թվերը եռանկյունաչափական տեսքով:
Moivre բանաձեւը
Եկեք թող z 1 \u003d r 1 (cos 1 + isin 1) և z 2 \u003d r 2 (cos 2 + isin 2):
Բարդ համարի նշման եռանկյունաչափական ձևը հարմար է բազմապատկման, բաժանման, ամբողջ ուժի բարձրացման և n հզորության արմատը հանելու գործողությունները կատարելու համար:
z 1 ∙ z 2 \u003d r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 + 2) + i sin ( 1 + 2)):
Երկու բարդ թվեր բազմապատկելիս եռանկյունաչափական տեսքով դրանց մոդուլները բազմապատկվում են և ավելացվում են փաստարկները: Բաժանելիս դրանց մոդուլները բաժանվում են և փաստարկները հանվում:
Բարդ թիվը բազմապատկելու կանոնի հետևանքը բարդ թիվը ուժի հասցնելու կանոնն է:
z \u003d r (cos + i sin):
z n \u003d r n (cos n + isin n):
Այս հարաբերակցությունը կոչվում է moivre բանաձևով:
Օրինակ 8.1 Գտեք արտադրանքը և գործակիցը.
և 
Որոշում
z 1 ∙ z 2 
∙
=
;
Օրինակ 8.2 Գրի՛ր մի շարք եռանկյունաչափական տեսքով
∙
–Ի) 7.
Որոշում
Նշում ենք 
և z 2 \u003d 
- ես
r 1 \u003d | z 1 | \u003d √ 1 2 + 1 2 \u003d √ 2; 1 \u003d arg z 1 \u003d արկտան 
;
z 1 \u003d 
;
r 2 \u003d | z 2 | \u003d √ (√ 3) 2 + (- 1) 2 \u003d 2; 2 \u003d arg z 2 \u003d արկտան 
;
z 2 \u003d 2 
;
z 1 5 \u003d ( 
) 5 
; z 2 7 \u003d 2 7 
z \u003d ( 
) 5 2 7 
=
2 9 
§ 9 Բարդ թվից արմատ հանելը
Սահմանում Արմատն-բարդ թվի ուժը z (նշել 
) w բարդ թիվ է, որ w n \u003d z: Եթե \u200b\u200bz \u003d 0, ապա 
= 0.
Եկեք z 0, z \u003d r (cos + isin): Մենք նշում ենք w \u003d (cos + sin), ապա w n \u003d z հավասարումը կարող է գրվել հետևյալ ձևով
n (cos (n ) + isin (n )) \u003d r (cos + isin):
Հետևաբար n \u003d r,
=
Այսպիսով, w k \u003d 
·
.
Այս արժեքների մեջ կան ուղիղ n տարբեր արժեքներ:
Հետեւաբար, k \u003d 0, 1, 2,…, n - 1:
Բարդ հարթության վրա այս կետերը սովորական n-gon- ի գագաթներն են, որոնք գրված են շառավղով շրջանագծի մեջ 
կենտրոնացած է O կետում (Նկար 12):
Նկար 12
Օրինակ 9.1Գտեք բոլոր արժեքները 
.
Որոշում:
Եկեք ներկայացնենք այս թիվը եռանկյունաչափական տեսքով: Եկեք գտնենք դրա մոդուլն ու փաստարկը:
w k \u003d 
, որտեղ k \u003d 0, 1, 2, 3:
w 0 \u003d 
.
w 1 \u003d 
.
w 2 \u003d 
.
w 3 \u003d 
.
Բարդ հարթության վրա այս կետերը շառավղով շրջանագծի վրա գրված քառակուսի գագաթներն են 
կենտրոնացված է ծագման վայրում (Նկար 13):
Նկար 13 Նկար 14
Օրինակ 9.2Գտեք բոլոր արժեքները 
.
Որոշում:
z \u003d - 64 \u003d 64 (cos + isin);
w k \u003d 
, որտեղ k \u003d 0, 1, 2, 3, 4, 5:
w 0 \u003d 
; w 1 \u003d 
;
w 2 \u003d 
w 3 \u003d 
w 4 \u003d 
; w 5 \u003d 
.
Բարդ հարթության վրա այս կետերը սովորական վեցանկյունի գագաթներն են, որոնք գրված են 2 շառավղի օղակում, կենտրոնացած O կետում (0; 0) - Նկար 14:
§ 10 Բարդ թվի ցուցիչ ձև:
Օյլերի բանաձեւը
Նշում ենք 
\u003d cos + isin և 
\u003d cos - isin: Այս հարաբերությունները կոչվում են Օյլերի բանաձեւերը .
Գործառույթը 
տիրապետում է սովորական ցուցիչ գործառույթի հատկություններին.
Թող z բարդ թիվը գրվի z \u003d r եռանկյունաչափական տեսքով (cos + isin):
Օգտագործելով Օյլերի բանաձեւը ՝ կարող եք գրել.
z \u003d r 
.
Այս գրառումը կոչվում է օրինակելի բարդ թիվ: Օգտագործելով այն, մենք ստանում ենք բազմապատկման, բաժանման, արտահայտման և արմատների արդյունահանման կանոններ:
Եթե \u200b\u200bz 1 \u003d r 1 
և z 2 \u003d r 2 
ապա
z 1 z 2 \u003d r 1 r 2 
;
·
z n \u003d r n 
, որտեղ k \u003d 0, 1,…, n - 1:
Օրինակ 10.1 Գրիր համարը հանրահաշվական տեսքով
z \u003d 
.
Որոշում:
Օրինակ 10.2Լուծեք z 2 + (4 - 3i) z + 4 - 6i \u003d 0 հավասարումը:
Որոշում:
Complexանկացած բարդ գործակիցների համար այս հավասարումը ունի երկու արմատ z 1 և z 1 (հնարավոր է համընկնող): Այս արմատները կարելի է գտնել օգտագործելով նույն բանաձևը, ինչ իրական դեպքում: Ինչպես 
վերցնում է երկու արժեք, որոնք տարբերվում են միայն նշանից, ապա այս բանաձևն ունի ձև.
Քանի որ –9 \u003d 9 · e i, ապա արժեքները 
կլինեն թվեր.
Հետո 
և 
.
|
Օրինակ 10.3Լուծել z 3 +1 \u003d 0 հավասարումները; z 3 \u003d - 1: |
Որոշում:
Հավասարության որոնվող արմատները կլինեն արժեքները 
.
Z \u003d –1 – ի համար մենք ունենք r \u003d 1, arg (–1) \u003d:
w k \u003d 
, k \u003d 0, 1, 2:
Ercորավարժություններ
9 Ներկայացրե՛ք համարները.
|
բ) |
դ) |
+ ես;
.10 Գրիր թվերը ցուցիչ և հանրահաշվական ձևերով.
|
ա) |
մեջ) |
|
բ) |
դ) 7 (cos0 + isin0): |
11 Գրիր թվերը հանրահաշվական և երկրաչափական ձևերով.
|
ա) |
բ) |
մեջ) |
դ) |
12 Տրված թվեր 
Դրանք օրինակելի տեսքով ներկայացնելով ՝ գտեք 
.
13 Օգտագործելով բարդ թվի ցուցիչ ձևը, վարվեք հետևյալ կերպ.
ա) 
բ) 
մեջ) 
դ) 
|
ե) |
|
|
|
|
.սկսած և բնական թիվը ն 2 .
Կոմպլեքս համար Z կոչված արմատն– գ, եթե Z ն = գ.
Գտեք բոլոր արմատային արժեքները ն–
բարդ թվի ուժը սկսած... Թող գ=|
գ|·(կոս
Արգ
գ+
ես·
մեղք
Արգ ից),ա
Z
= |
Z| · (Հետօս
Արգ
Z
+
ես·
մեղք
Արգ
Z)
որտեղ Z արմատ ն-
բարդ թվի ուժը սկսած... Հետո պետք է լինի
=
գ
= |
գ|·(կոս
Արգ
գ+
ես·
մեղք
Արգ ից)... Հետևաբար, դրան հետեւում է 
և ն·
Արգ
Z
=
Արգ սկսած 
Արգ
Z
=
(կ=0,
1,…)
... Հետևաբար, Z
=
(կոս
+
ես·
մեղք
),
(կ=0,
1,…)
... Հեշտ է տեսնել, որ արժեքներից որևէ մեկը
,
(կ=0,
1,…)
տարբերվում է համապատասխան արժեքներից մեկից
,(կ
= 0,1,…,
ն-1)
բազմապատիկով 2π... Հետեւաբար, (կ
= 0,1,…,
ն-1)
.
Օրինակ.
Հաշվիր (-1) -ի արմատը.
ակնհայտորեն |-1|
= 1,
փաստարկել
(-1) =
π
-1 \u003d 1 (կոս π + ես· մեղք π )
,
(k \u003d 0, 1):
=
ես
Դիպլոմ `կամայական ռացիոնալ արտահայտիչով
Վերցրեք կամայական բարդ թիվ սկսած... Եթե ն բնական թիվը, ուրեմն սկսած ն
= |
գ|
ն · (Սկսածօս
nArg գ +ես·
մեղք
nArg ից)(6) Այս բանաձեւը ճիշտ է նաև գործի մեջ ն
= 0
(s ≠ 0)
... Թող ն
< 0
և ն
Z և s ≠ 0 ապա
սկսած ն
=
(cos nArg)սկսած+ i sin nArgսկսած)
=
(cos nArg)սկսած + i sin nArgսկսած)
... Այսպիսով, (6) բանաձեւը ուժի մեջ է ցանկացածի համար ն.
Վերցրեք ռացիոնալ թիվ 
որտեղ q բնական թիվը, և Ռ ամբողջական է
Հետո տակ աստիճան
գ ռ մենք կհասկանանք թիվը 
.
Մենք դա ստանում ենք ,
(կ = 0, 1, …, q-1). Այս արժեքները q կտորներ, եթե կոտորակը չեղյալ չի հայտարարվում:
Դասախոսություն թիվ 3 Բարդ թվերի հաջորդականության սահմանը
Բնական փաստարկի բարդ գնահատված գործառույթը կոչվում է բարդ թվերի հաջորդականությունև նշվում է (սկսած ն ) կամ սկսած 1 , սկսած 2 , ..., - ից ն . սկսած ն \u003d ա ն + բ ն · ես (ն = 1,2, ...) բարդ թվեր:
սկսած 1 , սկսած 2 ,… Հաջորդականության անդամներն են; սկսած ն - ընդհանուր տերմին
Կոմպլեքս համար սկսած
=
ա+
բ·
ես կոչված բարդ թվերի հաջորդականության սահմանը (գ ն )
որտեղ սկսած ն
\u003d ա ն +
բ ն ·
ես
(ն
= 1, 2, …)
որտեղ ցանկացածի համար 
դա բոլորի համար ն
>
Ն անհավասարությունը պահում է 
... Կոչվում է մի հաջորդականություն, որն ունի վերջավոր սահման մերձենալով հաջորդականություն.
Թեորեմ
Բարդ թվերի հաջորդականության համար (հետ ն ) (սկսած ն \u003d ա ն + բ ն · ես) միաձուլվեց մի համարի հետ = ա+ բ· ես, անհրաժեշտ է և բավարար, որ հավասարությունըլիմ ա ն = ա, լիմ բ ն = բ.
Ապացույցներ
Մենք թեորեմը կապացուցենք ՝ հիմնվելով հետևյալ ակնհայտ կրկնակի անհավասարության վրա
որտեղ Z
=
x
+
յ·
ես
(2)
Անհրաժեշտություն Թող լիմ (սկսած ն ) \u003d հետ... Եկեք ցույց տանք, որ հավասարությունները լիմ ա ն = ա և լիմ բ ն = բ (3).
Ակնհայտ է (4)
Ինչպես 
երբ ն
→ ∞
, ապա անհավասարության ձախ կողմից (4) հետեւում է, որ 
և 
երբ ն
→ ∞
... հետեւաբար, հավասարությունները (3) պահում են: Անհրաժեշտությունն ապացուցված է:
Համարժեքությունը: Հիմա թող հավասարությունները (3) պահեն: Հավասարությունից (3) հետեւում է, որ 
և 
երբ ն
→ ∞
, հետեւաբար, անհավասարության աջ կողմի ուժով (4), 
երբ ն→∞
նշանակում է լիմ(սկսած ն ) \u003d հետ... Բավարարությունն ապացուցված է:
Այսպիսով, բարդ թվերի հաջորդականության մերձեցման հարցը համարժեք է երկու իրական թվերի հաջորդականությունների կոնվերգենցիային. Հետևաբար, իրական թվերի հաջորդականությունների սահմանների բոլոր հիմնական հատկությունները վերաբերում են բարդ թվերի հաջորդականությանը:
Օրինակ, բարդ թվերի հաջորդականությունների համար Կոշի չափանիշը վավեր է. որպեսզի բարդ թվերի հաջորդականություն (հետ ն ) միանում է, անհրաժեշտ է և բավարար, որ ցանկացածի համար 
դա ցանկացածի համարն,
մ
>
Ն անհավասարությունը պահում է 
.
Թեորեմ
Թող բարդ թվերի հաջորդականություն (հետ ն ) և (զ ն ) համապատասխանաբար համընկնում են c- ի ևզ, ապա հավասարությունըլիմ(սկսած ն
զ ն )
=
գ 
զ,
լիմ(սկսած ն ·
զ ն )
=
գ·
զ... Եթե \u200b\u200bհաստատ հայտնի է, որզ հավասար չէ 0-ին, ապա հավասարությունը 
.
Բեռնվում է ...