Vyberte si systém obdĺžnikového súradnice v lietadle a odložíme hodnoty hodnôt argumentov na osi osi abscissu h.a na ordinácii osi - funkčné hodnoty y \u003d f (x).
Grafový graf y \u003d f (x) Súprava všetkých bodov, v ktorých abscisss patria k funkcii určovania funkcie, a presvedčuje zodpovedajúce hodnoty funkcie.
Inými slovami, graf funkcie y \u003d f (x) je sada všetkých bodov lietadla, súradnice x, w. ktorý spĺňa vzťah y \u003d f (x).
Na obr. 45 a 46 sú grafy funkcií. y \u003d 2x + 1 a y \u003d x 2 - 2x.
Prísne povedané, graf funkcie by sa mal rozlíšiť (presná matematická definícia, ktorá bola uvedená vyššie) a ťahaná krivka, ktorá vždy poskytuje len viac-menej presný náčrt harmonogramu (a potom spravidla, nie Celý harmonogram, ale len jeho časti umiestnené v konečných častiach lietadla). V budúcnosti však zvyčajne budeme hovoriť "harmonogram", a nie "náčrt grafu".
Pomocou grafu môžete nájsť hodnotu funkcie v bode. Je to, ak bod x \u003d A. patrí do oblasti definície poľa y \u003d f (x)Potom nájdete číslo f (a) (t.j. Funkčné hodnoty v mieste x \u003d A.) Mali by ste to urobiť. Potrebujú cez bod osi x \u003d A. Stráviť rovnú, paralelnú osradu; Táto priamka bude prekračovať funkčný graf. y \u003d f (x) V jednom bode; ordinácia tohto bodu a bude na základe harmonogramu rovná f (a) (Obr. 47).
Napríklad pre funkciu f (x) \u003d x 2 - 2x Použitie grafu (obr. 46), nájdeme F (-1) \u003d 3, F (0) \u003d 0, F (1) \u003d -L, F (2) \u003d 0, atď.
Funkčný graf jasne ilustruje správanie a vlastnosti funkcie. Napríklad z hľadiska obr. 46 Vymazať túto funkciu y \u003d x 2 - 2x berie pozitívne hodnoty, keď h.< 0 a pre x\u003e 2., negatívne - na 0< x < 2; наименьшее значение функция y \u003d x 2 - 2x Akceptuje x \u003d 1..
Vytvorenie funkcie grafu f (x)je potrebné nájsť všetky body lietadla, súradnice h., W. ktoré spĺňajú rovnicu y \u003d f (x). Vo väčšine prípadov to nie je možné urobiť, pretože takéto body sú nekonečne veľa. Preto je graf funkcie zobrazený približne s väčšou alebo menej presnosťou. Najjednoduchší je spôsob budovania harmonogramu pre niekoľko bodov. Je to tento argument h. Stlačte tlačidlo konečného počtu hodnôt - povedzme, X 1, X 2, X 3, ..., X K a tvoria tabuľku, v ktorej sú zahrnuté vybrané hodnoty funkcie.
Tabuľka vyzerá takto:
Vypracovaním takejto tabuľky môžeme načrtnúť niekoľko bodov funkčnej grafiky. y \u003d f (x). Potom sa pripojíte tieto body s hladkou čiarou, dostaneme približný pohľad na funkčnú grafiku y \u003d f (x).
Mal by však poznamenať, že metóda budovania harmonogramu pre niekoľko bodov je veľmi nespoľahlivá. V skutočnosti, správanie grafu medzi zamýšľanými bodmi a správaním mimo segmentu medzi extrémnymi bodmi zostáva neznáma.
Príklad 1.. Vytvorenie funkcie grafu y \u003d f (x) Niekto zostavil tabuľku hodnôt argumentu a funkcie:
Zodpovedajúce päť bodov sú znázornené na obr. 48.
Na základe umiestnenia týchto bodov dospel k záveru, že graf funkcie je priamka (znázornená na obr. 48 bodkovaný). Je možné zvážiť tento záver spoľahlivý? Ak neexistujú žiadne ďalšie úvahy, ktoré potvrdzujú tento záver, je nepravdepodobné, že by bolo spoľahlivé. spoľahlivé.
Ak chcete zdôvodniť vaše tvrdenie, zvážte funkciu
.
Výpočty ukazujú, že hodnoty tejto funkcie v bodoch -2, -1, 0, 1, 2 sú práve opísané v tabuľke nižšie. Graf tejto funkcie však nie je vôbec priamky (je znázornený na obr. 49). Ďalším príkladom je funkcia. y \u003d x + l + sinπx; Jeho hodnoty sú tiež opísané vyššie uvedenej tabuľky.
Tieto príklady ukazujú, že v "čistej" forme je metóda budovania harmonogramu pre niekoľko bodov nespoľahlivý. Preto sa na konštrukciu graf danej funkcie spravidla uplatňujú takto. Po prvé, vlastnosti tejto funkcie študujú, s ktorými môžete vytvoriť náčrt grafiky. Potom, výpočet hodnôt funkcie na niekoľkých bodoch (z ktorých voľba závisí od nastavených vlastností funkcie), nájdite zodpovedajúce body grafu. A konečne, cez konštruované body, krivka sa uskutočňuje pomocou vlastností tejto funkcie.
Niektoré (najjednoduchšie a najčastejšie používané) vlastnosti funkcií používaných na nájdenie náčrtu grafu, budeme vyzerať neskôr, a teraz budeme analyzovať niektoré z často používaných spôsobov, ako vybudovať grafy.
Plán Funkcia Y \u003d | F (X) |.
Často musíte vytvoriť graf funkcie y \u003d | f (x)|, kde f (x) -Špecifikovaná funkcia. Pripomeňme, ako sa to robí. Podľa definície absolútnej hodnoty čísla môžete písať
To znamená, že funkcia plánu y \u003d | f (x) možno získať z grafiky, funkcií y \u003d f (x) Nasledovne: Všetky body grafickej funkcie y \u003d f (x)ktoré sú negatívne ordináty, by sa mali ponechať nezmenené; Ďalej namiesto bodov grafickej funkcie y \u003d f (x)Mať záporné súradnice, mali by ste vytvoriť vhodnú funkciu funkčného plánu y \u003d -f (x) (t.j. časť funkcie plánu
y \u003d f (x)ktorý leží pod osou x, by sa mali symetricky odrážať v porovnaní s osou h.).
Príklad 2. Zostavte funkciu grafu y \u003d | x |.
Urobíme graf funkcie y \u003d x.(Obr. 50, A) a časť tohto zoznamu, keď h.< 0 (ležiace pod osou h.) symetricky premýšľať o osi h.. V dôsledku toho získame harmonogram funkcie y \u003d | x (Obr. 50, B).
Príklad 3.. Zostavte funkciu grafu y \u003d | x 2 - 2x |.
Najprv zostavte funkčný plán Y \u003d x 2 - 2x. Graf tejto funkcie je paraboly, ktorých vetvy sú nasmerované, pearabol vrchol je súradnice (1; -1), jeho graf prechádza osi osi abscisy v bodoch 0 a 2. v intervale (0; 2), Fuction berie záporné hodnoty, takže je to táto časť grafu symetricky premýšľať vzhľadom na os Abscissu. Obrázok 51 vybudoval graf funkcie y \u003d x 2 -2x |Na základe funkcie plánu y \u003d x 2 - 2x
Funkčný graf y \u003d f (x) + g (x)
Zvážte úlohu budovania grafu y \u003d f (x) + g (x). Ak sú špecifikované grafika funkcií y \u003d f (x) a y \u003d g (x).
Všimnite si, že pole určovania funkcie y \u003d | f (x) + g (x) Je to súbor všetkých hodnôt x, pre ktoré sú definované obidve funkcie y \u003d f (x) a y \u003d g (x), to znamená, že táto oblasť definície je priesečník oblastí definície, FUNKCIE F (X) A G (X).
Dať bod (x 0, y1) I. (x 0, v 2) Patrí k plánom funkcií y \u003d f (x) a y \u003d g (x), t.j. y 1 \u003d f (x 0), y2 \u003d g (x 0). Potom bod (x0; y1 + y2) patrí do grafu y \u003d f (x) + g (x) (pre f (x 0) + g (x 0) \u003d y. 1 + y2.), -. \\ T a akýkoľvek bod funkčnej grafiky y \u003d f (x) + g (x) Týmto spôsobom. V dôsledku toho graf funkcie y \u003d f (x) + g (x) možno získať z grafov funkcií y \u003d f (x). a y \u003d g (x) nahradiť každý bod ( x n, u 1) Grafické funkcie y \u003d f (x) Bod (x n, y1 + y2), Kde v 2 \u003d g (x n), t.j. posun každého bodu ( x n, v 1) Funkčná grafika y \u003d f (x) Pozdĺž osi w. Rozsah y1 \u003d g (x n). Toto sa zaoberá iba také body. h. n, pre ktoré sú definované obidve funkcie y \u003d f (x) a y \u003d g (x).
Takáto metóda na vytvorenie grafickej funkcie y \u003d f (x) + g (x) sa nazýva pridanie grafov funkcií y \u003d f (x)a Y \u003d g (x)
Príklad 4.. Na obrázku je graf grafov vybudovaný funkčný plán
y \u003d x + sinx.
Pri budovaní grafu y \u003d x + sinx Verili sme tomu f (x) \u003d x,ale G (x) \u003d SINX.Ak chcete vytvoriť graf funkcie, vyberte si bod s absiskám -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5 ,,,,,,,,, Hodnoty f (x) \u003d x, g (x) \u003d SINX, Y \u003d X + SINXvypočítajte vo vybraných bodoch a výsledky sú zverejnené v tabuľke.
Dĺžka segmentu na osi súradnice je podľa vzorca:
Dĺžka segmentu na rovine súradnice sa vyhľadáva vzorcom:
Ak chcete nájsť dĺžku segmentu v trojrozmernom súradnicovom systéme, použije sa nasledujúci vzorec:
Súradnice stredu segmentu (pre osi súradnice, len prvý vzorec sa používa na koordinovú rovinu - prvé dve vzorce, pre trojrozmerný súradnicový systém - všetky tri vzorce) sú vypočítané vzorcami:
Funkcia - Toto je zodpovedajúci formulár y.= f.(x.) Medzi premennými, na základe ktorých každá považuje za hodnotu určitej variabilnej hodnoty x. (argument alebo nezávislá premenná) zodpovedá určitej hodnote inej hodnoty premennej, \\ t y. (Závislá premenná, niekedy táto hodnota sa jednoducho nazýva hodnota funkcie). Všimnite si, že funkcia znamená, že jedna hodnota argumentu h. Môže zodpovedať iba jedna hodnota závislej premennej. w.. V tomto prípade rovnaká hodnota w. možno získať s rôznymi h..
Oblasť funkcie - Toto sú všetky hodnoty nezávislej premennej (argument funkcie, zvyčajne h.), v ktorom je funkcia určená, t.j. Jej hodnota existuje. Označuje oblasť definície D.(y.). Týmto konceptom ste už oboznámení. Funkcia určovania funkcie sa nazýva oblasť prípustných hodnôt, alebo OTZ, ktorú ste už dlho mohli nájsť.
Plocha funkčných hodnôt - Toto sú všetky možné hodnoty závislej premennej tejto funkcie. Označuje E.(w.).
Funkcia sa zvyšuje V intervale, na ktorom vyššia hodnota argumentu zodpovedá väčšej hodnote funkcie. Funkcia sa znižuje V intervale, na ktorom je väčšia hodnota argumentu zodpovedá menšej hodnote funkcie.
Intervaly funkcie symbolu - Toto sú intervaly nezávislej premennej, na ktorej závislá premenná si zachováva svoje pozitívne alebo negatívne označenie.
Funkcia nulovej funkcie - Toto sú hodnoty argumentu, v ktorom je hodnota funkcie nula. V týchto bodoch sa graf funkcie prekročí os Ascissa (OH). Veľmi často potreba nájsť nuly funkcií znamená potrebu jednoducho vyriešiť rovnicu. Často je často potrebné nájsť intervaly alternatív, čo znamená, že je potrebné jednoducho vyriešiť nerovnosť.
Funkcia y. = f.(x.Povolanie dokonca h.
To znamená, že pre všetky opačné hodnoty argumentu sú hodnoty rovnomernej funkcie rovnaké. Rozvrh integerovej funkcie je vždy symetrický o osi Ordinácie OU.
Funkcia y. = f.(x.Povolanie zvláštnyAk je definovaný na symetrickom súbore a pre všetky h. Rovnosť sa vykonáva z oblasti definície:
To znamená, že pre akékoľvek opačné hodnoty argumentu sú hodnoty nepárnej funkcie. Graf nepárnej funkcie je vždy symetrický na začiatku súradníc.
Súčet koreňov inteligentných a nepárnych funkcií (bodov priesečníka osi os Oh) je vždy nula, pretože Pre každý kladný koreň h. Tam je negatívny koreň - h..
Je dôležité poznamenať: Niektoré funkcie by nemali byť nevyhnutne ani nepárne. Existuje mnoho funkcií, ktoré nie sú ani nepárne. Takéto funkcie sa nazývajú funkcie všeobecného výhľaduA pre nich sa nevykonáva žiadna z rovnosti alebo vlastností vyššie uvedeného.
Lineárna funkcia Zavolajte funkciu, ktorá môže byť špecifikovaná vzorcom:
Graf lineárnej funkcie je priamy a vo všeobecnom prípade je nasledujúci (príklad je uvedený pre prípad, keď k. \u003e 0, v tomto prípade sa funkcia zvyšuje; Pre prípad k. < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
Harmonogram kvadratickej funkcie (parabola)
Graf parabola je nastavený kvadratickou funkciou:
Kvadratická funkcia, podobne ako akúkoľvek inú funkciu, prejde os Oh na svojich koreňoch: ( x. jeden; 0) a ( x. 2; 0). Ak nie sú žiadne korene, to znamená, že kvadratická funkcia osy nekročí, ak je koreň jeden, potom v tomto bode ( x. 0; 0) Quadratická funkcia sa vzťahuje len na os OH, ale neprechádza ho. Quadratická funkcia vždy prechádza osou OY v bode so súradnicami: (0; c.). Tabuľka kvadratickej funkcie (parabola) môže vyzerať takto (v príkladoch príkladoch, ktoré sú ďaleko od vyčerpania všetkých možných pohľadov na paraboly):
Kde:
- ak koeficient a. \u003e 0, funkcia y. = sekera. 2 + bx. + c., potom sú vetvy paraboly nasmerované;
- ak a. < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Súradnice vrcholov pearabol sa môžu vypočítať podľa nasledujúcich vzorcov. IKS VERSHINA (p. \\ t - na vyššie uvedených údajoch) paraboly (alebo bod, v ktorom štvorcové tri zníženie dosiahne svoju najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu):
Ferk vershina (q. - na obrázkoch vyššie) paraboly alebo maximum, ak sú vetvy paraboly nasmerované dole ( a. < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a. \u003e 0), hodnota štvorcových tri rozhodne:
Plány iných funkcií
Funkcia napájania
Tu sú niektoré príklady grafov výkonových funkcií:
Inverzne proporcionálna závislosť Funkcia zadaná vzorcom:
V závislosti od počtu čísel k. Graf inverzná proporcionálna závislosť môže mať dve základné možnosti:
Asymptote - Toto je riadok, na ktorú je funkcia funkčného grafu nekonečne blízko, ale nepretiahne sa. Asymptotes pre grafy inverznej proporcionality vyššie uvedeného na obrázku sú osi súradníc, na ktoré je funkčný graf nekonečne blízko, ale nepretiahne ich.
Indikatívna funkcia So základňou ale Funkcia zadaná vzorcom:
a. Graf indikatívnej funkcie môže mať dve základné možnosti (uveďte aj príklady, pozri nižšie):
Logaritmická funkcia Funkcia zadaná vzorcom:
V závislosti od väčšieho alebo menej jednotkového čísla a. Graf logaritmickej funkcie môže mať dve základné možnosti:
Funkcia harmonogramu y. = |x.| nasledovne:
Periodické grafy (trigonometrické) funkcie
Funkcia w. = f.(x.) periodickýAk existuje nerovnaká nula, číslo T., čo f.(x. + T.) = f.(x.), pre hocikoho h. z funkcie určovania funkcie f.(x.). Ak je funkcia f.(x.) je periodicky s obdobím T., potom funkcia:
kde: A., k., b. - konštantné čísla a k. nie je rovná nule, tiež periodicky s obdobím T. 1, ktorý je určený vzorcom:
Väčšina príkladov periodických funkcií sú trigonometrické funkcie. Dávame grafy hlavných trigonometrických funkcií. Nasledujúci obrázok ukazuje časť funkčného plánu. y. Hriech x. (Celý harmonogram je neobmedzený, pokračuje vľavo a vpravo), graf funkcie y. Hriech x. Zavolať sinusoid:
Funkcia harmonogramu y. \u003d Cos. x. zavolaný kosinusoido. Tento plán je zobrazený na nasledujúcom obrázku. Od sinusového grafu nepretržite pokračuje pozdĺž osi OH, vľavo a vpravo:
Funkcia harmonogramu y. \u003d TG. x. Zavolať tandesoid. Tento plán je zobrazený na nasledujúcom obrázku. Podobne ako grafika iných periodických funkcií, tento harmonogram je neobmedzený ďaleko pozdĺž osi OH, vľavo a vpravo.
Nuž, nakoniec, graf funkcie y. \u003d CTG. x. zavolaný kothanzoidy. Tento plán je zobrazený na nasledujúcom obrázku. Podobne ako grafika iných periodických a trigonometrických funkcií, táto tabuľka je neurčito opakovaná ďaleko pozdĺž osy ľavého a pravého.
- späť
- Dopredu
Ako sa úspešne pripraviť na CT vo fyzike a matematike?
Aby sa úspešne pripravili na CT vo fyzike a matematike, okrem iného je potrebné splniť tri najdôležitejšie podmienky:
- Preskúmať všetky témy a splniť všetky testy a úlohy uvedené v tréningových materiáloch na tejto stránke. Na to potrebujete čokoľvek, a to, aby ste venovali prípravy na CT vo fyzike a matematike, štúdium teórie a riešenie problémov troch alebo štyroch hodín každý deň. Faktom je, že CT je skúška, kde to nestačí na to, aby ste poznali fyziku alebo matematiku, musíte byť schopní rýchlo a bez nedostatkov, aby ste vyriešili veľký počet úloh na rôznych témach a rôznej zložitosti. Môžete sa naučiť len vyriešiť tisíce úloh.
- Naučiť sa všetky vzorce a zákony vo fyzike a vzorcov a metódach v matematike. V skutočnosti je to tiež veľmi jednoduché vykonávať to, potrebné vzorce vo fyzike je len asi 200 kusov, ale v matematike ešte o niečo menej. V každej z týchto položiek sa nachádzajú asi tucet štandardných metód na riešenie problémov základnej úrovne zložitosti, ktorá sa môže dobre učiť, a teda úplne na stroji a bez problémov vyriešiť v správny okamih väčšinu centrálneho TS . Potom si premýšľate o najťažších úlohách.
- Navštívte všetky tri etapy testovania na rehearsing vo fyzike a matematike. Každý RT je možné dvakrát navštíviť, aby sa zlomil obe možnosti. Opäť, na CT, okrem schopnosti rýchlo a efektívne riešiť problémy a znalosti vzorcov a metód, je tiež potrebné, aby bolo možné správne naplánovať čas, distribuovať sily a hlavnou vecou je správne vyplniť Formulár na odpoveď, bez zmätku počtu odpovedí a úloh, žiadne priezvisko. Aj počas Tatarstanskej republiky je dôležité zvyknúť si na otázku formulovania otázok v úlohách, ktoré sa na CT môžu zdať veľmi nezvyčajná osoba.
Úspešná, usilovná a zodpovedná implementácia týchto troch položiek, ako aj zodpovednej štúdie konečných skúšok odbornej prípravy vám umožní ukázať veľký výsledok k CT, maximum, čo ste schopní.
Našiel chybu?
Ak si myslíte, že máte chybu v tréningových materiáloch, napíšte o tom e-mailom (). V písmene špecifikujte predmet (fyziku alebo matematiku), názov alebo číslo tému alebo test, číslo úloh, alebo miesto v texte (Strana), kde si myslíte, že je chyba. Tiež opisujú, aká je odhadovaná chyba. Váš list nezostane bez povšimnutia, chyba bude opravená, alebo vysvetlíte, prečo to nie je chyba.
1. Frakčná lineárna funkcia a jeho plán
Funkcia formulára y \u003d p (x) / q (x), kde p (x) a q (x) sú polynómy, nazývané frakčnú racionálnu funkciu.
S koncepciou racionálnych čísel, už pravdepodobne viete. Podobne racionálne funkcie - Toto sú funkcie, ktoré môžu byť reprezentované ako súkromné \u200b\u200bdva polynómy.
Ak je frakčná racionálna funkcia súkromná dva lineárne funkcie - prvé stupne polynómy, t.j. Funkcia typu
y \u003d (AX + B) / (CX + D), potom sa nazýva frakčné lineárne.
Všimnite si, že v funkciách Y \u003d (AX + B) / (CX + D), C ≠ 0 (inak sa funkcia stáva lineárnou Y \u003d AX / D + B / D) a že A / C ≠ b / d (inak konštantná funkcia). Frakčná lineárna funkcia je určená so všetkými platnými číslami, okrem X \u003d -D / C. Grafy frakčných lineárnych funkcií v tvare sa nelíšia od grafiky známej y \u003d 1 / x. Krivka, ktorá je graf funkcie y \u003d 1 / x, sa nazýva hyperboloický. S neobmedzeným zvýšením X v absolútnej hodnote, funkcia y \u003d 1 / x je neobmedzená znížená o absolútnu hodnotu a obidva vetvy grafu sa približujú k osi osi: Pravý sa blíži zhora zhora a ľavé dno. Rovno, na ktoré sa blíži vetvy hyperbole, nazývajú sa asymptotami.
Príklad 1.
y \u003d (2x + 1) / (x - 3).
Rozhodnutie.
Zvýrazňujeme celé číslo: (2x + 1) / (x - 3) \u003d 2 + 7 / (x - 3).
Teraz je ľahko zistiť, že plán tejto funkcie je získaný z grafu funkcie Y \u003d 1 / x nasledujúcimi transformáciami: posun 3 jednotlivých segmentov vpravo, natiahnutie pozdĺž osy OY 7-krát a A posunúť na 2 jednotlivé segmenty.
Akákoľvek frakcia Y \u003d (AX + B) / (CX + D) môže byť zaznamenaná rovnakým spôsobom, zvýraznenie "celej časti". V dôsledku toho majú grafy všetkých frakčných lineárnych funkcií hyperbola, odlišne sa posunuli pozdĺž súradnicových osí a natiahli pozdĺž osy OY.
Ak chcete vytvoriť graf nejakej ľubovoľnej frakčnej lineárnej funkcie, nie je potrebné transformovať frakciu, ktorá určuje túto funkciu na konverziu. Ako vieme, že graf je hyperbole, stačí nájsť priame, ku ktorému sa jej vetvy blížia - asymptotes hyperbole X \u003d -D / C a Y \u003d A / C.
Príklad 2.
Nájsť Asymptottes Grafické funkcie Y \u003d (3x + 5) / (2x + 2).
Rozhodnutie.
Funkcia nie je definovaná na X \u003d -1. Takže x \u003d -1 priamka slúži ako vertikálne asymptoty. Ak chcete nájsť horizontálne asymptoty, zistite, aké hodnoty funkcie Y (x) sa približujú, keď argument x zvýši v absolútnej hodnote.
Aby sme to urobili, rozdelíme čitateľa a denominátor frakcie na X:
y \u003d (3 + 5 / x) / (2 + 2 / x).
Na X → ∞ sa frakcia bude snažiť o 3/2. Preto je horizontálna asymptota rovná y \u003d 3/2.
Príklad 3.
Vytvorte graf funkcie y \u003d (2x + 1) / (x + 1).
Rozhodnutie.
Zvýrazňujeme frakciu "celú časť":
(2x + 1) / (x + 1) \u003d (2x + 2 - 1) / (x + 1) \u003d 2 (x + 1) / (x + 1) - 1 / (x + 1) \u003d
2 - 1 / (x + 1).
Teraz je ľahké vidieť, že graf tejto funkcie je získaný z funkcie funkcie Y \u003d 1 / x nasledujúcimi transformáciami: posunu o 1 jednotku do ľavého, symetrického mapovania vzhľadom na OX a posun na 2 Single segmenty hore os oy.
Oblasť definície D (Y) \u003d (-∞; -1) ᴗ (-1; + ∞).
Rozsah hodnôt E (Y) \u003d (-∞; 2) ᴗ (2; + ∞).
Bod priesečníka s osami: c oy: (0; 1); C OX: (-1/2; 0). Funkcia sa zvyšuje na každom z intervalov oblasti definície.
Odpoveď: Obrázok 1.
2. Frakčná racionálna funkcia
Zvážte frakčnú racionálnu funkciu formulára y \u003d p (x) / q (x), kde p (x) a q (x) sú polynómy, stupeň nad prvým.
Príklady takýchto racionálnych funkcií:
y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) alebo y \u003d (X-2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Ak je funkcia y \u003d p (x) / q (x) Sú súkromné \u200b\u200bdva polynómy stupňa nad prvým, potom jeho harmonogram bude spravidla zložitejší, a niekedy je ťažké ho stavať so všetkými detaily. Často je však dosť na to, aby aplikovali techniky podobné tým, s ktorými sme už stretli vyššie.
Nechajte frakciu - správne (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
P (x) / q (x) \u003d A 1 / (X - K 1) M1 + A 2 / (X - K 1) M1-1 + ... + A M1 / \u200b\u200b(X - K 1) + .. +
L 1 / (X - K S) MS + L2 / (X - K S) MS-1 + ... + L MS / (X - K S) + ... +
+ (B 1 x + C1) / (x 2 + p 1 x + q 1) m1 + ... + (B m1 x + c m1) / (x 2 + p 1 x + q 1) + .. +
+ (M 1 x + n 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (m m1 x + n m1) / (x 2 + p t x + q t).
Je zrejmé, že graf frakčnej racionálnej funkcie je možné získať ako súčet grafov elementárnych frakcií.
Stavebné grafy frakčných racionálnych funkcií
Zvážte niekoľko spôsobov, ako vybudovať grafy frakčnej racionálnej funkcie.
Príklad 4.
Vytvorte graf funkcie y \u003d 1 / x 2.
Rozhodnutie.
Používanie grafu funkcie Y \u003d X 2 na vytvorenie grafu Y \u003d 1 / x 2 a použite príjem "DIVIČE" grafov.
Oblasť definície d (y) \u003d (-∞; 0) ᴗ (0; + ∞).
Región hodnôt E (Y) \u003d (0; + ∞).
Neexistujú žiadne križovatky s osami. Funkcia je dokonca. Zvyšuje sa so všetkými X z intervalu (-∞; 0), znižuje sa s X od 0 do + ∞.
Odpoveď: Obrázok 2.
Príklad 5.
Vytvorte graf funkcie Y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).
Rozhodnutie.
Oblasť definície D (Y) \u003d (-∞; 3) ᴗ (3; + ∞).
y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \u003d -x / 3 + 1/3.
Tu sme zvyknutí dostávať rozklad na multiplikátoroch, rezy a prinášajú lineárnu funkciu.
Odpoveď: Obrázok 3.
Príklad 6.
Vytvorte graf funkcie y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).
Rozhodnutie.
Rozloha definovania D (Y) \u003d R. Vzhľadom k tomu, funkcia je dokonca, potom je graf symetrický vzhľadom k osi ordinácie. Pred výstavbou grafu znova konvertujeme výraz prideľovaním celej časti:
y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).
Všimnite si, že pridelenie celej časti vo vzorci frakčnej racionálnej funkcie je jedným z hlavných v konštrukcii grafov.
Ak x → ± ∞, potom y → 1, t.j. Direct y \u003d 1 je horizontálna asymptota.
Odpoveď: Obrázok 4.
Príklad 7.
Zvážte funkciu y \u003d x / (x 2 + 1) a pokúste sa presne nájsť najväčšiu hodnotu, t.j. Najvyšší bod pravej polovici grafiky. Ak chcete presne vybudovať tento harmonogram, dnešné vedomosti nestačia. Samozrejme, naša krivka nemôže "stúpať" veľmi vysoké, pretože Dennominátor je pomerne rýchlo začína "predbehnúť" čitateľa. Pozrime sa, či je hodnota funkcie rovná 1. Na to, je potrebné vyriešiť rovnicu x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Táto rovnica nemá platné korene. Takže náš predpoklad nie je pravdivý. Ak chcete nájsť najväčšiu hodnotu funkcie, musíte vedieť, kedy je rovnica a \u003d x / (x 2 + 1) bude mať roztok. Vymeňte pôvodnú rovnicu: AX 2 - X + A \u003d 0. Táto rovnica má roztok, keď 1- 4A 2 ≥ 0. Odtiaľ nájdeme najviac hodnotu A \u003d 1/2. 
Odpoveď: Obrázok 5, max y (x) \u003d ½.
Máte otázky? Neviem, ako budovať funkcie grafiky?
Ak chcete získať pomocníka - zaregistrujte sa.
Prvá lekcia je zadarmo!
miesto, s plným alebo čiastočným kopírovaním materiálu odkazu na pôvodný zdroj.
Ak chcete začať, pokúste sa nájsť oblasť definície poľa:
Vyrovnať? Porovnať odpovede:
V poriadku? Dobrá práca!
Teraz skúste nájsť rozsah hodnôt funkcií:
Nájdené? Porovnajte:
CACHED? Dobrá práca!
Ešte raz budeme spolupracovať s grafmi, len teraz trochu komplikovanejšie - vyhľadávanie a definície poľa, a funkciu funkčných hodnôt.
Ako nájsť a definovať oblasť a hodnoty poľa (rozšírená možnosť)
To sa stalo:
S grafmi si myslím, že ste prišli. Teraz skúste v súlade s vzorcami nájsť oblasť definície poľa (ak neviete, ako to urobiť, prečítajte si Pro):
Vyrovnať? Prieskum odpovede:
- Pretože expresia kŕmenia by mala byť väčšia alebo rovná nule.
- Vzhľadom k tomu, že je nemožné zdieľať na nule a výrazný výraz nemôže byť negatívny.
- Od tej doby.
- Pretože nie je možné zdieľať na nule.
Avšak, máme iného nenechávaného momentu ...
Opakujem opäť a urobím dôraz na to:
Si všimol? Slovo "len" je veľmi dôležitým prvkom našej definície. Pokúsim sa vám to vysvetliť na prstoch.
Predpokladajme, že máme zadanú funkciu. . Keď nahrádzame túto hodnotu v našom "pravidle" a dostaneme to. Jedna hodnota zodpovedá jednej hodnote. Môžeme dokonca vytvoriť tabuľku rôznych hodnôt a vytvoriť graf tejto funkcie, aby sme sa uistili.
"Pozri! - hovoríte, - "" sa stretne dvakrát! " Takže možno parabola nie je funkcia? Nie, je!
Skutočnosť, že "" sa zistí dvakrát ďaleko od obvinenia parabola v nejednoznačnosti!
Faktom je, že pri výpočte sme dostali jeden igrek. A pri výpočte s sme dostali jeden jazierku. Takže všetko je pravdivé, parabola je funkcia. Pozrite sa na plán:
Prišiel nato? Ak nie, tu je životný príklad faktu, ktorý je ďaleko od matematiky!
Predpokladajme, že máme skupinu žiadateľov, ktorí sa zoznámili pri predkladaní dokumentov, z ktorých každý povedal konverzáciu, kde žije:
Súhlasím, je to celkom realistické, že niekoľko chlapcov žije v jednom meste, ale nie je možné, že jedna osoba žije v niekoľkých mestách súčasne. Je to ako logické zastúpenie našej "parabola" - niekoľko rôznych X zodpovedá rovnakému hráčovi.
Teraz prichádzate s príkladom, keď závislosť nie je funkcia. Predpokladajme, že títo chlapci boli povedané, aké špeciality podali dokumenty:
Tu máme úplne inú situáciu: jedna osoba môže bezpečne predložiť dokumenty pre jeden aj niekoľko smerov. Tj jeden prvok Viacnásobný je v súlade s niekoľko prvkov sady. Respektíve, toto nie je funkcia.
Skontrolujte svoje vedomosti v praxi.
Určite na výkresoch, čo je funkcia a čo nie:
Prišiel nato? Ale I. odpovede:
- Funkcia je v, napr.
- Funkcia nie je - A, B, D, D.
Pýtate sa prečo? Prečo, prečo:
Vo všetkých výkresoch okrem V) a E) Jeden účet pre jedného!
Som si istý, že teraz môžete ľahko rozlíšiť funkciu z nie funkciu, povedzte, aký argument je a čo závislá premenná je, rovnako ako definovať oblasť prípustných hodnôt argumentov a funkciu určovania funkcie. Dostaňte sa na nasledujúcu časť - Ako nastaviť funkciu?
Spôsoby, ako nastaviť funkciu
Čo si myslíte, že znamená slová "Nastavená funkcia"? To je pravda, to znamená vysvetliť všetkým, o akom fungovaní v tomto prípade hovoríme. A vysvetlite, že všetci vám chápu správne a čerpané ľuďmi vo vašom vysvetlení funkcií grafiky boli rovnaké.
Ako to môžem spraviť? Ako nastaviť funkciu? Najjednoduchší spôsob, ktorý bol použitý viac ako raz v tomto článku - s pomocou vzorca. Píšeme vzorec a nahradíme hodnotu v ňom, vypočítajte hodnotu. A ako si spomeniete, vzorom je zákon, pravidlo, ktorým my a iná osoba sa stáva jasným, ako sa X otočí do hry.
Zvyčajne to je, ako to robia - v úlohách, už vidíme pripravené funkcie dané vzorcami, ale existujú aj iné spôsoby, ako nastaviť funkciu, o ktorej všetci zabúdajú, a preto otázka "Ako inak môžem zadať Funkcia? " kladie do slepého konca. Rozumieme všetko v poriadku, ale začnite analytickým spôsobom.
Analytický spôsob, ako nastaviť funkciu
Analytická metóda je funkcia úlohy pomocou vzorca. Toto je najuniverzálnejší a vyčerpávajúci a jednoznačným spôsobom. Ak máte receptúr, potom viete o funkcii absolútne všetko - môžete urobiť znamenie hodnôt, môžete vytvoriť plán, určiť, kde sa funkcia zvýši, a kde sa vo všeobecnosti znižuje, preskúmať ho na plný program.
Zvážte funkciu. Čo je rovnaké?
"Čo to znamená?" - Pýtate sa vás. Vysvetlím sa teraz.
Dovoľte mi pripomenúť, že výraz v zátvorkách sa nazýva argument. A tento argument môže byť akýkoľvek výraz, nie nevyhnutne. V súlade s tým, bez ohľadu na argument (výraz v zátvorkách), napíšeme to namiesto výrazu.
V našom príklade bude to fungovať takto:
Zvážte ďalšiu úlohu spojenú s analytickým spôsobom, ako nastaviť funkciu, ktorú budete mať na skúške.
Nájsť hodnotu výrazu, kedy.
Som si istý, že najprv ste sa vystrašili, videl som taký výraz, ale v ňom nie je absolútne nič hrozné!
Všetko ako v minulosti: Bez ohľadu na to, čo je to argument (výraz v zátvorkách), napíšeme to namiesto výrazu. Napríklad pre funkciu.
Čo by malo byť vykonané v našom príklade? Namiesto toho potrebujete písať, a namiesto toho -:
znížte výsledný výraz:
To je všetko!
Nezávislá práca
Teraz sa pokúste nájsť hodnotu nasledujúcich výrazov:
- , Ak
- , Ak
Vyrovnať? Porovnajte naše odpovede: Sme zvyknutí, že funkcia má ten druh
Dokonca aj v našich príkladoch týmto spôsobom špecifikujeme túto funkciu, ale môžete analyticky nastaviť funkciu v implicitnom formulári.
Snažte sa postaviť túto funkciu sami.
Vyrovnať?
Tak som ju postavil.
Aká rovnica sme nakoniec stiahli?
Správny! Lineárne, čo znamená, že plán bude priamka. Urobme si znamenie, aby ste určili, ktoré body patria do nášho rovného:
To je presne to, čo sme povedali ... Jeden zodpovedá jednému.
Pokúsme sa kresliť, čo sa stalo:
Je to to, čo máme funkciu?
Správne, NO! Prečo? Snažte sa odpovedať na túto otázku s výkresom. Čo vyšlo?
"Pretože jedna hodnota zodpovedá niekoľkým hodnotám!"
Aký záver môžeme urobiť z toho?
To je pravda, funkcia nemôže byť vždy jasne vyjadrená, a nie vždy, čo je "skrytá" pod funkciou je funkcia!
Tabuľkový spôsob nastavenia funkcie
Ako to názov znamená, táto metóda je jednoduchý znak. Áno áno. Rovnako ako ten s tebou, ktorý sa už vymyslel. Napríklad:
Tu ste okamžite všimli, že vzor - IGREK je trikrát viac ako X. A teraz úloha "myslieť veľmi dobrá": čo si myslíte, že je ekvivalentná funkcii uvedenej vo forme tabuľky, funkcií?
Nebudeme hádať dlho, a budeme kresliť!
So. Nakreslíme funkciu zadanú tapetu:
Pozrite sa na rozdiel? Bod nie je v poznatkoch! Pozrite sa pozornejšie:
Teraz videl? Keď špecifikujeme funkciu v tabuľkovej ceste, odrážame len tie body, ktoré máme v tabuľke a riadok (ako v našom prípade) ide len cez ne. Keď nastavíme funkciu s analytickým spôsobom, môžeme si vziať všetky body a naša funkcia nie je obmedzená na. Toto je takáto funkcia. Člen!
Grafická metóda pre budovanie funkcie
Grafický spôsob budovania funkcie nie je menej pohodlný. Nakreslíme našu funkciu a ďalšia záujemca môže nájsť, čo sa rovná hre v určitom X a tak ďalej. Grafické a analytické metódy sú niektoré z najbežnejších.
Avšak, tu je potrebné si uvedomiť, o čom sme hovorili na samom začiatku - nie každý "ZaguLin" nakreslený v súradnicovom systéme je funkcia! Si spomenul? Len v prípade, že vás tu skopírujem definíciu, že funkcia je:
Spravidla sa ľudia zvyčajne nazývajú tých troch spôsobov, ako nastaviť funkcie, ktoré sme demontovali, je analytický (pomocou vzorca), tabuľkovej a grafiky, úplne zabúdajúce, že funkcia môže byť verbálne opísaná. Páči sa ti to? Áno, veľmi jednoduché!
Verbálny opis funkcie
Ako opísať funkciu podstatne? Urobte si náš posledný príklad -. Táto funkcia môže byť opísaná "na každú platnú hodnotu IX zodpovedá jeho trojstrannej hodnote." To je všetko. Nič ťažšie. Samozrejme, budete objize - "Existujú tak zložité funkcie, ktoré sú ústne na to, aby ste sa jednoducho zbavili!" Áno, sú tu tie, ale existujú funkcie, ktoré opisujú verbálne jednoduchšie ako nastavenie vzorec. Napríklad: "Každá prirodzená hodnota X zodpovedá rozdielu medzi číslami, z ktorých spočíva, zatiaľ čo najväčšia číslica obsiahnutá v zázname čísla sa prijíma na zníženie. Teraz zvážte, ako sa v praxi implementuje náš verbálny opis funkcie:
Najväčšia číslica v danom čísle -, respektíve, potom:
Základné typy funkcií
Teraz sa obrátime na najzaujímavejšiu vec - zvážte hlavné typy funkcií, s ktorými ste pracovali / pracujú a budete pracovať v priebehu školy a inštitút matematiky, to znamená, že s nimi sa zoznámujeme s nimi, aby sme im hovorili Stručný opis. Ďalšie informácie o každej funkcii nájdete v príslušnej časti.
Lineárna funkcia
Funkcia zobrazenia, kde, aktuálne čísla.
Graf tejto funkcie je rovný, preto sa výstavba lineárnej funkcie zníži na nájdenie súradníc dvoch bodov.
Poloha priamej roviny súradnice závisí od uhlového koeficientu.
Oblasť definície funkcií (aka oblasť prípustných hodnôt argumentov) -.
Hodnotová oblasť -.
Kvadrická funkcia
Typ funkcie, kde
Graf funkcie je paraboly, keď sú parabolské pobočky nasmerované dole, keď.
Mnohé vlastnosti kvadratickej funkcie závisia od diskriminačnej hodnoty. Diskriminant sa vypočíta vzorcom
Poloha paraboly na súradnicovej rovine vzhľadom na hodnotu a koeficient je znázornený na obrázku:
Doména
Rozsah hodnôt závisí od extrému tejto funkcie (bod pearabol vrcholu) a koeficient (smerovacie vetvy paraboly)
Inverzná proporcionalita
Funkcia nastavená vzorcom, kde
Číslo sa nazýva koeficient inverznej proporcionality. V závislosti od ktorej hodnoty sú vetvy hyperbolov v rôznych štvorcoch:
Doména -.
Hodnotová oblasť -.
Súhrn a základné vzorce
1. Funkcia sa nazýva pravidlo, ktorým je každý prvok setu vložený do súladu s jedným prvkom sady.
- - Toto je vzorec, ktorý označuje funkciu, to znamená závislosť jednej premennej od druhého;
- - variabilná hodnota alebo argument;
- - Závisla hodnota sa zmení, keď sa argument zmení, to znamená, podľa ktoréhokoľvek konkrétneho vzorca odráža závislosť rovnakej hodnoty od druhého.
2. Prípustné hodnoty argumentualebo oblasť funkcie je niečo, čo je spojené s možným, v ktorom funkcia dáva zmysel.
3. Oblasť hodnôt funkcií - Toto hodnoty dostávajú, s prípustnými hodnotami.
4. Existujú 4 metódy na nastavenie funkcie:
- analytické (pomocou vzorcov);
- tabuľkové;
- grafika
- verbálny opis.
5. Základné typy funkcií:
- : Kde, - reálne čísla;
- :, kde;
- :, kde.
Načítava ...