Podrobne sú uvažované príklady riešenia integrálov po častiach, ktorých integrand je súčinom polynómu exponentom (e k mocnine x) alebo sinusom (sin x) alebo kosínusom (cos x).

obsah

Legături Pozri: Integrare po castiach
Neurčitá integrálna tabucka
Metódy výpočtu neurčitych integrálov
Základne elementárne funkcie a ich vlastnosti

Vzorec integrácie podľa casti

Pri riešení príkladov v tejto časti sa používa vzorec integrácie podľa častí:
;
.

Príklady integrálov obsahujúcich súčin polynómu a sin x, cos x alebo e x

Tu su príklady takýchto integrálov:
, , .

Na integráciu takýchto integrálov je polynóm označený u a zvyšok - v dx. Ďalej sa použije vzorec pre integráciu po častiach.

Nižšie je uvedené podrobné riešenie týchto príkladov.

Príklady integrat riesení

Exponentul lui Príklad, e na x mocnine

Určte integrală:
.

Zaveďme exponent pod diferenciálne znamienko:
e - x dx = - e - x d (-x) = - d (e - x).

Integrujeme po castiach.

tu
.
Zostávajúci integrál je tiež integrovateľný po častiach.
.
.
.
Nakoniec tu mame:
.

Príklad definovania integrálu so sinusom

Vypočítajte integrală:
.

Zavedme sinus pod znamienkom diferencialu:

Integrujeme po castiach.

tu u = x 2, v = cos (2 x + 3), du = ( x2 )′ dx

Zostávajúci integrál je tiež integrovateľný po častiach. Aby sme to dosiahli, zavedieme kosínus pod znamienko diferenciálu.

tu u = x, v = hriech (2 x + 3), du = dx

Nakoniec tu mame:

Príklad súčinu polynómu a kosínusu

Vypočítajte integrală:
.

Predstavme și kosinus pod znamienkom diferencialu:

Integrujeme po castiach.

tu u = x 2+3x+5, v = hriech 2x, du = ( x 2 + 3 x + 5 )′ dx

Chýbať nebudú ani úlohy na samostatné riešenie, na ktoré si môžete pozrieť odpovede.

Integrand možno previesť zo súčinu goniometrických funkcií na súčet

Uvažujme integrály, v ktorých je integrand súčinom sinusov a kosínusov prvého stupňa x, vynásobených rôznymi faktormi, teda integrálmi tvaru

Pomocou známych trigonometrických vzorcov

(2)
(3)
(4)
každý zo súčinov integrálu tvaru (31) možno previesť na algebraický súčet a integrovať pomocou vzorcov

(5)

(6)

Priklad 1 Najs

Riesenie. Podľa vzorca (2) la

Priklad 2 Najs goniometrickej funkcie integrale

Riesenie. Podľa vzorca (3) la

Priklad 3 Najs goniometrickej funkcie integrale

Riesenie. Podľa vzorca (4) la získame nasledujúcu transformáciu integrandu:

Aplikovaním vzorca (6) dostaneme

Integrál súčinu mocnín sinusu a kosínusu toho istého argumentu

Uvažujme teraz integrály funkcií, ktoré sú súčinom mocnín sinusu a kosínusu toho istého argumentu, t.j.

(7)

V konkrétnych pripadoch jeden z ukazovateľov ( m alebo n) môže byť nula.

Pri integrácii takýchto funkcií sa používa, že párny stupeň kosínusu možno vyjadriť ako sinus a sinusový diferenciál sa rovná cos. x dx(alebo párny stupeň sínusu možno vyjadriť pomocou kosínusu a diferenciál kosínusu je - sin x dx ) .

Treba rozlišovať dva prípady: 1) aspoň jeden z ukazovateľov m A n zvláštny; 2) oba ukazovatele sú párne.

Nech sa uskutoční prvý prípad, a la exponent n = 2k+ 1 je nepárne. Potom, vzhľadom na to

Integrand je prezentovaný tak, že jedna jeho časť je funcția iba sinusu a druhá je diferenciálom sinusu. Teraz s variabilnou substitutiu t= hriech X riešenie sa redukuje na integráciu polynómu vzhľadom na t... Keby len pași m je nepárne, potom postupujte rovnakým spôsobom, oddeľte faktor sin X, vyjadrujúci zvyšok integrandu v termínoch cos X a za predpokladu t= cos X... Tuto techniku je možné použiť na integrácia kvocientových mocnín sinusu a kosínusu , kedy aspoň jeden z ukazovateľov je nepárny ... Ide o to, ze kvocient stupňov sinusu a kosínusu je špeciálnym prípadom ich súčinu : keď je goniometrická function v menovateli integrandu, jej stupeň je záporný. Existujú však aj prípady konkrétnych goniometrických funkcií, ktorých stupne sú len párne. O nich - nasledujúci odsek.

Ak oba ukazovatele m A n- párne, potom pomocou goniometrických vzorcov

znížiť exponenty sínusu a kosínusu, po čom sa získa integrál rovnakého typu ako vyššie. Preto prin integrare mala pokračovať rovnakým spôsobom. Ak je jeden z párnych indikátorov negatívny, to znamená, že sa berie do úvahy kvocient párnych stupňov sinusu a kosínusu, potom táto schéma nie je vhodná. ... Potom sa použije variabilná substitúcia v závislosti od toho, ako sa dá integrand transformovať. Takýmto prípadom sa budeme zaoberať v ďalšej časti.

Priklad 4 Najs goniometrickej funkcie integrale

Riesenie. Exponent kosinusu je nepárny. Preto zastupujeme

t= hriech X(potom dt= cos X dx ). Potom dostaneme

Keď sa vrátime k starej premennej, konečne nájdeme

Priklad 5. Najs goniometrickej funkcie integrale

Riesenie. Exponent kosínusu, ako v predchádzajúcom príklade, je nepárny, ale viac. Predstavte si

a zmeniť premennu t= hriech X(potom dt= cos X dx ). Potom dostaneme

Rozširime zátvorky

a ziskať

Keď sa vrátime k starej premennej, dostaneme riešenie

Priklad 6. Najs goniometrickej funkcie integrale

Riesenie. Sinusové a kosínusové exponenty sú parne. Preto transformujeme integratand takto:

Potom dostaneme

V druhom integrali meníme premennú nastavením t= hriech2 X... Potom (1/2)dt= cos2 X dx ...teda

Konečne sa dostavame

Použitie methodódy variabilnej náhrady

Variabilná metóda výmeny pri integrácii goniometrických funkcií sa dá použiť v prípadoch, keď je v integrande prítomný iba sínus alebo iba kosínus, súčin sínusu a kosínusu, v ktorom je buď sínus alebo kosínus v prvej mocnusu kosínus v prvej mocnuso kosínus a sínus sínus, súčin sínusu a kosínusu, a toho istého argumentu. V tomto prípade je možné vykonávať permutácie nielen hriechu X = t un hriech X = t ale aj tg X = t actg X = t .

Priklad 8. Najs goniometrickej funkcie integrale

Riesenie. Zmeňme teda premennu:. Výsledný integrand sa ľahko integruje cez tabuľku integrálov:

Priklad 9. Najs goniometrickej funkcie integrale

Riesenie. Transformă dotyčnicu na pomer sinusu a kosínusu:

Zmeňme teda premennu:. Vysledny integrand je tabuľkovy integral deci znamienkom minus:

Keď sa vrátime k pôvodnej premennej, nakoniec dostaneme:

Priklad 10. Najs goniometrickej funkcie integrale

Riesenie. Zmeňme teda premennu:.

Transformați identitatea și integrarea trigonometrică :

Zmeníme premennú, pričom nezabudneme dať pred integrál znamienko mínus (pozri vyššie, čo sa rovná dt). Ďalej rozšírime integrand na faktory a integrujeme cez tabuľku:

Keď sa vrátime k pôvodnej premennej, nakoniec dostaneme:

Nájdite integrál goniometrickej funkcie sami a potom uvidíte riešenie

Substituția trigonometrică generică

Univerzálna trigonometrická substitúcia možno použiť v prípadoch, keď integrand nezodpovedá prípadom uvedeným v predchádzajúcich odsekoch. V zasade vtedy, keď sú sinus alebo kosínus (alebo oboje) v menovateli zlomku. Je dokázané, že sinus a kosínus možno nahradiť iným výrazom obsahujúcim tangens polovice pôvodného uhla takto:

Všimnite si však, že univerzálna trigonometrická substitúcia často zahŕňa pomerne zložité algebraické transformácie, takže je lepšie ju použiť, keď žiadna iná metóda nefunguje. Pozrime sa na príklady, keď sa spolo s univerzálnou goniometrickou substitúciou použije súčet pod diferenciálnym znamienkom a metóda nedefinovaných koeficientov.

Priklad 12. Najs goniometrickej funkcie integrale

Riesenie. Riesenie. Budeme používať univerzálna trigonometrická substitúcia... Potom
.

Zlomky v čitateli a menovateli vynásobíme a dva odsunieme a dáme pred znamienko integrálu. Potom

Na integráciu racionálnych funkcií tvaru R (sin x, cos x) sa používa substitúcia, ktorá sa nazýva univerzálna trigonometrická substitúcia. Potom. Generic trigonometrická substitúcia je často výpočtovo náročná. Preto vždy, keď je to možné, používajte nasledujúce náhrady.

Integrácia funkcií racionálne v závislosti od goniometrických funkcií

1. Integrály tvaru ∫ sin n xdx, ∫ cos n xdx, n > 0
a) Ak je n nepárne, potom jeden stupeň sinx (alebo cosx) de sa mal zadať pod znamienkom diferenciálu a od zvyšného párneho stupňa de sa malo prejsť na opačnú funkciu.
b) Ak je n párne, potom pouzijeme vzorce na zniženie stupňa
2. Integrály tvaru ∫ tg n xdx, ∫ ctg n xdx, kde n je celé číslo.
Musite použiť vzorce

3. Integrály tvaru ∫ sin n x cos m x dx
a) Nech m a n majú rôznu paritu. Aplikujeme substitúciu t = sin x, ak je n nepárne, alebo t = cos x, ak je m nepárne.
b) Ak su m a n párne, potom použijeme vzorce na zníženie stupna
2sin 2 x = 1-cos2x, 2cos 2 x = 1 + cos2x.
4. Formula integrală

Ak čísla m a n majú rovnakú paritu, potom použijeme substitúciu t = tg x. Často je vhodné použiť techniku trigonometrických jednotiek.
5.∫ sin (nx) cos (mx) dx, ∫ cos (mx) cos (nx) dx, ∫ sin (mx) sin (nx) dx

Na prevod súčinu goniometrických funkcií na ich súčet použijeme vzorce:

sin α cos β = ½ (sin (α + β) + sin (α-β))
cos α cos β = ½ (cos (α + β) + cos (α-β))
sin α sin β \u003d ½ (cos (α-β) -cos (α + β))

Priklady
1. Vyhodnoťte integrál ∫ cos 4 x sin 3 xdx.
Urobíme substitúciu cos (x) = t. Potom ∫ cos 4 x sin 3 xdx =
2. Vypočítajte integrál.
Ak urobime zmenu sin x = t, dostaneme

3. Najdite integrală.
Urobíme zmenu tg (x) = t. Nahradenim dostaneme

Integrácia výrazov ako R (sinx, cosx)

Priklad #1. Vypočítajte integral:

Riesenie.
a) Integrácia výrazov tvaru R (sinx, cosx), kde R je racionálna functional sin x a cos x, sa transformujú na integrály racionálnych funkcií pomocou univerzálnej goniometrickej substitúcie tg (x / 2) = t.
Mamă potom

Univerzálna goniometrická substitúcia umožňuje prejsť od integrálu v tvare ∫ R (sinx, cosx) dx k integrálu zlomkovej racionálnej funkcie, často však takáto substitúcia vedie k ťažkopádny.m výrazompádny. Za určitých podmienok sú jednoduchšie náhrady účinné:

Ak platí rovnosť R (-sin x, cos x) = -R (sin x, cos x) dx, použije sa substitúcia cos x = t.
Ak platí rovnosť R (sin x, -cos x) = -R (sin x, cos x) dx, potom substitúcia sin x = t.
Ak platí rovnosť R (-sin x, -cos x) = R (sin x, cos x) dx, potom substitúcia tgx = t alebo ctg x = t.

V tomto prípade nájsť integrál

použiť univerzálnu goniometricú substitúciu tg (x / 2) = t.
Potom je odpoveď:

Integrály goniometrických funkcií.
Priklady rieseni

V tejto lekcii sa budeme zaoberať integrálmi goniometrických funkcií, to znamená, že výplňou integrálov budú sinusy, kosínusy, tangens a kotangens v rôznych kombináciách. Všetky príklady budú podrobne rozobraté, dostupné a zrozumiteľné aj pre čajník.

Ak chcete úspešne študovať integrály goniometrických funkcií, musíte poznať najjednoduchšie integrály a ovládať niektoré integračné techniky. S týmito materiálmi sa môžete zoznámiť na prednáškach Integrală de neurologie. Priklady rieseni A.

A teraz potrebujeme: Stol integral, Tabucka derivatov A Odkaz na trigonometrický vzorec... Všetky ucebné pomôcky nájdete na stránke Mathematicke vzorce a tabukky... Odporúčam všetko vytlačiť. Zameriavam sa najmä na trigonometrické vzorce, mali byť pred vašimi očami- bez toho sa efektivita práce výrazne zníži.

Najprv však o tom, ktoré integrály v tomto článku nu... Neexistujú žiadne integrály formulára - kosínus, sinus, násobený nejakým polynómom (menej často niečo s tangensom alebo kotangensom). Takéto integrály sú integrované po častiach a ak sa chcete naučiť metódu, navštívte lekciu Integrácia po častiach. Príklady riešení. Neexistujú ani integrály s "oblúkmi" - arktangens, arcsínus atď.

Pri hľadaní integrálov goniometrických funkcií sa používa niekoľko metód:

(4) Používame tabuľkový vzorec , rozdiel je len v tom, že namiesto "x" máme zložitý výraz.

Priklad 2

Priklad 3

Nájdite neurčity integrál.

Klasika žánru pre tých, ktorí sa topia v teste. Ako ste si pravdepodobne všimli, v tabuľke integrálov nie je integrál tangens a kotangens, ale napriek tomu takéto integrály možno nájsť.

(1) Používame trigonometrický vzorec

(2) Funkciu privedieme pod znamienko diferencialu.

(3) Používame tabuľkový integrál .

Priklad 4

Nájdite neurčity integrál.

Toto je príklad samostatného riešenia, úplného riešenia a odpovede - na konci lekcie.

Priklad 5

Nájdite neurčity integrál.

Naše stupne budú postupne pribúdať =).
Najprv riesenie:

(1) Používame vzorec

(2) Používame základnú goniometrickú identitu , zčoho vyplýva, že .

(3) Člen citateľa vydeľte menovateľom.

(4) Používame vlastnosť linearitate neurčitého integrálu.

(5) Integrujeme pomocou tabukky.

Priklad 6

Nájdite neurčity integrál.

Toto je príklad samostatného riešenia, úplného riešenia a odpovede - na konci lekcie.

Existujú aj integrály dotyčníc a kotangens, ktoré sú vo vyšších stupňoch. V lekcii sa uvažuje s integrálom dotyčnice v kocke Ako vypočítam plochu plochej postavy? Integrály dotyčnice (kotangens) v štvrtom a piatom stupni nájdete na stránke Complexne integral.

Zniženie stupňa integrandu

Táto technika funguje, keď sú integrandy naplnené sinusmi a kosínusmi dokonca stupa. Na zníženie stupňa sa používajú trigonometrické vzorce , a navyše posledný vzorec sa častejšie používa v opačnom smere: .

Priklad 7

Nájdite neurčity integrál.

Riesenie:

V substate tu nie je nič nové, okrem toho, že sme použili vzorec (znížením stupňa integrandu). Upozorňujeme, že riešenie som skrátil. S nahromadením skúseností možno integrál nájsť ústne, čo šetrí čas a je celkom prijateľné pri dokončovaní úloh. V tomto prípade je vhodné pravidlo nepopisovať , najprv ústne berieme integrál 1, potom - of.

Priklad 8

Nájdite neurčity integrál.

Toto je príklad samostatného riešenia, úplného riešenia a odpovede - na konci lekcie.

Toto sú sľúbené zvýšenie stupňa:

Priklad 9

Nájdite neurčity integrál.

Nu uitați, potom comentarii:

(1) Pripravte integrand na použitie vzorca .

(2) V skutočnosti použijeme vzorec.

(3) Odmocníme menovateľa a posunieme konštantu mimo znamienka integrálu. Dalo by sa konať trochu inak, ale podľa mňa je to takto pohodlnejšie.

(4) Používame vzorec

(5) V treťom termíne opäť znížime stupeň, ale tentoraz pomocou vzorca .

(6) Uvádzame podobné výrazy (tu delím podľa výrazov a urobil scitanie).

(7) V skutočnosti berieme integrál, pravidlo linearitate a spôsob uvedenia funkcie pod diferenciálne znamienko sa vykonáva ústne.

(8) Skombinujte odpoveď.

! V neurčitom integráli môže byť odpoveď často napísaná niekoľkými spôsobmi

V práve uvažovanom príklade by mohla byť konečná odpoveď napísaná inak - rozšíriť zátvorky a dokonca to urobiť ešte pred integráciou výrazu, to znamená, že nasledujúci koniec príkladu jeľkom príkladu:

Je dosť možné, že táto možnosť je ešte výhodnejšia, len som to vysvetlil tak, ako som bol zvyknutý riešiť). Tu je ďalší typický príklad riešenia "urob si sám":

Priklad 10

Nájdite neurčity integrál.

Tento príklad sa dá vyriešiť dvoma spôsobmi a možno aj dostanete dve úplne odlišné odpovede(presnejšie budú vyzerať úplne inak a z matematického hľadiska budú rovnocenné). S najväčšou pravdepodobnosťou neuvidíte najracionálnejší spôsob a budete trpieť otváraním zátvoriek pomocou iných trigonometrických vzorcov. Najúčinnejšie riešenie je uvedené na konci lekcie.

Zhrnutím odseku dospejeme k záveru: akýkoľvek integrál formy , kde a - dokoncačíslo, sa rieši metódou znižovania stupňa integrandu.
V praxi som sa stretol s integrálmi s 8 a 10 stupňami a ich strašné hemoroidy som musel riešiť niekoľkonásobným znížením stupňa, čo malo za následok dlhé dlhé odpovede.

Variabilná metóda výmeny

Ako je spomenuté v článku Metoda zmeny premennej v neurcitom integrali, hlavným predpokladom použitia náhradnej metódy je skutočnosť, že v integrande je nejaká function a jej derivácia:
(funkcie, ktoré nie sú nevyhnutne súčasťou produktu)

Priklad 11

Nájdite neurčity integrál.

Pozeráme sa na tabuľku derivátov a všimneme si vzorce, , teda v našom integrate je functioneaza a jej derivácia. Vidíme však, že pri diferenciácii sa kosínus a sinus vzájomne premieňajú na seba a vzniká otázka: ako zmeniť premennú a čo označiť - sinus alebo kosínus?! Otázku možno vyriešiť vedeckým šťouchnutím: ak výmenu vykonáme nesprávne, nepríde z toho nič dobré.

Všeobecný pokyn: v podobných prípadoch je potrebné určiť funkciu, ktorá je v menovateli.

Prerušíme riešenie a vymeníme

V menovateli je u nás všetko v poriadku, všetko závisí len od toho, teraz zostáva zistiť, na čo sa to zmení.
Aby sme to dosiahli, nájdeme diferential:

Alebo v skratke:
Zo získanej rovnosti podľa pravidla proporcie vyjadríme výraz, ktorý potrebujeme:

Takže:

Teraz celý integrand závisí len od a riešenie môže pokračovať

Condimente. Dovoľte mi pripomenúť, že účelom výmeny je zjednodušenie integrandu, v tomto prípade sa to všetko zvrhlo na integráciu funkcie napájania cez stôl.

Nie je náhoda, že som tento príklad namaľoval tak podrobne, bolo to urobené s cieľom zopakovať a upevniť učebné materiály. Metoda zmeny premennej v neurcitom integrali.

A teraz dva priklady pre nezavisle riešenie:

Priklad 12

Nájdite neurčity integrál.

Priklad 13

Nájdite neurčity integrál.

Vyplňte riešenia a odpovede na konci hodiny.

Priklad 14

Nájdite neurčity integrál.

Aj tu je v integrande sinus s kosínusom (funkcia s deriváciou), ale už v súčine a vzniká dilema - čo označiť, sinus alebo kosínus?

Môžete sa pokúsiť vykonať výmenu vedeckou metódou poke, a ak nič nefunguje, označte ju pre inú funkciu, ale existuje:

Všeobecný pokyn: pretože je potrebné označiť funkciu, ktorá je, obrazne povedané, v "nepohodlnej polohe".

Vidíme, že v tomto príklade študentský kosínus "trpí" na stupeň a sinus sedí voľne sám o sebe.

Preto nahradime:

Ak má niekto stále problémy s algoritmom nahrádzania premenných a hľadaním diferenciálu, mali by ste sa vrátiť k lekcii Metoda zmeny premennej v neurcitom integrali.

Priklad 15

Nájdite neurčity integrál.

Analyzujeme integrand, čo by malo byť označené?
Pripominame și naše orientačne body:
1) Funkcia je s najväčšou pravdepodobnosťou v menovateli;
2) Funkcia je v "nevhodnej polohe".

Mimochodom, tieto pokyny platia nielen pre goniometrické funkcie.

Sinus vyhovuje obom kritériám (najmä druhému), preto sa navrhuje výmena. V zasade môže byť výmena už vykonaná, ale najprv by bolo pekné na to prísť, ale čo s tým robiť? Najprv „odtrhneme“ jeden kosínus:

Vyhradzujeme si pre náš "budúci" diferenciál

A vyjadrujeme cez sinus pomocou základnej goniometrickej identitate:

Teraz je tu nahrada:

Všeobecné pravidlo: Ak je v integrande jedna z goniometrických funkcií (sínus alebo kosínus) v zvlastny stupňa, potom je potrebné "odhryznúť" jednu funkciu z nepárneho stupňa a určiť inú funkciu. Hovoríme len o integráloch, kde sú kosínusy a sinusy.

V uvažovanom príklade sme mali kosínus v nepárnom stupni, takže sme oddelili jeden kosínus od stupňa a označili sme sinus za.

Priklad 16

Nájdite neurčity integrál.

Stupne uberajú =).
Toto je príklad riešenia "urob si sám". Kompletné riešenie a odpoveď na konci tutorialu.

Substituția trigonometrică generică

Všeobecná trigonometrická substitúcia je bežným prípadom variabilnej substitúcie. Môžete to skúsiť použiť, keď „neviete, čo máte robiť”. V skutočnosti však existujú určité pokyny na jeho aplikáciu. Typické integrály, kde musíte použiť univerzálnu goniometrickú substitúciu, sú tieto integrály: , , , atď.

Priklad 17

Nájdite neurčity integrál.

V tomto prípade sa univerzálna trigonometrická substitúcia realizuje nasledujúcim spôsobom. Nahradime:. Nepoužívam písmeno, ale písmeno, to nie je nejaké pravidlo, len som si zase zvykol riešiť.

Je pohodlnejšie nájsť diferenciál tu, preto z rovnosti vyjadrujem:
K obom častiam pripájam arkustangens:

Arkustangens a tangens sa navzajom rusia: