Extrémny bod funkcie je bod v doméne funkcie, v ktorom hodnota funkcie nadobúda minimálnu alebo maximálnu hodnotu. Hodnoty funkcie v týchto bodoch sa nazývajú extrémy (minimum a maximum) funkcie.
Definícia... Bodka x1 funkčná doména f(x) sa volá maximálny bod funkcie , ak je hodnota funkcie v tomto bode väčšia ako hodnoty funkcie v dostatočne blízko k nej umiestnených napravo a naľavo od nej (to znamená nerovnosť f(x0 ) > f(x0 + Δ x) x1 maximálne.
Definícia... Bodka x2 funkčná doména f(x) sa volá minimálny bod funkcieak je hodnota funkcie v tomto bode menšia ako hodnoty funkcie v jej dostatočnej blízkosti, body umiestnené vpravo a vľavo od nej (to znamená nerovnosť f(x0 ) < f(x0 + Δ x) ). V takom prípade sa hovorí o funkcii v danom okamihu x2 minimum.
Povedzme bod x1 je maximálny bod funkcie f(x). Potom v intervale do x1 funkcia sa zvyšuje , takže derivácia funkcie je väčšia ako nula ( f "(x)\u003e 0) a v intervale po x1 funkcia sa preto znižuje a derivácia funkcie menej ako nula ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1
Predpokladajme tiež, že bod x2 je minimálny bod funkcie f(x). Potom v intervale do x2 funkcia klesá a derivácia funkcie je menšia ako nula ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 funkcia sa zvyšuje a derivácia funkcie je väčšia ako nula ( f "(x)\u003e 0). V tomto prípade tiež v bode x2 derivácia funkcie je nulová alebo neexistuje.
Fermatova veta (nevyhnutné kritérium pre existenciu extrému funkcie)... Ak bod x0 - extrémny bod funkcie f(x), potom sa v tomto bode derivácia funkcie rovná nule ( f "(x) \u003d 0) alebo neexistuje.
Definícia... Volajú sa body, v ktorých je derivácia funkcie nula alebo neexistuje kritické body .
Príklad 1. Uvažujme o funkcii.
Na mieste x \u003d 0, derivácia funkcie je nula, teda bod x \u003d 0 je kritický bod. Ako je však vidieť na grafe funkcie, zvyšuje sa v celej definičnej oblasti, teda v bode x \u003d 0 nie je krajný bod tejto funkcie.
Podmienky, že derivácia funkcie v bode sa rovná nule alebo neexistuje, sú teda nevyhnutnými podmienkami pre extrém, ale nie postačujúcimi, pretože je možné uviesť ďalšie príklady funkcií, pre ktoré sú tieto podmienky splnené, ale funkcia nemá v príslušnom bode extrém. preto musíte mať dostatočné znaky, ktorá umožňuje posúdiť, či v konkrétnom kritickom bode existuje extrém a ktorý z nich je maximálny alebo minimálny.
Veta (prvé dostatočné kritérium pre existenciu extrému funkcie). Kritický bod x0 f(x), ak sa pri prechode týmto bodom derivácia funkcie zmení na znamienko a ak sa znamienko zmení z „plus“ na „mínus“, potom maximálny bod a ak z „mínus“ na „plus“, potom minimálny bod.
Ak v blízkosti bodu x0 , naľavo a napravo od neho si derivácia zachováva svoje znamienko, to znamená, že funkcia sa iba zmenšuje alebo zväčšuje iba v niektorom susedstve bodu x0 ... V tomto prípade v danom okamihu x0 nie je tam žiadny extrém.
Takže aby ste určili krajné body funkcie, musíte urobiť nasledovné :
- Nájdite deriváciu funkcie.
- Nastaviť deriváciu na nulu a určiť kritické body.
- Mentálne alebo na papieri označte kritické body na numerickej osi a v získaných intervaloch určte znaky derivácie funkcie. Ak sa znamienko derivácie zmení z „plus“ na „mínus“, potom je kritický bod maximálnym bodom a ak z „mínus“ na „plus“, potom minimálnym bodom.
- Vypočítajte hodnotu funkcie v krajných bodoch.
Príklad 2. Nájdite extrémy funkcie 
.
Rozhodnutie. Nájdeme deriváciu funkcie:
Nastavíme deriváciu na nulu, aby sme našli kritické body:
.
Pretože pre všetky hodnoty „x“ menovateľ nie je nula, čitateľ sa rovná nule:
Máte jeden bod zlomu x \u003d 3. Určme znamienko derivácie v intervaloch vymedzených týmto bodom:
v rozsahu od mínus nekonečna do 3 - znamienko mínus, to znamená, že funkcia klesá,
v rozmedzí od 3 do plus nekonečna - znamienko plus, to znamená, že funkcia sa zvyšuje.
Teda bod x \u003d 3 je minimálny bod.
Nájdeme hodnotu funkcie v minimálnom bode:
Nájdeme teda extrémny bod funkcie: (3; 0), a je to minimálny bod.
Veta (druhé dostatočné kritérium pre existenciu extrému funkcie). Kritický bod x0 je krajný bod funkcie f(x) ak druhá derivácia funkcie v tomto bode nie je nula ( f ""(x) ≠ 0), a ak je druhá derivácia väčšia ako nula ( f ""(x)\u003e 0), potom maximálny bod a ak je druhá derivácia menšia ako nula ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.
Poznámka 1. Ak v bode x0 prvý aj druhý derivát zmiznú, potom v tomto okamihu nie je možné posúdiť prítomnosť extrému na základe druhého dostatočného kritéria. V takom prípade musíte použiť prvý dostatočný indikátor extrému funkcie.
Poznámka 2. Druhé dostatočné kritérium pre extrém funkcie je tiež nepoužiteľné, ak prvá derivácia neexistuje v stacionárnom bode (potom neexistuje ani druhá derivácia). V takom prípade je tiež potrebné použiť prvý dostatočný indikátor extrému funkcie.
Lokálny charakter extrémov funkcie
Z vyššie uvedených definícií vyplýva, že extrém funkcie má lokálny charakter - ide o najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie v porovnaní s najbližšími hodnotami.
Predpokladajme, že sa pozeráte na svoje zárobky za obdobie jedného roka. Ak ste v máji zarobili 45 000 rubľov a v apríli 42 000 rubľov a v júni 39 000 rubľov, potom sú zárobky v máji maximom zárobkovej funkcie v porovnaní s najbližšími hodnotami. Ale v októbri ste zarobili 71 000 rubľov, v septembri 75 000 rubľov a v novembri 74 000 rubľov, takže októbrové zárobky sú minimom zárobkovej funkcie v porovnaní s blízkymi hodnotami. A môžete ľahko vidieť, že maximum medzi hodnotami apríl - máj - jún je menšie ako minimum september - október - november.
Všeobecne platí, že funkcia môže mať niekoľko extrémov v intervale a môže sa ukázať, že akékoľvek minimum funkcie je väčšie ako akékoľvek maximum. Pre funkciu zobrazenú na obrázku vyššie teda platí.
To znamená, že by si človek nemal myslieť, že maximom a minimom funkcie sú jej najväčšie a najmenšie hodnoty v celom uvažovanom intervale. V maximálnom bode má funkcia najväčšiu hodnotu iba v porovnaní s hodnotami, ktoré má vo všetkých bodoch dostatočne blízko k maximálnemu bodu, a v minimálnom bode - najmenšiu hodnotu iba v porovnaní s hodnotami, ktoré má vo všetkých bodoch dostatočne blízko do minimálneho bodu.
Preto je možné objasniť vyššie uvedený koncept extrémnych bodov funkcie a nazvať minimálne body ako lokálne minimálne body a maximálne body ako lokálne maximálne body.
Spoločne hľadáme extrémy funkcie
Príklad 3.
Riešenie: Funkcia je definovaná a súvislá na celom číselnom rade. Jeho derivát 
existuje aj na celom číselnom rade. Preto sú v tomto prípade kritické body iba tie, v ktorých, t.j. , odkiaľ a. Kritickými bodmi rozdeľte celú oblasť funkcie na tri intervaly monotónnosti :. V každom z nich si vyberieme jeden riadiaci bod a v tomto bode nájdeme znamienko derivácie.
Pre daný interval môže byť kontrolný bod: nájsť. Vezmeme bod v intervale, dostaneme, a vezmeme bod v intervale, máme. Takže v intervaloch a a v intervale. Podľa prvého dostatočného kritéria pre extrém neexistuje v tomto bode extrém (pretože derivácia si zachováva znamienko v intervale) a v tomto bode má funkcia minimum (pretože pri prechode týmto bodom derivácia mení znamienko z mínus na plus). Nájdeme zodpovedajúce hodnoty funkcie :, a. V intervale sa funkcia zmenšuje, rovnako ako v tomto intervale, a v intervale sa zväčšuje, ako v tomto intervale.
Na spresnenie konštrukcie grafu nájdeme jeho priesečníky s osami súradníc. Pre, dostaneme rovnicu, ktorej korene sú a t. J. Dva body (0; 0) a (4; 0) funkčného grafu sú nájdené. Zo všetkých získaných informácií zostavíme graf (pozri na začiatku príkladu).
Na vlastnú kontrolu počas výpočtov môžete použiť online derivačná kalkulačka .
Príklad 4.Nájdite extrémy funkcie a zostavte jej graf.
Doménou funkcie je celý číselný rad, okrem bodu, t.j. ...
Na skrátenie výskumu môžete využiť skutočnosť, že táto funkcia je od r 
... Preto je jeho graf symetrický okolo osi Oy a prieskum je možné vykonať iba na určitý čas.
Nájdite derivát 
a kritické body funkcie:
1) 
;
2) 
,
ale funkcia sa v tomto bode zlomí, takže nemôže ísť o extrémny bod.
Daná funkcia má teda dva kritické body: a. Ak vezmeme do úvahy paritu funkcie, skontrolujme iba bod druhým dostatočným kritériom extrému. Na to nájdeme druhú deriváciu 
a definovať jeho znamienko na: dostaneme. Pretože a, potom je minimálny bod funkcie, zatiaľ čo 
.
Ak chcete získať úplnejší obraz o grafe funkcie, zistime jej správanie na hranici definičnej oblasti:
(tu symbol označuje túžbu x na nulu vpravo a x zostáva pozitívny; rovnako znamená ašpiráciu x na nulu vľavo a x zostáva negatívny). Teda, ak teda. Ďalej nachádzame
,
tie. Ak potom.
Funkčný graf nemá priesečníky s osami. Obrázok je na začiatku príkladu.
Na vlastnú kontrolu počas výpočtov môžete použiť online derivačná kalkulačka .
Spoločne pokračujeme v hľadaní extrémov funkcie
Príklad 8.Nájdite extrémy funkcie.
Rozhodnutie. Poďme nájsť doménu funkcie. Pretože nerovnosť musí platiť, z toho dostaneme.
Nájdeme prvú deriváciu funkcie.
1 °. Určenie extrému funkcie.
Pojmy maxima, minima a extrému funkcie dvoch premenných sú podobné zodpovedajúcim pojmom funkcie jednej nezávislej premennej.
Nechajte funkciu z \u003df (x; y) definované v nejakej oblasti D, bodka N (x 0;y 0) D.
Bodka (x 0;y 0) nazval bod maximálne funkcie z= f (x;y),ak existuje neighborhood susedstvo bodu (x 0;y 0), čo za každý bod (x; y), rozdielny od (x 0;y 0) z tohto susedstva nerovnosť f (x;y)< f (x 0;y 0). Na obrázku 12: N 1 - maximálny bod, a N 2 - minimálny bod funkcie z \u003df (x;y).
Bod minimum funkcie: pre všetky body (x 0;y 0),iný ako (x 0;y 0),od d-susedstva bodu (x 0;y 0) nerovnosť platí: f (x 0;y 0)\u003ef (x 0;y 0).
Extrém funkcie troch alebo viacerých premenných sa stanoví podobne.
Vyvolá sa hodnota funkcie v maximálnom (minimálnom) bode maximum (minimum) funkcie.
Hovorí to maximum a minimum funkcie extrémy.
Všimnite si, že podľa definície leží extrémny bod funkcie v doméne funkcie; maximálny a minimálny majú miestne (miestny) znak: hodnota funkcie v bode (x 0;y 0)sa porovnáva s jeho hodnotami v bodoch dosť blízko k (x 0;y 0). V oblasti D funkcia môže mať niekoľko extrémov alebo žiadnu.
2 °. Nevyhnutné podmienky pre extrém.
Zvážte podmienky existencie extrému funkcie.
Geometricky rovnaké f " y (x 0;y 0)\u003d 0 a f " y (x 0;y 0) \u003d0 znamená, že v extrémnom bode funkcie z = f (x; y) dotyčnicová rovina s povrchom predstavujúcim funkciu f (x; y), rovnobežne s rovinou Oh hu, keďže rovnica dotyčnej roviny je z \u003dz 0.
Komentovať. Funkcia môže mať extrém v bodoch, kde aspoň jeden z čiastkových derivátov neexistuje. Napríklad funkcia 
má maximum v bode O TOM(0; 0), ale v tomto okamihu nemá čiastočné derivácie.
Bod, v ktorom sú parciálne derivácie funkcie prvého rádu funkcie z = f (x;y) sa rovnajú nule, t.j. f " X = 0, f" y \u003d 0 sa volá stacionárny bod funkcie z.
Stacionárne body a body, v ktorých neexistuje aspoň jedna parciálna derivácia, sa nazývajú kritické body.
V kritických bodoch môže alebo nemusí mať funkcia extrém. Rovnosť nula parciálnych derivátov je nevyhnutnou, ale nie dostatočnou podmienkou pre existenciu extrému. Zvážte napríklad funkciu z = hu. Z tohto dôvodu je bod 0 (0; 0) kritický (práve tam zmiznú). Avšak, jeho extrémna funkcia z \u003d xy nemá, pretože v dostatočne malom susedstve bodu O (0; 0) sú body, pre ktoré z\u003e 0 (štvrtiny I a III) a z< 0 (štvrťroky II a IV).
Aby sme teda našli extrémy funkcie v danej oblasti, je potrebné podrobiť každý kritický bod funkcie ďalšiemu výskumu.
Stacionárne body nájdeme riešením sústavy rovníc
|
fx (x, y) \u003d 0, f "y (x, y) \u003d 0 |
(nevyhnutné podmienky pre extrém).
Systém (1) je ekvivalentný jednej rovnici df (x, y) \u003d 0. Všeobecne v extrémnom bode P (a, b) funkcie f (x, y) alebo df (x, y) \u003d 0alebo df (a, b) neexistuje.
3 °. Dostatočné podmienky pre extrém... Nechaj sa P (a; b) - stacionárny bod funkcie f(x, y), t.j. ... df (a, b) \u003d 0... Potom:
čo ak d2f (a, b)< 0 potom f(a, b) existuje maximálne funkcie f (x, r);
b) ak d2f (a, b)\u003e 0 potom f(a, b) existuje minimum funkcie f (x, r);
c) ak d2f (a, b) teda znak zmeny f (a, b) nie je extrémom funkcie f (x, y).
Tieto podmienky sú ekvivalentné nasledovným: 
a. Poďme zložiť diskriminujúci
Δ \u003d AC -B².
1) ak Δ\u003e 0, potom má funkcia v bode extrém P (a; b) a to maximum ak A<0 (alebo ZO<0 ) a minimálne, ak A\u003e 0 (alebo C\u003e 0);
2) ak Δ< 0, то экстремума в точке P (a; b) nie;
3) ak Δ \u003d 0, potom otázka prítomnosti extrému funkcie v danom bode P (a; b) zostáva otvorený (je potrebný ďalší výskum).
4 °. Prípad funkcie viacerých premenných... Pre funkciu troch alebo viacerých premenných sú nevyhnutné podmienky na existenciu extrému podobné podmienkam (1) a dostatočné podmienky podobné podmienkam a), b), c) 3 °.
Príklad... Skontrolujte funkciu extrému z \u003d x³ + 3xy²-15x-12y.
Rozhodnutie. Nájdeme parciálne derivácie a zostavme sústavu rovníc (1):
Riešením systému získame štyri stacionárne body:
Nájdite deriváty 2. rádu
a zložiť diskriminujúceho Δ \u003d AC - B² pre každý stacionárny bod.
1) K bodu: 
, Δ \u003d AC-B² \u003d 36-144<0
... V tomto okamihu teda nejde o žiaden extrém.
2) Pre bod P2: A \u003d 12, B \u003d 6, C \u003d 12; Δ \u003d 144 - 36\u003e 0, A\u003e 0... V bode P2 má funkcia minimum. Toto minimum sa rovná hodnote funkcie pri x \u003d 2, y \u003d 1: zmin \u003d 8 + 6-30-12 \u003d -28.
3) K bodu: A \u003d -6, B \u003d -12, C \u003d -6; Δ \u003d 36-144<0 ... Nie je tam žiadny extrém.
4) Pre bod P 4: A \u003d -12, B \u003d -6, C \u003d -12; Δ \u003d 144-36\u003e 0... V bode Р4 má funkcia maximum rovné Zmax \u003d -8 -6 + 30 + 12 \u003d 28.
5 °. Podmienečný extrém... V najjednoduchšom prípade podmienečný extrém funkcie f(x, r) sa nazýva maximum alebo minimum tejto funkcie dosiahnuté za podmienky, že jej argumenty súvisia s rovnicou φ (x, y) \u003d 0 (rovnica obmedzenia). Nájsť podmienený extrém funkcie f(x, r) za prítomnosti vzťahu φ (x, y) \u003d 0, tvoria tzv lagrangeova funkcia
F (x,y) \u003df (x,y) +λφ (x,y),
kde λ je nedefinovaný konštantný faktor a hľadá sa zvyčajný extrém tejto pomocnej funkcie. Potrebné podmienky pre extrém sú redukované na systém troch rovníc
|
|
s tromi neznámymi x, y, λ, z ktorých je všeobecne možné určiť tieto neznáme.
Otázka existencie a povahy podmieneného extrému je vyriešená na základe štúdia znaku druhého diferenciálu Lagrangeovej funkcie
pre systém testovaných hodnôt x, y, λzískané z bodu (2) za predpokladu, že dx a du súvisiace rovnicou
.
Totiž funkcia f(x, r) má podmienené maximum, ak d²F< 0 a podmienené minimum, ak d²F\u003e 0... Najmä ak je diskriminačný Δ pre funkciu F (x, y) v stacionárnom bode je kladné, potom v tomto bode existuje podmienené maximum funkcie f(x, r), ak A< 0 (alebo ZO< 0) a podmienené minimum, ak A\u003e O. (alebo C\u003e 0).
Podobne sa podmienené extrémy funkcie troch alebo viacerých premenných nachádzajú v prítomnosti jednej alebo viacerých obmedzujúcich rovníc (ktorých počet však musí byť menší ako počet premenných). Tu je potrebné zaviesť do Lagrangeovej funkcie toľko neurčitých faktorov, koľko existuje obmedzovacích rovníc.
Príklad. Nájdite extrém funkcie z \u003d 6-4x -3rza predpokladu, že premenné x a o vyhovieť rovnici x² + y² \u003d 1.
Rozhodnutie. Geometricky sa problém zníži na nájdenie najväčšej a najmenšej hodnoty aplikátu z lietadlo z \u003d 6 - 4x - Zu pre svoje priesečníky s valcom x2 + y2 \u003d 1.
Skladáme Lagrangeovu funkciu F (x, y) \u003d 6 -4x -3y + λ (x2 + y2 -1).
Máme 
... Potrebné podmienky poskytujú sústavu rovníc
riešenie, ktoré nájdeme:
.
,
d ²F \u003d 2λ (dx ² +dy ²).
Ak u, tak d ²F\u003e 0, a preto v tomto okamihu má funkcia podmienené minimum. Ak 
a potom d ²F<0,
a preto má v tomto okamihu funkcia podmienené maximum.
Touto cestou,
6 °. Najvyššia a najnižšia hodnota funkcie.
Nechajte funkciu z \u003df (x; y) definované a spojité v ohraničenej uzavretej oblasti . Potom to v niektorých bodoch dosiahne jeho najväčší M a najmenší t hodnoty (tzv. globálny extrém). Tieto hodnoty sa dosahujú funkciou v bodoch nachádzajúcich sa vo vnútri oblasti , alebo v bodoch ležiacich na hranici oblasti.
Jednoduchý algoritmus na hľadanie extrémnych bodov.
- Nájdite deriváciu funkcie
- Vyrovnajte tento derivát s nulou
- Nájdite hodnoty premennej výsledného výrazu (hodnoty premennej, pri ktorej sa derivát prevedie na nulu)
- S týmito hodnotami rozdelíme súradnicovú čiaru na intervaly (zároveň nezabúdajme na body zlomu, ktoré musia byť tiež aplikované na čiaru), všetky tieto body sa nazývajú body „podozrivé“ pre extrém
- Vypočítame, v ktorom z týchto intervalov bude derivácia kladná a v ktorej záporná. Aby ste to dosiahli, musíte nahradiť hodnotu z intervalu do derivácie.
Z bodov podozrivých z extrému musíte nájsť presne. Aby sme to dosiahli, pozeráme sa na svoje intervaly na súradnicovej čiare. Ak sa pri prechode nejakým bodom zmení znamienko derivácie z plusu na mínus, potom bude tento bod maximálne, a ak od mínus do plus, tak minimum.
Ak chcete nájsť najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie, musíte vypočítať hodnotu funkcie na koncoch segmentu a v krajných bodoch. Potom zvoľte najvyššiu a najnižšiu hodnotu.
Zvážte príklad
Nájdite deriváciu a vynulujte ju:
Výsledné hodnoty premenných sú vynesené na súradnicovú čiaru a v každom z intervalov vypočítajú znamienko derivácie. No napríklad pre prvé si zoberme-2
, potom bude derivát-0,24
, za druhú berieme0
, potom bude derivát2
a za tretie berieme2
, potom bude derivát-0,24. Dali sme dole príslušné značky.
Vidíme, že pri prechode bodom -1 derivácia zmení znamienko z mínus na plus, to znamená, že to bude minimálny bod, a pri prechode cez 1 - z plusu na mínus, to je maximálny bod.
Hodnoty funkcií a maximálny a minimálny bod
Najväčšia hodnota funkcie
Najmenšia hodnota funkcie
Ako povedal krstný otec: „Nič osobné.“ Iba deriváty!
12, je štatistická úloha považovaná za dosť ťažkú \u200b\u200ba to všetko preto, lebo chalani tento článok nečítali (vtip). Vo väčšine prípadov za to môže neopatrnosť.
Úloha má dva typy:
- Nájdite maximálny / minimálny bod (požiadaný o nájdenie hodnôt „x“).
- Nájdite najväčšiu / najmenšiu hodnotu funkcie (požiadajte o vyhľadanie hodnôt „y“).
Nájdite najvyšší / najnižší bod
- Nastavte ju na nulu.
- Nájdené alebo nájdené „x“ a budú body minima alebo maxima.
- Určte znamienka pomocou metódy rozstupov a vyberte, ktorý bod je v úlohe potrebný.
Úlohy so skúškou:
Nájdite maximálny bod funkcie
- Berieme deriváciu:
Máte pravdu, najskôr sa funkcia zvyšuje, potom klesá - to je maximálny bod!
Odpoveď: −15
Nájdite minimálny bod funkcie
- Poďme transformovať a vziať deriváciu:
- Vynikajúci! Najskôr sa funkcia zníži, potom sa zvýši - to je minimálny bod!
Nájdite najväčšiu / najmenšiu hodnotu funkcie
- Vezmite deriváciu navrhovanej funkcie.
- Nastavte ju na nulu.
- Nájdené „x“ a bude bodom minima alebo maxima.
- Určte znaky pomocou metódy medzery a vyberte, ktorý bod je v úlohe potrebný.
- Pri takýchto úlohách je vždy nastavená medzera: do tejto medzery musí byť zahrnuté xes nájdené v kroku 3.
- Dosadením získaného maximálneho alebo minimálneho bodu do počiatočnej rovnice dostaneme najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu funkcie.
Úlohy so skúškou:
Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie v segmente [−4; -1]
Odpoveď: −6
Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie v segmente
- Najväčšia hodnota funkcie sa rovná „11“ v maximálnom bode (v tomto segmente) „0“.
Odpoveď: 11
Závery:
- 70% chýb spočíva v tom, že si chlapci nepamätajú, na čo reagovali najvyššia / najnižšia hodnota funkcie musí byť napísaná "y"a ďalej bod maximálneho / minimálneho zápisu „x“.
- Derivát nemá riešenie pri hľadaní funkčných hodnôt?To nevadí, nahraďte krajné body medzery!
- Odpoveď možno vždy napísať ako číslo alebo desatinný zlomok. Nie? Potom znova vyriešte príklad.
- Pri väčšine úloh sa získa jeden bod a naša lenivosť kontrolovať maximum alebo minimum bude oprávnená. Máme jeden bod - môžete bezpečne napísať odpoveď.
- ale pri hľadaní hodnoty funkcie by ste to nemali robiť! Uistite sa, že je to správny bod, inak môžu byť krajné hodnoty medzery väčšie alebo menšie.
Funkcia a štúdium jej funkcií zaberajú jednu z kľúčových kapitol modernej matematiky. Hlavnou súčasťou každej funkcie sú grafy znázorňujúce nielen jej vlastnosti, ale aj parametre derivácie tejto funkcie. Poďme sa pozrieť na túto náročnú tému. Aký je najlepší spôsob hľadania maximálneho a minimálneho bodu funkcie?
Funkcia: definícia
Akákoľvek premenná, ktorá nejako závisí od hodnôt inej veličiny, sa dá nazvať funkciou. Napríklad funkcia f (x 2) je kvadratická a určuje hodnoty pre celú množinu x. Povedzme, že x \u003d 9, potom bude hodnota našej funkcie 9 2 \u003d 81.
Funkcie majú širokú škálu foriem: logická, vektorová, logaritmická, trigonometrická, numerická a ďalšie. Do ich štúdia sa zapojili také vynikajúce mysle ako Lacroix, Lagrange, Leibniz a Bernoulli. Ich spisy slúžia ako hrádza v moderných spôsoboch štúdia funkcií. Pred nájdením minimálnych bodov je veľmi dôležité pochopiť samotný význam funkcie a jej derivácie.
Derivát a jeho úloha
Všetky funkcie závisia od ich premenných hodnôt, čo znamená, že môžu kedykoľvek zmeniť svoju hodnotu. Na grafe to bude znázornené ako krivka, ktorá klesá alebo stúpa pozdĺž súradnice (to je celá skupina čísel „y“ pozdĺž vertikály grafu). Takže definícia bodu maxima a minima funkcie je práve spojená s týmito „výkyvmi“. Poďme si vysvetliť, čo je tento vzťah.
Derivácia ľubovoľnej funkcie je vynesená do grafu s cieľom študovať jej hlavné charakteristiky a vypočítať, ako rýchlo sa funkcia mení (tj. Mení jej hodnotu v závislosti od premennej „x“). V okamihu, keď sa funkcia zvýši, zvýši sa aj graf jej derivácie, ale v ktorejkoľvek sekunde sa môže funkcia začať zmenšovať a potom sa graf derivácie zníži. Body, v ktorých derivácia prechádza od znamienka mínus do plusu, sa nazývajú minimálne body. Aby ste vedeli, ako nájsť minimum bodov, mali by ste lepšie pochopiť
Ako vypočítam derivát?
Z definície a funkcie vyplýva niekoľko pojmov z. Vo všeobecnosti možno samotnú definíciu derivácie vyjadriť nasledovne: je to hodnota, ktorá ukazuje rýchlosť zmeny funkcie.
Matematický spôsob jeho definovania sa pre mnohých študentov javí ako ťažký, ale v skutočnosti je všetko oveľa jednoduchšie. Musíte len postupovať podľa štandardného plánu na nájdenie derivácie akejkoľvek funkcie. Ďalej je popísané, ako môžete nájsť minimálny bod funkcie bez použitia pravidiel diferenciácie a bez zapamätania tabuľky derivácií.
- Deriváciu funkcie môžete vypočítať pomocou grafu. Aby ste to dosiahli, musíte vykresliť samotnú funkciu a potom na ňu vziať jeden bod (bod A na obrázku) .Nakreslite čiaru zvisle nadol na os úsečky (bod x 0) a v bode A nakreslite dotyčnicu funkčného grafu. Os úsečky a dotyčnica vytvárajú určitý uhol a. Na výpočet hodnoty, ako rýchlo sa funkcia zvyšuje, je potrebné vypočítať tangens tohto uhla a.
- Ukazuje sa, že dotyčnica uhla medzi dotyčnicou a smerom osi x je deriváciou funkcie v malom reze s bodom A. Táto metóda sa považuje za geometrický spôsob určenia derivácie.
Metódy výskumu funkcií
V školských učebných osnovách z matematiky je možné nájsť minimálny bod funkcie dvoma spôsobmi. Prvú metódu sme už analyzovali pomocou grafu, ale ako určiť číselnú hodnotu derivácie? Aby ste to dosiahli, budete sa musieť naučiť niekoľko vzorcov, ktoré popisujú vlastnosti derivácie a pomáhajú prevádzať premenné, ako napríklad „x“, na čísla. Nasledujúca metóda je univerzálna, takže ju možno použiť na takmer všetky druhy funkcií (geometrické aj logaritmické).
- Je potrebné funkciu stotožniť s derivačnou funkciou a potom výraz zjednodušiť pomocou pravidiel diferenciácie.
- V niektorých prípadoch, keď je uvedená funkcia, v ktorej je v deliteľovi premenná „x“, je potrebné určiť rozsah prípustných hodnôt, z ktorého vylúčiť bod „0“ (z jednoduchého dôvodu, že v matematike v žiadnom prípade nemôžete deliť nulou).
- Potom by ste mali pôvodnú podobu funkcie previesť na jednoduchú rovnicu a celý výraz vyrovnať na nulu. Napríklad, ak funkcia vyzerala takto: f (x) \u003d 2x 3 + 38x, potom je podľa pravidiel diferenciácie jej derivát f "(x) \u003d 3x 2 +1. Potom tento výraz transformujeme do rovnice v nasledujúcom tvare: 3x 2 +1 \u003d 0 ...
- Po vyriešení rovnice a nájdení bodov „x“ by ste ich mali nakresliť na úsečku a určiť, či je derivácia v týchto oblastiach medzi označenými bodmi kladná alebo záporná. Po označení bude zrejmé, v ktorom okamihu sa funkcia začne znižovať, to znamená, že zmení svoje znamienko z mínus na pravý opak. Týmto spôsobom môžete nájsť minimálny aj maximálny bod.
Pravidlá diferenciácie
Najzákladnejšou zložkou pri štúdiu funkcie a jej derivácie je znalosť pravidiel diferenciácie. Iba s ich pomocou je možné transformovať objemné výrazy a veľké komplexné funkcie. Poďme sa s nimi zoznámiť, je ich pomerne veľa, ale všetky sú vďaka prírodným vlastnostiam výkonových aj logaritmických funkcií veľmi jednoduché.
- Derivácia ktorejkoľvek konštanty je nula (f (x) \u003d 0). To znamená, že derivácia f (x) \u003d x 5 + x - 160 bude mať nasledujúcu formu: f "(x) \u003d 5x 4 +1.
- Derivát súčtu dvoch členov: (f + w) "\u003d f" w + fw ".
- Derivácia logaritmickej funkcie: (log a d) "\u003d d / ln a * d. Tento vzorec platí pre všetky druhy logaritmov.
- Derivačná sila: (x n) "\u003d n * x n-1. Napríklad (9x 2)" \u003d 9 * 2x \u003d 18x.
- Derivácia sínusovej funkcie: (sin a) "\u003d cos a. Ak je sinus uhla a 0,5, potom je jeho derivácia √3 / 2.
Extrémne body
Už sme prišli na to, ako nájsť minimálne body, ale existuje aj koncept maximálnych bodov funkcie. Ak minimum označuje body, v ktorých funkcia prechádza od znamienka mínus do plusu, potom maximálnym počtom bodov sú tie body na osi úsečky, v ktorých sa derivácia funkcie mení z plusu na opačný - mínus.
Nájdete ho vyššie uvedenou metódou, treba si však uvedomiť, že označujú tie úseky, v ktorých sa funkcia začne znižovať, to znamená, že derivácia bude menšia ako nula.
V matematike je zvykom oba pojmy zovšeobecňovať a nahrádzať ich výrazom „extrémne body“. Keď si úloha žiada určiť tieto body, znamená to, že je potrebné vypočítať deriváciu tejto funkcie a nájsť minimálny a maximálny počet bodov.
Načítava ...