Care sunt fracțiile corecte. Fracții obișnuite, regulate și neregulate, mixte și compuse

Fracțiune în matematică, un număr format din una sau mai multe părți (fracții) ale unei unități. Fracțiile fac parte din câmpul numărului rațional. Prin modul în care sunt scrise, fracțiile sunt împărțite în 2 formate: comun bun si zecimal .

Numeratorul fracției - un număr care arată numărul de fracții luate (situat în partea superioară a fracției - deasupra liniei). Numitorul fracției - un număr care arată în câte fracții este împărțită unitatea (situat sub linie - în partea de jos). , la rândul lor sunt împărțite în: corect și gresit, amestecat și compozit strâns legată de unitățile de măsură. 1 metru conține 100 cm. Ceea ce înseamnă că 1 metru este împărțit în 100 de părți egale. Astfel, 1 cm \u003d 1/100 m (un centimetru este egal cu o sutime de metru).

sau 3/5 (trei cincimi), aici 3 este numărătorul, 5 este numitorul. Dacă numărătorul este mai mic decât numitorul, atunci fracția este mai mică decât una și se numește corect:

Dacă numeratorul este egal cu numitorul, fracția este egală cu unu. Dacă numeratorul este mai mare decât numitorul, fracția este mai mare decât una. În ambele cazuri din urmă, fracția se numește gresit:

Pentru a izola cel mai mare număr întreg într-o fracție necorespunzătoare, împărțiți numărătorul la numitor. Dacă împărțirea se efectuează fără rest, atunci fracția necorespunzătoare luată este egală cu coeficientul:

Dacă împărțirea se efectuează cu un rest, atunci coeficientul (incomplet) dă întregul dorit, în timp ce restul devine numeratorul părții fracționate; numitorul părții fracționare rămâne același.

Se numește numărul care conține părțile întregi și fracționate amestecat... Partea fracționată număr mixtpoate fracțiune greșită... Apoi puteți selecta cel mai mare număr întreg din partea fracțională și puteți reprezenta numărul mixt în așa fel încât partea fracțională să devină o fracție regulată (sau dispare complet).

Fracțiune necorespunzătoare

Sferturi

Ordine. a și b există o regulă care face posibilă identificarea fără echivoc a uneia și a uneia dintre cele trei relații dintre ele: „< », « > „Sau” \u003d ”. Această regulă se numește regulă de ordonare și este formulat după cum urmează: două numere non-negative și sunt legate de aceeași relație ca două numere întregi și; două numere nepozitive a și b sunt legate de aceeași relație ca două numere non-negative și; dacă brusc a non-negativ și b - negativ, atunci a > b ... style \u003d "lățime maximă: 98%; înălțime: automată; lățime: automată;" src \u003d "/ pictures / wiki / files / 57 /.png" border \u003d "0"\u003e
Sumarea fracțiilor
Operație de adăugare. Pentru orice numere raționale a și b există un așa-numit regula însumării c ... Mai mult, numărul în sine c numit sumă numere a și b și se notează și se numește procesul de găsire a unui astfel de număr însumare... Regula de însumare este după cum urmează: .
Operație de multiplicare. Pentru orice numere raționale a și b există un așa-numit regula multiplicării, care le pune în corespondență cu un număr rațional c ... Mai mult, numărul în sine c numit muncă numere a și b și este notat, iar procesul de găsire a unui astfel de număr este, de asemenea, numit multiplicare... Regula multiplicării este după cum urmează: .
Tranzitivitatea relației de ordine. Pentru orice triplu al numerelor raționale a , b și c în cazul în care un a Mai puțin b și b Mai puțin c apoi a Mai puțin c , si daca a la fel de b și b la fel de c apoi a la fel de c ... 6435 "\u003e Comutativitatea adunării. Suma nu se schimbă de la schimbarea locurilor termenilor raționali.
Asociativitate adițională. Ordinea adunării celor trei numere raționale nu afectează rezultatul.
Prezența zero. Există un număr rațional 0 care păstrează orice alt număr rațional atunci când este însumat.
Prezența numerelor opuse. Orice număr rațional are un număr rațional opus, care, atunci când este adunat împreună, dă 0.
Comutativitatea multiplicării. Produsul nu se schimbă dintr-o schimbare în locurile factorilor raționali.
Asociativitatea multiplicării. Ordinea în care sunt înmulțite cele trei numere raționale nu afectează rezultatul.
Disponibilitatea unității. Există un număr rațional 1 care păstrează orice alt număr rațional atunci când este multiplicat.
Numere inversate. Orice număr rațional are un număr rațional invers, înmulțind cu care dă 1.
Distributivitatea multiplicării în raport cu adunarea. Operația de multiplicare este în concordanță cu operația de adunare prin intermediul legii distribuției:
Relația unei comenzi cu o operație de adăugare. Unul și același număr rațional poate fi adăugat la laturile stângi și drepte ale unei inegalități raționale. lățime maximă: 98%; înălțime: auto; lățime: auto; "src \u003d" / pictures / wiki / files / 51 /.png "border \u003d" 0 "\u003e
Axioma lui Arhimede. Oricare ar fi numărul rațional a , puteți lua atât de multe unități încât suma lor va depăși a ... style \u003d "lățime maximă: 98%; înălțime: automată; lățime: automată;" src \u003d "/ pictures / wiki / files / 55 /.png" border \u003d "0"\u003e

Proprietăți suplimentare

Toate celelalte proprietăți inerente numerelor raționale nu sunt selectate ca principale, deoarece, în general vorbind, nu se mai bazează direct pe proprietățile numărului întreg, ci pot fi dovedite pe baza proprietăților de bază date sau direct prin definiția unui anumit obiect matematic. Există o mulțime de astfel de proprietăți suplimentare. Are sens să cităm doar câteva dintre ele aici.

Stil \u003d "lățime maximă: 98%; înălțime: automată; lățime: automată;" src \u003d "/ pictures / wiki / files / 48 /.png" border \u003d "0"\u003e

Contabilitatea unui set

Numerotarea rațională

Pentru a estima numărul de numere raționale, trebuie să găsiți cardinalitatea setului lor. Este ușor să demonstrezi că mulțimea numerelor raționale este numărabilă. Pentru a face acest lucru, este suficient să se dea un algoritm care numerotează numerele raționale, adică stabilește o bijecție între mulțimile numerelor raționale și naturale.

Cel mai simplu dintre acești algoritmi este după cum urmează. Pentru fiecare este compilat un tabel nesfârșit cu fracții obișnuite eu -alea linie în fiecare j -a coloana a cărei fracție este localizată. Pentru claritate, se presupune că rândurile și coloanele acestui tabel sunt numerotate începând de la unul. Celulele de masă sunt desemnate, unde eu este numărul rândului tabelului în care se află celula și j - numărul coloanei.

Tabelul rezultat este ocolit de „șarpe” conform următorului algoritm formal.

Aceste reguli sunt scanate de sus în jos și următoarea poziție este selectată în primul meci.

În procesul unei astfel de traversări, fiecare nou număr rațional este asociat cu următorul număr natural. Adică, fracției 1/1 i se atribuie numărul 1, fracția 2/1 - numărul 2 etc. Trebuie remarcat faptul că sunt numerotate doar fracțiile ireductibile. Semnul formal al ireductibilității este egalitatea cu unul dintre cei mai mari divizori comuni ai numărătorului și numitorului fracției.

Urmând acest algoritm, toate numerele raționale pozitive pot fi enumerate. Aceasta înseamnă că setul numerelor raționale pozitive este numărabil. Este ușor să stabilim o bijecție între mulțimile numerelor raționale pozitive și negative prin simpla atribuire a opusului fiecărui număr rațional. T. despre. mulțimea numerelor raționale negative este de asemenea numărabilă. Unirea lor este, de asemenea, numărabilă prin proprietatea mulțimilor numărabile. Mulțimea numerelor raționale este, de asemenea, numărabilă ca uniune a unei mulțimi numărabile cu una finită.

Afirmația că setul numerelor raționale este numărabilă poate provoca o oarecare uimire, deoarece la prima vedere se pare că este mult mai extinsă decât setul numerelor naturale. De fapt, nu este așa și există suficiente numere naturale pentru a enumera toate cele raționale.

Lipsa numerelor raționale

Hipotenuza unui astfel de triunghi nu este exprimată de niciun număr rațional

Numere raționale de forma 1 / n în mare n puteți măsura cantități arbitrare mici. Acest fapt creează impresia înșelătoare că orice distanță geometrică poate fi măsurată cu numere raționale. Este ușor să arăți că acest lucru nu este adevărat.

Din teorema lui Pitagora se știe că ipotenuza unui triunghi unghiular este exprimată ca rădăcina pătrată a sumei pătratelor picioarelor sale. T. despre. lungimea hipotenuzei unui triunghi unghiular isoscel cu un picior unitar este, adică, un număr al cărui pătrat este 2.

Acest articol este despre fracții comune... Aici ne vom familiariza cu conceptul de fracție dintr-un întreg, ceea ce ne va conduce la definirea unei fracții obișnuite. Mai departe ne vom opri asupra notației acceptate pentru fracțiile obișnuite și vom da exemple de fracții, să spunem despre numărătorul și numitorul unei fracții. După aceea, vom da definiții ale fracțiilor corecte și incorecte, pozitive și negative și vom lua în considerare și poziția numerelor fracționare pe raza de coordonate. În concluzie, enumerăm principalele acțiuni cu fracțiuni.

Navigare în pagină.

Acțiuni ale întregului

Mai întâi introducem conceptul de share.

Să presupunem că avem un obiect format din mai multe părți absolut identice (adică egale). Pentru claritate, vă puteți imagina, de exemplu, un măr tăiat în mai multe părți egale sau un portocaliu, format din mai multe felii egale. Fiecare dintre aceste părți egale care alcătuiesc întregul lucru este numită acțiuni ale unui întreg sau pur și simplu acțiuni.

Rețineți că acțiunile sunt diferite. Să explicăm acest lucru. Să presupunem că avem două mere. Să tăiem primul măr în două părți egale, iar al doilea în 6 părți egale. Este clar că ponderea primului măr va diferi de ponderea celui de-al doilea măr.

În funcție de numărul de bătăi care alcătuiesc întregul subiect, aceste bătăi au propriile lor nume. Să analizăm distribuie nume... Dacă obiectul este format din două părți, oricare dintre ele se numește o secundă a întregului obiect; dacă obiectul este format din trei părți, atunci oricare dintre ele se numește o a treia parte și așa mai departe.

O a doua parte are un nume special - jumătate... Se numește o a treia parte al treilea, iar un sfert este un sfert.

Pentru scurtă durată, au fost introduse următoarele împărtășește desemnările... O a doua acțiune este desemnată fie ca 1/2, o a treia acțiune ca sau 1/3; o pătrime este ca sau 1/4 și așa mai departe. Rețineți că notația cu o bară orizontală este folosită mai des. Pentru a consolida materialul, vom da un alt exemplu: înregistrarea denotă o sută șaizeci și șaptea parte a întregului.

Conceptul de acțiune se extinde în mod natural de la obiecte la cantități. De exemplu, una dintre măsurile de măsurare a lungimii este metrul. Pentru măsurarea lungimilor mai mici de un metru, puteți utiliza fracțiuni de metru. Așadar, puteți folosi, de exemplu, o jumătate de metru sau o zecime sau o miime de metru. Fracțiile altor cantități sunt aplicate în mod similar.

Fracții comune, definiții și exemple de fracții

Pentru a descrie numărul de bătăi, utilizați fracții comune... Să dăm un exemplu care ne va permite să abordăm definiția fracțiilor obișnuite.

Lăsați portocala să aibă 12 părți. Fiecare bătaie în acest caz reprezintă o doisprezecime dintr-o portocală întreagă, adică. Să desemnăm două acțiuni ca, trei acțiuni - ca și așa mai departe, vom desemna 12 acțiuni ca. Fiecare dintre aceste intrări se numește fracție.

Acum să dăm un general definirea fracțiilor comune.

Definiția sunată a fracțiilor obișnuite permite exemple de fracții comune: 5/10 ,, 21/1, 9/4 ,. Și iată înregistrările nu se potrivesc definiției vocale a fracțiilor obișnuite, adică nu sunt fracții obișnuite.

Numerator și denumitor

Pentru comoditate, se distinge o fracție comună numărător și numitor.

Definiție.

Numărător fracția (m / n) este un număr natural m.

Definiție.

Numitor fracția (m / n) este un număr natural n.

Deci, numeratorul este deasupra liniei oblice (în stânga oblicului), iar numitorul este sub linia oblică (în dreapta oblicului). De exemplu, să dăm o fracție obișnuită 17/29, numărătorul acestei fracții este numărul 17, iar numitorul este numărul 29.

Rămâne să discutăm semnificația conținută în numărătorul și numitorul unei fracții obișnuite. Numitorul unei fracțiuni arată din câte părți constă un articol, numeratorul, la rândul său, indică numărul de astfel de părți. De exemplu, numitorul 5 al fracției 12/5 înseamnă că un articol este format din cinci părți, iar numeratorul 12 înseamnă că există 12 astfel de părți.

Număr natural ca fracție cu numitor 1

Numitorul unei fracții obișnuite poate fi egal cu una. În acest caz, putem presupune că obiectul este indivizibil, cu alte cuvinte, este ceva întreg. Numeratorul unei astfel de fracțiuni indică câte elemente întregi au fost luate. Astfel, o fracție obișnuită a formei m / 1 are semnificația unui număr natural m. Astfel am fundamentat validitatea egalității m / 1 \u003d m.

Scriem ultima egalitate după cum urmează: m \u003d m / 1. Această egalitate ne permite să reprezentăm orice număr natural m ca o fracție obișnuită. De exemplu, 4 este o fracție 4/1, iar 103 498 este egală cu 103 498/1.

Asa de, orice număr natural m poate fi reprezentat ca o fracție obișnuită cu numitorul 1 ca m / 1 și orice fracție obișnuită de forma m / 1 poate fi înlocuită cu un număr natural m.

Slash ca semn de diviziune

Reprezentarea elementului original sub formă de n acțiuni nu este altceva decât împărțirea în n părți egale. După ce elementul este împărțit în n acțiuni, îl putem împărți în mod egal între n persoane - fiecare va primi o acțiune.

Dacă inițial avem m obiecte identice, fiecare dintre ele fiind împărțit în n părți, atunci putem împărți în mod egal aceste m obiecte între n oameni, oferind fiecărei persoane câte o parte din fiecare dintre cele m obiecte. Mai mult, fiecare persoană va avea m acțiuni de 1 / n, iar m acțiuni de 1 / n dă o fracție obișnuită m / n. Astfel, fracția obișnuită m / n poate fi utilizată pentru a desemna împărțirea m obiectelor între n oameni.

Deci, am obținut o legătură explicită între fracțiile obișnuite și diviziune (a se vedea ideea generală a divizării numerelor naturale). Această relație este exprimată în următoarele: o bară a unei fracțiuni poate fi înțeleasă ca un semn de diviziune, adică m / n \u003d m: n.

Folosind o fracție obișnuită, puteți scrie rezultatul împărțirii a două numere naturale pentru care nu se realizează divizarea întreagă. De exemplu, rezultatul împărțirii a 5 mere la 8 persoane poate fi scris ca 5/8, adică toată lumea primește cinci optimi de măr: 5: 8 \u003d 5/8.

Fracții obișnuite egale și inegale, compararea fracțiilor

O acțiune destul de naturală este compararea fracțiilor obișnuite, deoarece este clar că 1/12 dintr-o portocală este diferită de 5/12, iar 1/6 dintr-un măr este același cu încă 1/6 din acest măr.

Ca rezultat al comparării a două fracții obișnuite, se obține unul dintre rezultate: fracțiile sunt fie egale, fie nu egale. În primul caz, avem fracții egale, iar în al doilea - fracții inegale... Să dăm o definiție a fracțiilor ordinare egale și inegale.

Definiție.

sunt egaledacă egalitatea a d \u003d b c este adevărată.

Definiție.

Două fracții a / b și c / d nu este egaldacă egalitatea a d \u003d b c nu se menține.

Iată câteva exemple de fracții egale. De exemplu, o fracție comună 1/2 este egală cu 2/4, deoarece 1 4 \u003d 2 2 (dacă este necesar, consultați regulile și exemplele de multiplicare a numerelor naturale). Pentru claritate, vă puteți imagina două mere identice, primul este tăiat în jumătate, iar al doilea este tăiat în 4 părți. În același timp, este evident că două sferturi de măr au 1/2 parte. Alte exemple de fracții comune egale sunt 4/7 și 36/63 și o pereche de fracții 81/50 și 1.620 / 1000.

Iar fracțiile obișnuite 4/13 și 5/14 nu sunt egale, deoarece 4 14 \u003d 56 și 13 5 \u003d 65, adică 4 14 ≠ 13 5. Un alt exemplu de fracții obișnuite inegale este 17/7 și 6/4.

Dacă, atunci când comparați două fracții obișnuite, s-a dovedit că acestea nu sunt egale, atunci poate fi necesar să aflați care dintre aceste fracții obișnuite mai puțin altul și care - mai Mult... Pentru a afla, se utilizează regula pentru compararea fracțiilor obișnuite, a căror esență se reduce la aducerea fracțiilor comparate la un numitor comun și apoi la compararea numeratorilor. Informații detaliate despre acest subiect sunt colectate în comparația articolelor de fracții: reguli, exemple, soluții.

Numere fracționare

Fiecare fracție este o înregistrare număr fracțional... Adică, o fracție este doar o „coajă” a unui număr fracționar, aspectul său și întreaga sarcină semantică este conținută în numărul fracțional. Cu toate acestea, pentru concizie și comoditate, conceptele de fracție și de număr fracțional sunt combinate și pur și simplu se spun ca fracție. Aici este potrivit să reformulăm zicala cunoscută: spunem o fracție - vrem să spunem un număr fracționat, spunem un număr fracționat - vrem să spunem o fracție.

Fracții pe raza de coordonate

Toate numerele fracționare corespunzătoare fracțiilor obișnuite își au locul lor unic, adică există o corespondență unu-la-unu între fracții și puncte ale razei de coordonate.

Pentru a ajunge pe raza de coordonate la punctul corespunzător fracției m / n, trebuie să amânați m segmente de la origine în direcția pozitivă, a căror lungime este 1 / n a unui segment de unitate. Astfel de segmente pot fi obținute prin împărțirea unui segment de unitate în n părți egale, care se poate face întotdeauna folosind o busolă și o riglă.

De exemplu, să arătăm punctul M pe raza de coordonate corespunzătoare fracției 14/10. Lungimea segmentului cu capete la punctul O și punctul cel mai apropiat de acesta, marcat cu o cursă mică, este 1/10 dintr-un segment de unitate. Punctul cu coordonata 14/10 este situat la o distanță de 14 astfel de segmente de la origine.

Fracțiile egale corespund aceluiași număr fracțional, adică fracțiile egale sunt coordonatele aceluiași punct de pe raza de coordonate. De exemplu, un punct corespunde coordonatelor 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 pe raza de coordonate, deoarece toate fracțiile scrise sunt egale (este situat la o distanță de jumătate de segment de unitate, pus deoparte de la origine în direcția pozitivă).

Pe raza de coordonate orizontală și orientată spre dreapta, punctul a cărui coordonată este fracția majoră este situat la dreapta punctului a cărui coordonată este fracția minoră. În mod similar, punctul cu coordonata mai mică se află la stânga punctului cu coordonata mai mare.

Fracții corecte și necorespunzătoare, definiții, exemple

Printre fracțiile obișnuite, există fracțiile corecte și greșite... Această împărțire se bazează pe comparația numărătorului și numitorului.

Să oferim o definiție a fracțiilor obișnuite regulate și incorecte.

Definiție.

Fracțiunea corespunzătoare Este o fracție obișnuită, al cărei numărător este mai mic decât numitorul, adică dacă m

Definiție.

Fracțiune necorespunzătoare Este o fracție obișnuită în care numărătorul este mai mare sau egal cu numitorul, adică dacă m≥n, atunci fracția obișnuită este incorectă.

Iată câteva exemple de fracții regulate: 1/4 ,, 32 765/909 003. Într-adevăr, în fiecare dintre fracțiile obișnuite scrise, numărătorul este mai mic decât numitorul (dacă este necesar, consultați articolul care compară numerele naturale), deci sunt corecte prin definiție.

Și iată exemple de fracții necorespunzătoare: 9/9, 23/4 ,. Într-adevăr, numărătorul primei fracții obișnuite înregistrate este egal cu numitorul, iar în restul fracțiilor, numărătorul este mai mare decât numitorul.

Există, de asemenea, definiții ale fracțiilor corecte și greșite bazate pe compararea fracțiilor cu una.

Definiție.

corectdacă este mai mică decât una.

Definiție.

O fracție obișnuită se numește gresitdacă este fie egal cu unul, fie mai mare decât 1.

Deci, fracția obișnuită 7/11 este corectă, din 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 și 27/27 \u003d 1.

Să ne gândim de ce fracțiile obișnuite cu un numărător mai mare sau egal cu numitorul au câștigat un astfel de nume - „incorect”.

Să luăm ca exemplu fracția necorespunzătoare 9/9. Această fracțiune înseamnă că ați luat nouă părți ale unui obiect care este format din nouă părți. Adică, din cele nouă părți disponibile, putem compune un obiect întreg. Adică, fracția necorespunzătoare 9/9 dă în esență întregul articol, adică 9/9 \u003d 1. În general, fracțiile neregulate cu un numărător egal cu numitorul denotă un obiect întreg și o astfel de fracție poate fi înlocuită cu numărul natural 1.

Acum ia în considerare fracțiile necorespunzătoare 7/3 și 12/4. Este destul de evident că din aceste șapte treimi putem face două obiecte întregi (un obiect întreg este 3 părți, apoi pentru a compune două obiecte întregi avem nevoie de 3 + 3 \u003d 6 părți) și încă o treime rămâne. Adică, fracția necorespunzătoare 7/3 înseamnă în esență 2 itemi și chiar 1/3 dintr-un astfel de articol. Și din cele douăsprezece pătrimi, putem realiza trei obiecte întregi (trei obiecte cu patru părți în fiecare). Adică, fracția 12/4 înseamnă în esență 3 obiecte întregi.

Exemplele luate în considerare ne conduc la următoarea concluzie: fracțiile necorespunzătoare pot fi înlocuite fie cu numere naturale, când numărătorul este împărțit în întregime la numitor (de exemplu, 9/9 \u003d 1 și 12/4 \u003d 3), fie prin suma unui număr natural și a unei fracții regulate, când numeratorul nu este divizibil în mod egal cu numitorul (de exemplu, 7/3 \u003d 2 + 1/3). Poate că tocmai de aceea fracțiile greșite merită un astfel de nume - „greșit”.

De un interes deosebit este reprezentarea unei fracții improprii ca sumă a unui număr natural și a unei fracții regulate (7/3 \u003d 2 + 1/3). Acest proces se numește separarea întregii părți de fracțiunea necorespunzătoare și merită o analiză separată și mai atentă.

De asemenea, este demn de remarcat faptul că există o relație foarte strânsă între fracțiile necorespunzătoare și numerele mixte.

Fracții pozitive și negative

Fiecare fracțiune corespunde unui număr fracțional pozitiv (vezi articolul numere pozitive și negative). Adică fracțiile comune sunt fracții pozitive... De exemplu, fracțiile comune 1/5, 56/18, 35/144 sunt fracții pozitive. Când este necesar să se sublinieze pozitivitatea unei fracții, atunci un semn plus este plasat în fața ei, de exemplu, +3/4, +72/34.

Dacă puneți un semn minus în fața unei fracții obișnuite, atunci această înregistrare va corespunde unui număr fracțional negativ. În acest caz, putem vorbi despre fracții negative... Iată câteva exemple de fracții negative: −6/10, −65/13, −1/18.

Fracțiile pozitive și negative m / n și −m / n sunt numere opuse. De exemplu, fracțiile 5/7 și −5/7 sunt fracții opuse.

Fracțiile pozitive, cum ar fi numerele pozitive în general, indică adunarea, venitul, modificarea oricărei valori în sus etc. Fracțiile negative corespund cheltuielilor, datoriei, modificării valorii descendente. De exemplu, o fracție negativă −3/4 poate fi interpretată ca o datorie de 3/4.

Pe partea orizontală și spre dreapta, fracțiile negative sunt situate în stânga originii. Punctele liniei de coordonate, ale căror coordonate sunt fracția pozitivă m / n și fracția negativă −m / n sunt situate la aceeași distanță de origine, dar pe laturile opuse ale punctului O.

Aici merită menționate fracțiile de forma 0 / n. Aceste fracții sunt egale cu numărul zero, adică 0 / n \u003d 0.

Fracțiile pozitive, fracțiile negative și fracțiile 0 / n sunt combinate în numere raționale.

Acțiuni cu fracții

O acțiune cu fracții comune - compararea fracțiilor - am discutat deja mai sus. Încă patru aritmetici acțiuni cu fracțiuni - adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea fracțiilor. Să ne oprim asupra fiecăruia dintre ei.

Esența generală a acțiunilor cu fracțiuni este similară cu esența acțiunilor corespunzătoare cu numere naturale. Să facem o analogie.

Înmulțirea fracțiilor poate fi considerat ca o acțiune în care există o fracțiune de fracție. Să dăm un exemplu de clarificare. Să presupunem că avem 1/6 dintr-un măr și trebuie să luăm 2/3 din el. Partea de care avem nevoie este rezultatul înmulțirii fracțiilor 1/6 și 2/3. Rezultatul înmulțirii a două fracții ordinare este o fracție obișnuită (care, în cazul particular, este egală cu un număr natural). Mai departe, vă recomandăm să studiați informațiile articolului multiplicarea fracțiilor - reguli, exemple și soluții.

Lista de referinte.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematică: manual pentru clasa a 5-a institutii de invatamant.
Vilenkin N. Ya. și alte matematici. Clasa a 6-a: manual pentru instituțiile de învățământ.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un ghid pentru solicitanții școlilor tehnice).

Fracțiile comune sunt împărțite în fracții \\ textit (corecte) și \\ textit (incorecte). Această diviziune se bazează pe compararea numărătorului și numitorului.

Fracții corecte

Fracția corectă este o fracție obișnuită $ \\ frac (m) (n) $, în care numărătorul este mai mic decât numitorul, adică $ m

Exemplul 1

De exemplu, fracțiile $ \\ frac (1) (3) $, $ \\ frac (9) (123) $, $ \\ frac (77) (78) $, $ \\ frac (378567) (456298) $ sunt corecte, deci ca în fiecare dintre ele numărătorul este mai mic decât numitorul, ceea ce corespunde definiției unei fracții corecte.

Există o definiție a unei fracții proprii, care se bazează pe compararea unei fracții cu o unitate.

corectdacă este mai puțin de unul:

Exemplul 2

De exemplu, fracția comună $ \\ frac (6) (13) $ este corectă deoarece condiția $ \\ frac (6) (13)

Fracții incorecte

Fracțiune greșită este o fracție obișnuită $ \\ frac (m) (n) $, în care numărătorul este mai mare sau egal cu numitorul, adică $ m \\ ge n $.

Exemplul 3

De exemplu, fracțiile $ \\ frac (5) (5) $, $ \\ frac (24) (3) $, $ \\ frac (567) (113) $, $ \\ frac (100001) (100000) $ sunt incorecte, deci ca în fiecare dintre ele numeratorul este mai mare sau egal cu numitorul, ceea ce corespunde definiției unei fracții improprii.

Să dăm o definiție a unei fracții improprii, care se bazează pe comparația ei cu o unitate.

Fracția ordinară $ \\ frac (m) (n) $ este gresitdacă este egal sau mai mare decât unul:

\\ [\\ frac (m) (n) \\ ge 1 \\]

Exemplul 4

De exemplu, fracția comună $ \\ frac (21) (4) $ este invalidă deoarece condiția $ \\ frac (21) (4)\u003e 1 $ este îndeplinită;

fracția ordinară $ \\ frac (8) (8) $ este invalidă deoarece condiția $ \\ frac (8) (8) \u003d 1 $ este îndeplinită.

Să aruncăm o privire mai atentă asupra conceptului de fracție necorespunzătoare.

Luați ca exemplu fracția necorespunzătoare $ \\ frac (7) (7) $. Înțelesul acestei fracții este că au luat șapte părți ale obiectului, care este împărțit în șapte părți egale. Astfel, din cele șapte părți disponibile, puteți compune întregul articol. Acestea. fracția necorespunzătoare $ \\ frac (7) (7) $ descrie întregul obiect și $ \\ frac (7) (7) \u003d 1 $. Deci, fracțiile necorespunzătoare, în care numărătorul este egal cu numitorul, descriu un obiect întreg și o astfel de fracție poate fi înlocuită cu un număr natural $ 1 $.

$ \\ frac (5) (2) $ - este destul de evident că din aceste acțiuni de cinci secunde este posibil să faci 2 $ $ elemente întregi (un element întreg va fi de 2 $ $ parts, iar pentru a compune două elemente întregi ai nevoie de 2 $ + 2 \u003d 4 $ acțiuni) și rămâne o a doua acțiune. Adică, fracția neregulată $ \\ frac (5) (2) $ descrie $ 2 $ dintr-un articol și $ \\ frac (1) (2) $ fracția acelui articol.

$ \\ frac (21) (7) $ - douăzeci și unu-șapte acțiuni pot face 3 $ $ articol întreg (articol de 3 $ cu acțiuni de 7 $ fiecare). Acestea. fracția $ \\ frac (21) (7) $ descrie $ 3 $ din obiecte întregi.

Din exemplele luate în considerare, se poate trage următoarea concluzie: o fracție necorespunzătoare poate fi înlocuită cu un număr natural dacă numeratorul este complet divizibil cu numitorul (de exemplu, $ \\ frac (7) (7) \u003d 1 $ și $ \\ frac (21) (7) \u003d 3 $) , sau suma unui număr natural și a unei fracții regulate, dacă numeratorul nu este complet divizibil cu numitorul (de exemplu, $ \\ \\ frac (5) (2) \u003d 2 + \\ frac (1) (2) $). Prin urmare, astfel de fracții sunt numite gresit.

Definiția 1

Procesul de reprezentare a unei fracții improprii ca sumă a unui număr natural și a unei fracții regulate (de exemplu, $ \\ frac (5) (2) \u003d 2 + \\ frac (1) (2) $) se numește separând întreaga parte de fracțiunea necorespunzătoare.

Când lucrați cu fracțiuni necorespunzătoare, există o relație strânsă între ele și numerele mixte.

O fracție necorespunzătoare este adesea scrisă ca un număr mixt - un număr care constă dintr-un număr întreg și o parte fracționată.

Pentru a scrie o fracție necorespunzătoare ca număr mixt, trebuie să împărțiți numărătorul la numitor și rest. Coeficientul va fi întreaga parte a numărului mixt, restul este numeratorul părții fracționate, iar divizorul este numitorul părții fracționate.

Exemplul 5

Scrieți fracția necorespunzătoare $ \\ frac (37) (12) $ ca număr mixt.

Decizie.

Împarte numeratorul la numitorul cu restul:

\\ [\\ frac (37) (12) \u003d 37: 12 \u003d 3 \\ (restul \\ 1) \\] \\ [\\ frac (37) (12) \u003d 3 \\ frac (1) (12) \\]

Răspuns. $ \\ frac (37) (12) \u003d 3 \\ frac (1) (12) $.

Pentru a scrie un număr mixt ca o fracțiune necorespunzătoare, trebuie să înmulțiți numitorul cu întreaga parte a numărului, să adăugați numeratorul părții fracționare la produsul care sa dovedit și să scrieți suma rezultată în numeratorul fracției. Numitorul fracției improprii va fi egal cu numitorul părții fracționare a numărului mixt.

Exemplul 6

Scrieți numărul mixt $ 5 \\ frac (3) (7) $ ca o fracție necorespunzătoare.

Decizie.

Răspuns. $ 5 \\ frac (3) (7) \u003d \\ frac (38) (7) $.

Adăugarea unui număr mixt și a unei fracții regulate

Adăugare de număr mixt $ a \\ frac (b) (c) $ și fracția corectă $ \\ frac (d) (e) $ se realizează prin adăugarea la fracția dată a părții fracționale a numărului mixt dat:

Exemplul 7

Adăugați fracția corectă $ \\ frac (4) (15) $ și numărul mixt $ 3 \\ frac (2) (5) $.

Decizie.

Să folosim formula pentru adăugarea unui număr mixt și a unei fracții regulate:

\\ [\\ frac (4) (15) +3 \\ frac (2) (5) \u003d 3 + \\ left (\\ frac (2) (5) + \\ frac (4) (15) \\ right) \u003d 3 + \\ cincisprezece)\\]

Împărțind la numărul \\ textit (5), puteți determina că fracția $ \\ frac (10) (15) $ este anulabilă. Să efectuăm reducerea și să găsim rezultatul adăugării:

Deci, rezultatul adăugării fracției corecte $ \\ frac (4) (15) $ și numărul mixt $ 3 \\ frac (2) (5) $ va fi $ 3 \\ frac (2) (3) $.

Răspuns: $ 3 \\ frac (2) (3) $

Adăugarea unui număr mixt și a unei fracții necorespunzătoare

Adăugați fracția necorespunzătoare și numărul mixt sunt reduse la adunarea a două numere mixte, pentru care este suficient să selectați întreaga parte din fracția necorespunzătoare.

Exemplul 8

Calculați suma numărului mixt $ 6 \\ frac (2) (15) $ și fracția necorespunzătoare $ \\ frac (13) (5) $.

Decizie.

Mai întâi, selectați partea întreagă din fracția necorespunzătoare $ \\ frac (13) (5) $:

Răspuns: $ 8 \\ frac (11) (15) $.

Fracțiunea corespunzătoare

Sferturi

Ordine. a și b există o regulă care face posibilă identificarea fără echivoc a uneia și a uneia dintre cele trei relații dintre ele: „< », « > „Sau” \u003d ”. Această regulă se numește regulă de ordonare și este formulat după cum urmează: două numere non-negative și sunt legate de aceeași relație ca două numere întregi și; două numere nepozitive a și b sunt legate de aceeași relație ca două numere non-negative și; dacă brusc a non-negativ și b - negativ, atunci a > b ... style \u003d "lățime maximă: 98%; înălțime: automată; lățime: automată;" src \u003d "/ pictures / wiki / files / 57 /.png" border \u003d "0"\u003e
Sumarea fracțiilor
Operație de adăugare. Pentru orice numere raționale a și b există un așa-numit regula însumării c ... Mai mult, numărul în sine c numit sumă numere a și b și se notează și se numește procesul de găsire a unui astfel de număr însumare... Regula de însumare este după cum urmează: .
Operație de multiplicare. Pentru orice numere raționale a și b există un așa-numit regula multiplicării, care le pune în corespondență cu un număr rațional c ... Mai mult, numărul în sine c numit muncă numere a și b și este notat, iar procesul de găsire a unui astfel de număr este, de asemenea, numit multiplicare... Regula multiplicării este după cum urmează: .
Tranzitivitatea relației de ordine. Pentru orice triplu al numerelor raționale a , b și c în cazul în care un a Mai puțin b și b Mai puțin c apoi a Mai puțin c , si daca a la fel de b și b la fel de c apoi a la fel de c ... 6435 "\u003e Comutativitatea adunării. Suma nu se schimbă de la schimbarea locurilor termenilor raționali.
Asociativitate adițională. Ordinea adunării celor trei numere raționale nu afectează rezultatul.
Prezența zero. Există un număr rațional 0 care păstrează orice alt număr rațional atunci când este însumat.
Prezența numerelor opuse. Orice număr rațional are un număr rațional opus, care, atunci când este adunat împreună, dă 0.
Comutativitatea multiplicării. Produsul nu se schimbă dintr-o schimbare în locurile factorilor raționali.
Asociativitatea multiplicării. Ordinea în care sunt înmulțite cele trei numere raționale nu afectează rezultatul.
Disponibilitatea unității. Există un număr rațional 1 care păstrează orice alt număr rațional atunci când este multiplicat.
Numere inversate. Orice număr rațional are un număr rațional invers, înmulțind cu care dă 1.
Distributivitatea multiplicării în raport cu adunarea. Operația de multiplicare este în concordanță cu operația de adunare prin intermediul legii distribuției:
Relația unei comenzi cu o operație de adăugare. Unul și același număr rațional poate fi adăugat la laturile stângi și drepte ale unei inegalități raționale. lățime maximă: 98%; înălțime: auto; lățime: auto; "src \u003d" / pictures / wiki / files / 51 /.png "border \u003d" 0 "\u003e
Axioma lui Arhimede. Oricare ar fi numărul rațional a , puteți lua atât de multe unități încât suma lor va depăși a ... style \u003d "lățime maximă: 98%; înălțime: automată; lățime: automată;" src \u003d "/ pictures / wiki / files / 55 /.png" border \u003d "0"\u003e

Proprietăți suplimentare

Stil \u003d "lățime maximă: 98%; înălțime: automată; lățime: automată;" src \u003d "/ pictures / wiki / files / 48 /.png" border \u003d "0"\u003e

Contabilitatea unui set

Numerotarea rațională

Tabelul rezultat este ocolit de „șarpe” conform următorului algoritm formal.

Aceste reguli sunt scanate de sus în jos și următoarea poziție este selectată în primul meci.

Lipsa numerelor raționale

Hipotenuza unui astfel de triunghi nu este exprimată de niciun număr rațional

Dacă presupunem că numărul este reprezentat de un număr rațional, atunci există un astfel de număr întreg m și un număr atât de natural n , care, în plus, fracția este ireductibilă, adică numerele m și n - reciproc simplu.