Rovnice online. Riešenie bikvadratických rovníc Možné riešenia úloh

V tomto článku sa naučíme riešiť bikvadratické rovnice.

Aké druhy rovníc sa teda nazyvajú bikvadratické?
Vsetko rovnice tvaru ach 4+ bx 2 + c = 0 , kde a ≠ 0 ktoré su štvorcové vzhľadom na x 2 a sa nazyvaju bikvadraticke rovnice. Ako vidíte, tento zápis je veľmi podobný písaniu kvadratickej rovnice, preto budeme bikvadratické rovnice riešiť pomocou vzorcov, ktoré sme použili pri riešení kvadratické rovnice.

Len budeme musieť zaviesť novú premennú, to znamená, ktorú označujeme x2 iná premenna, napr pri alebo t (alebo akékoľvek iné písmeno latinskej abecedy).

napr. poďme riešiť rovnicu x 4 + 4 x 2 - 5 = 0.

Oznacujeme x2 napriec pri (x 2 = y ) a získajte rovnicu y 2 + 4y - 5 = 0.
Ako vidíte, už viete, ako riešiť takéto rovnice.

Vyriešime výslednú rovnicu:

D = 4 2 - 4 (- 5) = 16 + 20 = 36, √D = √36 = 6.

y 1 \u003d (- 4 - 6) / 2 \u003d - 10/2 \u003d - 5,

y2 = (- 4 + 6) / 2 = 2/2 = 1.

Vráťme sa k našej premennej x.

Dostali sme, že x 2 = - 5 a x 2 = 1.

Všimnite si, že prvá rovnica nemá žiadne riešenia a druhá dáva dve riešenia: x 1 = 1 a x 2 = ‒1. Dávajte pozor, aby ste nestratili záporný koreň (najčastejšie je odpoveď x = 1, čo nie je správne).

odpoveď:- 1 la 1.

Pre lepšie pochopenie témy rozoberieme niekoľko príkladov.

Priklad 1 Vyrieste rovnicu 2x4 - 5x2 + 3 = 0.

Nech x 2 = y, potom 2y 2 - 5y + 3 = 0.

D = (- 5) 2 - 4 2 3 = 25 - 24 = 1, √D = √1 = 1.

y1 = (5 - 1) / (2 2) = 4/4 = 1, y2 = (5 + 1) / (2 2) = 6/4 = 1,5.

Potom x 2 = 1 a x 2 = 1,5.

Dostaneme x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 1, x 3 \u003d - √1.5, x 4 \u003d √1.5.

odpoveď: ‒1; 1; ‒ √1,5; √1,5.

Priklad 2 Vyrieste rovnicu 2x4 + 5x2 + 2 = 0.

2 roky 2 + 5 rokov + 2 = 0.

D = 5 2 - 4 2 2 = 25 - 16 = 9, √D = √9 = 3.

y1 = (- 5 - 3) / (2 2) = - 8/4 = -2, y 2 = (-5 + 3) / (2 2) = - 2/4 = - 0,5.

Potom x 2 = - 2 a x 2 = - 0,5. Všimnite si, že žiadna z týchto rovníc nemá riešenie.

odpoveď:žiadne riešenia.

Neuplne bikvadraticke rovnice-je to kedy b = 0 (ax 4 + c = 0) príp c = 0

(ax 4 + bx 2 = 0) sa riešia ako neúplné kvadratické rovnice.

Priklad 3 Vyrieste rovnicu x 4 - 25 x 2 = 0

Rozložme na faktor, umiestnime x 2 mimo zátvorky a potom x 2 (x 2 - 25) = 0.

Dostaneme x 2 = 0 alebo x 2 - 25 = 0, x 2 = 25.

Potom mama korene 0; 5 a-5.

odpoveď: 0; 5; – 5.

Priklad 4 Vyrieste rovnicu 5x 4 - 45 = 0.

x 2 = - √9

x 2 \u003d √9, x 1 \u003d - 3, x 2 \u003d 3.

Ako vidíte, keď viete, ako riešiť kvadratické rovnice, môžete sa vyrovnať s bikvadratickými rovnicami.

Ak máte ešte otázky, prihláste sa na moje lekcie. Tutorkou je Valentina Galinevskaya.

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebny odkaz na zdroj.

Riešenie rovnice znamená nájsť také hodnoty neznámej, pre ktoré bude rovnosť pravdivá.

Riesenie rovnice

Predstavme si rovnicu v nasledujúcom tvare:

2x * x - 3 * x = 0.

Vidíme, že členy rovnice na ľavej strane majú spoločný faktor x. Vyberme to zo zátvoriek a zapíšme și to:

x * (2x - 3) = 0.

Výsledný výraz je súčinom faktorov x a (2x - 3). Pripomeňme, že súčin sa rovná 0, ak sa aspoň jeden z faktorov rovná 0. Rovnosti teda môžeme napísať:

x = 0 alebo 2x - 3 = 0.

Takže jeden z koreňov pôvodnej rovnice je x 1 = 0.
Nájdite druhý koreň riešením rovnice 2x - 3 = 0.

V tomto výraze je 2x klesajúce, 3 je odčítanie, 0 je rozdiel. Ak chcete nájsť odpočítané, musíte k rozdielu pridať odpočítané:

V poslednom výraze sú 2 a x faktory, 3 je súčin. Ak chcete nájsť neznámy faktor, musíte rozdeliť produkt podľa známeho faktora:

Tak sme našli druhý koreň rovnice: x 2 = 1,5.

Kontrola spravnosti riesenia

Aby sme zistili, či je rovnica vyriešená správne, je potrebné do nej dosadiť číselné hodnoty x a vykonať potrebné aritmetické operácie. Ak sa v dôsledku výpočtov ukáže, že ľavá a pravá strana výrazu majú rovnakú hodnotu, potom je rovnica vyriešená správne.

Skontrolujme la:

Vypočítame hodnotu pôvodného výrazu pri x 1 = 0 a dostaneme:

2 * 0 2 - 3 * 0 = 0,

0 = 0, spravne.

Vypočítame hodnotu výrazu pri x 2 = 0 a dostaneme:

2 * 1,5 2 - 3 * 1,5 = 0,

2 * 2,25 - 4,5 = 0,

0 = 0, spravne.

To znamená, že rovnica je vyriešená správne.

Odpoveď: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 1,5.

riešiť matematicu. Najdite rychlo riešenie matematickej rovnice v rezime pe net... Stránka www.site la umožňuje vyriešiť rovnicu takmer akykoľvek dany algebricke, trigonometricke alebo transcendentalna rovnica online... Pri štúdiu takmer akéhokoľvek odvetvia matematiky v rôznych fázach musíte vyriešiť rovnice online... Aby ste dostali odpoveď hneď a hlavne presnú, potrebujete zdroj, ktorý vám to umožní. Vďaka webovej stránke www.site riešenie rovníc online bude trvať niekoľko minút. Hlavnou výhodou www.site pri riešení matematických rovnice online je rychlosť a presnosť danej odozvy. Stránka je Schopná vyriešiť akékoľvek algebraické rovnice online, goniometricke rovnice online, transcendentalne rovnice online, ako aj rovnice s neznámymi parametrami v režime pe net. Rovnice slúži ako výkonný matematický aparat riesenia praktické úlohy. S pomocou rovníc matematic dokážete vyjadriť fakty a vzťahy, ktoré sa na prvý pohľad môžu zdať mätúce a zložité. Nezname množstva rovnice možno nájsť formulavaním problému na matematic jazyk vo formulary rovnice A rozhodnuť prijatú úlohu v režime pe net pe webovej stránke www.site. akykoľvek algebrică rovnica, goniometricka rovnica alebo rovnice obsahujuce transcendentalnie funguje jednoducho rozhodnuť online a získajte presnú odpoveď. Študovaním prírodných vied nevyhnutne narazíte na potrebu risenie rovnic... V tomto prípade musí byť odpoveď presná a musí byť prijatá okamžite v režime pe net... Preto pre riešenie matematických rovníc online www.site, ktorá sa stane vašou nenahraditeľnou kalkulačkou riešenie algebraických rovníc online, goniometricke rovnice online, ako aj transcendentalne rovnice online alebo rovnice parametrii neznamymi. Na praktické úlohy hľadania koreňov rôznych rovníc matematic zdroj www .. Riešením rovnice online na vlastnú päsť, je užitočné skontrolovať odpoveď, ktorú ste dostali online riešenie rovníc pe webovej stránke www.site. Je potrebné zapísať rovnicu správne a okamžite ju získať online riesenie, po ktorom zostáva už len porovnať odpoveď s vaším riešením rovnice. Kontrola odpovede zaberie menej ako minútu, dosť riešiť rovnicu online a porovnajte odpovede. To vám pomôže vyhnúť sa chybám rozhodnutie a včas opravte odpoveď riešenie rovníc online ci algebricke, trigonometricke, transcendentalnie alebo rovnica parametrii neznamymi.

Kvadraticke rovnice.

Kvadraticka rovnica- všeobecná algebraická rovnica

kde x je voľná premenná,

a, b, c

Vyraz nazyvaný štvorcový trojčlen.

Metódy riešenia kvadratických rovníc.

1. METODĂ : Faktorizácia ľavej strany rovnice.

Poďme vyriešiť rovnicu x 2 + 10 x - 24 = 0... Zoberme do úvahy ľavu stranu:

x 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x (x + 12) - 2 (x + 12) = (x + 12) (x - 2).

Preto je možné rovnicu prepísať takto:

(x + 12) (x - 2) = 0

Keďže súčin je nula, aspoň jeden z jeho faktorov je nula. Preto ľava strana rovnice zmizne pri x=2 a tiež pre x=-12... To znamena, že číslo 2 A - 12 su korene rovnice x 2 + 10 x - 24 = 0.

2. METODĂ : Metóda výberu plného stvorca.

Poďme vyriešiť rovnicu x 2 + 6 x - 7 = 0... Vyberte celý štvorec vľavo.

Za týmto účelom napíšte výraz x 2 + 6x v nasledujúcom tvare:

x 2 + 6 x = x 2 + 2 x 3.

Vo výslednom výraze je prvý člen druhou mocninou čísla x a druhý je zdvojnásobený súčin x o 3. Preto, aby ste dostali úplný štvorec, musíte pridať 3 2, pretože

x 2 + 2 x 3 + 3 2 = (x + 3) 2.

Teraz transformujeme ľavu stranu rovnice

x 2 + 6 x - 7 = 0,

sčítanie a odčítanie 3 2. Máme:

x 2 + 6 x - 7 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

Túto rovnicu teda možno zapísať takto:

(x + 3) 2 - 16 = 0, (x + 3) 2 = 16.

teda x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1 alebo x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. METODĂ :Riešenie kvadratických rovníc pomocou vzorca.

Vynasobte obe strany rovnice

ax 2 + bx + c = 0 a ≠ 0

na 4a a postupne máme:

4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0,

((2ax) 2 + 2ax b + b 2) - b 2 + 4ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b \u003d ± √ b 2 - 4ac,

2ax \u003d - b ± √ b 2 - 4ac,

Priklady.

A) Poďme vyriešiť rovnicu: 4x2 + 7x + 3 = 0.

a = 4, b = 7, c = 3, D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0 dva rôzne korene;

Teda v prípade pozitívneho diskriminanta, t.j. pri

b2 - 4ac > 0, rovnica ax2 + bx + c = 0 má dva odlišné korene.

b) Poďme vyriešiť rovnicu: 4x 2 - 4x + 1 = 0,

a = 4, b = - 4, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 4 1 = 16 - 16 = 0,

D=0 jeden coren;

Ak je teda diskriminant nulový, t.j. b2 - 4ac = 0, potom rovnica

ax2 + bx + c = 0 ma jeden coren,

v) Poďme vyriešiť rovnicu: 2x2 + 3x + 4 = 0,

a = 2, b = 3, c = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D< 0.

Tato rovnica nemá korene.

Takže ak je diskriminant negatívny, t.j. b2-4ac< 0 , rovnica

ax2 + bx + c = 0 nema korene.

Vzorec (1) pre korene kvadratickej rovnice ax2 + bx + c = 0 umožňuje nájsť korene akykoľvek kvadratická rovnica (ak existuje), vrátane redukovanej a neúplnej. Vzorec (1) je vyjadrený slovami takto: korene kvadratickej rovnice sa rovnajú zlomku, ktorého čitateľ sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom plus mínus druhá odmocnina druhej mocniny tohto koeficientu bez štvorná vásúvého koeficientu štvornášobného koeficientu štvornášobného koeficientu.

4. SPECIAL: Riešenie rovníc pomocou Vietovej vety.

Ako viete, daná kvadraticka rovnica má tvar

x 2 + px + c = 0.(1)

Jeho korene spĺňajú Vietovu vetu, ktorá pre a = 1 ma forma

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = - str

Z toho možno vyvodiť nasledujúce závery (znamienka koreňov možno predpovedať z koeficientov p a q).

a) Ak je konsolidovaný pojem q daná rovnica (1) je kladná ( q > 0), potom má rovnica dva korene rovnakého znamienka a to zavisí od druhého koeficientu p... Ak R< 0 , potom sú oba korene zaporné, ak R< 0 , potom su oba korene kladne.

napr.

x 2 - 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 A x 2 \u003d 1, pretoze q = 2 > 0 A p=-3< 0;

x 2 + 8 x + 7 = 0; x 1 = - 7 A x 2 \u003d - 1, pretoze q = 7 > 0 A p = 8 > 0.

b) Ak je voľny termín q daná rovnica (1) je zaporná ( q< 0 ), potom má rovnica dva korene s rôznym znamienkom a koreň s väčšou absolútnou hodnotou bude kladný, ak p< 0 , alebo negatívne, ak p > 0 .

napr.

x 2 + 4 x - 5 = 0; x 1 = - 5 A x 2 \u003d 1, pretoze q=-5< 0 A p = 4 > 0;

x 2 - 8 x - 9 = 0; x 1 = 9 A x 2 \u003d - 1, pretoze q = -9< 0 A p=-8< 0.

Priklady.

1) Vyrieste rovnicu 345 x 2 - 137 x - 208 = 0.

Riesenie. Pretoze a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), potom

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a \u003d -208/345.

Odpoveď: 1; -208/345.

2) Vyrieste rovnicu 132x 2 - 247x + 115 = 0.

Riesenie. Pretoze a + b + c = 0 (132 - 247 + 115 = 0), potom

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a \u003d 115/132.

Odpoveď: 1; 115/132.

b. Ak druhy koeficient b = 2k Je párne číslo, potom koreňový vzorec

Priklad.

Poďme vyriešiť rovnicu 3x2 - 14x + 16 = 0.

Riessenie... Mame: a=3, b=-14, c=16, k=-7;

D \u003d k 2 - ac \u003d (- 7) 2 - 3 16 \u003d 49 - 48 \u003d 1, D\u003e 0, dva rôzne korene;

Odpoveď: 2; 8/3

v. Rovnica zredukovana

x 2 + px + q = 0

sa zhoduje so vseobecnou rovnicou, v ktorej a = 1, b=p A c = q... Preto pre redukovanú kvadratickú rovnicu koreňový vzorec

Ma podobu:

Vzorec (3) R- parne cislo.

Priklad. Poďme vyriešiť rovnicu x 2 - 14 x - 15 = 0.

Riesenie. Mame: x 1,2 = 7 ±

Odpoveď: x 1 = 15; x 2 \u003d -1.

5. METODA: Grafické riešenie rovníc.

Priklad. Vyriešte rovnicu x2 - 2x - 3 = 0.

Zostrojme graf funkcie y = x2 - 2x - 3

1) Máme: a = 1, b = -2, x0 = = 1, y0 = f(1) = 12 - 2 - 3 = -4. Vrchol paraboly je teda bod (1; -4) a os paraboly je priamka x = 1.

2) Vezmite dva body na osi x, ktoré sú symetrické okolo osi paraboly, napríklad body x = -1 a x = 3.

Máme f (-1) = f (3) = 0. Zostrojme body (-1; 0) a (3; 0) na rovine súradníc.

3) Nakreslite parabolu cez body (-1; 0), (1; -4), (3; 0) (obr. 68).

Korene rovnice x2 - 2x - 3 = 0 sú úsečky priesečníkov paraboly s osou x; korene rovnice sú teda nasledovné: x1 = - 1, x2 - 3.

Vyrieste rovnicu X 2 + (1-x) 2 = x

Dokážte, že neexistujú žiadne celé čísla, ktoré by sa od permutácie počiatočnej číslice po koniec zvýšili 5-krát.

V urcitom kráľovstve su každý dvaja priatelia alebo nepriatelia. Každý sa môže v urcitom okamihu pohádať so všetkými priateľmi a uzavrieť mier so všetkými nepriateľmi. Ukázalo sa, že každý traja ľudia sa môžu takto stať priateľmi. Dokážte, že potom sa všetci ľudia v tomto kráľovstve môžu stať priateľmi.

V trojuholníku je jeden zo stredov kolmý na jednu z priesečníkov. Dokážte, že jedna zo strán tohto trojuholníka je dvakrát väčšia ako druhá.

Úlohy na krajskú (mestskú) olympiádu pre školákov z matematiky.

V strľbe na cieľ športovec vyradil iba 8.9 a 10 bodov. Celkovo po viac ako 11 výstreloch knokautoval presne 100 bodov. Koľko rán vystrelil športovec a aké boli zásahy?

Dokážte pravdivosť nerovnosti:

3. Vyrieste rovnicu:

Nájdite trojciferné číslo, ktoré sa po prečiarknutí prostrednej číslice zmenší 7-krát.

V trojuholníku ABC sú osi nakreslené z vrcholov A a B. Corpul D a E priesečníka týchto čiar s osami sú spojené. Ukázalo sa, že priamky DE a AB sú rovnobežné. Dokážte, že trojuholnik ABC je rovnoramenný.

Úlohy na krajskú (mestskú) olympiádu pre školákov z matematiky.

Vyriešte sústavu rovníc:

Na stranách AB a HELL rovnobežníka AVSD sa zoberú body E a K, takže segment EK je rovnobežný s uhlopriečkou VD. Dokážte, že plochy trojuholníkov ALL a SDK sú rovnaké.

Skupinu turistov bolo rozhodnuté posadiť do autobusov tak, aby každý autobus mal rovnaký počet cestujúcich. Najprv do každého autobusu nasadli 22 ľudí, no ukázalo sa, že jedného turistu nie je možné usadiť. Keď jeden autobus odišiel prázdny, do zvyšných autobusov nastúpili všetci turisti rovnako. Koľko autobusov bolo pôvodne a koľko turistov bolo v skupine, ak je známe, že každý autobus má kapacitu maximálne 32 osôb?

Úlohy na krajskú (mestskú) olympiádu pre školákov z matematiky.

Vyriešte sústavu rovníc:

Dokážte, že štyri vzdialenosti od bodu na kruhu k vrcholu štvorca, ktorý je do neho vpísaný, nemôžu byť súčasne racionálnymi číslami.

Mozne riesenia problemov

1. Odpoveď: x = 1, x = 0,5

Od preusporiadania začiatočnej číslice po koncovú sa význam čísla nezmení. Zároveň by sa podľa stavu problému malo získať číslo, ktoré je 5-krát väčšie ako prvé číslo. Preto by sa prvá číslica požadovaného čísla mala rovnať 1 a iba 1. (keďže ak je prvá číslica 2 alebo viac, hodnota sa zmení, 2*5=10). Pri preusporiadaní 1 na konci výsledné číslo končí 1, preto nie je deliteľné 5.

Z podmienky vyplýva, že ak sú A a B priatelia, potom C je buď ich spoločný nepriateľ, alebo spoločný priateľ (inak sa títo traja nezmieria). Zoberme si všetkých priateľov človeka A. Z toho, čo bolo povedané, vyplýva, že všetci sú medzi sebou priateľskí a sú v nepriateľstve s ostatnými. Teraz nechajte A a jeho priateľov striedavo sa hádať s priateľmi a uzatvárať mier s nepriateľmi. Potom budú všetci priatelia.

Vskutku, nech sa A prvý poháda so svojimi priateľmi a uzavrie mier so svojimi nepriateľmi, ale potom sa s ním každý z jeho bývalých priateľov uzmieri a bývalí nepriatelia zostanú priateľmi. Všetci ľudia sa teda stanú priateľmi A, a teda aj priateľmi navzájom.

Číslo 111 je deliteľné 37, teda aj pomenovaná suma je deliteľná 37.

Podľa podmienky je číslo deliteľné 37, teda súčet

Delicatene 37.

Všimnite si, že indikovaný medián a stred nemôže vychádzať z jedného vrcholu, pretože inak by bol uhol v tomto vrchole väčší ako 180 0. Teraz nech sa v trojuholníku ABC pretína CE osin a stredá stredáce, CE holní a stredá stredáce, v tomto vrchole väčší ako 180 0. tento trojuholník je rovnoramenný (AC = AE), a keďže CE je stred, potom AB = 2AE a teda AB = 2AC.

Mozne riesenia problemov

1. Odpoveď: 9 run po 8 bodov,

2 strelly po 9 bodov,

1 strela pentru 10 bodov.

Nechaj X výstrely vystrelil športovec, vyradili 8 bodov, r strelly 9 bodov, z výstrely 10 bodov. Sistemul Potom môžete zostaviť:

Pomocou prvej rovnice system napíšeme:

Z tohto system vyplýva, že X+ r+ z=12

Vynásobte druhú rovnicu (-8) a pridajte k prvej. Chapeme to r+2 z=4 , kde r=4-2 z, r=2(2- z) ...teda pri- parne cislo, t.j. y=2t, kde .

teda

3. Odpoveď: x = -1/2, x = -4

Po zredukovaní zlomkov na jedneho menovateľa dostaneme

4. odpoveď: 105

Označme podľa X, r, z prvá, druhá a tretia číslica požadovaného trojciferného čísla. Potom to môže byť napísané ako. Preciarknutím strednej číslice vznikne dvojciferné číslo. Stavom problemu, t.j. nezname cisla X, r, z splniť rovnicu

7(10 X+ z)=100 X+10 r+ X, ktorý po redukcii podobných pojmov a skratiek nadobúda podobu 3 z=15 X+5 r.

Z tejto rovnice vyplýva, že z musí byť deliteľné 5 a musí byť kladné, ako aj podmienkou. Preto z = 5 a čísla X y splniť rovnicu 3 = 3x + y, ktorá má na základe podmienky jednoznačné riešenie x = 1, y = 0. Preto podmienku úlohy spĺňa jediné číslo 105.

Označme písmenom F bod, v ktorom sa pretínajú priamky AB a CE. Pretože priamky DB a CF su rovnobežné, potom. Pretože BD je osou uhla ABC, dospeli sme k záveru, že. Z toho vyplýva, že t.j. trojuholník BCF je rovnoramenný a BC = BF. Ale z podmienky vyplýva, že štvoruholník BDEF je rovnobežník. Preto BF = DE, a teda BC = DE. Podobným spôsobom sa dokáže, že AC = DE. Výsledkom je požadovaná rovnosť.

Mozne riesenia problemov

Odtiac (x+y) 2 = 1 , t.j. x + y = 1 alebo x + y = -1.

Uvažujme o dvoch pripadoch.

A) x + y = 1... Nahradzanie x = 1 - y

b) x + y = -1... Po vystriedani x=-1-y

Riešením systému teda môžu byť iba nasledujúce štyri dvojice čísel: (0; 1), (2; -1), (-1; 0), (1; -2). Dosadením do rovníc pôvodnej sústavy sa uistíme, že každá z tychto štyroch dvojíc je riešením sústavy.

Trojuholníky CDF a BDF majú spoločnú základňu FD a rovnakú výšku, pretože čiary BC a AD sú rovnobežné. Preto su ich plochy rovnaké. Podobne sú plochy trojuholníkov BDF a BDE rovnaké, pretože priamka BD je rovnobežná s priamkou EF. A plochy trojuholníkov BDE a BCE sú rovnaké, pretože AB je rovnobežná s CD. Z toho vyplýva požadovaná rovnosť plôch trojuholníkov CDF a BCE.

Vzhľadom na domainu funkcie zostavme graf.

Pomocou vzorca vykonať ďalšie transformácie

Aplikovaním sčítacích vzorcov a vykonaním ďalších transformácií dostaneme

5. Odpoveď: 24 de autobuze, 529 de turiști.

Označme podľa k počiatočný počet autobusov. Z problémového vyjadrenia vyplýva, že a že počet všetkých turistov je 22 k +1 ... Po odchode jedného autobusu sa všetci turisti posadili do zvyšného (k-1) autobuz. Preto cislo 22 k +1 de mala byť deliteľná k-1... Problema sa teda zredukoval na určenie všetkých celých čísel, pre ktoré je číslo

Je to celé číslo a spĺňa nerovnosť

Číslo bude celé iba vtedy, keď bude celé. To druhé je možné len vtedy k=2 a pri k=24 .

Ak k=2 , potom n = 45.

O cheie k=24 , potom n = 23.

Z tohto a podmienky ziskame len to k=24 spĺňa všetky podmienky problemu.

Pôvodne tam teda bolo 24 autobusov a počet všetkých turistov je n(k-1) = 23 x 23 = 529