Formulele de bază de trigonometrie. Lecția numărul 1.
Numărul de formule utilizate în trigonometrie este destul de mare (sub formule ", nu înseamnă nici o definiție (de exemplu, TGX \u003d Sinx / Cosx) și egalități identice de tip SIN2X \u003d 2Sinxcosx). Pentru a facilita navigarea la abundența formulelor și nu și studenți obosiți cu o camionetă fără sens, este necesar să se aloce cele mai importante dintre ele. Există puține dintre ele - doar trei. Dintre aceste trei formule, toți ceilalți urmează. Aceasta este principala identitate trigonometrică și formulele pentru sumele sinusale și cosinoase și diferențele:
SIN 2 X + COS 2 X \u003d 1 (1)
Păcat (x ± y) \u003d sinxcosy ± Sinycosx (2)
Cos (x ± y) \u003d cosxcosy ± sinxsiny (3)
Dintre aceste trei formule, există absolut toate proprietățile sinusului și a cosiniei (periodicitate, perioadă de perioadă, valoarea sinusoidală 30 0 \u003d π / 6 \u003d 1/2, etc.) Din acest punct de vedere în programul școlar există informații mult inutile, redundante. Deci, formula "1-3" este guvernul împărăției trigonometrice. Să ne întoarcem la consecințe:
1) Sinusuri și cosine de colțuri multiple
Dacă înlocuim (2) și (3) valoarea x \u003d y, primim:
SIN2X \u003d 2Sinxcosch; SIN0 \u003d SINXCOSX-SINXCOSX \u003d 0
COS2X \u003d COS 2 X-SIN 2 x; cos0 \u003d cos 2 x + păcat 2 x \u003d 1
Am derivat ca SIN0 \u003d 0; COS0 \u003d 1, fără a se referi la interpretarea geometrică a sinusului și a cosiniei. În mod similar, aplicarea formulei "2-3" de două ori, putem aduce expresii pentru SIN3X; cos3x; SIN4X; Cos4x etc.
SIN3X \u003d Păca (2x + x) \u003d SIN2XCOSX + SINXCOS2X \u003d 2Sinxcos 2 x + Sinx (Cos 2 X-Sin 2 x) \u003d 2Sinx (1-păcat 2 x) + Sinx (1-2sin 2 x) \u003d 3Sinx-4sin 3 X.
Sarcina pentru studenți: retrage expresii similare pentru COS3X; SIN4X; COS4X.
2) Formulele de reducere a gradului
Rezolvați problema inversă, exprimând gradele sinusurilor și a cosiniei prin cosinie și sinele multiplelor colțuri.
De exemplu: COS2X \u003d COS 2 X-SIN 2 x \u003d 2COS 2 X-1, prin urmare: cos 2 x \u003d 1/2 + COS2x / 2
Cos2x \u003d cos 2 x-păcat 2 x \u003d 1-2sin 2 x, prin urmare: păcatul 2 x \u003d 1/2-cos2x / 2
Aceste formule sunt utilizate foarte des. Pentru a le înțelege mai bine, vă sfătuiesc să descrieți grafica părților lor stângi și drepte. Pătratele din piețele cosinoase și sinusale sunt "înfășurate" în jurul graficului direct "y \u003d 1/2" (aceasta este media pentru multe perioade, valoarea Cos 2 x și păcatul 2 x). În același timp, frecvența oscilațiilor se dublează față de cea inițială (perioada de funcții Cos 2 x Sin 2 x este 2π / 2 \u003d π), iar amplitudinea oscilației este dublată (coeficientul 1/2 în fața COS2X) .
Sarcina: Express Sin 3 X; Cos 3 x; Păcatul 4 x; Cos 4 x prin cosine și sanine de colțuri multiple.
3) Formulele de distribuție
Utilizați frecvența funcțiilor trigonometrice, permițându-vă să calculați valorile în orice trimestre ale cercului trigonometric prin valori în primul trimestru. Formulele de aducere există cazuri foarte speciale ale formulelor "principale" (2-3). De exemplu: COS (x + π / 2) \u003d cosxcos π / 2-sinxsin π / 2 \u003d cosx * 0-Sinx * 1 \u003d Sinx.
Deci, cos (x + π / 2) \u003d sinx
Sarcina: Formulele de ieșire pentru păcat (x + π / 2); COS (x + 3 π / 2)
4) Formulele care transformă cantitatea sau diferența de cosin și sinus în lucrare și înapoi.
Repetă formula pentru sinusul suma și diferența dintre două unghiuri:
Păcat (x + y) \u003d sinxcosy + Sinycosx (1)
SIN (X-Y) \u003d Sinxcosy-Sinycosx (2)
Mutarea părților stângi și drepte ale acestor egalități:
Păcat (x + y) + păcat (x-y) \u003d sinxcosy + Sinycosx + sinxcosy -sinycosx
Termeni similari sunt reduse, prin urmare:
Păcat (x + y) + păcat (x-y) \u003d 2sinxcosy (*)
a) Când citiți (*), vom avea dreptate la dreapta:
Sinxcosy \u003d 1/2 (păcat (x + y) + păcat (x-y)) (4)
Produsul Sines din două colțuri este egal cu jumătate de sinus al sumei și diferența dintre aceste unghiuri.
b) Când citiți (*) de la stânga la dreapta, este convenabil să se desemneze:
x-y \u003d s. De aici vom găsi h. și w. prin r. și din, plierea și deducerea părților stângi și drepte ale acestor două egalități:
x \u003d (P + c) / 2, y \u003d (R-S) / 2, substituirea în (*) în loc de (x + y) și (x-y) retrase noi variabile r. și din, Voi prezenta suma sinusurilor prin intermediul lucrării:
sINP + SINC \u003d 2SIN (P + C) / 2COS (P-C) / 2 (5)
Deci, consecința directă a formulei principale pentru sinusurile sumele și diferența de unghiuri este două noi relații (4) și (5).
c) Acum, în loc să pliați părțile stângi și drepte ale egalităților (1) și (2), le vom deduce unul de celălalt:
păcat (x + y) - păcat (x-y) \u003d 2sinycosx (6)
Citind această identitate pe dreapta la stânga conduce la o formulă similară (4), care este neinteresantă, deoarece Știm deja cum să punem lucrările sinusurilor și ale cosiniei în cantitatea de sinusuri (vezi (4)). Citirea (6) de la stânga la dreapta oferă o formulă care transformă diferența sinusală în lucrare:
sINP - SINC \u003d 2SIN ((P-C) / 2) * COS ((P + C) / 2) (7)
Deci, de la un păcat fundamental de identitate (x ± y) \u003d sinxcosy ± Sinycosx, am primit până la trei noi (4), (5), (7).
Lucrări similare efectuate cu o altă identitate fundamentală COS (x ± y) \u003d cosxcosy ± sinxsiny, conduce deja la patru noi:
Cosxcosy \u003d ½ (cos (x + y) + cos (x-y)); Cosp + COSC \u003d 2COS ((P + C) / 2) COS ((P-C) / 2);
Sinxsiny \u003d ½ (cos (x-y) - cos (x + y)); Cosp-COSC \u003d -2sin ((P-C) / 2) SIN ((P + C) / 2)
Sarcina: Pentru a converti cantitatea de sine și cosinus în lucrare:
Sinx + confortabil \u003d? Soluție: Dacă încercați să nu trimiteți formula și luați în considerare imediat răspunsul în unele tabel de formule trigonometrice, atunci nu puteți găsi un rezultat gata. Elevii ar trebui să înțeleagă că nu este nevoie să memorați și să introduceți o altă formulă pentru Sinx + Cozy \u003d ..., deoarece orice cosinină poate fi reprezentată sub forma unei sinusi și, dimpotrivă, cu ajutorul formulelor, de exemplu: Sinx \u003d cos (π / 2 - x), confortabil \u003d păcat (π / 2 - y). Prin urmare: SINX + COZY \u003d SINX + SIN (π / 2 - Y) \u003d 2sin ((x + π / y) / 2) COS ((x - π / 2 + Y) / 2.
Formule în trigonometrie foarte mult.
Amintiți-vă că sunt foarte dificile, aproape imposibile. În clasă, mulți elevi și studenți se bucură de amprente pe forborile de manuale și notebook-uri, postere pe pereți, pătuț, în cele din urmă. Și cum să fii la examen?
Cu toate acestea, dacă aruncați o privire la aceste formule, veți descoperi că acestea sunt interconectate și au o anumită simetrie. Să le analizăm ținând cont de definițiile și proprietățile funcțiilor trigonometrice pentru a determina minimul care merită să învețe de inimă.
I grup. Identități majore
sIN 2 α + cos 2 α \u003d 1;
tgα \u003d. ____ SINα Cosa; CTGα \u003d. ____ Cosα Sinα. ;
tgα · CTGα \u003d 1;
1 + TG 2 α \u003d _____ 1 cos 2 α; 1 + CTG 2 α \u003d _____ 1 păcat 2 α.
Acest grup conține cele mai simple și cele mai populare formule. Majoritatea studenților le cunosc. Dar, dacă există încă dificultăți, apoi să vă amintiți primele trei formule, imaginați-vă mental un triunghi dreptunghiular cu o ipotență egală. Apoi, karteții săi vor fi egali, respectiv, SINα pentru a determina sinusul (raportul dintre ofițerul opus la hipotenuse) și cosa pentru a determina cosinul (raportul dintre catemul adiacent pentru hipotenuse).
Prima formulă este teorema pythagoras pentru un astfel de triunghi - suma pătratelor de catete este egală cu pătratul hipotenusei (1 2 \u003d 1), a doua și a treia este definițiile tangentei (raportul dintre categoria opusă la adiacent) și Catangen (raportul categoriei adiacente la opus).
Lucrarea tangentă asupra lui Kotangenes este 1 deoarece catangenul înregistrat sub formă de fracție (formula treimea) este o tangentă inversată (a doua formulă). Ultima considerație, apropo, face posibilă excluderea dintre formulele că este necesar să se memoreze toate formulele lungi ulterioare cu Kotangent. Dacă veți întâlni CTGα în orice sarcină dificilă, înlocuiți-o doar cu o fracțiune ___ 1 Tgα. Și utilizați formulele pentru tangente.
Ultimele două formule nu pot fi memorate. Ele sunt mai puțin frecvente. Și dacă aveți nevoie, le puteți retrage întotdeauna pe proiectul din nou. Pentru a face acest lucru, este suficient să înlocuiți în loc de un tangent sau un contact al definiției lor după o fracțiune (Formula două și a treia, respectiv) și conduce expresia la numitorul general. Dar este important să vă amintiți că astfel de formule care leagă pătratele tangente și cosinoase, iar pătratele de Kotangens și Sinus există. În caz contrar, nu puteți ghici ce conversii sunt necesare pentru a rezolva o anumită sarcină.
Grupul II. Adăugarea formulelor
păcat (α + β) \u003d SINα · cosβ + cosα · SINβ;
păcatul (α - β) \u003d SINα · cosβ - cosα · SINβ;
cos (α + β) \u003d cosα · cosp - sinα · SINβ;
cos (α-β) \u003d cosα · cosβ + sinα · SINβ;
tg (α + β) \u003d Tgα + TGβ _________ 1 - TGA ββ;
tg (α - β) \u003d
Amintiți-vă acuratețea parității / ciudățeniei funcțiilor trigonometrice:
păcatul (-a) \u003d - păcatul (α); cos (-a) \u003d cos (α); Tg (-a) \u003d - tg (α).
Din toate funcțiile trigonometrice, numai cosinul este o funcție uniformă și nu își schimbă semnul atunci când schimbați semnul argumentului (unghi), funcțiile rămase sunt impare. Precizia funcției, de fapt, înseamnă că semnul minus poate fi făcut și scoateți semnul funcției. Prin urmare, dacă întâmpinați o expresie trigonometrică cu o diferență de două unghiuri, puteți înțelege întotdeauna ca o sumă de unghiuri pozitive și negative.
De exemplu, ( x. - 30 °) \u003d păcat ( x. + (-30º)).
Apoi, folosim formula suma a două unghiuri și înțelegem semne:
( x. + (-30º)) \u003d păcat x.· COS (-30 °) + COS x.· Păcatul (-30 °) \u003d
\u003d Păcat. x.· COS30º - COS x.· SIN30 °.
Astfel, toate formulele care conțin diferența de unghiuri pot fi pur și simplu sărite la prima memorare. Apoi ar trebui să învățați să le restaurați în general, mai întâi pe proiect și apoi mental.
De exemplu, Tg (α - β) \u003d Tg (α + (-p)) \u003d Tgα + Tg (-p) ___________ 1 - Tgα · __ __ (-p) = Tgα - TGβ _________ 1 + Tgα ____.
Acest lucru va contribui la mai repede pentru a ghici ce transformări trebuie aplicate pentru a rezolva o sarcină de trigonometrie.
Grupul SH. Formule de mai multe argumente
sIN2α \u003d 2 · Sinα · cosα;
cOS2α \u003d cos 2 α - păcatul 2 α;
tg2α \u003d. 2Tgα _______ 1 - TG 2 α;
sIN3α \u003d 3Sinα - 4sin 3 α;
cOS3α \u003d 4COS 3 α - 3COSa.
Nevoia de utilizare a formulelor pentru sinusoidală și cosinie a unui unghi dublu apare foarte des, pentru tangentă. Aceste formule trebuie să fie cunoscute de inimă. În plus, nu există dificultăți în memorarea lor. În primul rând, formulele sunt scurte. În al doilea rând, ele sunt ușor controlate de formulele grupului anterior, pe baza faptului că 2α \u003d α + α.
De exemplu:
păcat (α + β) \u003d SINα · cosβ + cosα · SINβ;
păcat (α + α) \u003d Sinα · cosα + cosα · Sinα;
SIN2α \u003d 2Sinα · cosα.
Cu toate acestea, dacă ați învățat aceste formule mai rapide, și nu cele anterioare, atunci puteți acționa dimpotrivă: să vă amintiți formula pentru suma a două unghiuri prin formula corespunzătoare pentru un unghi dublu.
De exemplu, dacă aveți nevoie de o formulă cosinică a sumei a două unghiuri:
1) Amintiți-vă de formula de cosinie cu colț dublu: cos2. x. \u003d Cos 2. x. - SIN 2. x.;
2) Îl pictează lung: cOS ( x. + x.) \u003d Cos. x.· COS. x. - SIN. x.· Păcatul x.;
3) Înlocuiți unul h. Pe α, al doilea pe β: cOS (α + β) \u003d cosα · cosβ - Sinα · SINβ.
Repetați similar pentru a restabili formulele pentru suma sinusoidală și a sumei tangente. În cazuri responsabile, cum ar fi EGE, verificați exactitatea formulelor reduse pe primul trimestru cel mai cunoscut: 0º, 30º, 45º, 60º, 90º.
Verificarea formulei anterioare (obținută prin înlocuirea în linia 3):
lasa α \u003d 60 °, β \u003d 30 °, α + β \u003d 90 °,
atunci cos (α + β) \u003d cos90 ° \u003d 0, cosα \u003d cos60 ° \u003d 1/2, cosβ \u003d cos30 ° \u003d √3 _
/ 2, SINα \u003d SIN60 ° \u003d √3 _
/ 2, SINβ \u003d SIN30 ° \u003d 1/2;
Înlocuim valorile în formula: 0 \u003d (1/2) · ( √3_
/2) − (√3_
/ 2) · (1/2);
0 ≡ 0, erorile nu sunt detectate.
Formule pentru un unghi triplu, în opinia mea, nu este necesar pentru "instrument". Ele sunt rareori găsite la examenele EGE. Ele sunt ușor derivate din formulele care au fost mai mari, deoarece SIN3α \u003d păcat (2α + α). Și acei studenți care, din anumite motive, trebuie să învețe aceste formule de inimă, vă sfătuiesc să acordați atenție unor "simetrie" și nu uitați de formulele în sine, ci reguli mnemonice. De exemplu, ordinea în care numerele sunt situate în două formule "33433433", etc.
Grupul IV. Suma / diferența -
sINα + SINβ \u003d 2 · păcat α + β ____ 2· COS. α - β ____ 2 ;
sINα - SINβ \u003d 2 · păcat α - β ____ 2· COS. α + β ____ 2 ;
cosα + cosβ \u003d 2 · cos α + β ____ 2· COS. α - β ____ 2 ;
cosα - cosβ \u003d -2 · păcat α - β ____ 2· Păcatul α + β ____ 2 ;
tgα + TGβ \u003d păcat (α + β) ________ cosα · cosp ;
tgα - TGβ \u003d păcat (α - β) ________ cosα · cosp .
Folosind acuratețea funcțiilor sinusurilor și tangentelor: păcatul (-a) \u003d - păcatul (α); Tg (-a) \u003d - tg (α),
Puteți formaliza formulele pentru diferențele dintre două funcții pentru a reduce formulele pentru sumele lor. De exemplu,
sIN90 ° - SIN30 ° \u003d SIN90 ° + SIN (-30 °) \u003d 2 · Păcat 90º + (-30 °) __________ 2· COS. 90º - (-30 °) __________ 2 =
2 · SIN30 ° · COS60 ° \u003d 2 · (1/2) · (1/2) \u003d 1/2.
Astfel, formulele diferenței de sinusuri și tangente nu se memorează neapărat imediat.
Cu suma și diferența de cosinie, situația este mai complicată. Aceste formule nu sunt interschimbabile. Dar, din nou, folosind paritatea cosiniei, vă puteți aminti următoarele reguli.
Cantitatea de COSα + Cosp nu poate schimba semnul acesteia pentru orice modificare a semnelor unghiurilor, astfel încât produsul ar trebui să cuprindă, de asemenea, din funcții chiar, adică Două cosines.
Semnul diferențe Cosa - Cosp depinde de valorile funcțiilor în sine, ceea ce înseamnă că marca de lucru ar trebui să depindă de corelarea unghiurilor, astfel încât produsul să fie format din funcții ciudate, adică. două sanine.
Cu toate acestea, acest grup de formule nu este cel mai ușor de memorat. Acesta este cazul atunci când este mai bine să ascuțiți, dar mai mult verificați. Pentru a preveni erorile în formula într-un examen dat, asigurați-vă că ați înregistrat-o mai întâi pe schiță și verificați în două moduri. Primele substituții β \u003d α și β \u003d -a, apoi prin valori cunoscute ale funcțiilor pentru unghiuri simple. Pentru a face acest lucru, cel mai bine este să luați 90º și 30º, așa cum sa făcut în exemplul de mai sus, deoarece jumătate de dietă și sedimentalitatea acestor valori, dau din nou unghiuri simple și puteți vedea cu ușurință modul în care edicalitatea devine identitatea opțiunea corectă. Sau, dimpotrivă, nu a fost executat dacă vă înșelați.
Exemplucontroale ale formulei Cosα - Cosβ \u003d 2 · păcat α - β ____ 2· Păcatul α + β ____ 2 Pentru diferența de coslinees cu o greșeală !
1) Lăsați β \u003d α, apoi cosα - cosα \u003d 2 · păcat α - α _____ 2· Păcatul α + α _____ 2 \u003d 2sin0 · SINα \u003d 0 · SINα \u003d 0. Cosa - Cosα ≡ 0.
2) Lăsați β \u003d - α, apoi cosα - cos (- α) \u003d 2 · păcat α - (-a) _______ 2· Păcatul α + (-a) _______ 2 \u003d 2Sinα · SIN0 \u003d 0 · SINα \u003d 0. Cosα - COS (- α) \u003d Cosα - Cosα ≡ 0.
Aceste verificări au arătat că funcțiile din formula sunt utilizate corect, dar datorită faptului că identitatea obținută tipul 0 ≡ 0, o eroare cu un semn sau un coeficient ar putea fi ratată. Facem un al treilea cec.
3) Fie a \u003d 90 °, β \u003d 30º, apoi COS90º - COS30º \u003d 2 · Păcatul 90º - 30º ________ 2· Păcatul 90º + 30º ________ 2 \u003d 2sin30º · SIN60 ° \u003d 2 · (1/2) · (√3 _ /2) = √3_ /2.
cOS90 - COS30 \u003d 0 - √3 _ /2 = −√3_ /2 ≠ √3_ /2.
Eroarea a fost într-adevăr în semn și numai în semn înainte de muncă.
V bandă. Lucrul - în cantitate / Diferența
sINα · Sinp \u003d 1 _ 2 · (COS (α-β) - cos (α + β));
cosα · cosβ \u003d 1 _ 2 · (Cos (α-β) + cos (α + β));
sINα · cosβ \u003d 1 _ 2 · (Păcatul (α-β) + păcatul (α + β)).
Numele celui de-al cincilea grup de formule în sine sugerează că aceste formule sunt inversate în raport cu grupul anterior. Este clar că, în acest caz, este mai ușor să restaurați formula de pe schiță, decât să o învățați din nou, sporind riscul de a crea "terci în cap". Singurul lucru care are sens să se concentreze pentru o recuperare mai rapidă a formulei, acestea sunt următoarele egalități (verificați-le):
α = α + β ____ 2 + α - β ____ 2; β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2.
Considera exemplu: trebuie să convertiți păcatul5 x.· COS3. x. în suma a două funcții trigonometrice.
Deoarece lucrarea include sinusul și cosinul, atunci luăm din grupul anterior formula pentru suma sinusurilor, care a fost deja învățată și a scrie-o pe proiect.
sINα + SINβ \u003d 2 · păcat α + β ____ 2· COS. α - β ____ 2
Fie 5. x. = α + β ____ 2 și 3. x. = α - β ____ 2 , atunci α \u003d α + β ____ 2 + α - β ____ 2 = 5x. + 3x. = 8x., β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2 = 5x. − 3x. = 2x..
Înlocuirea în formula de pe schița valorilor unghiurilor, exprimate prin variabilele α și β, pe valorile unghiurilor, exprimate prin variabila x..
A primi sIN8. x. + SIN2. x. \u003d 2 · SIN5 x.· COS3. x.
Împărțăm ambele părți ale justiției pentru 2 și le scriem la finala spre dreapta stânga sIN5 x.· COS3. x. = 1 _ 2 (SIN8. x. + SIN2. x.). Răspunsul este gata.
Ca exercițiu: Explicați de ce în formula manualelor pentru transformarea cantității / diferenței în activitatea de 6 și inversul (pentru conversia unui produs în sumă sau diferență) - numai 3?VI GROUP. Formulele de reducere a gradului
cos 2 α \u003d 1 + cos2α _________ 2;
sIN 2 α \u003d 1 - COS2α _________ 2;
cos 3 α \u003d 3Cosa + cos3α ____________ 4;
sIN 3 α \u003d 3Sinα - SIN3α ____________ 4.
Primele două formule ale acestui grup sunt foarte necesare. Acesta este adesea utilizat în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice, inclusiv nivelul unui singur examen, precum și la calcularea integrală care conține funcțiile elementare ale unui tip trigonometric.
Poate fi mai ușor să le amintiți în următoarele forme "One-Event"
2COS 2 α \u003d 1 + COS2a;
2 păcat 2 α \u003d 1 - COS2α,
Și puteți împărți întotdeauna în 2 sau în proiect.
Necesitatea de a utiliza următoarele două formule (cu cuburi de funcții) pe examene este mult mai puțin frecventă. Într-o altă setare, veți avea întotdeauna timp să utilizați proiectul. Următoarele opțiuni sunt posibile:
1) Dacă vă amintiți ultimele două formule ale grupului III, apoi utilizați-le pentru a exprima păcatul 3 α și cos 3 α prin transformări simple.
2) Dacă în ultimele două formule ale acestui grup ați observat elementele de simetrie, care contribuie la memorarea lor, apoi scrieți schițele formulelor de pe schi și verificați-le prin valorile colțurilor principale.
3) Dacă, pe lângă faptul că există astfel de formule de reducere a gradului, nu știți nimic despre ele, apoi rezolvați problema în etape, pe baza faptului că păcatul 3 α \u003d păcatul 2 α · Sinα și alte formule învățate. Formulele de reducere a gradului pentru pătrat și formula pentru transformarea lucrării în cantitate.
Grupul VII. Jumătate argument
păcat. α _ 2. = ± √ 1 - cosα ________ 2;_____
cos. α _ 2. = ± √ 1 + cosα ________ 2;_____
tg. α _ 2. = ± √ 1 - cosα ________ 1 + cosα._____
Nu văd punctul de memorare prin inima acestui grup de formule în forma în care sunt prezentate în manuale și cărți de referință. Dacă înțelegeți asta α este jumătate din 2α, Că acest lucru este suficient pentru a obține rapid formula dorită de jumătate de argument, pe baza primelor două formule pentru a reduce gradul.
Acest lucru se aplică, de asemenea, unui tangenț de unghi, formula pentru care se obține prin împărțirea expresiei pentru sinus la expresia corespunzătoare pentru cosinie.
Nu uitați numai atunci când scoateți rădăcina pătrată pentru a pune un semn ± .
Grupul VIII. Substituția universală
sINα \u003d. 2TG (α / 2) _________ 1 + TG 2 (α / 2);
cosα \u003d. 1 - TG 2 (α / 2) __________ 1 + TG 2 (α / 2);
tgα \u003d. 2TG (α / 2) _________ 1 - TG 2 (α / 2).
Aceste formule pot fi extrem de utile pentru rezolvarea sarcinilor trigonometrice de toate tipurile. Ele vă permit să realizați principiul "unui argument este o funcție", care vă permite să înlocuiți variabilele care reduc expresiile trigonometrice complexe la algebrică. Nu e de mirare că această substituție se numește Universal.
Primele două formule învață trebuie. Al treilea poate fi obținut prin împărțirea primelor două unul pe celălalt prin definirea Tgα Tangent \u003d sINα ___ Cosα.
Grupul IX. Formule de revendicare.
Pentru a face față acestui grup de formule trigonometrice, fieX grup. Valori pentru colțurile principale.
Sunt date valorile funcțiilor trigonometrice pentru colțurile principale ale primului trimestru.Atunci, fă-o ieșire: Formulele trigonometria trebuie să știe. Cu cât mai mare cu atât mai bine. Dar ce să vă petreceți timpul și efortul - să memorați formulele sau la recuperarea lor în procesul de rezolvare a sarcinilor, toată lumea ar trebui să rezolve independent.
Exemplu de sarcină de utilizare a formulelor de trigonometrie
Rezolvați ecuația sIN5 x.· COS3. x. - SIN8. x.· COS6. x. = 0.Avem două funcții diferite SIN () și COS () și patru! Diferite argumente 5. x., 3x., 8x. și 6. x.. Fără transformări preliminare, nu va fi posibil să se reducă cele mai simple tipuri de ecuații trigonometrice. Prin urmare, mai întâi încercăm să înlocuim lucrările cu privire la sumele sau diferența de funcții.
O facem la fel ca în exemplul de mai sus (vezi secțiunea).
păcat (5. x. + 3x.) + păcat (5 x. − 3x.) \u003d 2 · SIN5 x.· COS3. x.
SIN8. x. + SIN2. x. \u003d 2 · SIN5 x.· COS3. x.
păcat (8. x. + 6x.) + păcat (8 x. − 6x.) \u003d 2 · SIN8 x.· COS6. x.
SIN14. x. + SIN2. x. \u003d 2 · SIN8 x.· COS6. x.
Exprimând lucrările din aceste egalități, le înlocuim la ecuație. Primim:
(SIN8. x. + SIN2. x.) / 2 - (SIN14 x. + SIN2. x.)/2 = 0.
Înmulțim 2 din ambele părți ale ecuației, dezvăluie paranteze și dau astfel de membri
SIN8. x. + SIN2. x. - SIN14. x. - SIN2. x. = 0;
SIN8. x. - SIN14. x. = 0.
Ecuația a simplificat semnificativ, dar pentru ao rezolva astfel SIN8 x. \u003d SIN14. x., prin urmare, 8. x. = 14x. + T, unde T - perioada este incorectă, deoarece nu cunoaștem valoarea acestei perioade. Prin urmare, folosim că în partea dreaptă a egalității este în valoare de 0, cu care este ușor să comparați multiplicatorii în orice expresie.
Pentru a descompune SIN8 x. - SIN14. x. Pentru multiplicatori, trebuie să mergeți de la diferența față de lucrare. Pentru a face acest lucru, puteți utiliza formula diferenței sinusale sau din nou suma de formulă a sinusurilor și a ciudățeniei funcției sinusale (vezi exemplul din secțiune).
sIN8. x. - SIN14. x. \u003d SIN8. x. + păcat (-14 x.) \u003d 2 · păcat 8x. + (−14x.) __________ 2 · COS. 8x. − (−14x.) __________ 2 \u003d păcat (-3 x.) · COS11 x. \u003d -Sin3. x.· COS11 x..
Deci, ecuația SIN8 x. - SIN14. x. \u003d 0 este echivalentă cu ecuația SIN3 x.· COS11 x. \u003d 0, care, la rândul său, este echivalentă cu combinația a două ecuații simple SIN3 x. \u003d 0 și cos11 x. \u003d 0. Rezolvarea acestora din urmă, obținem două serii de răspunsuri
x. 1 \u003d π n./3, n.εz.
x. 2 \u003d π / 22 + π k./11, k.εz.
Dacă ați detectat o eroare sau tipică în text, vă rugăm să o informați la adresa de e-mail [E-mail protejat] . Voi fi foarte recunoscător.
Atenție, ©. mathemathka.. Copierea directă a materialelor pe alte site-uri este interzisă. Puneți legăturile.
Principalele formule de trigonometrie sunt formulele care stabilesc relații între principalele funcții trigonometrice. Sine, cosin, tangentă și catangenes sunt interconectate de multe rapoarte. Mai jos, dau principalele formule trigonometrice, și pentru comoditate, le-au legat în scopul propus. Folosind aceste formule, puteți rezolva aproape orice sarcină din cursul standard al trigonometriei. Imediat, observăm că mai jos sunt doar formulele în sine și nu concluzia lor că vor fi dedicate articole separate.
Principalele identități ale trigonometriei
Identitățile trigonometrice dau relația dintre sinus, cosin, tangent și catangentă de un colț, permițându-vă să exprimați o funcție prin alta.
Identități trigonometrice
păcatul 2 A + Cos 2 A \u003d 1 Tg a \u003d SIN α COS α, CTG α \u003d Cos α SIN α Tg a · CTG a \u003d 1 TG 2 α + 1 \u003d 1 cos 2 α, CTG 2 α + 1 \u003d 1 păcat 2 α.
Aceste identități sunt măsurate direct de la definițiile unui singur cerc, sinus (păcat), cosinus (cos), tangentă (Tg) și Cotangendent (CTG).
Formulele de distribuție
Formulele de clarificare vă permit să vă deplasați de la lucrul cu arbitrar și arbitrar cu unghiuri mari pentru a lucra cu unghiuri variind de la 0 la 90 de grade.
Formulele de distribuție
sIN α + 2 π z \u003d SIN α, cos α + 2 π z \u003d Cos α Tg a + 2 π z \u003d Tg a, CTG a + 2 π z \u003d ctg α păcat - α + 2 π z \u003d - SIN α, COS - α + 2 π z \u003d Cos α TG - α + 2 π z \u003d - Tg a, CTG - α + 2 π z \u003d - CTG α păcat π 2 + α + 2 π z \u003d cos α, cos π 2 + α + 2 π z \u003d - SIN α Tg π 2 + α + 2 π z \u003d - CTG a, CTG π 2 + α + 2 π z \u003d - Tg ain π 2 - α + 2 π z \u003d cos α, cos π 2 - α + 2 π z \u003d SIN α TG π 2 - α + 2 π z \u003d CTG a, CTG π 2 - α + 2 π z \u003d Tg ain π + α + 2 π z \u003d - SIN α, cos π + α + 2 π z \u003d - Cos α z \u003d 2 π, CTG π + α + 2 π z \u003d CTG α Sin π - α + 2 π z \u003d SIN α, cos π - α + 2 π z \u003d - Cos α Tg π - α + 2 π z \u003d - Tg a, CTG π - α + 2 π z \u003d - CTG ain 3 π 2 + α + 2 π z \u003d - cos α, cos 3 π 2 + α + 2 π z \u003d păcatul α Tg 3 π 2 + α + 2 π z \u003d - CTG a, CTG 3 π 2 + α + 2 π z \u003d - tg α păcat 3 π 2 - α + 2 π z \u003d - cos α, cos 3 π 2 - α + 2 π 2 - α + 2 π 2 - α + 2 π z \u003d tg α
Formulele rezultate sunt o consecință a frecvenței funcțiilor trigonometrice.
Adăugarea formulelor trigonometrice
Formulele de adăugare în trigonometrie vă permit să exprimați funcția trigonometrică a sumei sau diferenței de unghiuri prin funcțiile trigonometrice ale acestor unghiuri.
Adăugarea formulelor trigonometrice
sIN α ± β \u003d SIN α · COS p ± Cos α · SIN β Cos α + β \u003d COS α · COS β - SIN · · SIN β COS α β \u003d COS α · COS β + SIN · · SIN β TG α ± β \u003d Tg a ± Tg p 1 ± Tg a · Tg p β ± β \u003d - 1 ± CTG a · CTG β CTG a ± CTG β
Pe baza formulelor de adăugare, sunt derivate formulele trigonometrice ale unui colț cu mai multe ori.
Formule multiple de colț: dublu, triplu etc.
Formule cu unghi dublu și triplusIN 2 α \u003d 2 · SIN α · cos α Cos 2 α \u003d cos 2 α - SIN2 α, cos 2 α \u003d 1 - 2 SIN 2 α, cos 2 α \u003d 2 cos 2 α - 1 tg 2 α \u003d 2 · Tg a 1 - TG 2 α cu Tg 2 α \u003d cu Tg 2 α - 1 2 · C Tg α Sin 3 α \u003d 3 SIN α · Cos 2 α - Sin 3 α, Sin 3 α \u003d 3 Sin α - 4 Sin 3 α Cos 3 α \u003d Cos 3 a-3 SIN2 α · Cos α, cos 3 α \u003d -3 cos α + 4 cos 3 α tg 3 α \u003d 3 tg α - Tg 3 α 1 - 3 Tg 2 α CTG 3 α \u003d CTG 3 α - 3 CTG a 3 CTG 2 α - 1
Formule de unghi jumătate
Formulele unui unghi jumătate din trigonometrie sunt o consecință a formulelor unghiului dublu și exprimă rapoartele dintre funcțiile principale ale unghiului și cosinul întregului unghi.
Formule de unghi jumătate
păcatul 2 α2 \u003d 1 - cos α2 cos 2 α2 \u003d 1 + COS α2T G2 α2 \u003d 1 - COS α 1 + Cos α C T G2 α2 \u003d 1 + COS α 1 - cos α
Formulele de reducere a gradului
Formulele de reducere a graduluisIN 2 α \u003d 1 - cos 2 α 2 cos 2 α \u003d 1 + cos 2 α 2 păcat 3 α \u003d 3 SIN α - SIN 3 α 4 cos 3 α \u003d 3 cos α + cos 3 α 4 păcat 4 α \u003d 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α \u003d 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8
Adesea, la calcularea actului cu grade greoaie este incomod. Formulele de reducere a gradului permit reducerea gradului de funcție trigonometrică cu o mare arbitrar la prima. Prezentăm viziunea lor generală:
Vedere generală a unei formule de reducere a gradului
pentru chiar și N.
sIN N \u003d CN2N2N + 1 2 N - 1 Σ k \u003d 0 N 2 - 1 (- 1) N2 - k · C kN · COS ((N-2 K) α) cos n α \u003d C N2N2N + 1 2 N - 1 Σ k \u003d 0 N 2 - 1 C kN · COS ((N-2 K) α)
pentru N.
sIN N α \u003d 1 2 N - 1 Σ k \u003d 0 N-1 2 (- 1) N-1 2 - K · C KN · Păca ((N-2 K) α) cos n α \u003d 1 2 N - 1 Σ k \u003d 0 N - 1 2 C KN · COS ((N-2 K) α)
Suma și diferența de funcții trigonometrice
Diferența și suma funcțiilor trigonometrice pot fi reprezentate ca produs. Descompunerea diferenței de sinusuri și a diferențelor de cosinie este foarte convenabilă pentru a se aplica în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice și simplificarea expresiilor.
Suma și diferența de funcții trigonometrice
sIN α + SIN β \u003d 2 SIN α + p2 · Cos α-p 2 SIN α - SIN β \u003d 2 SIN α-β2 · Cos α + β 2 cos α + cos β \u003d 2 cos α + β 2 · cos a-p 2 cos α - cos β \u003d - 2 păcat α + p2 · SIN α-β2, cos α - cos β \u003d 2 păcat α + β2 · Sin β - α 2
Lucrul funcțiilor trigonometrice
Dacă formulele sumei și diferenței de funcții vă permit să mergeți la produs, atunci formulele pentru produsul funcțiilor trigonometrice efectuează o tranziție inversă - de la produs la cantitate. Sunt luate în considerare formulele lucrării sinusurilor, cosiniei și sinusului pe cosin.
Formule pentru lucrările funcțiilor trigonometrice
sIN α · SIN β \u003d 1 2 · (Cos (α-β) - cos (α + β)) Cos α · cos β \u003d 1 2 · (cos (α-β) + cos (α + β)) SIN α · COS β \u003d 1 2 · (păcatul (α-β) + păcatul (α + β))
Substituția trigonometrică universală
Toate funcțiile trigonometrice majore sunt sinusul, cosinul, tangentul și catangenul, pot fi exprimate printr-un tangent cu jumătate de colț.
Substituția trigonometrică universală
sIN α \u003d 2 Tg a2 1 + TG2 α2 Cos α \u003d 1 - Tg2 α2 1 + Tg 2 α2 1 - Tg 2 α2 ctg α \u003d 1 - Tg 2 α 2 2 tg α 2
Dacă observați o greșeală în text, selectați-o și apăsați CTRL + ENTER
Se încarcă ...