Funcția și studiul trăsăturilor sale ocupă unul dintre capitolele cheie din matematica modernă. Componenta principală a oricărei funcții este graficele care prezintă nu numai proprietățile acesteia, ci și parametrii derivatei acestei funcții. Să aruncăm o privire la acest subiect dificil. Deci, care este cel mai bun mod de a căuta punctele maxime și minime ale unei funcții?
Funcție: definiție
Orice variabilă care depinde cumva de valorile unei alte mărimi poate fi numită funcție. De exemplu, funcția f (x 2) este pătratică și determină valori pentru întregul set x. Să spunem că x \u003d 9, atunci valoarea funcției noastre va fi 9 2 \u003d 81.
Funcțiile vin într-o mare varietate de forme: logică, vectorială, logaritmică, trigonometrică, numerică și altele. Mente remarcabile precum Lacroix, Lagrange, Leibniz și Bernoulli au fost angajate în studiul lor. Scrierile lor servesc drept bastion în modurile moderne de a studia funcțiile. Înainte de a găsi punctele minime, este foarte important să înțelegem însăși semnificația funcției și a derivatei sale.
Derivatul și rolul său
Toate funcțiile depind de valorile lor variabile, ceea ce înseamnă că își pot schimba valoarea în orice moment. Pe grafic, aceasta va fi descrisă ca o curbă care coboară și urcă de-a lungul ordonatei (acesta este întregul set de numere „y” de-a lungul verticalei graficului). Deci, definiția punctului maxim și minim al funcției este legată doar de aceste „fluctuații”. Să ne explicăm ce este această relație.
Derivata oricărei funcții este trasată pe un grafic pentru a studia caracteristicile sale principale și pentru a calcula cât de repede se schimbă funcția (adică își modifică valoarea în funcție de variabila "x"). În momentul în care funcția crește, va crește și graficul derivatei sale, dar în orice secundă funcția poate începe să scadă, iar apoi graficul derivatei va scădea. Punctele la care derivata merge de la semnul minus la plus sunt numite puncte minime. Pentru a ști cum să găsești punctele minime, ar trebui să înțelegi mai bine
Cum calculez derivata?
Definiția și funcția implică mai multe concepte din În general, însăși definiția derivatei poate fi exprimată după cum urmează: este valoarea care arată rata de schimbare a funcției.
Modul matematic de a o defini pentru mulți studenți pare dificil, dar în realitate totul este mult mai simplu. Trebuie doar să urmați planul standard pentru a găsi derivatul oricărei funcții. Mai jos este descris modul în care puteți găsi punctul minim al unei funcții fără a aplica regulile de diferențiere și fără a memora tabelul derivatelor.
- Puteți calcula derivata unei funcții folosind un grafic. Pentru a face acest lucru, trebuie să descrieți funcția în sine, apoi să luați un punct pe ea (punctul A din figură). Trageți o linie verticală până la axa abscisei (punctul x 0), iar în punctul A trageți o tangentă la graficul funcției. Axa absciselor și linia tangentă formează un anumit unghi a. Pentru a calcula valoarea cât de repede crește funcția, este necesar să se calculeze tangenta acestui unghi a.
- Se pare că tangenta unghiului dintre tangentă și direcția axei x este derivata funcției într-o secțiune mică cu punctul A. Această metodă este considerată o modalitate geometrică de determinare a derivatei.
Metode de cercetare a funcțiilor
În programa școlară de matematică, este posibil să se găsească punctul minim al unei funcții în două moduri. Am analizat deja prima metodă folosind graficul, dar cum să determinăm valoarea numerică a derivatei? Pentru a face acest lucru, va trebui să învățați mai multe formule care descriu proprietățile derivatei și ajută la convertirea variabilelor precum "x" în numere. Următoarea metodă este universală, deci poate fi aplicată la aproape toate tipurile de funcții (atât geometrice, cât și logaritmice).
- Este necesar să se echivaleze funcția cu funcția derivată și apoi să se simplifice expresia folosind regulile de diferențiere.
- În unele cazuri, când este dată o funcție în care variabila „x” se află în divizor, este necesar să se determine intervalul valorilor admisibile, excluzând punctul „0” din acesta (pentru simplul motiv că în matematică în niciun caz nu puteți împărți la zero).
- După aceea, ar trebui să convertiți forma originală a funcției într-o ecuație simplă, echivalând întreaga expresie la zero. De exemplu, dacă funcția arăta astfel: f (x) \u003d 2x 3 + 38x, atunci conform regulilor de diferențiere, derivata sa este f "(x) \u003d 3x 2 + 1. Apoi transformăm această expresie într-o ecuație de următoarea formă: 3x 2 +1 \u003d 0 ...
- După rezolvarea ecuației și găsirea punctelor „x”, ar trebui să le desenați pe abscisă și să determinați dacă derivata din aceste zone dintre punctele marcate este pozitivă sau negativă. După desemnare, va deveni clar în ce moment funcția începe să scadă, adică își schimbă semnul de la minus la opus. În acest fel, puteți găsi atât punctele minime, cât și cele maxime.
Reguli de diferențiere
Cea mai de bază componentă în studiul unei funcții și a derivatei acesteia este cunoașterea regulilor de diferențiere. Numai cu ajutorul lor este posibilă transformarea expresiilor voluminoase și a funcțiilor complexe mari. Să ne cunoaștem, există destul de multe dintre ele, dar toate sunt foarte simple datorită proprietăților naturale atât ale puterii, cât și ale funcțiilor logaritmice.
- Derivata oricărei constante este zero (f (x) \u003d 0). Adică derivata f (x) \u003d x 5 + x - 160 va lua următoarea formă: f "(x) \u003d 5x 4 +1.
- Derivată a sumei a doi termeni: (f + w) "\u003d f" w + fw ".
- Derivată a unei funcții logaritmice: (log a d) "\u003d d / ln a * d. Această formulă se aplică tuturor tipurilor de logaritmi.
- Grad derivat: (x n) "\u003d n * x n-1. De exemplu, (9x 2)" \u003d 9 * 2x \u003d 18x.
- Derivata unei funcții sinusoidale: (sin a) "\u003d cos a. Dacă păcatul unghiului a este 0,5, atunci derivata sa este √3 / 2.
Puncte extreme
Am aflat deja cum să găsim punctele minime, dar există și un concept de puncte maxime ale unei funcții. Dacă minimul indică punctele la care funcția trece de la semnul minus la plus, atunci punctele maxime sunt acele puncte de pe axa abscisei la care derivata funcției se schimbă de la plus la opus - minus.
O puteți găsi prin metoda descrisă mai sus, dar ar trebui să se țină seama de faptul că acestea denotă acele secțiuni în care funcția începe să scadă, adică derivata va fi mai mică decât zero.
În matematică, se obișnuiește generalizarea ambelor concepte, înlocuindu-le cu sintagma „puncte extremum”. Când sarcina cere să se determine aceste puncte, înseamnă că este necesar să se calculeze derivata acestei funcții și să se găsească punctele minime și maxime.
valoare
Cel mai bun
valoare
Cei mai putini
Punct maxim
Punct minim
Problemele de găsire a punctelor extreme ale funcției sunt rezolvate conform schemei standard în 3 pași.
Pasul 1... Găsiți derivata funcției
- Memorează formulele pentru derivata funcțiilor elementare și regulile de bază ale diferențierii pentru a găsi derivata.
y ′ (x) \u003d (x3−243x + 19) ′ \u003d 3x2−243.
Pasul 2... Găsiți zerourile derivatei
- Rezolvați ecuația rezultată pentru a găsi zerourile derivatei.
3x2−243 \u003d 0⇔x2 \u003d 81⇔x1 \u003d −9, x2 \u003d 9.
Pasul 3... Găsiți puncte extremum
- Utilizați metoda spațierii pentru a determina semnele derivatei;
- În punctul minim, derivata este zero și schimbă semnul de la minus la plus, iar la punctul maxim - de la plus la minus.
Să adoptăm această abordare pentru a rezolva următoarea problemă:
Găsiți punctul maxim al funcției y \u003d x3−243x + 19.
1) Găsiți derivata: y ′ (x) \u003d (x3−243x + 19) ′ \u003d 3x2−243;
2) Rezolvați ecuația y ′ (x) \u003d 0: 3x2−243 \u003d 0⇔x2 \u003d 81⇔x1 \u003d −9, x2 \u003d 9;
3) Derivata este pozitivă pentru x\u003e 9 și x<−9 и отрицательная при −9 Cum să găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției Pentru a rezolva problema găsirii celor mai mari și mai mici valori ale funcției necesar: Ajută în multe sarcini teorema: Dacă există un singur punct extrem pe segment și acesta este punctul minim, atunci se atinge cea mai mică valoare a funcției. Dacă acesta este punctul maxim, atunci cea mai mare valoare este atinsă acolo. 14. Conceptul și proprietățile de bază ale integralei nedeterminate. Dacă funcția f(x Xși k Este un număr, atunci Pe scurt: constanta poate fi scoasă din semnul integral. Dacă funcții f(x) și g(x) au antiderivative pe interval X apoi Pe scurt: integralul sumei este egal cu suma integralelor. Dacă funcția f(x) are un antiderivativ pe interval X , apoi pentru punctele interioare ale acestui interval: Pe scurt: derivata integralei este egală cu integrandul. Dacă funcția f(x) este continuu pe interval X și este diferențiat în punctele interioare ale acestui interval, atunci: Pe scurt: integralul diferențialului unei funcții este egal cu această funcție plus constanta de integrare. Să oferim o definiție matematică riguroasă concepte integrale nedeterminate. Expresia amabilă se numește integral al funcției f (x)
Unde f (x)
- integrandul, care este dat (cunoscut), dx
- diferențial x
, cu simbol este întotdeauna prezent dx
. Definiție. Integrală nedefinită numită funcție F (x) + C
care conține o constantă arbitrară C
al cărui diferențial este egal cu integrandul expresie f (x) dx
, adică sau Reamintim că - funcție diferențială și este definit după cum urmează: Sarcina de a găsi integral nedefinit este să găsești o astfel de funcție, derivat care este egal cu integrandul. Această funcție este determinată până la o constantă, deoarece derivata unei constante este egală cu zero. De exemplu, se știe că, atunci se dovedește că Găsirea sarcinii integral nedefinit din funcții nu este atât de simplu și ușor pe cât pare la prima vedere. În multe cazuri, trebuie să existe abilități în lucrul cu integrale nedeterminate, trebuie să existe o experiență care vine cu practica și cu constantă soluție de exemple pentru integrale nedeterminate. Merită luat în considerare faptul că integrale nedeterminateunele funcții (există multe) nu sunt luate în funcții elementare. 15. Tabelul integralelor nedefinite de bază. Formule de bază 16. Integrala definită ca limită a sumei integrale. Semnificația geometrică și fizică a integralei. Fie funcția y \u003d ƒ (x) definită pe segmentul [a; grup< b. Выполним следующие действия. 1. Cu ajutorul punctelor x 0 \u003d a, x 1, x 2, ..., x n \u003d B (x 0 2. În fiecare segment parțial, i \u003d 1,2, ..., n, alegeți un punct arbitrar cu i є și calculați valoarea funcției din acesta, adică valoarea ƒ (cu i). 3. Înmulțiți valoarea găsită a funcției ƒ (cu i) cu lungimea ∆x i \u003d x i -x i-1 a segmentului parțial corespunzător: ƒ (cu i) ∆x i. 4. Să alcătuim suma S n a tuturor acestor produse: Suma formei (35.1) se numește suma integrală a funcției y \u003d ƒ (x) pe intervalul [a; b]. Fie λ să indice lungimea celui mai mare segment parțial: λ \u003d max ∆x i (i \u003d 1,2, ..., n). 5. Să găsim limita sumei integrale (35.1) ca n → ∞ astfel încât λ → 0. Dacă, în acest caz, suma integrală S n are o limită I, care nu depinde de metoda de partiționare a segmentului [a; b] la segmente parțiale, sau din alegerea punctelor din ele, atunci numărul I se numește integral definit al funcției y \u003d ƒ (x) pe segmentul [a; b] și se notează Astfel Numerele a și b sunt numite respectiv limitele inferioare și superioare de integrare, ƒ (x) - integrand, ƒ (x) dx - integrand, x - variabila de integrare, segmentul [a; b] - zona (segmentul) de integrare. Funcția y \u003d ƒ (x), pentru care pe segmentul [a; b] există o integrală definită numită integrabilă pe acest interval. Să formulăm acum o teoremă privind existența unei integrale definite. Teorema 35.1 (Cauchy). Dacă funcția y \u003d ƒ (x) este continuă pe segmentul [a; b], apoi integrala definită Rețineți că continuitatea unei funcții este o condiție suficientă pentru integrabilitatea acesteia. Cu toate acestea, o integrală definită poate exista și pentru unele funcții discontinue, în special pentru orice funcție mărginită pe un interval și având un număr finit de puncte de discontinuitate pe ea. Să indicăm câteva proprietăți ale integralei definite care rezultă direct din definiția sa (35.2). 1. Integrala definită este independentă de desemnarea variabilei de integrare: Aceasta rezultă din faptul că suma integrală (35.1) și, în consecință, limita acesteia (35.2) nu depind de litera care denotă argumentul acestei funcții. 2. O integrală definită cu aceleași limite de integrare este egală cu zero: 3. Pentru orice număr real c. 17. Formula lui Newton-Leibniz. Proprietățile de bază ale unei integrale definite. Să funcția y \u003d f (x) continuu pe segment
și F (x) este una dintre antiderativele funcției pe acest segment, atunci formula Newton-Leibniz: Se numește formula Newton-Leibniz formula de bază a calculului integral. Pentru a demonstra formula Newton-Leibniz, avem nevoie de conceptul unei integrale cu o limită superioară variabilă. Dacă funcția y \u003d f (x) continuu pe segment
, atunci pentru argument integrala formei este o funcție a limitei superioare. Notăm această funcție Într-adevăr, notăm creșterea funcției corespunzătoare creșterii argumentului și folosim a cincea proprietate a integralei definite și consecința celei de-a zecea proprietăți: Rescriem această egalitate ca Să calculăm F (a)folosind prima proprietate a integralei definite: prin urmare ,. Vom folosi acest rezultat atunci când calculăm F (b):, adică Creșterea funcției este de obicei denumită Pentru a aplica formula Newton-Leibniz, trebuie doar să cunoaștem unul dintre antiderivați y \u003d F (x) funcția integrand y \u003d f (x) pe segment
și calculați creșterea acestui antiderivativ pe acest segment. În articol, metodele de integrare sunt analizate principalele modalități de a găsi antiderivativul. Iată câteva exemple de calculare a integralelor definite folosind formula Newton-Leibniz pentru clarificare. Exemplu. Calculați valoarea integralei definite folosind formula Newton-Leibniz. Decizie. Pentru început, rețineți că integrandul este continuu pe segment
, prin urmare, este integrabil pe el. (Am vorbit despre funcții integrabile în secțiunea despre funcții pentru care există o integrală definită). Din tabelul integralelor nedeterminate se poate observa că pentru o funcție setul de antiderivative pentru toate valorile reale ale argumentului (și deci pentru) este scris ca Acum rămâne să folosiți formula Newton-Leibniz pentru a calcula o integrală definită: 18. Aplicații geometrice ale integralei definite. APLICAȚII GEOMETRICE A UNUI ANUMIT INTEGRAL Calculul volumului corpului Calculul volumului unui corp din zonele cunoscute ale secțiunilor paralele: Volumul corpului de rotație :; ... Exemplul 1... Găsiți aria unei figuri mărginită de o curbă y \u003d sinx, linii drepte Decizie: Găsiți zona figurii: Exemplul 2... Calculați aria unei forme mărginită de linii Decizie: Să găsim abscisele punctelor de intersecție ale graficelor acestor funcții. Pentru a face acest lucru, rezolvăm sistemul de ecuații De aici găsim x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2,5. 19. Conceptul de controale diferențiale. Ecuații diferențiale de primul ordin. Ecuație diferențială - o ecuație care leagă valoarea derivatei unei funcții cu funcția însăși, valorile variabilei independente, numere (parametri). Ordinea derivatelor incluse în ecuație poate fi diferită (formal, nu este limitată de nimic). Derivații, funcțiile, variabilele și parametrii independenți pot fi incluși în ecuație în diferite combinații, sau toate, cu excepția cel puțin unei derivate, pot fi absente cu totul. Nu fiecare ecuație care conține derivate ale unei funcții necunoscute este o ecuație diferențială. De exemplu, Ecuații diferențiale parțiale (PDE) sunt ecuații care conțin funcții necunoscute ale mai multor variabile și derivatele lor parțiale. Forma generală a acestor ecuații poate fi reprezentată ca: unde sunt variabile independente și este o funcție a acestor variabile. Ordinea ecuațiilor diferențiale parțiale poate fi determinată în același mod ca și pentru ecuațiile diferențiale obișnuite. O altă clasificare importantă a ecuațiilor diferențiale parțiale este împărțirea lor în ecuații de tip eliptic, parabolic și hiperbolic, în special pentru ecuațiile de ordinul doi. Atât ecuațiile diferențiale ordinare, cât și ecuațiile diferențiale parțiale pot fi împărțite în liniar și neliniar... O ecuație diferențială este liniară dacă funcția necunoscută și derivatele sale intră în ecuație numai în primul grad (și nu sunt înmulțite între ele). Pentru astfel de ecuații, soluțiile formează un subspatiu afin al spațiului funcțional. Teoria DE liniară este dezvoltată mult mai profund decât teoria ecuațiilor neliniare. Vedere generală a unei ecuații diferențiale liniare n-a comanda: unde p i(x) sunt funcții cunoscute ale variabilei independente, numite coeficienți ai ecuației. Funcţie r(x) din dreapta se numește membru liber (singurul termen independent de funcția necunoscută) O clasă particulară importantă de ecuații liniare este ecuațiile diferențiale liniare cu coeficienți constanți. O subclasă de ecuații liniare sunt omogen ecuații diferențiale - ecuații care nu conțin un termen liber: r(x) \u003d 0. Pentru ecuații diferențiale omogene, principiul suprapunerii este îndeplinit: o combinație liniară de soluții particulare ale unei astfel de ecuații va fi, de asemenea, soluția sa. Toate celelalte ecuații diferențiale liniare sunt numite eterogen ecuatii diferentiale. În cazul general, ecuațiile diferențiale neliniare nu au metode de soluție dezvoltate, cu excepția unor clase particulare. În unele cazuri (folosind una sau alta aproximare) ele pot fi reduse la liniare. De exemplu, ecuația liniară a unui oscilator armonic · - ecuație diferențială omogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți. Soluția este o familie de funcții, unde și sunt constante arbitrare, care pentru o soluție specifică sunt determinate din condiții inițiale specificate separat. Această ecuație, în special, descrie mișcarea unui oscilator armonic cu o frecvență ciclică 3. A doua lege a lui Newton poate fi scrisă sub forma unei ecuații diferențiale · Ecuația diferențială Bessel este o ecuație liniară omogenă ordinară de ordinul doi cu coeficienți variabili: Soluțiile sale sunt funcțiile Bessel. Un exemplu de ecuație diferențială ordinară neliniară neuniformă de ordinul 1: În următorul grup de exemple, funcția necunoscută tu depinde de două variabile x și t sau x și y. Ecuație diferențială parțială liniară omogenă de primul ordin: Ecuația de undă unidimensională - o ecuație diferențială parțială liniară omogenă de tip hiperbolic de ordinul doi cu coeficienți constanți, descrie vibrația șirului, dacă - devierea șirului într-un punct cu coordonata x pentru moment tși parametrul a setează proprietățile șirului: Ecuația lui Laplace în spațiul bidimensional este o ecuație diferențială parțială liniară omogenă de ordinul doi de tip eliptic cu coeficienți constanți, care apare în multe probleme fizice ale mecanicii, conducerii căldurii, electrostatice, hidraulice: Ecuația Korteweg-de Vries, o ecuație diferențială parțială neliniară de ordinul III care descrie unde neliniare staționare, inclusiv solitoni: 20. Ecuații diferențiale cu aplicabile separabile. Ecuații liniare și metoda lui Bernoulli. O ecuație diferențială liniară de ordinul întâi este o ecuație care este liniară în raport cu o funcție necunoscută și derivata sa. Are forma Cea mai mare valoare a funcției Cea mai mică valoare a funcției Așa cum spunea nașul: „Nu este nimic personal”. Numai derivate! 12, sarcina de statistică este considerată destul de dificilă și totul pentru că băieții nu au citit acest articol (glumă). În majoritatea cazurilor, nepăsarea este de vină. 12 sarcini sunt de două tipuri: Sarcini cu examenul: Găsiți punctul maxim al funcției Găsiți punctul minim al funcției Sarcini cu examenul: Găsiți cea mai mare valoare a funcției pe segmentul [−4; −1] Răspuns: −6 Găsiți cea mai mare valoare a unei funcții pe un segment Răspuns: 11 Concluzii: Teorema.
(o condiție necesară pentru existența unui extremum) Dacă funcția f (x) este diferențiată la punctul x \u003d x 1 și punctul x 1 este un punct extrem, atunci derivatul funcției dispare în acest punct. Dovezi.
Să presupunem că funcția f (x) are un maxim la punctul x \u003d x 1. Atunci pentru Dx pozitiv suficient de mic\u003e 0, este adevărată următoarea inegalitate: Prin definitie: Acestea. dacă Dx®0, dar Dx<0, то f¢(x 1) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0, apoi f ¢ (x 1) £ 0. Și acest lucru este posibil numai dacă la Dх®0 f ¢ (x 1) \u003d 0. Pentru cazul în care funcția f (x) are un minim la punctul x 2, teorema este dovedită în mod similar. Teorema este dovedită. Consecinţă.
Conversa nu este adevărată. Dacă derivata unei funcții la un moment dat este egală cu zero, atunci aceasta nu înseamnă că în acest moment funcția are un extremum. Un exemplu elocvent în acest sens este funcția y \u003d x 3, a cărei derivată la punctul x \u003d 0 este zero, dar în acest moment funcția are doar o flexiune și nu o maximă sau minimă. Definiție. Puncte critice funcțiile se numesc puncte în care derivata funcției nu există sau este egală cu zero. Teorema considerată mai sus ne oferă condițiile necesare pentru existența unui extremum, dar acest lucru nu este suficient. Exemplu: f (x) \u003d ôxô Exemplu: f (x) \u003d La punctul x \u003d 0 funcția are un minim, dar la punctul x \u003d 0 funcția nu are niciuna nu are derivată. maxim, fără minim, fără producție În general vorbind, funcția f (x) poate avea un extrem în punctele în care derivata nu există sau este zero. Teorema.
(Condiții suficiente pentru existența unui extremum) Funcția f (x) să fie continuă în intervalul (a, b), care conține punctul critic x 1 și diferențiat în toate punctele acestui interval (cu excepția, probabil, punctul x 1 însuși). Dacă, la trecerea prin punctul x 1 de la stânga la dreapta, derivata funcției f „(x) schimbă semnul de la„ + ”la„ - “, atunci la punctul x \u003d x 1 funcția f (x) are un maxim, iar dacă derivata schimbă semnul de la„ - „On“ + ”- atunci funcția are un minim. Dovezi.
Lasa Prin teorema lui Lagrange: f (x) - f (x 1) \u003d f ¢ (e) (x - x 1), unde x< e < x 1 . Apoi: 1) Dacă x< x 1 , то e < x 1 ; f¢(e)>0; f ¢ (e) (x - x 1)<0, следовательно f (x) - f (x 1)<0 или f(x) < f(x 1). 2) Dacă x\u003e x 1, atunci e\u003e x 1 f ¢ (e)<0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно f (x) - f (x 1)<0 или f(x) < f(x 1). Deoarece răspunsurile sunt aceleași, putem spune că f (x)< f(x 1) в любых точках вблизи х 1 , т.е. х 1 – точка максимума. Dovada teoremei pentru punctul minim este similară. Teorema este dovedită. Pe baza celor de mai sus, puteți elabora o procedură unificată pentru găsirea celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții pe un segment: 1) Găsiți punctele critice ale funcției. 2) Găsiți valorile funcției în puncte critice. 3) Găsiți valorile funcției la capetele segmentului. 4) Alegeți dintre valorile obținute cea mai mare și cea mai mică. Examinarea unei funcții pentru extremum folosind derivate de ordine superioare. Fie la punctul x \u003d x 1 f ¢ (x 1) \u003d 0 și f ¢ ¢ (x 1) există și este continuu în unele vecinătăți ale punctului x 1. Teorema.
Dacă f ¢ (x 1) \u003d 0, atunci funcția f (x) în punctul x \u003d x 1 are un maxim dacă f ¢ ¢ (x 1)<0 и минимум, если f¢¢(x 1)>0.
Dovezi.
Fie f ¢ (x 1) \u003d 0 și f ¢ ¢ (x 1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x 1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х 1 . pentru că f ¢ ¢ (x) \u003d (f ¢ (x)) ¢< 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х 1 , но f¢(x 1)=0, т.е. f¢(x) > 0 la x Pentru cazul funcției minime, teorema este demonstrată în mod similar. Dacă f ¢ ¢ (x) \u003d 0, atunci natura punctului critic este necunoscută. Sunt necesare cercetări suplimentare pentru a o determina. Convexitatea și concavitatea unei curbe. Puncte de inflexiune. Definiție.
Convexitatea orientată spre curbă sus pe intervalul (a, b), dacă toate punctele sale se află sub oricare dintre tangențele sale pe acest interval. Se numește o curbă orientată spre convexitate în sus convex, iar curba orientată spre convexitate în jos se numește concav. Figura prezintă o ilustrare a definiției de mai sus. Teorema 1.
Dacă în toate punctele intervalului (a, b) a doua derivată a funcției f (x) este negativă, atunci curba y \u003d f (x) este convexă în sus (convexă). Dovezi.
Fie x 0 Î (a, b). Desenați o linie tangentă la curbă în acest punct. Ecuația curbei: y \u003d f (x); Ecuația tangentă: Ar trebui dovedit că. Prin teorema lui Lagrange pentru f (x) - f (x 0) :, x 0< c < x. Prin teorema lui Lagrange pentru Fie x\u003e x 0 apoi x 0< c 1 < c < x. Т.к. x – x 0 > 0 și c - x 0\u003e 0 și, în plus, în funcție de condiție Prin urmare,. Fie x< x 0 тогда x < c < c 1 < x 0 и x – x 0 < 0, c – x 0 < 0, т.к. по условию то În mod similar, se dovedește că, dacă f ¢ ¢ (x)\u003e 0 pe intervalul (a, b), atunci curba y \u003d f (x) este concavă pe intervalul (a, b). Teorema este dovedită. Definiție.
Se numește punctul care separă partea convexă a curbei de cea concavă punct de inflexiune. Evident, la punctul de inflexiune, tangenta intersectează curba. Teorema 2.
Fie curba definită prin ecuația y \u003d f (x). Dacă a doua derivată f ¢ ¢ (a) \u003d 0 sau f ¢ ¢ (a) nu există și la trecerea prin punctul x \u003d a f ¢ ¢ (x) schimbă semnul, atunci punctul curbei cu abscisa x \u003d a este un punct de inflexiune. Dovezi.
1) Să f ¢ ¢ (x)< 0 при х < a и f¢¢(x) > 0 pentru x\u003e a. Apoi la x< a кривая выпукла, а при x > a curba este concavă, adică punctul x \u003d a - punctul de inflexiune. 2) Fie f ¢ ¢ (x)\u003e 0 pentru x< b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x > b - convex în sus. Atunci x \u003d b este un punct de inflexiune. Teorema este dovedită. Asimptote. În studiul funcțiilor, se întâmplă adesea ca atunci când coordonata x a punctului curbei să se deplaseze la infinit, curba abordează o anumită linie dreaptă fără limită. Definiție.
Linia dreaptă se numește asimptotăcurba, dacă distanța de la punctul variabil al curbei la această linie dreaptă tinde la zero pe măsură ce punctul se deplasează la infinit. Trebuie remarcat faptul că nu fiecare curbă are o asimptotă. Asimptotele pot fi drepte și oblice. Studiul funcțiilor pentru prezența asimptotelor este de o mare importanță și vă permite să determinați mai precis natura funcției și comportamentul graficului curbei. În general vorbind, o curbă, apropiindu-și asimptota la infinit, o poate intersecta și nu la un moment dat, așa cum se arată în graficul funcției de mai jos Să luăm în considerare mai detaliat metodele pentru găsirea asimptotelor curbelor. Asimptote verticale. Din definiția asimptotei rezultă că dacă sau sau, atunci linia dreaptă x \u003d a este asimptota curbei y \u003d f (x). De exemplu, pentru o funcție, linia x \u003d 5 este asimptota verticală. Asimptote oblice. Să presupunem că curba y \u003d f (x) are o asimptotă oblică y \u003d kx + b. Notăm punctul de intersecție al curbei și perpendicularul pe asimptotă - M, P - punctul de intersecție al acestei perpendiculare cu asimptota. Unghiul dintre asimptotă și axa Ox este notat cu j. МQ perpendicular pe axa Ox intersectează asimptota în punctul N. Atunci MQ \u003d y este ordonata punctului curbei, NQ \u003d este ordonata punctului N de pe asimptotă. După condiție :, РNMP \u003d j ,. Unghiul j este constant și nu este egal cu 90 0, atunci Apoi Deci, dreapta y \u003d kx + b este asimptota curbei. Pentru a determina cu exactitate această linie, este necesar să se găsească o modalitate de a calcula coeficienții k și b. În expresia rezultată, scoatem x în afara parantezelor: pentru că х® ¥, atunci Apoi pentru că Rețineți că asimptotele orizontale sunt un caz special al asimptotelor oblice la k \u003d 0. Exemplu. 1) Asimptote verticale: y® + ¥ x®0-0: y®- ¥ x®0 + 0, prin urmare, x \u003d 0 este asimptota verticală. 2) Asimptote oblice: Astfel, linia y \u003d x + 2 este o asimptotă oblică. Să trasăm funcția: Exemplu. Găsiți asimptotele și graficați funcția. Liniile drepte x \u003d 3 și x \u003d -3 sunt asimptotele verticale ale curbei. Găsiți asimptote oblice: y \u003d 0 - asimptotă orizontală. Exemplu. Găsiți asimptote și trasați o funcție Linia dreaptă x \u003d -2 este asimptota verticală a curbei. Găsiți asimptote oblice. Deci, linia dreaptă y \u003d x - 4 este o asimptotă oblică. Diagrama de studiu a funcțiilor Procesul de cercetare funcțională constă în mai multe etape. Pentru cea mai completă imagine a comportamentului unei funcții și a naturii grafului acesteia, trebuie să găsiți: 1) Regiunea de existență a funcției. Acest concept include atât domeniul de aplicare, cât și domeniul de aplicare al funcției. 2) Puncte de rupere. (Dacă există). 3) Intervalele de creștere și descreștere. 4) Puncte de maxim și minim. 5) Valoarea maximă și minimă a funcției în domeniul său de definiție. 6) Domenii de convexitate și concavitate. 7) Puncte de inflexiune (dacă există). 8) Asimptote (dacă există). 9) Construirea unui grafic. Să luăm în considerare aplicarea acestei scheme folosind un exemplu. Exemplu. Examinați funcția și trageți-o. Găsiți regiunea de existență a funcției. Este evident că scop funcția este domeniul (- ¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥). La rândul său, se poate observa că liniile x \u003d 1, x \u003d -1 sunt asimptote verticale strâmb. Gama de valoriaceastă funcție este intervalul (- ¥; ¥). Puncte de rupere funcțiile sunt punctele x \u003d 1, x \u003d -1. Găsi puncte critice. Găsiți derivata funcției Puncte critice: x \u003d 0; x \u003d -; x \u003d; x \u003d -1; x \u003d 1. Găsiți a doua derivată a funcției Definiți convexitatea și concavitatea curbei la intervale. -¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая - < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая 1 < x < 0, y¢¢ > 0, curbă concavă 0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая 1 < x < , y¢¢ > 0, curbă concavă < x < ¥, y¢¢ > 0, curbă concavă Găsirea lacunelor creșteși diminuând funcții. Pentru a face acest lucru, determinăm semnele derivatei funcției pe intervale. -¥ < x < - , y¢ > 0, funcția crește - < x < -1, y¢ < 0, функция убывает 1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает 0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает 1 < x < , y¢ < 0, функция убывает < x < ¥, y¢¢ > 0, funcția crește Se poate observa că punctul x \u003d - este un punct maxim, iar punctul x \u003d este un punct minim... Valorile funcției în aceste puncte sunt -3 / 2 și respectiv 3/2. Despre verticală asimptote a fost deja spus mai sus. Acum vom găsi asimptote oblice. Total, ecuația asimptotă oblică este y \u003d x. Să construim programa funcții: Funcțiile mai multor variabile
Când luăm în considerare funcțiile mai multor variabile, ne restrângem la o descriere detaliată a funcțiilor a două variabile, deoarece toate rezultatele obținute vor fi valabile pentru funcțiile unui număr arbitrar de variabile. Definiție: Dacă fiecare pereche de numere independente una de cealaltă (x, y) dintr-un set conform unei reguli este asociată cu una sau mai multe valori ale variabilei z, atunci variabila z se numește o funcție a două variabile. Definiție:
Dacă o pereche de numere (x, y) corespunde unei valori z, atunci funcția se numește fără echivoc, și dacă mai multe, atunci - ambiguu. Definiție: Cu scopul de a funcția z se numește colecția de perechi (x, y) pentru care funcția z există. Definiție: Aproape punctulМ 0 (x 0, y 0) de rază r se numește colecția tuturor punctelor (x, y) care îndeplinesc condiția Definiție:
Se numește numărul A limită funcția f (x, y) ca punctul M (x, y) tinde spre punctul M 0 (x 0, y 0), dacă pentru fiecare număr e\u003e 0 există un număr r\u003e 0 astfel încât pentru orice punct M (x, y) pentru care condiția condiția este, de asemenea, adevărată Ei notează: Definiție:
Fie ca punctul М 0 (x 0, y 0) să aparțină domeniului de definiție a funcției f (x, y). Atunci se numește funcția z \u003d f (x, y) continuu la punctul М 0 (x 0, y 0), dacă în plus, punctul M (x, y) tinde spre punctul M 0 (x 0, y 0) într-un mod arbitrar. Dacă condiția (1) nu este îndeplinită în niciun moment, atunci se numește acest punct punct de ruperefuncția f (x, y). Acest lucru poate fi în următoarele cazuri: 1) Funcția z \u003d f (x, y) nu este definită la punctul M 0 (x 0, y 0). 2) Nu există limită. 3) Această limită există, dar nu este egală cu f (x 0, y 0). Proprietate.
Dacă funcția f (x, y, ...) este definită și continuă într-un sistem închis și domeniul delimitat D, atunci acest domeniu conține cel puțin un punct N (x 0, y 0, ...), astfel încât punctele rămase să satisfacă inegalitatea f (x 0, y 0, ...) ³ f (x, y, ...) și, de asemenea, punctul N 1 (x 01, y 01, ...), astfel încât pentru toate celelalte puncte inegalitatea f (x 01, y 01, ...) £ f (x, y, ...) apoi f (x 0, y 0, ...) \u003d M - cea mai mare valoare funcții și f (x 01, y 01, ...) \u003d m - cea mai mică valoarefuncția f (x, y, ...) în domeniul D. O funcție continuă într-un domeniu închis și delimitat D atinge cel puțin o dată cea mai mare valoare și o dată cea mai mică. Proprietate.
Dacă o funcție f (x, y, ...) este definită și continuă într-un domeniu închis D și M și m sunt, respectiv, cele mai mari și mai mici valori ale funcției din acest domeniu, atunci pentru orice punct m Î există un punct N 0 (x 0, y 0, ...) astfel încât f (x 0, y 0, ...) \u003d m. Pur și simplu, o funcție continuă ia în domeniul D toate valorile intermediare între M și m. O consecință a acestei proprietăți este concluzia că dacă numerele M și m sunt de semne opuse, atunci în domeniul D funcția dispare cel puțin o dată. Proprietate.
Funcția f (x, y, ...), continuă într-un domeniu închis mărginit D, limitat în această regiune, dacă există un număr K astfel încât pentru toate punctele regiunii inegalitatea Proprietate.
Dacă funcția f (x, y, ...) este definită și continuă într-un domeniu închis cu limite D, atunci ea uniform continuu în această zonă, adică pentru orice număr pozitiv e există un număr D\u003e 0 astfel încât pentru oricare două puncte (x 1, y 1) și (x 2, y 2) din regiunea situată la o distanță mai mică decât D, inegalitatea Proprietățile de mai sus sunt similare cu proprietățile funcțiilor unei variabile care sunt continue pe un segment. A se vedea Proprietățile funcțiilor care sunt continue pe un segment. Derivate și diferențiale de funcții variabile multiple. Definiție.
Funcția z \u003d f (x, y) este dată într-un anumit domeniu. Luați un punct arbitrar M (x, y) și setați incrementul Dx la variabila x. Atunci se numește cantitatea D x z \u003d f (x + Dx, y) - f (x, y) creșterea parțială a funcției în x. Poti sa scrii Apoi a sunat derivată parțialăfuncția z \u003d f (x, y) în x. Desemnare: Derivata parțială a funcției față de y este determinată în mod similar. Semnificație geometricăderivata parțială (de exemplu) este tangenta unghiului de înclinare a tangentei trasate în punctul N 0 (x 0, y 0, z 0) la secțiunea suprafeței de planul y \u003d y 0. Increment complet și diferențial complet.
plan tangent Fie N și N 0 puncte ale suprafeței date. Să trasăm o linie dreaptă NN 0. Planul care trece prin punctul N 0 se numește plan tangent la suprafață dacă unghiul dintre secanta NN 0 și acest plan tinde la zero, când distanța NN 0 tinde la zero. Definiție. Normalla suprafața din punctul N 0 este o linie dreaptă care trece prin punctul N 0 perpendicular pe planul tangent la această suprafață. În orice moment, suprafața are fie un singur plan tangent, fie nu o are deloc. Dacă suprafața este dată de ecuația z \u003d f (x, y), unde f (x, y) este o funcție diferențiată în punctul М 0 (x 0, y 0), planul tangent la punctul N 0 (x 0, y 0, ( x 0, y 0)) există și are ecuația: Ecuația normalului la suprafață în acest moment este: Semnificație geometrică diferențialul total al unei funcții a două variabile f (x, y) la punctul (x 0, y 0) este creșterea aplicatei (coordonatei z) a planului tangent la suprafață atunci când treceți de la punctul (x 0, y 0) la punctul (x 0 + Dx, y 0 + Dy). După cum puteți vedea, semnificația geometrică a diferențialului total al unei funcții a două variabile este un analog spațial al semnificației geometrice a diferențialului unei funcții a unei variabile. Exemplu. Găsiți ecuațiile planului tangent și normalul la suprafață la punctul M (1, 1, 1). Ecuația planului tangent: Ecuație normală: Calcule aproximative folosind diferențialul total.
Diferențialul total al funcției u este: Valoarea exactă a acestei expresii este 1.049275225687319176. Derivate parțiale de ordin superior. Dacă funcția f (x, y) este definită într-un anumit domeniu D, atunci derivatele sale parțiale vor fi definite și în același domeniu sau parte a acestuia. Vom numi aceste derivate derivate parțiale de ordinul întâi. Derivații acestor funcții vor fi derivate parțiale de ordinul doi. Continuând să diferențiem egalitățile obținute, obținem derivate parțiale de ordine superioare. Din acest articol, cititorul va afla despre ce este un extrem de valoare funcțională, precum și despre caracteristicile utilizării sale în practică. Învățarea unui astfel de concept este esențială pentru înțelegerea fundamentelor matematicii superioare. Acest subiect este fundamental pentru un studiu mai aprofundat al cursului. În contact cu În cursul școlii, există multe definiții ale conceptului de „extremum”. Acest articol este destinat să ofere cea mai profundă și mai clară înțelegere a termenului pentru cei neinformați în materie. Deci, termenul este înțeles în ce măsură intervalul funcțional dobândește valoarea minimă sau maximă pe un anumit set. Extremul este atât valoarea minimă a funcției, cât și cea maximă în același timp. Distingeți între un punct minim și un punct maxim, adică valorile extreme ale argumentului de pe diagramă. Principalele științe în care este utilizat acest concept: Punctele extreme joacă un rol important în determinarea secvenței unei funcții date. Sistemul de coordonate din grafic arată cel mai bine schimbarea în poziția extremă în funcție de schimbarea funcționalității. Există, de asemenea, un astfel de fenomen ca „derivat”. Este necesar să se determine punctul extrem. Este important să nu confundați punctele minime sau maxime cu cele mai mari și cele mai mici valori. Acestea sunt concepte diferite, deși pot părea similare. Valoarea funcției este principalul factor în determinarea modului de a găsi punctul maxim. Derivatul nu este format din valori, ci exclusiv din poziția sa extremă într-o ordine sau alta. Derivata în sine este determinată pe baza datelor punctelor extreme și nu a celei mai mari sau a celei mai mici valori. În școlile rusești, linia dintre aceste două concepte nu este trasată clar, ceea ce afectează înțelegerea acestui subiect în general. Să ne uităm acum la așa ceva ca „extremum acut”. Astăzi, se disting o valoare minimă ascuțită și o valoare maximă acută. Definiția este dată în conformitate cu clasificarea rusă a punctelor critice ale unei funcții. Conceptul de punct extrem se află în centrul găsirii punctelor critice pe o diagramă. Pentru a defini un astfel de concept, se recurge la utilizarea teoremei lui Fermat. Este cel mai important în studiul punctelor extreme și oferă o idee clară a existenței lor într-o formă sau alta. Pentru a asigura extremenitatea, este important să creați anumite condiții pentru scăderea sau creșterea pe grafic. Pentru un răspuns exact la întrebarea „cum se găsește punctul maxim”, trebuie să urmați următoarele prevederi: Atenţie!Căutarea punctului critic al unei funcții este posibilă numai dacă există o derivată de cel puțin ordinul doi, care este asigurată de o proporție ridicată a prezenței unui punct extrem. Pentru a exista o extremă, este important să existe atât puncte minime, cât și puncte maxime. Dacă această regulă este respectată doar parțial, atunci condiția pentru existența unui extremum este încălcată. Fiecare funcție din orice poziție trebuie diferențiată pentru a-și dezvălui noile valori. Este important să înțelegem că cazul unui punct care dispare nu este principiul de bază pentru găsirea unui punct diferențiat. Un extremum ascuțit, precum și un minim al unei funcții, este un aspect extrem de important al rezolvării unei probleme matematice folosind valori extreme. Pentru a înțelege mai bine această componentă, este important să consultați valorile tabelului pentru a specifica funcționalitatea. 2. Găsirea punctelor de rupere, extrem și intersecție cu axe de coordonate. 3. Procesul de determinare a modificărilor de poziție pe grafic. 4. Determinarea exponentului și a direcției de convexitate și convexitate, ținând seama de prezența asimptotelor. 5. Crearea unui tabel rezumat al studiului în ceea ce privește determinarea coordonatelor acestuia. 6. Găsirea intervalelor de creștere și scădere a punctelor extreme și ascuțite. 7. Determinarea convexității și concavității unei curbe. 8. Construirea unui grafic pe baza studiului vă permite să găsiți un minim sau un maxim. Profesorii școlari nu acordă adesea atenția maximă unui aspect atât de important, care reprezintă o încălcare gravă a procesului educațional. Trasarea unui grafic are loc numai pe baza rezultatelor studiului datelor funcționale, determinarea extremelor ascuțite, precum și a punctelor de pe grafic. Extremele ascuțite ale derivatei funcției sunt reprezentate grafic pe valoarea exactă, utilizând procedura standard de determinare a asimptotelor. Punctele maxime și minime ale funcției sunt însoțite de un complot mai complex. Acest lucru se datorează unei nevoi mai profunde de a rezolva problema unei extreme extreme. De asemenea, este necesar să se găsească derivatul unei funcții complexe și simple, deoarece acesta este unul dintre cele mai importante concepte ale problemelor extremum. Pentru a găsi valoarea de mai sus, trebuie să respectați următoarele reguli: De asemenea, sunt utilizate concepte precum slab scăzut și puternic scăzut. Acest lucru trebuie luat în considerare atunci când se determină extremul și se calculează cu precizie. În același timp, funcționalitatea clară este căutarea și crearea tuturor condițiilor necesare pentru lucrul cu graficul funcțional.
Funcția se numește funcție antiderivativă ... Antiderivativul unei funcții este determinat într-o valoare constantă.
, aici este o constantă arbitrară.
.
, iar această funcție este continuă și egalitatea 
.
Unde.
... Dacă ne amintim definiția derivatei unei funcții și mergem la limita la, atunci obținem. Adică, este una dintre antiderivatele funcției y \u003d f (x) pe segment
... Astfel, ansamblul tuturor antiderivatelor F (x) poate fi scris ca, unde DIN Este o constantă arbitrară.
... Această egalitate dă formula Newton-Leibniz dovedită .
... Folosind această notație, formula Newton-Leibniz va lua forma.
... Luați antiderivatul pentru C \u003d 0: .
. Rectangular S.K. Funcție, dată parametric Polyarnaya S.K.
Calculul ariilor figurilor plane
Calculul lungimii arcului unei curbe plane
Calculul suprafeței de revoluție
nu este o ecuație diferențială.
poate fi considerat ca o aproximare a ecuației neliniare a unui pendul matematic 
pentru cazul amplitudinilor mici, când y ≈ păcat y.
Unde m - masa corpului, x - coordonatele sale, F(x, t) este forța care acționează asupra corpului cu coordonata x pentru moment t... Soluția sa este traiectoria corpului sub acțiunea forței specificate.
Valorile funcției și punctele maxime și minime
Cum se procedează în aceste cazuri? Găsiți punctul înalt / inferior
Așa este, mai întâi funcția crește, apoi scade - acesta este punctul maxim!
Răspuns: −15 
Răspuns: −2 Găsiți cea mai mare / cea mai mică valoare a funcției
y y
la
... Asimptota sa oblică este y \u003d x.
.
de cand b \u003d const, atunci 
.
, prin urmare,
.
apoi 
, prin urmare,
.
.
.
.
(1)
.
.
Ce este un extremum?
Extreme derivate
O condiție necesară pentru extremitatea unei funcții
Studiu complet al sensului
Trasarea unei valori
1. Determinarea punctelor valorilor crescătoare și descrescătoare.
Elementul principal atunci când este necesar să se lucreze cu extreme este construcția exactă a graficului său.
Extrem funcțional
Se încarcă ...