Vzorec na výpočet odmocniny komplexného čísla. Titul s ľubovoľným racionálnym exponentom

od a prirodzené číslo n 2 .

Komplexné číslo Z zavolal koreňn– c, ak Z n = c.

Nájdite všetky základné hodnoty n– th mocniny komplexného čísla od... Nechaj sa c=| c|·(cos Arg c+ i· hriech Arg od),a Z = | Z| · (Sos Arg Z + i· hriech Arg Z) kde Z koreň n- th mocniny komplexného čísla od... Potom by to malo byť = c = | c|·(cos Arg c+ i· hriech Arg od)... Z toho teda vyplýva
a n· Arg Z = Arg od
Arg Z =
(k=0,1,…) ... V dôsledku toho Z =
(cos
+ i· hriech
), (k=0,1,…) ... Je ľahké vidieť, že ktorákoľvek z hodnôt
, (k=0,1,…) sa líši od jednej zo zodpovedajúcich hodnôt
,(k = 0,1,…, n-1) násobkom 2π... Preto (k = 0,1,…, n-1) .

Príklad.

Vypočítajte koreň (-1).

samozrejme |-1| = 1, arg (-1) = π

-1 \u003d 1 (cos π + i· hriech π )

, (k \u003d 0, 1).

= i

Titul s ľubovoľným racionálnym exponentom

Vezmite ľubovoľné komplexné číslo od... Ak n prirodzené číslo, teda od n = | c| n · (Od.)os nArg c +i· hriech nArg od)(6). Tento vzorec platí aj v takom prípade n = 0 (s ≠ 0)
... Nechaj sa n < 0 a n Z a s ≠ 0 potom

od n =
(cos nArgod+ hreším nArgod) = (cos nArgod + hreším nArgod) ... Vzorec (6) teda platí pre akýkoľvek n.

Vezmite racionálne číslo kde q prirodzené číslo a r je celý.

Potom pod stupňa c r pochopíme číslo
.

Máme to ,

(k = 0, 1, …, q-1). Tieto hodnoty q kusov, ak zlomok nie je možné zrušiť.

Prednáška č. 3 Limit postupnosti komplexných čísel

Funkcia prirodzeného argumentu s komplexnou hodnotou sa nazýva postupnosť komplexných čísela označil (od n ) alebo od 1 , od 2 , ..., od n . od n \u003d a n + b n · i (n = 1,2, ...) komplexné čísla.

od 1 , od 2 , ... Sú členmi postupnosti; od n - bežný výraz

Komplexné číslo od = a+ b· i zavolal limit postupnosti komplexných čísel (c n ) kde od n \u003d a n + b n · i (n = 1, 2, …) kde pre hocikoho

to pre všetkých n > N nerovnosť platí
... Postupnosť, ktorá má konečný limit, sa volá zbiehajúce sa postupnosť.

Veta.

Aby bola postupnosť komplexných čísel (s n ) (od.) n \u003d a n + b n · i) konvergované na číslo s = a+ b· i, je nevyhnutné a postačujúce, aby sa uplatňovala rovnosťlim a n = a, lim b n = b.

Dôkazy.

Vetu dokážeme na základe nasledujúcej zjavnej dvojitej nerovnosti

kde Z = x + r· i (2)

Nevyhnutnosť. Nechaj sa lim (od n ) \u003d s... Ukážme, že rovnosti lim a n = a a lim b n = b (3).

Je zrejmé, že (4)

Pretože
kedy n → ∞ , potom z ľavej strany nerovnosti (4) vyplýva, že
a
kedy n → ∞ ... preto platia rovnosti (3). Nevyhnutnosť je dokázaná.

Primeranosť. Teraz nechajte rovnosť (3) držať. Z rovnosti (3) vyplýva, že
a
kedy n → ∞ , preto na základe pravej strany nerovnosti (4),
kedy n→∞ znamená lim(od n ) \u003d s... Dostatočnosť sa preukázala.

Otázka konvergencie postupnosti komplexných čísel je teda ekvivalentná konvergencii dvoch postupností reálnych čísel; preto na postupnosť komplexných čísel platia všetky základné vlastnosti limitov postupností reálnych čísel.

Napríklad pre postupnosti komplexných čísel platí Cauchyho kritérium: v poradí postupných komplexných čísel (s n ) konverguje, je potrebné a dostatočné, že pre všetky

to pre hocikohon, m > N nerovnosť platí
.

Veta.

Nechajte postupnosť komplexných čísel (s n ) a (z n ) konvergujú k c az, potom rovnosťlim(od n z n ) = c z, lim(od n · z n ) = c· z... Ak je to naisto známez sa nerovná 0, potom rovnosť
.

čísla v trigonometrickej forme.

Moivreho vzorec

Nech z 1 \u003d r 1 (cos  1 + je in 1) a z 2 \u003d r 2 (cos  2 + je in 2).

Goniometrická forma zápisu pre komplexné číslo je vhodná na vykonávanie operácií násobenia, delenia, zvyšovania na celočíselnú mocninu a extrakcie koreňa sily n.

z 1 ∙ z 2 \u003d r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 +  2) + i sin ( 1 +  2)).

Pri vynásobení dvoch komplexných čísel v trigonometrickej forme sa ich moduly znásobia a pridajú sa ich argumenty. Pri delení ich moduly sú rozdelené a argumenty sú odpočítané.

Dôsledkom pravidla pre vynásobenie komplexného čísla je pravidlo pre zvýšenie komplexného čísla na mocninu.

z \u003d r (cos  + i sin ).

z n \u003d r n (cos n + je nn).

Tento pomer sa nazýva podľa Moivrovho vzorca.

Príklad 8.1 Nájsť produkt a podiel:

Rozhodnutie

z 1 ∙ z 2
∙

=

;

Príklad 8.2 Napíšte číslo v trigonometrickom tvare

∙
–I) 7.

Rozhodnutie

Označujeme
a z2 \u003d
- i.

r 1 \u003d | z 1 | \u003d √ 1 2 + 1 2 \u003d √ 2;  1 \u003d arg z 1 \u003d arktán ;

z 1 \u003d
;

r 2 \u003d | z 2 | \u003d √ (√ 3) 2 + (- 1) 2 \u003d 2;  2 \u003d arg z 2 \u003d arktán
;

z 2 \u003d 2
;

z 1 5 \u003d (
) 5
; z 2 7 \u003d 2 7

z \u003d (
) 5 2 7
=

2 9

§ 9 Extrakcia koreňa z komplexného čísla

Definícia. Koreňn-tá mocnina komplexného čísla z (označ
) je komplexné číslo w také, že w n \u003d z. Ak z \u003d 0, potom
= 0.

Nech z  0, z \u003d r (cos + isin). Označíme w \u003d  (cos + sin), potom môžeme rovnicu w n \u003d z napísať v nasledujúcom tvare

 n (cos (n ) + isin (n )) \u003d r (cos + isin).

Preto  n \u003d r,

 =

Teda w k \u003d
·
.

Medzi týmito hodnotami je presne n rôznych hodnôt.

Preto k \u003d 0, 1, 2,…, n - 1.

Na komplexnej rovine sú to body vrcholy pravidelného n-gónu vpísaného do kruhu s polomerom
v strede O (obrázok 12).

Obrázok 12

Príklad 9.1Nájdite všetky hodnoty
.

Rozhodnutie.

Predstavme si toto číslo v trigonometrickej forme. Poďme nájsť jeho modul a argument.

w k \u003d
, kde k \u003d 0, 1, 2, 3.

w 0 \u003d
.

w 1 \u003d
.

w 2 \u003d
.

w 3 \u003d
.

Na komplexnej rovine sú tieto body vrcholmi štvorca vpísaného do kruhu s polomerom
vycentrovaný na počiatok (obrázok 13).

Obrázok 13 Obrázok 14

Príklad 9.2Nájdite všetky hodnoty
.

Rozhodnutie.

z \u003d - 64 \u003d 64 (cos + isin);

w k \u003d
, kde k \u003d 0, 1, 2, 3, 4, 5.

w 0 \u003d
; w 1 \u003d
;

w 2 \u003d
w 3 \u003d

w 4 \u003d
; w 5 \u003d
.

Na komplexnej rovine sú tieto body vrcholmi pravidelného šesťuholníka vpísaného do kruhu s polomerom 2 so stredom v bode O (0; 0) - obrázok 14.

§ 10 Exponenciálna forma komplexného čísla.

Eulerov vzorec

Označujeme
\u003d cos  + je  a
\u003d cos  - je . Tieto vzťahy sa nazývajú eulerove vzorce .

Funkcia
má obvyklé vlastnosti exponenciálnej funkcie:

Komplexné číslo z nech sa napíše v trigonometrickom tvare z \u003d r (cos + isin).

Pomocou Eulerovho vzorca môžete napísať:

z \u003d r
.

Táto položka sa nazýva ukážkové komplexné číslo. Pomocou neho získame pravidlá pre násobenie, delenie, umocňovanie a extrakciu koreňov.

Ak z 1 \u003d r 1
a z 2 \u003d r 2
potom

z 1 z 2 \u003d r 1 r 2
;

z n \u003d r n

, kde k \u003d 0, 1, ..., n - 1.

Príklad 10.1 Napíšte číslo v algebraickej forme

z \u003d
.

Rozhodnutie.

Príklad 10.2Vyriešte rovnicu z 2 + (4 - 3i) z + 4 - 6i \u003d 0.

Rozhodnutie.

Pre akékoľvek komplexné koeficienty má táto rovnica dva korene z 1 az 1 (možno sa zhodujú). Tieto korene možno nájsť pomocou rovnakého vzorca ako v skutočnom prípade. Pretože
má dve hodnoty, ktoré sa líšia iba znamienkom, potom má tento vzorec tvar: