Ֆունկցիան և դրա առանձնահատկությունների ուսումնասիրությունը զբաղեցնում են ժամանակակից մաթեմատիկայի առանցքային գլուխներից մեկը: Functionանկացած գործառույթի հիմնական բաղադրիչը գծապատկերներն են, որոնք պատկերում են ոչ միայն դրա հատկությունները, այլև այս ֆունկցիայի ածանցյալի պարամետրերը: Եկեք նայենք այս բարդ թեմային: Այսպիսով, ո՞րն է գործառույթի առավելագույն և նվազագույն միավորներ փնտրելու լավագույն միջոցը:
Ֆունկցիան. Սահմանում
Variableանկացած փոփոխական, որը ինչ-որ կերպ կախված է մեկ այլ մեծության արժեքներից, կարելի է անվանել ֆունկցիա: Օրինակ, f (x 2) ֆունկցիան քառակուսային է և որոշում է x ամբողջ բազմության արժեքները: Ասենք, որ x \u003d 9, ապա մեր ֆունկցիայի արժեքը կլինի 9 2 \u003d 81:
Գործառույթները լինում են տարբեր ձևերով ՝ տրամաբանական, վեկտորային, լոգարիթմական, եռանկյունաչափական, թվային և այլ: Լակրուան, Լագրանժը, Լայբնիցը և Բեռնուլին, այնպիսի կարկառուն մտքեր էին զբաղվում իրենց ուսումնասիրությամբ: Նրանց գրությունները պատվար են ծառայում գործառույթների ուսումնասիրման ժամանակակից ձևերում: Նվազագույն միավորներ գտնելուց առաջ շատ կարևոր է հասկանալ գործառույթի և դրա ածանցյալի բուն իմաստը:
Ածանցյալը և դրա դերը
Բոլոր գործառույթները կախված են դրանց փոփոխական արժեքներից, ինչը նշանակում է, որ նրանք ցանկացած պահի կարող են փոխել իրենց արժեքը: Գրաֆիկի վրա սա կպատկերվի որպես կորի, որը կամ իջնում \u200b\u200bէ, կամ բարձրանում է կոորդինատի երկայնքով (սա գծապատկերի ուղղահայացով «y» թվերի ամբողջ բազմությունն է): Այսպիսով, ֆունկցիայի առավելագույն և նվազագույն կետի սահմանումը պարզապես կապված է այս «տատանումների» հետ: Եկեք բացատրենք, թե ինչ է այս հարաբերությունը:
Functionանկացած ֆունկցիայի ածանցյալը գծագրվում է գրաֆիկի վրա, որպեսզի ուսումնասիրի դրա հիմնական բնութագրերը և հաշվարկի, թե որքան արագ է գործառույթը փոխվում (այսինքն ՝ փոխում է դրա արժեքը ՝ կախված «x» փոփոխականից): Այն պահին, երբ ֆունկցիան ավելանում է, դրա ածանցյալի գրաֆիկը նույնպես կբարձրանա, բայց ցանկացած վայրկյան ֆունկցիան կարող է սկսել նվազել, այնուհետև ածանցյալի գրաֆիկը կնվազի: Այն կետերը, որոնցում ածանցյալը մինուս նշանից անցնում է գումարած, կոչվում են նվազագույն միավորներ: Որպեսզի իմանաք, թե ինչպես գտնել նվազագույն միավորները, պետք է ավելի լավ հասկանաք
Ինչպե՞ս հաշվեմ ածանցյալը:
Սահմանումն ու ֆունկցիան ենթադրում են մի քանի հասկացություններ Ընդհանրապես, ածանցյալի բուն սահմանումը կարող է արտահայտվել հետևյալը. Դա արժեքն է, որը ցույց է տալիս ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը:
Շատ ուսանողների համար այն սահմանելու մաթեմատիկական եղանակը դժվար է թվում, բայց իրականում ամեն ինչ շատ ավելի պարզ է: Պարզապես պետք է հետևել ցանկացած գործառույթի ածանցյալ գտնելու ստանդարտ պլանին: Ստորև նկարագրված է, թե ինչպես կարելի է գտնել գործառույթի նվազագույն կետը `առանց տարբերակման կանոնների կիրառման և առանց ածանցյալների աղյուսակը անգիր:
- Կարող եք ֆունկցիայի ածանցյալը հաշվարկել ՝ օգտագործելով գրաֆիկ: Դա անելու համար հարկավոր է բուն ֆունկցիան պատկերել, ապա դրա վրա վերցնել մեկ կետ (նկարի A կետ): Ուղղահայաց գիծ քաշեք դեպի abscissa առանցքը (կետ x 0), իսկ A կետում շոշափեք գործառույթի գծապատկերի վրա: Աբսիսսայի առանցքը և շոշափող գիծը կազմում են որոշակի անկյուն a. Ֆունկցիայի արագության մեծության հաշվարկման համար անհրաժեշտ է հաշվարկել այս անկյան տանգենսը a.
- Ստացվում է, որ տանգենսի և x առանցքի ուղղության միջև ընկած անկյունի տանգենսը A կետով փոքր հատվածում ֆունկցիայի ածանցյալն է: Այս մեթոդը համարվում է ածանցյալը որոշելու երկրաչափական եղանակ:
Ֆունկցիաների հետազոտման մեթոդները
Մաթեմատիկայի դպրոցական ծրագրում ֆունկցիայի նվազագույն կետը հնարավոր է գտնել երկու եղանակով: Մենք արդեն վերլուծել ենք առաջին մեթոդը ՝ օգտագործելով գրաֆիկը, բայց ինչպե՞ս որոշել ածանցյալի թվային արժեքը: Դա անելու համար հարկավոր է սովորել ածանցյալի հատկությունները նկարագրող մի քանի բանաձևեր և օգնել «x» - ի նման փոփոխականները դարձնել թվերի: Հետևյալ մեթոդը համընդհանուր է, ուստի այն կարող է կիրառվել գրեթե բոլոր տեսակի գործառույթների համար (և երկրաչափական, և լոգարիթմական):
- Անհրաժեշտ է ֆունկցիան հավասարեցնել ածանցյալ ֆունկցիային, ապա պարզեցնել արտահայտությունը ՝ օգտագործելով տարբերակման կանոններ:
- Որոշ դեպքերում, երբ տրվում է մի ֆունկցիա, որում «x» փոփոխականը բաժանարարի մեջ է, անհրաժեշտ է որոշել թույլատրելի արժեքների տիրույթը ՝ դրանից բացառելով «0» կետը (պարզ պատճառով, որ մաթեմատիկայում ոչ մի դեպքում չի կարելի զրոյի բաժանել):
- Դրանից հետո դուք պետք է ֆունկցիայի բնօրինակը ձևափոխեք պարզ հավասարման ՝ ամբողջ արտահայտությունը հավասարեցնելով զրոյի: Օրինակ, եթե ֆունկցիան այս տեսքն ուներ. F (x) \u003d 2x 3 + 38x, ապա ըստ տարբերակման կանոնների, դրա ածանցյալն է f "(x) \u003d 3x 2 +1: Այնուհետև այս արտահայտությունը վերափոխում ենք հետևյալ ձևի հավասարության ՝ 3x 2 +1 \u003d 0 ...
- Հավասարությունը լուծելուց և «x» կետերը գտնելուց հետո պետք է դրանք նկարել աբսիսցայի վրա և պարզել ՝ նշված տարածքներում ածանցյալը դրական է, թե՞ բացասական: Նշումից հետո պարզ կդառնա, թե որ կետում է գործառույթը սկսում նվազել, այսինքն ՝ իր նշանը մինուսից դառնում է հակառակ: Այսպիսով, դուք կարող եք գտնել ինչպես նվազագույն, այնպես էլ առավելագույն միավորներ:
Տարբերակման կանոններ
Ֆունկցիայի և դրա ածանցյալի ուսումնասիրության ամենահիմնական բաղադրիչը տարբերակման կանոնների իմացությունն է: Միայն նրանց օգնությամբ է հնարավոր փոխակերպել զանգվածային արտահայտություններն ու մեծ բարդ գործառույթները: Եկեք ծանոթանանք դրանց հետ, դրանք բավականին քիչ են, բայց դրանք բոլորը շատ պարզ են `ելնելով ինչպես ուժային, այնպես էլ լոգարիթմական գործառույթների բնական հատկություններից:
- Constantանկացած հաստատունի ածանցյալը զրո է (f (x) \u003d 0): Այսինքն, f (x) \u003d x 5 + x - 160 ածանցյալը կստանա հետևյալ ձևը. F "(x) \u003d 5x 4 +1.
- Երկու տերմինի հանրագումարի ածանցյալ ՝ (f + w) "\u003d f" w + fw ":
- Լոգարիթմական ֆունկցիայի ածանցյալ. (Log a d) "\u003d d / ln a * d. Այս բանաձևը վերաբերում է բոլոր տեսակի լոգարիթմներին:
- Ածանցյալ աստիճան ՝ (x n) "\u003d n * x n-1. Օրինակ ՝ (9x 2)" \u003d 9 * 2x \u003d 18x:
- Սինուսոիդային ֆունկցիայի ածանցյալը. (Sin a) "\u003d cos a. Եթե a անկյան մեղքը 0,5 է, ապա դրա ածանցյալը /3 / 2 է:
Extայրահեղ միավորներ
Մենք արդեն պարզել ենք, թե ինչպես գտնել նվազագույն միավորները, բայց կա նաև ֆունկցիայի առավելագույն միավորների հասկացություն: Եթե \u200b\u200bնվազագույնը նշանակում է այն կետերը, որոնցում ֆունկցիան մինուս նշանից անցնում է գումարած, ապա առավելագույն կետերն այն կետերն են աբսցիսայի առանցքի վրա, որոնցում ֆունկցիայի ածանցյալը փոխվում է գումարածից հակառակ ՝ մինուս:
Դուք կարող եք գտնել այն վերը նշված մեթոդով, բայց պետք է նշել, որ դրանք նշանակում են այն հատվածները, որոնցում գործառույթը սկսում է նվազել, այսինքն ՝ ածանցյալը զրոյից պակաս կլինի:
Մաթեմատիկայում ընդունված է ընդհանրացնել երկու հասկացությունները ՝ դրանք փոխարինելով «ծայրահեղ կետեր» արտահայտությամբ: Երբ առաջադրանքը խնդրում է որոշել այդ կետերը, դա նշանակում է, որ անհրաժեշտ է հաշվարկել այս ֆունկցիայի ածանցյալը և գտնել նվազագույն և առավելագույն միավորները:
արժեք
Մեծագույն
արժեք
Ամենաքիչը
Առավելագույն միավոր
Նվազագույն միավոր
Ֆունկցիայի ծայրահեղ կետերը գտնելու խնդիրները լուծվում են ըստ ստանդարտ սխեմայի ՝ 3 քայլով:
Քայլ 1... Գտեք ֆունկցիայի ածանցյալը
- Անգիր հիշիր տարրական գործառույթների ածանցյալի բանաձեւերը և տարբերակման հիմնական կանոնները ՝ ածանցյալը գտնելու համար:
y ′ (x) \u003d (x3−243x + 19) ′ \u003d 3x2−243:
Քայլ 2... Գտեք ածանցյալի զրոները
- Լուծեք ստացված հավասարումը ՝ ածանցյալի զրոները գտնելու համար:
3x2−243 \u003d 0⇔x2 \u003d 81⇔x1 \u003d −9, x2 \u003d 9:
Քայլ 3... Գտեք ծայրահեղ կետեր
- Օգտագործեք միջակայքի մեթոդը ՝ ածանցյալի նշանները որոշելու համար;
- Նվազագույն կետում ածանցյալը հավասար է զրոյի և նշանը փոխում է մինուսից գումարած, իսկ առավելագույն կետում ՝ գումարածից մինուս:
Եկեք ընդունենք այս մոտեցումը `լուծելու հետևյալ խնդիրը.
Գտեք y \u003d x3−243x + 19 գործառույթի առավելագույն կետը:
1) Գտեք ածանցյալը ՝ y ′ (x) \u003d (x3−243x + 19) ′ \u003d 3x2−243;
2) լուծիր y ′ (x) \u003d 0 հավասարումը ՝ 3x2−243 \u003d 0⇔x2 \u003d 81⇔x1 \u003d −9, x2 \u003d 9;
3) ածանցյալը դրական է x\u003e 9 և x- ի համար<−9 и отрицательная при −9 Ինչպես գտնել ամենամեծ և ամենափոքր ֆունկցիայի արժեքը Լուծել ֆունկցիայի ամենամեծ և փոքր արժեքները գտնելու խնդիրը անհրաժեշտ: Օգնում է շատ առաջադրանքների թեորեմ: Եթե \u200b\u200bհատվածի վրա կա միայն մեկ ծայրահեղ կետ, և դա նվազագույն կետն է, ապա այնտեղ հասնում է ֆունկցիայի ամենափոքր արժեքը: Եթե \u200b\u200bսա առավելագույն կետն է, ապա այնտեղ հասնում է ամենաբարձր արժեքը: 14. Անորոշ ինտեգրալի հասկացությունը և հիմնական հատկությունները: Եթե \u200b\u200bգործառույթը զ(x Xև կ Արդյո՞ք համար է Կարճ ասած: հաստատունը կարելի է հանել ինտեգրալ նշանից: Եթե \u200b\u200bգործառույթներ զ(x) և է(x) ընդմիջման վրա ունեն հակադիվերտիվներ X ապա Կարճ ասած: գումարի ամբողջականը հավասար է ինտեգրալների գումարին: Եթե \u200b\u200bգործառույթը զ(x) ունի հակաբեղմնավորիչ ընդմիջման վրա X , ապա այս միջակայքի ներքին կետերի համար. Կարճ ասած: ինտեգրալի ածանցյալը հավասար է ինտեգրալին: Եթե \u200b\u200bգործառույթը զ(x) ընդմիջման վրա շարունակական է X և տարբերելի է այս միջակայքի ներքին կետերում, ապա. Կարճ ասած: ֆունկցիայի դիֆերենցիալի ինտեգրալը հավասար է այս գործառույթին գումարած ինտեգրման հաստատունը: Եկեք տանք խիստ մաթեմատիկական սահմանում անորոշ ինտեգրալ հասկացություններ. Բարի արտահայտությունը կոչվում է ֆունկցիայի ինտեգրալ զ (x)
որտեղ զ (x)
- տրված (հայտնի է) ինտեգրալը, dx
- դիֆերենցիալ x
, խորհրդանիշով միշտ առկա է dx
. Սահմանում Անորոշ ինտեգրալ կոչվում է ֆունկցիա F (x) + C
կամայական հաստատուն պարունակող Գ
որի դիֆերենցիալը հավասար է integrand արտահայտություն f (x) dx
, այսինքն կամ Հիշեցնենք, որ դիֆերենցիալ գործառույթ և սահմանվում է հետևյալ կերպ. Գտնելու խնդիրը անորոշ ինտեգրալ գտնել նման գործառույթ, ածանցյալ որը հավասար է integrand- ին: Այս ֆունկցիան որոշվում է մինչև հաստատուն, քանի որ հաստատունի ածանցյալը հավասար է զրոյի: Օրինակ, հայտնի է, որ, ապա ստացվում է, որ Առաջադրանք գտնելը անորոշ ինտեգրալ գործառույթներից այնքան էլ պարզ և հեշտ չէ, որքան թվում է առաջին հայացքից: Շատ դեպքերում պետք է որ հմտություն լինի աշխատելու հետ անորոշ ինտեգրալներ, պետք է լինի փորձ, որը գալիս է պրակտիկայով և անընդհատ անորոշ ինտեգրալների օրինակների լուծում: Արժե հաշվի առնել այն փաստը, որ անորոշ ինտեգրալներորոշ գործառույթներ (դրանք շատ են) տարրական ֆունկցիաների մեջ չեն ընդունվում: 15. Հիմնական անորոշ ինտեգրալների աղյուսակ: Հիմնական բանաձեւեր 16. Որոշակի ինտեգրալը որպես ամբողջական գումարի սահման: Ինտեգրալի երկրաչափական և ֆիզիկական իմաստը: Թող y \u003d ƒ (x) ֆունկցիան սահմանվի [a; b], և< b. Выполним следующие действия. 1. x 0 \u003d a, x 1, x 2, ..., x n \u003d B կետերի օգնությամբ 2. Յուրաքանչյուր մասնակի հատվածում, i \u003d 1,2, ..., n, ընտրիր կամայական կետ i with –ով և հաշվիր դրա մեջ ֆունկցիայի արժեքը, այսինքն ՝ value արժեքը (i- ով): 3. ƒ (i- ով) ֆունկցիայի գտնված արժեքը բազմապատկենք համապատասխան մասնակի հատվածի ∆x i \u003d x i -x i-1 երկարությամբ ՝ ƒ (i- ով) ∆x i: 4. Եկեք կազմենք բոլոր այսպիսի ապրանքների S n գումարը. Ձևի հանրագումարը (35.1) կոչվում է y \u003d inter (x) ֆունկցիայի բաղկացուցիչ գումար [a; բ] Եկեք λ – ը նշի ամենամեծ մասնակի հատվածի երկարությունը ՝ λ \u003d max ∆x i (i \u003d 1,2, ..., n): 5. Եկեք գտնենք ինտեգրալ գումարի սահմանը (35.1) որպես n → ∞ այնպես, որ λ → 0: Եթե \u200b\u200bայս դեպքում S n ինտեգրալ գումարն ունի I սահման, որը կախված չէ [a; հատվածը բաժանելու մեթոդից: b] դեպի մասնակի հատվածներ, կամ դրանցում կետերի ընտրությունից, ապա I թիվը կոչվում է [a; հատվածի y \u003d ƒ (x) ֆունկցիայի որոշակի բաղկացուցիչ: b] և նշվում է Այսպիսով A և b թվերը համապատասխանաբար կոչվում են ինտեգրման ստորին և վերին սահմաններ, ƒ (x) - ամբողջական ցանց, rand (x) dx - ինտեգրենդ, x - ինտեգրման փոփոխական, հատված [a; b] - ինտեգրման տարածք (հատված): Y \u003d ƒ (x) գործառույթը, որի համար [a; b] այս միջակայքում կա որոշակի ինտեգրալ, որը կոչվում է integrable: Եկեք հիմա ձևակերպենք որոշակի ինտեգրալի առկայության թեորեմ: 35.1 թեորեմ (Կոշի): Եթե \u200b\u200by \u003d ƒ (x) գործառույթը շարունակական է [a; b], ապա որոշակի ինտեգրալը Նկատի ունեցեք, որ ֆունկցիայի շարունակականությունը բավարար պայման է դրա ինտեգրման համար: Այնուամենայնիվ, որոշակի ինտեգրալը կարող է նաև գոյություն ունենալ որոշ անդադար գործառույթների համար, մասնավորապես, ցանկացած գործառույթի համար, որը սահմանափակված է ընդմիջումով և իր վրա ունի անվերջության կետերի վերջավոր քանակ: Եկեք նշենք որոշակի ինտեգրալի որոշ հատկություններ, որոնք ուղղակիորեն բխում են դրա սահմանումից (35.2): 1. Որոշակի ինտեգրալը անկախ է ինտեգրման փոփոխականի նշանակումից. Սա բխում է այն փաստից, որ ինտեգրալ գումարը (35.1) և, համապատասխանաբար, դրա սահմանը (35.2) կախված չեն նրանից, թե որ տառով է նշվում տրված գործառույթի փաստարկը: 2. Նույն ինտեգրման սահմաններով որոշակի ինտեգրալը հավասար է զրոյի. 3. realանկացած իրական համարի համար գ. 17. Նյուտոն-Լայբնիցի բանաձեւը: Որոշակի ինտեգրալի հիմնական հատկությունները: Թող գործառույթը y \u003d f (x) շարունակական հատվածի վրա
և F (x) ուրեմն այս հատվածի ֆունկցիայի հակադիվերտիվներից մեկն է Նյուտոն-Լայբնից բանաձեւը: Նյուտոն-Լեյբնից բանաձեւը կոչվում է ինտեգրալ հաշվարկի հիմնական բանաձեւը. Նյուտոն-Լայբնից բանաձեւն ապացուցելու համար մեզ անհրաժեշտ է փոփոխականի վերին սահմանով ինտեգրալի գաղափարը: Եթե \u200b\u200bգործառույթը y \u003d f (x) շարունակական հատվածի վրա
, ապա փաստարկի համար ձևի ինտեգրալը վերին սահմանի ֆունկցիա է: Մենք նշում ենք այս գործառույթը Իրոք, մենք գրում ենք փաստարկի աճին համապատասխան ֆունկցիայի աճը և օգտագործում ենք որոշակի ինտեգրալի հինգերորդ հատկությունը և տասներորդ հատկության հետևանքը. Մենք վերագրում ենք այս հավասարությունը, ինչպես Մենք հաշվարկում ենք F (ա)օգտագործելով որոշակի ինտեգրալի առաջին հատկությունը. հետևաբար. Այս արդյունքը մենք կօգտագործենք հաշվարկելիս F (b):, այսինքն Ֆունկցիայի ավելացումը սովորաբար նշվում է որպես Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը կիրառելու համար պարզապես անհրաժեշտ է իմանալ հակադեպերատիվներից մեկը y \u003d F (x) integrand գործառույթը y \u003d f (x) հատվածի վրա
և հաշվարկել այս հակադեպարիատի հավելումը այս հատվածի վրա: Հոդվածում ինտեգրման մեթոդները վերլուծվում են հակադեպարիտիվը գտնելու հիմնական ուղիները: Ահա հստակ ինտեգրալների հաշվարկման մի քանի օրինակներ `պարզաբանման համար օգտագործելով Նյուտոն-Լեյբնից բանաձեւը: Օրինակ. Հաշվեք որոշակի ինտեգրալի արժեքը ՝ օգտագործելով Նյուտոն-Լայբնից բանաձեւը: Որոշում: Սկսելու համար նշենք, որ integrand- ը շարունակական է հատվածի վրա
, հետևաբար, դրա վրա ինտեգրելի է: (Մենք խոսեցինք ինտեգրվող գործառույթների մասին այն գործառույթների բաժնում, որոնց համար գոյություն ունի որոշակի ինտեգրալ): Անորոշ ինտեգրալների աղյուսակից երեւում է, որ ֆունկցիայի համար փաստարկի բոլոր իրական արժեքների (և, հետեւաբար, համար) հակադեպերատիվների բազմությունը գրված է որպես Այժմ մնում է օգտագործել Նյուտոն-Լեյբնից բանաձեւը `որոշակի ինտեգրալը հաշվարկելու համար. 18. Որոշակի ինտեգրալի երկրաչափական կիրառություններ: ՈՐՈՇ ինտեգրալի երկրաչափական կիրառություններ Հաշվարկելով մարմնի ծավալը Parallelուգահեռ հատվածների հայտնի տարածքներից մարմնի ծավալի հաշվարկ. Պտտման մարմնի ծավալը .; ... Օրինակ 1... Գտեք y \u003d sinx կորով, ուղիղ գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը Որոշում: Գտեք գործչի մակերեսը. Օրինակ 2... Հաշվիր գծերով սահմանափակված ձևի մակերեսը Որոշում: Եկեք գտնենք այս գործառույթների գծապատկերների հատման կետերի abscissas- ը: Դա անելու համար մենք լուծում ենք հավասարումների համակարգը Այստեղից մենք գտնում ենք x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2.5: 19. Դիֆերենցիալ հսկողության հայեցակարգը: Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ: Դիֆերենցիալ հավասարումը - ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքը բուն ֆունկցիայի, անկախ փոփոխականի արժեքները, թվերը (պարամետրերը) կապող հավասարություն: Հավասարության մեջ ածանցյալների կարգը կարող է տարբեր լինել (ֆորմալ առումով, այն ոչնչով չի սահմանափակվում): Ածանցյալները, ֆունկցիաները, անկախ փոփոխականները և պարամետրերը կարող են տարբեր զուգորդումների մեջ մտնել հավասարություն, կամ բոլորը, բացառությամբ առնվազն մեկ ածանցյալի, կարող են ընդհանրապես բացակայել: Անհայտ ֆունկցիայի ածանցյալներ պարունակող յուրաքանչյուր հավասարություն դիֆերենցիալ հավասարություն չէ: Օրինակ, Մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումներ (PDE) հավասարումներ են, որոնք պարունակում են անհայտ գործառույթներ մի քանի փոփոխականների և դրանց մասնակի ածանցյալների: Նման հավասարումների ընդհանուր ձևը կարող է ներկայացվել հետևյալ կերպ. որտեղ կան անկախ փոփոխականներ և այս փոփոխականների ֆունկցիան է: Մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումների կարգը կարող է որոշվել այնպես, ինչպես սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների դեպքում: Մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումների մեկ այլ կարևոր դասակարգում է դրանց բաժանումը էլիպսաձեւ, պարաբոլիկ և հիպերբոլական տիպի հավասարումների, հատկապես երկրորդ կարգի հավասարումների համար: Թե՛ սովորական դիֆերենցիալ հավասարումները, թե՛ մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումները կարելի է բաժանել գծային և ոչ գծային... Դիֆերենցիալ հավասարումը գծային է, եթե անհայտ ֆունկցիան և դրա ածանցյալները հավասարումը մտնում են միայն առաջին աստիճանի (և միմյանց հետ չեն բազմապատկվում): Նման հավասարումների համար լուծումները կազմում են ֆունկցիայի տարածքի աֆինային ենթատարածություն: Գծային DE- ի տեսությունը շատ ավելի խորն է մշակված, քան ոչ գծային հավասարումների տեսությունը: Գծային դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր տեսակետ ն-րդ պատվեր. Որտեղ p ես(x) անկախ գործառույթի հայտնի գործառույթներն են, որոնք կոչվում են հավասարման գործակիցներ: Գործառույթը ռ(x) աջ կողմում կոչվում է ազատ անդամ (անհայտ գործառույթից անկախ միակ տերմինը) Գծային հավասարումների կարևոր որոշակի դասը գծային դիֆերենցիալ հավասարումներն է հաստատուն գործակիցներ. Գծային հավասարումների ենթադաս են միատարր դիֆերենցիալ հավասարումներ - հավասարումներ, որոնք չեն պարունակում ազատ տերմին. ռ(x) \u003d 0. Միատարր դիֆերենցիալ հավասարումների համար գերադասման սկզբունքը կատարված է. Նման լուծման հատուկ լուծումների գծային համադրություն նույնպես կլինի դրա լուծումը: Բոլոր մյուս գծային դիֆերենցիալ հավասարումները կոչվում են տարասեռ դիֆերենցիալ հավասարումներ: Ընդհանուր դեպքում, ոչ գծային դիֆերենցիալ հավասարումները մշակված չեն լուծման մեթոդներ, բացառությամբ որոշ հատուկ դասերի: Որոշ դեպքերում (օգտագործելով մեկ կամ մեկ այլ մոտավորություն) դրանք կարող են վերածվել գծայինի: Օրինակ ՝ ներդաշնակ տատանողի գծային հավասարումը · - երկրորդ կարգի միատարր դիֆերենցիալ հավասարումը հաստատուն գործակիցներով: Լուծումը գործառույթների ընտանիք է, որտեղ և կամայական հաստատուններ են, որոնք հատուկ լուծման համար որոշվում են առանձին նշված նախնական պայմաններից: Այս հավասարումը, մասնավորապես, նկարագրում է ներդաշնակ ճոճանակի շարժումը ցիկլային հաճախականությամբ 3: Նյուտոնի երկրորդ օրենքը կարող է գրվել դիֆերենցիալ հավասարման տեսքով · Բեսելի դիֆերենցիալ հավասարումը սովորական գծային միատարր երկրորդ կարգի հավասարություն է ՝ փոփոխական գործակիցներով. Դրա լուծումներն են Բեսելի գործառույթները: 1-ին կարգի ոչ միասնական ոչ գծային սովորական դիֆերենցիալ հավասարման օրինակ. Օրինակների հաջորդ խմբում `անհայտ ֆունկցիան դու կախված է երկու փոփոխականից x և տ կամ x և յ. Միասեռ գծային առաջին կարգի մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումը. Միաչափ ալիքի հավասարումը - երկրորդ կարգի հիպերբոլական տիպի միատարր գծային մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումը հաստատուն գործակիցներով, նկարագրում է լարի թրթռումը, եթե - լարի շեղումը կոորդինատով մի կետում x այս պահին տև պարամետրը ա սահմանում է լարի հատկությունները. Լապլասի հավասարումը երկչափ տարածությունում էլիպսաձև տիպի երկրորդ կարգի միատարր գծային մասնակի դիֆերենցիալ հավասարում է `հաստատուն գործակիցներով, որոնք առաջանում են մեխանիկայի, ջերմահաղորդման, էլեկտրաստատիկայի, հիդրավլիկայի բազմաթիվ ֆիզիկական խնդիրների մեջ. Korteweg-de Vries- ի հավասարումը, երրորդ կարգի ոչ գծային մասնակի դիֆերենցիալ հավասարություն, որը նկարագրում է ստացիոնար ոչ գծային ալիքներ, ներառյալ սոլիտոններ. 20. Դիֆերենցիալ հավասարումներ `բաժանվող կիրառելիով: Գծային հավասարումներ և Բեռնուլիի մեթոդը: Առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումը հավասարություն է, որը գծային է անհայտ ֆունկցիայի և դրա ածանցյալի նկատմամբ: Այն ունի ձև Ֆունկցիայի ամենամեծ արժեքը Ամենափոքր գործառույթի արժեքը Ինչպես ասում էր կնքահայրը. «Դա ոչ մի անձնական բան չէ»: Միայն ածանցյալներ: 12, վիճակագրության առաջադրանքը համարվում է բավականին բարդ, և բոլորը այն պատճառով, որ տղաները չեն կարդացել այս հոդվածը (կատակ): Շատ դեպքերում մեղավոր է անզգուշությունը: 12 առաջադրանքները երկու տեսակի են. Քննության հետ կապված առաջադրանքներ. Գտեք գործառույթի առավելագույն կետը Գտեք գործառույթի նվազագույն կետը Քննության հետ կապված առաջադրանքներ. Գտեք գործառույթի ամենամեծ արժեքը հատվածի վրա [−4; −1] Պատասխան. −6 Գտեք գործառույթի ամենամեծ արժեքը հատվածի վրա Պատասխան ՝ 11 Եզրակացություններ. Թեորեմ
(ծայրահեղության գոյության անհրաժեշտ պայման) Եթե \u200b\u200bf (x) ֆունկցիան տարբերելի է x \u003d x 1 կետում, իսկ x 1 կետը ծայրահեղ կետ է, ապա ֆունկցիայի ածանցյալն այս կետում անհետանում է: Ապացույցներ
Ենթադրենք, որ f (x) ֆունկցիան ունի առավելագույն x \u003d x 1 կետում: Այնուհետև բավականաչափ փոքր դրական Dx\u003e 0 համար ճիշտ է հետևյալ անհավասարությունը. Ըստ սահմանման. Դրանք եթե Dx®0, բայց Dx<0, то f¢(x 1) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0, ապա f ¢ (x 1) 0: Եվ դա հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե Dх®0 f ¢ (x 1) \u003d 0-ում: Այն դեպքում, երբ f (x) ֆունկցիան x 2 կետում ունի նվազագույն կետ, թեորեմն ապացուցվում է նույն կերպ: Թեորեմն ապացուցված է: Հետևանք
Հակառակը ճիշտ չէ: Եթե \u200b\u200bինչ-որ պահի ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է զրոյի, ապա դա չի նշանակում, որ այս պահին ֆունկցիան ունի ծայրահեղություն: Դրա պերճախոս օրինակ է y \u003d x 3 գործառույթը, որի ածանցյալը x \u003d 0 կետում զրո է, բայց այս պահին ֆունկցիան ունի միայն շեղում, և ոչ թե առավելագույն կամ նվազագույն: Սահմանում Քննադատական \u200b\u200bկետեր ֆունկցիաները կոչվում են կետեր, որոնցում ֆունկցիայի ածանցյալ գոյություն չունի կամ հավասար է զրոյի: Վերը քննարկված թեորեմը մեզ տալիս է ծայրահեղության գոյության համար անհրաժեշտ պայմաններ, բայց դա բավարար չէ: Օրինակ: f (x) \u003d ôxô Օրինակ: f (x) \u003d X \u003d 0 կետում ֆունկցիան ունի նվազագույն, բայց x \u003d 0 կետում ֆունկցիան չունի և ոչ մեկը ածանցյալ չունի: առավելագույն, ոչ նվազագույն, ոչ արտադրություն Ընդհանուր առմամբ, f (x) ֆունկցիան կարող է ծայրահեղություն ունենալ այն կետերում, որտեղ ածանցյալը գոյություն չունի կամ հավասար է զրոյի: Թեորեմ
(Բավարար պայմաններ ծայրահեղության գոյության համար) Թող f (x) ֆունկցիան շարունակական լինի (a, b) միջակայքում, որը պարունակում է x 1 կրիտիկական կետը և տարբերելի լինի այս միջակայքի բոլոր կետերում (բացառությամբ, գուցե, հենց x 1 կետի): Եթե \u200b\u200bx 1 կետով ձախից աջ անցնելիս f «(x) ֆունկցիայի ածանցյալը« + »- ից վերափոխում է« - », ապա x \u003d x 1 կետում f (x) ֆունկցիան ունի առավելագույն, իսկ եթե ածանցյալը« - «« + »Վրա - ապա գործառույթն ունի նվազագույն: Ապացույցներ
Թող լինի Լագրանժի թեորեմով. f (x) - f (x 1) \u003d f ¢ (e) (x - x 1), որտեղ x< e < x 1 . Հետո ՝ 1) Եթե x< x 1 , то e < x 1 ; f¢(e)>0; f ¢ (e) (x - x 1)<0, следовательно f (x) - f (x 1)<0 или f(x) < f(x 1). 2) Եթե x\u003e x 1, ապա e\u003e x 1 f ¢ (e)<0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно f (x) - f (x 1)<0 или f(x) < f(x 1). Քանի որ պատասխանները նույնն են, կարելի է ասել, որ f (x)< f(x 1) в любых точках вблизи х 1 , т.е. х 1 – точка максимума. Նվազագույն կետի թեորեմի ապացույցը նման է: Թեորեմն ապացուցված է: Ելնելով վերոգրյալից ՝ դուք կարող եք մշակել հատվածի վրա ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքները գտնելու միասնական ընթացակարգ. 1) Գտեք գործառույթի կրիտիկական կետերը: 2) Գտեք գործառույթի արժեքները կրիտիկական կետերում: 3) Գտեք գործառույթի արժեքները հատվածի ծայրերում: 4) Ստացված արժեքների մեջ ընտրիր ամենամեծն ու ամենափոքրը: Ուսումնասիրելով ֆունկցիա ծայրահեղության համար ՝ օգտագործելով ավելի բարձր պատվերների ածանցյալներ: Եկեք x \u003d x 1 կետում f x (x 1) \u003d 0 և f x (x 1) կետում գոյություն ունեն և շարունակական լինեն x 1 կետի որոշ հարևանություններում: Թեորեմ
Եթե \u200b\u200bf ¢ (x 1) \u003d 0, ապա f (x) ֆունկցիան x \u003d x 1 կետում ունի առավելագույնը, եթե f ¢¢ (x 1)<0 и минимум, если f¢¢(x 1)>0.
Ապացույցներ
Թող f ¢ (x 1) \u003d 0 և f ¢¢ (x 1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x 1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х 1 . Որովհետեւ f ¢¢ (x) \u003d (f ¢ (x))< 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х 1 , но f¢(x 1)=0, т.е. f¢(x) > 0 x- ով Նվազագույն ֆունկցիայի դեպքում թեորեմը ապացուցվում է նույն կերպ: Եթե \u200b\u200bf ¢¢ (x) \u003d 0, ապա կրիտիկական կետի բնույթն անհայտ է: Այն որոշելու համար անհրաժեշտ են հետագա հետազոտություններ: Կորի ուռուցիկություն և գոգավորություն: Infկման կետերը: Սահմանում
Կորի ուռուցիկություն վեր (a, b) միջակայքի վրա, եթե նրա բոլոր կետերը ընկած են այս միջակայքի իր տանգենտներից որևէ մեկի ներքևում: Կոչվում է վերին ուռուցիկությանը ուղղված կորի ուռուցիկ, և ներքևի ուռուցիկությանը նայող կորը կոչվում է գոգավոր. Նկարը ցույց է տալիս վերը նշված սահմանման նկարազարդումը: Թեորեմ 1:
Եթե \u200b\u200b(a, b) միջակայքի բոլոր կետերում f (x) ֆունկցիայի երկրորդ ածանցյալը բացասական է, ապա y \u003d f (x) կորը ուռուցիկ է դեպի վեր (ուռուցիկ): Ապացույցներ
Եկեք x 0 Î (a, b): Այս պահին կորի վրա շոշափելի գիծ քաշեք: Կորի հավասարումը ՝ y \u003d f (x); Tangent հավասարումը: Պետք է ապացուցել, որ դա: Լագրանժի թեորեմով f (x) - f (x 0) համար ՝, x 0< c < x. Լագրանժի թեորեմի համաձայն Եկեք x\u003e x 0 ապա x 0< c 1 < c < x. Т.к. x – x 0 > 0 և c - x 0\u003e 0, և բացի այդ, ըստ պայմանի Հետևաբար, Թող x< x 0 тогда x < c < c 1 < x 0 и x – x 0 < 0, c – x 0 < 0, т.к. по условию то Նմանապես կարելի է ապացուցել, որ եթե f ¢¢ (x)\u003e 0 միջակայքի վրա (a, b), ապա y \u003d f (x) կորը գոգավոր է (a, b) միջակայքի վրա: Թեորեմն ապացուցված է: Սահմանում
Կորի ուռուցիկ մասը գոգավոր մասից բաժանող կետը կոչվում է շեղման կետ. Ակնհայտ է, որ շեղման կետում շոշափումը կտրում է կորը: Թորեմա 2:
Թող կորը որոշվի y \u003d f (x) հավասարումով: Եթե \u200b\u200bf der (a) \u003d 0 կամ f ¢¢ (a) երկրորդ ածանցյալը գոյություն չունի, և x \u003d a f ¢¢ (x) կետով անցնելիս նշանը փոխվում է, ապա կորի կետը abscissa x \u003d a- ի հետևանքով շեղման կետ է: Ապացույցներ
1) Եկեք f ¢¢ (x)< 0 при х < a и f¢¢(x) > 0 x- ի համար Հետո ժամը x< a кривая выпукла, а при x > ա կորը գոգավոր է, այսինքն. կետ x \u003d a - շեղման կետ: 2) x- ի համար թող f ¢¢ (x)\u003e 0< b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x > բ - ուռուցիկ դեպի վեր: Ապա x \u003d b- ը շեղման կետ է: Թեորեմն ապացուցված է: Ասիմպտոտներ. Ֆունկցիաների ուսումնասիրության ժամանակ հաճախ պատահում է, որ երբ կորի կետի x կոորդինատը տեղափոխվում է դեպի անվերջություն, կորը առանց սահմանի մոտենում է որոշակի ուղիղ գծի: Սահմանում
Ուղիղ գիծը կոչվում է ասիմպտոտկորի, եթե կորի փոփոխական կետից դեպի այս ուղիղ գիծը հեռավորությունը ձգտում է զրոյի, երբ կետը շարժվում է դեպի անվերջություն: Պետք է նշել, որ յուրաքանչյուր կորը չունի ասիմպտոտ: Ասիմպտոտները կարող են լինել ուղիղ և շեղ: Ասիմպտոտների առկայության համար գործառույթների ուսումնասիրությունը մեծ նշանակություն ունի և թույլ է տալիս ավելի ճշգրիտ որոշել ֆունկցիայի բնույթը և կորի գծապատկերի վարքը: Ընդհանուր առմամբ, կորը, առանց սահմանի մոտենալով իր ասիմպտոտին, կարող է հատել այն և ոչ թե մի կետում, ինչպես ցույց է տրված ստորև նշված գործառույթի գծապատկերում Եկեք ավելի մանրամասն քննարկենք կորերի ասիմպտոտները գտնելու մեթոդները: Ուղղահայաց ասիմպտոտներ: Ասիմպտոտի սահմանումից հետեւում է, որ եթե կամ կամ, ապա x \u003d a ուղիղ գիծը y \u003d f (x) կորի ասիմպտոտն է: Օրինակ ՝ ֆունկցիայի համար x \u003d 5 տողը ուղղահայաց ասիմպտոտ է: Թեք ասիմպտոտներ: Ենթադրենք, որ կորը y \u003d f (x) ունի շեղ ասիմպտոտ y \u003d kx + b: Մենք նշում ենք կորի հատման կետը և ասիմպտոտին ուղղահայաց - M, P - ասիմպտոտի հետ այս ուղղահայաց հատման կետը: Ասիմպտոտի և եզի առանցքի միջև ընկած անկյունը նշվում է j- ով: Եզանի առանցքին ուղղահայաց МQ- ն հատում է ասիմպտոտը N կետում: Հետո MQ \u003d y կորի կետի կոորդինան է, NQ \u003d ասիմպտոտի N կետի կոորդինատն է: Ըստ պայմանի ՝, РNMP \u003d j,. J անկյունը հաստատուն է և հավասար չէ 90 0-ի, ապա Հետո Այսպիսով, y \u003d kx + b ուղիղ գիծը կորի ասիմպտոտն է: Այս ուղիղը ճշգրիտ որոշելու համար անհրաժեշտ է գտնել միջոց k և b գործակիցները հաշվարկելու համար: Արդյունքում ստացված արտահայտության մեջ մենք փակագծերից դուրս հանում ենք x- ը. Որովհետեւ х® ¥, ուրեմն Հետո Որովհետեւ Նշենք, որ հորիզոնական ասիմպտոտները շեղ ասիմպտոտների հատուկ դեպք են k \u003d 0 -ում: Օրինակ. 1) Ուղղահայաց ասիմպտոտներ. Y® + ¥ x®0-0: y®- ¥ x®0 + 0, հետեւաբար, x \u003d 0 ուղղահայաց ասիմպտոտ է: 2) թեք ասիմպտոտներ. Այսպիսով, y \u003d x + 2 տողը շեղ ասիմպտոտ է: Եկեք գծագրենք գործառույթը. Օրինակ. Գտեք ասիմպտոտները և գծեք գործառույթը: X \u003d 3 և x \u003d -3 ուղիղները կորի ուղղահայաց ասիմպտոտներն են: Գտեք շեղ ասիմպտոտներ. y \u003d 0 - հորիզոնական ասիմպտոտ: Օրինակ. Գտեք ասիմպտոտներ և գծեք գործառույթ X \u003d -2 ուղիղ գիծը կորի ուղղահայաց ասիմպտոտն է: Գտեք շեղ ասիմպտոտներ: Այսպիսով, y \u003d x - 4 ուղիղը շեղ ասիմպտոտ է: Ֆունկցիայի ուսումնասիրության դիագրամ Ֆունկցիաների հետազոտման գործընթացը բաղկացած է մի քանի փուլից: Ֆունկցիայի վարքի և դրա գրաֆիկի բնույթի առավել ամբողջական պատկերի համար անհրաժեշտ է գտնել. 1) գործառույթի գոյության շրջանը: Այս հայեցակարգը ներառում է ինչպես գործառույթի շրջանակը, այնպես էլ շրջանակը: 2) ընդմիջման կետեր. (Եթե որեւէ). 3) ավելացման և նվազման ընդմիջումներ: 4) առավելագույն և նվազագույն միավորներ: 5) գործառույթի առավելագույն և նվազագույն արժեքը դրա սահմանման տիրույթում: 6) ուռուցիկության և գոգավորության տարածքներ: 7) Infկման կետերը (առկայության դեպքում): 8) ասիմպտոտներ. (Եթե այդպիսիք կան): 9) գրաֆիկի կառուցում: Եկեք քննարկենք այս սխեմայի կիրառումը օրինակ օգտագործելով: Օրինակ. Ուսումնասիրեք գործառույթը և գծագրեք այն: Գտեք գործառույթի գոյության շրջանը: Ակնհայտ է, որ դա շրջանակը ֆունկցիան տիրույթն է (- ¥; -1) È (-1; 1) È (1;): Իր հերթին, կարելի է տեսնել, որ x \u003d 1, x \u003d -1 տողերն են ուղղահայաց ասիմպտոտներ ծուռ Արժեքների շարքըայս ֆունկցիան ընդմիջումն է (- ¥; ¥): Break կետեր գործառույթները x \u003d 1, x \u003d -1 կետեր են: Գտեք կրիտիկական կետեր. Գտեք ֆունկցիայի ածանցյալը Քննադատական \u200b\u200bկետեր. X \u003d 0; x \u003d -; x \u003d; x \u003d -1; x \u003d 1 Գտեք ֆունկցիայի երկրորդ ածանցյալը Ընդմիջումներով որոշեք կորի ուռուցիկությունն ու գոգավորությունը: -¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая - < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая 1 < x < 0, y¢¢ > 0, գոգավոր կորի 0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая 1 < x < , y¢¢ > 0, գոգավոր կորի < x < ¥, y¢¢ > 0, գոգավոր կորի Բացեր գտնելը ավելանում էև պակասում է գործառույթները: Դա անելու համար մենք ընդմիջումներով որոշում ենք ֆունկցիայի ածանցյալի նշանները: -¥ < x < - , y¢ > 0, գործառույթը մեծանում է - < x < -1, y¢ < 0, функция убывает 1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает 0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает 1 < x < , y¢ < 0, функция убывает < x < ¥, y¢¢ > 0, գործառույթը մեծանում է Տեսվում է, որ x \u003d - կետը կետ է առավելագույնը, իսկ x \u003d կետը կետ է նվազագույն... Այս կետերում ֆունկցիայի արժեքները համապատասխանաբար -3 / 2 և 3/2 են: Ուղղահայաց մասին ասիմպտոտներ արդեն ասվել է վերևում: Հիմա մենք կգտնենք թեք ասիմպտոտներ. Ընդհանուր, թեք ասիմպտոտ հավասարումը y \u003d x է: Եկեք կառուցենք ժամանակացույց գործառույթները. Մի քանի փոփոխականների գործառույթներ
Մի քանի փոփոխականների գործառույթները դիտարկելիս մենք սահմանափակվում ենք երկու փոփոխականների գործառույթների մանրամասն նկարագրությամբ, քանի որ Ստացված բոլոր արդյունքները վավեր կլինեն կամայական քանակի փոփոխականների գործառույթների համար: Սահմանում. Եթե որոշ թվերի համաձայն մի շարք անկախ թվերի յուրաքանչյուր զույգ (x, y) կապված է z փոփոխականի մեկ կամ մի քանի արժեքների հետ, ապա z փոփոխականը կոչվում է երկու փոփոխականի ֆունկցիա: Սահմանում:
Եթե \u200b\u200bզույգ թվեր (x, y) համապատասխանում են մեկ արժեքի z, ապա գործառույթը կանչվում է միանշանակ, և եթե մեկից ավելին, ապա երկիմաստ. Սահմանում: Շրջանակը z գործառույթը կոչվում է զույգերի հավաքածու (x, y), որոնց համար գոյություն ունի z գործառույթը: Սահմանում: Մոտ կետR շառավղով М 0 (x 0, y 0) կոչվում է բոլոր կետերի (x, y) բազմություն, որոնք բավարարում են պայմանը Սահմանում:
A թիվը կոչվում է սահման f (x, y) ֆունկցիան, քանի որ M (x, y) կետը ձգտում է դեպի M 0 կետը (x 0, y 0), եթե e\u003e 0 համարի համար կա r\u003e 0 թիվ, որը ցանկացած M կետի համար է (x, ի) որի համար պայմանը պայմանը Նրանք գրում են. Սահմանում:
Թող М 0 կետը (x 0, y 0) պատկանի f (x, y) ֆունկցիայի սահմանման տիրույթին: Այդ դեպքում կանչվում է z \u003d f (x, y) ֆունկցիան շարունակական М 0 կետում (x 0, y 0), եթե Ավելին, M (x, y) կետը կամայական կերպով ձգտում է դեպի M 0 (x 0, y 0) կետը: Եթե \u200b\u200bինչ-որ պահի պայմանը (1) չի բավարարվում, ապա այս կետը կոչվում է ընդմիջման կետf (x, y) գործառույթը: Դա կարող է լինել հետևյալ դեպքերում. 1) գործառույթը z \u003d f (x, y) սահմանված չէ M 0 կետում (x 0, y 0): 2) Սահման չկա: 3) Այս սահմանը գոյություն ունի, բայց այն հավասար չէ f- ին (x 0, y 0): Սեփականություն
Եթե \u200b\u200bf (x, y, ...) ֆունկցիան սահմանված է և շարունակական է փակ և սահմանափակված տիրույթ D, ապա այս տիրույթը պարունակում է առնվազն մեկ կետ N (x 0, y 0, ...), այնպես, որ մնացած միավորները բավարարեն անհավասարությունը f (x 0, y 0, ...) ³ f (x, y, ...) և նաև N 1 կետը (x 01, y 01, ...) այնպես, որ մնացած բոլոր կետերի համար անհավասարությունը f (x 01, y 01, ...) £ f (x, y, ...) ապա f (x 0, y 0, ...) \u003d M - ամենամեծ արժեքը գործառույթները, և f (x 01, y 01, ...) \u003d մ - ամենափոքր արժեքըf (x, y, ...) գործառույթը D տիրույթում: Փակ և սահմանափակ D տիրույթում շարունակական ֆունկցիան առնվազն մեկ անգամ հասնում է ամենամեծ արժեքին և մեկ անգամ ամենափոքրին: Սեփականություն
Եթե \u200b\u200bf (x, y, ...) ֆունկցիան սահմանված և շարունակական է փակ սահմանափակ տիրույթում D, և M- ն և m- ը, համապատասխանաբար, այս տիրույթի ֆունկցիայի ամենամեծ և փոքրագույն արժեքներն են, ապա ցանկացած կետի համար m Î կա կետ N 0 (x 0, y 0,…) այնպես, որ f (x 0, y 0,…) \u003d m: Պարզ ասած, շարունակական ֆունկցիան վերցնում է բոլոր տիրապետող արժեքները M- ի և D- ի տիրույթում: Այս հատկության հետևանք կարող է լինել այն եզրակացությունը, որ եթե M և m թվերը հակառակ նշանների են, ապա D տիրույթում ֆունկցիան անհետանում է գոնե մեկ անգամ: Սեփականություն
F (x, y, ...) ֆունկցիան, շարունակական փակ փակ տիրույթում D, սահմանափակ այս տարածաշրջանում, եթե գոյություն ունի այնպիսի թիվ K, որը տարածաշրջանի բոլոր կետերի համար անհավասարություն է Սեփականություն
Եթե \u200b\u200bf (x, y, ...) ֆունկցիան սահմանված և շարունակական է փակ փակ տիրույթում D, ապա այն միատեսակ շարունակական այս ոլորտում, այսինքն. ցանկացած դրական թվի համար գոյություն ունի D\u003e 0 թիվ, որն այնպիսին է, որ D- ից պակաս հեռավորության վրա գտնվող տարածաշրջանի ցանկացած երկու կետերի (x 1, y 1) և (x 2, y 2) անհավասարությունը Վերոնշյալ հատկությունները նման են մեկ փոփոխականի գործառույթների հատկություններին, որոնք շարունակական են հատվածի վրա: Տե՛ս գործառույթների հատկությունները, որոնք շարունակական են հատվածի վրա: Ածանցյալներ և գործառույթների տարբերություններ բազմաթիվ փոփոխականներ: Սահմանում
Թող z \u003d f (x, y) գործառույթը տրվի ինչ-որ տիրույթում: Վերցրեք կամայական M կետ (x, y) և դրեք Dx աճը x փոփոխականի: Դրանից հետո կանչվում է D x z \u003d f (x + Dx, y) - f (x, y) մեծությունը x- ի ֆունկցիայի մասնակի աճը: Կարող եք գրել Հետո զանգահարեցին մասնակի ածանցյալգործառույթը z \u003d f (x, y) x- ում: Նշանակում: Ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալը y- ի նկատմամբ նույն կերպ է սահմանված: Երկրաչափական նշանակությունմասնակի ածանցյալը (օրինակ) `N 0 (x 0, y 0, z 0) կետում կազմված տանգենսի թեքության անկյան տանգենսը y \u003d y 0 հարթության վրա մակերեսի հատվածի վրա: Լրիվ աճ և լրիվ դիֆերենցիալ:
տանգենս հարթություն Թող N և N 0 լինեն տրված մակերեսի կետերը: Եկեք գծենք NN 0 ուղիղ: N 0 կետով անցնող ինքնաթիռը կոչվում է տանգենս հարթություն մակերեսին, եթե NN 0 անկյան և այս հարթության անկյունը ձգտում է զրոյի, երբ NN 0 հեռավորությունը ձգտում է զրոյի: Սահմանում Նորմալn 0 կետի մակերեսին կոչվում է ուղիղ գիծ, \u200b\u200bորն անցնում է այս մակերեսին շոշափող հարթությանը ուղղահայաց N 0 կետով: Pointանկացած պահի մակերեսն ունի կամ միայն մեկ շոշափող հարթություն, կամ ընդհանրապես չունի: Եթե \u200b\u200bմակերեսը տրված է z \u003d f (x, y) հավասարումով, որտեղ f (x, y) հանդիսանում է М 0 (х 0, у 0) կետում տարբերվող ֆունկցիա, շոշափող ինքնաթիռը N 0 կետում (x 0, y 0, ( x 0, y 0)) գոյություն ունի և ունի հավասարություն. Այս պահին նորմայի հավասարությունը մակերեսին հետևյալն է. Երկրաչափական նշանակություն f (x, y) կետում երկու փոփոխականների ֆունկցիայի ընդհանուր դիֆերենցիալը (x 0, y 0) կետում շոշափող ինքնաթիռի կիրառողի (կոորդինատ z) ավելացումն է մակերեսին կետից (x 0, y 0) կետին անցնելիս (x 0 + Dx, y 0 + Dy): Ինչպես տեսնում եք, երկու փոփոխականների ֆունկցիայի ընդհանուր դիֆերենցիալի երկրաչափական իմաստը մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի դիֆերենցիալի երկրաչափական իմաստի տարածական անալոգն է: Օրինակ. Գտեք շոշափող հարթության և մակերեսի նորմալ հավասարումները m կետում (1, 1, 1): Tangent plane հավասարումը: Նորմալ հավասարումը: Մոտավոր հաշվարկներ, օգտագործելով ընդհանուր դիֆերենցիալը:
U գործառույթի ընդհանուր դիֆերենցիալը ` Այս արտահայտության ճշգրիտ արժեքը 1.049275225687319176 է: Բարձր պատվերների մասնակի ածանցյալներ: Եթե \u200b\u200bf (x, y) ֆունկցիան որոշված \u200b\u200bէ D տիրույթում, ապա դրա մասնակի ածանցյալները նույնպես կսահմանվեն նույն տիրույթում կամ դրա մի մասում: Մենք կկոչենք այս ածանցյալները առաջին կարգի մասնակի ածանցյալներ: Այս գործառույթների ածանցյալները կլինեն երկրորդ կարգի մասնակի ածանցյալներ: Շարունակելով տարանջատել ստացված հավասարությունները `մենք ձեռք ենք բերում բարձր պատվերների մասնակի ածանցյալներ: Այս հոդվածից ընթերցողը կիմանա, թե ինչ է ֆունկցիոնալ արժեքի ծայրահեղությունը, ինչպես նաև գործնականում դրա օգտագործման առանձնահատկությունները: Նման հասկացություն սովորելը կարևոր է բարձրագույն մաթեմատիկայի հիմունքները հասկանալու համար: Այս թեման հիմնարար է դասընթացի խորը ուսումնասիրման համար: Հետադարձ կապի հետ Դպրոցական դասընթացներում կան «ծայրահեղություն» հասկացության բազմաթիվ սահմանումներ: Այս հոդվածը կոչված է խորը և հստակ հասկացողություն տալու այդ հարցում անտեղյակ անձանց համար: Այսպիսով, տերմինը հասկացվում է, թե որքանով է ֆունկցիոնալ միջակայքը որոշակի հավաքածուի վրա ձեռք բերում նվազագույն կամ առավելագույն արժեք: Extremայրահեղությունը միաժամանակ և՛ ֆունկցիայի նվազագույն արժեքն է, և՛ առավելագույնը: Տարբերակել նվազագույն և առավելագույն կետերը, այսինքն ՝ գծապատկերի վրա բերված փաստարկի ծայրահեղ արժեքները: Հիմնական գիտությունները, որոնցում օգտագործվում է այս հայեցակարգը. Remայրահեղ կետերը կարևոր դեր են խաղում տվյալ գործառույթի հաջորդականությունը որոշելու հարցում: Գրաֆիկի կոորդինատային համակարգը լավագույն դեպքում ցույց է տալիս ծայրահեղ դիրքի փոփոխությունը `կախված ֆունկցիոնալության փոփոխությունից: Կա նաեւ «ածանցյալ» նման մի երեւույթ: Անհրաժեշտ է որոշել ծայրահեղ կետը: Կարևոր է չխառնել նվազագույն կամ առավելագույն միավորները ամենաբարձր և ամենացածր արժեքների հետ: Սրանք տարբեր հասկացություններ են, չնայած կարող են նման թվալ: Ֆունկցիայի արժեքը առավելագույն կետը գտնելու որոշման հիմնական գործոնն է: Ածանցյալը կազմված չէ արժեքներից, այլ բացառապես իր ծայրահեղ դիրքից ՝ այս կամ այն \u200b\u200bկարգով: Ածանցյալը ինքնին որոշվում է ելնելով ծայրահեղ կետերի տվյալների, այլ ոչ թե ամենաբարձր կամ ամենացածր արժեքի: Ռուսական դպրոցներում այս երկու հասկացությունների սահմանը հստակ գծված չէ, ինչը ազդում է ընդհանրապես այս թեմայի ընկալման վրա: Եկեք հիմա դիտարկենք նման բան ՝ «սուր ծայրահեղություն»: Այսօր առանձնանում են կտրուկ նվազագույն և սուր առավելագույն արժեքները: Սահմանումը տրվում է ըստ գործառույթի կրիտիկական կետերի ռուսական դասակարգման: Extremայրահեղ կետի գաղափարը գծապատկերի վրա կարևոր կետեր գտնելու հիմքում է: Նման հասկացություն սահմանելու համար անհրաժեշտ է դիմել Ֆերմատի թեորեմի օգտագործմանը: Դա ամենակարևորն է ծայրահեղ կետերի ուսումնասիրության մեջ և հստակ պատկերացում է տալիս դրանց գոյության մասին այս կամ այն \u200b\u200bտեսքով: Extremայրահեղությունն ապահովելու համար կարևոր է գրաֆիկի վրա որոշակի պայմաններ ստեղծել նվազեցման կամ ավելացման համար: «Ինչպես գտնել առավելագույն կետը» հարցին ճշգրիտ պատասխանելու համար պետք է պահպանել հետևյալ դրույթները. ՈւշադրությունՖունկցիայի կրիտիկական կետի որոնումը հնարավոր է միայն գոնե երկրորդ կարգի ածանցյալի առկայության դեպքում, որն ապահովվում է ծայրահեղ կետի առկայության մեծ համամասնությամբ: Որպեսզի ծայրահեղություն գոյություն ունենա, կարևոր է, որ լինեն ինչպես նվազագույն, այնպես էլ առավելագույն միավորներ: Եթե \u200b\u200bայս կանոնը պահպանվում է միայն մասամբ, ապա խախտվում է ծայրահեղության գոյության պայմանը: Functionանկացած դիրքում յուրաքանչյուր գործառույթ պետք է տարբերակվի `իր նոր իմաստները բացահայտելու համար: Կարևոր է հասկանալ, որ կետի անհետացման դեպքը տարբերվող կետ գտնելու հիմնական սկզբունքը չէ: Կտրուկ ծայրահեղությունը, ինչպես նաև ֆունկցիայի նվազագույն մասը ծայրահեղ արժեքների օգտագործմամբ մաթեմատիկական խնդիր լուծելու չափազանց կարևոր կողմ է: Այս բաղադրիչն ավելի լավ հասկանալու համար անհրաժեշտ է գործառույթը հստակեցնելու համար աղյուսակային արժեքներին անդրադառնալ: 2. Կոորդինատային առանցքներով ճեղքման, ծայրահեղության և խաչմերուկի կետերի հայտնաբերում: 3. Գծապատկերում դիրքորոշման փոփոխությունների որոշման գործընթացը: 4. Կոնվեքսիայի և ուռուցիկության էքսպոնենտի և ուղղության որոշում ՝ հաշվի առնելով ասիմպտոտների առկայությունը: 5. Ուսումնասիրության առանցքային աղյուսակի ստեղծում `դրա կոորդինատները որոշելու առումով: 6. Գտեք ծայրահեղ և կտրուկ կետերի ավելացման և նվազման միջակայքերը: 7. Կորի ուռուցիկության և գոգավորության որոշում: 8. Ուսումնասիրության հիման վրա գրաֆիկի կառուցումը թույլ է տալիս գտնել նվազագույն կամ առավելագույն: Դպրոցների ուսուցիչները հաճախ առավելագույն ուշադրություն չեն դարձնում նման կարևոր կողմին, որը կրթական գործընթացի կոպիտ խախտում է: Գծապատկերի գծագրումը տեղի է ունենում միայն ֆունկցիոնալ տվյալների ուսումնասիրության, սուր ծայրահեղությունների որոշման, ինչպես նաև գծապատկերի կետերի արդյունքների հիման վրա: Ֆունկցիայի ածանցյալի սուր ծայրահեղությունները գծագրվում են ճշգրիտ արժեքի գծագրի վրա ՝ օգտագործելով ասիմպտոտի որոշման ստանդարտ ընթացակարգը: Գործառույթի առավելագույն և նվազագույն կետերը ուղեկցվում են ավելի բարդ գծագրերով: Դա պայմանավորված է սուր ծայրահեղության խնդիրը մշակելու ավելի խորը անհրաժեշտությամբ: Անհրաժեշտ է նաև գտնել բարդ և պարզ ֆունկցիայի ածանցյալը, քանի որ սա ծայրահեղության խնդիրների կարևորագույն հասկացություններից մեկն է: Վերոնշյալ արժեքը գտնելու համար պետք է պահպանել հետևյալ կանոնները. Օգտագործվում են նաև այնպիսի հասկացություններ, ինչպիսիք են թույլ ցածր և ուժեղ ցածր: Դա պետք է հաշվի առնել ծայրահեղություն որոշելիս և այն ճշգրիտ հաշվարկելիս: Միևնույն ժամանակ, սուր ֆունկցիոնալությունը ֆունկցիայի գրաֆիկի հետ աշխատելու համար բոլոր անհրաժեշտ պայմանների որոնումն ու ստեղծումն է:
Գործառույթը կոչվում է հակադիվերատիվ գործառույթ ... Ֆունկցիայի հակադիվերատիվը որոշվում է մինչև հաստատուն արժեք:
, ահա կամայական հաստատուն:
.
, և այս գործառույթը շարունակական է և հավասարությունը 
.
որտեղ
... Եթե \u200b\u200bմենք հիշում ենք ֆունկցիայի ածանցյալի սահմանումը և անցնում սահմանի մոտ, ապա ստանում ենք: Այսինքն ՝ դա ֆունկցիայի հակադիվերտիվներից մեկն է y \u003d f (x) հատվածի վրա
... Այսպիսով, բոլոր antiderivatives- ի հավաքածուն F (x) կարելի է գրել ինչպես, որտեղ ԱՅՍՏԵ Կամայական հաստատուն է:
... Այս հավասարությունը տալիս է Նյուտոն-Լայբնից ապացուցված բանաձևը .
... Օգտագործելով այս նշումը, Նյուտոն-Լեյբնից բանաձեւը կստանա ձև:
... Վերցրեք antiderivative for C \u003d 0: .
. Ուղղանկյուն S.K. Գործառույթը ՝ տրված պարամետրորեն Պոլյարնայա Ս.Կ.
Հաշվարկելով հարթ գծապատկերների մակերեսները
Հաշվարկելով հարթության կորի աղեղի երկարությունը
Հեղափոխության մակերեսի հաշվարկը
դիֆերենցիալ հավասարություն չէ:
կարելի է համարել մաթեմատիկական ճոճանակի ոչ գծային հավասարման մոտավորություն 
փոքր ամպլիտուդների դեպքում, երբ յ Մեղք գործել յ.
Որտեղ մ - մարմնի զանգված, x - դրա կոորդինատը, Ֆ(x, տ) կոորդինատով մարմնի վրա գործող ուժն է x այս պահին տ... Դրա լուծումը նշված մարմնի ուժի ազդեցության տակ գտնվող մարմնի հետագիծն է:
Ֆունկցիայի արժեքները և առավելագույն և նվազագույն միավորները
Ինչպե՞ս վարվել այս դեպքերում: Գտեք բարձր / ցածր կետը
Իշտ է, նախ գործառույթը մեծանում է, հետո նվազում - սա առավելագույն կետն է:
Պատասխան. −15 
Պատասխան. −2 Գտեք ֆունկցիայի ամենամեծ / ամենափոքր արժեքը
y y
ժամը
... Դրա շեղ ասիմպտոտը y \u003d x է:
.
ի վեր b \u003d const, ուրեմն 
.
, հետեւաբար,
.
ապա 
, հետեւաբար,
.
.
.
.
(1)
.
.
Ի՞նչ է ծայրահեղությունը:
Ածանցյալ ծայրահեղություն
Գործառույթի ծայրահեղության համար անհրաժեշտ պայման
Իմաստի ամբողջական ուսումնասիրություն
Գծագրել արժեք
1. Արժեքների ավելացման և նվազման կետերի որոշում:
Հիմնական տարրը, երբ անհրաժեշտ է աշխատել ծայրահեղությունների հետ, դրա գրաֆիկի ճշգրիտ կառուցվածքն է:
Ֆունկցիոնալ ծայրահեղություն
Բեռնվում է ...