Derivacia funkcie.
1. Definícia derivácie, jej geometrický význam.
2. Derivácia complexnej funkcie.
3. Derivácia inverznej funkcie.
4. Deriváty vyššieho radu.
5. Parametricky definované funkcie a implicitne.
6. Diferenciácia funkcií šspecificikovaných parametricky a implicitne.
vod.
Zdrojom diferenciálneho počtu boli dve otázky, ktoré vyvolali požiadavky vedy a techniky v 17. storočí.
1) Otázka výpočtu rýchlosti pre svojvoľne daný pohybový zákon.
2) Otázka hľadania (pomocou výpočtov) dotyčnice ku krivke ľubovoľne danej.
Problema nakreslenia dotyčnice k niektorým krivkám vyriešil starogrécky vedec Arhimede (287-212 pred Kr.), metódou kreslenia.
Ale až v 17 a 18
Jednou z dôležitých otázok pri štúdiu akéhokoľvek fyzikálneho javu je zvyčajne otázka rýchlosti, rýchlosti vyskytujúceho sa javu.
Rýchlosť, ktorou sa lietadlo alebo auto pohybuje, je vždy najdôležitejším ukazovateľom jeho výkonu. Rýchlos populačného rastu v danom štáte je jednou z hlavných charakteristík jeho sociálneho vývoja.
Počiatočná myšlienka rýchlosti je každému jasná. Táto všeobecná myšlienka však nestačí na riešenie väčšiny praktických problémov. Je potrebné mať takú kvantitatívnu definíciu tejto veličiny, ktorú nazývame rýchlosť. Potreba takejto presnej kvantitatívnej definície bola historicky jednou z hlavných hnacích síl vytvárania matematickej analýzy. Riešeniu tohto základného problému a záverom z tohto riešenia je venovaná celá časť matematickej analýzy. Obraciame sa na studium tejto časti.
Definícia derivácie, jej geometrický význam.
Nech je daná functioneaza definovaná v nejakom intervale (a, c) a nepretržite v ňom.
1. Argumentul Daime X prírastok, potom functioneaza dostane
prirastok:
2. Zostavme vzťah 
.
3. Prechod na limit pri a za predpokladu, že limit
existuje, dostaneme množstvo tzv
derivácia funkcie vzhľadom on argument X.
Definiție. Derivácia funkcie v bode je limitom pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu, keď → 0.
Hodnota derivátu samozrejme zavisi od bodu X, v ktorej sa nachádza, preto je derivácia funkcie zase nejakou functionu X... Je to uvedene.
Podľa definície máme
alebo (3)
Priklad. Najdite deriváciu funkcie.
1. ; 
Derivácia funkcie je jednou z ťažkých tém v školských osnovách. Nie každý absolvent odpovie na otázku, čo je derivát.
Tento článok jednoducho a jasne vysvetľuje, čo je derivát a na čo slúži.... Teraz sa nebudeme snažiť o matematickú prísnosť prezentácie. Najdôležitejšie je pochopiť význam.
Primomeňme și definiciu:
Derivácia je rychlosť zmeny funkcie.
Na obrázku su znázornene grapy troch funkcií. Ktorá podľa vás rastie rýchlejšie?
Odpoveď je zrejmá - tretia. Má najvyššiu mieru zmeny, teda najväčší derivát.
Tu je ďalší priklad.
Kostya, Grisha a Matvey dostali prácu v rovnakom čase. Pozrime sa, ako sa zmenili ich prijmy v priebehu roka:
Na graphe vidíte hneď všetko, nie? Kosťov príjem sa za šesť mesiacov viac ako zdvojnásobil. A Grišov príjem sa tiež zvýšil, ale len mierne. A Matveyho prijem klesol na nulu. Počiatočné podmienky sú rovnaké, ale rýchlosť zmeny funkcie, tj derivat, - rozne. Pokiaľ ide o Matveyho, derivát jeho prijmu je vo všeobecnosti negatívny.
Intuitívne vieme ľahko odhadnúť rýchlosť zmeny funkcie. Ale ako la urobime?
V skutočnosti sa pozeráme na to, ako strmo ide graf funkcie nahor (alebo nadol). Inými slovami, ako rýchlo sa mení y so zmenou x. Je zrejmé, že rovnaká function v rôznych bodoch môže mať rôzne hodnoty derivácie - to znamená, že sa môže meniť rýchlejšie alebo pomalšie.
Derivácia funkcie je oznacená.
Ukážeme si, ako ho nájsť pomocou grafu.
Nakresli sa graf nejakej funkcie. Zoberme si bod s osou x. V tomto bode nakreslíme dotyčnicu ku grafu funkcie. Chceme odhadnúť, ako strmo nahor je funkčný graf. Výhodná hodnota pre to je dotyčnica uhla sklonu dotyčnice.
Derivácia funkcie v bode sa rovná dotyčnici uhla sklonu dotyčnice nakreslenej ku grafu funkcie v tomto bode.
Pozor - ako uhol sklonu dotyčnice berieme uhol medzi dotyčnicou a kladným smerom osi.
Niekedy sa študenti pýtajú, čo je function dotyčnice. Toto je priamka, ktorá má jeden spoločný bod s grafom v tejto oblasti a ako je znázornené na našom obrázku. Vyzerá to ako dotyčnica ku kruhu.
A mea de găsit. Pamätáme si, že dotyčnica ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku sa rovná pomeru protiľahlej vetvy k susednej vetve. Z trojuholnika:
Našli sme deriváciu pomocou grafu bez toho, aby sme poznali vzorec funkcie. Takéto problémy sa často nachádzajú na skúške z matematiky pod číslom.
Je tu ešte jeden dôležitý vzťah. Pripomeňme, že priamka je daná rovnicou
Množstvo v tejto rovnici sa nazyva sklon priamky... Rovná sa dotyčnici uhla sklonu priamky k osi.
.
Chapeme to
Zapamätajme si tento vzorec. Vyjadruje geometrický význam derivácie.
Derivácia funkcie v bode sa rovná sklonu dotyčnice nakreslenej ku grafu funkcie v tomto bode.
Inými slovami, derivácia sa rovná dotyčnici uhla sklonu dotyčnice.
Už sme povedali, že tá istá function môže mať v rôznych bodoch rôzne derivácie. Pozrime sa, ako derivácia suvisí so správaním funkcie.
Nakreslime graf nejakej funkcie. Nechajte túto funkciu v niektorých oblastiach rásť a v iných znižovať a rôznymi rýchlosťami. A nech má táto funcționează maximálny a minimálny počet bodov.
V urcitom okamihu sa functioneaza zvýši. Dotyčnica ku grafu nakreslenému v bode zviera ostrý uhol s kladným smerom osi. To znamená, že derivácia je v bode kladná.
V tomto bode naša functioneaza klesá. Dotyčnica v tomto bode zviera tupý uhol s kladnym smerom osi. Pretože dotyčnica tupého uhla je zaporná, derivácia v bode je zaporná.
Cho sa stane:
Ak je functioneaza rastúca, jej derivácia je kladná.
Ak klesá, jeho derivácia je zaporná.
A čo sa stane pri maximálnom a minime bodov? Vidíme, že v bodoch (maximálny bod) a (minimálny bod) je dotyčnica vodorovna. Preto je dotyčnica uhla sklonu dotyčnice v týchto bodoch nulová a derivácia je tiež nulová.
Bod je maximal bod. V tomto bode je nárast funkcie nahradený poklesom. V dôsledku toho sa znamienko derivácie mení v bode z "plus" na "minus".
V bode - minimálnom bode - je derivácia tiež nula, ale jej znamienko sa mení z "mínus" na "plus".
Záver: pomocou derivácie môžete zistiť všetko, čo nás zaujíma o správaní funkcie.
Ak je derivácia kladná, functioneaza je rastúca.
Ak je derivácia zaporná, functioneaza klesá.
V maximálnom bode je derivácia nula a mení znamienko z "plus" na "minus".
V minimálnom bode je derivácia tiež nula a mení znamienko z "mínus" na "plus".
Zapíšme si tieto závery vo forme tabukky:
| zvyšuje sa | corp maxim | klesa | corp minim | zvyšuje sa | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Urobme dve masculin upresnenia. Jeden z nich budete potrebovať pri riešení úloh skúšky. Ďalší - v prvom ročníku, s vážnejším štúdiom funkcií a derivátov.
Prípad je možný, keď sa derivácia funkcie v určitom bode rovná nüle, ale funcționării v tomto bode nemá maximum și minimum. Ide o tzv :
V bode je dotyčnica ku grafu vodorovná a derivácia je nula. Avšak až do bodu sa funcționare zvýšila - a po bode sa naďalej zvyšuje. Znamienko derivácie sa nemeni - ako bolo kladné, zostava.
Stáva sa tiež, že derivácia neexistuje v maximálnom alebo minimálnom bode. Na graphe to zodpovedá ostrému ohybu, keď nie je možné nakresliť dotyčnicu v danom bode.
A ko nájsť deriváciu, ak function nie je daná grafom, ale vzorcom? V tomto pripade,
Derivat(funcționare v bode) počet diferential charakterizujúce rýchlosť zmeny funkcie (v danom bode). Definit ako limită pomer prírastku funkcie k jej prírastku argument pri tendincii zvyšovať argument na nula ak taký limit existuje. Funkcia, ktorá má konečnú deriváciu (v určitom bode), sa nazýva variavateľná (v danom bode).
Proces výpočtu derivácie je tzv diferenciacia... Obrátený proces – nájdenie primitiv - integrare.
Ak je functiona daná grafom, jej derivácia v každom bode sa rovná dotyčnici uhla sklonu dotyčnice ku grafu funkcie. A ak je functiona daná vzorcom, pomôže vám tabuľka derivácií a pravidlá diferenciácie, teda pravidlá hľadania derivácie.
4. Derivácia complexnej a inverznej funkcie.
Teraz to nechajte nastaviť complexna functioneaza , t.j. premenná je functionu premennej a premenná je zasa functionu nezavislej premennej.
Veta . Ak A variavateľne funkcie jej argumentov, potom complexná functioneaza Je variază funcția a jej derivácia sa rovná súčinu derivácie danej funkcie vzhľadom na stredný argument a derivácie stredného argumentu vzhľadom na nezávisle premennú:
.
Vyhlásenie sa da ľahko získať zo zjavnej rovnosti 
(platí pre a) prechodom na limitu pre (čo vzhľadom na spojitosť variavateľnej funkcie vyplýva).
Prejdime k úvahe o derivat inverzna functionala.
Nech má variază funcționalitatea množine množinu hodnôt a na množine existuje inverzna functionala .
Veta
. Ak v bode
derivat
, potom derivácia inverznej funkcie
v corp
existuje a rovná sa inverznej derivácii tejto funkcie: 
, alebo
Tento vzorec sa dá ľahko získať z geometrických úvah.
T 
Pretože existuje dotyčnica uhla sklonu dotyčnice k osi, to znamená dotyčnica uhla sklonu tej istej dotyčnice (rovnakej priamky) v rovnakom bode k osi.
Ak sú ostre, tak ak sú matné, tak 
.
V oboch pripadoch 
... Táto rovnosť je ekvivalentom rovnosti
5. Geometrický a fyzikálny význam derivácie.
1) Fyzikálny význam derivátu.
Ak funcționare y = f (x) a jej argument x sú fyzikálne veličiny, potom derivácia je rýchlosť zmeny premennej y vzhľadom na premennú x v bode. Napríklad, ak S = S (t) je vzdialenosť prejdená bodom v čase t, potom jej derivácia je rýchlosť v danom čase. Ak q = q (t) je množstvo elektriny pretekajúcej prierezom vodiča v čase t, potom je rýchlosť zmeny množstva elektriny v čase, t.j. actualna sila v case.
2) Geometrický význam derivácie.
Nech je nejaká krivka, buď bod na krivke.
Akákoľvek priamka, ktorá pretína aspoň dva body, sa nazýva sečna.
Dotyčnica ku krivke v bode je limitnou polohou sečny, ak má bod tendenciu sa pohybovať pozdĺž krivky.
Z definície je zrejmé, že ak dotyčnica ku krivke v bode existuje, potom je jedinečná
Uvažujme krivku y = f (x) (t. j. graf funkcie y = f (x)). Nech v bode 
má nezvislú dotyčnicu. Jej rovnica: (rovnica priamky prechádzajúcej bodom 
a majúci sklon k).
Podľa definície sklonu, kde je uhol sklonu priamky k osi.
Nech je uhol sklonu sečnice k osi, kde. Keďže je dotyčnica, potom pre
teda
Takto sme dostali sklon dotyčnice ku grafu funkcie y=f(x)v bode 
(geometrický význam derivácie funkcie v bode). Preto rovnica dotyčnice ku krivke y = f (x) v bode 
možno napísať ako
Začnime tento článok prehľadom požadovaných definícií a pojmov.
Potom prejdime k napísaniu rovnice dotyčnice a uveďme podrobné riešenia najtypickejších príkladov a problémov.
Na záver sa zastavíme pri hľadaní rovnice dotyčnice ku krivkám druhého rádu, teda ku kružnici, elipse, hyperbole a parabole.
Navigare pe stránke.
Definiţia a pojmy.
Definiție.
Uhol sklonu priamky y = kx + b je uhol nameraný od kladného smeru úsečky k priamke y = kx + b v kladnom smere (to znamená proti smeru hodinových ručičiek).
Na obrázku je kladný SMER osi x znázornený vodorovnou zelenou šípkou, kladný SMER odčítania uhla je znázornený zeleným oblúkom, priama Ciara je znázornená modrou čiarou un sklon priamky je znázornená modrou čiarou un sklon priamky je znázornená modrou čiarou un sklon priamky je znázornená modrou
Definiție.
Sklon priamky y = kx + b sa nazýva číselný koeficient k.
Sklon priamky sa rovná dotyčnici uhla sklonu priamky, teda .
Definiție.
Priamy Volá sa AB nakreslený cez dva body grafu funkcie y = f (x). sekanta... Cuvinte Inymi, sekanta Je priamka prechádzajúca dvoma bodmi funkčného grafu.
Na obrázku je čiara sečnice AB znázornená modrou čiarou, graf funkcie y = f (x) čiernou krivkou, uhol sklonu sečny je znázornený červeným oblúkom.
Ak vezmeme do úvahy, že sklon priamky sa rovná dotyčnici uhla sklonu (o tom sme hovorili vyššie) a dotyčnica uhla v pravouhlom trojuholníku ABC je pomer protiľahlej vetvy k susednému (tom sme hovorili vyššie) a dotyčnica uhla v pravouhlom trojuholníku ABC je pomer protiľahlej vetvy k susednému (tom sme hovorili vyššie) 
, kde sú úsečky bodov A a B, 
- zodpovedajuce hodnoty funkcie.
teda sečny svah je definovaná rovnosťou 
alebo 
, A sekanova rovnica napisane vo formulari 
alebo 
(v prípade potreby si pozrite časť).
Sečnica rozdeľuje graf funkcie na tri časti: naľavo od bodu A, od A do B a napravo od bodu B, hoci môže mať s grafom funkcie spoločné viac ako dva body.
Obrázok nižšie ukazuje tri skutočne rozdielne sekty (corpul A a B sú odlišné), ale zhodujú sa a sú dané rovnakou rovnicou.
Nikdy sme sa nestretli s rozhovormi o sečnici pre priamku. Ale napriek tomu, ak vychádzame z definície, potom sa priamka a jej sečnica zhodujú.
V niektorých prípadoch môže mať sečnica nekonečný počet priesečníkov s grafom funkcie. Napríklad sečna definovaná rovnicou y = 0 má so sinusoidou spoločný nekonečný počet bodov.
Definiție.
Dotyčnica ku grafu funkcie y=f(x)v bode sa nazýva priamka prechádzajúca bodom, s ktorého segmentom sa graf funkcie prakticky spája pri hodnotách x ľubovoľne blízkych.
Vysvetlime si túto definíciu na priklade. Ukážme, že priamka y = x + 1 sa dotýka grafu funkcie v bode (1; 2). K tomu si ukážeme grafy týchto funkcií pri priblížení sa k bodu dotyku (1; 2). Graf funkcie je znázornený čiernou farbou, dotyčnica je znázornená modrou čiarou, dotykový bod je znázornený červeným bodom.
Každý nasledujúci výkres je zväčšenou oblasťou predchádzajúceho (tieto oblasti sú zvýraznené červenými štvorcami).
Je jasne vidieť, že v blízkosti bodu dotyku graf funkcie prakticky splýva s dotyčnicou y = x + 1.
Teraz prejdime k zmysluplnejšej definícii dotyčnice.
Aby sme to dosiahli, ukážeme, čo sa stane so sečnicou AB, ak sa bod B nekonečne približuje k bodu A.
Obrázok nižšie ilustruje tento proces.
Sečnica AB (znázornená modrou prerušovanou čiarou) bude mať tendenciu zaberať polohu dotyčnice (znázornená modrou plnou čiarou), uhol sklonu sečny (znázornený červeným prerušovaným oblúkom) bude smerovaťmúným oblúkom (znázornená modrou plnou čiarou) .
Definiție.
touto cestou, dotyčnica ku grafu funkcie y=f(x)v bode A Je hraničná poloha sečny AB pri.
Teraz môžeme pristúpiť k popisu geometrického významu derivácie funkcie v bode.
Geometrický význam derivácie funkcie v bode.
Uvažujme čiaru rezu AB grafu funkcie y = f (x) takú, že body A a B majú súradnice a 
, kde je prírastok argumentu. Označme prírastkom funkcie. Označme všetko na výkrese:
Z pravouhlého trojuholníka ABC máme. Keďže podľa definície je dotyčnica hraničnou pozíciou sečny 
.
Spomena me si definicia derivácie funkcie v bode: derivácia funkcie y = f (x) v bode je hranica pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu at, zn. 
.
teda 
, kde je sklon dotyčnice.
Existencia derivácie funkcie y = f (x) v bode je teda ekvivalentná existencii dotyčnice ku grafu funkcie y = f (x) v bode dotyku a sklon dotyčnice sa rovná hodnote derivácie v bode, teda .
Dospeli sme k zaveru: geometricky význam derivácie funkcie v bode spočíva v existencii dotyčnice ku grafu funkcie v tomto bode.
Rovnica dotyčnice.
Na napísanie rovnice akejkoľvek priamky na rovine stačí poznať jej sklon a bod, ktorým prechádza. Dotyková čiara prechádza dotykovým bodom a jej sklon pre derivovanú funkciu sa rovná hodnote derivácie v bode. To znamená, že od bodu, v ktorom môžeme zobrať všetky údaje na napísanie rovnice dotyčnice.
Rovnica dotyčnice ku grafu funkcie y=f(x)v bode ma forma.
Predpokladáme, že derivácia má konečnú hodnotu, inak je dotyčnica buď vertikálna (ak. 
A 
), alebo neexistuje (ak 
).
V závislosti od sklonu môže byť dotyčnica rovnobežná s osou úsečky (), rovnobežná s osou ordináty (v tomto prípade bude mať rovnica dotyčnice tvar), zväčšenie () alebo zníž).
Je čas uviesť niekoľko príkladov na objasnenie.
Priklad.
Prirovnajte dotyčnicu ku grafu funkcie 
v bode (-1; -3) a určte uhol sklonu.
Riesenie.
Funkcia je definovaná pre všetky realne čísla (v prípade potreby pozri článok). Keďže (-1; -3) je bod kontaktu, potom 
.
Nájdeme derivát (na tento účel sa môže hodiť materiál článku diferenciacia funkcie, nájdenie derivácie) a vypočítajte jeho hodnotu v bode: 
Pretože hodnota derivácie v bode dotyku je sklon dotyčnice a rovná sa dotyčnici uhla sklonu, potom 
.
Preto je uhol sklonu dotyčnice 
a rovnica dotyčnice ma tvar 
Grafické znázornenie.
Graf pôvodnej funkcie je znázornený čiernou farbou, dotyčnica je znázornená modrou čiarou, dotykový bod je znázornený červeným bodom. Obrázok vpravo je zväčšená oblasť označená červeným bodkovaným štvorcom na obrázku vľavo.
Priklad.
Zistite, či existuje functions dotyčnica ku grafu 
v bode (1; 1), ak áno, zostavte jeho rovnicu a určte uhol jej sklonu.
Riesenie.
Definičný obor funkcie je celá množina realnych čísel.
derivat najdite: 
Keď derivát nie je definovaný, ale 
A 
, teda v bode (1; 1) je zvislá dotyčnica, jej rovnica má tvar x = 1 a uhol sklonu je.
Grafické znázornenie.
Priklad.
Nájdite všetky body grafu funkcie, v ktorych:
a) dotyčnica neexistuje; b) dotyčnica je rovnobežná s osou x; c) dotyčnica je rovnobežná s priamkou.
Riesenie.
Ako vždy začneme rozsahom funkcie. V našom príklade je functioneaza definovaná na celej množine realnych čísel. Odhalíme znamienko modulu, preto zvážime dva intervaly a: 
Rozlišujme funkciu: 
o Derivát x = -2 neexistuje, pretože jednostranné limity v tomto bode nie sú rovnaké: 
Ak teda vypočítame hodnotu funkcie v x = -2, môžeme dať odpoveď na bod a): dotyčnica ku grafu funkcie v bode (-2; -2) neexistuje.
b) Dotyčnica je rovnobežná s úsečkou, ak jej sklon je nulový (sklon je nulový). Pretoze 
, potom musíme nájsť všetky hodnoty x, pri ktorých derivácia funkcie zaniká. Tieto hodnoty budú úsečkami tangenciálnych bodov, v ktorých je dotyčnica rovnobežná s osou Ox.
Keď vyriešime rovnicu 
a na - rovnica 
:
Zostáva vypočítať zodpovedajúce hodnoty funkcie: 
takze 
- požadované body grafu funkcie.
Grafické znázornenie.
Graf pôvodnej funkcie je znázornený čiernou čiarou, červené bodky označujú nájdené corp, v ktorých sú dotyčnice rovnobežné s osou x.
c) Ak sú dve priamky v rovine rovnobežné, potom sú ich sklony rovnaké (o tom sa píše v článku). Na základe tohto tvrdenia musíme nájsť všetky body na grafe funkcie, pri ktorých je sklon dotyčnice osem pätín. Pentru a znamená, že musíme vyriešiť rovnicu. Takto vyriešime rovnicu 
a na - rovnica 
.
Diskriminant prvej rovnice je záporný, preto nemá žiadne skutočné korene: 
Druha rovnica má dva skutočne korene: 
Nájdeme zodpovedajuce hodnoty funkcie: 
V bodoch 
funkcie dotýkajúce sa grafu su rovnobežné s priamkou.
Grafické znázornenie.
Graf funkcie je znázornený ako čierna čiara .
Pre goniometrické funkcie môže byť vzhľadom na ich periodicitu nekonečne veľa dotyčníc s jedným uhlom sklonu (rovnaký sklon).
Priklad.
Napíšte rovnice všetkých dotyčníc ku grafu funkcie 
ktoré su kolme na priamku.
Riesenie.
Na zostavenie rovnice dotyčnice ku grafu funkcie nám stačí poznať jej sklon a súradnice dotykového bodu.
Sklon dotyčníc nájdeme z: súčin sklonov kolmých priamok sa rovná mínus jednej, tzn. Pretože podľa podmienky je sklon kolmice rovnaký 
.
Začnime hľadať súradnice bodov dotyku. Najprv nájdeme úsečky, potom vypočítame zodpovedajúce hodnoty funkcie - to budú súradnice bodov dotyku.
Pri popise geometrického významu derivácie funkcie v bode sme si všimli, že. Z tejto rovnosti nájdeme úsečky tečných bodov. 
Dostavame sa k goniometrickej rovnici. Venujte mu prosím pozornosť, pretože ho neskôr použijeme pri výpočte súradníc dotykových bodov. Riešime to (v prípade ťažkostí pozri časť riešenie goniometrických rovníc):
Našli sa úsečky tangenciálnych bodov, vypočítajme zodpovedajúce súradnice (tu použijeme rovnosť, ktorej sme chceli venovať pozornosť vyššie): 
Teda, - všetky body dotyku. V dôsledku toho majú hľadané rovnice pre dotyčnice tvar: 
Grafické znázornenie.
Čierna krivka zobrazuje graf pôvodnej funkcie na segmente [-10; 10], modré ciary zobrazujú dotyčnice. Je jasne vidieť, že sú kolmé na červenú čiaru. Dotykové body sú označené červenými bodkami.
Dotyčnica ku kružnici, elipsa, hiperbolă, parabolă.
Doteraz sme sa zaoberali hľadaním rovníc dotyčníc ku grafom jednohodnotových funkcií tvaru y = f (x) v rôznych bodoch. Kanonické rovnice kriviek druhého rádu nie sú jednohodnotové funkcie. Ale môžeme znázorniť kružnicu, elipsu, hyperbolu a parabolu kombináciou dvoch jednohodnotových funkcií a až potom zostaviť rovnice dotyčníc podľa známej schémy.
Dotyčnica ku kružnici.
Kruh so stredom v bode 
a polomer R je daný rovnosťou.
Napíšme túto rovnosť ako spojenie dvoch funkcií: 
Tu prvá funcționa zodpovedá hornému polkruhu, druhá dolnému.
Aby sme teda vytvorili rovnicu dotyčnice ku kružnici v bode patriacom hornému (alebo dolnému) polkruhu, nájdeme rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie (alebo) v zadanom bode.
Je ľahké ukázať, že v bodoch kruhu so súradnicami 
A 
dotyčnice sú rovnobežné s osou x a sú dané rovnicami a (na obrázku nižšie sú znázornené modrými bodkami a modrými priamkami) a v bodoch 
A 
- sú rovnobežné so zvislou osou a majú rovnice a
Tangenta k elipsa.
Elipsa centrovana v bode s poloosami a a b je dana rovnicou 
.
Elipsu, podobne ako kružnicu, je možné špecifikovať kombináciou dvoch funkcií – hornej a dolnej polelipsy: 
Dotyčnice vo vrcholoch elipsy sú rovnobežné buď s osou úsečky (na obrázku nižšie zobrazená modrou farbou) alebo s osou ordináta (na obrázku nižšie zobrazená červenou farbou).
To znamena, že horná polelipsa je daná functionu 
a ten nižši je 
.
Teraz môžeme konať podľa štandardného algoritmu na zostavenie rovnice dotyčnice ku grafu funkcie v bode.
Prva dotyčnica v bode: 
Druha dotyčnica v bode 
:
Grafické znázornenie.
Tangenta k hiperbolă.
Hyperbola sustredena do bodu o vrcholy 
A 
dany rovnosťou 
(obrázok nižšie vľavo) a s vrcholmi 
A 
- rovnosť 
(obrázok vpravo dole).
Ako spojenie dvoch funkcií môže byť hyperbola reprezentovana ako
alebo 
.
Vo vrcholoch hyperboly sú dotyčnice rovnobežné s osou Oy v prvom prípade a rovnobežné s osou Ox v druhom prípade.
Aby sme teda našli rovnicu dotyčnice k hyperbole, zistíme, do ktorej funkcie dotyčný bod patrí, a postupujeme obvyklým spôsobom.
Vzniká logická otázka, ako určiť, do ktorej z funkcií bod patrí. Aby sme na to odpovedali, dosadíme súradnice do každej rovnice a uvidíme, ktorá z rovníc sa zmení na identitu. Pozrime sa na priklad.
Priklad.
Prirovnať tangentu k hiperbolă 
v corp.
Riesenie.
Hyperbolu piseme vo forme dvoch function: 
Poďme zistiť, ku ktorej functioneaza patrí dotykový bod.
Pri prvej functiona teda bod do grafu tejto funkcie nepatrí.
Pri druhej funcționează teda bod patrí do grafu tejto funkcie.
Najdite sklon dotyčnice: 
Dotyková rovnica má teda tvar.
Grafické znázornenie.
Tangenta k parabola.
Zostaviť rovnicu dotyčnice k parabole tvaru 
v bode použijeme štandardnú schému a napíšeme tangentovú rovnicu ako. Dotyčnica ku grafu takejto paraboly vo vrchole je rovnobežná s osou Ox.
Parabolă 
najprv ho nastavime spojenim dvoch function. Aby sme to dosiahli, riešime túto rovnicu pre y: 
Teraz zistíme, ku ktorej z funkcií dotykový bod patrí a postupujeme podľa štandardnej schémy.
Dotyčnica ku grafu takejto paraboly vo vrchole je rovnobežná s osou Oy.
Pre druhu funkciu: 
Získajte dotykový bod 
.
Rovnica pre požadovanú dotyčnicu má teda tvar 
.
Nachitava...