Ak je hmotný bod v pohybe, jeho súradnice podliehajú zmenám. Tento proces môže byť rýchly alebo pomalý.
Definiția 1
Velicina, ktorá charakterizuje rychlosť zmeny polohy súradnice, sa nazyva rychlos.
Definiția 2
priemerná rýchloť je vektorová veličina, číselne rovná posunutiu za jednotku času a je ko-smerná s vectorm posunutia υ = ∆ r ∆ t; υ∆r.
Obrazok 1. Priemerná rýchlosť je v rovnakom smere ako pohyb
Modul priemernej rýchlosti na ceste je υ = S ∆ t.
Okamžitá rýchlosť charakterizuje pohyb v urcitom časovom bode. Výraz "rýchlos tela v danom čase" sa nepovažuje za správny, ale je použiteľný v matematických výpočtoch.
Definiția 3
Okamžitá rýchlosť sa nazýva limit, ku ktorému smeruje priemerná rýchlosť υ, keď časový interval ∆ t smeruje k 0:
υ = l i m ∆ t ∆ r ∆ t = d r d t = r ˙.
Smer vektora υ je tangenciálny ku zakrivenej trajektórii, pretože nekonečne malé posunutie d r sa zhoduje s nekonečne malým prvkom trajektórie d s.
Obrázok 2 Vektor okamžitej rýchlosti υ
Dostupný výraz υ = l i m ∆ t ∆ r ∆ t = d r d t = r ˙ v karteziánskych súradniciach je identický s rovnicami navrhnutými nižšie:
υ x = d x d t = x ˙ υ y = d y d t = y ˙ υ z = d z d t = z ˙.
Záznam modulu vektora υ bude mať tvar:
υ = υ = υ x 2 + υ y 2 + υ z 2 = x 2 + y 2 + z 2.
Na prechod z kartézskych pravouhlých súradníc ku krivočiarym sú aplicarevané pravidlá pre diferenciáciu komplexných funkcií. Ak je vektor polomeru r funcția krivočiarych súradníc r = r q 1, q 2, q 3, potom sa hodnota rýchlosti zapíše ako:
υ = d r d t = ∑ i = 1 3 ∂ r ∂ q i ∂ q i ∂ r = ∑ i = 1 3 ∂ r ∂ q i q ˙ i.
Obrăzok 3.
Pre sférické súradnice predpokladajme, že q 1 = r; q2 = φ; q 3 = θ, potom dostaneme υ prezentované v nasledujúcom tvare:
υ = υ r e r + υ φ e φ + υ θ φ θ, kde υ r = r ˙; υ φ = r φ ˙ sin θ; υ θ = r θ ˙; r ˙ = d r d t; φ ˙ = d φ d t; θ˙ = d θ d t; υ \u003d r 1 + φ 2 sin 2 θ + θ 2.
Definiția 4
Okamžitá rýchloť je hodnota derivácie funkcie časového posunu v danom momente spojená s elementárnym posunom vzťahom d r = υ (t) d t
Priklad 1
Platí zákon o priamočiarom pohybe bodu x (t) = 0, 15 t 2 - 2 t + 8.
Riessenie
Je zvykom nazývať okamžitú rýchlosť prvou deriváciou vektora polomeru vzhľadom na čas. Potom bude mať jeho zaznam podobu:
υ (t) = x ˙ (t) = 0. 3 t - 2; υ (10) = 0. 3 × 10 - 2 = 1 m/s.
Odpoveď: 1 m/s.
Priklad 2
Pohyb hmotného bodu je daný rovnicou x = 4 t - 0,05 t
Riessenie
Vypočítajme rovnicu okamžitej rýchlosti, dosadíme číselné výrazy:
υ (t) = x ˙ (t) = 4 - 0, 1 t.
4 - 0, 1 t = 0; t približne s t \u003d 40 s; υ0 = υ (0) = 4; υ = ∆ υ ∆ t = 0 - 4 40 - 0 = 0,1 m / s.
odpoveď: nastavená hodnota sa zastaví po 40 sekundach; hodnota priemernej rýchlosti je 0,1 m/s.
Ak si všimnete chybu v text, vyberte ju a stlačte Ctrl + Enter
1.2. Priamy pohyb
1.2.4. priemerná rýchloť
Hmotny bod (teleso) si zachováva svoju rýchlosť nezmenenú len pri rovnomernom priamočiarom pohybe. Ak je pohyb nerovnomerný (vrátane rovnako premenlivého), potom sa rýchlosť tela mení. Tento pohyb sa vyznačuje priemernou rýchlosťou. Rozlišujte medzi priemernou cestovnou rýchlosťou a priemernou pozemnou rýchlosťou.
Priemerná cestovná rýchlosť je vectorvá fyzikálna velicina, ktorá je určená vzorcom
v → r = ∆r → ∆t,
kde Δr → je vector posunutia; ∆t je časový interval, počas ktorého k tomuto pohybu došlo.
Priemerná pozemná rýchlosť je skalárna fyzikálna veličina a vypočíta sa podľa vzorca
v s = S celkom t celkom,
kde S celkom = S1 + S1 + ... + Sn; t celkom = t1 + t2 + ... + tN.
Tu S 1 \u003d v 1 t 1 - prvý úsek cesty; v 1 - rýchlosť prechodu prvého úseku cesty (obr. 1.18); t 1 - čas pohybu na prvom úseku cesty atď.
Ryza. 1.18
Príklad 7. Jedna štvrtina cesty sa autobus pohybuje rýchlosťou 36 km/h, druhá štvrtina cesty - 54 km/h, zvyšok cesty - rýchlosťou 72 km/h. Vypočítajte priemernú rýchlosť autobusu.
Riesenie. Celková trasa, ktorú autobus prejde, je označená S:
S celkom = S.
S 1 \u003d S / 4 - trasa prejdená autobusom na prvom úseku,
S 2 \u003d S / 4 - trasa prejdená autobusom na druhom úseku,
S 3 \u003d S / 2 - trasa prejdená autobusom v treťom úseku.
Čas cesty autobusom sa určuje podľa vzorca:
- v prvej časti (S 1 = S / 4) -
ti = Si vi = S4 vi;
- v druhej časti (S 2 = S / 4) -
t2 = S2v2 = S4v2;
- v tretej časti (S 3 \u003d S / 2) -
t3 = S3v3 = S2v3.
Celkovy čas jazdy autobusom:
t celkom \u003d t 1 + t 2 + t 3 \u003d S 4 v 1 + S 4 v 2 + S 2 v 3 \u003d S (1 4 v 1 + 1 4 v 2 + 1 2 v 3).
v s = S celkom t celkom = S S (1 4 v 1 + 1 4 v 2 + 1 2 v 3) =
1 (1 4 v 1 + 1 4 v 2 + 1 2 v 3) = 4 v 1 v 2 v 3 v 2 v 3 + v 1 v 3 + 2 v 1 v 2.
v s = 4 ⋅ 36 ⋅ 54 ⋅ 72 54 ⋅ 72 + 36 ⋅ 72 + 2 ⋅ 36 ⋅ 54 = 54 km/h.
Príklad 8. Pätinu času strávi mestský autobus na zastávkach, zvyšok času sa pohybuje rýchlosťou 36 km/h. Určte priemernú rýchlosť autobusu.
Riesenie. Celkový čas pohybu autobusu na trase je označený t:
t celkom = t.
t 1 \u003d t / 5 - čas stráveny na zastávkach,
t 2 \u003d 4 t / 5 - čas jazdy autobusu.
Trasa prejdená autobusom:
- precas t 1 = t / 5 -
S 1 \u003d v 1 t 1 \u003d 0,
keďže rýchlosť zbernice v 1 v tomto časovom intervale je rovná nule (v 1 = 0);
- v cazul t 2 = 4 t / 5 -
S 2 \u003d v 2 t 2 \u003d v 2 4 t 5 \u003d 4 5 v 2 t,
kde v 2 je rýchlosť autobusu v danom časovom intervale (v 2 = = 36 km/h).
Celková trasa autobuzul je:
S celkom \u003d S 1 + S 2 \u003d 0 + 4 5 v 2 t \u003d 4 5 v 2 t.
Priemernú pozemnú rýchlosť autobusu vypočítame pomocou vzorca
v s = S celkom t celkom = 4 5 v 2 t t = 4 5 v 2.
Výpočet poskytuje hodnotu priemernej pozemnej rýchlosti:
v s = 4 5 ⋅ 36 = 30 km/h.
Príklad 9. Pohybová rovnica hmotného bodu má tvar x (t) = (9,0 - 6,0t + 2,0t 2) m, kde súradnica je uvedená v metroch, čas - v sekundách. Určte priemernú pozemnú rýchlosť a hodnotu priemernej rýchlosti pohybu hmotného bodu v prvých troch sekundách pohybu.
Riesenie. Na urcenie priemerná cestovná rýchlosť je potrebné vypočítať pohyb hmotného bodu. Modul pohybu hmotného bodu v časovom intervale od t 1 = 0 s do t 2 = 3,0 s vypočítame ako rozdiel súradníc:
| ∆r → | = | x (t 2) - x (t 1) | ,
Nahradením hodnôt do vzorca na výpočet modulu posunutia sa získa:
| ∆r → | = | x (t 2) - x (t 1) | = 9,0 - 9,0 = 0 m.
Posun hmotného bodu je teda nulový. Preto je modul priemernej rýchlosti pohybu tiež nulový:
| v → r | = | ∆r → | t2 - t1 = 0 3,0 - 0 = 0 m/s.
Na urcenie priemerná pozemná rýchlosť je potrebné vypočítať dráhu, ktorú materiálny bod prejde za časový interval od t 1 = 0 s do t 2 = 3,0 s. Pohyb bodu je rovnomerne pomalý, takže musíte zistiť, či bod zastavenia spadá do určeného intervalu.
Aby sme to dosiahli, zapíšeme zákon zmeny rýchlosti hmotného bodu v čase v tvare:
v x \u003d v 0 x + a x t \u003d - 6,0 + 4,0 t,
kde v 0 x = −6,0 m/s je priemet počiatočnej rýchlosti na os Ox; a x = = 4,0 m / s 2 - priemet zrýchlenia na zadanú os.
Najdite bod zastavenia z podmienky
v (τzvyšok) = 0,
cravată.
τ zvyšok = v 0 a = 6,0 4,0 = 1,5 s.
Bod zastavenia spadá do časového intervalu od t 1 = 0 s do t 2 = 3,0 s. Prejdená dráha sa teda vypočíta podľa vzorca
S = S1 + S2,
kde S1 = | x (τ zvyšok) - x (t 1) | - cesta, ktorou prechádza hmotný bod do zastávky, t.j. pre čas od t 1 = 0 s do τ pokoj = 1,5 s; S2 = | x (t 2) - x (τ zvyšok) | - dráha, ktorú prejde hmotný bod po zastavení, t.j. pre čas od τ pokoja = 1,5 s do t 1 = 3,0 s.
Vypočítajme hodnoty súradníc v zadaných časoch:
x (ti) = 9,0 - 6,0 t1 + 2,0 t12 = 9,0 - 6,0 ⋅ 0 + 2,0 ⋅ 02 = 9,0 m;
x (τ zvyšok) = 9,0 - 6,0 τ zvyšok + 2,0 τ zvyšok 2 = 9,0 - 6,0 ⋅ 1,5 + 2,0 ⋅ (1,5) 2 = 4,5 m ;
x (t2) = 9,0 - 6,0 t2 + 2,0 t2 2 = 9,0 - 6,0 ⋅ 3,0 + 2,0 ⋅ (3,0) 2 = 9,0 m ...
Hodnoty súradníc vám umožňujú vypočítať cesty S 1 a S 2:
S1 = | x (τ zvyšok) - x (t 1) | = | 4,5 – 9,0 | = 4,5 m;
S2 = | x (t 2) - x (τ zvyšok) | = | 9,0 – 4,5 | = 4,5 m,
ako aj celková prejdená vzdialenosť:
S = Si + S2 = 4,5 + 4,5 = 9,0 m.
Preto hľadaná hodnota priemernej pozemnej rýchlosti hmotného bodu je
vs = St2 - t1 = 9,0 3,0 - 0 = 3,0 m/s.
Príklad 10. Graf závislosti priemetu rýchlosti hmotného bodu na čase je priamka a prechádza bodmi (0; 8.0) a (12; 0), kde je rýchlosť nastavená v metroch za sekundu, čas - v sekundách. Koľkokrát prekročí priemerná rýchlosť na zemi za 16 sekúnd pohybu hodnotu priemernej rýchlosti pohybu za rovnaký čas?
Riesenie. Graf závislosti priemetu rýchlosti telesa na čase je na obrázku.
Pre grafický výpočet dráhy prejdenej hmotným bodom a modulu jeho pohybu je potrebné určiť hodnotu priemetu rýchlosti v čase rovnajúcu sa 16 s.
Existujú dva spôsoby, ako určiť hodnotu v x v určitom časovom okamihu: analytický (prostredníctvom rovnice priamky) a grafický (prostredníctvom podobnosti trojuholníkov). Na nájdenie v x použijeme prvú metódu a zostavíme rovnicu priamky v dvoch bodoch:
t - t 1 t 2 - t 1 \u003d v x - v x 1 v x 2 - v x 1,
kde (t 1; v x 1) - súradnice prvého bodu; (t 2; v x 2) - súradnice druhého bodu. Podľa podmienok problému: t 1 = 0, v x 1 = 8,0, t 2 = 12, v x 2 = 0.
t - 0 12 - 0 = v x - 8,0 0 - 8,0,
v x \u003d 8,0 - 2 3 t.
V čase t = 16 s je hodnota projekcie rýchlosti
| v x | = 8 3 m/s.
Túto hodnotu možno získať aj z podobnosti trojuholníkov.
- Vypočítajme dráhu, ktorú hmotný bod prejde, ako súčet hodnôt S 1 a S 2:
S = S1 + S2,
kde S 1 = 1 2 ⋅ 8,0 ⋅ 12 = 48 m - dráha, ktorú prejde hmotný bod v časovom intervale od 0 s la 12 s; S 2 = 1 2 ⋅ (16 - 12) ⋅ | v x | = 1 2 ⋅ 4,0 ⋅ 8 3 = = 16 3 m - dráha, ktorú prejde hmotný bod v časovom intervale od 12 s la 16 s.
Celková prejdená vzdialenosť je
S \u003d S1 + S2 \u003d 48 + 163 \u003d 160 3 m.
Priemerná pozemná rýchlosť hmotného bodu je
vs = St2 - t1 = 160 3 ⋅ 16 = 10 3 m/s.
- Hodnotu posunutia materiálového bodu vypočítame ako modul rozdielu medzi hodnotami S 1 a S 2:
S = | S 1 - S 2 | = | 48 - 16 3 | = 128 3 m.
Hodnota priemernej rýchlosti pohybu je
| v → r | = | ∆r → | t2 - t1 = 128 3 ⋅ 16 = 8 3 m/s.
Hľadaný pomer rýchlosti je
v s | v → r | = 10 3 ⋅ 3 8 = 10 8 = 1,25.
Priemerná pozemná rýchlosť materiálového bodu je 1,25-násobok modulu priemernej rýchlosti pohybu.
Ide o vectorvú fyzikálnu veličinu, ktorá sa číselne rovná limitu, ku ktorému smeruje priemerná rýchlosť za nekonečne krátke časové obdobie:
Inými slovami, okamžitá rýchlosť je vektor polomeru v čase.
Vektor okamžitej rýchlosti smeruje vždy tangenciálne k dráhe telesa v smere pohybu telesa.
Okamžitá rýchlosť poskytuje presné informácie o pohybe v konkrétnom čase. 100 km/h. Po chvíli ukazuje ručička rýchlomera na 90 km / h a o niekoľko minút neskôr - na 110 km / h. Všetky uvedené hodnoty rýchlomeru sú hodnoty okamžitej rýchlosti vozidla v určitých časových bodoch. Rýchlosť v každom časovom okamihu a v každom bode trajektórie musí byť známa pri pristávaní vesmírnych staníc, pri pristávaní lietadiel atď.
Má pojem „okamžitá rýchlosť“ fyzický význam? Rýchlosť je charakteristická pre zmenu v priestore. Aby však bolo možné určiť, ako sa posunutie zmenilo, je potrebné určitý čas pozorovať pohyb. Dokonca aj tie najpokročilejšie zariadenia na meranie rýchlosti, ako sú radarové systémy, merajú rýchlosť počas určitého časového obdobia – aj keď dostatočne malého, ale stále ide o konečný Výraz „rýchlosť telesa v danom časovom okamihu“ nie je z hľadiska fyziky správny. Koncept okamžitej rýchlosti je však veľmi vhodný v matematických výpočtoch a neustále sa používa.
Príklady riešenia problémov na tému "Okamžitá rýchlosť"
PROKLAD 1
PROKLAD 2
| Cvicenie | Zákon pohybu bodu po priamke je daný rovnicou. Nájdite okamžitú rýchlosť bodu 10 sekúnd po začiatku pohybu. |
| Riessenie | Okamžitá rýchlosť bodu je vektor polomeru v čase. Preo pre okamžitú rýchlosť môžete napísať: 10 sekúnd po začiatku pohybu bude okamžitá rýchlosť: |
| Odpoveď | Za 10 sekúnd po začiatku pohybu je okamžitá rýchlosť bodu m/s. |
PROKLAD 3
| Cvicenie | Teleso sa pohybuje priamočiaro tak, aby sa jeho súradnice (v metroch) menili podľa zákona. Koľko sekúnd po začiatku pohybu sa telo zastaví? |
| Riessenie | Poďme zistiť okamžitú rýchlosť tela: |
Mechanický pohyb sa nazýva zmena polohy v priestore bodov a telies v priebehu času vzhľadom na akékoľvek hlavné teleso, ku ktorému je pripojená referenčná sústava. Kinematika študuje mechanický pohyb bodov a telees bez ohľadu na sily, ktoré tieto pohyby spôsobujú. Akýkoľvek pohyb, ako napríklad odpočinok, je relatívny a závisí od výberu referenčného rámca.
Trajektoria bodu je súvislá čiara opísaná pohybujúcim sa bodom. Ak je trajektória priamka, potom sa pohyb bodu nazýva priamočiary a ak je to krivka, potom sa nazýva krivočiary. Ak je trajektoria plochá, potom sa pohyb bodu nazyva plochý.
Pohyb bodu alebo telesa sa považuje za daný alebo známy, ak pre každý časový okamih (t) môžete určiť polohu bodu alebo telesa vzhľadom na vybraný súradnicový systém.
Poloha bodu v priestore je urcená úlohou:
a) bodové trajektorie;
b) začiatok O 1 počítanie vzdialenosti pozdĺž trajektórie (obrázok 11): s = O 1 M - krivočiara súradnica bodu M;
c) smery kladného počítania vzdialeností s;
d) rovnice alebo zakon pohybu bodu po trajektorii: S = s (t)
Bodova rychlos. Ak bod prechádza rovnakými úsekmi dráhy v rovnakých časových intervaloch, potom sa jeho pohyb nazýva rovnomerný. Rýchlosť rovnomerného pohybu sa meria pomerom dráhy z, ktorú prejde bod v určitom časovom období, k hodnote tohto časového obdobia: v = s / 1. Ak sa bod pohybuje po nerovnomerných pohybuje po nerovnomerných pohybuje po nerovnomerných vých pohynových vynových interval nerových pohynových vynových vých vyhových Rýchlosť je v tomto prípade tiež premenlivá a je functionu času: v = v (t). Uvažujme bod A, ktorý sa pohybuje po danej trajektórii podľa nejakého zákona s = s (t) (obrázok 12):
 |
Na čas t t sa A presunul do polohy A 1 pozdĺž oblúka AA. Ak je časový interval Δt malý, potom možno oblúk AA 1 nahradiť tetivou a v prvej aproximácii nájsť hodnotu priemernej rýchlosti pohybu bodu v cp = Ds / Dt. Priemerná rýchlosť smeruje pozdĺž tetivy z bodu A do bodu A1.
Skutočná rýchlosť bodu smeruje tangenciálne k trajektórii a jej algebraická hodnota je určená prvou deriváciou dráhy vzhľadom na čas:
v = limΔs / Δt = ds / dt
Rozmer bodovej rýchlosti: (v) = dĺžka / čas, napríklad m / s. Ak sa bod pohybuje smerom k nárastu krivočiarej súradnice s, potom ds> 0, a teda v> 0, a inak ds< 0 и v < 0.
Bodové zrychlenie. Zmena rýchlosti za jednotku času je určená zrýchlením. Zvážte pohyb bodu A po zakrivenej trajektórii v čase Δt z polohy A do polohy A 1. V polohe A mal bod rýchlosť v av polohe A 1 rýchlosť v 1 (obrázok 13). cravată. rýchlosť bodu sa zmenila čo do veľkosti a smeru. Geometrický rozdiel, rýchlosti Δv, nájdeme zostrojením vektora v 1 z bodu A.
 |
Zrýchlenie bodu sa nazýva vektor „rovnajúci sa prvej derivácii vektora rýchlosti bodu vzhľadom na čas:
Nájdený vektor zrýchlenia a možno rozložiť na dve navzájom kolmé zložky, ale dotyčnicu a normálu k trajektórii pohybu. Tangenciálne zrýchlenie a 1 sa zhoduje v smere s rýchlosťou pri zrýchlenom pohybe alebo v opačnom smere, keď je pohyb nahradený. Charakterizuje zmenu veľkosti rýchlosti a rovná sa derivácii veľkosti rýchlosti v čase.
Normálny vektor zrýchlenia a smeruje pozdĺž normály (kolmej) ku krivke v smere konkávnosti trajektórie a jeho modul sa rovná pomeru druhej mocniny rýchlosti bodu k polomeru zakrivenia trajektórie. trajektoriu v uvažovanom bode.
Normálne zrýchlenie charakterizuje zmenu rýchlosti pozdĺž
smer.
Hodnota plneho zrychlenia: 
, m/s 2
Typy pohybu bodu v závislosti od zrychlenia.
Rovnomerny priamočiary pohyb(pohyb zotrvačnosťou) sa vyznačuje tým
To znamená, že r = ¥, v = const, potom; a preto. Takže, keď sa bod pohybuje zotrvačnosťou, jeho zrýchlenie je nulové.
Priamočiary nerovnomerny pohyb. Polomer zakrivenia trajektórie je r = ¥ a n = 0, teda a = a t a a = a t = dv / dt.
Metody na určenie pohybu bodu.
Pohyb stanoveneho bodu - znamená označenie pravidla, podľa ktorého je možné v ktoromkoľvek okamihu určiť jeho polohu v danom referenčnom rámci.
Mathematický výraz pre toto pravidlo je tzv zakon pohybu , alebo pohybova rovnica bodov.
Existujú tri spôsoby, ako definivať pohyb bodu:
vector;
coordinovať;
prirodzen.
Komu dať pohyb vectorvým spôsobom, potrebovať:
à vybrať pevný stred;
à poloha bodu je určená pomocou vektora polomeru, začínajúc v pevnom strede a končiac v pohyblivom bode M;
A definujte tento vektor polomeru ako funkciu času t: 
.
Vyraz
volal vector pohybovy zakon bodov, prip vectorva pohybova rovnica.
!! Vector polomeru Je vzdialenosť (modul vektora) + smer od stredu O k bodu M, ktorý možno určiť rôznymi spôsobmi, napríklad uhlami s danými smermi.
Na uvedenie do pohybu súradnicovým spôsobom , potrebovať:
à vybrať a opraviť súradnicový systém (akýkoľvek: karteziánsky, polárny, sphérický, valcový atď.);
à určiť polohu bodu pomocou zodpovedajúcich súradníc;
à nastaviť tieto súradnice ako funkcie času t.
V karteziánskom súradnicovom systéme preto musíte špecifikovať funkcie
V polárnom súradnicovom systéme by polárny polomer a polárny uhol mali byť definované ako funkcie času:
Vo všeobecnosti v súradnicovej metóde zadávania by sa súradnice, ktoré určujú aktuálnu polohu bodu, mali nastaviť ako function času.
Aby ste mohli nastaviť pohyb bodu prirodzonym spôsobom muzica ju poznať traiectorie ... Zapíšme si definíciu trajektorie bodu.
Trajektoria corp tzv mnohé zo svojich pozícií na akékoľvek časové obdobie(zvyčajne medzi 0 a + ¥).
V príklade s kolesom odvaľujúcim sa po ceste je trajektória bodu 1 cicloid un corp 2- rolovas; v referenčnom rámci spojenom so stredom kolesa, trajektórie oboch bodov - kruhy.
Ak chcete nastaviť pohyb bodu prirodzeným spôsobom, potrebujete:
à poznať drahu bodu;
à vyberte začiatok a kladný smer na trajektórii;
à určiť aktuálnu polohu bodu podľa dĺžky oblúka trajektórie od začiatku do tejto aktuálnej polohy;
à uveďte túto dĺžku ako funkciu času.
Výraz definujúci vyššie uvedenú funkciu,
sa volaju zakon pohybu bodu po trajektorii, alebo prirodzená pohybova rovnica bodov.
V zavislosti od typu funkcie (4) sa bod pozdĺž trajektórie môže pohybovať rôznymi spôsobmi.
3. Trajektoria bodu a jej definicia.
Definícia pojmu "dráha bodu" bola uvedená skôr v otázke 2.
Prirodzeným spôsobom: musí byť špecifikovaná trajektória, takže ju nemusíte hľadať.
Vector spôsob: musíte prejsť na metódu súradníc podľa rovnosti
Súradnicový spôsob: z pohybových rovníc (2), alebo (3) je potrebné vylúčiť čas t.
Súradnicové pohybové rovnice definujú trajektóriu parametrica, parametrul cez t (čas). Ak chcete získať explicitnú rovnicu pre krivku, parametru musí byť z rovníc vylúčený.
Po vylúčení času z rovníc (2) sa získajú dve rovnice valcových plôch, napr.
Priesečníkom týchto plôch bude trajektória bodu.
Keď sa bod pohybuje po rovine, problém je zjednodušený: po vylúčení času z dvoch rovníc
rovnica trajektórie sa získa v jednej z nasledujúcich foriem:
Kedy bude, teda trajektoria bodu bude pravou vetvou paraboly:
Z pohybových rovníc vyplýva, že
teda trajektoria bodu bude časťou paraboly umiestnenej v pravej polrovine:
Potom dostaneme
Odvtedy bude celá elipsa dráhou bodu.
o 
stred elipsy bude v počiatku súradníc O; keď dostaneme kruh; parametru k neovplyvňuje tvar elipsy, závisí od neho rýchlosť bodu pozdĺž elipsy. Ak sa cos a sin v rovniciach zamieňajú, potom sa trajektória nezmení (rovnaká elipsa), ale zmení sa počiatočná poloha bodu a smer pohybu.
Rýchlosť bodu charakterizuje "rýchlosť" zmeny jeho polohy. Formal: rýchlosť - pohyb bodu za jednotku času.
Definiția Presna.
Potom 
postoj
Nachitava...