Funkcia a štúdium jej funkcií zaberajú jednu z kľúčových kapitol modernej matematiky. Hlavnou súčasťou každej funkcie sú grafy znázorňujúce nielen jej vlastnosti, ale aj parametre derivácie tejto funkcie. Poďme sa pozrieť na túto náročnú tému. Aký je najlepší spôsob hľadania maximálneho a minimálneho bodu funkcie?
Funkcia: definícia
Akákoľvek premenná, ktorá nejako závisí od hodnôt inej veličiny, sa dá nazvať funkciou. Napríklad funkcia f (x 2) je kvadratická a určuje hodnoty pre celú množinu x. Povedzme, že x \u003d 9, potom bude hodnota našej funkcie 9 2 \u003d 81.
Funkcie majú širokú škálu foriem: logická, vektorová, logaritmická, trigonometrická, numerická a ďalšie. Do ich štúdia sa zapojili také vynikajúce mysle ako Lacroix, Lagrange, Leibniz a Bernoulli. Ich spisy slúžia ako hrádza v moderných spôsoboch štúdia funkcií. Pred nájdením minimálnych bodov je veľmi dôležité pochopiť samotný význam funkcie a jej derivácie.
Derivát a jeho úloha
Všetky funkcie závisia od ich premenných hodnôt, čo znamená, že môžu kedykoľvek zmeniť svoju hodnotu. Na grafe to bude znázornené ako krivka, ktorá klesá alebo stúpa pozdĺž súradnice (to je celá skupina čísel „y“ pozdĺž vertikály grafu). Takže definícia bodu maxima a minima funkcie je práve spojená s týmito „výkyvmi“. Poďme si vysvetliť, čo je tento vzťah.
Derivácia ľubovoľnej funkcie je vynesená do grafu s cieľom študovať jej hlavné charakteristiky a vypočítať, ako rýchlo sa funkcia mení (tj. Mení jej hodnotu v závislosti od premennej „x“). V okamihu, keď sa funkcia zvýši, zvýši sa aj graf jej derivácie, ale v ktorejkoľvek sekunde sa môže funkcia začať zmenšovať a potom sa graf derivácie zníži. Body, v ktorých derivácia prechádza od znamienka mínus do plusu, sa nazývajú minimálne body. Aby ste vedeli, ako nájsť minimum bodov, mali by ste lepšie pochopiť
Ako vypočítam derivát?
Z definície a funkcie vyplýva niekoľko pojmov z. Vo všeobecnosti možno samotnú definíciu derivácie vyjadriť nasledovne: je to hodnota, ktorá ukazuje rýchlosť zmeny funkcie.
Matematický spôsob jeho definovania sa pre mnohých študentov javí ako ťažký, ale v skutočnosti je všetko oveľa jednoduchšie. Musíte len postupovať podľa štandardného plánu na nájdenie derivácie akejkoľvek funkcie. Ďalej je popísané, ako môžete nájsť minimálny bod funkcie bez použitia pravidiel diferenciácie a bez zapamätania tabuľky derivácií.
- Deriváciu funkcie môžete vypočítať pomocou grafu. Aby ste to dosiahli, musíte vykresliť samotnú funkciu a potom na ňu vziať jeden bod (bod A na obrázku) .Nakreslite čiaru zvisle nadol na os úsečky (bod x 0) a v bode A nakreslite dotyčnicu funkčného grafu. Os úsečky a dotyčnica vytvárajú určitý uhol a. Na výpočet hodnoty, ako rýchlo sa funkcia zvyšuje, je potrebné vypočítať tangens tohto uhla a.
- Ukazuje sa, že dotyčnica uhla medzi dotyčnicou a smerom osi x je deriváciou funkcie v malom reze s bodom A. Táto metóda sa považuje za geometrický spôsob určenia derivácie.
Metódy výskumu funkcií
V školských učebných osnovách z matematiky je možné nájsť minimálny bod funkcie dvoma spôsobmi. Prvú metódu sme už analyzovali pomocou grafu, ale ako určiť číselnú hodnotu derivácie? Aby ste to dosiahli, budete sa musieť naučiť niekoľko vzorcov, ktoré popisujú vlastnosti derivácie a pomáhajú prevádzať premenné, ako napríklad „x“, na čísla. Nasledujúca metóda je univerzálna, takže ju možno použiť na takmer všetky druhy funkcií (geometrické aj logaritmické).
- Je potrebné funkciu stotožniť s derivačnou funkciou a potom výraz zjednodušiť pomocou pravidiel diferenciácie.
- V niektorých prípadoch, keď je uvedená funkcia, v ktorej je v deliteľovi premenná „x“, je potrebné určiť rozsah prípustných hodnôt, z ktorého vylúčiť bod „0“ (z jednoduchého dôvodu, že v matematike v žiadnom prípade nemôžete deliť nulou).
- Potom by ste mali pôvodnú formu funkcie previesť na jednoduchú rovnicu a celý výraz vyrovnať na nulu. Napríklad, ak funkcia vyzerala takto: f (x) \u003d 2x 3 + 38x, potom je podľa pravidiel diferenciácie jej derivát f "(x) \u003d 3x 2 +1. Potom tento výraz transformujeme do rovnice v nasledujúcom tvare: 3x 2 +1 \u003d 0 ...
- Po vyriešení rovnice a nájdení bodov „x“ by ste ich mali nakresliť na os úsečky a určiť, či je derivácia v týchto oblastiach medzi označenými bodmi kladná alebo záporná. Po označení bude zrejmé, v ktorom okamihu sa funkcia začne znižovať, to znamená, že zmení svoje znamienko z mínus na pravý opak. Týmto spôsobom môžete nájsť minimálny aj maximálny bod.
Pravidlá diferenciácie
Najzákladnejšou zložkou pri štúdiu funkcie a jej derivácie je znalosť pravidiel diferenciácie. Iba s ich pomocou je možné transformovať objemné výrazy a veľké komplexné funkcie. Poďme sa s nimi zoznámiť, je ich pomerne veľa, ale všetky sú vďaka prírodným vlastnostiam výkonových aj logaritmických funkcií veľmi jednoduché.
- Derivácia ktorejkoľvek konštanty je nula (f (x) \u003d 0). To znamená, že derivácia f (x) \u003d x 5 + x - 160 bude mať nasledujúcu formu: f "(x) \u003d 5x 4 +1.
- Derivát súčtu dvoch členov: (f + w) "\u003d f" w + fw ".
- Derivácia logaritmickej funkcie: (log a d) "\u003d d / ln a * d. Tento vzorec platí pre všetky druhy logaritmov.
- Odvodený stupeň: (x n) "\u003d n * x n-1. Napríklad (9x 2)" \u003d 9 * 2x \u003d 18x.
- Derivácia sínusovej funkcie: (sin a) "\u003d cos a. Ak je sinus uhla a 0,5, potom je jeho derivácia √3 / 2.
Extrémne body
Už sme prišli na to, ako nájsť minimálne body, ale existuje aj koncept maximálnych bodov funkcie. Ak minimum označuje body, v ktorých funkcia prechádza od znamienka mínus do plusu, potom maximálnym počtom bodov sú tie body na osi úsečky, v ktorých sa derivácia funkcie mení z plusu na opačný - mínus.
Vyššie opísanou metódou zistíte, treba mať na pamäti, že označujú tie úseky, kde sa funkcia začína zmenšovať, to znamená, že derivácia bude menšia ako nula.
V matematike je zvykom oba pojmy zovšeobecniť a nahradiť ich vetou „extrémne body“. Keď si úloha žiada určiť tieto body, znamená to, že je potrebné vypočítať deriváciu tejto funkcie a nájsť minimálny a maximálny počet bodov.
hodnotu
Najväčší
hodnotu
Najmenej
Maximálny bod
Minimálny bod
Problémy s nájdením krajných bodov funkcie sa riešia podľa štandardnej schémy v 3 krokoch.
Krok 1... Nájdite deriváciu funkcie
- Zapamätajte si vzorce pre deriváciu elementárnych funkcií a základné pravidlá diferenciácie, aby ste našli deriváciu.
y ′ (x) \u003d (x3−243x + 19) ′ \u003d 3x2−243.
Krok 2... Nájdite nuly derivácie
- Vyriešte výslednú rovnicu a nájdite nuly derivácie.
3x2−243 \u003d 0⇔x2 \u003d 81⇔x1 \u003d −9, x2 \u003d 9.
Krok 3... Nájdite extrémne body
- Na určenie znakov derivácie použite metódu medzery;
- V minimálnom bode sa derivácia rovná nule a mení znamienko od mínus do plus a v maximálnom bode - od plus do mínus.
Poďme týmto prístupom vyriešiť nasledujúci problém:
Nájdite maximálny bod funkcie y \u003d x3−243x + 19.
1) Nájdite deriváciu: y ′ (x) \u003d (x3−243x + 19) ′ \u003d 3x2−243;
2) Vyriešte rovnicu y '(x) \u003d 0: 3x2−243 \u003d 0⇔x2 \u003d 81⇔x1 \u003d −9, x2 \u003d 9;
3) Derivát je pozitívny pre x\u003e 9 a x<−9 и отрицательная при −9 Ako nájsť najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie Vyriešiť problém hľadania najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie nevyhnutné: Pomáha pri mnohých úlohách veta: Ak je v segmente iba jeden krajný bod, a to je minimálny bod, potom sa tam dosiahne najmenšia hodnota funkcie. Ak je toto maximálny bod, potom sa tam dosiahne najvyššia hodnota. 14. Pojem a základné vlastnosti neurčitého integrálu. Ak je funkcia f(x Xa k Je teda číslo V skratke: konštanta môže byť vyňatá z integrálneho znamienka. Ak funkcie f(x) a g(x) majú na intervale primitívne látky X potom V skratke: integrál súčtu sa rovná súčtu integrálov. Ak je funkcia f(x) má na intervale primitívne funkcie X , potom pre vnútorné body tohto intervalu: V skratke: derivácia integrálu sa rovná celému číslu. Ak je funkcia f(x) je spojitý na intervale X a je diferencovateľný vo vnútorných bodoch tohto intervalu, potom: V skratke: integrál diferenciálu funkcie sa rovná tejto funkcii plus konštanta integrácie. Dajme presnú matematickú definíciu neurčité integrálne pojmy. Milý výraz sa nazýva integrál funkcie f (x)
kde f (x)
- celé číslo, ktoré je dané (známe), dx
- diferenciál x
, so symbolom je vždy prítomný dx
. Definícia. Neurčitý integrál volal funkciu F (x) + C.
obsahujúci ľubovoľnú konštantu C.
ktorého rozdiel sa rovná integrand výraz f (x) dx
, t.j. alebo Pripomeňme, že - diferenciálna funkcia a je definovaná takto: Úloha nájsť neurčitý integrál je nájsť takúto funkciu, derivát čo sa rovná celému číslu. Táto funkcia je určená až do konštanty, pretože derivácia konštanty sa rovná nule. Napríklad je známe, že potom sa ukáže, že Hľadá sa úloha neurčitý integrál z funkcií nie je také jednoduché a ľahké, ako sa na prvý pohľad zdá. V mnohých prípadoch musí byť zručnosť v práci s neurčitý integrál, musia existovať skúsenosti, ktoré prichádzajú s praxou a s neustálymi riešenie príkladov neurčitých integrálov. Stojí za zváženie skutočnosť, že neurčitý integrálniektoré funkcie (je ich veľa) sa neberú v elementárnych funkciách. 15. Tabuľka základných neurčitých integrálov. Základné vzorce 16. Definitívny integrál ako hranica integrálneho súčtu. Geometrický a fyzikálny význam integrálu. Nech je na segmente [a; definovaná funkcia y \u003d ƒ (x). b] a< b. Выполним следующие действия. 1. Pomocou bodov x 0 \u003d a, x 1, x 2, ..., x n \u003d B (x 0 2. V každom čiastočnom segmente, i \u003d 1,2, ..., n, zvoľte ľubovoľný bod s i є a vypočítajte hodnotu funkcie v ňom, to znamená hodnotu ƒ (s i). 3. Vynásobte nájdenú hodnotu funkcie ƒ (s i) dĺžkou ∆x i \u003d x i -x i-1 zodpovedajúceho parciálneho segmentu: ƒ (s i) ∆x i. 4. Zostavme súčet S n všetkých týchto produktov: Súčet tvaru (35.1) sa nazýva integrálny súčet funkcie y \u003d ƒ (x) na intervale [a; b]. Nech λ označuje dĺžku najväčšieho čiastkového segmentu: λ \u003d max ∆x i (i \u003d 1,2, ..., n). 5. Nájdeme hranicu integrálneho súčtu (35.1) ako n → ∞ tak, aby λ → 0. Ak má v tomto prípade integrálny súčet S n limit I, ktorý nezávisí od spôsobu rozdelenia segmentu [a; b] na čiastkové úseky, alebo z výberu bodov v nich, potom sa číslo I nazýva určitý integrál funkcie y \u003d ƒ (x) na úsečke [a; b] a označuje sa takto Čísla a a b sa nazývajú dolná a horná hranica integrácie, ƒ (x) - celé číslo, ƒ (x) dx - celé číslo, x - integračná premenná, segment [a; b] - oblasť (segment) integrácie. Funkcia y \u003d ƒ (x), pre ktorú na segmente [a; b] v tomto intervale je určitý integrál, ktorý sa nazýva integrovateľný. Poďme si teraz sformulovať vetu o existencii určitého integrálu. Veta 35.1 (Cauchy). Ak je funkcia y \u003d ƒ (x) spojitá na segmente [a; b], potom určitý integrál Upozorňujeme, že kontinuita funkcie je dostatočnou podmienkou pre jej integrovateľnosť. Definitívny integrál však môže existovať aj pre niektoré diskontinuálne funkcie, najmä pre každú funkciu ohraničenú intervalom, ktorá má na sebe konečný počet bodov diskontinuity. Uveďme niektoré vlastnosti určitého integrálu, ktoré priamo vyplývajú z jeho definície (35.2). 1. Definitívny integrál je nezávislý od označenia premennej integrácie: To vyplýva zo skutočnosti, že integrálna suma (35.1) a následne jej hranica (35.2) nezávisia od toho, ktoré písmeno označuje argument tejto funkcie. 2. Definitívny integrál s rovnakými limitmi integrácie sa rovná nule: 3. Za akékoľvek reálne číslo c. 17. Vzorec Newton-Leibniz. Základné vlastnosti určitého integrálu. Nechajte funkciu y \u003d f (x) kontinuálne v danom segmente
a F (x) je teda jedným z primitívov funkcie v tomto segmente newton-Leibnizov vzorec: Newton-Leibnizov vzorec sa nazýva základný vzorec integrálneho počtu. Aby sme dokázali Newton-Leibnizov vzorec, potrebujeme koncept integrálu s variabilnou hornou hranicou. Ak je funkcia y \u003d f (x) kontinuálne v danom segmente
, potom pre argument je integrál formulára funkciou hornej hranice. Túto funkciu označujeme Skutočne zapíšeme prírastok funkcie zodpovedajúci prírastku argumentu a použijeme piatu vlastnosť určitého integrálu a dôsledok desiatej vlastnosti: Túto rovnosť prepisujeme na Poďme vypočítať F (a)pomocou prvej vlastnosti určitého integrálu: preto ,. Tento výsledok použijeme pri výpočte F (b):, t.j. Prírastok funkcie sa zvyčajne označuje ako Aby sme mohli použiť Newton-Leibnizov vzorec, musíme poznať jedno z anti-negatívnych činiteľov y \u003d F (x) integrand funkcia y \u003d f (x) na segmente
a vypočítajte prírastok tohto primitívneho faktora pre tento segment. V článku sú analyzované metódy integrácie týkajúce sa hlavných spôsobov hľadania výhody. Tu je niekoľko príkladov výpočtu určitých integrálov pomocou objasnenia pomocou Newton-Leibnizovho vzorca. Príklad. Vypočítajte hodnotu určitého integrálu pomocou Newton-Leibnizovho vzorca. Rozhodnutie. Na začiatok si uvedomte, že celé číslo je v segmente spojité
, je preto integrovateľná. (O integrovateľných funkciách sme hovorili v časti o funkciách, pre ktoré existuje určitý integrál). Z tabuľky neurčitých integrálov je zrejmé, že pre funkciu je množina antiderivátov pre všetky skutočné hodnoty argumentu (a teda pre) napísaná ako Teraz zostáva použiť Newton-Leibnizov vzorec na výpočet určitého integrálu: 18. Geometrické aplikácie určitého integrálu. GEOMETRICKÉ APLIKÁCIE URČITÉHO INTEGRÁLU Výpočet objemu tela Výpočet objemu tela zo známych oblastí rovnobežných rezov: Objem rotačného telesa :; ... Príklad 1... Nájdite plochu postavy ohraničenú krivkou y \u003d sinx, priame čiary Rozhodnutie: Nájdite oblasť obrázku: Príklad 2... Vypočítajte plochu tvaru ohraničeného čiarami Rozhodnutie: Nájdeme úsečky priesečníkov grafov týchto funkcií. Aby sme to dosiahli, riešime sústavu rovníc Odtiaľto nájdeme x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2,5. 19. Pojem diferenciálnych ovládacích prvkov. Diferenciálne rovnice prvého rádu. Diferenciálnej rovnice - rovnica spájajúca hodnotu derivácie funkcie s funkciou samotnou, hodnotami nezávislej premennej, číslami (parametrami). Poradie derivátov zahrnutých v rovnici môže byť odlišné (formálne nie je ničím obmedzené). Deriváty, funkcie, nezávislé premenné a parametre je možné zahrnúť do rovnice v rôznych kombináciách alebo všetky, okrem minimálne jednej derivácie, môžu úplne chýbať. Nie každá rovnica obsahujúca deriváty neznámej funkcie je diferenciálnou rovnicou. Napríklad Parciálne diferenciálne rovnice (PDE) sú rovnice obsahujúce neznáme funkcie viacerých premenných a ich parciálnych derivácií. Všeobecnú formu týchto rovníc môžeme charakterizovať ako: kde sú nezávislé premenné a je funkciou týchto premenných. Poradie parciálnych diferenciálnych rovníc je možné určiť rovnakým spôsobom ako v prípade bežných diferenciálnych rovníc. Ďalšou dôležitou klasifikáciou parciálnych diferenciálnych rovníc je ich rozdelenie na rovnice eliptického, parabolického a hyperbolického typu, najmä pre rovnice druhého rádu. Obyčajné diferenciálne rovnice aj parciálne diferenciálne rovnice možno rozdeliť na lineárny a nelineárny... Diferenciálna rovnica je lineárna, ak neznáma funkcia a jej deriváty vstupujú do rovnice iba do prvého stupňa (a nie sú navzájom znásobené). Pre takéto rovnice tvoria riešenia afinný podpriestor funkčného priestoru. Teória lineárneho DE je vyvinutá oveľa hlbšie ako teória nelineárnych rovníc. Celkový pohľad na lineárnu diferenciálnu rovnicu n-tá objednávka: kde p i(x) sú známe funkcie nezávislej premennej, ktoré sa nazývajú koeficienty rovnice. Funkcia r(x) vpravo sa volá voľný člen (jediný výraz nezávislý od neznámej funkcie) Dôležitou konkrétnou triedou lineárnych rovníc sú lineárne diferenciálne rovnice s konštantné koeficienty. Podtrieda lineárnych rovníc je homogénny diferenciálne rovnice - rovnice, ktoré neobsahujú voľný výraz: r(x) \u003d 0. Pre homogénne diferenciálne rovnice je splnený princíp superpozície: lineárnou kombináciou konkrétnych riešení takejto rovnice bude aj jej riešenie. Všetky ostatné lineárne diferenciálne rovnice sa nazývajú heterogénny diferenciálne rovnice. Všeobecne nelineárne diferenciálne rovnice nemajú vyvinuté metódy riešenia, s výnimkou niektorých konkrétnych tried. V niektorých prípadoch (pomocou jednej alebo druhej aproximácie) ich možno znížiť na lineárne. Napríklad lineárna rovnica harmonického oscilátora · - homogénna diferenciálna rovnica druhého rádu s konštantnými koeficientmi. Riešením je skupina funkcií, kde a sú ľubovoľné konštanty, ktoré sa pre konkrétne riešenie určujú zo samostatne určených počiatočných podmienok. Táto rovnica popisuje najmä pohyb harmonického oscilátora s cyklickou frekvenciou 3. Newtonov druhý zákon možno napísať vo forme diferenciálnej rovnice · Besselova diferenciálna rovnica je obyčajná lineárna homogénna rovnica druhého rádu s premennými koeficientmi: Jej riešením sú Besselovy funkcie. Príklad nejednotnej nelineárnej obyčajnej diferenciálnej rovnice 1. rádu: V nasledujúcej skupine príkladov neznáma funkcia u závisí od dvoch premenných x a t alebo x a r. Homogénna lineárna parciálna diferenciálna rovnica prvého rádu: Jednorozmerná vlnová rovnica - homogénna lineárna parciálna diferenciálna rovnica hyperbolického typu druhého rádu s konštantnými koeficientmi, popisuje vibráciu reťazca, ak - vychýlenie reťazca v bode so súradnicou x práve teraz ta parameter a nastavuje vlastnosti reťazca: Laplaceova rovnica v dvojrozmernom priestore je homogénna lineárna parciálna diferenciálna rovnica druhého rádu eliptického typu s konštantnými koeficientmi, ktorá vzniká pri mnohých fyzikálnych problémoch mechaniky, vedenia tepla, elektrostatiky, hydrauliky: Korteweg-de Vriesova rovnica, nelineárna parciálna diferenciálna rovnica tretieho rádu popisujúca stacionárne nelineárne vlny vrátane solitonov: 20. Diferenciálne rovnice s oddeliteľnými. Lineárne rovnice a Bernoulliho metóda. Lineárna diferenciálna rovnica prvého poriadku je rovnica, ktorá je lineárna vo vzťahu k neznámej funkcii a jej derivácii. Má to formu Najväčšia hodnota funkcie Najmenšia hodnota funkcie Ako povedal krstný otec: „Nič osobné.“ Iba deriváty! 12, je štatistická úloha považovaná za dosť ťažkú \u200b\u200ba to všetko preto, lebo chalani tento článok nečítali (vtip). Vo väčšine prípadov za to môže neopatrnosť. Úloha má dva typy: Úlohy so skúškou: Nájdite maximálny bod funkcie Nájdite minimálny bod funkcie Úlohy so skúškou: Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie v segmente [−4; -1] Odpoveď: −6 Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie v segmente Odpoveď: 11 Závery: Veta.
(nevyhnutná podmienka pre existenciu extrému) Ak je funkcia f (x) diferencovateľná v bode x \u003d x 1 a bod x 1 je krajný bod, potom derivácia funkcie v tomto bode zanikne. Dôkazy.
Predpokladajme, že funkcia f (x) má maximum v bode x \u003d x 1. Potom pre dostatočne malý pozitívny Dx\u003e 0 platí nasledujúca nerovnosť: Podľa definície: Tých. ak Dx®0, ale Dx<0, то f¢(x 1) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0, potom f ¢ (x 1) £ 0. A to je možné len vtedy, ak pri Dх®0 f ¢ (x 1) \u003d 0. Pre prípad, keď funkcia f (x) má v bode x 2 minimum, je veta dokázaná podobne. Veta je dokázaná. Dôsledok.
Opak nie je pravdivý. Ak sa derivácia funkcie v určitom okamihu rovná nule, neznamená to, že v tomto bode má funkcia extrém. Veľavravným príkladom je funkcia y \u003d x 3, ktorej derivácia v bode x \u003d 0 je nula, ale v tomto bode má funkcia iba inflexiu, a nie maximum alebo minimum. Definícia. Kritické body funkcie sa nazývajú body, v ktorých derivácia funkcie neexistuje alebo sa rovná nule. Vyššie uvedená veta nám dáva nevyhnutné podmienky pre existenciu extrému, ale to nestačí. Príklad: f (x) \u003d ôxô Príklad: f (x) \u003d V bode x \u003d 0 má funkcia minimum, ale v bode x \u003d 0 nemá funkcia ani jedno nemá derivát. maximum, žiadne minimum, žiadna výroba Všeobecne platí, že funkcia f (x) môže mať extrém v bodoch, kde derivácia neexistuje alebo sa rovná nule. Veta.
(Dostatočné podmienky pre existenciu extrému) Nech funkcia f (x) je spojitá v intervale (a, b), ktorý obsahuje kritický bod x 1, a je diferencovateľná vo všetkých bodoch tohto intervalu (okrem snáď samotného bodu x 1). Ak pri prechode bodom x 1 zľava doprava derivácia funkcie f ¢ (x) zmení znamienko z „+“ na „-“, potom v bode x \u003d x 1 má funkcia f (x) maximum a ak derivácia zmení znamienko z „- „On“ + “- potom má funkcia minimum. Dôkazy.
Nechaj sa Podľa Lagrangeovej vety: f (x) - f (x 1) \u003d f ¢ (e) (x - x 1), kde x< e < x 1 . Potom: 1) Ak x< x 1 , то e < x 1 ; f¢(e)>0; f ¢ (e) (x - x 1)<0, следовательно f (x) - f (x 1)<0 или f(x) < f(x 1). 2) Ak x\u003e x 1, potom e\u003e x 1 f ¢ (e)<0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно f (x) - f (x 1)<0 или f(x) < f(x 1). Pretože odpovede sú rovnaké, môžeme povedať, že f (x)< f(x 1) в любых точках вблизи х 1 , т.е. х 1 – точка максимума. Dôkaz vety o minimálnom bode je podobný. Veta je dokázaná. Na základe vyššie uvedeného môžete vypracovať jednotný postup na vyhľadanie najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie v segmente: 1) Nájdite kritické body funkcie. 2) Nájdite hodnoty funkcie v kritických bodoch. 3) Nájdite hodnoty funkcie na koncoch segmentu. 4) Vyberte spomedzi získaných hodnôt najväčšiu a najmenšiu. Skúmanie funkcie pre extrém pomocou deriváty vyšších objednávok. Nech v bode x \u003d x 1 existuje f ¢ (x 1) \u003d 0 af ¢¢ (x 1) a je spojité v nejakom susedstve bodu x 1. Veta.
Ak f ¢ (x 1) \u003d 0, potom funkcia f (x) v bode x \u003d x 1 má maximum, ak f ¢¢ (x 1)<0 и минимум, если f¢¢(x 1)>0.
Dôkazy.
Nech f ¢ (x 1) \u003d 0 a f ¢¢ (x 1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x 1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х 1 . Pretože f ¢¢ (x) \u003d (f ¢ (x)) ¢< 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х 1 , но f¢(x 1)=0, т.е. f¢(x) > 0 pri x V prípade minimálnej funkcie je veta dokázaná podobným spôsobom. Ak f ¢¢ (x) \u003d 0, potom nie je známa povaha kritického bodu. Na jeho stanovenie je potrebný ďalší výskum. Konvexnosť a konkávnosť krivky. Inflexné body. Definícia.
Konvexnosť smerujúca k oblúku hore na intervale (a, b), ak všetky jeho body ležia pod ktoroukoľvek z jeho dotyčníc v tomto intervale. Krivka otočená nahor konvexnosť sa nazýva konvexnýa volá sa krivka konvexnosť smerujúca nadol konkávne. Obrázok ukazuje ilustráciu vyššie uvedenej definície. Veta 1.
Ak je vo všetkých bodoch intervalu (a, b) druhá derivácia funkcie f (x) záporná, potom je krivka y \u003d f (x) konvexná smerom nahor (konvexná). Dôkazy.
Nech x 0 Î (a, b). V tomto bode nakreslite dotyčnicu k krivke. Krivková rovnica: y \u003d f (x); Tangenciálna rovnica: Malo by sa to dokázať. Podľa Lagrangeovej vety pre f (x) - f (x 0) :, x 0< c < x. Podľa Lagrangeovej vety pre Nech x\u003e x 0, potom x 0< c 1 < c < x. Т.к. x – x 0 > 0 a c - x 0\u003e 0 a navyše podľa stavu V dôsledku toho. Nech x< x 0 тогда x < c < c 1 < x 0 и x – x 0 < 0, c – x 0 < 0, т.к. по условию то Podobne je dokázané, že ak f ¢¢ (x)\u003e 0 na intervale (a, b), potom je krivka y \u003d f (x) konkávna na intervale (a, b). Veta je dokázaná. Definícia.
Bod oddeľujúci konvexnú časť krivky od konkávnej sa volá inflexný bod. Je zrejmé, že v inflexnom bode tečnica pretína krivku. Veta 2.
Nech je krivka definovaná rovnicou y \u003d f (x). Pokiaľ druhá derivácia f ¢¢ (a) \u003d 0 alebo f ¢¢ (a) neexistuje a pri prechode bodom x \u003d a f ¢¢ (x) mení znamienko, potom je bod krivky s úsečkou x \u003d a inflexným bodom. Dôkazy.
1) Nech f ¢¢ (x)< 0 при х < a и f¢¢(x) > 0 pre x\u003e a. Potom o x< a кривая выпукла, а при x > krivka je konkávna, t.j. bod x \u003d a - inflexný bod. 2) Nech f ¢¢ (x)\u003e 0 pre x< b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x > b - konvexné smerom nahor. Potom x \u003d b je inflexný bod. Veta je dokázaná. Asymptoty. Pri štúdiu funkcií sa často stáva, že keď sa súradnica bodu bodu krivky posunie do nekonečna, krivka sa bude neobmedzene približovať k nejakej priamke. Definícia.
Priama čiara sa nazýva asymptotakrivka, ak má vzdialenosť od variabilného bodu krivky k tejto priamke sklon k nule, keď sa bod pohybuje do nekonečna. Je potrebné poznamenať, že nie každá krivka má asymptotu. Asymptoty môžu byť rovné a šikmé. Štúdium funkcií na prítomnosť asymptot má veľký význam a umožňuje vám presnejšie určiť povahu funkcie a správanie grafu krivky. Všeobecne možno povedať, že krivka, ktorá sa blíži k svojej asymptote neurčito, ju môže pretínať, a nie v jednom bode, ako je znázornené v grafe funkcie nižšie. Uvažujme podrobnejšie o metódach hľadania asymptot kriviek. Vertikálne asymptoty. Z definície asymptoty vyplýva, že ak alebo alebo, potom priamka x \u003d a je asymptota krivky y \u003d f (x). Napríklad pre funkciu je riadok x \u003d 5 zvislý asymptot. Šikmé asymptoty. Predpokladajme, že krivka y \u003d f (x) má šikmý asymptot y \u003d kx + b. Označíme priesečník krivky a kolmicu na asymptotu - M, P - priesečník tejto kolmice s asymptotom. Uhol medzi asymptotom a osou Ox je označený ako j. Kolmo МQ na os Ox pretína asymptotu v bode N. Potom MQ \u003d y je súradnica bodu krivky, NQ \u003d je súradnica bodu N na asymptote. Podľa podmienky :, РNMP \u003d j ,. Uhol j je teda konštantný a nerovná sa 900 Potom Priamka y \u003d kx + b je teda asymptotom krivky. Na presné určenie tejto priamky je potrebné nájsť spôsob výpočtu koeficientov k a b. Vo výslednom výraze vyberieme x mimo zátvorky: Pretože х® ¥, teda Potom Pretože Upozorňujeme, že horizontálne asymptoty sú špeciálnym prípadom šikmých asymptot pri k \u003d 0. Príklad. 1) Vertikálne asymptoty: y® + ¥ x®0-0: y®- ¥ x®0 + 0, teda x \u003d 0 je vertikálny asymptot. 2) Šikmé asymptoty: Takže čiara y \u003d x + 2 je šikmý asymptot. Pozrime sa na funkciu: Príklad. Nájdite asymptoty a vytvorte graf funkcie. Priamky x \u003d 3 a x \u003d -3 sú vertikálne asymptoty krivky. Nájdite šikmé asymptoty: y \u003d 0 - horizontálny asymptot. Príklad. Nájdite asymptoty a nakreslite funkciu Priamka x \u003d -2 je vertikálny asymptot krivky. Nájdite šikmé asymptoty. Priamka y \u003d x - 4 je teda šikmý asymptot. Schéma funkčnej štúdie Proces výskumu funkcií pozostáva z niekoľkých etáp. Pre najkompletnejší obraz o chovaní funkcie a povahe jej grafu musíte nájsť: 1) Oblasť existencie funkcie. Tento koncept zahŕňa rozsah aj rozsah funkcie. 2) Hraničné hodnoty. (Ak nejaký). 3) Intervaly zvyšovania a znižovania. 4) Body maxima a minima. 5) Maximálna a minimálna hodnota funkcie v oblasti definície. 6) Oblasti konvexnosti a konkávnosti. 7) Inflexné body (ak existujú). 8) Asymptoty. (Ak existujú). 9) Vytvorenie grafu. Zvážme použitie tejto schémy na príklade. Príklad. Preskúmajte funkciu a nakreslite ju. Vyhľadajte oblasť existencie funkcie. Je to zrejmé rozsah funkciou je doména (- ¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥). Na druhej strane je vidieť, že riadky x \u003d 1, x \u003d -1 sú vertikálne asymptoty nepoctivý. Rozsah hodnôttouto funkciou je interval (- ¥; ¥). Body zlomu funkciami sú body x \u003d 1, x \u003d -1. Nájsť kritické body. Nájdite deriváciu funkcie Kritické body: x \u003d 0; x \u003d -; x \u003d; x \u003d -1; x \u003d 1. Nájdite druhú deriváciu funkcie Definujte konvexnosť a konkávnosť krivky v intervaloch. -¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая - < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая 1 < x < 0, y¢¢ > 0, konkávna krivka 0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая 1 < x < , y¢¢ > 0, konkávna krivka < x < ¥, y¢¢ > 0, konkávna krivka Hľadanie medzier zvyšujea ubúda funkcie. Aby sme to dosiahli, určujeme znamienka derivácie funkcie na intervaloch. -¥ < x < - , y¢ > 0, funkcia sa zvýši - < x < -1, y¢ < 0, функция убывает 1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает 0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает 1 < x < , y¢ < 0, функция убывает < x < ¥, y¢¢ > 0, funkcia sa zvýši Je vidieť, že bod x \u003d - je bod maximálne, a bod x \u003d je bod minimum... Hodnoty funkcií v týchto bodoch sú -3 / 2, respektíve 3/2. Asi vertikálne asymptoty už bolo povedané vyššie. Teraz nájdeme šikmé asymptoty. Spolu je rovnica šikmých asymptotov y \u003d x. Poďme stavať harmonogram funkcie: Funkcie viacerých premenných
Pri zvažovaní funkcií viacerých premenných sa obmedzíme na podrobný popis funkcií dvoch premenných, keďže všetky získané výsledky budú platné pre funkcie ľubovoľného počtu premenných. Definícia: Ak je každá dvojica navzájom nezávislých čísel (x, y) z množiny podľa nejakého pravidla spojená s jednou alebo viacerými hodnotami premennej z, potom sa premenná z nazýva funkciou dvoch premenných. Definícia:
Ak dvojica čísel (x, y) zodpovedá jednej hodnote z, potom sa funkcia volá jednoznačné, a ak je ich viac, potom - nejednoznačný. Definícia: Rozsah pôsobnosti funkcia z sa nazýva kolekcia párov (x, y), pre ktoré funkcia z existuje. Definícia: Blízky bodМ 0 (x 0, y 0) polomeru r sa nazýva množina všetkých bodov (x, y), ktoré vyhovujú podmienke Definícia:
Zavolá sa číslo A. limit funkcia f (x, y) ako bod M (x, y) má sklon k bodu M 0 (x 0, y 0), ak pre každé číslo e\u003e 0 existuje číslo r\u003e 0 také, že pre akýkoľvek bod M (x, y) y) pre ktoré je podmienka kondícia Zapíšu si: Definícia:
Nech bod М 0 (x 0, y 0) patrí do definičnej oblasti funkcie f (x, y). Potom sa volá funkcia z \u003d f (x, y) nepretržitý v bode М 0 (x 0, y 0), ak navyše bod M (x, y) má sklon k bodu M 0 (x 0, y 0) ľubovoľným spôsobom. Ak v určitom okamihu nie je splnená podmienka (1), potom sa tento bod volá bod zlomufunkcia f (x, y). Môže to byť v nasledujúcich prípadoch: 1) Funkcia z \u003d f (x, y) nie je definovaná v bode M 0 (x 0, y 0). 2) Neexistuje žiadny limit. 3) Tento limit existuje, ale nerovná sa f (x 0, y 0). Nehnuteľnosť.
Ak je funkcia f (x, y, ...) definovaná a spojitá v uzavretom a ohraničená doména D, potom táto doména obsahuje najmenej jeden bod N (x 0, y 0, ...), takže zvyšné body vyhovujú nerovnosti f (x 0, y 0, ...) ³ f (x, y, ...) a tiež bod N 1 (x 01, y 01, ...) taký, že pre všetky ostatné body je nerovnosť f (x 01, y 01, ...) £ f (x, y, ...) potom f (x 0, y 0, ...) \u003d M - najväčšia hodnota funkcie, a f (x 01, y 01, ...) \u003d m - najmenšia hodnotafunkcia f (x, y, ...) v doméne D. Spojitá funkcia v uzavretej a ohraničenej doméne D dosahuje najmenej raz najväčšiu hodnotu a raz najmenšiu. Nehnuteľnosť.
Ak je funkcia f (x, y, ...) definovaná a spojitá v uzavretej ohraničenej doméne D a M a m sú najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v tejto doméne, potom pre akýkoľvek bod m Î existuje bod N 0 (x 0, y 0, ...) také, že f (x 0, y 0, ...) \u003d m. Jednoducho povedané, spojitá funkcia vezme v doméne D všetky stredné hodnoty medzi M a m. Dôsledkom tejto vlastnosti je záver, že ak sú čísla M a m opačné znaky, potom v doméne D funkcia zmizne aspoň raz. Nehnuteľnosť.
Funkcia f (x, y, ...), spojitá v uzavretej ohraničenej doméne D, obmedzený v tomto regióne, ak existuje číslo K také, aby pre všetky body regiónu bola nerovnosť Nehnuteľnosť.
Ak je funkcia f (x, y, ...) definovaná a spojitá v uzavretej ohraničenej doméne D, potom je rovnomerne spojité v tejto oblasti, t.j. pre každé kladné číslo e existuje číslo D\u003e 0 také, že pre akékoľvek dva body (x 1, y 1) a (x 2, y 2) oblasti nachádzajúcej sa vo vzdialenosti menšej ako D, nerovnosť Vyššie uvedené vlastnosti sú podobné vlastnostiam funkcií jednej premennej, ktoré sú spojité v segmente. Pozrite si časť Vlastnosti funkcií, ktoré sú v segmente spojité. Deriváty a diferenciály funkcií viac premenných. Definícia.
Nech je v nejakej doméne uvedená funkcia z \u003d f (x, y). Vezmite ľubovoľný bod M (x, y) a nastavte prírastok Dx na premennú x. Potom sa zavolá veličina D x z \u003d f (x + Dx, y) - f (x, y) čiastočný prírastok funkcie v x. Môžeš písať Potom zavolal parciálna deriváciafunkcia z \u003d f (x, y) v x. Označenie: Parciálna derivácia funkcie vzhľadom na y je definovaná podobne. Geometrický významparciálna derivácia (napríklad) je dotyčnica uhla sklonu dotyčnice nakreslenej v bode N 0 (x 0, y 0, z 0) k úseku plochy rovinou y \u003d y 0. Plný prírastok a plný rozdiel.
dotyčnicová rovina Nech N a N 0 sú body daného povrchu. Nakreslíme priamku NN 0. Rovina, ktorá prechádza bodom N 0, sa volá dotyčnicová rovina k povrchu, ak má uhol medzi sekansou NN 0 a touto rovinou sklon k nule, keď vzdialenosť NN 0 má sklon k nule. Definícia. Normálnek povrchu v bode N 0 je priamka prechádzajúca bodom N 0 kolmá na dotykovú rovinu k tejto ploche. V ktoromkoľvek bode má povrch buď iba jednu dotyčnicu, alebo ju nemá vôbec. Ak je povrch daný rovnicou z \u003d f (x, y), kde f (x, y) je funkcia diferencovateľná v bode М 0 (x 0, y 0), dotyčnicová rovina v bode N 0 (x 0, y 0, ( x 0, y 0)) existuje a má rovnicu: Rovnica normály k povrchu v tomto bode je: Geometrický význam celkový diferenciál funkcie dvoch premenných f (x, y) v bode (x 0, y 0) je prírastok aplikátu (súradnice z) dotykovej roviny k povrchu pri prechode z bodu (x 0, y 0) do bodu (x 0 + Dx, y 0 + Dy). Ako vidíte, geometrický význam celkového diferenciálu funkcie dvoch premenných je priestorovým analógom geometrického významu diferenciálu funkcie jednej premennej. Príklad. Nájdite rovnice dotykovej roviny a kolmice k povrchu v bode M (1, 1, 1). Rovnica tangenciálnej roviny: Normálna rovnica: Približné výpočty pomocou celkového diferenciálu.
Celkový rozdiel funkcie u je: Presná hodnota tohto výrazu je 1,049275225687319176. Parciálne deriváty vyššieho rádu. Ak je funkcia f (x, y) definovaná v niektorej doméne D, potom budú v rovnakej doméne alebo jej časti definované aj jej parciálne derivácie. Tieto deriváty budeme nazývať parciálne deriváty prvého rádu. Deriváty týchto funkcií budú parciálne deriváty druhého rádu. Pokračovaním v diferenciácii získaných rovností získame čiastkové derivácie vyšších rádov. Z tohto článku sa čitateľ dozvie o tom, čo je extrém funkčnej hodnoty, ako aj o vlastnostiach jej použitia v praxi. Naučiť sa tento koncept je nevyhnutné pre pochopenie základov vyššej matematiky. Táto téma je základom pre hlbšie štúdium kurzu. V kontakte s V školskom kurze je uvedených veľa definícií pojmu „extrém“. Tento článok je zameraný na čo najhlbšie a najjasnejšie pochopenie pojmu pre tých, ktorí v danej veci nie sú informovaní. Pod pojmom sa rozumie, do akej miery funkčný interval získa minimálnu alebo maximálnu hodnotu na konkrétnej množine. Extrém je minimálna hodnota funkcie a zároveň maximálna hodnota. Rozlišujte medzi minimálnym a maximálnym bodom, to znamená extrémnymi hodnotami argumentu v grafe. Hlavné vedy, v ktorých sa tento koncept používa: Extrémne body hrajú dôležitú úlohu pri určovaní postupnosti danej funkcie. Súradnicový systém na grafe zobrazuje v najlepšom prípade zmenu v krajnej polohe v závislosti od zmeny funkčnosti. Existuje tiež taký jav ako „derivát“. Je potrebné určiť extrémny bod. Je dôležité nezamieňať minimálny alebo maximálny bod s najvyššou a najnižšou hodnotou. Ide o rôzne pojmy, aj keď sa môžu zdať podobné. Hodnota funkcie je hlavným faktorom pri určovaní toho, ako nájsť maximálny bod. Derivát sa netvorí z hodnôt, ale výlučne z jeho krajnej polohy v jednom alebo druhom poradí. Samotná derivácia sa určuje na základe údajov extrémnych bodov, a nie najvyššej alebo najnižšej hodnoty. Na ruských školách nie je jasne stanovená hranica medzi týmito dvoma konceptmi, čo ovplyvňuje pochopenie tejto témy vo všeobecnosti. Pozrime sa teraz na niečo také ako „akútny extrém“. Dnes sa rozlišuje ostrá minimálna hodnota a akútna maximálna hodnota. Definícia je uvedená v súlade s ruskou klasifikáciou kritických bodov funkcie. Koncept extrémnych bodov je jadrom hľadania kritických bodov na mape. Pri definovaní takéhoto konceptu sa treba uchýliť k použitiu Fermatovej vety. Je najdôležitejšia pri štúdiu extrémnych bodov a poskytuje jasnú predstavu o ich existencii v tej či onej podobe. Pre zaistenie extrémnosti je dôležité vytvoriť určité podmienky pre zníženie alebo zvýšenie v grafe. Ak chcete presne odpovedať na otázku „ako nájsť maximálny bod“, musíte postupovať podľa nasledujúcich ustanovení: Pozor!Hľadanie kritického bodu funkcie je možné iba vtedy, ak existuje derivácia najmenej druhého rádu, ktorá je zabezpečená veľkým podielom prítomnosti extrémneho bodu. Aby existoval extrém, je dôležité, aby existoval minimálny aj maximálny počet bodov. Ak sa toto pravidlo dodržiava iba čiastočne, je porušená podmienka existencie extrému. Každá funkcia v ktorejkoľvek polohe musí byť odlíšená, aby bolo možné odhaliť jej nové významy. Je dôležité si uvedomiť, že prípad zmiznutia bodu nie je základným princípom hľadania diferencovateľného bodu. Ostrý extrém, rovnako ako minimum funkcie, je mimoriadne dôležitým aspektom riešenia matematickej úlohy pomocou extrémnych hodnôt. Pre lepšie pochopenie tohto komponentu je dôležité pri určovaní funkčnosti odkazovať na hodnoty tabuľky. 2. Nájdenie bodov zlomu, extrému a priesečníka so súradnicovými osami. 3. Proces určovania zmien polohy na grafe. 4. Stanovenie exponenta a smeru konvexnosti a konvexnosti s prihliadnutím na prítomnosť asymptot. 5. Vytvorenie kontingenčnej tabuľky štúdie z hľadiska určenia jej súradníc. 6. Nájdenie intervalov zvyšovania a znižovania extrémnych a ostrých bodov. 7. Stanovenie konvexnosti a konkávnosti krivky. 8. Vytvorenie grafu na základe štúdie vám umožní nájsť minimum alebo maximum. Učitelia škôl často nevenujú maximálnu pozornosť tak dôležitému aspektu, ktorým je hrubé porušenie vzdelávacieho procesu. K vykresleniu grafu dochádza až po výsledkoch štúdia funkčných údajov, určení ostrých extrémov, ako aj bodov na grafe. Ostré extrémy derivácie funkcie sú vynesené na graf presnej hodnoty pomocou štandardného postupu stanovenia asymptotov. Maximálny a minimálny bod funkcie sprevádza zložitejšie vykreslenie. Je to z dôvodu hlbšej potreby riešenia problému akútneho extrému. Je tiež potrebné nájsť deriváciu komplexnej a jednoduchej funkcie, pretože toto je jeden z najdôležitejších konceptov extrémnych problémov. Ak chcete zistiť vyššie uvedenú hodnotu, musíte dodržiavať nasledujúce pravidlá: Používajú sa aj pojmy ako slabá nízka a silná nízka. Toto je potrebné vziať do úvahy pri určovaní extrému a jeho presnom výpočte. Ostrou funkcionalitou je zároveň vyhľadávanie a vytváranie všetkých potrebných podmienok pre prácu s funkčným grafom.
Funkcia sa volá primitívna funkcia ... Antiderivát funkcie sa určuje až do konštantnej hodnoty.
, tu je ľubovoľná konštanta.
.
, a táto funkcia je nepretržitá a rovnaká 
.
kde.
... Ak si spomenieme na definíciu derivácie funkcie a prejdeme k limitu na, dostaneme. To znamená, že je to jeden z primitívnych funkcií y \u003d f (x) na segmente
... Teda množina všetkých primitívnych látok F (x) možno napísať ako, kde ZO Je ľubovoľná konštanta.
... Táto rovnosť dáva osvedčený Newton-Leibnizov vzorec .
... Použitím tejto notácie bude mať Newton-Leibnizov vzorec formu.
... Vezmite si primitívne liečivo pre C \u003d 0: .
. Obdĺžniková S.K. Funkcia, uvedená parametricky Polyarnaya S.K.
Výpočet plôch plošných útvarov
Výpočet dĺžky oblúka rovinnej krivky
Výpočet povrchovej plochy otáčania
nie je diferenciálna rovnica.
možno považovať za aproximáciu nelineárnej rovnice matematického kyvadla 
pre prípad malých amplitúd, keď r ≈ hriech r.
Kde m - telesná hmotnosť, x - jeho súradnica, F(x, t) je sila pôsobiaca na telo so súradnicou x práve teraz t... Jeho riešením je dráha telesa pod pôsobením určenej sily.
Hodnoty funkcií a maximálny a minimálny bod
Ako postupovať v týchto prípadoch? Nájdite najvyšší / najnižší bod
Máte pravdu, najskôr sa funkcia zvyšuje, potom klesá - to je maximálny bod!
Odpoveď: −15 
Odpoveď: −2 Nájdite najväčšiu / najmenšiu hodnotu funkcie
y y
o
... Jeho šikmá asymptota je y \u003d x.
.
odkedy b \u003d potom teda 
.
, V dôsledku toho
.
potom 
, V dôsledku toho
.
.
.
.
(1)
.
.
Čo je to extrém?
Derivátové extrémy
Nevyhnutná podmienka pre extrém funkcie
Kompletné štúdium významu
Vynesenie hodnoty
1. Určenie bodov stúpajúcich a klesajúcich hodnôt.
Hlavným prvkom, keď je potrebné pracovať s extrémami, je presná konštrukcia jeho grafu.
Funkčný extrém
Načítava ...