transcendentálne číslo. Čo je transcendencia alebo prečo sa nemôžeme poznať Transcendentné číslo e

Iľja Ščurov

Matematik Ilya Shchurov o desatinných zlomkoch, transcendencii a iracionalite Pi.

Ako ten „jeden“ pomohol vybudovať prvé mestá a veľké ríše? Ako ste inšpirovali vynikajúce mysle ľudstva? Akú úlohu zohrala pri vzniku peňazí? Ako sa „jedna“ spojila s nulou, aby vládla modernom svete? História jednotky je neoddeliteľne spojená s históriou európskej civilizácie. Terry Jones sa vydáva na humornú cestu, aby poskladal úžasný príbeh nášho prvočísla. Pomocou počítačovej grafiky v tomto programe jednotka ožíva rôznymi spôsobmi. Z histórie jednotky je jasné, odkiaľ sa vzali moderné čísla a ako nás vynález nuly zachránil od toho, aby sme dnes museli používať rímske číslice.

Jacques Cesiano

O Diofantovi vieme málo. Zdá sa, že žil v Alexandrii. Žiaden grécky matematik ho pred 4. storočím nespomína, takže žil pravdepodobne v polovici 3. storočia. Najviac hlavná práca Diophantus, „Aritmetika“ (Ἀριθμητικά), sa odohrala na začiatku 13 „kníh“ (βιβλία), t.j. kapitol. Dnes ich máme 10, a to: 6 v gréckom texte a 4 ďalšie v stredovekom arabskom preklade, ktorých miesto je uprostred gréckych kníh: knihy I-III v gréčtine, IV-VII v arabčine, VIII-X po grécky . „Aritmetika“ Diophantusa je predovšetkým súbor problémov, celkovo ich je asi 260. V skutočnosti neexistuje žiadna teória; v úvode knihy sú len všeobecné pokyny a v prípade potreby špecifické poznámky k niektorým problémom. „Aritmetika“ už má črty algebraického pojednania. Prvý si Diophantus užíva rôzne znamenia, na vyjadrenie neznámeho a jeho právomocí, aj niektoré výpočty; ako všetka algebraická symbolika stredoveku, jej symbolika pochádza z matematických slov. Potom Diophantus vysvetľuje, ako vyriešiť problém algebraickým spôsobom. Diofantinove problémy však nie sú algebraické v obvyklom zmysle, pretože takmer všetky sú redukované na riešenie neurčitej rovnice alebo sústavy takýchto rovníc.

George Shabat

Program kurzu: História. Prvé hodnotenia. Problém súmernosti obvodu kruhu s jeho priemerom. Nekonečné rady, produkty a iné výrazy pre π. Konvergencia a jej kvalita. Výrazy obsahujúce π. Sekvencie, ktoré rýchlo konvergujú k π. Moderné metódy na výpočet π, použitie počítačov. O iracionalite a transcendencii π a niektorých ďalších čísel. Na pochopenie kurzu nie sú potrebné žiadne predchádzajúce znalosti.

Vedci z Oxfordskej univerzity uviedli, že prvé známe použitie čísla 0 na označenie absencie hodnoty miesta (ako v čísle 101) možno nájsť v texte indického rukopisu Bakhshali.

Vasilij Pispanen

Kto v detstve nehral hru „vymenuj najväčšie číslo“? Už teraz je ťažké predstaviť si milióny, bilióny a iné „-ony“ v mysli, ale pokúsime sa rozoznať „mastodonta“ v matematike – Grahamovo číslo.

Viktor Kleptsyn

Reálne číslo možno ľubovoľne presne aproximovať racionálnymi číslami. A ako dobré môže byť takéto priblíženie v porovnaní s jeho zložitosťou? Napríklad prerušenie desiatkového zápisu čísla x at k-tá číslica za desatinnou čiarkou dostaneme aproximáciu x≈a/10^k s chybou rádovo 1/10^k. A vo všeobecnosti, ak zafixujeme menovateľa q aproximačného zlomku, určite dostaneme aproximáciu s chybou rádovo 1/q. A dá sa to urobiť lepšie? Známa aproximácia π≈22/7 dáva chybu rádovo 1/1000, čo je jednoznačne oveľa lepšie, ako by sa dalo očakávať. A prečo? Máme šťastie, že π má takúto aproximáciu? Ukazuje sa, že pre každé iracionálne číslo existuje nekonečne veľa zlomkov p/q, ktoré ho aproximujú lepšie ako 1/q^2. Toto tvrdí Dirichletova veta – a kurz začneme trochu neštandardným dôkazom.

V roku 1980 Guinessova kniha rekordov zopakovala Gardnerove tvrdenia, čo ešte viac podporilo záujem verejnosti o toto číslo. Grahamovo číslo je nepredstaviteľne mnohonásobne väčšie ako iné známe veľké čísla, ako je googol, googolplex a ešte viac ako Skewesovo číslo a Moserovo číslo. V skutočnosti je celý pozorovateľný vesmír príliš malý na to, aby obsahoval bežné desatinné vyjadrenie Grahamovho čísla.

Dmitrij Anosov

Prednášky číta Anosov Dmitrij Viktorovič, doktor fyzikálnych a matematických vied, profesor, akademik Ruskej akadémie vied. Letná škola "Moderná matematika", Dubna. 16.-18.júl 2002

Na túto otázku nie je možné správne odpovedať, pretože číselný rad nemá hornú hranicu. K akémukoľvek číslu teda stačí pridať jedno a dostanete ešte väčšie číslo. Hoci samotné čísla sú nekonečné, nemajú príliš veľa vlastných mien, pretože väčšina z nich sa uspokojí s menami zloženými z menších čísel. Je jasné, že v konečnom súbore čísel, ktoré ľudstvo ocenilo vlastným menom, musí byť nejaké najväčšie číslo. Ako sa však volá a čomu sa rovná? Skúsme na to prísť a zároveň zistiť, na aké veľké čísla prišli matematici.

čo nám pre a = 1 slúžilo na určenie súčtu geometrickej postupnosti. Za predpokladu, že Gaussova veta bola dokázaná, predpokladáme, že a = a 1 je koreň rovnice (17), takže

	) = a n + a		a n-1			a n-2		a 1 + a

Odčítaním tohto výrazu od f(x) a preskupením členov dostaneme identitu

f(x) = f(x) − f(a1 ) = (xn − an 1 ) + an−1 (xn−1 − a n 1 −1 ) + . . . + a1 (x - a1).

(21) Teraz pomocou vzorca (20) môžeme extrahovať faktor x − a 1 z každého člena a potom ho vyňať zo zátvorky a stupeň polynómu, ktorý zostane v zátvorkách, bude už o jeden menší. Opätovným preusporiadaním podmienok získame identitu

f(x) = (x − a1 )g(x),

kde g(x) je polynóm stupňa n − 1:

g(x) = xn−1 + bn−2 xn−2 +. . . + b1 x + b0 .

(Výpočet koeficientov označených b nás tu nezaujíma.) Aplikujme rovnaký argument ďalej na polynóm g(x). Podľa Gaussovej vety existuje koreň a2 rovnice g(x) = 0, takže

g(x) = (x − a2 )h(x),

kde h(x) je nový polynóm stupňa už n − 2. Zopakovaním týchto argumentov n − 1-krát (samozrejme je implikované uplatnenie princípu matematickej indukcie) sa nakoniec dostaneme k rozkladu

f(x) = (x − a1 )(x − a2 ) . . . (x − an ).

Z identity (22) vyplýva nielen to, že komplexné čísla a1 , a2 ,

A sú korene rovnice (17), ale aj skutočnosť, že rovnica (17) nemá žiadne iné korene. Ak by totiž číslo y bolo koreňom rovnice (17), potom by to vyplývalo z (22).

f(y) = (y − a1 )(y − a2 ) . . . (y − an ) = 0.

Ale videli sme (s. 115), že súčin komplexných čísel je nula práve vtedy, ak je jeden z faktorov nula. Takže jeden z faktorov y − ar sa rovná 0, t.j. y = ar , čo je to, čo bolo potrebné stanoviť.

§ 6.

1. Definícia a otázky existencie. Algebraické číslo je akékoľvek číslo x, skutočné alebo imaginárne, ktoré spĺňa nejakú algebraickú rovnicu tvaru

an xn + an-1 xn-1 +. . . + a1 x + a0 = 0 (n > 1, an 6 = 0),

130 MATEMATICKÁ NUMERICKÁ SÚSTAVA kap. II

kde čísla ai sú celé čísla. Takže napríklad číslo 2 je algebraické, pretože spĺňa rovnicu

x2 − 2 = 0.

Rovnakým spôsobom je algebraickým číslom každý koreň akejkoľvek rovnice s celočíselnými koeficientmi tretieho, štvrtého, piateho, akéhokoľvek stupňa a bez ohľadu na to, či je alebo nie je vyjadrený v radikáloch. Pojem algebraické číslo je prirodzeným zovšeobecnením pojmu racionálne číslo, ktoré zodpovedá konkrétnemu prípadu n = 1.

Nie každé reálne číslo je algebraické. Vyplýva to z nasledujúcej Cantorovej vety: množina všetkých algebraických čísel je spočítateľná. Od množstva všetkých reálne čísla nespočítateľné, potom musia nevyhnutne existovať reálne čísla, ktoré nie sú algebraické.

Naznačme jednu z metód na prepočet množiny algebraických čísel. Každá rovnica tvaru (1) je spojená s kladným celým číslom

h = |an | + |an−1 | + . . . + |a1 | + |a0 | +n,

ktorú pre stručnosť nazveme „výška“ rovnice. Pre každú pevnú hodnotu n existuje len konečný počet rovníc tvaru (1) s výškou h. Každá z týchto rovníc má najviac n koreňov. Preto môže existovať len konečný počet algebraických čísel generovaných rovnicami s výškou h; preto môžu byť všetky algebraické čísla usporiadané vo forme postupnosti, pričom najprv sú uvedené čísla generované rovnicami výšky 1, potom čísla výšky 2 atď.

Tento dôkaz, že množina algebraických čísel je spočítateľná, potvrdzuje existenciu reálnych čísel, ktoré nie sú algebraické. Takéto čísla sa nazývajú transcendentálne (z latinského transcendere - prejsť, prekonať); Euler im dal toto meno, pretože „prekračujú silu algebraických metód“.

Cantorov dôkaz existencie transcendentálnych čísel nie je konštruktívny. Teoreticky povedané, transcendentálne číslo by sa dalo zostrojiť diagonálnou procedúrou vykonanou na imaginárnom zozname desiatkových expanzií všetkých algebraických čísel; ale takýto postup nemá žiadnu praktickú hodnotu a neviedol by k číslu, ktorého rozšírenie na desatinný (alebo nejaký iný) zlomok by sa skutočne dalo zapísať. Najzaujímavejšie problémy spojené s transcendentálnymi číslami spočívajú v dokazovaní, že určité konkrétne čísla (sem patria čísla p a e, pozri s. 319–322) sú transcendentálne.

ALGEBRAICKÉ A TRANSCENDENTNÉ ČÍSLA

**2. Liouvilleova veta a konštrukcia transcendentálnych čísel. Dôkaz o existencii transcendentálnych čísel ešte pred Cantorom podal J. Liouville (1809–1862). Umožňuje skutočne zostaviť príklady takýchto čísel. Liouvillov dôkaz je zložitejší ako Cantorov, a to nie je prekvapujúce, pretože zostaviť príklad je vo všeobecnosti zložitejšie ako dokázať existenciu. Pri uvádzaní Liouvillovho dôkazu nižšie máme na mysli iba trénovaného čitateľa, hoci znalosť elementárnej matematiky úplne postačuje na pochopenie dôkazu.

Ako zistil Liouville, iracionálne algebraické čísla majú tú vlastnosť, že ich nemožno aproximovať racionálnymi číslami s veľmi vysokým stupňom presnosti, pokiaľ nie sú menovatele aproximačných zlomkov extrémne veľké.

Predpokladajme, že číslo z spĺňa algebraickú rovnicu s celočíselnými koeficientmi

f(x) = a0 + a1 x + a2 x2 +. . . + an xn = 0 (an 6 = 0),

ale nespĺňa rovnakú rovnicu nižšieho stupňa. Potom

povedzme, že samotné x je algebraické číslo stupňa n. Napríklad,

číslo z = 2 je algebraické číslo stupňa 2, pretože spĺňa rovnicu x2 − 2 = 0√ stupňa 2, ale nespĺňa rovnicu prvého stupňa; číslo z = 3 2 je stupňa 3, pretože spĺňa rovnicu x3 − 2 = 0, ale nespĺňa (ako ukážeme v kapitole III) rovnicu nižšieho stupňa. Algebraické číslo stupňa n > 1

nemôže byť racionálne, keďže racionálne číslo z = p q spĺňa

spĺňa rovnicu qx − p = 0 stupňa 1. Každé iracionálne číslo z možno aproximovať s ľubovoľným stupňom presnosti pomocou racionálneho čísla; to znamená, že vždy môžete zadať postupnosť racionálnych čísel

p1, p2, . . .

q 1 q 2

s neobmedzene rastúcimi menovateľmi, ktorý má vlastnosť

že

p r → z. qr

Liouvilleova veta hovorí: nech je algebraické číslo z stupňa n > 1 akékoľvek, nemôže byť aproximované racionálnym

dostatočne veľké menovatele, nerovnosť

z−p q			> qn1+1.

MATEMATICKÝ ČÍSELNÝ SYSTÉM

Dáme dôkaz tejto vety, ale najprv ukážeme, ako ju možno použiť na zostavenie transcendentálnych čísel. Zvážte číslo

z = a1 10−1! + a2 10-2! + a3 10-3! + . . . + dopoludnia · 10-m! + . . . == 0,a1 a2 000a3 00000000000000000a4 000 . . . ,

kde ai znamená ľubovoľné číslice od 1 do 9 (najjednoduchšie by bolo nastaviť všetky ai na 1) a symbol n!, ako obvykle (pozri str. 36), znamená 1 · 2 · . . . n. Charakteristickou vlastnosťou desatinného rozvoja takéhoto čísla je, že sa v ňom striedajú skupiny núl s rýchlo rastúcou dĺžkou s jednotlivými číslicami inými ako nula. Označme zm konečný desatinný zlomok získaný zobratím všetkých členov do am · 10−m! vrátane. Potom dostaneme nerovnosť

Predpokladajme, že z by bolo algebraické číslo stupňa n. Potom nastavením Liouvilleovej nerovnosti (3) p q = zm = 10 p m! , musíme mať

|z - zm | > 10(n+1)m!

na dosť veľké hodnoty m. Porovnanie poslednej nerovnosti s nerovnicou (4) dáva

10(n+1)m!		10 (m+1)!			10(m+1)!-1

odkiaľ nasleduje (n + 1)m! > (m + 1)! − 1 pre dostatočne veľké m. To však neplatí pre hodnoty m väčšie ako n (nech si čitateľ dá tú námahu a podrobne dokáže toto tvrdenie). Dostali sme sa do rozporu. Takže číslo z je transcendentálne.

Zostáva dokázať Liouvilleovu vetu. Predpokladajme, že z je algebraické číslo stupňa n > 1, ktoré spĺňa rovnicu (1), takže

f(zm ) = f(zm ) − f(z) = a1 (zm − z) + a2 (zm 2 − z2 ) + . . . + an (zm n − zn ).

Vydelením oboch častí zm − z a použitím algebraického vzorca

u n − v n = un−1 + un−2 v + un−3 v2 + . . . + uvn−2 + vn−1 , u − v

dostaneme:

	f(zm)	A1 + a2 (zm + z) + a3 (zm2 + zm z + z2) +. . .
	zm − z
		An (zm n-1 + ... + zn-1). (6)

ALGEBRAICKÉ A TRANSCENDENTNÉ ČÍSLA

Keďže zm má tendenciu k z, potom pre dostatočne veľké m sa racionálne číslo zm bude líšiť od z o menej ako jedna. Preto pre dostatočne veľké m môžeme urobiť nasledujúci hrubý odhad:

	f(zm)		< |a1 | + 2|a2 |(|z| + 1) + 3|a3 |(|z| + 1)2
zm − z

N|an |(|z| + 1)n−1 = M, (7)

navyše číslo M vpravo je konštantné, keďže z sa pri dokazovaní nemení. Vyberme teraz m také veľké, že

zlomok z m = p m má menovateľ q m bol väčší ako M; Potom qm

|z - zm | >	|f(zm )|			|f(zm )|

|f(zm )| =							-qn
							1 p + . . . + a
Racionálne číslo zm =			nemôže byť koreňom rovnice

odvtedy by bolo možné extrahovať faktor (x − zm ) z polynómu f(x), a preto by z vyhovovalo rovnici stupňa nižšieho ako n. Takže f(zm ) 6= 0. Ale čitateľ na pravej strane rovnosti (9) je celé číslo, a preto sa v absolútnej hodnote rovná aspoň jednej. Z porovnania vzťahov (8) a (9) teda vyplýva nerovnosť

|z - zm | >
					qn+1

čo je práve obsahom naznačenej vety.

Za posledných niekoľko desaťročí pokročil výskum o možnosti aproximácie algebraických čísel racionálnymi oveľa ďalej. Napríklad nórsky matematik A. Thue (1863–1922) zistil, že v Liouvilleovej nerovnosti (3) možno exponent n + 1 nahradiť menším exponentom n 2 + 1.

K. L. Siegel ukázal, že je možné brať aj menšie (ešte menšie

pre väčšie n) exponent 2 n.

Transcendentálne čísla boli vždy témou, ktorá priťahuje pozornosť matematikov. Ale až do pomerne nedávnej doby bolo medzi číslami, ktoré sú samy osebe zaujímavé, len veľmi málo známych, ktorých transcendentálny charakter bolo možné preukázať. (Z transcendencie čísla p, o ktorom bude reč v kapitole III, vyplýva nemožnosť kvadratúry kruhu pomocou pravítka a kružidla.) David Hilbert vo svojom prejave na medzinárodnom kongrese matematikov v Paríži v roku 1900 navrhol tridsať matematických

ALGEBRA množín

problémy, ktoré pripúšťajú jednoduchú formuláciu, niektoré dokonca celkom elementárne a populárne, z ktorých nielenže neboli vyriešené, ale dokonca sa zdali byť vyriešené pomocou matematiky tej doby. Tieto „Hilbertove problémy“ mali silný stimulačný účinok počas celého nasledujúceho obdobia vo vývoji matematiky. Takmer všetky boli postupne vyriešené a v mnohých prípadoch bolo ich riešenie spojené s jasným pokrokom vo vývoji všeobecnejších a hlbších metód. Jeden problém, ktorý vyzeral dosť beznádejne, bol

dôkaz, že číslo

je transcendentné (alebo aspoň iracionálne). Počas troch desaťročí nebol z nikoho ani náznak takého prístupu k problematike, ktorý by otvoril nádej na úspech. Napokon Siegel a nezávisle od neho aj mladý ruský matematik A. Gelfond objavili nové metódy na dokázanie transcendencie mnohých

čísla, ktoré sú dôležité v matematike. Najmä bolo stanovené

transcendencia nielen Hilbertovho čísla 2 2 , ale aj pomerne rozsiahlej triedy čísel tvaru ab , kde a je algebraické číslo iné ako 0 a 1 a b je iracionálne algebraické číslo.

DODATOK KU KAPITOLE II

Algebra množín

1. Všeobecná teória. Pojem triedy, zbierky alebo množiny objektov je jedným z najzákladnejších v matematike. Množina je definovaná nejakou vlastnosťou (“atribútom”) A, ktorú musí mať alebo nemá mať každý predmet, ktorý sa uvažuje; tie objekty, ktoré majú vlastnosť A tvoria množinu A. Ak teda uvažujeme celé čísla a vlastnosťou A je „byť prvočíslo“, potom zodpovedajúca množina A pozostáva zo všetkých prvočísel 2, 3, 5, 7, . . .

Matematická teória množín vychádza z toho, že z množín možno pomocou určitých operácií vytvárať nové množiny (tak ako sa nové čísla získavajú z čísel operáciami sčítania a násobenia). Štúdium operácií na množinách je predmetom „množinovej algebry“, ktorá má veľa spoločného s bežnou numerickou algebrou, hoci sa od nej v niečom líši. Skutočnosť, že algebraické metódy možno použiť na štúdium nenumerických objektov, ako sú množiny, je názorná.

ALGEBRA množín

ukazuje veľkú všeobecnosť myšlienok modernej matematiky. Nedávno sa ukázalo, že množinová algebra vrhá nové svetlo na mnohé oblasti matematiky, napríklad teóriu miery a teóriu pravdepodobnosti; je užitočná aj pri systematizácii matematických pojmov a objasňovaní ich logických súvislostí.

V nasledujúcom budem označovať určitú konštantnú množinu objektov, ktorých povaha je indiferentná a ktorú môžeme nazvať univerzálnou množinou (alebo vesmírom uvažovania) a

A, B, C,. . . budú nejaké podmnožiny I. Ak I je zbierka všetkých prirodzené čísla, potom A, povedzme, môže označovať množinu všetkých párnych čísel, B je množina všetkých nepárnych čísel, C je množina všetkých prvočísel atď. Ak I označuje množinu všetkých bodov v rovine, potom A môže byť množinou bodov vo vnútri nejakej potom kružnice, B - množina bodov vo vnútri inej kružnice atď. Je pre nás vhodné zahrnúť samotné I ako "podmnožinu", ako aj "prázdnu" množinu, ktorá neobsahuje akékoľvek prvky. Cieľom takéhoto umelého rozšírenia je zachovať pozíciu, že každej vlastnosti A zodpovedá určitá množina prvkov z I, ktoré túto vlastnosť majú. V prípade, že A je univerzálne implementovaná vlastnosť, ktorej príkladom je (ak rozprávame sa na číslach) vlastnosť splnenia triviálnej rovnosti x = x, potom zodpovedajúca podmnožina I bude sama I, keďže túto vlastnosť má každý prvok; na druhej strane, ak A je nejaká vnútorne protirečivá vlastnosť (ako x 6= x), potom zodpovedajúca podmnožina neobsahuje vôbec žiadne prvky, je „prázdna“ a je označená symbolom.

Hovoríme, že množina A je podmnožinou množiny B, skrátka „A je zahrnuté v B“, alebo „B obsahuje A“, ak v množine A nie je prvok, ktorý by nebol aj v množine B. Tento vzťah zodpovedá zápisu

A B, alebo B A.

Napríklad množina A všetkých celých čísel deliteľných 10 je podmnožinou množiny B všetkých celých čísel deliteľných 5, keďže každé číslo deliteľné 10 je deliteľné aj 5. Vzťah A B nevylučuje vzťah B A. Ak a tak či tak

To znamená, že každý prvok A je zároveň prvkom B a naopak, takže množiny A a B obsahujú presne tie isté prvky.

Vzťah A B medzi množinami v mnohých ohľadoch pripomína vzťah a 6 b medzi číslami. Predovšetkým si všimneme nasledovné

ALGEBRA množín

nasledujúce vlastnosti tohto pomeru:

1) A.

2) Ak A B a B A, potom A = B.

3) Ak A B a B C, potom A C.

Z tohto dôvodu sa vzťah A B niekedy označuje ako „relácia poradia“. Hlavný rozdiel medzi uvažovaným vzťahom a vzťahom a 6 b medzi číslami je v tom, že medzi akýmikoľvek dvoma danými (reálnymi) číslami a a b je nevyhnutne vykonaný aspoň jeden zo vzťahov a 6 b alebo b 6 a, zatiaľ čo pre vzťah A B medzi množinami podobné tvrdenie je nepravdivé. Napríklad, ak A je množina pozostávajúca z čísel 1, 2, 3,

a B je množina pozostávajúca z čísel 2, 3, 4,

potom neplatí vzťah A B ani vzťah B A. Z tohto dôvodu hovoríme, že podmnožiny A, B, C, . . . množiny I sú „čiastočne usporiadané“, kým reálne čísla a, b, c, . . .

tvoria „dobre usporiadaný“ súbor.

Všimnite si, mimochodom, z definície vzťahu A B vyplýva, že bez ohľadu na podmnožinu A množiny I,

Vlastnosť 4) sa môže zdať trochu paradoxná, ale ak sa nad tým zamyslíte, logicky presne zodpovedá presnému významu definície znaku. V skutočnosti by bol porušený iba vzťah A

V v prípade, že prázdna množina obsahovala prvok, ktorý by nebol obsiahnutý v A; ale keďže prázdna množina neobsahuje vôbec žiadne prvky, nemôže to tak byť, nech je A akékoľvek.

Teraz definujeme dve operácie na množinách, ktoré majú formálne mnohé z algebraických vlastností sčítania a násobenia čísel, hoci sú svojím vnútorným obsahom úplne odlišné od týchto aritmetických operácií. Nech A a B sú nejaké dve množiny. Zjednotenie alebo „logický súčet“ A a B sa chápe ako súbor pozostávajúci z tých prvkov, ktoré sú obsiahnuté buď v A alebo

V B (vrátane tých prvkov, ktoré sú obsiahnuté v A aj B). Táto sada je označená ako A + B. 1 „Priesečník“ alebo „logický súčin“ A a B sa chápe ako množina pozostávajúca z tých prvkov, ktoré sú obsiahnuté v A aj B. Táto množina sa označuje ako AB.2

Medzi dôležité algebraické vlastnosti operácií A + B a AB uvádzame nasledovné. Čitateľ si bude môcť overiť ich platnosť na základe definície samotných operácií:

	A + (B + C) = (A + B) + C. 9)
	A(B + C) = AB + AC.		A + (BC) = (A + B) (A + C).
	Vzťah A B je ekvivalentný každému z týchto dvoch vzťahov

Kontrola všetkých týchto zákonov je vecou tej najzákladnejšej logiky. Napríklad pravidlo 10) uvádza, že množina prvkov obsiahnutých v A alebo A je len množina A; pravidlo 12) uvádza, že množina tých prvkov, ktoré sú obsiahnuté v A a súčasne sú obsiahnuté buď v B alebo v C, sa zhoduje so množinou prvkov, ktoré sú buď obsiahnuté súčasne v A a B, alebo sú obsiahnuté súčasne v A. a C Logické uvažovanie používané pri dôkazoch tohto druhu pravidiel je vhodne ilustrované, ak súhlasíme s reprezentáciou množín A, B, C, . . . v podobe nejakých figúrok na rovine a budeme veľmi opatrní, aby sme nepremeškali niektorú z vynárajúcich sa logických možností, keď ide o prítomnosť spoločných prvkov dvoch množín alebo naopak prítomnosť v jednej množine prvkov, ktoré nie sú obsiahnuté v druhom.

ALGEBRA množín

Čitateľ nepochybne upozornil na skutočnosť, že zákony 6), 7), 8), 9) a 12) sú navonok totožné so známymi komutatívnymi, asociatívnymi a distributívnymi zákonmi bežnej algebry. Z toho vyplýva, že všetky pravidlá obyčajnej algebry, ktoré z týchto zákonov vyplývajú, platia aj v algebre množín. Naopak, zákony 10), 11) a 13) nemajú v bežnej algebre analógy a dávajú algebre množín jednoduchšiu štruktúru. Napríklad binomický vzorec v množinovej algebre sa redukuje na najjednoduchšiu rovnosť

(A + B) n = (A + B) · (A + B). . . (A + B) = A + B,

čo vyplýva zo zákona 11). Zákony 14), 15) a 17) hovoria, že vlastnosti množín a I vo vzťahu k operáciám zjednotenia a prieniku množín sú veľmi podobné vlastnostiam čísel 0 a 1 vo vzťahu k operáciám numerických operácií sčítanie a násobenie. Ale zákon 16) nemá v numerickej algebre obdobu.

Zostáva definovať ešte jednu operáciu v algebre množín. Nech A je nejaká podmnožina univerzálnej množiny I. Potom doplnok A v I je množina všetkých prvkov I, ktoré nie sú obsiahnuté v A. Pre túto množinu zavedieme označenie A0 . Takže, ak I je množina všetkých prirodzených čísel a A je množina všetkých prvočísel, potom A0 je množina pozostávajúca zo všetkých zložených čísel a čísla 1. Operácia prechodu z A do A0 , pre ktorú neexistuje analóg v bežnej algebre má nasledujúce vlastnosti:

	A + A0 = I.		AA0 = .
	0 = I.		I0 = .

23) A 00 = A.

24) Vzťah A B je ekvivalentný vzťahu B 0 A0 .

25) (A + B)o = A0BO. 26) (AB)o = Ao + B0.

Overenie týchto vlastností opäť nechávame na čitateľa.

Zákony 1)–26) sú základom algebry množín. Majú pozoruhodnú vlastnosť „duality“ v nasledujúcom zmysle:

Ak v niektorom zo zákonov 1)–26) nahradíme zodpovedajúci

(pri každom ich výskyte), potom je výsledkom opäť jeden z tých istých zákonov. Napríklad zákon 6) prechádza do zákona 7), 12) - do 13), 17) - do 16) atď. Z toho vyplýva, že každej vete, ktorú možno odvodiť zo zákonov 1) – 26) zodpovedá iná , veta "duálny", ktorý sa získa z prvého pomocou naznačených permutácií symbolov. Skutočne, od dôkazu

ch. II ALGEBRA množín 139

prvá veta pozostáva z konzistentná aplikácia(v rôznych štádiách prebiehajúceho uvažovania) niektorých zákonov 1–26), potom aplikácia „duálnych“ zákonov v zodpovedajúcich štádiách bude predstavovať dôkaz „duálnej“ vety. (Podobnú „dualitu“ v geometrii nájdete v kapitole IV.)

2. Aplikácia na matematickú logiku. Overenie zákonov algebry množín bolo založené na analýze logického významu vzťahu A B a operácií A + B, AB a A0 . Teraz môžeme tento proces zvrátiť a považovať zákony 1)–26) za základ pre „algebru logiky“. Povedzme presnejšie: tú časť logiky, ktorá sa týka množín, alebo v podstate rovnakých vlastností uvažovaných objektov, možno zredukovať na formálny algebraický systém založený na zákonoch 1)–26). Logický „podmienený vesmír“ definuje množinu I; každá vlastnosť A definuje množinu A pozostávajúcu z tých objektov v I, ktoré majú túto vlastnosť. Pravidlá na preklad bežnej logickej terminológie do stanoveného jazyka sú jasné z

nasledujúce príklady:
"Ani A ani B"			(A + B)0 alebo, čo je to isté, A0 B0
"Nie je pravda, že A aj B"			(AB)0 alebo, čo je to isté, A0 + B0
je B", alebo
"Ak A, tak B"
"Od A nasleduje B"
"Niektoré A je B"
"Nie A je B"			AB=
"Niektoré A nie sú B"			AB0 6=
"Neexistuje žiadne A"

Z hľadiska množinovej algebry má sylogizmus „Barbara“, ktorý znamená „ak každé A je B a každé B je C, potom každé A je C“, jednoduchú formu:

3) Ak A B a B C, potom A C.

Podobne „zákon protirečenia“, ktorý uvádza, že „predmet nemôže mať a zároveň nemať nejakú vlastnosť“, je napísaný takto:

20) AA 0 = ,

A „zákon vylúčeného stredu“, ktorý hovorí, že „predmet buď musí mať alebo nemusí mať nejakú vlastnosť“ je napísaný:

19) A + Ao = I.

ALGEBRA množín

S tou časťou logiky, ktorá je vyjadrená pomocou symbolov, +, · a 0 , možno teda zaobchádzať ako s formálnym algebraickým systémom podľa zákonov 1)–26). Na základe spojenia logickej analýzy matematiky a matematickej analýzy logiky vznikla nová disciplína - matematická logika, ktorá je v súčasnosti v procese prudkého rozvoja.

Z axiomatického hľadiska možno pozoruhodnú skutočnosť, že tvrdenia 1)–26), spolu so všetkými ostatnými vetami množinovej algebry, logicky odvodiť z nasledujúcich troch rovníc:

27) A + B = B + A,

(A + B) + C = A + (B + C),

(A0 + B0)0 + (A0 + B)0 = A.

Z toho vyplýva, že algebra množín môže byť skonštruovaná ako čisto deduktívna teória, podobne ako euklidovská geometria, na základe týchto troch tvrdení braných ako axiómy. Ak sú tieto axiómy prijaté, potom operácia AB a vzťah A B sú definované v podmienkach A + B a A0 :

	označuje množinu (A0 + B0 )0 ,
	B znamená, že A + B = B.

Úplne iný príklad matematického systému, v ktorom sú splnené všetky formálne zákony algebry množín, poskytuje sústava ôsmich čísel 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30: tu a + b označuje , podľa

podľa definície najmenší spoločný násobok aab, ab je najväčší spoločný deliteľ aab, ab je výrok „b je deliteľné a“ a a0 je číslo 30 a . Su-

Existencia takýchto príkladov viedla k štúdiu všeobecných algebraických systémov spĺňajúcich zákony 27). Takéto systémy sa nazývajú „Booleovské algebry“ podľa anglického matematika a logika Georga Boolea (1815 – 1864), ktorého kniha Vyšetrovanie zákonov myslenia vyšla v roku 1854.

3. Jedna z aplikácií do teórie pravdepodobnosti. Množinová algebra úzko súvisí s teóriou pravdepodobnosti a umožňuje vám pozrieť sa na ňu v novom svetle. Uvažujme o najjednoduchšom príklade: predstavme si experiment s konečným počtom možných výsledkov, pričom všetky sú považované za „rovnako možné“. Experiment môže napríklad spočívať v náhodnom ťahaní karty z dobre zamiešaného plného balíčka. Ak množinu všetkých výsledkov experimentu označíme I a A nejakú podmnožinu I, potom pravdepodobnosť, že výsledok experimentu bude patriť do podmnožiny A, je definovaná ako pomer

p(A) = počet prvkov A . počet prvkov I

ALGEBRA množín

Ak súhlasíme, že počet prvkov v nejakej množine A označíme n(A), potom posledná rovnosť môže mať tvar

V našom príklade, za predpokladu, že A je podmnožinou palíc, dostaneme
n(A) = 13, n(I) = 52 a p(A)=

Myšlienky algebry množín sa nachádzajú pri výpočte pravdepodobností, keď je potrebné, poznať pravdepodobnosti niektorých množín, vypočítať pravdepodobnosti iných. Napríklad vzhľadom na pravdepodobnosti p(A), p(B) a p(AB) môžeme vypočítať pravdepodobnosť p(A + B):

p(A + B) = p(A) + p(B) − p(AB).

Dokázať to nebude ťažké. Máme

n(A + B) = n(A) + n(B) − n(AB),

keďže prvky obsiahnuté súčasne v A a B, t. j. prvky AB, sa pri výpočte súčtu n(A) + n(B) počítajú dvakrát, a preto je potrebné od tohto súčtu odpočítať n(AB). aby sa vypočítalo n(A + B) bolo vytvorené správne. Potom vydelením oboch strán rovnosti n(I) dostaneme vzťah (2).

Zaujímavejší vzorec získame, ak hovoríme o troch množinách A, B, C z I. Pomocou vzťahu (2) máme

p(A + B + C) = p[(A + B) + C] = p(A + B) + p(C) − p[(A + B)C].

Zákon (12) z predchádzajúceho odseku nám dáva (A + B)C = AC + BC. To znamená:

p[(A + B)C)] = p(AC + BC) = p(AC) + p(BC) − p(ABC).

Nahradením hodnoty p[(A + B)C] a hodnoty p(A + B) prevzatej z (2) do vzťahu získaného skôr, dostaneme vzorec, ktorý potrebujeme:

p(A + B + C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(AB) − p(AC) − p(BC) + p(ABC). (3)

Ako príklad zvážte nasledujúci experiment. Tri čísla 1, 2, 3 sú napísané v ľubovoľnom poradí. Aká je pravdepodobnosť, že aspoň jedna z číslic bude na správnom (z hľadiska číslovania) mieste? Nech A je množina permutácií, v ktorých je číslo 1 na prvom mieste, B je množina permutácií, v ktorých je číslo 2 na druhom mieste, C je množina permutácií, v ktorých je číslo 3 na treťom mieste. miesto. Musíme vypočítať p(A + B + C). To je jasné

p(A) = p(B) = p(C) = 26 = 13;

skutočne, ak je akákoľvek číslica na správnom mieste, potom existujú dve možnosti, ako zmeniť usporiadanie zvyšných dvoch číslic z celkového počtu 3 · 2 · 1 = 6 možných permutácií troch číslic. ďalej

Cvičenie. Odvoďte vhodný vzorec pre p(A + B + C + D) a aplikujte ho na experiment, ktorý bude zahŕňať 4 číslice. Zodpovedajúca pravdepodobnosť je 5 8 = 0,6250.

Všeobecný vzorec pre spojenie n množín je

p(A1 + A2 + ... + An ) =
	p(Ai) −
			p(Ai Aj ) + p(Ai Aj Ak ) − . . . ± p(A1 A2 ... An ), (4)
kde symboly				označujú súčet všetkých možných

kombinácie obsahujúce jeden, dva, tri, . . . , (n − 1) písmená z A1 , A2 , . . .

an. Tento vzorec možno stanoviť matematickou indukciou – rovnako ako vzorec (3) bol odvodený zo vzorca (2).

Zo vzorca (4) môžeme usúdiť, že ak je n číslic 1, 2, 3, . . . , n sú napísané v ľubovoľnom poradí, potom pravdepodobnosť, že aspoň jedna z číslic bude na správnom mieste, sa rovná

pn = 1

kde pred posledným členom je znamienko + alebo − v závislosti od toho, či je n párne alebo nepárne. Najmä pre n = 5 sa táto pravdepodobnosť rovná

p5 = 1 − 2! + 3! − 4! +5! = 30 = 0,6333. . .

V kapitole VIII uvidíme, že keď n ide do nekonečna, výraz

1 1 1 1 Sn = 2! − 3! +4! − . . . ±n!

smeruje k hranici 1 e , ktorej hodnota s piatimi desatinnými miestami,

rovná sa 0,36788. Keďže zo vzorca (5) je jasné, že pn = 1 − Sn, z toho vyplýva, že ako n → ∞

pn → 1 − e ≈ 0,63212.

Každé transcendentálne reálne číslo je iracionálne, ale opak nie je pravdou. Napríklad číslo $\backslash sqrt\; 2$- iracionálny, ale nie transcendentný: je koreňom mnohočlenu $x^2-2$(a preto je algebraický).

Poradie na množine reálnych transcendentálnych čísel je izomorfné s poradím na množine iracionálnych čísel.

Mierou iracionality takmer každého transcendentálneho čísla je 2.

Príklady

Príbeh

Prvýkrát koncept transcendentálneho čísla zaviedol J. Liouville v roku 1844, keď dokázal vetu, že algebraické číslo nemožno príliš dobre aproximovať racionálnym zlomkom.

|heading3= Nástroje rozšírenia
číselné sústavy |nadpis4= Hierarchia čísel |zoznam4=

$-1,\backslash ;0,\backslash ;1,\backslash ;\backslash ldots$ Celé čísla $-1,\backslash ;1,\backslash ;\backslash frac(1)(2),\backslash ;\backslash ;0(,)12,\backslash frac(2)(3),\backslash ;\backslash ldots$ Racionálne čísla $-1,\backslash ;1,\backslash ;\backslash ;0(,)12,\backslash frac(1)(2),\backslash ;\backslash pi,\backslash ;\backslash sqrt(2),\backslash ;\backslash ldots$ Reálne čísla
$-1,\backslash ;\backslash frac(1)(2),\backslash ;0(,)12,\backslash ;\backslash pi,\backslash ;3i+2,\backslash ;e^(i\backslash pi/3),\backslash ;\backslash ldots$	Komplexné čísla

$1,\backslash ;i,\backslash ;j,\backslash ;k,\backslash ;2i\; +\; \backslash pi\; j-\backslash frac(1)(2)k,\backslash ;\backslash bodky$ Kvaternióny $1,\backslash ;i,\backslash ;j,\backslash ;k,\backslash ;l,\backslash ;m,\backslash ;n,\backslash ;o,\backslash ;2\; -\; 5l\; +\; \backslash frac(\backslash pi)(3)m,\backslash ;\backslash \; bodky$ transcendentálne číslaČíslo Ray Biquaternion

Úryvok charakterizujúci Transcendentné číslo

- Ako môžeš byť zdravý... keď morálne trpíš? Dá sa v našej dobe, keď má človek pocit, zostať pokojný? Povedala Anna Pavlovna. "Bol si so mnou celý večer, dúfam?"
- A sviatok anglického vyslanca? Dnes je Streda. Musím sa tam ukázať,“ povedal princ. - Moja dcéra ma vyzdvihne a vezme.
Myslel som, že tento sviatok bol zrušený. Je vous avoue que toutes ces fetes et tous ces feux d "umelosť začína a devenir insipides." [Priznávam, že všetky tieto sviatky a ohňostroje sa stávajú neznesiteľnými.]
„Keby vedeli, že to chceš, sviatok by bol zrušený,“ povedal princ zo zvyku ako hodiny na ranu a hovoril veci, ktorým nechcel veriť.
– Ne me tourmentez pas. Eh bien, qu "a t on rozhodnúť par rapport a la depeche de Novosiizoff? Vous save tout." [Nemučte ma. No, ako ste sa rozhodli pri príležitosti odoslania Novosiltsova? Všetci viete.]
- Ako ti to mám povedať? povedal princ chladným, znudeným tónom. - Qu "a t on rozhodnúť? On a rozhodne que Buonaparte a brule ses vaisseaux, et je crois que nous sommes en train de bruler les notres." Ako ste sa rozhodli? Rozhodli sme sa, že Bonaparte spálil svoje lode; a zdá sa, že aj my pripravený spáliť naše.] - Princ Vasilij vždy hovoril lenivo, ako herec hovorí rolu starej hry. Anna Pavlovna Šerer, naopak, bola napriek štyridsiatim rokom plná animácií a impulzov.
Byť nadšencom sa stalo jej spoločenským postavením a niekedy, keď ani nechcela, sa z nej stala nadšenkyňa, aby neoklamala očakávania ľudí, ktorí ju poznali. Zdržanlivý úsmev, ktorý neustále hral na tvári Anny Pavlovnej, hoci sa netýkal jej zastaraných čŕt, vyjadroval, ako u rozmaznaných detí, neustále vedomie jej sladkého nedostatku, z ktorého nechce, nemôže a ani to nepovažuje za potrebné. aby sa opravila.
Uprostred rozhovoru o politických akciách sa Anna Pavlovna vzrušila.
„Ach, nehovorte mi o Rakúsku! Nerozumiem možno ničomu, ale Rakúsko vojnu nikdy nechcelo a nechce. Ona nás zradí. Spasiteľom Európy musí byť len Rusko. Náš dobrodinec pozná svoje vysoké povolanie a bude mu verný. Tu je jedna vec, ktorej verím. Náš dobrý a úžasný suverén má najväčšiu úlohu na svete a je taký cnostný a dobrý, že ho Boh neopustí a on splní svoje povolanie rozdrviť hydru revolúcie, ktorá je teraz v tvári ešte hroznejšia. tohto vraha a darebáka. Len my musíme odčiniť krv spravodlivých... V koho máme dúfať, pýtam sa vás?... Anglicko so svojím obchodným duchom nepochopí a nemôže pochopiť celú vznešenosť duše cisára Alexandra. Odmietla vyčistiť Maltu. Chce vidieť, hľadá spätnú myšlienku našich činov. Čo povedali Novosilcovovi?... Nič. Nechápali, nedokážu pochopiť nezištnosť nášho cisára, ktorý nechce nič pre seba a všetko chce pre dobro sveta. A čo sľúbili? Nič. A čo sľúbili, to sa nestane! Prusko už vyhlásilo, že Bonaparte je neporaziteľný a že celá Európa proti nemu nič nezmôže... A ja neverím ani slovo Hardenbergovi, ani Gaugwitzovi. Cette fameuse neutralite prussienne, ce n "est qu" un piege. [Táto povestná neutralita Pruska je len pasca.] Verím v jedného Boha a vo vysoký osud nášho drahého cisára. Zachráni Európu!...“ Zrazu sa zastavila s posmešným úsmevom na jej zápal.

Na reálnej čiare je okrem algebraických čísel ešte jedna množina, ktorej mohutnosť sa zhoduje s mohutnosťou celej čiary - ide o množinu transcendentálnych čísel.

Definícia 6 : Volá sa číslo, ktoré nie je algebraické transcendentný, teda transcendentálne číslo (lat. transcendere - prejsť, prekročiť) - ide o skutočné resp. komplexné číslo, ktorý nemôže byť koreňom polynómu (nie identicky nula) s racionálnymi koeficientmi

Vlastnosti transcendentálnych čísel:

· Množina transcendentálnych čísel je súvislá.

· Každé transcendentálne reálne číslo je iracionálne, ale opak nie je pravdou. Napríklad číslo je iracionálne, ale nie transcendentné: je koreňom polynómu (a preto je algebraické).

· Poradie na množine reálnych transcendentálnych čísel je izomorfné s poradím na množine iracionálnych čísel.

· Miera iracionality takmer každého transcendentálneho čísla sa rovná 2.

Existenciu transcendentálnych čísel prvýkrát dokázal Liouville. Laouvilleov dôkaz existencie transcendentálnych čísel je účinný; na základe nasledujúcej vety, ktorá je priamym dôsledkom vety 5, sú konštruované konkrétne príklady transcendentálnych čísel.

Veta 6 [3, strana 54].: Nechaj je skutočné číslo. Ak pre nejaké prírodné n 1 a akékoľvek skutočné c>0, existuje aspoň jeden racionálny zlomok taký, že (11), potom je transcendentálne číslo.

dôkaz: Ak bol algebraický, potom by bolo (Veta 5) kladné celé číslo n a platné c>0 tak, že pre akýkoľvek zlomok by to bolo, a to odporuje skutočnosti, že (11) prebieha. Predpoklad, že algebraické číslo, t.j. transcendentné číslo. Veta bola dokázaná.

Čísla, pre ktoré, pre ľubovoľné n 1 a c>0 nerovnosť (11) má riešenie v celých číslach a A b sa nazývajú transcendentálne Liouvilleove čísla.

Teraz máme zariadenie na zostavovanie nealgebraických reálnych čísel. Musíme zostrojiť číslo, ktoré umožňuje aproximácie ľubovoľne vysokého rádu.

Príklad:

a je transcendentálne číslo.

Berte svojvoľné skutočné n 1 a c>0. Nechaj kde k vybrané tak veľké, že kn, Potom

Keďže pre svojvoľné n 1 a c>0, môžete nájsť taký zlomok, že potom je transcendentálne číslo.

Nastavme číslo v tvare nekonečného desatinného zlomku: kde

Potom, kdekoľvek, . Teda, a to znamená, že pripúšťa aproximácie ľubovoľne vysokého rádu, a preto nemôže byť algebraické.

V roku 1873 Sh. Hermit dokázal transcendenciu čísla e, základy prirodzených logaritmov.

Dokázať transcendenciu čísla e sú potrebné dve lemmy.

Lema 1. Ak g(X) je polynóm s celočíselnými koeficientmi, potom pre ľubovoľné kN všetky koeficienty k- ach derivát g (k) (X) sa delia na k!.

Dôkaz. Keďže operátor d/dx lineárne, potom stačí overiť tvrdenie lemy len pre polynómy tvaru g(X)=X s , s 0.

Ak k>s, To g (k) (X)=0 a k!|0.

Ak k< s , To

binomický koeficient je celé číslo a g(k) ( X) je opäť deliteľné k! úplne.

Lema 2 (Identita pustovníka) . Nechaj f(X) je polynóm ľubovoľného stupňa k s reálnymi koeficientmi,

F( X)=f(X)+f" (X)+f"(X)+ … +f (k) (X) je súčtom všetkých jeho derivátov. Potom pre akékoľvek skutočné (a dokonca zložité, ale zatiaľ to nebudeme potrebovať) X hotový:

Dôkaz. Integrácia podľa častí:

Integrál je opäť integrovaný po častiach atď. Opakovaním tohto postupu k+1 krát, dostaneme:

Veta 7 (Hermite, 1873). číslo e transcendentný.

Dôkaz. Dokážme toto tvrdenie protirečením. Predpokladajme, že e - algebraické číslo, mocniny m. Potom

a m e m + … +a 1 e+a 0 =0

pre niektoré prirodzené m a niektoré celé a m ,… a 1 , a 0 Namiesto toho dosaďte identitu Hermite (12). X celé číslo k ktorý nadobúda hodnoty od 0 do m; vynásobte každú rovnicu

respektíve na a k a potom ich všetky zrátajte. Dostaneme:

Keďže (toto je náš nepríjemný predpoklad), ukázalo sa, že pre akýkoľvek polynóm f(X) musí byť splnená rovnosť:

Vhodnou voľbou polynómu f(X) môže byť urobené ľavá strana(13) nenulové celé číslo a pravá strana bude potom medzi nulou a jednotkou.

Zvážte polynóm kde n definovať neskôr ( nN, A n veľký).

Číslo 0 je koreňom násobnosti n-1 polynóm f(X), čísla 1, 2,…, m- korene mnohosti n, teda:

f (l) (0)=0, l=1,2,…, n-2

f(n-1) (0) = (-1) mn (m!) n

f (l) (k)=0, l=0,1, …, n-1; k=1,2,…, m

Zvážte g( X)=X n-1 (X-1) n (X-2) n … (x-m) n je polynóm podobný f(X), ale s celočíselnými koeficientmi. Podľa Lemy 1 sú koeficienty g ( l) (X) sú celé čísla deliteľné číslom l!, teda keď l< n , derivát g ( l) (X) všetky koeficienty sú celé čísla deliteľné číslom n, pretože g( l) (X) sa získa z g (l) ( X) delené iba ( n-1)!. Preto

Kde A je vhodné celé číslo a nad znamienkom súčtu je číslo ( m+1) n-1 - polynomický stupeň f(X) a hoci je možné sčítať do nekonečna, nenulové derivácie y f(X) je presne toľko.

Podobne

Kde B k- vhodné celé čísla, k = 1, 2,…, m.

Nechaj teraz nN - akékoľvek celé číslo, ktoré spĺňa podmienky:

Zvážte znova rovnosť (13):

V súčte vľavo sú všetky členy celé čísla a a k F(k) pri k = 1, 2,…, m deleno n, A a 0 F(0) zapnuté n nezdieľa. To znamená, že celý súčet je celé číslo, n nezdieľa, t.j. nie je nulový. teda

Poďme teraz odhadnúť pravú stranu rovnosti (13). Je jasné, že na segmente a teda aj na tomto segmente

kde sú konštanty C 0 a C 1 nezávisia od n. To je známe

Preto za dostatočne veľké n, pravá strana (13) je menšia ako jedna a rovnosť (13) nie je možná.

V roku 1882 Lindemann dokázal teorém o transcendencii moci e s nenulovým algebraickým exponentom, čím sa dokazuje transcendencia čísla.

Veta 8 (Lindemann) [3, strana 58]. Ak je algebraické číslo a, potom je číslo transcendentálne.

Lindemannova veta umožňuje konštruovať transcendentálne čísla.

Príklady:

Z Lindemannovej vety napríklad vyplýva, že číslo ln 2 - transcendentný, pretože 2 = e V 2, a číslo 2 je algebraické, a ak číslo ln 2 bolo algebraické, potom by podľa lemy číslo 2 bolo transcendentálne číslo.

Vo všeobecnosti, pre akúkoľvek algebraiku, ln podľa Lindemannovej vety je transcendentálny. Ak transcendentné, potom ln nie nevyhnutne transcendentálne číslo, napr. V e =1

Ukazuje sa, že sme stále stredná škola videl veľa transcendentálnych čísel - ln 2,ln 3,ln() a tak ďalej.

Poznamenávame tiež, že čísla vo forme sú transcendentálne pre akékoľvek nenulové algebraické číslo (podľa Lindemannovej-Weierstrassovej vety, ktorá je zovšeobecnením Lindemannovej vety). Napríklad čísla sú transcendentálne, .

Ak je to transcendentálne, potom nie nevyhnutne transcendentálne čísla, napr.

Dôkaz Lindemannovej vety je možné vykonať pomocou identity Hermite, rovnakým spôsobom ako bola dokázaná transcendencia, s určitými komplikáciami v transformáciách. Presne tak to dokázal aj samotný Lindemann. A túto vetu môžete dokázať iným spôsobom, ako povedal sovietsky matematik A.O. Gelfond, ktorého myšlienky viedli v polovici 20. storočia k riešeniu Hilbertovho siedmeho problému.

V roku 1900 na II. medzinárodnom kongrese matematikov Hilbert medzi problémami, ktoré sformuloval, sformuloval siedmy problém: „Ak je pravda, že čísla v tvare, kde, sú algebraické a sú iracionálne transcendentálne čísla? . Tento problém vyriešil v roku 1934 Gelfond, ktorý dokázal, že všetky takéto čísla sú skutočne transcendentálne.

Dôkaz transcendencie hodnôt exponenciálnej funkcie, navrhnutý Gelfondom, je založený na použití interpolačných metód.

Príklady:

1) Na základe Gelfondovej vety je možné napríklad dokázať, že číslo je transcendentálne, pretože ak by bolo algebraicky iracionálne, potom, keďže číslo 19 by podľa Gelfondovej vety bolo transcendentálne, čo nie je pravda.

2) Nechajte a A b- iracionálne čísla. Môže číslo a b byť racionálny?

Samozrejme, pri použití Hilbertovho siedmeho problému nie je ťažké vyriešiť tento problém. Toto číslo je skutočne transcendentné (pretože ide o algebraické iracionálne číslo). Ale všetky racionálne čísla sú algebraické, teda - iracionálne. Na druhej strane,

Takže sme práve predstavili tieto čísla:, Tento problém sa však dá vyriešiť aj bez akéhokoľvek odkazu na výsledok Gelfondu. Môžeme uvažovať takto: zvážte číslo. Ak je toto číslo racionálne, potom je problém vyriešený, napr a A b nájdené. Ak je to iracionálne, tak berieme a.

Predstavili sme teda dva páry čísel a A b, tak, že jeden z týchto párov spĺňa podmienku, ale nevie, ktorá. Ale koniec koncov, nebolo potrebné prezentovať takýto pár! Toto riešenie je teda v istom zmysle existenciou teorémom.

Číslo sa volá algebraické, ak ide o koreň nejakého polynómu s celočíselnými koeficientmi

a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0(t.j. koreň rovnice a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0 =0, Kde a n, a n-1, ..., 1, 0 --- celéčísla, n 1, 0).

Množinu algebraických čísel označíme písmenom .

Je ľahké vidieť, že každé racionálne číslo je algebraické. V skutočnosti je koreňom rovnice qx-p=0 s celočíselnými koeficientmi a 1 = q A a 0 =-p. takže, .

Nie všetky algebraické čísla sú však racionálne: napríklad číslo je koreňom rovnice x 2-2 = 0, je teda algebraické číslo.

Na dlhú dobu zostala nevyriešená dôležitá otázka pre matematiku: Existujú nealgebraické reálne čísla ? Až v roku 1844 uviedol Liouville prvý príklad transcendentného (t. j. nealgebraického) čísla.

Konštrukcia tohto čísla a dôkaz jeho transcendencie sú veľmi ťažké. Je oveľa jednoduchšie dokázať existenciu teorému pre transcendentálne čísla pomocou úvah o ekvivalencii a neekvivalencii číselných množín.

Totižto dokážeme, že množina algebraických čísel je spočítateľná. Potom, keďže množina všetkých reálnych čísel je nespočítateľná, stanovíme existenciu nealgebraických čísel.

Vytvorme medzi sebou korešpondenciu jedna ku jednej a nejaká podskupina . To bude znamenať, že - samozrejme alebo spočítateľné. Ale odvtedy , To nekonečné, a teda spočítateľné.

Nech je nejaké algebraické číslo. Zvážte všetky polynómy s celočíselnými koeficientmi, ktorých koreň je , a vyberte si z nich polynóm P minimálny stupeň (t. j. nebude existovať koreň žiadneho polynómu s celočíselnými koeficientmi menšieho stupňa).

Napríklad pre racionálne číslo má takýto polynóm stupeň 1 a pre číslo má stupeň 2.

Rozdeľte všetky koeficienty polynómu P k ich najväčšiemu spoločnému deliteľovi. Získame polynóm, ktorého koeficienty sú v súhrne relatívne prvočísla (ich najväčší spoločný deliteľ je 1). Nakoniec, ak je vedúci koeficient a n je záporné, vynásobíme všetky koeficienty polynómu o -1 .

Výsledný polynóm (t. j. polynóm s celočíselnými koeficientmi, ktorého koreňom je číslo, ktoré má najmenší možný stupeň, koprime koeficienty a kladný vodiaci koeficient) sa nazýva minimálny polynóm čísla.

Dá sa dokázať, že takýto polynóm je jednoznačne definovaný: každé algebraické číslo má práve jeden minimálny polynóm.

Počet reálnych koreňov polynómu nie je väčší ako jeho stupeň. Preto je možné vymenovať (napríklad vo vzostupnom poradí) všetky korene takéhoto polynómu.

Teraz je každé algebraické číslo úplne určené jeho minimálnym polynómom (t. j. množinou jeho koeficientov) a číslom, ktoré tento polynóm odlišuje od iných koreňov: (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k).

Každému algebraickému číslu sme teda priradili konečnú množinu celých čísel a táto množina je jedinečne obnovená (t.j. rôzne čísla zodpovedajú rôznym súborom).

Všetky prvočísla vymenujeme vo vzostupnom poradí (je ľahké ukázať, že ich je nekonečne veľa). Dostaneme nekonečnú postupnosť (p k): p1=2,p2=3, p3=5, p4=7, ... Teraz množina celých čísel (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,an ,k) sa dá zladiť

(toto číslo je pozitívne a racionálne, ale nie vždy prirodzené, pretože medzi číslami 0, 1, ..., a n-1, môže byť negatívny). Všimnite si, že toto číslo je neredukovateľný zlomok, pretože hlavné faktory zahrnuté v rozšíreniach čitateľa a menovateľa sú odlišné. Všimnite si tiež, že dva ireducibilné zlomky s kladnými čitateľmi a menovateľmi sú rovnaké vtedy a len vtedy, ak sú obaja ich čitatelia rovnakí a ich menovatelia sú rovnakí.

Zvážte teraz postupné mapovanie:

(a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k) =

Keďže rôznym algebraickým číslam a rôznym množinám sme priradili rôzne množiny celých čísel --- rôzne racionálne čísla, potom sme teda vytvorili korešpondenciu jedna ku jednej medzi množinou a nejaká podskupina . Preto je množina algebraických čísel spočítateľná.

Keďže množina reálnych čísel je nespočítateľná, dokázali sme existenciu nealgebraických čísel.

Existenčná veta však nenaznačuje, ako určiť, či je dané číslo algebraické. A táto otázka je niekedy pre matematiku veľmi dôležitá.