Selectați sistemul de coordonate dreptunghiulare din plan și vom amâna valorile valorilor argumentului de pe axa Abscisa h.și pe axa ordonată - valorile funcției y \u003d f (x).
Graficul grafic y \u003d f (x) Setul de toate punctele în care abscissul aparțin funcției de determinare a funcției, iar ordnele sunt egale cu valorile corespunzătoare ale funcției.
Cu alte cuvinte, graficul funcției y \u003d f (x) este setul de toate punctele din plan, coordonate x, w. care satisface relația y \u003d f (x).
În fig. 45 și 46 sunt grafice de funcții. y \u003d 2x + 1 și y \u003d x 2 - 2x.
Strict vorbind, graficul funcției trebuie distins (definiția matematică exactă a cărui dată) și curba trasă, care dă întotdeauna o schiță mai mult sau mai puțin precisă a programului (și apoi, de regulă, nu Întregul program, dar numai părțile sale situate în părțile finale ale avionului). În viitor, totuși, vom spune, de obicei, un "program" și nu "schița grafică".
Folosind graficul, puteți găsi valoarea funcției la punct. Este dacă punctul x \u003d A. aparține zonei de definiție a câmpului y \u003d f (x)apoi pentru a găsi un număr f (a) (adică valorile funcției la punct x \u003d A.) Ar trebui să faceți acest lucru. Nevoie prin punctul abscissa x \u003d A. Petreceți o axă dreaptă și paralelă a ordonată; Această linie dreaptă va trece graficul funcției. y \u003d f (x) La un moment dat; ordonarea acestui punct și voință, în virtutea programului, este egală cu f (a) (Fig.47).
De exemplu, pentru funcție f (x) \u003d x 2 - 2x Folosind graficul (fig.46), găsim F (-1) \u003d 3, F (0) \u003d 0, F (1) \u003d -L, F (2) \u003d 0 etc.
Graficul funcției ilustrează clar comportamentul și proprietățile funcției. De exemplu, de la luarea în considerare a fig. 46 Șterge această funcție y \u003d x 2 - 2x ia valori pozitive atunci când h.< 0 si pentru x\u003e 2., negativ - la 0< x < 2; наименьшее значение функция y \u003d x 2 - 2x Acceptă pentru x \u003d 1..
Pentru a construi o funcție de grafic f (x)este necesar să găsiți toate punctele din avion, coordonate h., W. care satisface ecuația y \u003d f (x). În majoritatea cazurilor, este imposibil să faceți acest lucru, deoarece astfel de puncte sunt infinit foarte mult. Prin urmare, graficul funcției este reprezentat aproximativ cu o precizie mai mare sau mai mică. Cea mai simplă este metoda de a construi un program pentru mai multe puncte. Este argumentul acela h. Apăsați numărul finit de valori - spun, x 1, x 2, x 3, ..., x k și alcătuiesc masa în care sunt incluse valorile selectate ale funcției.
Tabelul arată astfel:
Prin elaborarea unui astfel de tabel, putem schița câteva puncte ale graficelor funcției. y \u003d f (x). Apoi, conectarea acestor puncte cu o linie netedă, obținem o vedere aproximativă a graficelor funcției y \u003d f (x).
Cu toate acestea, ar trebui să rețineți că metoda de construire a unui program pentru mai multe puncte este foarte nesigură. De fapt, comportamentul graficului dintre punctele prevăzute și comportamentul acesteia în afara segmentului dintre punctele extreme rămâne necunoscut.
Exemplul 1.. Pentru a construi o funcție de grafic y \u003d f (x) Cineva a compilat o masă a valorilor argumentului și funcției:
Cele cinci puncte corespunzătoare sunt prezentate în fig. 48.
Pe baza localizării acestor puncte, a concluzionat că graficul funcției este o linie dreaptă (prezentată în figura 48 punctată). Este posibil să se ia în considerare această concluzie fiabilă? Dacă nu există considerații suplimentare care să confirme această concluzie, este puțin probabil să fie fiabilă. de încredere.
Pentru a vă justifica afirmația, ia în considerare funcția
.
Calculele arată că valorile acestei funcții la punctele -2, -1, 0, 1, 2 sunt doar descrise în tabelul de mai jos. Cu toate acestea, graficul acestei funcții nu este deloc linia dreaptă (este prezentată în figura 49). Un alt exemplu este funcția. y \u003d x + l + sinπx; Valorile sale sunt de asemenea descrise deasupra tabelului de mai sus.
Aceste exemple arată că, în forma "pură", metoda de construire a unui program pentru mai multe puncte este nesigură. Prin urmare, pentru a construi un grafic al unei anumite funcții, de regulă, se aplică după cum urmează. În primul rând, proprietățile acestei funcții studiază, cu care puteți construi o schiță de grafică. Apoi, calculând valorile funcției la mai multe puncte (alegerea căreia depinde de proprietățile setate ale funcției), găsiți punctele corespunzătoare ale graficului. Și, în final, prin punctele construite, curba se efectuează utilizând proprietățile acestei funcții.
Unele (cele mai simple și frecvent utilizate) proprietăți ale funcțiilor folosite pentru a găsi o schiță a graficului, vom arăta mai târziu, iar acum vom analiza unele dintre modalitățile utilizate frecvent de a construi grafice.
Funcția de program Y \u003d | F (x) |.
De multe ori trebuie să construiți un grafic al unei funcții y \u003d | f (x)|, unde f (x) -o funcție specificată. Amintiți cum se face acest lucru. Prin definirea valorii absolute a numărului pe care îl puteți scrie
Aceasta înseamnă că funcția de programare y \u003d | F (x) | pot fi obținute din grafică, funcții y \u003d f (x) După cum urmează: Toate punctele de funcții grafice y \u003d f (x)care sunt ordonate non-negative, ar trebui lăsate neschimbate; Mai mult, în loc de puncte de grafică y \u003d f (x)Având coordonate negative, trebuie să construiți funcția corespunzătoare a programului de funcții y \u003d -f (x) (adică o parte a funcției de programare
y \u003d f (x)care se află sub axa x, ar trebui să fie reflectată simetric față de axa h.).
Exemplul 2. Construiți o funcție diagramă y \u003d | x |.
Luăm un grafic al unei funcții y \u003d x.(Figura 50, a) și o parte din acest program când h.< 0 (situată sub axa h.) reflectă simetric în raport cu axa h.. Ca rezultat, primim programul funcției y \u003d | x | (Fig. 50, b).
Exemplul 3.. Construiți o funcție diagramă y \u003d | x 2 - 2x |.
Mai întâi construiți un program de funcții Y \u003d x 2 - 2x. Graficul acestei funcții este parabola, ramurile care sunt regizate, vârful pearabol are coordonate (1; -1), graficul său traversează axa abscisă la punctele 0 și 2. în intervalul (0; 2), Funcția are valori negative, deci aceasta este această parte a graficului reflectă simetric față de axa Abscisa. Figura 51 a construit un grafic al funcției y \u003d x 2 -2x |Pe baza funcției de programare y \u003d x 2 - 2x
Funcție grafic y \u003d f (x) + g (x)
Luați în considerare sarcina de a construi un grafic y \u003d f (x) + g (x). Dacă este specificată grafica funcțiilor y \u003d f (x) și y \u003d g (x).
Rețineți că domeniul de determinare a funcției y \u003d | F (x) + g (x) | Este setul tuturor acestor valori x, pentru care sunt definite ambele funcții y \u003d f (x) și y \u003d g (x), adică această zonă de definiție este intersecția zonelor de definiție, Funcțiile F (x) și G (x).
Lăsați punctul (x 0, y 1) I. (x 0, în 2), respectiv aparțin programelor de funcții y \u003d f (x) și y \u003d g (x), adică Y. 1 \u003d F (x 0), y 2 \u003d g (x 0). Apoi, punctul (x0; y1 + y2) aparține graficului y \u003d f (x) + g (x) (pentru f (x 0) + g (x 0) \u003d y. 1 + y2.) ,. și orice punct al graficelor funcției y \u003d f (x) + g (x) pot fi obținute în acest fel. În consecință, graficul funcției y \u003d f (x) + g (x) pot fi obținute din graficele funcțiilor y \u003d f (x). și y \u003d g (x) înlocuiți fiecare punct ( x n, u 1) funcții grafice y \u003d f (x) Punct (x n, y 1 + y 2), Unde în 2 \u003d g (x n), adică trecerea fiecărui punct ( x n, la 1) Funcția grafică y \u003d f (x) De-a lungul axei w. Prin magnitudine y 1 \u003d g (x n). Acest lucru se adresează doar acestor puncte. h. n pentru care sunt definite ambele funcții y \u003d f (x) și y \u003d g (x).
O astfel de metodă de construire a unei funcții grafice y \u003d f (x) + g (x) se numește adăugarea de grafice de funcții y \u003d f (x)și Y \u003d g (x)
Exemplul 4.. În figura, graficul graficelor este construit un program de funcții
y \u003d x + sinx.
Când construiți un grafic y \u003d x + sinx Am crezut că f (x) \u003d x,dar G (x) \u003d sinx.Pentru a construi un grafic al funcției, alegeți un punct cu Absiss -1,5π, -, -0,5, 0, 0.5 ,,,,,,,,5, 2. Valori f (x) \u003d x, g (x) \u003d sinx, y \u003d x + sinxcalculați în punctele selectate și rezultatele sunt postate în tabel.
Lungimea segmentului de pe axa de coordonate este prin formula:
Lungimea segmentului de pe planul de coordonate este căutată cu formula:
Pentru a găsi lungimea segmentului în sistemul de coordonate tridimensionale, se utilizează următoarea formulă:
Coordonatele din mijlocul segmentului (pentru axa de coordonate, numai prima formulă este utilizată pentru planul de coordonate - primele două formule, pentru sistemul de coordonate tridimensionale - toate cele trei formule) sunt calculate prin formule:
Funcţie - Aceasta este o formă potrivită y.= f.(x.) Între variabile, în virtutea căreia fiecare considerație a unei anumite valori variabile x. (argumentul sau variabila independentă) corespunde unei anumite valori a unei alte valori variabile, y. (variabilă dependentă, uneori această valoare este denumită pur și simplu valoarea funcției). Rețineți că funcția implică o valoare argumentară h. Numai o singură valoare a variabilei dependente poate corespunde. w.. În acest caz, aceeași valoare w. pot fi obținute cu diferite h..
Zona definiției funcției. - acestea sunt toate valorile unei variabile independente (argument de funcție, de obicei h.), în care este determinată funcția, adică. Valoarea sa există. Denotă zona de definiție D.(y.). În general, sunteți deja familiarizați cu acest concept. Funcția de determinare a funcției este numită o zonă de valori admise sau OTZ, pe care ați reușit mult timp.
Valorile funcției Area. - Acestea sunt toate valorile posibile ale variabilei dependente a acestei funcții. Denotă. E.(w.).
Funcția este în creștere La interval, pe care valoarea mai mare a argumentului corespunde valorii mai mari a funcției. Funcția scade La interval, pe care valoarea mai mare a argumentului corespunde valorii mai mici a funcției.
Intervalele funcției simbolului - acestea sunt intervalele unei variabile independente, pe care variabila dependentă își păstrează semnul pozitiv sau negativ.
Funcția zero. - Acestea sunt valorile argumentului în care valoarea funcției este zero. În aceste puncte, graficul funcției traversează axa Abscisa (OH). Foarte adesea, nevoia de a găsi zerouri de funcții înseamnă necesitatea de a rezolva pur și simplu ecuația. Adesea, este adesea necesar să se găsească intervalele alternativă înseamnă că nevoia de a rezolva pur și simplu inegalitatea.
Funcţie y. = f.(x.) Apel chiar h.
Aceasta înseamnă că, pentru valorile opuse ale argumentului, valorile funcției uniforme sunt egale. Programul unei funcții întregi este întotdeauna simetric cu privire la axa Ordinate OU.
Funcţie y. = f.(x.) Apel ciudatDacă este definită pe un set simetric și pentru orice h. Egalitatea este efectuată din zona de definiție:
Aceasta înseamnă că, pentru valorile opuse ale argumentului, valorile funcției ciudate sunt, de asemenea, opuse. Graficul funcției ciudate este întotdeauna simetric la începutul coordonatelor.
Suma rădăcinilor de funcții inteligente și ciudate (punctele de intersecție a axei Abscisa Oh) este întotdeauna zero, deoarece Pentru fiecare rădăcină pozitivă h. Există o rădăcină negativă - h..
Este important de reținut: o anumită funcție nu ar trebui să fie neapărat nici una ciudată. Există multe funcții care nu sunt chiar ciudate. Astfel de funcții sunt numite funcții de vedere generală, Iar pentru ei, nici una dintre egalitățile sau proprietățile celor de mai sus nu sunt efectuate.
Funcție liniară Apelați o funcție care poate fi specificată prin formula:
Graficul funcției liniare este direct și în cazul general este după cum urmează (un exemplu este dat pentru cazul când k. \u003e 0, în acest caz, funcția este în creștere; Pentru caz k. < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
Programul unei funcții patrate (parabola)
Graficul Parabola este setat de o funcție patrată:
Funcția patrată, ca orice altă funcție, traversează axa Oh la rădăcinile sale: ( x. unu ; 0) și ( x. 2; 0). Dacă nu există rădăcini, înseamnă că funcția patratic a axei Oh nu trece, dacă rădăcina este una, atunci în acest moment ( x. 0; 0) Funcția patratic se aplică numai axei Oh, dar nu o traversează. Funcția patratic traversează întotdeauna axa OY la punctul cu coordonate: (0; c.). Diagrama funcției patratice (parabola) poate arăta astfel (în exemplele din figura care sunt departe de a epuiza toate punctele de vedere posibile ale parabolei):
În care:
- dacă coeficientul a. \u003e 0, în funcție y. = tOPOR. 2 + bx. + c., atunci ramurile parabolei sunt îndreptate;
- dacă a. < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Coordonatele vârfurilor de pearabol pot fi calculate în conformitate cu următoarele formule. IKS VERSHINA. (p. - în cifrele de mai sus) parabola (sau punctul în care pătratul trei scăderi atinge cea mai mare sau cea mai mică valoare):
Vesel vershina. (q. - în cifrele de mai sus) parabola sau maxim, dacă ramurile parabolei sunt direcționate ( a. < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a. \u003e 0), valoarea pătratului trei decide:
Scheme de alte funcții
Funcția de alimentare
Iată câteva exemple de grafice de funcții de putere:
Inversă dependență proporțională Numită funcția specificată prin formula:
În funcție de numărul de numere k. Graficul invers de dependență proporțională poate avea două opțiuni fundamentale:
Asimptotă - Aceasta este linia la care funcția graficului funcției este închisă infinit, dar nu se intersectează. Asimptote pentru graficele proporționalității inverse ale celor de mai sus în figură sunt axele coordonatelor, la care graficul funcției este infinit de aproape, dar nu le intersectează.
Funcție indicativă Cu baza dar Numită funcția specificată prin formula:
a. Graficul funcției indicative poate avea două opțiuni fundamentale (oferim și exemple, a se vedea mai jos):
Funcția logaritmică Numită funcția specificată prin formula:
În funcție de numărul unității mai mari sau mai puțin a. Graficul funcției logaritmice poate avea două opțiuni fundamentale:
Funcția de programare y. = |x.| după cum urmează:
Funcțiile periodice (trigonometrice)
Funcţie w. = f.(x.) Numit periodicDacă există un zero inegal, numărul T., ce f.(x. + T.) = f.(x.), pentru oricine h. din funcția de determinare a funcției f.(x.). Dacă funcția. f.(x.) este periodic cu o perioadă T., apoi functioneaza:
unde: A., k., b. - numere constante și k. nu egală cu zero, și periodică cu o perioadă T. 1, care este determinată de formula:
Cele mai multe exemple de funcții periodice sunt funcțiile trigonometrice. Oferim grafice ale principalelor funcții trigonometrice. Figura următoare prezintă o parte a programului de funcții. y. \u003d Păcat. x. (Întregul program este nelimitat continuu spre stânga și la dreapta), graficul funcției y. \u003d Păcat. x. Apel sinusoid:
Funcția de programare y. \u003d Cos. x. numit kosinusoido.. Acest program este descris în figura următoare. De la graficul sinusal, el continuă continuu de-a lungul axei oh stânga și dreapta:
Funcția de programare y. \u003d Tg. x. Apel tangensoid.. Acest program este descris în figura următoare. Ca și grafica a altor funcții periodice, acest program este nelimitat de-a lungul axei Oh la stânga și la dreapta.
Ei bine, în cele din urmă, graficul funcției y. \u003d CTG. x. numit kothanzoidoy.. Acest program este descris în figura următoare. Ca și graficele altor funcții periodice și trigonometrice, această diagramă se repetă pe o perioadă nedeterminată de-a lungul axei Oh la stânga și la dreapta.
- Înapoi
- Redirecţiona
Cum să vă pregătiți cu succes pentru CT în fizică și matematică?
Pentru a pregăti cu succes pentru CT în fizică și matematică, printre altele, este necesar să se îndeplinească cele mai importante cele mai importante condiții:
- Examinați toate temele și îndepliniți toate testele și sarcinile date în materialele de instruire de pe acest site. Pentru aceasta aveți nevoie de ceva, și anume, să dedicați pregătirile pentru CT în fizică și matematică, studiul teoriei și rezolvarea problemelor de trei sau patru ore în fiecare zi. Faptul este că CT este un examen, unde nu este suficient să cunoaștem fizica sau matematica, trebuie să fiți capabili să rezolvați rapid și fără eșecuri pentru a rezolva un număr mare de sarcini pe diferite subiecte și complexitate variabilă. Puteți învăța doar cum să rezolvați mii de sarcini.
- Pentru a afla toate formulele și legile din fizică și formulele și metodele în matematică. De fapt, este, de asemenea, foarte simplu de realizat acest lucru, formulele necesare în fizică sunt de numai 200 bucăți, dar în matematică chiar puțin mai puțin. În fiecare dintre aceste elemente există aproximativ o duzină de metode standard pentru rezolvarea problemelor de la nivelul de bază al complexității, care, de asemenea, pot învăța, și astfel complet pe mașină și fără dificultate rezolvă în momentul potrivit Majoritatea TS central . După aceea, veți gândi doar la cele mai dificile sarcini.
- Vizitați toate cele trei etape de repetare a testelor în fizică și matematică. Fiecare RT poate fi vizitat de două ori pentru a sparge ambele opțiuni. Din nou, pe CT, pe lângă capacitatea de a rezolva rapid și eficient problemele și cunoașterea formulelor și a metodelor, este de asemenea necesar să se poată planifica corect timpul, să distribuie forțele, iar principalul lucru este să completați corect Formularul de răspuns, fără a confunda numărul de răspunsuri și sarcini, fără prenume. De asemenea, în timpul republicii Tatarstan, este important să se obișnuiască cu problema formulării problemelor în sarcini, care pe CT poate părea o persoană foarte neobișnuită.
Implementarea cu succes, diligentă și responsabilă a acestor trei articole, precum și studiul responsabil al testelor finale de formare, vă va permite să arătați un rezultat excelent la CT, maximul a ceea ce sunteți capabili.
A găsit o greșeală?
Dacă credeți că veți avea o greșeală în materialele de instruire, vă rugăm să scrieți despre el prin e-mail (). În scrisoare, specificați subiectul (fizica sau matematica), numele sau numărul subiectului sau testului, numărul de sarcină sau un loc în text (pagina) unde credeți că există o eroare. Descrieți, de asemenea, ce este eroarea estimată. Scrisoarea dvs. nu va rămâne neobservată, eroarea va fi fixată, fie veți explica de ce aceasta nu este o greșeală.
1. Funcția liniară fracționată și programul său
Funcția formei y \u003d p (x) / q (x), unde p (x) și q (x) sunt polinomii, numită o funcție rațională fracționată.
Cu conceptul de numere raționale, probabil știți probabil. În mod similar funcții raționale - Acestea sunt funcții care pot fi reprezentate ca două polinoame private.
Dacă o funcție rațională fracționată este o două funcții liniare private - polinomii de gradul întâi, adică Funcția tipului.
y \u003d (ax + b) / (cx + d), atunci se numește liniar fracționat.
Rețineți că în funcțiile y \u003d (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (altfel funcția devine linia y \u003d ax / d + b / d) și că A / C ≠ B / D (altfel funcție constantă). Funcția liniară fracționată este determinată cu toate numerele valide, cu excepția x \u003d -D / c. Graficele funcțiilor liniare fracționate în formă nu diferă de grafica cunoscută de y \u003d 1 / x. Curba, care este numită un grafic al funcției y \u003d 1 / x, se numește hiperboloc. Cu o creștere nelimitată x într-o valoare absolută, funcția y \u003d 1 / x este limitată nelimitată de valoare absolută și ambele ramuri ale graficului se apropie de axa Abscisa: dreptul se apropie de sus și de partea stângă. Drept, la care se apropie ramurile hiperbolului, sunt numite asimptotami..
Exemplul 1.
y \u003d (2x + 1) / (x - 3).
Decizie.
Evidențiam întregul număr: (2x + 1) / (x - 3) \u003d 2 + 7 / (x - 3).
Acum este ușor să vedeți că programul acestei funcții este obținut din graficul funcției y \u003d 1 / x prin următoarele transformări: o schimbare de 3 segmente unice spre dreapta, întinzându-se de-a lungul axei OY de 7 ori și a Treceți la 2 segmente unice în sus.
Orice fracțiune y \u003d (ax + b) / (cx + d) poate fi înregistrată în același mod, subliniind "întreaga parte". În consecință, graficele tuturor funcțiilor liniare fracționate au hiperborale, se deplasează diferit de-a lungul axelor de coordonate și se întind de-a lungul axei Oy.
Pentru a construi un grafic al unei funcții liniare fracționare arbitrare, nu este necesar să se transforme o fracțiune care specifică această funcție pentru a converti. După cum știm că graficul este o hiperbolă, va fi suficientă pentru a găsi direct, la care se apropie ramurile sale - asimptote ale hiperbolului x \u003d -d / c și y \u003d A / C.
Exemplul 2.
Găsiți funcția grafică Asymptotes Y \u003d (3x + 5) / (2x + 2).
Decizie.
Funcția nu este definită la X \u003d -1. Deci, linia dreaptă X \u003d -1 servește drept asimptote verticale. Pentru a găsi asimptote orizontale, aflați care se apropie valorile funcției y (x) atunci când argumentul x crește în valoare absolută.
Pentru a face acest lucru, împărțim numărătorul și numitorul fracției pe x:
y \u003d (3 + 5 / x) / (2 + 2 / x).
La X → ∞, fracțiunea se va strădui pentru 3/2. Prin urmare, asimptota orizontală este dreaptă y \u003d 3/2.
Exemplul 3.
Construiți un grafic al funcției y \u003d (2x + 1) / (x + 1).
Decizie.
Subliniem fracțiunea "întreaga parte":
(2x + 1) / (x + 1) \u003d (2x + 2 - 1) / (x + 1) \u003d 2 (x + 1) / (x + 1) - 1 / (x + 1) \u003d
2 - 1 / (x + 1).
Acum este ușor să vedeți că graficul acestei funcții este obținut din funcția funcției y \u003d 1 / x prin următoarele transformări: o schimbare cu o unitate la stânga, maparea simetrică în raport cu Ox și o trecere la 2 unică segmentează axa Oy.
Zona de definiție D (y) \u003d (-∞; -1) ᴗ (-1; + ∞).
Gama de valori ale E (y) \u003d (-∞; 2) ᴗ (2; + ∞).
Punct de intersecție cu axe: C OY: (0; 1); C ox: (-1/2; 0). Funcția crește pe fiecare dintre intervalele zonei de definiție.
Răspuns: Figura 1.
2. Funcția rațională fracționată
Luați în considerare o funcție rațională fracționată a formei y \u003d p (x) / q (x), unde p (x) și q (x) sunt polinomii, gradul de mai sus primul.
Exemple de astfel de funcții raționale:
y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) sau y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Dacă funcția y \u003d p (x) / q (x) este două polinoame private ale gradului de mai sus, atunci programul său va fi, de regulă, este mai complicat și uneori este dificil să-l construim cu toți detaliile. Cu toate acestea, este adesea suficient să aplicați tehnici similare cu cele cu care ne-am întâlnit deja mai sus.
Lăsați fracția - corectă (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
P (X) / Q (x) \u003d A 1 / (X - K1) M1 + A 2 / (X - K1) M1-1 + ... + A M1 / \u200b\u200b(X - K1) + .. . +.
L 1 / (X - K S) MS + L 2 / (X - K S) MS-1 + ... + L MS / (X - K S) + ... +
+ (B 1 x + C1) / (x 2 + P 1 x + Q 1) M1 + ... + (B M1 x + C M1) / (x 2 + P 1 x + Q 1) + .. . +.
+ (M 1 x + N 1) / (X2 + P T X + Q T) M1 + ... + (m m1 x + n m1) / (x 2 + p t x + q t).
Evident, un grafic al unei funcții raționale fracționate poate fi obținut ca suma graficelor fracțiilor elementare.
Graficele de construcție a funcțiilor raționale fracționate
Luați în considerare mai multe modalități de a construi grafice de o funcție rațională fracționată.
Exemplul 4.
Construiți un grafic al funcției y \u003d 1 / x 2.
Decizie.
Folosind graficul funcției y \u003d x 2 pentru a construi graficul y \u003d 1 / x 2 și utilizați recepția "diviziunii" graficelor.
Zona de definiție d (y) \u003d (-∞; 0) ᴗ (0; + ∞).
Regiunea valorilor E (y) \u003d (0; + ∞).
Nu există puncte de intersecție cu axe. Funcția este chiar. Crește cu toate x din intervalul (-∞; 0), scade cu x de la 0 la + ∞.
Răspuns: Figura 2.
Exemplul 5.
Construiți un grafic al funcției y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).
Decizie.
Zona de definiție d (y) \u003d (-∞; 3) ᴗ (3; + ∞).
y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \u003d -x / 3 + 1/3.
Aici obișnuiam să obținem descompunere pe multiplicatori, tăieturi și aducerea funcției liniare.
Răspuns: Figura 3.
Exemplul 6.
Construiți un grafic al funcției y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).
Decizie.
Zona de definiție D (Y) \u003d R. Deoarece funcția este chiar, atunci graficul este simetric în raport cu axa ordonată. Înainte de a construi un grafic, convertim din nou expresia prin alocarea întregii părți:
y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).
Rețineți că alocarea unei părți întregi în formula unei funcții raționale fracționate este una dintre principalele în construcția de grafice.
Dacă x → \u200b\u200b± ∞, apoi y → 1, adică Direct y \u003d 1 este o asimptota orizontală.
Răspuns: Figura 4.
Exemplul 7.
Luați în considerare funcția y \u003d x / (x 2 + 1) și încercați să găsiți cu exactitate cea mai mare valoare, adică. Cel mai înalt punct al jumătății dreptului grafică. Pentru a construi cu exactitate acest program, cunoașterea de astăzi nu este suficientă. Evident, curba noastră nu poate "ridica" foarte mare, pentru că Numitorul este destul de repede începe să "depășească" numitorul. Să vedem dacă valoarea funcției este egală cu 1. Pentru a face acest lucru, este necesar să se rezolve ecuația x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Această ecuație nu are rădăcini valide. Deci, presupunerea noastră nu este adevărată. Pentru a găsi cea mai mare valoare a funcției, trebuie să știți când ecuația este A \u003d x / (x 2 + 1) va avea o soluție. Înlocuiți pătratul de ecuație original: AX 2 - X + A \u003d 0. Această ecuație are o soluție atunci când 1-4a 2 ≥ 0. De aici găsim cea mai mare valoare a \u003d 1/2. 
Răspuns: Figura 5, Max Y (x) \u003d ½.
Aveți întrebări? Nu știu cum să construim funcții grafice?
Pentru a obține un ajutor pentru tutore - înregistrare.
Prima lecție este gratuită!
site-ul, cu copierea completă sau parțială a referinței materiale la sursa originală este necesară.
Pentru a începe, încercați să găsiți zona de definiție a câmpului:
Face față? Comparați răspunsurile:
In regula? Bine făcut!
Acum, să încercăm să găsim gama de valori de funcții:
Găsite? Comparaţie:
Cache? Bine făcut!
Încă o dată vom lucra cu diagramele, doar acum o zonă mai complicată - găsiți și definirea câmpului și funcția valorilor funcției.
Cum să găsiți și să definiți zona și valorile câmpului (opțiune avansată)
Asta sa întâmplat:
Cu diagrame, cred că ți-ai dat seama. Acum, să încercăm în concordanță cu formulele pentru a găsi zona de definiție a câmpului (dacă nu știți cum să o faceți, citiți Pro):
Face față? Studiu răspunsuri:
- Deoarece expresia de alimentare trebuie să fie mai mare sau egală cu zero.
- Deoarece este imposibil să se împărtășească zero și expresia de hrănire nu poate fi negativă.
- De la, respectiv, deloc.
- Deoarece este imposibil să împărtășiți zero.
Cu toate acestea, avem un alt moment nu dezasamblat ...
Repet încă o dată și fac un accent pe el:
Observat? Cuvântul "numai" este un element foarte important al definiției noastre. Voi încerca să vă explic pe degetele voastre.
Să presupunem că avem o funcție specificată direct. . Când înlocuim această valoare în "regula" și obținem asta. O valoare corespunde unei singure valori. Putem chiar să facem o masă de valori diferite și să construim un grafic al acestei caracteristici pentru a vă asigura că acest lucru.
"Uite! - Spui, - "Întâlnește de două ori!" Deci, poate parabola nu este o funcție? Nu este!
Faptul că "" este găsit de două ori departe de a fi acuzat parabola în ambiguitate!
Faptul este că, atunci când se calculează, am primit un Igrek. Și când se calculează cu un IGner. Deci, totul este adevărat, parabola este o funcție. Uită-te la program:
A dat seama? Dacă nu, iată un exemplu de viață de fapt care este departe de matematică!
Să presupunem că avem un grup de solicitanți care s-au familiarizat atunci când prezintă documente, fiecare dintre ei a spus conversației în care locuiește:
Sunt de acord, este destul de realist că mai mulți tipi trăiesc într-un singur oraș, dar este imposibil ca o persoană să trăiască în mai multe orașe în același timp. Este ca și reprezentarea logică a "parabolei" noastre - câteva x x corespunde aceluiași jucător.
Acum veniți cu un exemplu când dependența nu este funcția. Să presupunem că aceiași tipi au fost spuse la ce specialități au depus documente:
Aici avem o situație complet diferită: o persoană poate trimite în siguranță documente atât pentru una cât și pentru mai multe direcții. Adică un element Multiple este pus în linie cu mai multe elemente seturi. Respectiv, aceasta nu este o funcție.
Verificați-vă cunoștințele în practică.
Determinați în desene, care este o funcție și ce nu:
A dat seama? Dar eu. răspunsuri:
- Funcția este în, e.
- Funcția nu este - a, b, d, D.
Întrebați de ce? De ce, de aceea:
În toate desenele, cu excepția ÎN) și E) Unul cont pentru unul!
Sunt sigur acum, puteți distinge cu ușurință funcția de la nu o funcție, spuneți ce este un argument și ce variabilă dependentă este, precum și definirea zonei de valori de argumentare admise și funcția de determinare a funcției. Treceți la următoarea secțiune - Cum setați o funcție?
Modalități de stabilire a unei funcții
Ce părere aveți cuvintele medii "SET FUNCTION"? Așa este, înseamnă să explicați tuturor, despre ce funcție în acest caz vorbim. Și explică astfel încât toată lumea să vă înțeleagă corect și să vă atrageți de oameni în explicația dvs. a funcțiilor grafice au fost aceleași.
Cum pot face acest lucru? Cum se stabilește o funcție? Cea mai ușoară modalitate care a fost utilizată de mai multe ori în acest articol - cu ajutorul formulei. Scriem o formulă și, înlocuind valoarea în ea, calculează valoarea. Și cum vă amintiți, formula este legea, regula prin care noi și o altă persoană devine clar modul în care X se transformă în joc.
De obicei, acesta este modul în care fac - în sarcini, vedem deja funcțiile gata făcute de formule, totuși, există și alte modalități de a stabili o funcție despre care toată lumea uită și, prin urmare, întrebarea "Cum altfel pot specifica A funcţie?" pune într-un capăt mort. Vom înțelege totul în ordine, dar începem cu un mod analitic.
Modalitatea analitică de a seta funcția
Metoda analitică este o funcție de sarcină utilizând formula. Acesta este cel mai universal și exhaustiv calea libuoasă. Dacă aveți o formulă, atunci știți despre funcția absolut totul - puteți face un semn de valori, puteți construi un program, determinați unde funcția crește și unde scade, în general, să îl exploreze pe programul complet.
Luați în considerare o funcție. Ce este egal?
"Ce înseamnă?" - Te întrebi. Voi explica acum.
Permiteți-mi să vă reamintesc că expresia în paranteze se numește argument. Și acest argument poate fi orice expresie, nu neapărat pur și simplu. În consecință, indiferent de argumentul (expresia în paranteze), îl scriem în loc de exprimare.
În exemplul nostru va funcționa astfel:
Luați în considerare o altă sarcină asociată cu modul analitic pentru a seta funcția pe care o veți avea la examen.
Găsiți valoarea expresiei, când.
Sunt sigur că la început, ați fost înspăimântați, văzând o astfel de expresie, dar nu este absolut nimic teribil în ea!
Totul ca în exemplul trecut: indiferent de argumentul (expresia în paranteze), îl scriem în loc de exprimare. De exemplu, pentru o funcție.
Ce trebuie făcut în exemplul nostru? În schimb, trebuie să scrieți și în schimb -:
reduceți expresia rezultată:
Asta e tot!
Muncă independentă
Încercați acum să găsiți valoarea următoarelor expresii:
- , în cazul în care un
- , în cazul în care un
Face față? Comparați răspunsurile: Suntem obișnuiți ca funcția să aibă felul
Chiar și în exemplele noastre, specificăm funcția în acest fel, cu toate acestea, puteți seta analitic funcția într-un formular implicit, de exemplu.
Încercați să construiți singuri această caracteristică.
Face față?
Așa am construit-o.
Ce ecuație am retras în cele din urmă?
Dreapta! Liniar, ceea ce înseamnă că programul va fi linia dreaptă. Să facem un semn pentru a determina care puncte aparțin dreptului nostru:
Asta e ceea ce am spus despre ... unul corespunde unui singur.
Să încercăm să tragem ce sa întâmplat:
Asta avem o funcție?
Corect, nu! De ce? Încercați să răspundeți la această întrebare cu desenul. Ce a ieșit?
"Pentru că o valoare corespunde mai multor valori!"
Ce concluzie putem face de la asta?
Așa este corect, funcția nu poate fi întotdeauna exprimată în mod clar și nu întotdeauna ceea ce "deghizat" sub funcție este o funcție!
Modul tabular de a seta funcția
După cum implică numele, această metodă este un semn simplu. Da Da. Ca cel cu tine deja făcut. De exemplu:
Aici ați observat imediat modelul - Igrek este de trei ori mai mare decât X. Și acum sarcina de a "gândi foarte bine": ce credeți că este echivalent cu o funcție specificată sub forma unui tabel, funcții?
Nu vom argumenta mult timp și vom atrage!
Asa de. Desenizăm o funcție specificată de Wallpaper:
Vezi diferenta? Punctul nu este la punctele notate! Uită-te mai atent:
Acum a văzut? Când specificăm o funcție în mod tabar, reflectăm numai acele puncte pe care le avem în masă și linia (ca în cazul nostru) merge doar prin ele. Când am stabilit funcția cu un mod analitic, putem lua orice puncte, iar funcția noastră nu se limitează la. Aceasta este o astfel de caracteristică. Membru!
Metodă grafică pentru construirea unei funcții
Metoda grafică de construire a unei funcții nu este mai puțin convenabilă. Ne tragem funcția noastră și o altă persoană interesată poate găsi ceea ce este egal cu jocul la un anumit x și așa mai departe. Metodele grafice și analitice sunt unele dintre cele mai frecvente.
Cu toate acestea, aici trebuie să vă amintiți despre ceea ce vorbim la început - nu fiecare "Zagulin" tras în sistemul de coordonate este o funcție! Amintit? Doar în cazul în care vă voi copia aici definiția că funcția este:
De regulă, oamenii sunt de obicei numiți cele trei moduri de a seta funcțiile pe care le dezasamblez sunt analitice (folosind formula), tabuar și grafic, uitați complet că funcția poate fi descrisă verbal. Ca aceasta? Da, foarte simplu!
O descriere verbală a funcției
Cum să descrieți verbal funcția? Luați exemplul nostru recent -. Această caracteristică poate fi descrisă "pentru fiecare valoare valabilă a IX corespunde valorii sale triple." Asta e tot. Nimic dificil. Desigur, veți observa - "Există funcții atât de complexe care sunt verbal care vor cere pur și simplu imposibil!" Da, există acelea, dar există funcții care descriu verbal mai ușor decât setarea formulei. De exemplu: "Fiecare valoare naturală a lui X corespunde diferenței dintre numerele din care constă, în timp ce cea mai mare cifră conținută în înregistrarea numărului este luată pentru reducerea. Acum, luați în considerare modul în care descrierea noastră verbală a funcției este implementată în practică:
Cea mai mare cifră dintr-un număr dat -, respectiv, este redusă, apoi:
Tipuri de bază de funcții
Acum ne întoarcem la cel mai interesant lucru - luați în considerare principalele tipuri de funcții cu care ați lucrat / lucrați și veți lucra în cursul școlii și de la Institutul de Matematică, adică vom cunoaște cu ei, ca să spunem și să le dau o scurtă descriere. Pentru mai multe informații despre fiecare funcție, citiți în secțiunea relevantă.
Funcție liniară
Funcția vederii, unde, numere reale.
Graficul acestei funcții este drept, prin urmare construirea unei funcții liniare este redusă la găsirea coordonatelor a două puncte.
Poziția directă a planului de coordonate depinde de coeficientul unghiular.
Zona de definiție a funcției (zona AKA a valorilor de argumentare admise) -.
Zona de valoare -.
Funcția patrată
Tip funcția unde
Graficul funcției este PARABOLA, când ramurile parabolei sunt îndreptate în jos, atunci când - în sus.
Multe proprietăți ale funcției patratice depind de valoarea discriminantă. Discriminanța se calculează prin formula
Poziția parabolei pe planul de coordonate față de valoarea și coeficientul este prezentată în imagine:
Domeniu
Gama de valori depinde de extremumul acestei funcții (punctul vertexului pearabol) și coeficientul (direcțiile ramurilor parabolice)
Proporționalitate inversă
Funcția stabilită cu formula unde
Numărul este numit coeficientul proporționalității inverse. În funcție de ce valoare, ramurile hiperbolelor sunt în diferite pătrate:
Domeniu - .
Zona de valoare -.
Rezumatul și formulele de bază
1. Funcția se numește o regulă prin care fiecare element al setului este pus în conformitate cu un singur element al setului.
- - aceasta este o formulă care denotă o funcție, adică dependența unei variabile de la cealaltă;
- - valoare variabilă sau argument;
- - Valoarea dependentă se modifică atunci când argumentul se schimbă, adică, în conformitate cu orice formulă particulară care reflectă dependența de aceeași valoare de la cealaltă.
2. Valorile admise ale argumentului, sau zona de definiție a funcției este ceva care este asociat cu posibil, în care funcția are sens.
3. Zona valorilor funcției - Aceasta este valorile primite, cu valori admise.
4. Există 4 metode pentru setarea funcției:
- analitice (folosind formule);
- tabular;
- grafic
- o descriere verbală.
5. Tipuri de bază de funcții:
- : Unde, - numere reale;
- :, Unde;
- :, Unde.
Se încarcă ...