Informácie v tomto článku poskytujú všeobecné informácie o celé čísla... Najprv je uvedená definícia celých čísel a sú uvedené príklady. Ďalej sa berú do úvahy celé čísla na číselnej čiare, z ktorých bude zrejmé, ktoré čísla sa nazývajú kladné celé čísla a ktoré sú záporné celé čísla. Potom sa ukáže, ako sú zmeny hodnôt popísané pomocou celých čísel, a záporné celé čísla sú považované v zmysle dlhu.
Navigácia po stránke.
Celé čísla - definícia a príklady
Definícia.
Celé čísla - sú to prirodzené čísla, číslo nula, ako aj čísla oproti prirodzeným číslam.
Definícia celých čísel uvádza, že ktorékoľvek z čísel 1, 2, 3,…, číslo 0, ako aj akékoľvek z čísel −1, −2, −3, ... je celé číslo. Teraz môžeme ľahko viesť príklady celých čísel... Napríklad číslo 38 je celé číslo, číslo 70 040 je tiež celé číslo, nula je celé číslo (pripomeňme, že nula NIE je prirodzené číslo, nula je celé číslo), čísla −999, −1, −8 934 832 sú tiež príkladmi celých čísel čísla.
Je vhodné reprezentovať všetky celé čísla ako postupnosť celých čísel, ktorá má nasledujúci tvar: 0, ± 1, ± 2, ± 3, ... Postupnosť celých čísel je možné zapísať takto: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
Definícia celých čísel znamená, že množina prirodzených čísel je podmnožinou množiny celých čísel. Preto je každé prirodzené číslo celé číslo, ale nie celé číslo je prirodzené.
Celé čísla na súradnicovej čiare
Definícia.
Pozitívne celé čísla Sú celé čísla, ktoré sú väčšie ako nula.
Definícia.
Celé záporné čísla Sú celé čísla, ktoré sú menšie ako nula.
Kladné a záporné celé čísla možno určiť aj podľa ich polohy na súradnicovej čiare. Na vodorovnej súradnicovej čiare ležia body, ktorých súradnice sú kladné celé čísla, napravo od počiatku. Body so zápornými celočíselnými súradnicami sa zase nachádzajú vľavo od bodu O.
Je zrejmé, že množina všetkých kladných celých čísel je množina prirodzených čísel. Množina všetkých záporných celých čísel je zase množina všetkých čísel, ktoré sú oproti prirodzeným číslam.
Samostatne by sme chceli upriamiť vašu pozornosť na skutočnosť, že každé prirodzené číslo môžeme bezpečne nazvať celým číslom a NEMÔŽEME nazvať žiadne celé číslo prirodzeným. Prirodzené môžeme nazvať iba akékoľvek kladné celé číslo, pretože záporné celé čísla a nula nie sú prirodzené.
Nezáporné celé čísla a nezáporné celé čísla
Uveďme definície celých čísel, ktoré nie sú kladné a nie.
Definícia.
Vyvolajú sa všetky kladné celé čísla spolu s číslom nula nezáporné celé čísla.
Definícia.
Nepozitívne celé čísla Sú všetky záporné celé čísla spolu s číslom 0.
Inými slovami, nezáporné celé číslo je celé číslo, ktoré je väčšie ako nula alebo sa rovná nule, a kladné celé číslo je celé číslo, ktoré je menšie ako nula alebo sa rovná nule.
Príklady nezáporných celých čísel sú čísla −511, −10 030, 0, −2 a ako príklady nezáporných celých čísel uvádzame čísla 45, 506, 0, 900 321.
Najčastejšie sa pre stručnosť používajú výrazy „celé kladné celé čísla“ a „celé záporné celé čísla“. Napríklad namiesto frázy „číslo a je celé číslo a a je väčšie alebo rovné nule“, môžete povedať „a je nezáporné celé číslo“.
Popis meniacich sa hodnôt pomocou celých čísel
Je čas hovoriť o tom, na čo sú celé čísla.
Hlavným účelom celých čísel je, že je vhodné pomocou nich opísať zmenu počtu ľubovoľných objektov. Poďme na to pomocou príkladov.
Predpokladajme, že v sklade sú nejaké diely. Ak sa do skladu privezie napríklad 400 ďalších dielov, potom sa počet dielov v sklade zvýši a číslo 400 vyjadruje túto zmenu množstva pozitívnym smerom (smerom nahor). Ak sa napríklad zo skladu odoberie 100 dielov, potom sa počet dielov v sklade zníži a číslo 100 vyjadrí zmenu množstva v negatívnom smere (smerom dole). Súčiastky sa nedonesú do skladu a súčiastky zo skladu sa neodnesú, potom môžeme hovoriť o nemennosti počtu dielov (teda môžeme hovoriť o nulovej zmene množstva).
V uvedených príkladoch možno zmenu počtu dielov opísať pomocou celých čísel 400, -100 a 0. Kladné celé číslo 400 označuje pozitívnu zmenu v množstve (zvýšenie). Záporné celé číslo -100 vyjadruje zápornú zmenu množstva (zníženie). Celé číslo 0 znamená, že množstvo zostalo nezmenené.
Výhodou použitia celých čísel pred prirodzenými číslami je, že nemusíte výslovne označovať, či sa počet zvyšuje alebo znižuje - celé číslo zmenu kvantifikuje a znamienko celého čísla označuje smer zmeny.
Celé čísla môžu tiež vyjadrovať nielen zmenu množstva, ale aj zmenu množstva. Riešime to na príklade teplotných zmien.
Rast teploty, povedzme o 4 stupne, sa vyjadruje ako kladné celé číslo 4. Pokles teploty, napríklad o 12 stupňov, možno opísať záporným celým číslom -12. A stálosť teploty je jej zmena, určená celým číslom 0.
Samostatne by sa malo povedať o interpretácii záporných celých čísel ako výšky dlhu. Napríklad, ak máme 3 jablká, potom kladné celé číslo 3 označuje počet jabĺk, ktoré vlastníme. Na druhej strane, ak máme niekomu dať 5 jabĺk a nemáme ich k dispozícii, možno túto situáciu popísať záporným celým číslom −5. V tomto prípade „máme“ −5 jabĺk, znamienko mínus označuje dlh a číslo 5 dlh vyčísľuje.
Pochopenie záporného celého čísla ako dlhu umožňuje napríklad ospravedlniť pravidlo pre pridanie záporných celých čísel. Uveďme príklad. Ak niekto dlhuje 2 jablká jednej osobe a jedno jablko druhej osobe, potom je celkový dlh 2 + 1 \u003d 3 jablká, takže −2 + (- 1) \u003d - 3.
Bibliografia.
- Vilenkin N. Ya. a iná matematika. 6. ročník: učebnica pre vzdelávacie inštitúcie.
V tomto článku definujeme množinu celých čísel, zvážime, ktoré celé čísla sa nazývajú pozitívne a ktoré sú záporné. Ukážeme tiež, ako sa celé čísla používajú na opis zmien v určitých veličinách. Začnime definíciou a príkladmi celých čísel.
Celé čísla. Definícia, príklady
Najskôr si pripomeňme prirodzené čísla ℕ. Samotný názov naznačuje, že ide o čísla, ktoré sa od nepamäti prirodzene používajú na počítanie. Aby sme pokryli koncept celých čísel, musíme rozšíriť definíciu prirodzených čísel.
Definícia 1. Celé čísla
Celé čísla sú prirodzené čísla, opačné čísla a číslo nula.
Množina celých čísel je označená písmenom ℤ.
Množina prirodzených čísel ℕ je podmnožinou celých čísel ℤ. Akékoľvek prirodzené číslo je celé číslo, ale nie celé číslo je prirodzené číslo.
Z definície vyplýva, že ktorékoľvek z čísel 1, 2, 3 je celé číslo. ... , číslo 0, ako aj čísla - 1, - 2, - 3 ,. ...
V súlade s tým uvedieme príklady. Čísla 39, - 589, 10000000, - 1596, 0 sú celé čísla.
Nechajte súradnicovú čiaru nakresliť vodorovne a nasmerujte ju doprava. Poďme sa na to pozrieť, aby sme vizualizovali usporiadanie celých čísel na priamke.
Počiatok na súradnicovej čiare zodpovedá číslu 0 a body ležiace na oboch stranách nuly zodpovedajú kladným a záporným celým číslam. Každý bod zodpovedá jednému celému číslu.
Do ľubovoľného bodu priamky, ktorej súradnica je celé číslo, sa môžete dostať vyčlenením určitého počtu jednotkových segmentov z počiatku.
Kladné a záporné celé čísla
Je logické, že od všetkých celých čísel oddelíme celé kladné a záporné celé číslo. Uveďme ich definície.
Definícia 2. Pozitívne celé čísla
Pozitívne celé čísla sú celé čísla so znamienkom plus.
Napríklad číslo 7 je znamienko plus, teda kladné celé číslo. Na súradnicovej čiare leží toto číslo napravo od referenčného bodu, pre ktorý sa berie číslo 0. Ďalšie príklady kladných celých čísel: 12, 502, 42, 33, 100500.
Definícia 3. Záporné celé čísla
Záporné celé čísla sú celé čísla so znamienkom mínus.
Príklady záporných celých čísel: - 528, - 2568, - 1.
Číslo 0 oddeľuje celé kladné a záporné celé číslo a samo o sebe nie je ani kladné, ani záporné.
Akékoľvek číslo, ktoré je opakom kladného celého čísla, je podľa definície záporné celé číslo. Platí to aj naopak. Inverzná hodnota každého záporného celého čísla je kladné celé číslo.
Môžete dať ďalšie definície záporných a kladných celých čísel pomocou ich porovnania s nulou.
Definícia 4. Pozitívne celé čísla
Kladné celé čísla sú celé čísla, ktoré sú väčšie ako nula.
Definícia 5. Záporné celé čísla
Záporné celé čísla sú celé čísla, ktoré sú menšie ako nula.
Kladné čísla sú teda vpravo od začiatku na súradnicovej čiare a záporné celé čísla sú naľavo od nuly.
Už sme povedali, že prirodzené čísla sú podmnožinou celých čísel. Poďme si tento bod objasniť. Množinu prirodzených čísel tvoria kladné celé čísla. Množina záporných celých čísel je zase množinou opačných prirodzených čísel.
Dôležité!
Akékoľvek prirodzené číslo možno nazvať celým číslom, ale akékoľvek celé číslo nemožno nazvať prirodzeným číslom. Pri odpovedi na otázku, či sú záporné čísla prirodzené, treba odvážne povedať - nie, nie sú.
Nezáporné a nezáporné celé čísla
Dajme definície.
Definícia 6. Nezáporné celé čísla
Nezáporné celé čísla sú kladné celé čísla a číslo nula.
Definícia 7. Nepozitívne celé čísla
Nepozitívne celé čísla sú negatívne celé čísla a číslo nula.
Ako vidíte, číslo nula nie je ani kladné, ani záporné.
Príklady nezáporných celých čísel: 52, 128, 0.
Príklady celých čísel bez kladného čísla: - 52, - 128, 0.
Nezáporné číslo je číslo väčšie alebo rovné nule. Podľa toho je kladné celé číslo číslo menšie alebo rovné nule.
Pojmy „nezáporné číslo“ a „nezáporné číslo“ sa používajú pre stručnosť. Napríklad namiesto toho, aby ste povedali, že číslo a je celé číslo, ktoré je väčšie alebo rovné nule, môžete povedať: a je nezáporné celé číslo.
Používanie celých čísel na opis meniacich sa hodnôt
Na čo sa používajú celé čísla? Najskôr s ich pomocou je vhodné opísať a určiť zmenu v počte akýchkoľvek objektov. Uveďme príklad.
Nechajte sklad uskladniť určitý počet kľukových hriadeľov. Ak sa do skladu privedie ďalších 500 kľukových hriadeľov, ich počet sa zvýši. Číslo 500 iba vyjadruje zmenu (zvýšenie) počtu podrobností. Ak sa potom zo skladu odvezie 200 dielov, potom toto číslo bude charakterizovať aj zmenu počtu kľukových hriadeľov. Tentoraz smerom dole.
Ak sa zo skladu nič nevezme a nič sa neprinesie, potom číslo 0 bude označovať nemennosť počtu dielov.
Zjavná výhoda použitia celých čísel je na rozdiel od prirodzených čísel taká, že ich znamienko jasne naznačuje smer zmeny hodnoty (zvýšenie alebo zníženie).
Pokles teploty o 30 stupňov možno charakterizovať záporným číslom - 30 a nárast o 2 stupne - kladným celým číslom 2.
Tu je ďalší príklad použitia celých čísel. Tentokrát si predstavme, že musíme niekomu darovať 5 mincí. Potom môžeme povedať, že máme - 5 mincí. Číslo 5 popisuje výšku dlhu a znamienko mínus hovorí, že mince musíme splatiť.
Ak dlžíme 2 mince jednej osobe a 3 druhej, potom je možné celkový dlh (5 mincí) vypočítať pomocou pravidla sčítania záporných čísel:
2 + (- 3) = - 5
Ak si všimnete chybu v texte, vyberte ju a stlačte Ctrl + Enter
Ak priradíme číslo 0 naľavo od série prirodzených čísel, dostaneme rad kladných celých čísel:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
Celé záporné čísla
Pozrime sa na malý príklad. Obrázok vľavo zobrazuje teplomer, ktorý zobrazuje teplotu 7 ° C. Ak teplota klesne o 4 ° C, potom teplomer zobrazí teplotu 3 ° C. Pokles teploty zodpovedá odčítaniu:
Poznámka: všetky stupne sú písané písmenom C (Celzia), znak stupňa je od čísla oddelený medzerou. Napríklad 7 ° C.
Ak teplota klesne o 7 ° C, teplomer ukáže 0 ° C. Pokles teploty zodpovedá odčítaniu:
Ak teplota klesne o 8 ° C, teplomer ukáže -1 ° C (mráz 1 ° C). Ale výsledok odčítania 7 - 8 nemožno zapísať pomocou prirodzených čísel a nuly.
Poďme si ilustrovať odčítanie od série celých čísel:
1) Od čísla 7 počítajte 4 čísla doľava a získajte 3:
2) Od čísla 7 počítajte 7 čísel doľava a získate 0:
Je nemožné spočítať 8 čísel v sérii celých čísel od 7 doľava. Ak chcete, aby bola akcia 7 - 8 uskutočniteľná, rozbaľte sériu kladných celých čísel. Aby sme to dosiahli, naľavo od nuly zapíšeme (sprava doľava) všetky prirodzené čísla, aby sme ku každému z nich pridali znamienko -, čo znamená, že toto číslo je naľavo od nuly.
Príspevky -1, -2, -3, ... čítať mínus 1, mínus 2, mínus 3 atď .:
5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
Výsledná séria čísel sa volá rad celých čísel... Bodky vľavo a vpravo v tejto položke znamenajú, že v riadku je možné pokračovať neobmedzene vpravo a vľavo.
Napravo od čísla 0 v tomto riadku sú volané čísla prirodzené alebo celé pozitívne (krátko - pozitívne).
Naľavo od čísla 0 v tomto riadku sú volané čísla celý negatívny (krátko - negatívny).
Číslo 0 je celé číslo, ale nie je ani kladné, ani záporné. Oddeľuje kladné a záporné čísla.
V dôsledku toho séria celých čísel pozostáva zo záporných celých čísel, nuly a kladných celých čísel.
Porovnanie celých čísel
Porovnajte dve celé čísla - znamená zistiť, ktorá z nich je väčšia, ktorá je menšia, alebo zistiť, či sú počty rovnaké.
Celé čísla môžete porovnať pomocou série celých čísel, pretože čísla v ňom sa nachádzajú od najmenších po najväčšie, ak sa pohybujete po rade zľava doprava. Preto v sérii celých čísel môžete čiarky nahradiť znakom menej:
5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...
V dôsledku toho z dvoch celých čísel, tým väčšie je číslo v riadku vpravo, a tým menšie je vľavoznamená:
1) Akékoľvek kladné číslo väčšie ako nula a väčšie ako akékoľvek záporné číslo:
1 > 0; 15 > -16
2) Akékoľvek záporné číslo menšie ako nula:
7 < 0; -357 < 0
3) Z dvoch záporných čísel je väčšie číslo vpravo v rade celých čísel.
Číslo- najdôležitejší matematický koncept, ktorý sa v priebehu storočí menil.
Prvé predstavy o počte vznikli spočítaním ľudí, zvierat, ovocia, rôznych výrobkov atď. Výsledkom sú prirodzené čísla: 1, 2, 3, 4, ...
Historicky prvým rozšírením konceptu čísla je pridanie zlomkových čísel k prirodzenému číslu.
Zlomoknazýva sa časť (podiel) jednotky alebo niekoľko jej rovnakých častí.
Určené :, kde m, n- celé čísla;
Zlomky so menovateľom 10 nkde n- celé číslo, volané desatinný: .
Medzi desatinnými zlomkami zaujíma zvláštne miesto periodické zlomky: 
- čistá periodická frakcia, 
- zmiešaná periodická frakcia.
Ďalšie rozšírenie koncepcie čísla je spôsobené vývojom samotnej matematiky (algebra). Descartes v 17. storočí. zavádza koncept záporné číslo.
Celé číslo (kladné a záporné), zlomkové (kladné a záporné) a nulové čísla sa volajú racionálne čísla... Akékoľvek racionálne číslo možno napísať ako konečný a periodický zlomok.
Na štúdium neustále sa meniacich premenných veličín sa ukázalo byť nevyhnutné rozšíriť koncept čísla novým spôsobom - zavedením reálnych (skutočných) čísel - pridaním iracionálnych čísel k racionálnym číslam: iracionálne číslasú nekonečné desatinné neperiodické zlomky.
Iracionálne čísla sa objavili pri meraní nekombinovateľných segmentov (bočné a uhlopriečky štvorca), v algebre - pri extrakcii koreňov je príkladom transcendentálneho iracionálneho čísla π, e .
Čísla prirodzené(1, 2, 3,...), celý(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), racionálne(vyjadriteľné ako zlomok) a iracionálne(nedá sa reprezentovať ako zlomok ) tvoria množinu skutočný (skutočný)čísla.
Zložité čísla sa v matematike rozlišujú osobitne.
Komplexné číslavznikajú v súvislosti s problémom riešenia štvorcov pre prípad D< 0 (здесь D Je diskriminantom kvadratickej rovnice). Tieto čísla dlho nenašli fyzické uplatnenie, preto sa im hovorilo „imaginárne“ čísla. Teraz sa však veľmi často používajú v rôznych oblastiach fyziky a techniky: elektrotechnika, hydro- a aerodynamika, teória pružnosti atď.
Komplexné čísla sa píšu ako: z \u003d a+ bi... Tu a a b – reálne číslaa i – imaginárna jednotka, t.j.e. i 2 = -1. Číslo azavolal úsečka, a b -ordinovať komplexné číslo a+ bi. Dve komplexné čísla a+ bia a - bisa volajú príslušného komplexné čísla.
Vlastnosti:
1. Reálne číslo a možno napísať aj ako komplexné číslo: a+ 0ialebo a -0i... Napríklad 5 + 0 i a 5 - 0 i znamenajú rovnaké číslo 5.
2. Komplexné číslo 0 + bi zavolal čisto imaginárne číslo... Nahrávanie biznamená to isté ako 0 + bi.
3. Dve komplexné čísla a+ bi a c+ di sa považujú za rovnocenné, ak a= ca b= d... V opačnom prípade nie sú komplexné čísla rovnaké.
Akcie:
Dodatok. Súčet komplexných čísel a+ bi a c+ disa nazýva komplexné číslo ( a+ c) + (b+ d)i. Touto cestou, pri sčítaní zložitých čísel sa zvlášť pripočítavajú ich úsečky a súradnice.
Odčítanie. Rozdiel dvoch komplexných čísel a+ bi(klesajúci) a c+ di (odčítané) sa nazýva komplexné číslo ( a - c) + (b - d)i. Touto cestou, pri odčítaní dvoch komplexných čísel sa ich úsečky a súradnice odčítajú osobitne.
Násobenie. Súčin komplexných čísel a+ bi a c+ divolalo komplexné číslo:
(ac - bd) + (reklama+ pred n. l)i. Táto definícia vyplýva z dvoch požiadaviek:
1) čísla a+ bi a c+ dimusia byť vynásobené ako algebraické dvojčleny,
2) číslo i má hlavnú vlastnosť: i 2 = –1.
PRI mi r. ( a + bi)(a - bi)\u003d a 2 + b 2 . V dôsledku toho zloženiedve konjugované komplexné čísla sa rovná skutočnému kladnému číslu.
Divízia. Vydeľte komplexné číslo a+ bi(deliteľné) iným c+ di (rozdeľovač) - znamená nájsť tretie číslo e+ f i (chat), ktorá sa vynásobí deliteľom c+ di, má za následok dividendu a+ bi. Ak deliteľ nie je nula, rozdelenie je vždy možné.
PRI mi r. Nájsť (8 a viac i) : (2 – 3i) .
Riešenie. Prepíšme tento pomer na zlomok:
Vynásobením jeho čitateľa a menovateľa 2 + 3 ia po vykonaní všetkých transformácií dostaneme:
Priradenie 1: Sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie z 1 na z 2
Extrahovanie druhej odmocniny: Vyriešte rovnicu x 2 = -a. Na vyriešenie tejto rovnice sme nútení používať čísla nového typu - imaginárne čísla ... Touto cestou, vymyslený zavolal na číslo druhou mocninou je záporné číslo... Podľa tejto definície imaginárnych čísel môžeme definovať a vymyslený jednotka:
Potom pre rovnicu x 2 \u003d - 25 dostaneme dve vymyslený koreň:
Zadanie 2: Vyriešte rovnicu:
1) x 2 = – 36; 2) x 2 = – 49; 3) x 2 = – 121
Geometrické znázornenie komplexných čísel. Reálne čísla sú reprezentované bodkami na číselnom rade:
Tu je bod Aznamená číslo –3, bod B–Č. 2 a O- nula. Naproti tomu komplexné čísla sú reprezentované bodmi na súradnicovej rovine. K tomu zvolíme obdĺžnikové (karteziánske) súradnice s rovnakými mierkami na oboch osiach. Potom komplexné číslo a+ bibude predstavovaná bodkou P s úsečkoua a ordinovaťb... Tento súradnicový systém sa nazýva zložitá rovina .
Modul komplexné číslo je dĺžka vektora OPpredstavujúce komplexné číslo na súradnici ( integrovaný) rovina. Modul komplexného čísla a+ bioznačené | a+ bi | alebo) písmeno r a rovná sa:
Konjugované komplexné čísla majú rovnaký modul.
Pravidlá návrhu výkresu sú takmer rovnaké ako pri kreslení v karteziánskom súradnicovom systéme. Pozdĺž osí je potrebné nastaviť rozmer, poznámka:
e 
jednotka pozdĺž skutočnej osi; Re z
imaginárna jednotka pozdĺž imaginárnej osi. Im z
Úloha 3. Zostrojte nasledujúce komplexné čísla na komplexnej rovine: , , , , , , ,
1. Presné a približné čísla.Čísla, s ktorými sa v praxi stretávame, sú dvojakého druhu. Niektoré udávajú skutočnú hodnotu hodnoty, iné iba približné. Prvé sa nazývajú presné, druhé približné. Najčastejšie je vhodné použiť približné číslo namiesto presného, \u200b\u200bnajmä preto, že v mnohých prípadoch je nemožné nájsť presné číslo.
Ak teda hovoria, že v triede je 29 študentov, potom je číslo 29 presné. Ak hovoria, že vzdialenosť z Moskvy do Kyjeva je 960 km, potom je tu číslo 960 približné, pretože na jednej strane naše meracie prístroje nie sú absolútne presné, na druhej strane samotné mestá majú určitú dĺžku.
Výsledkom akcií s približnými číslami je tiež približný počet. Vykonaním niektorých operácií na presných číslach (rozdelenie, extrakcia koreňov) môžete tiež získať približné čísla.
Teória približných výpočtov umožňuje:
1) poznať stupeň presnosti údajov, posúdiť stupeň presnosti výsledkov;
2) odoberajte údaje s primeranou mierou presnosti dostatočnou na zabezpečenie požadovanej presnosti výsledku;
3) racionalizujte proces výpočtu a zbavte ho výpočtov, ktoré neovplyvnia presnosť výsledku.
2. Zaokrúhľovanie.Zaokrúhľovanie je jedným zdrojom približných čísel. Približné a presné čísla zaokrúhlite.
Zaokrúhlenie daného čísla na niektoré z jeho číslic sa nazýva nahradenie novým číslom, ktoré sa získa od daného čísla vyradením všetkých jeho číslic napísaných napravo od číslice tejto číslice, alebo ich nahradením nulami. Tieto nuly sú zvyčajne podčiarknuté alebo písané nižšie. Aby ste zaistili čo najbližšiu možnú blízkosť zaokrúhleného čísla k zaokrúhlenému, mali by ste použiť nasledujúce pravidlá: ak chcete zaokrúhliť číslo na jednu z istých číslic, musíte za číslicu tejto číslice zahodiť všetky číslice a v celom čísle ich nahradiť nulami. Berú sa do úvahy nasledujúce skutočnosti:
1) ak je prvá (ľavá) z vyradených číslic menšia ako 5, posledná ľavá číslica sa nezmení (zaokrúhľovanie s nedostatkom);
2) ak je prvá zahodená číslica väčšia ako 5 alebo rovná 5, potom sa posledná ľavá číslica zvýši o jednu (zaokrúhli sa na viac).
Ukážme to na príkladoch. Zaokrúhliť:
a) do desatín 12,34;
b) do stotín 3,2465; 1038 785;
c) až tisíciny 3,4335.
d) až 12375 tisíc; 320729.
a) 12,34 ≈ 12,3;
b) 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;
c) 3,4335 ≈ 3,434.
d) 12375 ≈ 12 000; 320729 ≈ 321000.
3. Absolútne a relatívne chyby.Rozdiel medzi presným číslom a jeho približnou hodnotou sa nazýva absolútna chyba približného čísla. Ak napríklad zaokrúhlite presné číslo 1,214 na desatiny, získate približný počet 1,2. V tomto prípade je absolútna chyba približného čísla 1,2 1,214 - 1,2, t.j. 0,014.
Ale vo väčšine prípadov nie je presná hodnota uvažovanej hodnoty známa, ale iba približná. Potom nie je známa ani absolútna chyba. V týchto prípadoch uveďte hranicu, ktorá nepresahuje. Toto číslo sa nazýva hraničná absolútna chyba. Hovorí sa, že presná hodnota čísla sa rovná jeho približnej hodnote s chybou menšou ako hraničná. Napríklad číslo 23.71 je približná hodnota čísla 23.7125 s presnosťou na 0,01, pretože absolútna chyba aproximácie je 0,0025 a menšia ako 0,01. Tu je hraničná absolútna chyba 0,01 *.
Hraničná absolútna chyba približného počtu asú označené symbolom Δ a... Nahrávanie
x≈a(±Δ a)
treba chápať nasledovne: presná hodnota množstva xje medzi číslami a– Δ aa a+ Δ a, ktoré sa nazývajú dolná a horná hranica xa označiť NG xVG x.
Napríklad ak x≈ 2,3 (± 0,1), potom 2,2<x< 2,4.
Naopak, ak 7.3< x< 7,4, тоx≈ 7,35 (± 0,05). Absolútna alebo hraničná absolútna chyba necharakterizuje kvalitu vykonaného merania. Rovnakú absolútnu chybu možno považovať za významnú a nevýznamnú v závislosti od počtu, ktorým je nameraná hodnota vyjadrená. Napríklad, ak zmeriame vzdialenosť medzi dvoma mestami s presnosťou na jeden kilometer, potom je táto presnosť pre túto zmenu celkom dostačujúca, zároveň pri meraní vzdialenosti medzi dvoma domami na tej istej ulici bude takáto presnosť neprijateľná. Následne presnosť približnej hodnoty veličiny závisí nielen od veľkosti absolútnej chyby, ale aj od hodnoty nameranej veličiny. Preto je mierou presnosti relatívna chyba.
Relatívna chyba je pomer absolútnej chyby k hodnote približného počtu. Pomer hraničnej absolútnej chyby k približnému počtu sa nazýva hraničná relatívna chyba; označte to takto :. Je bežné vyjadrovať relatívne a hraničné relatívne chyby v percentách. Napríklad ak merania ukázali, že vzdialenosť xmedzi dvoma bodmi je viac ako 12,3 km, ale menej ako 12,7 km, potom sa aritmetický priemer týchto dvoch čísel berie ako približná hodnota, t.j. ich polovičný súčet, potom sa hraničná absolútna chyba rovná polovičnému rozdielu týchto čísel. V tomto prípade x≈ 12,5 (± 0,2). Tu je hraničná absolútna chyba 0,2 km a hraničná relatívna
1) Vydeľujem okamžite, pretože obe čísla sú 100% deliteľné:
2) Vydelím zvyšným veľkým počtom (a), pretože sú rovnomerne vydelené (zároveň sa nebudem rozširovať - \u200b\u200bje to už spoločný deliteľ):
6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6
6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0
3) Nechám to tak a začnem brať ohľad na čísla a. Obidve čísla sú presne deliteľné (končí sa párnymi číslicami (v tomto prípade reprezentujeme ako alebo môžeme ich vydeliť)):
4) Pracujeme s číslami a. Majú spoločné faktory? Je to také ľahké ako v predchádzajúcich krokoch a nemôžete povedať, že ich ďalej jednoducho rozložíme na hlavné faktory:
5) Ako vidíme, mali sme pravdu: obaja nemajú spoločných deliteľov a teraz sa musíme množiť.
Gcd
Problém číslo 2. Nájdite GCD čísel 345 a 324
Nemôžem tu rýchlo nájsť aspoň jedného spoločného deliteľa, takže sa iba rozkladám na hlavné faktory (čo najmenej):
Presne, GCD a ja sme spočiatku nekontrolovali znak deliteľnosti a možno by som nemusel robiť toľko krokov.
Ale skontroloval si, nie?
Ako vidíte, nie je to vôbec ťažké.
Najmenej spoločný násobok (LCM) - šetrí čas a pomáha riešiť problémy mimo krabice
Povedzme, že máte dve čísla - a. Čo je najmenšie číslo, ktoré je deliteľné a bezo zvyšku (teda úplne)? Je ťažké si to predstaviť? Tu je vizuálna stopa:
Pamätáte si, čo predstavuje list? Správne, len celé čísla. Aké je najmenšie číslo, ktoré sa zhoduje s x? :
V tomto prípade.
Z tohto jednoduchého príkladu vyplýva niekoľko pravidiel.
Pravidlá pre rýchle vyhľadanie NOC
Pravidlo 1. Ak je jedno z dvoch prirodzených čísel deliteľné iným číslom, potom väčšie z týchto dvoch čísel je ich najmenší spoločný násobok.
Nájdite nasledujúce čísla:
- LCM (7; 21)
- LCM (6; 12)
- LCM (5; 15)
- LCM (3; 33)
S touto úlohou ste sa samozrejme ľahko vyrovnali a dostali ste odpovede -, a.
Všimnite si, že v pravidle hovoríme o DVA číslach, ak je ich viac, pravidlo nefunguje.
Napríklad LCM (7; 14; 21) sa nerovná 21, pretože nie je rovnomerne deliteľné.
Pravidlo 2. Ak sú dve (alebo viac ako dve) čísla coprime, potom najmenší spoločný násobok sa rovná ich súčinu.
Nájsť NOC nasledujúce čísla:
- LCM (1; 3; 7)
- LCM (3; 7; 11)
- LCM (2; 3; 7)
- LCM (3; 5; 2)
Máte spočítané? Tu sú odpovede - ,; ...
Ako si viete predstaviť, nie je vždy také ľahké vziať a zvoliť práve toto x, takže pre trochu zložitejšie čísla existuje nasledujúci algoritmus:
Poďme cvičiť?
Nájdite najmenej spoločný násobok - LCM (345; 234)
Rozširujeme každé číslo:
Prečo som hneď písal?
Pamätajte na znaky deliteľnosti znakom: deliteľný znakom (posledná číslica je párna) a súčet číslic je deliteľný znakom.
Podľa toho môžeme okamžite vydeliť, napíšeme to ako.
Teraz vypíšeme najdlhšiu expanziu v rade - druhú:
Pridajme k tomu čísla z prvého rozšírenia, ktoré nie sú v tom, čo sme napísali:
Poznámka: vypísali sme všetko okrem, pretože to už máme.
Teraz musíme všetky tieto čísla vynásobiť!
Nájdite si najmenej spoločný násobok (LCM)
Aké odpovede ste dostali?
Stalo sa mi toto:
Koľko času si strávil hľadaním NOC? Môj čas je 2 minúty, naozaj viem jeden trikktoré navrhujem otvoriť práve teraz!
Ak ste veľmi pozorní, pravdepodobne ste si všimli, že pri uvedených číslach sme už hľadali Gcd a z tohto príkladu by ste mohli vziať faktorizáciu týchto čísel, čím by ste zjednodušili svoju úlohu, ale to nie je všetko.
Pozri sa na obrázok, možno ťa napadnú ďalšie myšlienky:
Nuž? Dovoľte mi naznačiť: skúste sa množiť NOC a Gcd medzi sebou a zapísať všetky faktory, ktoré budú pri znásobení. Zvládli ste? Mali by ste skončiť s týmto reťazcom:
Pozrime sa na to bližšie: porovnajte multiplikátory s tým, ako a sú rozšírené.
Aký záver z toho môžete vyvodiť? Správny! Ak hodnoty vynásobíme NOC a Gcd medzi sebou, potom dostaneme súčin týchto čísel.
Podľa toho mať čísla a význam Gcd (alebo NOC), môžeme nájsť NOC (alebo Gcd) podľa tejto schémy:
1. Nájdite produkt čísel:
2. Výslednú prácu vydelíme našou Gcd (6240; 6800) = 80:
To je všetko.
Napíšme pravidlo všeobecne:
Pokúsiť sa nájsť Gcdak je známe, že:
Zvládli ste? ...
Záporné čísla sú „falošné čísla“ a ich rozpoznanie ľudstvom.
Ako ste už pochopili, jedná sa o čísla oproti prirodzeným číslam, to znamená:
Zdalo by sa, čo je na nich také zvláštne?
Faktom je, že záporné čísla si až do 19. storočia „vydobyli“ svoje oprávnené miesto v matematike (až do tej doby existovalo obrovské množstvo polemík, či existujú alebo nie).
Samotné záporné číslo vzniklo z takejto operácie s prirodzenými číslami ako „odčítanie“.
Skutočne, odčítajte od - to je záporné číslo. Preto sa často volá veľa negatívnych čísel Msgstr "Rozšírenie množiny prirodzených čísel".
Negatívne čísla ľudia dlho nerozpoznávali.
Takže staroveký Egypt, Babylon a staroveké Grécko - svetlá svojej doby, nerozpoznali záporné čísla a v prípade získania negatívnych koreňov v rovnici (napríklad ako u nás) boli korene odmietnuté ako nemožné.
Prvýkrát dostali záporné čísla svoje právo na existenciu v Číne a potom v 7. storočí v Indii.
Čo je podľa teba dôvodom tohto uznania?
Máte pravdu, záporné čísla začali naznačovať dlhy (inak - nedostatok).
Verilo sa, že záporné čísla sú dočasnou hodnotou, ktorá sa vo výsledku zmení na kladnú (to znamená, že peniaze sa veriteľovi stále vrátia). Indický matematik Brahmagupta však už vtedy považoval záporné čísla za rovnocenné s kladnými.
V Európe užitočnosť záporných čísel, ako aj skutočnosť, že môžu označovať dlhy, prišli oveľa neskôr, akési milénium.
Prvú zmienku si všimol v roku 1202 v „Knihe počtov“ Leonard z Pisy (hneď hovorím, že autor knihy nemá nič spoločné so šikmou vežou v Pise, ale čísla Fibonacciho sú jeho dielom (prezývka Leonardo z Pisy - Fibonacci)).
V 17. storočí tomu teda Pascal veril.
Čo myslíte, odôvodnil to?
Je pravda, že „nič nemôže byť menšie ako NIČ“.
Ozvou tých čias zostáva skutočnosť, že záporné číslo a operácia odčítania sú označené rovnakým symbolom - mínus „-“. A je to pravda :. Číslo „“ je kladné, od ktorého sa odčíta, alebo záporné, ktoré zvyšuje až ... ... Niečo zo série „čo je prvé: kuracie alebo vajce?“ Tu je taký druh tejto matematickej filozofie.
Negatívne čísla upevnili svoje právo na existenciu s príchodom analytickej geometrie, inými slovami, keď matematici zaviedli taký koncept ako číselná os. 
Od tejto chvíle začala rovnosť. Stále však bolo viac otázok ako odpovedí, napríklad:
pomerný
Tento podiel sa nazýva „Arnov paradox“. Popremýšľajte, čo je na tom pochybné?
Poďme sa spolu rozprávať „“ je viac než „“ nie? Podľa logiky by teda ľavá strana proporcie mala byť väčšia ako pravá, ale sú rovnaké ... Toto je paradox.
Vo výsledku sa matematici zhodli, že Karl Gauss (áno, áno, toto je ten, kto spočítal súčet (alebo) čísel) v roku 1831 to ukončil.
Povedal, že záporné čísla majú rovnaké práva ako kladné čísla a skutočnosť, že sa nevzťahujú na všetky veci, ešte nič neznamená, pretože zlomky sa tiež nevzťahujú na veľa vecí (nestane sa, že by kopáč vykopal jamu, si nemôžete kúpiť lístok do kina atď.).
Matematici sa upokojili až v 19. storočí, keď teóriu záporných čísel vytvorili William Hamilton a Hermann Grassmann.
Sú také kontroverzné, tieto negatívne čísla.
Vznik „prázdnoty“ alebo biografie nuly.
V matematike špeciálne číslo.
Na prvý pohľad to nie je nič: sčítajte, odčítajte - nič sa nezmení, ale stačí to priradiť doprava k „“ a výsledné číslo bude niekoľkonásobne väčšie ako pôvodné.
Vynásobením nuly všetko premeníme na nič a vydelíme „ničím“, to znamená, že nemôžeme. Jedným slovom magické číslo)
Nulový príbeh je dlhý a neprehľadný.
Stopa nuly sa našla v spisoch Číňanov v 2. tisícročí nášho letopočtu. a ešte skôr v Mayoch. Prvé použitie nulového symbolu, ktorým je dnes, videli grécki astronómovia.
Existuje veľa verzií, prečo bolo zvolené toto označenie „nič“.
Niektorí historici sa prikláňajú k názoru, že ide o omikron, t.j. prvé písmeno gréckeho slova pre nič za nič je ouden. Podľa inej verzie slovo „obol“ (minca takmer žiadnej hodnoty) oživilo symbol nuly.
Nula (alebo nula) ako matematický symbol sa u Indiánov objavuje ako prvá (pozor, na rovnakom mieste sa začali „vyvíjať“ záporné čísla).
Prvý spoľahlivý dôkaz o zaznamenávaní nuly sa datuje do roku 876 a v nich je „“ zložkou čísla.
Nula tiež prišla do Európy s oneskorením - iba v roku 1600 a rovnako ako záporné čísla čelila odporu (čo môžete urobiť, sú to Európania).
„Nula bola často nenávidená, dlho obávaná alebo dokonca zakázaná“ - píše americký matematik Charles Seif.
Takže turecký sultán Abdul-Hamid II. Na konci XIX. Storočia. nariadil svojim cenzorom, aby vypustili vzorec pre vodu H2O zo všetkých učebníc chémie, pričom písmeno „O“ označil ako nulu a nechcel, aby jeho iniciály boli očierňované okolím opovrhnutiahodnej nuly. “
Na internete nájdete vetu: „Nula je najmocnejšia sila vo vesmíre, dokáže všetko! Nula vytvára v matematike poriadok a prináša do nej aj chaos. ““ Absolútne správne si všimol :)
Súhrn oddielov a základné vzorce
Sada celých čísel sa skladá z 3 častí:
- prirodzené čísla (podrobnejšie ich zvážime nižšie);
- čísla oproti prirodzeným číslam;
- nula - „“
Množina celých čísel je označená písmeno Z.
1. Prirodzené čísla
Prirodzené čísla sú čísla, pomocou ktorých počítame veci.
Množina prirodzených čísel je označená písmeno N.
Pri operáciách s celými číslami potrebujete schopnosť vyhľadať GCD a LCM.
Najväčší spoločný deliteľ (GCD)
Na vyhľadanie GCD potrebujete:
- Rozkladajte čísla na prvočíselné faktory (na čísla, ktoré nemožno rozdeliť ničím iným, ako ste vy, napríklad vy, atď.).
- Zapíšte si faktory, ktoré sú súčasťou oboch čísel.
- Znásobte ich.
Najmenej spoločné násobenie (LCM)
Ak chcete nájsť NOC, potrebujete:
- Rozložte čísla na prvočíselné faktory (už viete, ako to urobiť veľmi dobre).
- Zapíšte si faktory zahrnuté do rozšírenia jedného z čísel (je lepšie zvoliť najdlhší reťazec).
- Pridajte k nim chýbajúce faktory z rozšírení zostávajúcich čísel.
- Nájdite produkt výsledných faktorov.
2. Záporné čísla
sú to čísla oproti prirodzeným číslam, to znamená:
Teraz ťa chcem počuť ...
Dúfam, že ste ocenili super užitočné „triky“ v tejto časti a pochopili ste, ako vám pomôžu na skúške.
A čo je dôležitejšie, v živote. Nehovorím o tom, ale verte mi, tento je. Schopnosť rýchlo a bez chýb počítať šetrí v mnohých životných situáciách.
Teraz si na rade ty!
Napíšte, použijete pri výpočtoch metódy zoskupovania, kritériá deliteľnosti, gcd a LCM?
Možno ste ich už použili? Kde a ako?
Možno máte otázky. Alebo návrhy.
Napíšte do komentárov, ako sa vám článok páči.
A veľa šťastia pri skúškach!
Načítava ...