2 است.

در مورد عمودی مجانب قبلاً در بالا گفته شد. اکنون خواهیم یافت مجانب مورب.

در کل ، معادله مجانب مایل y \u003d x است.

بیا بسازیم برنامه کارکرد:

توابع چندین متغیر

هنگام در نظر گرفتن توابع چندین متغیر ، ما خود را به توصیف دقیق توابع دو متغیر محدود می کنیم ، از این رو تمام نتایج بدست آمده برای توابع تعداد دلخواه متغیرها معتبر خواهد بود.

تعریف: اگر هر جفت اعداد مستقل (x، y) از یک مجموعه مطابق با برخی از قوانین با یک یا چند مقدار از متغیر z مرتبط باشد ، متغیر z را تابعی از دو متغیر می نامند.

تعریف: اگر یک جفت عدد (x ، y) با یک مقدار z مطابقت داشته باشد ، تابع فراخوانی می شود بدون ابهام، و اگر بیش از یک باشد ، پس - مبهم.

تعریف: دامنه تابع z مجموعه ای از جفت ها (x، y) است که تابع z برای آنها وجود دارد.

تعریف: نزدیک نقطهМ 0 (x 0، y 0) شعاع r به مجموعه تمام نقاط (x، y) گفته می شود که شرایط را برآورده می کنند .

تعریف: عدد A نامیده می شود حد تابع f (x ، y) به عنوان نقطه M (x، y) به نقطه M 0 (x 0، y 0) متمایل می شود ، اگر برای هر عدد e\u003e 0 یک عدد r\u003e 0 وجود داشته باشد به طوری که برای هر نقطه M (x ، ی) برای آن شرط

شرط نیز درست است .

آنها یادداشت می کنند:

تعریف: بگذارید نقطه М 0 (x 0، y 0) به حوزه تعریف تابع f (x، y) تعلق داشته باشد. سپس تابع z \u003d f (x، y) فراخوانی می شود مداوم در نقطه М 0 (x 0 ، y 0) ، اگر

(1)

علاوه بر این ، نقطه M (x ، y) به روشی دلخواه به نقطه M 0 (x 0 ، y 0) تمایل دارد.

اگر شرط (1) در هیچ نقطه ای برآورده نشود ، این نقطه فراخوانی می شود نقطه شکستتابع f (x ، y). این می تواند در موارد زیر باشد:

1) تابع z \u003d f (x، y) در نقطه M 0 (x 0، y 0) تعریف نشده است.

2) محدودیتی وجود ندارد.

3) این حد وجود دارد ، اما برابر با f (x 0 ، y 0) نیست.

ویژگی. اگر تابع f (x ، y ، ...) در یک بسته و. تعریف شده و مداوم باشد

دامنه D محدود شده ، این دامنه حداقل شامل یک نقطه است

N (x 0 ، y 0 ، ...) ، به طوری که نقاط باقی مانده نابرابری را برآورده می کنند

f (x 0 ، y 0 ، ...) ³ f (x ، y ، ...)

و همچنین نقطه N 1 (x 01 ، y 01 ، ...) به گونه ای است که برای همه نقاط دیگر نابرابری است

f (x 01 ، y 01 ، ...) £ f (x ، y ، ...)

سپس f (x 0 ، y 0 ، ...) \u003d M - بزرگترین ارزش توابع ، و f (x 01 ، y 01 ، ...) \u003d m - کوچکترین مقدارتابع f (x ، y ، ...) در دامنه D

یک تابع پیوسته در یک دامنه بسته و محدود D حداقل یک بار به بیشترین مقدار و یکبار به کوچکترین می رسد.

ویژگی. اگر یک تابع f (x ، y ، ...) در یک دامنه محدود بسته D تعریف شده و مداوم باشد ، و M و m به ترتیب بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع در این دامنه هستند ، برای هر نقطه m Î یک نقطه وجود دارد

N 0 (x 0 ، y 0 ،…) به طوری که f (x 0 ، y 0 ،…) \u003d m.

به بیان ساده ، یک تابع پیوسته تمام مقادیر میانی را بین M و m در دامنه D می گیرد. نتیجه این ویژگی ممکن است نتیجه گیری این باشد که اگر اعداد M و m از علائم متضاد باشند ، در دامنه D عملکرد حداقل یک بار ناپدید می شود.

ویژگی. تابع f (x ، y ، ...) ، مداوم در یک دامنه محدود D ، محدود در این منطقه ، اگر یک عدد K وجود داشته باشد به طوری که برای تمام نقاط منطقه نابرابری باشد .

ویژگی. اگر تابع f (x ، y ، ...) در یک دامنه محدود بسته D تعریف شده و مداوم باشد ، آن را انجام دهید یکنواخت مداوم در این منطقه ، یعنی برای هر عدد مثبت e ، یک عدد D\u003e 0 وجود دارد به طوری که برای هر دو نقطه (x 1 ، y 1) و (x 2 ، y 2) منطقه واقع در فاصله کمتر از D ، نابرابری

خصوصیات فوق مشابه خصوصیات توابع یک متغیر است که روی یک بخش پیوسته است. خصوصیات توابع را که روی یک بخش مداوم هستند ، مشاهده کنید.

مشتقات و افتراق عملکردها

متغیرهای متعدد

تعریف. اجازه دهید تابع z \u003d f (x، y) در برخی از دامنه ها داده شود. یک نقطه دلخواه M (x ، y) بگیرید و افزایش Dx را روی متغیر x تنظیم کنید. سپس مقدار D x z \u003d f (x + Dx، y) - f (x، y) فراخوانی می شود افزایش جزئی تابع در x.

می توانید بنویسید

.

سپس تماس گرفت مشتق جزئیتابع z \u003d f (x، y) در x.

تعیین:

مشتق جزئی تابع با توجه به y به طور مشابه تعریف شده است.

معنای هندسیمشتق جزئی (به عنوان مثال) مماس زاویه شیب مماس است که در نقطه N 0 (x 0، y 0، z 0) به قسمت سطح توسط صفحه y \u003d y 0 کشیده شده است.

افزایش کامل و دیفرانسیل کامل.

هواپیمای مماس

بگذارید N و N 0 نقطه های سطح داده شده باشند. بیایید یک خط مستقیم NN 0 ترسیم کنیم. صفحه ای که از نقطه N 0 عبور می کند نامیده می شود هواپیمای مماس در صورت تمایل زاویه بین NN 0 و این صفحه به سمت سطح ، هنگامی که فاصله NN 0 به صفر میل کند.

تعریف. طبیعیبه سطح در نقطه N 0 یک خط مستقیم است که از نقطه N 0 عمود بر صفحه مماس به این سطح عبور می کند.

در هر نقطه از سطح یا فقط یک صفحه مماس دارد ، یا اصلاً آن را ندارد.

اگر سطح با معادله z \u003d f (x، y) داده شود ، در آنجا f (x ، y) تابعی است که در نقطه М 0 (х 0 ، у 0) قابل تغییر است ، صفحه مماس در نقطه N 0 (x 0 ، y 0 ، ( x 0، y 0)) وجود دارد و دارای این معادله است:

معادله نرمال به سطح در این نقطه عبارت است از:

معنای هندسی دیفرانسیل کل یک تابع از دو متغیر f (x، y) در نقطه (x 0 ، y 0) افزایش اعمال شده (مختصات z) صفحه مماس به سطح هنگام عبور از نقطه (x 0 ، y 0) به نقطه (x 0 + Dx ، y 0 + Dy).

همانطور که مشاهده می کنید ، معنای هندسی دیفرانسیل کل یک تابع از دو متغیر ، آنالوگ فضایی معنای هندسی دیفرانسیل یک تابع از یک متغیر است.

مثال. معادلات صفحه مماس و حالت عادی سطح را پیدا کنید

در نقطه M (1 ، 1 ، 1).

معادله هواپیمای مماس:

معادله عادی:

محاسبات تقریبی با استفاده از دیفرانسیل کل.

دیفرانسیل کل تابع u:

مقدار دقیق این عبارت 1.049275225687319176 است.

مشتقات جزئی سفارشات بالاتر.

اگر تابع f (x، y) در بعضی از دامنه های D تعریف شده باشد ، مشتقات جزئی آن نیز در همان دامنه یا بخشی از آن تعریف می شوند.

ما این مشتقات را خواهیم نامید مشتقات جزئی سفارش اول.

مشتقات این توابع خواهد بود مشتقات جزئی از مرتبه دوم.

در ادامه با تمایز برابرهای بدست آمده ، مشتقات جزئی سفارشات بالاتر را بدست می آوریم.

نقطه extremeum یک تابع نقطه ای از حوزه عملکرد است که در آن مقدار تابع حداقل یا حداکثر مقدار خود را می گیرد. مقادیر تابع در این نقاط را افراط (حداقل و حداکثر) تابع می نامند.

تعریف... نقطه ایکس1 دامنه عملکرد f(ایکس) نامیده میشود حداکثر نقطه عملکرد ، اگر مقدار تابع در این نقطه بیشتر از مقادیر تابع در نقاط کاملاً نزدیک به آن واقع در سمت راست و چپ آن باشد (یعنی نابرابری f(ایکس0 ) > f(ایکس0 + Δ ایکس) ایکس1 بیشترین.

تعریف... نقطه ایکس2 دامنه عملکرد f(ایکس) نامیده میشود حداقل نقطه عملکرد، اگر مقدار تابع در این نقطه کمتر از مقادیر تابع در نقاط کاملاً نزدیک به آن واقع در سمت راست و چپ آن باشد (یعنی نابرابری f(ایکس0 ) < f(ایکس0 + Δ ایکس) ) در این حالت ، گفته می شود که عملکرد در نقطه وجود دارد ایکس2 کمترین.

بگذارید بگوییم اشاره کنید ایکس1 حداکثر نقطه تابع است f(ایکس) سپس در فاصله تا ایکس1 عملکرد افزایش می یابد ، بنابراین مشتق تابع بزرگتر از صفر است ( f "(ایکس)\u003e 0) و در فاصله بعد ایکس1 عملکرد کاهش می یابد ، بنابراین ، و مشتق یک تابع کمتر از صفر ( f "(ایکس) < 0 ). Тогда в точке ایکس1

اجازه دهید ما نیز فرض کنیم که نکته ایکس2 حداقل نقطه تابع است f(ایکس) سپس در فاصله تا ایکس2 تابع کاهش می یابد ، و مشتق تابع کمتر از صفر است ( f "(ایکس) < 0 ), а в интервале после ایکس2 تابع افزایش می یابد ، و مشتق تابع بزرگتر از صفر است ( f "(ایکس)\u003e 0). در این مورد ، همچنین در نقطه ایکس2 مشتق تابع صفر است یا وجود ندارد.

قضیه فرما (یک معیار ضروری برای وجود یک حد شدید از یک تابع)... اگر نقطه ایکس0 - نقطه extremeum از عملکرد f(ایکس) ، سپس در این مرحله مشتق تابع برابر است با صفر ( f "(ایکس) \u003d 0) یا وجود ندارد.

تعریف... به نقاطی که مشتق یک تابع صفر است یا وجود ندارد گفته می شود نقاط بحرانی .

مثال 1 بیایید یک تابع را در نظر بگیریم.

در نقطه ایکس \u003d 0 ، مشتق تابع صفر است ، بنابراین ، نقطه است ایکس \u003d 0 نقطه بحرانی است. با این حال ، همانطور که در نمودار عملکرد مشاهده می شود ، در کل دامنه تعریف افزایش می یابد ، بنابراین نکته ایکس \u003d 0 نقطه افراطی این عملکرد نیست.

بنابراین ، شرایطی که مشتق یک تابع در یک نقطه برابر با صفر باشد یا وجود نداشته باشد ، شرایط لازم برای یک افراط است ، اما کافی نیست ، زیرا می توان مثالهای دیگری از توابع را که این شرایط برای آنها برآورده می شود ، ارائه کرد ، اما این تابع در نقطه مربوطه دارای افراط نیست. از این رو شما باید علائم کافی داشته باشید، اجازه می دهد تا قضاوت شود که آیا در یک نقطه حساس خاص افراطی وجود دارد و کدام یک حداکثر یا حداقل است.

قضیه (اولین معیار کافی برای وجود یک حد تابع از یک تابع). نقطه بحرانی ایکس0 f(ایکس) ، اگر مشتق تابع هنگام عبور از این نقطه علامت را تغییر دهد و اگر علامت از "به اضافه" به "منفی" تغییر کند ، حداکثر نقطه و اگر از "منفی" به "بعلاوه" ، سپس حداقل نقطه.

اگر نزدیک نقطه است ایکس0 ، در سمت چپ و راست آن ، مشتق علامت خود را حفظ می کند ، سپس این بدان معنی است که این تابع یا فقط در برخی از محله های نقطه کاهش می یابد یا فقط افزایش می یابد ایکس0 ... در این حالت ، در نقطه ایکس0 هیچ افراطی وجود ندارد

بنابراین، برای تعیین نقاط شدید عملکرد ، باید موارد زیر را انجام دهید :

1. مشتق تابع را پیدا کنید.
2. مشتق را صفر کنید و نقاط بحرانی را تعیین کنید.
3. نقاط بحرانی را روی محور عددی به صورت ذهنی یا کاغذی علامت گذاری کرده و علائم مشتق تابع را در فواصل بدست آمده تعیین کنید. اگر علامت مشتق از "به اضافه" به "منفی" تغییر کند ، آنگاه نقطه بحرانی حداکثر نقطه و اگر از "منفی" به "بعلاوه" باشد ، حداقل نقطه است.
4. مقدار تابع را در نقاط انتهایی محاسبه کنید.

مثال 2 موارد اضافی یک تابع را پیدا کنید .

تصمیم گیری بیایید مشتق تابع را پیدا کنیم:

اجازه دهید مشتق را صفر کنیم تا نقاط مهم را پیدا کنیم:

.

از آنجا که برای هر مقدار از "x" مخرج صفر نیست ، ما عدد را برابر صفر می کنیم:

یک نکته مهم داشتید ایکس \u003d 3 بگذارید علامت مشتق را در فواصل مشخص شده توسط این نقطه تعیین کنیم:

در محدوده منهای بی نهایت تا 3 - علامت منهای ، یعنی عملکرد کاهش می یابد ،

در محدوده 3 به علاوه بی نهایت - علامت بعلاوه ، یعنی عملکرد افزایش می یابد.

یعنی اشاره کنید ایکس \u003d 3 حداقل امتیاز است.

بیایید مقدار تابع را در حداقل نقطه پیدا کنیم:

بنابراین ، نقطه انتهایی عملکرد یافت می شود: (3؛ 0) ، و آن حداقل نقطه است.

قضیه (دومین معیار کافی برای وجود یک حد تند از یک تابع). نقطه بحرانی ایکس0 نقطه Extreme عملکرد است f(ایکس) اگر مشتق دوم تابع در این نقطه صفر نباشد ( f ""(ایکس) ≠ 0) ، و اگر مشتق دوم بزرگتر از صفر باشد ( f ""(ایکس)\u003e 0) ، حداکثر نقطه ، و اگر مشتق دوم کمتر از صفر باشد ( f ""(ایکس) < 0 ), то точкой минимума.

نکته 1. اگر در نقطه باشد ایکس0 مشتقات اول و دوم ناپدید می شوند ، بنابراین در این مرحله قضاوت در مورد وجود یک افراط بر اساس ویژگی کافی دوم غیرممکن است. در این حالت ، شما باید از اولین نشانگر کافی عملکرد شدید استفاده کنید.

نکته 2. دومین معیار کافی برای extremeum یک تابع نیز قابل اجرا نیست اگر مشتق اول در نقطه ثابت وجود نداشته باشد (در نتیجه مشتق دوم نیز وجود ندارد). در این حالت ، استفاده از اولین شاخص کافی برای عملکرد شدید نیز ضروری است.

شخصیت محلی افراط در عملکرد

از تعاریف فوق نتیجه می شود که extremeum یک تابع دارای یک شخصیت محلی است - این بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع در مقایسه با نزدیکترین مقادیر است.

فرض کنید در یک بازه یک ساله به دنبال درآمد خود هستید. اگر در ماه مه 45000 روبل ، و در آوریل 42000 روبل و در ژوئن 39000 روبل درآمد کسب کرده اید ، پس درآمد ماه مه در مقایسه با نزدیکترین مقادیر حداکثر عملکرد درآمد است. اما در ماه اکتبر 71000 روبل ، در سپتامبر 75000 روبل و در نوامبر 74000 روبل درآمد کسب کردید ، بنابراین درآمد اکتبر حداقل عملکرد درآمد در مقایسه با مقادیر نزدیک است. و به راحتی می بینید که حداکثر در بین مقادیر آوریل-مه-ژوئن کمتر از حداقل سپتامبر-اکتبر-نوامبر است.

به طور کلی ، یک تابع می تواند چندین مورد اضافی در این بازه داشته باشد ، و ممکن است معلوم شود که حداقل تابع از هر حداکثر بیشتر است. بنابراین ، برای عملکرد نشان داده شده در شکل بالا ،.

یعنی نباید فکر کرد که حداکثر و حداقل یک تابع به ترتیب بزرگترین و کوچکترین مقادیر آن در کل بازه در نظر گرفته شده هستند. در حداکثر نقطه ، تابع فقط در مقایسه با مقادیری که در همه نقاط به اندازه کافی نزدیک به نقطه ماکزیمم دارد بیشترین مقدار را دارد و در حداقل نقطه نیز در مقایسه با مقادیری که در تمام نقاط نزدیک دارد ، کمترین مقدار را دارد به حداقل نقطه

بنابراین می توان مفهوم فوق را در مورد نقاط انتهایی یک تابع روشن کرد و حداقل نقاط را حداقل نقاط محلی و حداکثر نقاط را حداکثر نقاط محلی خواند.

به دنبال موارد اضافی یک عملکرد با هم هستیم

مثال 3

راه حل: تابع در کل خط عدد تعریف شده و مداوم است. مشتق آن در کل خط اعداد نیز وجود دارد. بنابراین ، در این حالت ، نقاط مهم فقط مواردی هستند که در آنها ، یعنی ، از کجا و نقاط بحرانی و کل حوزه عملکرد را به سه بازه یکنواختی تقسیم کنید:. بیایید در هر یک از آنها یک نقطه کنترل انتخاب کنیم و علامت مشتق را در این نقطه پیدا کنیم.

برای فاصله ، نقطه کنترل می تواند این باشد: با گرفتن یک نقطه در فاصله ، می گیریم و با گرفتن یک امتیاز در فاصله ، باید داشته باشیم. بنابراین ، در فواصل و ، و در فاصله. با توجه به اولین معیار کافی برای extremeum ، در نقطه Extremum وجود ندارد (از آنجا که مشتق نشانه خود را در این بازه حفظ می کند) و در نقطه عملکرد تابع حداقل دارد (از آنجا که مشتق هنگام عبور از این نقطه علامت را از منفی به مثبت تغییر می دهد). بیایید مقادیر متناظر تابع را پیدا کنیم: ، و. در این بازه ، تابع کاهش می یابد ، همانطور که در این فاصله وجود دارد و در این بازه ، مانند این بازه ، افزایش می یابد.

برای روشن ساختن نمودار ، نقاط تلاقی آن با محورهای مختصات را پیدا خواهیم کرد. زیرا ، ما معادله ای را بدست می آوریم که ریشه آن باشد و به عنوان مثال دو نقطه (0؛ 0) و (4؛ 0) نمودار تابع پیدا می شود. با استفاده از تمام اطلاعات به دست آمده ، گرافیکی را ایجاد می کنیم (به ابتدای مثال مراجعه کنید).

برای بررسی خودکار هنگام محاسبات ، می توانید استفاده کنید ماشین حساب مشتق آنلاین .

مثال 4موارد اضافی تابع را پیدا کرده و نمودار آن را بسازید.

دامنه تابع کل خط عدد است ، به جز نقطه ، یعنی ...

برای بررسی کاهش می توان از این واقعیت استفاده کرد که این عملکرد یکنواخت است ... بنابراین نمودار آن در مورد محور متقارن است اوه و اکتشاف فقط برای یک بازه زمانی قابل انجام است.

مشتق را پیدا کنید و نقاط حساس تابع:

1) ;

2) ,

اما عملکرد در این مرحله شکسته می شود ، بنابراین نمی تواند یک نقطه افراط باشد.

بنابراین ، تابع داده شده دارای دو نقطه مهم است: و. با در نظر گرفتن برابری عملکرد ، اجازه دهید فقط با توجه به معیار دوم کافی از حد شدید ، نقطه را بررسی کنیم. برای این ، مشتق دوم را پیدا می کنیم و علامت آن را در تعریف کنید: می گیریم. از آنجا که ، و سپس حداقل نقطه عملکرد است ، در حالی که .

برای بدست آوردن تصویر کامل تر از نمودار یک تابع ، بیایید رفتار آن را در مرزهای حوزه تعریف بشناسیم:

(در اینجا نماد نشان دهنده میل است ایکس به صفر در سمت راست ، و ایکس مثبت باقی می ماند؛ به همین ترتیب به معنای آرزو است ایکس در سمت چپ به صفر ، و ایکس منفی باقی می ماند). بنابراین ، اگر ، پس علاوه بر این ،

,

آنهایی که اگر پس از آن.

نمودار عملکرد هیچ نقطه تلاقی با محورها ندارد. تصویر در ابتدای مثال است.

برای بررسی خودکار هنگام محاسبات ، می توانید استفاده کنید ماشین حساب مشتق آنلاین .

ما با هم به جستجوی موارد اضافی عملکرد می پردازیم

مثال 8موارد اضافی عملکرد را پیدا کنید.

تصمیم گیری بیایید دامنه عملکرد را پیدا کنیم. از آنجا که نابرابری باید ادامه داشته باشد ، از آنچه بدست می آوریم.

بیایید اولین مشتق تابع را پیدا کنیم.

عملکرد و مطالعه ویژگی های آن یکی از فصل های اصلی در ریاضیات مدرن است. م componentلفه اصلی هر تابع نمودارهایی است که نه تنها خصوصیات آن ، بلکه پارامترهای مشتق این تابع را نیز نشان می دهد. بیایید نگاهی به این موضوع دشوار بیندازیم. بنابراین بهترین راه برای جستجوی حداکثر و حداقل نقاط یک تابع چیست؟

عملکرد: تعریف

هر متغیری که به نوعی به مقادیر کمیت دیگر بستگی داشته باشد را می توان یک تابع نامید. به عنوان مثال ، تابع f (x 2) درجه دوم است و مقادیر کل مجموعه x را تعیین می کند. بگذارید بگوییم که x \u003d 9 ، سپس مقدار تابع ما 9 2 \u003d 81 خواهد بود.

توابع به اشکال بسیار متنوعی ارائه می شوند: منطقی ، برداری ، لگاریتمی ، مثلثاتی ، عددی و غیره. ذهن برجسته ای مانند لاکروا ، لاگرانژ ، لایب نیتس و برنولی درگیر مطالعه خود بودند. نوشته های آنها به عنوان یک پایه اصلی در روش های مدرن مطالعه عملکردها عمل می کند. قبل از یافتن حداقل نکته ، مهم است که معنی خود تابع و مشتق آن را درک کنید.

مشتق و نقش آن

همه توابع به مقادیر متغیر خود وابسته هستند ، به این معنی که آنها می توانند در هر زمان مقدار خود را تغییر دهند. روی نمودار ، این به صورت یک منحنی نشان داده می شود که یا پایین می رود یا در امتداد مختصر بالا می رود (این مجموعه کل اعداد "y" در امتداد عمود نمودار است). بنابراین در اینجا تعریف عملکرد حداکثر و حداقل نقاط دقیقاً به دلیل همین "ارتعاشات" آمده است. بگذارید توضیح دهیم این رابطه چیست.

مشتق هر تابعی برای بررسی خصوصیات اصلی آن و محاسبه سرعت تغییر عملکرد (برای مثال تغییر مقدار آن بسته به متغیر "x") بر روی نمودار رسم می شود. در لحظه افزایش تابع ، نمودار مشتق آن نیز افزایش می یابد ، اما در هر ثانیه ممکن است تابع شروع به کاهش کند و سپس نمودار مشتق کاهش می یابد. به نقاطی که مشتق از علامت منهای به مثبت می رود حداقل نقاط گفته می شود. برای اینکه بدانید چگونه حداقل امتیازها را پیدا کنید ، باید بهتر درک کنید

چگونه مشتق را محاسبه کنم؟

تعریف و تابع متضمن مفاهیم مختلفی است به طور كلی ، تعریف كامل مشتق را می توان به صورت زیر بیان كرد: این مقداری است كه میزان تغییر تابع را نشان می دهد.

روش ریاضی تعریف آن برای بسیاری از دانشجویان دشوار به نظر می رسد ، اما در واقع همه چیز بسیار ساده تر است. شما فقط باید برای یافتن مشتق هر تابعی از برنامه استاندارد پیروی کنید. در زیر توضیح داده شده است که چگونه می توانید حداقل نقطه یک تابع را بدون اعمال قوانین تمایز و بدون حفظ جدول مشتقات پیدا کنید.

1. می توانید مشتق یک تابع را با استفاده از نمودار محاسبه کنید. برای انجام این کار ، شما باید خود تابع را به تصویر بکشید ، سپس یک نقطه بر روی آن بگیرید (نقطه A در شکل). یک خط را به صورت عمودی به پایین به محور ابسکسیا رسم کنید (نقطه x 0) ، و در نقطه A یک خط مماس به نمودار تابع رسم کنید. محور ابسسیسا و شکل یک زاویه خط مماس a. برای محاسبه سرعت افزایش عملکرد ، محاسبه مماس زاویه a لازم است.
2. به نظر می رسد که مماس زاویه بین مماس و جهت محور x مشتق تابع در یک بخش کوچک با نقطه A است. این روش یک روش هندسی برای تعیین مشتق در نظر گرفته می شود.

روشهای تحقیق در مورد عملکرد

در برنامه درسی ریاضیات مدرسه ، یافتن حداقل نقطه یک تابع از دو طریق امکان پذیر است. روش اول با استفاده از گرافیک است ، ما قبلاً بحث کردیم ، و چگونه مقدار عددی مشتق را تعیین کنیم؟ برای این کار ، شما باید چندین فرمول را بیاموزید که خصوصیات مشتق را توصیف می کند و به تبدیل متغیرهایی مانند "x" به اعداد کمک می کند. روش زیر جهانی است ، بنابراین می توان آن را تقریباً در انواع توابع (هندسی و لگاریتمی) اعمال کرد.

1. لازم است که تابع را با تابع مشتق برابر کنیم و سپس با استفاده از قوانین تمایز ، عبارت را ساده کنیم.
2. در بعضی موارد ، وقتی تابعی داده می شود که متغیر "x" در مقسوم علیه است ، لازم است دامنه مقادیر قابل قبول را تعیین کنید ، از "0" نقطه آن جدا کنید (به همین دلیل ساده که در ریاضیات به هیچ وجه نمی توانید بر صفر تقسیم کنید).
3. پس از آن ، شما باید شکل اصلی تابع را به یک معادله ساده تبدیل کنید ، کل عبارت را به صفر برسانید. به عنوان مثال ، اگر تابع به این شکل بود: f (x) \u003d 2x 3 + 38x ، بنابراین طبق قوانین تمایز مشتق آن f "(x) \u003d 3x 2 +1 است. سپس این عبارت را به یک معادله از شکل زیر تبدیل می کنیم: 3x 2 +1 \u003d 0 ...
4. پس از حل معادله و یافتن نقاط "x" ، باید آنها را در محور ابسیسا بکشید و تعیین کنید که آیا مشتق در این مناطق بین نقاط مشخص شده مثبت است یا منفی. پس از تعیین مشخص خواهد شد که در چه نقطه ای تابع شروع به کاهش می کند ، یعنی نشانه خود را از منفی به عکس تغییر می دهد. به این ترتیب می توانید هم حداقل و هم حداکثر امتیاز را پیدا کنید.

قوانین تمایز

اساسی ترین م componentلفه در مطالعه عملکرد و مشتق آن - دانش قوانین تمایز. فقط با کمک آنها می توان عبارات حجیم و عملکردهای پیچیده بزرگ را تغییر داد. بیایید با آنها آشنا شویم ، تعداد کمی از آنها وجود دارد ، اما همه آنها به دلیل خواص طبیعی توابع قدرت و لگاریتمی بسیار ساده هستند.

1. مشتق هر ثابت صفر است (f (x) \u003d 0). یعنی مشتق f (x) \u003d x 5 + x - 160 به شکل زیر در می آید: f "(x) \u003d 5x 4 +1.
2. مشتق از جمع دو اصطلاح: (f + w) "\u003d f" w + fw ".
3. مشتق یک تابع لگاریتمی: (log a d) "\u003d d / ln a * d. این فرمول برای انواع لگاریتم ها اعمال می شود.
4. درجه مشتق: (x n) "\u003d n * x n-1. به عنوان مثال ، (9x 2)" \u003d 9 * 2x \u003d 18x.
5. مشتق یک تابع سینوسی: (sin a) "\u003d cos a. اگر گناه زاویه a 0.5 باشد ، مشتق آن /3 / 2 است.

امتیازات افراطی

ما قبلاً فهمیدیم که چگونه حداقل نقاط را پیدا کنیم ، اما یک مفهوم از حداکثر نقاط یک تابع نیز وجود دارد. اگر حداقل نقاطی را نشان می دهد که در آن تابع از علامت منفی به بعلاوه عبور می کند ، حداکثر نقاط آن نقاطی از محور ابشسی هستند که در آن مشتق تابع از جمع به مخالف تغییر می کند - منهای.

می توانید آن را با روشی که در بالا توضیح داده شد پیدا کنید ، اما باید در نظر گرفته شود که آنها بخشهایی را نشان می دهند که در آنها عملکرد شروع به کاهش می کند ، یعنی مشتق کمتر از صفر است.

در ریاضیات ، معمول است كه هر دو مفهوم را تعمیم داده و عبارت "نقاط فوق العاده" را جایگزین آنها كنیم. وقتی وظیفه برای تعیین این نقاط درخواست می کند ، به این معنی است که لازم است مشتق این تابع را محاسبه کرده و حداقل و حداکثر نقاط را پیدا کنید.

تابع y \u003d f (x) را در نظر بگیرید ، که در فاصله (a ، b) درمان می شود.

اگر ممکن است یک محله b از نقطه x1 متعلق به فاصله (a ، b) نشان داده شود به طوری که برای همه x (x1 ، b) ، نابرابری f (x1)\u003e f (x) برقرار باشد ، y1 \u003d f1 (x1) نامیده می شود حداکثر عملکرد y \u003d f (x) شکل را ببینید

حداکثر عملکرد y \u003d f (x) تا obonachim max f (x). اگر بتوانید یک محله b از نقطه x2 متعلق به فاصله (a ، b) مشخص کنید ، به طوری که برای تمام x متعلق به O (x2 ، 6) ، x برابر با x2 نباشد ، نابرابری f (x2)< f(x) ، سپس y2 \u003d f (x2) حداقل تابع y-f (x) نامیده می شود (شکل را ببینید).

برای نمونه ای از یافتن حداکثر ، به فیلم زیر مراجعه کنید.

حداقل عملکرد

حداقل تابع y \u003d f (x) نشان دهنده حداقل f (x) است. به عبارت دیگر، حداکثر یا حداقل عملکرد y \u003d f (x) نامیده می شودمقدار آن ، که بزرگتر (کمتر) از تمام مقادیر دیگر است که در نقاط کاملاً نزدیک به یک مقدار داده شده و متفاوت از آن است.

یادداشت 1 حداکثر عملکردتعریف شده توسط نابرابری حداکثر سخت است حداکثر شل تعریف شده توسط نابرابری f (x1)\u003e \u003d f (x2)

یادداشت 2 ماهیت محلی دارند (این بزرگترین و کوچکترین مقادیر عملکرد در یک محله به اندازه کافی کوچک از نقطه مربوطه هستند) ؛ حداقل های جداگانه یک تابع ممکن است بزرگتر از حداکثر همان تابع باشد

در نتیجه ، حداکثر (حداقل) تابع فراخوانی می شود حداکثر محلی(حداقل محلی) در مقابل حداکثر مطلق (حداقل) - بزرگترین (کوچکترین) مقدار در دامنه عملکرد.

حداکثر و حداقل یک تابع را extremeum می نامند ... افراط در جستجو برای رسم توابع

لاتین extremeum به معنای "شدید" است ارزش. مقدار آرگومان x که در آن حد افراط حاصل می شود را نقطه افراط می نامند. شرط لازم برای یک حالت افراطی با قضیه زیر بیان می شود.

قضیه... تابع قابل تفکیک نقطه extremeum و مشتق آن صفر است.

این قضیه یک معنای هندسی ساده دارد: مماس نمودار نمودار تابع قابل تفکیک در نقطه مربوطه با محور Ox موازی است