Odpoveď: riadok sa rozchádza.
Príklad č
Nájdite súčet série $ \\ sum \\ limits_ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) $.
Pretože dolná hranica súčtu je 1, spoločný výraz série sa napíše pod znak súčtu: $ u_n \u003d \\ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) $. Zložme n-tý čiastočný súčet série, t.j. sčítať prvých $ n $ členov danej číselnej rady:
$$ S_n \u003d u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + \\ ldots + u_n \u003d \\ frac (2) (3 \\ cdot 5) + \\ frac (2) (5 \\ cdot 7) + \\ frac (2) (7 \\ cdot 9 ) + \\ frac (2) (9 \\ cdot 11) + \\ ldots + \\ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)). $$
Prečo napíšem presne $ \\ frac (2) (3 \\ cdot 5) $, a nie $ \\ frac (2) (15) $, bude to zrejmé z ďalšieho rozprávania. Zaznamenanie čiastočnej sumy nás však neprinieslo o jednu jota bližšie k nášmu cieľu. Musíme nájsť $ \\ lim_ (n \\ to \\ infty) S_n $, ale ak napíšeme iba:
$$ \\ lim_ (n \\ to \\ infty) S_n \u003d \\ lim_ (n \\ to \\ infty) \\ left (\\ frac (2) (3 \\ cdot 5) + \\ frac (2) (5 \\ cdot 7) + \\ potom nám tento záznam, úplne správny vo forme, v podstate nič nedá. Na zistenie limitu je potrebné najskôr zjednodušiť výraz pre čiastočný súčet.
k tomu existuje štandardná transformácia, ktorá spočíva v rozšírení zlomku $ \\ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) $, ktorý predstavuje spoločný pojem série, do elementárnych zlomkov. Samostatná téma je venovaná otázke rozkladu racionálnych zlomkov na elementárne (pozri napríklad príklad č. 3 na tejto stránke). Ak budeme rozširovať zlomok $ \\ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) $ na základné zlomky, budeme mať:
$$ \\ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) \u003d \\ frac (A) (2n + 1) + \\ frac (B) (2n + 3) \u003d \\ frac (A \\ cdot (2n +3) + B \\ cdot (2n + 1)) ((2n + 1) (2n + 3)). $$
Vyrovnáme čitateľov zlomkov na ľavej a pravej strane výslednej rovnosti:
$$ 2 \u003d A \\ cdot (2n + 3) + B \\ cdot (2n + 1). $$
Existujú dva spôsoby, ako nájsť hodnoty $ A $ a $ B $. Môžete rozšíriť zátvorky a zmeniť usporiadanie výrazov, alebo môžete jednoducho nahradiť niektoré vhodné hodnoty za $ n $. Striktne pre zmenu, v tomto príklade pôjdeme prvou cestou a ďalšou - nahradíme súkromné \u200b\u200bhodnoty $ n $. Rozšírením zátvoriek a preskupením podmienok dostaneme:
$$ 2 \u003d 2An + 3A + 2Bn + B; \\\\ 2 \u003d (2A + 2B) n + 3A + B. $$
{!LANG-63f48650272ffa76b2994b8b914d65be!}
Na ľavej strane rovnosti je pred nulou $ nula. Ak chcete, ľavá strana rovnosti môže byť kvôli prehľadnosti vyjadrená ako $ 0 \\ cdot n + 2 $. Pretože na ľavej strane rovnosti pred $ n $ je nula a na pravej strane rovnosti pred $ n $ je $ 2A + 2B $, máme prvú rovnicu: $ 2A + 2B \u003d 0 $. Poďme okamžite rozdeliť obe strany tejto rovnice o 2, potom dostaneme $ A + B \u003d 0 $.
Pretože na ľavej strane rovnosti je voľný termín 2 a na pravej strane rovnosti je voľný termín 3A + B $, potom 3A + B \u003d 2 $. Takže máme systém:
$$ \\ doľava \\ (\\ začiatok (zarovnaný) & A + B \u003d 0; \\\\ & 3A + B \u003d 2. \\ koniec (zarovnaný) \\ doprava. $$
Dôkaz sa uskutoční metódou matematickej indukcie. V prvom kroku je potrebné skontrolovať, či overená rovnosť platí: $ S_n \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2n + 3) $ pre $ n \u003d 1 $. Vieme, že $ S_1 \u003d u_1 \u003d \\ frac (2) (15) $, ale výraz $ \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2n + 3) $ dá hodnotu $ \\ frac (2 ) (15) $, ak nahradíte $ n \u003d 1 $? Skontrolujme to:
$$ \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2n + 3) \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2 \\ cdot 1 + 3) \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (5) \u003d \\ frac (5-3) (15) \u003d \\ frac (2) (15). $$
Takže pre $ n \u003d 1 $ platí rovnosť $ S_n \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2n + 3) $. Týmto sa dokončuje prvý krok metódy matematickej indukcie.
Predpokladajme, že pre $ n \u003d k $ platí rovnosť, t.j. $ S_k \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2k + 3) $. Dokážme, že rovnaká rovnosť bude platiť pre $ n \u003d k + 1 $. Zvážte $ S_ (k + 1) $:
$$ S_ (k + 1) \u003d S_k + u_ (k + 1). $$
Pretože $ u_n \u003d \\ frac (1) (2n + 1) - \\ frac (1) (2n + 3) $, potom $ u_ (k + 1) \u003d \\ frac (1) (2 (k + 1) + 1) - \\ frac (1) (2 (k + 1) +3) \u003d \\ frac (1) (2k + 3) - \\ frac (1) (2 (k + 1) +3) $. Podľa vyššie uvedeného predpokladu $ S_k \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2k + 3) $, preto má vzorec $ S_ (k + 1) \u003d S_k + u_ (k + 1) $ tvar:
$$ S_ (k + 1) \u003d S_k + u_ (k + 1) \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2k + 3) + \\ frac (1) (2k + 3) - \\ $$
Záver: vzorec $ S_n \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2n + 3) $ je správny pre $ n \u003d k + 1 $. Preto podľa metódy matematickej indukcie platí vzorec $ S_n \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2n + 3) $ pre každý $ n \\ v N $. Rovnosť je dokázaná.
V štandardnom kurze vyššej matematiky sú väčšinou spokojní s „vyčiarknutím“ zrušujúcich výrazov bez toho, aby vyžadovali akýkoľvek dôkaz. Získali sme teda výraz pre n-tý čiastočný súčet: $ S_n \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2n + 3) $. Nájdite hodnotu $ \\ lim_ (n \\ až \\ infty) S_n $:
Záver: daná séria konverguje a jej súčet je $ S \u003d \\ frac (1) (3) $.
Druhý spôsob, ako zjednodušiť vzorec pre čiastočný súčet.
Úprimne, sám uprednostňujem túto metódu :) Zapíšme si čiastkovú sumu v skrátenej podobe:
$$ S_n \u003d \\ suma \\ limity_ (k \u003d 1) ^ (n) u_k \u003d \\ suma \\ limity_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (2) ((2k + 1) (2k + 3)). $$
Už sme dostali skôr, že $ u_k \u003d \\ frac (1) (2k + 1) - \\ frac (1) (2k + 3) $, takže:
$$ S_n \u003d \\ suma \\ limity_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (2) ((2k + 1) (2k + 3)) \u003d \\ suma \\ limity_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ vľavo (\\ frac (1) (2k + 1) - \\ frac (1) (2k + 3) \\ vpravo). $$
Suma $ S_n $ obsahuje konečný počet výrazov, takže ich môžeme ľubovoľne usporiadať. Chcem najskôr spočítať všetky podmienky formulára $ \\ frac (1) (2k + 1) $ a až potom prejsť na podmienky formulára $ \\ frac (1) (2k + 3) $. To znamená, že čiastočnú čiastku budeme predstavovať takto:
$$ S_n \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (5) + \\ frac (1) (5) - \\ frac (1) (7) + \\ frac (1) (7) - \\ \\\\ \u003d \\ frac (1) (3) + \\ frac (1) (5) + \\ frac (1) (7) + \\ frac (1) (9) + \\ ldots + \\ frac (1) (2n + 1 ) - \\ doľava (\\ frac (1) (5) + \\ frac (1) (7) + \\ frac (1) (9) + \\ ldots + \\ frac (1) (2n + 3) \\ doprava). $$
Samozrejme, rozšírená notácia je mimoriadne nepohodlná, takže vyššie uvedená rovnosť môže byť formalizovaná kompaktnejšie:
$$ S_n \u003d \\ sum \\ limity_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ vľavo (\\ frac (1) (2k + 1) - \\ frac (1) (2k + 3) \\ vpravo) \u003d \\ sum \\ limity_ ( k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) - \\ suma \\ limity_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 3). $$
Teraz transformujeme výrazy $ \\ frac (1) (2k + 1) $ a $ \\ frac (1) (2k + 3) $ do rovnakého tvaru. Myslím, že je vhodné zredukovať na väčší zlomok (aj keď je možné ho zredukovať, je to vec vkusu). Pretože $ \\ frac (1) (2k + 1)\u003e \\ frac (1) (2k + 3) $ (čím väčší menovateľ, tým menší zlomok), znížime zlomok $ \\ frac (1) (2k + 3) $ do formulára $ \\ frac (1) (2k + 1) $.
Zastúpim výraz v menovateli zlomku $ \\ frac (1) (2k + 3) $ takto:
$$ \\ frac (1) (2k + 3) \u003d \\ frac (1) (2k + 2 + 1) \u003d \\ frac (1) (2 (k + 1) +1). $$
A súčet $ \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 3) $ možno teraz napísať takto:
$$ \\ suma \\ limity_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 3) \u003d \\ suma \\ limity_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2 (k + 1) ) +1) \u003d \\ suma \\ limity_ (k \u003d 2) ^ (n + 1) \\ frac (1) (2k + 1). $$
Ak rovnosť $ \\ suma \\ limity_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 3) \u003d \\ suma \\ limity_ (k \u003d 2) ^ (n + 1) \\ frac (1) (2k + 1) $ nevzbudzuje otázky, poďme teda ďalej. Ak máte akékoľvek otázky, rozviňte poznámku.
Ako sme dostali prevedenú sumu? ukázať skryť
Mali sme riadok $ \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 3) \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2 ( k + 1) +1) $. Poďme namiesto $ k + 1 $ predstaviť novú premennú - napríklad $ t $. Takže $ t \u003d k + 1 $.
Ako sa zmenila stará premenná $ k $? A zmenilo sa to z 1 na $ n $. Poďme zistiť, ako sa zmení nová premenná $ t $. Ak $ k \u003d 1 $, potom $ t \u003d 1 + 1 \u003d 2 $. Ak $ k \u003d n $, potom $ t \u003d n + 1 $. Takže výraz $ \\ sum \\ limity_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2 (k + 1) +1) $ je teraz $ \\ sum \\ limity_ (t \u003d 2) ^ (n +1) \\ frac (1) (2t + 1) $.
$$ \\ suma \\ limity_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2 (k + 1) +1) \u003d \\ suma \\ limity_ (t \u003d 2) ^ (n + 1) \\ frac (1 ) (2t + 1). $$
Máme súčet $ \\ sum \\ limits_ (t \u003d 2) ^ (n + 1) \\ frac (1) (2t + 1) $. Otázka znie: je skutočne jedno, aký list v tejto výške použiť? :) Triviálnym napísaním písmena $ k $ namiesto $ t $ dostaneme nasledujúce:
$$ \\ suma \\ limity_ (t \u003d 2) ^ (n + 1) \\ frac (1) (2t + 1) \u003d \\ suma \\ limity_ (k \u003d 2) ^ (n + 1) \\ frac (1) (2k +1). $$
Takto dostaneme rovnosť $ \\ sum \\ limity_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2 (k + 1) +1) \u003d \\ suma \\ limity_ (k \u003d 2) ^ (n + 1) \\ frac (1) (2k + 1) $.
Čiastočnú čiastku teda môžeme vyjadriť takto:
$$ S_n \u003d \\ suma \\ limity_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) - \\ suma \\ limity_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 3 ) \u003d \\ suma \\ limity_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) - \\ suma \\ limity_ (k \u003d 2) ^ (n + 1) \\ frac (1) (2k + 1) ). $$
Upozorňujeme, že súčty $ \\ sum \\ limity_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) $ a $ \\ sum \\ limity_ (k \u003d 2) ^ (n + 1) \\ frac (1 ) (2k + 1) $ sa líšia iba v hraniciach súčtu. Urobme tieto limity rovnaké. Keď vezmeme prvý prvok zo súčtu $ \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) $, budeme mať:
$$ \\ suma \\ limity_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) \u003d \\ frac (1) (2 \\ cdot 1 + 1) + \\ suma \\ limity_ (k \u003d 2) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) \u003d \\ frac (1) (3) + \\ suma \\ limity_ (k \u003d 2) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1). $$
Ak vezmeme posledný prvok zo súčtu $ \\ sum \\ limits_ (k \u003d 2) ^ (n + 1) \\ frac (1) (2k + 1) $, dostaneme:
$$ \\ suma \\ limity_ (k \u003d 2) ^ (n + 1) \\ frac (1) (2k + 1) \u003d \\ suma \\ limity_ (k \u003d 2) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1 ) + \\ frac (1) (2 (n + 1) +1) \u003d \\ suma \\ limity_ (k \u003d 2) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) + \\ frac (1) (2n + 3). $$
Potom bude mať výraz pre čiastočný súčet tvar:
$$ S_n \u003d \\ suma \\ limity_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) - \\ suma \\ limity_ (k \u003d 2) ^ (n + 1) \\ frac (1) (2k +1) \u003d \\ frac (1) (3) + \\ sum \\ limity_ (k \u003d 2) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) - \\ doľava (\\ sum \\ limity_ (k \u003d 2) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) + \\ frac (1) (2n + 3) \\ vpravo) \u003d \\\\ \u003d \\ frac (1) (3) + \\ suma \\ limity_ (k \u003d 2) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) - \\ suma \\ limity_ (k \u003d 2) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) - \\ frac (1) (2n + 3) \u003d \\ $$
Ak preskočíme všetky vysvetlenia, potom bude mať proces hľadania skráteného vzorca pre n-tý čiastočný súčet nasledujúcu podobu:
$$ S_n \u003d \\ suma \\ limity_ (k \u003d 1) ^ (n) u_k \u003d \\ suma \\ limity_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (2) ((2k + 1) (2k + 3)) \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ left (\\ frac (1) (2k + 1) - \\ frac (1) (2k + 3) \\ right) \u003d \\\\ \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) - \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 3) \u003d \\ frac (1) (3) + \\ sum \\ limity_ (k \u003d 2) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) - \\ doľava (\\ sum \\ limity_ (k \u003d 2) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) ) + \\ frac (1) (2n + 3) \\ vpravo) \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2n + 3). $$
Pripomínam, že sme zlomok $ \\ frac (1) (2k + 3) $ zmenšili na tvar $ \\ frac (1) (2k + 1) $. Samozrejme, môžete to urobiť opačne, t.j. predstavujú zlomok $ \\ frac (1) (2k + 1) $ ako $ \\ frac (1) (2k + 3) $. Konečný výraz pre čiastočnú sumu sa nezmení. V takom prípade skryjem proces hľadania čiastočnej sumy pod poznámkou.
Ako nájsť $ S_n $, ak ho znížime na iný zlomok? ukázať skryť
$$ S_n \u003d \\ suma \\ limity_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) - \\ suma \\ limity_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 3 ) \u003d \\ suma \\ limity_ (k \u003d 0) ^ (n-1) \\ frac (1) (2k + 3) - \\ sum \\ limity_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 3) ) \u003d \\\\ \u003d \\ frac (1) (3) + \\ sum \\ limity_ (k \u003d 1) ^ (n-1) \\ frac (1) (2k + 3) - \\ vľavo (\\ sum \\ limity_ (k \u003d 1) ^ (n-1) \\ frac (1) (2k + 3) + \\ frac (1) (2n + 3) \\ vpravo) \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2n + 3). $$
Takže $ S_n \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2n + 3) $. Nájdite limit $ \\ lim_ (n \\ to \\ infty) S_n $:
$$ \\ lim_ (n \\ do \\ infty) S_n \u003d \\ lim_ (n \\ do \\ infty) \\ vľavo (\\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2n + 3) \\ vpravo) \u003d \\ frac (1) (3) -0 \u003d \\ frac (1) (3). $$
Daná séria konverguje a jej súčet je $ S \u003d \\ frac (1) (3) $.
Odpoveď: $ S \u003d \\ frac (1) (3) $.
Na pokračovanie témy zisťovania súčtu sérií sa budeme venovať v druhej a tretej časti.
Nechajte uviesť postupnosť čísel R 1, R 2, R 3,…, R n,…. Hovorí sa výrazu R1 + R2 + R3 + ... + Rn + ... nekonečné číslo, alebo jednoducho v blízkosti, a čísla R 1, R 2, R 3, ... - členovia určitého počtu... Zároveň znamenajú, že kumulácia súčtu série začína jej prvými členmi. Vyvolá sa súčet S n \u003d čiastočný súčet počet: pre n \u003d 1 - prvý čiastkový súčet, pre n \u003d 2 - druhý čiastočný súčet atď.
Volal série sa zbiehajúak je postupnosť jej čiastočnej sumy majú limit a odlišný - inak. Koncept súčtu sérií je možné rozšíriť a potom niektoré rozchádzajúce sa série budú mať aj súčty. Presne tak predĺžený porozumenie sumy počet sa použije pri vývoji algoritmov pre nasledujúcu formuláciu úlohy: akumulácia súčtu by sa mala vykonať, pokiaľ je ďalší člen série v absolútnej hodnote väčší ako zadaná hodnota ε.
Vo všeobecnom prípade možno všetkých alebo časť členov série určiť pomocou výrazov v závislosti od počtu členov série a premenných. Napríklad
Potom vyvstáva otázka, ako minimalizovať množstvo výpočtu - vypočítať hodnotu nasledujúceho člena série podľa všeobecný vzorec výrazu (v danom príklade je reprezentovaný výrazom pod znakom súčtu), podľa opakujúceho sa vzorca (jeho výstup je uvedený nižšie) alebo použitie opakujúcich sa vzorcov iba pre časti výrazu člena radu (pozri nižšie).
Odvodenie opakujúceho sa vzorca na výpočet člena série
Nech je požadované nájsť rad čísel R 1, R 2, R 3, ..., postupne ich vypočítať podľa vzorcov
,
,
…,
Na zníženie výpočtov je v tomto prípade vhodné použitie opakujúci
vzorec milý 
, ktorá umožňuje vypočítať hodnotu R N pre N\u003e 1, pričom poznáte hodnotu predchádzajúceho člena série R N-1, kde 
- výraz, ktorý možno získať po zjednodušení vzťahu výrazu vo vzorci (3.1) pre N k výrazu pre N-1:
Opakujúci sa vzorec má teda formu 
.
Z porovnania všeobecného vzorca pre výraz v rade (3.1) a opakujúceho sa vzorca (3.2) je zrejmé, že opakujúci sa vzorec výrazne zjednodušuje výpočty. Aplikujeme to pre N \u003d 2, 3 a 4 s vedomím toho 
:
Spôsoby výpočtu hodnoty člena série
Na výpočet hodnoty člena rady v závislosti od jej typu môže byť výhodnejšie použiť buď všeobecný vzorec člena série, alebo opakujúci sa vzorec, alebo zmiešaná metóda výpočtu hodnoty člena série, keď sa používajú rekurzívne vzorce pre jednu alebo viac častí člena rady, a potom sa ich hodnoty nahradia do všeobecného vzorca člena rady. Napríklad - pre sériu je jednoduchšie vypočítať hodnotu člena série 
podľa jej všeobecného vzorca 
(porovnať s 
- opakujúci sa vzorec); - pre číslo 
je lepšie použiť opakujúci sa vzorec 
; - pre sériu by sa mala použiť zmiešaná metóda, ktorá vypočíta A N \u003d X 3N pomocou opakujúceho sa vzorca 
, N \u003d 2, 3, ... pre A 1 \u003d 1 a B N \u003d N! - aj opakujúcim sa vzorcom 
, N \u003d 2, 3, ... pre B 1 \u003d 1 a potom - člen série 
- podľa všeobecného vzorca, ktorý bude mať formu 
.
Príklad 3.2.1 vykonávanie úlohy
Vyhodnoťte s presnosťou ε pre 0 o X 45 o
použitie opakujúceho sa vzorca na výpočet člena série:
,
presná hodnota funkcie cos X,
absolútne a relatívne chyby približnej hodnoty.
program Projekt1;
($ APPTYPE CONSOLE)
K \u003d Pi / 180; // Faktor na prevod zo stupňov na radiány
Eps: predĺžené \u003d 1E-8;
X: Rozšírené \u003d 15;
R, S, Y, D: predĺžené;
($ IFNDEF DBG) // Operátory, ktoré sa nepoužívajú pri ladení
Write ("Zadajte požadovanú presnosť:");
Napíšte („Zadajte hodnotu uhla v stupňoch:“);
D: \u003d Sqr (K * X); // Prevod X na radiány a štvorec
// Nastavenie počiatočných hodnôt na premenné
// Smyčka na výpočet členov série a súčet ich súčtu.
// Vykonajte, kým je modul nasledujúceho člena riadku väčší ako Eps.
zatiaľ čo Abs (R)\u003e Eps to robia
ak N<10 then //Вывод, используемый при отладке
WriteLn ("N \u003d", N, "R \u003d", R: 14: 11, "S \u003d", S: 14: 11);
// Výstup výsledkov výpočtu:
WriteLn (N: 14, "\u003d počet dosiahnutých krokov",
„špecifikovaná presnosť“);
WriteLn (S: 14: 11, "\u003d približná hodnota funkcie");
WriteLn (Cos (K * X): 14:11, "\u003d presná hodnota funkcie");
WriteLn (Abs (Cos (K * X) -S): 14:11, "\u003d absolútna chyba");
WriteLn (Abs ((Cos (K * X) -S) / Cos (K * X)): 14:11,
"\u003d Relatívna chyba");
Nájdeme súčet sérií čísel. Ak ju nenájdete, systém s určitou presnosťou vypočíta súčet sérií.
Séria konvergencie
Táto kalkulačka je schopná určiť, či sa rad konverguje, a tiež ukazuje, ktoré znaky konvergencie fungujú a ktoré nie.
Tiež vie, ako určiť konvergenciu výkonových radov.
Taktiež vytvára graf série, kde môžete vidieť mieru konvergencie série (alebo divergencie).
Pravidlá pre zadávanie výrazov a funkcií
Výrazy môžu pozostávať z funkcií (označenia sú uvedené v abecednom poradí): absolútna (x) Absolútna hodnota x
(modul x alebo | x |)
arccos (x) Funkcia - inverzný kosínus x arccosh (x) Arckosín hyperbolický z x arcsin (x) Arcsine z x arcsinh (x) Arkusín hyperbolický na x arctg (x) Funkcia - trojuholník x arctgh (x) Arktangenta hyperbolická z x e e číslo, ktoré je zhruba 2,7 exp (x) Funkcia - exponent z x (ako e^x)
denník (x) alebo ln (x) Prirodzený logaritmus x
(Získať log7 (x), musíte zadať log (x) / log (7) (alebo napríklad pre log10 (x)\u003d log (x) / log (10)) pi Číslo je Pi, čo je približne 3,14 hriech (x) Funkcia - sínus x cos (x) Funkcia - kosínus x sinh (x) Funkcia - sínus hyperbolický z x cosh (x) Funkcia - kosínový hyperbolický z x sqrt (x) Funkcia - druhá odmocnina z x sqr (x) alebo x ^ 2 Funkcia - štvorec x tg (x) Funkcia - dotyčnica x tgh (x) Funkcia - tangenciálna hyperbolická z x cbrt (x) Funkcia - koreň kocky z x poschodie (x) Funkcia - zaokrúhľovanie x nadol (príklad poschodia (4.5) \u003d\u003d 4,0) podpísať (x) Funkcia - Sign x erf (x) Chybová funkcia (Laplaceova alebo Pravdepodobná integrálna)
Vo výrazoch je možné použiť nasledujúce operácie: Reálne čísla zadajte do formulára 7.5 , nie 7,5 2 * x - množenie 3 / x - rozdelenie x ^ 3 - umocňovanie x + 7 - doplnenie x - 6 - odčítanie
Problém súčtu množiny pojmov je riešený teóriou sérií.
kde u 1, u 2, u 3 …., u n ... sú členovia nekonečnej číselnej postupnosti, tzv číselný rad.
Čísla u 1, u 2, u 3 …., u n ... zavolal členovia určitého počtua u n je spoločným členom série.
Súčet konečného počtu n prvých členov rady sa nazýva n-tý čiastočný súčet série.
S n \u003d u 1 + u 2 +… + u n,
tie. Si \u003d u1; S 2 \u003d u 1 + u 2
S n \u003d u 1 + u 2 +…+ u n
Séria sa nazýva konvergentná, ak existuje konečná hranica čiastočného súčtu S n pre n, t.j.
Číslo S nazval súčet sérií.
Inak:
Potom sa séria nazýva divergentná.
Referenčná séria.
1. Geometrická rada (geometrický postup)
Príklad.
2. Harmonické rady.
3. Zovšeobecnené harmonické rady.
Príklad.
.
Známky konvergencie kladných sérií
Veta 1. Potrebné kritérium pre konvergenciu.
Pomocou tejto funkcie môžete zistiť divergenciu série.
Príklad.
Dostatočné znaky
Veta 1 Kritérium na porovnanie sérií.
Nech sú uvedené dve série pozitívnych znamienok:
Ak navyše konverguje séria (2), konverguje aj séria (1).
Ak sa riadok (1) rozchádza, riadok (2) sa tiež rozchádza.
Príklad.Preskúmajte sériu konvergencie:
Porovnajme túto sériu s geometrickou sériou: 
Preto hľadaná séria konverguje na základe porovnania.
Veta 2. d'Alembertov test.
Príklad.Preskúmajte sériu konvergencie:
na základe D'Alemberu sa séria zbližuje.
Veta 3 Cauchyov radikálny test.
3) pretože otázka konvergencie zostáva otvorená.
Príklad:skúmať konvergenciu číselných radov:
Rozhodnutie:
V dôsledku toho sa séria zbližuje v Cauchy.
Veta 4. Cauchyho integrálne kritérium.
Nechajte členov série
sú kladné a nezvyšujú sa, to znamená, že ide o hodnoty spojitej nerastúcej funkcie f(x) o x= 1, 2, …, n.
Potom, aby sa séria zbiehala, je nevyhnutné a dostatočné, aby nesprávny integrál konvergoval:
Príklad.
Rozhodnutie:
V dôsledku toho sa séria rozchádza, pretože sa rozchádza nesprávny integrál.
Striedajúce sa riadky. Koncept absolútnej a podmienenej konvergencie striedavých radov.
Riadok sa volá striedavý, ak môže byť ktorýkoľvek z jej členov pozitívny aj negatívny.
Zvážte striedanie riadkov:
Veta 1. Leibnizov test (dostatočný test).
Ak striedavý riadok
pojmy pokles v absolútnej hodnote, to znamená
potom séria konverguje a jej súčet nepresahuje prvý člen, to znamená S ≤ .
Príklad.
Rozhodnutie:
Použime znak Leibniz:
.
Preto je séria Leibnizova konvergentná.
Veta 2. Dostatočné kritérium na konvergenciu striedavej série.
Ak pre striedajúcu sa sériu konverguje rada zložená z absolútnych hodnôt jej členov, potom táto alternujúca rada konverguje.
Príklad: preskúmať sériu konvergencie:
Rozhodnutie:
z absolútnych hodnôt členov pôvodného radu konverguje ako zovšeobecnený harmonický rad pri.
V dôsledku toho sa pôvodná séria zbližuje.
Táto vlastnosť je dostatočná, ale nie nevyhnutná, to znamená, že existujú striedavé rady, ktoré sa zbiehajú, aj keď rady zložené z absolútnych hodnôt sa rozchádzajú.
Definícia 1. absolútne konvergujúce,ak konverguje rad zložený z absolútnych hodnôt jej členov.
Definícia 2.Striedavá séria je tzv podmienečne konvergujúce,ak sa séria sama zbieha a séria zložená z absolútnych hodnôt jej členov sa rozchádza.
Rozdiel medzi nimi je v tom, že absolútne konvergentná séria konverguje v dôsledku skutočnosti, že sa jej termíny rýchlo znižujú, a podmienene konvergujúca séria v konvergencii v dôsledku skutočnosti, že pozitívne a negatívne termíny sa navzájom zničia.
Príklad.
Rozhodnutie:
Použime znak Leibniz:
Preto je séria Leibnizova konvergentná. Séria zložená z absolútnych hodnôt jej členov sa však rozchádza ako harmonická.
To znamená, že pôvodná séria konverguje podmienečne.
Atď. - minimálne informácie o číselný rad... Je potrebné pochopiť, čo je to séria, byť schopný podrobne ju namaľovať a nezaokrúhliť oči po slovných spojeniach „riadok sa zbieha“, „riadok sa rozchádza“, „súčet riadku“. Preto, ak je vaša nálada úplne na nule, píšte si prosím 5-10 minút Riadky pre figuríny (doslova prvé 2-3 strany), a potom sa sem vráťte a neváhajte začať riešiť príklady!
Je potrebné poznamenať, že vo väčšine prípadov nie je ľahké nájsť súčet sérií a tento problém sa zvyčajne vyrieši prostredníctvom funkčné riadky (budeme žiť a žiť :))... Takže napríklad suma populárneho umelca 
stiahnuté cez fourierova séria... V tejto súvislosti je v praxi takmer vždy potrebné ustanoviť samotná skutočnosť konvergencie, ale nenájdete konkrétne číslo (mnohí si myslím, že si to už všimli). Medzi veľkou rozmanitosťou číselných radov však existuje niekoľko zástupcov, ktorí vám umožnia bez problémov sa dotknúť svätyne svätých aj s plnou čajovou kanvicou. A v úvodnej hodine som uviedol príklad nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti 
, ktorého množstvo sa dá ľahko vypočítať podľa známeho školského vzorca.
V tomto článku budeme ďalej uvažovať o podobných príkladoch, okrem toho sa naučíme striktnú definíciu súčtu a popri tom sa oboznámime s niektorými vlastnosťami radu. Zahrejte sa ... áno, priamo na postup a zahrejte:
Príklad 1
Nájdite súčet sérií 
Rozhodnutie: našu sériu reprezentujeme ako súčet dvoch sérií:
Prečo v tomto prípade to dokážeš? Prijaté kroky sú založené na dvoch jednoduchých tvrdeniach:
1) Ak sa série zbiehajú 
, potom bude konvergovať aj rad zložený zo súčtov alebo rozdielov zodpovedajúcich členov :. V tomto prípade je nevyhnutné, o čom hovoríme zbiehajúce sa hodnosti. V našom príklade sme vieme vopredže sa obidva geometrické postupnosti budú zbližovať, čo znamená, že bezpochyby pôvodný rad rozložíme do dvoch radov.
2) Druhá vlastnosť je ešte zrejmejšia. Konštantu je možné posunúť mimo rozsah: 
a to neovplyvní jeho konvergenciu alebo divergenciu a celkovú hodnotu. Prečo uzavrieť konštantu? Áno, len preto, aby „jej neprekážala“. Ale niekedy je prospešné to nerobiť.
Dokončovací príklad vyzerá takto:
Vzorec dvakrát použijeme na nájdenie súčtu nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti :, kde je prvý člen postupu, je základom postupu.
Odpoveď: súčet sérií
Začiatok riešenia je možné zariadiť v trochu inom štýle - sériu napíšte priamo a preskupte jej členov:
Ďalej pozdĺž vrúbkovaného.
Príklad 2
Nájdite súčet sérií
Toto je príklad riešenia pre domácich majstrov. Kompletné riešenie a odpoveď na konci tutoriálu.
Nie sú tu žiadne zvláštne potešenia, ale raz som narazil na neobvyklý rad, ktorý môže neskúseného človeka zaskočiť. Toto ... je tiež nekonečne sa znižujúci geometrický postup! Skutočne, a suma sa počíta len za pár okamihov: 
.
A teraz životodarný závan matematickej analýzy nevyhnutnej na riešenie ďalších problémov:
Aký je súčet sérií?
Striktná definícia konvergencie / divergencie a súčtu sérií teoreticky je daná prostredníctvom tzv čiastočné sumy riadok. Čiastočný znamená neúplný. Zapíšme si čiastkové súčty číselného radu 
:
Zvláštnu úlohu zohráva čiastočný súčet „en“ členov série:
Ak je hranica čiastkových súčtov číselného radu finálny číslo :, potom sa volá takáto séria zbiehajúce saa samotné číslo je súčet sérií... Ak je limit nekonečný alebo neexistuje, potom sa volá rad odlišný.
Späť na ukážkový riadok 
a zapíšte jeho čiastkové čiastky: 
Hranica čiastkových súčtov je presne nekonečne klesajúca geometrická postupnosť, ktorej súčet je :. Na hodine sme uvažovali o podobnom limite o číselných radoch... Samotný vzorec je v skutočnosti priamym dôsledkom vyššie uvedených teoretických výpočtov (pozri 2. diel matanu).
Takto je to nakreslené všeobecný algoritmus na riešenie nášho problému: je potrebné urobiť n-tý čiastkový súčet sérií a nájsť limit. Pozrime sa, ako sa to deje v praxi:
Príklad 3
Vypočítajte súčet sérií 
Rozhodnutie: prvým krokom je rozšírenie bežný termín v súčte zlomkov. Používame metóda nedefinovaných koeficientov:
Ako výsledok:
Naraz je užitočné urobiť opak kontrolou:
Všeobecný pojem série bol získaný v pôvodnej podobe, preto sa expanzia na súčet zlomkov úspešne uskutočnila.
Teraz vytvorme čiastočný súčet série. Spravidla sa to deje ústne, ale akonáhle budem čo najpodrobnejšie popisovať, z čoho vzišlo: 
Ako to napísať je úplne jasné, ale čomu sa rovná predchádzajúci pojem? Vo všeobecnom termíne série 
NAMIESTO Dosadzujeme „en“:
Takmer všetky podmienky čiastočnej sumy sú úspešne zrušené: 
Práve také poznámky si robíme ceruzkou v zošite. Docela sakra pohodlné.
Zostáva vypočítať elementárny limit a zistiť súčet sérií: 
Odpoveď:
Podobná séria pre nezávislé riešenie:
Príklad 4
Vypočítajte súčet sérií 
Približný príklad dokončenia riešenia na konci hodiny.
Je zrejmé, že zistenie súčtu sérií je samo osebe dôkazom jej konvergencie (okrem porovnávacie znaky, D'Alembert, Cauchy a iní), čo naznačuje najmä znenie tejto úlohy:
Príklad 5
Nájdite súčet sérií alebo určte ich odlišnosť 
Podľa vzhľadu spoločného člena môžete okamžite zistiť, ako sa tento súdruh správa. Žiadne komplexy. Skrz obmedzujúce porovnávacie kritérium je ľahké zistiť (aj verbálne), že daná séria sa bude zbiehať spolu so sériou. Máme ale pred sebou ojedinelý prípad, keď sa suma počíta aj bez väčších problémov.
Rozhodnutie: rozšíriť menovateľa zlomku na produkt. Z tohto dôvodu sa musíte rozhodnúť kvadratická rovnica:
Touto cestou:
Je lepšie usporiadať faktory vzostupne :.
Urobme strednú kontrolu:
Ok
Spoločný výraz série teda: 
Touto cestou: 
Nie sme leniví:
Čo je to, čo bolo potrebné skontrolovať
Zapíšme čiastočný súčet „en“ členov série, pričom venujeme pozornosť skutočnosti, že „počítadlo“ série „začína pracovať“ od čísla. Rovnako ako v predchádzajúcich príkladoch je bezpečnejšie kobru natiahnuť na slušnú dĺžku:
Ak však napíšeme jeden alebo dva riadky, bude stále dosť ťažké sa v pojmoch zorientovať (v každom pojme sú 3). A tu ... nám pomôže geometria. Poďme hada roztancovať podľa našej melódie: 
Áno, len tak si do zošita napíšeme jeden výraz pod druhý a preškrtneme ich len tak. Mimochodom, môj vlastný vynález. Ako ste pochopili, nie z najjednoduchšej úlohy v tomto živote \u003d)
V dôsledku odizolovania dostaneme:
A nakoniec súčet sérií:
Odpoveď:
Príklad 8
Vypočítajte súčet sérií 
Toto je príklad riešenia pre domácich majstrov.
Uvažovaný problém nás samozrejme nepoteší rozmanitosťou - v praxi sa stretávame buď s nekonečne klesajúcou geometrickou postupnosťou, alebo so sériou s frakčne racionálnym spoločným termínom a rozšíriteľným polynómom v menovateli (mimochodom, nie každý takýto polynóm umožňuje nájsť súčet sérií). Ale napriek tomu občas narazia na neobvyklé vzorky a podľa zavedenej dobrej tradície končím lekciu so zaujímavým problémom.
Načítava ...