Ako sa vektory pridávajú, nie je študentom vždy jasné. Deti netušia, čo je za nimi. Musíte si len zapamätať pravidlá a nemyslieť na podstatu. Preto práve o princípoch sčítania a odčítania vektorových veličín je potrebných veľa vedomostí.
Pridaním dvoch alebo viacerých vektorov vždy vznikne ďalší. Navyše bude vždy rovnaký, bez ohľadu na príjem jeho polohy.
Najčastejšie sa v kurze školskej geometrie zvažuje sčítanie dvoch vektorov. Môže sa vykonávať podľa pravidla trojuholníka alebo rovnobežníka. Tieto kresby vyzerajú inak, ale výsledok akcie je rovnaký.
Ako prebieha sčítanie podľa pravidla trojuholníka?
Používa sa, keď sú vektory nekolineárne. To znamená, že neležia na rovnakej čiare alebo rovnobežke.
V tomto prípade musí byť prvý vektor odložený z nejakého ľubovoľného bodu. Z jeho konca je potrebné kresliť rovnobežne a rovnať sa druhému. Výsledkom bude vektor začínajúci od začiatku prvého a končiaci na konci druhého. Kresba vyzerá ako trojuholník. Odtiaľ pochádza názov pravidla.
Ak sú vektory kolineárne, potom možno použiť aj toto pravidlo. Iba výkres bude umiestnený pozdĺž jednej čiary.
Ako sa vykonáva sčítanie rovnobežníka?
Ešte raz? platí len pre nekolineárne vektory. Konštrukcia sa vykonáva podľa iného princípu. Aj keď začiatok je rovnaký. Musíme odložiť prvý vektor. A od jeho začiatku - druhý. Na ich základe doplňte rovnobežník a nakreslite uhlopriečku od začiatku oboch vektorov. Ona bude výsledkom. Takto sa pridávajú vektory podľa pravidla rovnobežníka.
Doteraz boli dve. Ale čo ak ich bude 3 alebo 10? Použite nasledujúci trik.
Ako a kedy sa aplikuje pravidlo mnohouholníka?
Ak potrebujete vykonať sčítanie vektorov, ktorých počet je viac ako dva, nemali by ste sa báť. Stačí ich postupne všetky odložiť a pripojiť začiatok reťaze k jej koncu. Tento vektor bude požadovaným súčtom.
Aké vlastnosti platia pre operácie s vektormi?
O nulovom vektore. Ktorá tvrdí, že keď sa k tomu pridá, získa sa ten pôvodný.
O opačnom vektore. Teda o takej, ktorá má opačný smer a rovnakú hodnotu v absolútnej hodnote. Ich súčet bude nula.
O komutativite sčítania.Čo je známe odvtedy ZÁKLADNÁ ŠKOLA. Zmena miesta výrazov nezmení výsledok. Inými slovami, nezáleží na tom, ktorý vektor odložiť ako prvý. Odpoveď bude stále správna a jedinečná.
O asociativite sčítania. Tento zákon vám umožňuje pridať do párov ľubovoľné vektory z trojice a pridať k nim tretinu. Ak to napíšeme pomocou symbolov, dostaneme nasledovné:
prvý + (druhý + tretí) = druhý + (prvý + tretí) = tretí + (prvý + druhý).
Čo je známe o rozdieloch vektorov?
Neexistuje žiadna samostatná operácia odčítania. Je to spôsobené tým, že je to v skutočnosti doplnok. Iba druhý z nich je daný opačným smerom. A potom sa všetko robí tak, ako keby sa uvažovalo o pridávaní vektorov. Preto o svojej odlišnosti prakticky nehovoria.
Pre zjednodušenie práce s ich odčítaním bolo upravené pravidlo trojuholníka. Teraz (pri odčítaní) treba druhý vektor odložiť od začiatku prvého. Odpoveď bude tá, ktorá s ním spája koncový bod minuendu. Aj keď je možné odložiť, ako je opísané vyššie, jednoducho zmenou smeru druhého.
Ako nájsť súčet a rozdiel vektorov v súradniciach?
V úlohe sú uvedené súradnice vektorov a je potrebné zistiť ich hodnoty pre konečný. V tomto prípade nie je potrebné vykonávať konštrukcie. To znamená, že môžete použiť jednoduché vzorce, ktoré popisujú pravidlo na pridávanie vektorov. Vyzerajú takto:
a(x, y, z) + b(k, 1, m) = c(x+k, y+1, z+m);
a (x, y, z) -in (k, l, m) \u003d c (x-k, y-l, z-m).
Je ľahké vidieť, že súradnice stačí pridať alebo odčítať v závislosti od konkrétnej úlohy.
Prvý príklad s riešením
Podmienka. Daný obdĺžnik ABCD. Jeho strany sú 6 a 8 cm Priesečník uhlopriečok je označený písmenom O. Je potrebné vypočítať rozdiel medzi vektormi AO a VO.
Riešenie. Najprv musíte nakresliť tieto vektory. Sú nasmerované z vrcholov obdĺžnika do priesečníka uhlopriečok.
Ak sa pozriete pozorne na výkres, môžete vidieť, že vektory sú už zarovnané tak, že druhý z nich je v kontakte s koncom prvého. Len jeho smer je nesprávny. Od tohto bodu sa musí začať. To je, ak sú vektory sčítané, a v probléme - odčítanie. Stop. Táto akcia znamená, že musíte pridať opačný vektor. Takže VO musí byť nahradené OB. A ukázalo sa, že dva vektory už vytvorili pár strán z pravidla trojuholníka. Preto výsledkom ich sčítania, teda želaného rozdielu, je vektor AB.
A zhoduje sa so stranou obdĺžnika. Na zaznamenanie číselnej odpovede budete potrebovať nasledovné. Nakreslite obdĺžnik pozdĺžne tak, aby najdlhšia strana bola vodorovná. Číslovanie vrcholov začína zľava dole a ide proti smeru hodinových ručičiek. Potom bude dĺžka vektora AB rovná 8 cm.
Odpoveď. Rozdiel medzi AO a VO je 8 cm.
Druhý príklad a jeho podrobné riešenie
Podmienka. Kosoštvorec ABCD má uhlopriečky 12 a 16 cm, ich priesečník je označený písmenom O. Vypočítajte dĺžku vektora tvoreného rozdielom vektorov AO a BO.
Riešenie. Označenie vrcholov kosoštvorca nech je rovnaké ako v predchádzajúcej úlohe. Podobne ako pri riešení prvého príkladu sa ukáže, že požadovaný rozdiel sa rovná vektoru AB. A jeho dĺžka nie je známa. Riešenie úlohy sa zredukovalo na výpočet jednej zo strán kosoštvorca.
Na tento účel musíte zvážiť trojuholník ABO. Je obdĺžnikový, pretože uhlopriečky kosoštvorca sa pretínajú pod uhlom 90 stupňov. A jeho nohy sa rovnajú polovici uhlopriečok. Teda 6 a 8 cm Strana hľadaná v úlohe sa zhoduje s preponou v tomto trojuholníku.
Aby ste to našli, potrebujete Pytagorovu vetu. Druhá mocnina prepony sa bude rovnať súčtu čísel 6 2 a 8 2 . Po kvadratúre sa získajú hodnoty: 36 a 64. Ich súčet je 100. Z toho vyplýva, že prepona je 10 cm.
Odpoveď. Rozdiel medzi vektormi AO a VO je 10 cm.
Tretí príklad s podrobným riešením
Podmienka. Vypočítajte rozdiel a súčet dvoch vektorov. Ich súradnice sú známe: prvý má 1 a 2, druhý má 4 a 8.
Riešenie. Ak chcete nájsť súčet, musíte sčítať prvú a druhú súradnicu v pároch. Výsledkom budú čísla 5 a 10. Odpoveďou bude vektor so súradnicami (5; 10).
Pre rozdiel je potrebné odčítať súradnice. Po vykonaní tejto akcie sa získajú čísla -3 a -6. Budú to súradnice požadovaného vektora.
Odpoveď. Súčet vektorov je (5; 10), ich rozdiel je (-3; -6).
Štvrtý príklad
Podmienka. Dĺžka vektora AB je 6 cm, BC - 8 cm Druhý je odsadený od konca prvého pod uhlom 90 stupňov. Vypočítajte: a) rozdiel medzi modulmi vektorov BA a BC a modul rozdielu medzi BA a BC; b) súčet tých istých modulov a modul súčtu.
Riešenie: a) Dĺžky vektorov sú už uvedené v úlohe. Preto nie je ťažké vypočítať ich rozdiel. 6 - 8 = -2. Situácia s rozdielovým modulom je o niečo komplikovanejšia. Najprv musíte zistiť, ktorý vektor bude výsledkom odčítania. Na tento účel by mal byť vyčlenený vektor BA, ktorý smeruje opačným smerom ako AB. Potom nakreslite vektor BC z jeho konca a nasmerujte ho v smere opačnom k pôvodnému. Výsledkom odčítania je vektor CA. Jeho modul možno vypočítať pomocou Pytagorovej vety. Jednoduché výpočty vedú k hodnote 10 cm.
b) Súčet modulov vektorov je 14 cm Na nájdenie druhej odpovede je potrebná určitá transformácia. Vektor BA je opačný k uvedenému - AB. Oba vektory sú nasmerované z rovnakého bodu. V tejto situácii môžete použiť pravidlo rovnobežníka. Výsledkom sčítania bude uhlopriečka, nie len rovnobežník, ale obdĺžnik. Jeho uhlopriečky sú rovnaké, čo znamená, že modul súčtu je rovnaký ako v predchádzajúcom odseku.
Odpoveď: a) -2 a 10 cm; b) 14 a 10 cm.
Skôr ako prejdeme k predmetu článku, pripomenieme si základné pojmy.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Definícia 1
Vektor- úsečka priamky charakterizovaná číselnou hodnotou a smerom. Vektor je označený malým latinským písmenom so šípkou v hornej časti. V prítomnosti konkrétne body hranice, označenie vektora vyzerá ako dve veľké latinské písmená (označujúce hranice vektora) tiež so šípkou navrchu.
Definícia 2
Nulový vektor- ľubovoľný bod roviny, označený ako nula so šípkou hore.
Definícia 3
Dĺžka vektora- hodnota rovnajúca sa nule alebo väčšia, ktorá určuje dĺžku segmentu, ktorý tvorí vektor.
Definícia 4
Kolineárne vektory- ležiaci na jednej línii alebo na rovnobežných líniách. Vektory, ktoré túto podmienku nespĺňajú, sa nazývajú nekolineárne.
Definícia 5Vstup: vektory a → A b →. Na vykonanie operácie sčítania na nich je potrebné odložiť vektor z ľubovoľného nedefinovaného bodu A B →, rovná sa vektoru a →; z prijatého bodu nedefinovaný - vektor V C →, rovná sa vektoru b →. Spojením bodov nedefinovaných a C dostaneme segment (vektor) A C →, čo bude súčet pôvodných údajov. V opačnom prípade sa nazýva opísaná schéma sčítania vektorov trojuholníkové pravidlo.
Geometricky vyzerá sčítanie vektorov takto:
Pre nekolineárne vektory:
Pre kolineárne (kolineárne alebo opačné) vektory:
Ak vezmeme za základ vyššie opísanú schému, dostaneme príležitosť vykonať operáciu pridávania viac ako 2 vektorov: postupne pridávať každý nasledujúci vektor.
Definícia 6
Vstup: vektory a → , b → , c →, d → . Z ľubovoľného bodu A v rovine je potrebné vyčleniť segment (vektor) rovný vektoru a →; potom od konca výsledného vektora vektor rovný vektoru b →; ďalej - nasledujúce vektory sú odložené podľa rovnakého princípu. Koncový bod posledného odloženého vektora bude bod B a výsledný segment (vektor) A B →- súčet všetkých počiatočných údajov. Opísaná schéma na sčítanie niekoľkých vektorov je tiež tzv polygónové pravidlo .
Geometricky to vyzerá takto:
Definícia 7
Samostatná schéma činnosti pre vektorové odčítanie nie, pretože v skutočnosti rozdiel vektorov a → A b → je súčet vektorov a → a - b → .
Definícia 8Na vykonanie akcie násobenia vektora určitým číslom k je potrebné vziať do úvahy nasledujúce pravidlá:
- ak k > 1, potom toto číslo roztiahne vektor o k krát;
- ak 0< k < 1 , то это число приведет к сжатию вектора в
1 000 krát;
- ak k< 0 , то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил;
- ak k = 1 , potom vektor zostane rovnaký;
- ak je jedným z faktorov nulový vektor alebo číslo rovné nule, výsledkom násobenia bude nulový vektor.
Počiatočné údaje:
1) vektor a → a číslo k = 2;
2) vektor b → a číslo k = - 1 3 .
Geometricky bude výsledok násobenia v súlade s vyššie uvedenými pravidlami vyzerať takto:
Vyššie opísané operácie s vektormi majú vlastnosti, z ktorých niektoré sú zrejmé, zatiaľ čo iné možno geometricky zdôvodniť.
Vstup: vektory a → , b → , c → a ľubovoľné reálne čísla λ a μ.
Vlastnosti komutativity a asociativity umožňujú sčítať vektory v ľubovoľnom poradí.
Uvedené vlastnosti operácií umožňujú vykonávať potrebné transformácie vektorovo-číselných výrazov podobne ako bežné číselné. Pozrime sa na to na príklade.
Príklad 1
Úloha: zjednodušiť výraz a → - 2 (b → + 3 a →)
Riešenie
- pomocou druhej distribučnej vlastnosti dostaneme: a → - 2 (b → + 3 a →) = a → - 2 b → - 2 (3 a →)
- využiť priraďovaciu vlastnosť násobenia, výraz nadobudne ďalší pohľad: a → - 2 b → - 2 (3 a →) = a → - 2 b → - (2 3) a → = a → - 2 b → - 6 a →
- pomocou vlastnosti komutativity zameníme pojmy: a → - 2 b → - 6 a → = a → - 6 a → - 2 b →
- potom podľa prvej distribučnej vlastnosti dostaneme: a → - 6 a → - 2 b → = (1 - 6) a → - 2 b → = - 5 a → - 2 b → Stručný záznam riešenia bude vyzerať takto: a → - 2 (b → + 3 a →) = a → - 2 b → - 2 3 a → = 5 a → - 2 b →
odpoveď: a → - 2 (b → + 3 a →) = - 5 a → - 2 b →
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Priamo uvádzame pojem vektor, ako aj pojmy ich sčítania, násobenia číslom a ich rovnosti.
Aby sme zaviedli definíciu geometrického vektora, pripomeňme si, čo je segment. Uvádzame nasledujúcu definíciu.
Definícia 1
Úsek je časť priamky, ktorá má dve hranice vo forme bodov.
Segment môže mať 2 smery. Na označenie smeru nazveme jednu z hraníc segmentu jeho začiatok a druhú hranicu - jeho koniec. Smer je označený od jeho začiatku po koniec segmentu.
Definícia 2
Vektor alebo riadený segment je segment, pre ktorý je známe, ktorá z hraníc segmentu sa považuje za začiatok a ktorá je jeho koniec.
Zápis: Dve písmená: $\overline(AB)$ - (kde $A$ je jeho začiatok a $B$ je jeho koniec).
Jedným malým písmenom: $\overline(a)$ (obrázok 1).
Uveďme niekoľko ďalších pojmov súvisiacich s pojmom vektor.
Ak chcete zaviesť definíciu rovnosti dvoch vektorov, musíte najprv pochopiť také pojmy, ako je kolinearita, spoločný smer, opačný smer dvoch vektorov, ako aj dĺžka vektora.
Definícia 3
Dva nenulové vektory sa budú nazývať kolineárne, ak ležia na rovnakej priamke alebo na priamkach navzájom rovnobežných (obr. 2).
Definícia 4
Dva nenulové vektory sa budú nazývať kosmerné, ak spĺňajú dve podmienky:
- Tieto vektory sú kolineárne.
- Ak sú nasmerované jedným smerom (obr. 3).
Označenie: $\overline(a)\overline(b)$
Definícia 5
Dva nenulové vektory sa budú nazývať opačne orientované, ak spĺňajú dve podmienky:
- Tieto vektory sú kolineárne.
- Ak sú nasmerované rôznymi smermi (obr. 4).
Označenie: $\overline(a)↓\overline(d)$
Definícia 6
Dĺžka vektora $\overline(a)$ je dĺžka segmentu $a$.
Zápis: $|\overline(a)|$
Prejdime k definícii rovnosti dvoch vektorov
Definícia 7
Dva vektory sa budú nazývať rovnocenné, ak spĺňajú dve podmienky:
- Sú zarovnané;
- Ich dĺžky sú rovnaké (obr. 5).
Zostáva predstaviť koncept sčítania vektorov, ako aj ich násobenie číslom.
Definícia 8
Súčet vektorov $\overline(a+b)$ je vektor $\overline(c)=\overline(AC)$, ktorý je skonštruovaný takto: Z ľubovoľného bodu A vložíme $\overline(AB) =\overline(a) $, ďalej od bodu $B$ vyčleníme $\overline(BC)=\overline(b)$ a spojíme bod $A$ s bodom $C$ (obr. 6).
Definícia 9
Súčin vektora $\overline(a)$ by $k∈R$ je vektor $\overline(b)$, ktorý spĺňa nasledujúce podmienky:
- $|\overline(b)|=|k||\overline(a)|$;
- $\overline(a)\overline(b)$ za $k≥0$ a $\overline(a)↓\overline(b)$ za $k
Vlastnosti vektorového sčítania
Predstavme si vlastnosti sčítania pre tri vektory $\overline(α)$, $\overline(β)$ a $\overline(γ)$:
Komutivita sčítania vektorov:
$\overline(α)+\overline(β)=\overline(β)+\overline(α)$
Asociativita troch vektorov sčítaním:
$(\overline(α)+\overline(β))+\overline(γ)=\overline(α)+(\overline(β)+\overline(γ))$
Pridanie nulového vektora:
$\overline(α)+\overline(0)=\overline(α)$
Sčítanie opačných vektorov
$\overline(α)+(\overline(-α))=\overline(0)$
Všetky tieto vlastnosti možno ľahko overiť zostrojením takýchto vektorov pomocou Definície 8. V prvých dvoch porovnaním zostrojených vektorov z pravej a ľavej strany rovnosti a v treťom a štvrtom zostrojením vektora z ľavej strany .
Vlastnosti násobenia vektora číslom
Uveďme vlastnosti násobenia pre dva vektory $\overline(α)$, $\overline(β)$ a čísla $a$ a $b$.
- $a(\overline(α)+\overline(β))=a\overline(α)+a\overline(β)$
- $\overline(α)(a+b)=\overline(α)a+\overline(α)b$
- $(ab)\overline(α)=a(b\overline(α))=b(a\overline(α))$
- $1\cdot \overline(α)=\overline(α)$
Všetky tieto vlastnosti možno ľahko overiť pomocou definícií 8 a 9. V prvých dvoch porovnaním zostrojených vektorov z pravej a ľavej strany rovnosti, v treťom porovnaním všetkých vektorov zahrnutých v rovnosti a vo štvrtom , vytvorením vektora z ľavej strany.
Príklad úlohy
Príklad 1
Vykonajte sčítanie vektorov
$2\overline(AB)+(2\overline(BC)+3\overline(AC))$
Pomocou vlastnosti sčítania 2 dostaneme:
$2\overline(AB)+(2\overline(BC)+3\overline(AC))=(2\overline(AB)+2\overline(BC))+3\overline(AC)$
Pomocou vlastnosti vynásobenia číslom 1 dostaneme:
$(2\overline(AB)+2\overline(BC))+3\overline(AC)=2(\overline(AB)+\overline(BC))+3\overline(AC)=2\overline( BC)+3\overline(AC)=5\overline(AC)$
Dátum vytvorenia: 2009-04-11 15:25:51
Posledná úprava: 08.02.2012 09:19:45
Dlho sa mi nechcelo písať tento článok – rozmýšľal som, ako prezentovať materiál. Musíte tiež kresliť obrázky. Ale očividne sa dnes hviezdy úspešne vytvorili a bude tu článok o vektoroch. Aj keď, toto je len návrh. V budúcnosti tento článok rozdelím na niekoľko samostatných - materiálu je dosť. Taktiež sa článok bude postupne vylepšovať: Urobím v ňom zmeny – pretože. na jednom sedení nebude možné odhaliť všetky aspekty.
Vektory boli zavedené do matematiky v devätnástom storočí na opis veličín, ktoré bolo ťažké opísať pomocou skalárnych hodnôt.
Vektory sa vo vývoji intenzívne využívajú počítačové hry. Používajú sa nielen tradične – na opis takých veličín ako sila či rýchlosť, ale aj v oblastiach, ktoré zdanlivo nemajú nič spoločné s vektormi: ukladanie farieb, vytváranie tieňov.
Skaláry a vektory
Najprv vám dovoľte pripomenúť, čo je skalár a ako sa líši od vektora.
Skalárne hodnoty uchovávajú nejakú hodnotu: hmotnosť, objem. To znamená, že ide o entitu, ktorá je charakterizovaná iba jedným číslom (napríklad množstvom niečoho).
Vektor, na rozdiel od skalárneho, je opísaný pomocou dvoch hodnôt: veľkosť a smer.
Dôležitý rozdiel medzi vektormi a súradnicami: vektory nie sú viazané na konkrétne miesto! Ešte raz, hlavnou vecou vo vektore je dĺžka a smer.
Vektor je označený tučným písmenom latinskej abecedy. Napríklad: a, b, v.
Na prvom obrázku môžete vidieť, ako je vektor označený v rovine.
Vektory vo vesmíre
V priestore môžu byť vektory vyjadrené pomocou súradníc. Najprv však musíme predstaviť jeden koncept:
Vektor polomeru bodu
Zoberme si nejaký bod M(2,1) v priestore. Vektor polomeru bodu je vektor, ktorý začína v počiatku a končí v bode.
To, čo tu máme, nie je nič iné ako vektor OM. Súradnice začiatku vektora (0,0), súradnice konca (2,1). Označme tento vektor ako a.
V tomto prípade môže byť vektor zapísaný nasledovne a = <2, 1>. Toto je súradnicový tvar vektora a.
Súradnice vektora sa nazývajú jeho zložky vzhľadom na osi. Napríklad 2 je vektorový komponent a okolo osi x.
Ešte raz sa pozastavme nad tým, aké sú súradnice bodu. Súradnica bodu (napríklad x) je priemet bodu na os, t.j. základňa kolmice spadnutá z bodu do osi. V našom príklade 2.
Ale späť k prvému obrázku. Tu máme dva body A a B. Súradnice bodov nech sú (1,1) a (3,3). Vektor v v tomto prípade to možno definovať ako v = <3-1, 3-1>. Vektor ležiaci v dvoch bodoch v trojrozmernom priestore bude vyzerať takto:
v =
Nemyslím si, že sú tu nejaké problémy.
Vynásobte vektor skalárom
Vektor možno vynásobiť skalárnymi hodnotami:
k v =
V tomto prípade sa skalárna hodnota vynásobí každou zložkou vektora.
Ak k > 1, vektor sa zväčší, ak je k menšie ako jedna, ale väčšie ako nula, vektor sa bude zmenšovať. Ak je k menšie ako nula, vektor zmení smer.
Jednotkové vektory
Jednotkové vektory sú vektory, ktorých dĺžka sa rovná jednej. Všimnite si, že vektor so súradnicami<1,1,1>nebude sa rovnať jednému! Nájdenie dĺžky vektora je popísané nižšie.
Existujú takzvané orty - to sú jednotkové vektory, ktoré sa zhodujú v smere so súradnicovými osami. i- jednotkový vektor osi x, j- jednotkový vektor osi y, k- jednotkový vektor osi z.
V čom i = <1,0,0>, j = <0,1,0>, k = <0,0,1>.
Teraz vieme, čo je násobenie vektora skalárom a čo sú jednotkové vektory. Teraz môžeme písať v vo vektorovej forme.
v= v x i+vy j+vz k, kde v x , v y , v z sú zodpovedajúce zložky vektora
Vektorové pridanie
Aby ste úplne pochopili predchádzajúci vzorec, musíte pochopiť, ako funguje sčítanie vektorov.
Všetko je tu jednoduché. Vezmite dva vektory v1 =
v1 + v2 =
Pridáme len zodpovedajúce zložky dvoch vektorov.
Rozdiel sa vypočíta rovnakým spôsobom.
Ide o matematickú formu. Pre úplnosť je vhodné zvážiť, ako by sčítanie a odčítanie vektorov vyzeralo graficky.
Ak chcete pridať dva vektory a+b. Musíme zodpovedať začiatku vektora b a koniec vektora a. Potom medzi začiatkom vektora a a koniec vektora b nakresliť nový vektor. Pre prehľadnosť pozri druhý obrázok (písmeno „a“).
Ak chcete odčítať vektory, musíte skombinovať začiatky dvoch vektorov a nakresliť nový vektor od konca druhého vektora po koniec prvého. Druhý obrázok (písmeno „b“) ukazuje, ako to vyzerá.
Dĺžka a smer vektora
Najprv sa pozrime na dĺžku.
Dĺžka je číselná hodnota vektor, bez ohľadu na smer.
Dĺžka je určená vzorcom (pre trojrozmerný vektor):
druhá odmocnina súčtu druhých mocnín zložiek vektora.
Známy vzorec, však? Vo všeobecnosti ide o vzorec pre dĺžku segmentu
Smer vektora je určený smerovými kosínusmi uhlov vytvorených medzi vektorom a súradnicovými osami. Na nájdenie smerových kosínusov sa používajú príslušné zložky a dĺžka (obrázok bude neskôr).
Reprezentácia vektorov v programoch
Vektory môžu byť v programoch reprezentované rôznymi spôsobmi. Ako pomocou obyčajných premenných, čo je neefektívne, tak aj pomocou polí, tried a štruktúr.
float vector3 = (1,2,3); // pole na uloženie vektorovej struct vector3 // štruktúra na uloženie vektorov ( float x,y,z; );
Najväčšie možnosti na ukladanie vektorov poskytujú triedy. V triedach môžeme popísať nielen samotný vektor (premenné), ale aj vektorové operácie (funkcie).
Bodový súčin vektorov
Existujú dva typy vektorového násobenia: vektorové a skalárne.
Charakteristickým znakom skalárneho súčinu je, že výsledkom bude vždy skalárna hodnota, t.j. číslo.
Tu stojí za to venovať pozornosť tomuto momentu. Ak je výsledok tejto operácie nulový, potom sú dva vektory kolmé - uhol medzi nimi je 90 stupňov. Ak je výsledok väčší ako nula, uhol je menší ako 90 stupňov. Ak je výsledok menší ako nula, uhol je väčší ako 90 stupňov.
Táto operácia je reprezentovaná nasledujúcim vzorcom:
a · b= a x * b x + a y * b y + a z * b z
Skalárny súčin je súčtom súčinov zodpovedajúcich zložiek dvoch vektorov. Tie. Zoberieme x "s dvoch vektorov, vynásobíme ich, potom ich pripočítame k súčinu y" s a tak ďalej.
Krížový súčin vektorov
Výsledkom krížového súčinu dvoch vektorov bude vektor kolmý na tieto vektory.
Tento vzorec zatiaľ nebudeme podrobne rozoberať. Navyše je dosť ťažké si to zapamätať. K tomuto bodu sa vrátime po oboznámení sa s determinantmi.
Pre všeobecný vývoj je užitočné vedieť, že dĺžka výsledného vektora sa rovná ploche rovnobežníka postaveného na vektoroch a A b.
Vektorová normalizácia
Normalizovaný vektor je vektor, ktorého dĺžka je jedna.
Vzorec na nájdenie normalizovaného vektora je nasledujúci - všetky zložky vektora musia byť rozdelené jeho dĺžkou:
v n= v/|v| =
Doslov
Ako ste pravdepodobne videli, vektory nie je ťažké pochopiť. Zvažovali sme množstvo operácií s vektormi.
V nasledujúcich článkoch časti „matematika“ si rozoberieme matice, determinanty, sústavy lineárnych rovníc. Všetko je to teória.
Potom sa pozrieme na maticové transformácie. Vtedy pochopíte, aká dôležitá je matematika pri tvorbe počítačových hier. Táto téma sa stane len praxou pre všetky predchádzajúce témy.
V tomto článku sa budeme zaoberať operáciami, ktoré možno vykonať s vektormi v rovine a v priestore. Ďalej uvádzame vlastnosti operácií s vektormi a zdôvodňujeme ich pomocou geometrických konštrukcií. Ukážeme si aj uplatnenie vlastností operácií na vektoroch pri zjednodušovaní výrazov obsahujúcich vektory.
Pre lepšiu asimiláciu materiálu odporúčame obnoviť pojmy uvedené v článku vektory - základné definície.
Navigácia na stránke.
Operácia sčítania dvoch vektorov je pravidlo trojuholníka.
Poďme si ukázať, ako to ide pridanie dvoch vektorov.
Sčítanie vektorov prebieha nasledovne: z ľubovoľného bodu A sa vynesie vektor rovný, potom z bodu B sa vynesie vektor rovný a vektor je súčet vektorov a. Tento spôsob sčítania dvoch vektorov sa nazýva trojuholníkové pravidlo.
Znázornime sčítanie nekolineárnych vektorov v rovine podľa trojuholníkového pravidla.
A nákres nižšie ukazuje pridanie ko-smerných a opačne smerovaných vektorov.
Pridanie niekoľkých vektorov je pravidlo mnohouholníka.
Na základe uvažovanej operácie sčítania dvoch vektorov môžeme pridať tri alebo viac vektorov. V tomto prípade sa prvé dva vektory pridajú, tretí vektor sa pridá k výsledku, štvrtý sa pridá k výsledku atď.
Pridanie niekoľkých vektorov sa vykonáva podľa nasledujúcej konštrukcie. Z ľubovoľného bodu A roviny alebo priestoru sa posunie vektor rovný prvému členu, vektor rovný druhému členu sa odloží od jeho konca, tretí člen sa odloží od jeho konca atď. Nech bod B je koniec posledného odloženého vektora. Súčet všetkých týchto vektorov bude vektor .
Pridanie niekoľkých vektorov do roviny týmto spôsobom sa nazýva polygónové pravidlo. Tu je ilustrácia pravidla mnohouholníka.
Absolútne podobné je sčítanie niekoľkých vektorov v priestore.
Operácia násobenia vektora číslom.
Teraz sa pozrime, ako sa to stane násobenie vektora číslom.
Násobenie vektora číslom k zodpovedá natiahnutiu vektora faktorom k pre k > 1 alebo zmenšeniu faktorom 0 pre 0< k < 1 , при k = 1 вектор остается прежним (для отрицательных k еще изменяется направление на противоположное). Если произвольный вектор умножить на ноль, то получим нулевой вектор. Произведение нулевого вектора и ľubovoľné číslo je nulový vektor.
Napríklad pri násobení vektora číslom 2 by sme mali zdvojnásobiť jeho dĺžku a zachovať smer a pri násobení vektora mínus jednou tretinou ztrojnásobiť jeho dĺžku a obrátiť smer. Pre prehľadnosť uvádzame ilustráciu tohto prípadu.
Vlastnosti operácií s vektormi.
Takže sme definovali operáciu sčítania vektorov a operáciu násobenia vektora číslom. Navyše pre ľubovoľné vektory a ľubovoľné reálne čísla Pomocou geometrických konštrukcií je možné zdôvodniť nasledovné. vlastnosti operácií s vektormi. Niektoré z nich sú zrejmé.
Uvažované vlastnosti nám dávajú možnosť transformovať vektorové výrazy.
Vlastnosti komutativity a asociatívnosti operácie sčítania vektorov umožňujú sčítať vektory v ľubovoľnom poradí.
Neexistuje žiadna operácia odčítania vektorov ako taká, pretože rozdiel vektorov je súčtom vektorov a .
S prihliadnutím na uvažované vlastnosti operácií s vektormi môžeme vo výrazoch obsahujúcich súčty, rozdiely vektorov a súčin vektorov číslami vykonávať transformácie rovnako ako v číselných výrazoch.
Vezmime si príklad.
Načítava...